奈氏判据例题
合集下载
频率分析补充-奈氏判据推导
试分别计算K=2, K=20时，系统的相角裕度和幅值裕度。
解： 1 1 , 2 5
L ( ) 20 log K 20 log 20 log
2
1 20 log
( 0 . 2 ) 1
2
( ) 90
o
arctg arctg 0 . 2
s
0
0
例1 已知系统开环传递函数
G (s) K s (Ts 1) , G ( j ) K j ( jT 1) KT j K
(1 T )
2 2
(1 T )
2 2
修改后奈氏围线的映射
有一个开环极点 s=0，作无穷小半径的围线。
在围线
F (s) N 1 (s) N 2 (s) M 1 (s)M N 1 (s) N 2 (s)
2 (s)
G(s)H(s)=F(s)-1 G(s)H(s)围绕（-1，j0）的圈数。
(s z i )
n n
i 1
i 1
(s p i )
F(s)的分子多项式就是闭环系统的特征方程。
o
) ( 90
o
3、判断稳定性的实用方法
绘制 0 的奈氏曲线，按奈氏曲线包围临界点圈数 N和开环传递函数在右半 s 平面的极点数 P，确定闭环特征 方程正实部根的个数。
Z P 2N
若 Z=0 ，则系统闭环稳定，否则闭环不稳定。
对于 型系统的奈氏曲线：
0
1 5
5
/ 02 gol 02 ) g j ( G gol 02 h gol 02
一般要求系统具有45~70的相角裕度。 对于最小相位系统，当相角裕度在30~70之间时，则要 求幅频曲线在截止频率处的斜率大于 -40dB/dec, 通常采 用-20 dB/ dec。
5-4 奈奎斯特
辅助函数 F (s) 的零点都具有负的实部，即都位于S平面 左半部，系统稳定，否则系统不稳定。
2
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数 F (s) 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的 正则函数,也就是说 F (s ) 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每 一个解析点，在 F (s)平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为
例如当系统的开环传递函数为则其辅助函数是除奇点一s平面与平面的映射关系如图所示在平面上有点与s平面上的点对应就叫做如图所示如果解析点在s平面上沿封闭曲线不经过的奇点按顺时针方向连续变化一周那么辅助函数平面上的映射也是一条封闭曲但其变化方向可以是顺时针的也可以是逆时针的这要依据辅助函数的性质而定
5-4
∠F ( s1 ) = ∑ ∠( s1 − z j ) − ∑ ∠( s1 − pi )
j =1 i =1 3 3
7
当解析点s1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现， 所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位 于封闭曲线Γ s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2弧度（一 F 周）。这样，对图（a），Z=1，P=0，∠ F ( s1 ) = − 2π ，即N=－1， (s) 绕 F(s1 )平面原点顺时针 旋转一周；对图（b），Z=0，P=1，∠ F ( s1 ) = 2π ，即N=1，F(s) 绕F(s1 ) 平面原点逆时针旋 F 转一周；对图（c），Z=1，P=1， F ( s1 ) = 0 ，即N=0， (s1 ) 不包围 F(s)平面原点。将上述分 ∠ 析推广到一般情况则有 ∠ F ( s ) = 2π ( P − Z ) = 2π N 由此得到幅角定理表达式为
自动控制原理课后习题
已知系统开环传递函数，
分析稳定性，若稳定计
算性能指标。
G
(
s
)
(
s
1
)
1 (0
0 .
0
1
s
1
)2
1、环节特性分析
2、Bode曲线的绘制 3、性能指标计算 结论：系统稳定。
ωc≈10;
令 得
：：（t gωγ111ω）88014128.02013ltt8ggωg01101c100.0c021tωg11 0.ω10c8101100
0
（-1，j0）
已知：Gk
(s)
k s(Ts 1)
得：P
1, q
1
绘制Nyquist曲线
N p 2(a b) 1 2(0 0.5) 2
结论：不稳定，右半平面有两个特征根。
0
(1)T1>T2 （-1，j0）
0 (2) T1<T2
已知：Gk
(s)
k(T2 s 1) ， s 2 (T1s 1)
其中：( Ta ) 或( Ta )
2）分析两种情况下系统的稳定性.
3、某最小相位系统的如图所示。
1）求传递函数 2）求剪切频率和相角裕量
G k( s )
k(10s 1)2
s2 s 1(Ts 1)
(10s 1)2
s2 s 1(0.003 s
1)
c 100 , 73.76
4、已知单位反馈系统的
（-1，j0）
0
(2)
(1)
0
（-1，j0）
已知：P 2, q 0
已知：G(s) k , p 1，q 0，绘制Nyquist曲线，系统1: k 1;系统2 : k 1。 (Ts 1)
分析稳定性，若稳定计
算性能指标。
G
(
s
)
(
s
1
)
1 (0
0 .
0
1
s
1
)2
1、环节特性分析
2、Bode曲线的绘制 3、性能指标计算 结论：系统稳定。
ωc≈10;
令 得
：：（t gωγ111ω）88014128.02013ltt8ggωg01101c100.0c021tωg11 0.ω10c8101100
0
（-1，j0）
已知：Gk
(s)
k s(Ts 1)
得：P
1, q
1
绘制Nyquist曲线
N p 2(a b) 1 2(0 0.5) 2
结论：不稳定，右半平面有两个特征根。
0
(1)T1>T2 （-1，j0）
0 (2) T1<T2
已知：Gk
(s)
k(T2 s 1) ， s 2 (T1s 1)
其中：( Ta ) 或( Ta )
2）分析两种情况下系统的稳定性.
3、某最小相位系统的如图所示。
1）求传递函数 2）求剪切频率和相角裕量
G k( s )
k(10s 1)2
s2 s 1(Ts 1)
(10s 1)2
s2 s 1(0.003 s
1)
c 100 , 73.76
4、已知单位反馈系统的
（-1，j0）
0
(2)
(1)
0
（-1，j0）
已知：P 2, q 0
已知：G(s) k , p 1，q 0，绘制Nyquist曲线，系统1: k 1;系统2 : k 1。 (Ts 1)
耐氏【判据
按照幅角定理的规定，在s平 面的奈氏曲线不能通过F(s)的奇异 点。 重新定义乃氏曲线如下： Ⅰ. 正虚轴s=jω，ω从0+变化到+∞； Ⅱ. 半径为无限大的右半圆，s= R ejθ， R→∞，θ由π/2变化到-π/2。 Ⅲ. 负虚轴s=jω，ω从-∞变化到0-； IV．半径为无穷小的右半圆，s= εejθ，ε→0，θ由-π/2变化到π/2。
0
K jv jv lim v e e 0
ω从0-→0+时，θ从-π/2 → π/2。
G(S)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆 弧按顺时针方向从vπ/2 → -vπ/2。
Im
Im
Im
s平面 ω=0+ e
d c -a b ω=0 ε→0 Re
复变函数的相角可以表示为：
F (s) (s z j ) (s pi )
j 1 i 1 m n
若在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，其它 的零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封 闭曲线顺时针方向移动一周时，相量(s+z1)的相角变化 －2π，其它各相量的相角变化为零，即
N=0，P=0，Z=P-N=0
没有闭环不稳定极点。闭环稳定。
若频率特只画出ω从0+→∞部分，则有
N 1 N (P Z ) 2 2 1 若闭环系统稳定，则Z=0，从而有 N P 2
正负穿越
随着ω的增大，若频率特性曲线 GH (jω)以逆时针方向包围(-1，j0) 点一圈，则GH(jω)曲线的正半段 必然从上至下穿过G(s)平面负实 轴的(-∞，-1)区段一次。这种穿 越伴随着相角的增加而穿越的， 故称为正穿越。反之叫负穿越。
0
K jv jv lim v e e 0
ω从0-→0+时，θ从-π/2 → π/2。
G(S)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆 弧按顺时针方向从vπ/2 → -vπ/2。
Im
Im
Im
s平面 ω=0+ e
d c -a b ω=0 ε→0 Re
复变函数的相角可以表示为：
F (s) (s z j ) (s pi )
j 1 i 1 m n
若在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，其它 的零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封 闭曲线顺时针方向移动一周时，相量(s+z1)的相角变化 －2π，其它各相量的相角变化为零，即
N=0，P=0，Z=P-N=0
没有闭环不稳定极点。闭环稳定。
若频率特只画出ω从0+→∞部分，则有
N 1 N (P Z ) 2 2 1 若闭环系统稳定，则Z=0，从而有 N P 2
正负穿越
随着ω的增大，若频率特性曲线 GH (jω)以逆时针方向包围(-1，j0) 点一圈，则GH(jω)曲线的正半段 必然从上至下穿过G(s)平面负实 轴的(-∞，-1)区段一次。这种穿 越伴随着相角的增加而穿越的， 故称为正穿越。反之叫负穿越。
bode判据
开环稳定性和闭环稳定性是两个概念，二者 不容混淆。
22
5.3 奈氏稳定性判据
例4、 ( s ) K (T2 s 1) G 2
s (T1s 1)
j
j
ω
(-1,j0)
ω=∞
ω ω=0
(-1,j0)
ω=∞
T1<T2
T1=T2
闭环系统稳定
闭环系统临界稳定
23
5.3 奈氏稳定性判据
j
ω ω =0
Ts 1 K 0
20
T 0 1 K 0 K 1
5.3 奈氏稳定性判据
例3、已知 P=2
(-1,j0)
j
奈氏曲线逆时针包围
(1, j 0) 点一圈，N=1
闭环稳定的充要条件
P 2 N 1 2 2
故闭环稳定
21
5.3 奈氏稳定性判据
可见： 系统开环稳定，但各个部件及其受控对象的参数匹配不当， 很可能闭环系统不稳定 。 开环不稳定，只要合理地选择控制装置，完全能调出稳定 的闭环系统。
另外，实际系统的参数在工作过程中会发生 波动，故系统必须有一定的稳定裕度。
5.5 控制系统的相对稳定性
j
c(t)
（-1，j0)
t
j
c(t)
（-1，j0)
t
结论：离 (1, j 0) 点远一些好。
5.5 控制系统的相对稳定性
j
在幅相平面上画一个以原点为圆心， 1为半径的圆。
5.3 奈氏稳定性判据
[ F ( j )] 平面的坐标原点相当于[G( j ) H ( j )] 平面的(1, j 0 ) 点，则 F ( j ) 1 G( j ) H ( j ) 向量对其原点的转角相当于
14奈氏稳定判据
20 lg ( jb ) 20 lg
1 20 lg 1
1
T
2 2 b
2
可求得带宽为 性。
b
1 T
，系统具有低通特
又例如，典型二阶系统：
(s)
S2
n2 2n s
n2
由带宽定义得：
(1 n2 )2 4 2 b2 2
n2
n2
于是有：
1
b n (1 2 2 ) (1 2 2 )2 1 2
可见，二阶系统的带宽和自然频率成正比，与
Y(s)
(-1,0)
K1 2 1 2
=0+
=+
7-3 相对稳定性
相对稳定性的概念还未曾专门讨论，但在时
域分析中已经介绍过相关现象。通俗地讲，就是 在稳定系统中，研究那个系统更稳定。
在稳定的二阶欠阻尼系统中，那个指标参
数表示了相对稳定性？
衰减系数δ
在根轨迹图中，又该如何刻画相对稳定性？
配置的闭环极点与虚轴
稳定，因此，有2个
若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则 稳定裕度指标。
| G( j) | 1, G( j) 180o同时成立。
1、相角交界（穿越）频率cp和增益裕度Kg
相角交界频率cp满足：
GH jcp 180
增益裕度
1
Kg GH jcp
(-1,0)
应该有：
Kg 1
否则，最小相角系统不稳定。
c c 1800 120 (K 5); 120 (K 20)
900 tg1 tg10.1 1800
K g Lg 6dbK 5, 6dbK 20
7-4 频率域性能指标
一、闭环系统频率域性能指标 稳定裕度是闭环系统的性能指标，但却是利
奈奎斯特稳定判据
s jw
w 0
F(s)平面上的映射是这样得到的：
① 以 s = jw 代入F(s)，令w 从0→∞变化，得第一部分的映射；
② 以 s=R·ej 代入F(s)，令R→∞， :
，得第二部分的映射；
22
③ 以 s = jw 代入F(s)，令w从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西辐角定理计算 N = Z－P，式中Z、P是F(s)在s右 半平面的零点数和极点数。
令： G(s) M1(s) , H (s) M 2 (s)
N1 ( s)
N2 (s)
R(s)
C(Hale Waihona Puke )G(s)H (s)
则开环传递函数为：
闭环传递函数为：
16
Gk
(s)
M1(s)M 2 (s) N1(s)N2 (s)
(s) M1N2 M1M 2 N1N2
…………… (a) …………… (b)
将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
5 j1
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
•
Re
6
Im
•
F(s)
(s)
F(s)平面 Re
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF ，该 曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变 化量，则有
22
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率
自动控制理论 5-4 频域：奈氏 判据
L( )P20 ( )
Z =2（ N- -N+ ）+P=-2+1= -1 所以，系统不稳 定。
18
例5-14 为
已知一单位反馈系统的开环传递函数
K
G(s)H (s) 1 T1s1 T2s
T1 T2 0
试判别系统的稳定性。
W=0-
19
自控理论实验‘频率分析’中
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
13
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
例4: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB
0 Re
0
( )
0
c
16
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈
判据可表述如下：
当 由 0 时，奈氏曲线GH对于（-1， j0）点围绕的圈数N与其相频特性曲线 () 在开环对数 幅频特性L() 0 的频段内，负、正穿越次数之差相等， 即
Z =2（ N- -N+ ）+P=-2+1= -1 所以，系统不稳 定。
18
例5-14 为
已知一单位反馈系统的开环传递函数
K
G(s)H (s) 1 T1s1 T2s
T1 T2 0
试判别系统的稳定性。
W=0-
19
自控理论实验‘频率分析’中
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
13
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
例4: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB
0 Re
0
( )
0
c
16
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈
判据可表述如下：
当 由 0 时，奈氏曲线GH对于（-1， j0）点围绕的圈数N与其相频特性曲线 () 在开环对数 幅频特性L() 0 的频段内，负、正穿越次数之差相等， 即
乃氏判据
[例 ]设开环系统传递函数为： Gk ( s) ，试用奈 2 ( s 1)(s 2s 5) 氏判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为-1， -1j2，都在s左半平面， 所以 P 0。奈氏图如 右。从图中可以看出： 奈氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环 系统在s右半极点数为： ， Z P R 0 (2) 2 闭环系统是不稳定的。
5-3 频率域稳定判据
主要内容
奈魁斯特稳定判据 奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ 型系统中的应用 对数频率稳定判据
奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性 判断系统的绝对稳定性
相对稳定的概念 闭环系统的瞬态性能 指出改善系统性能的途径
一、幅角原理
j
( s z1 )( s z 2 ) ( s z n ) F ( s) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
，R 得第二部分的映射；令 从 0 ，得第三部分 2 2
的映射。稍后将介绍具体求法。 得到映射曲线后，就可由幅角定理计算 N Z k Pk ，式中： Z k , Pk 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 Z k N Pk 。当 Z R 0 时，系统稳定；否则不稳定。
闭环系统右半极点数 开环系统右半极点数 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
这里需要解决两个问题： 1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足幅角条件的？ 2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环 频率特性 GH ( j )相联系？ 第1个问题：①先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方 向做一条曲线 s 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯 特路径。如下图：
自动控制原理第13讲(奈氏稳定判据)
s 绕奈氏路径转过一周， F(j)绕[F]平面原点转过的角度jF()为
F ( j ) 2 ( Z P ) 2 ( P Z ) 2R
Z P R P 2N
K* GH ( j ) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )
K 180 0 270
( s )
D( s ) ( s 1 )( s 2 )( s 3 ) N ( s ) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )
G( s ) 1 GH ( s )
F(s)的特点
零点 i : 闭环极点 ① F(s)的 极点 pi : 开环极点 ② F ( j ) 1 GH ( j )
所以，闭环系统稳定。
0
Re
K (TS 1) Gb ( S ) S2
奈氏曲线图
10
0 点逆时针 (c)由于ν＝2，从
0
Im -1 0
＝0
Re
补画半径为无穷大的半园。 P=0, N=-1 Z=2 该闭环不系统稳定。 K 10 Gc ( S ) 2 G ( S ) d S (TS 1) S (TS 1) (d)ν=1,从 0 点逆时针
0
Im
？
＝0
0
Re
补画半径为无穷大的1/4园。 虚线的终端落在负实轴上 P=1, N=-1/2， Z=1-2(-1/2)=2
11
奈氏曲线图 非最小相位系统
N N N 该闭环系统不稳定。
3 在对数坐标图上应用奈奎斯特稳定性判据
L( ) 20 lg GH
40
G( j ) H ( j ) 1
F ( j ) 2 ( Z P ) 2 ( P Z ) 2R
Z P R P 2N
K* GH ( j ) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )
K 180 0 270
( s )
D( s ) ( s 1 )( s 2 )( s 3 ) N ( s ) ( s p1 )( s p2 )( s p3 )
G( s ) 1 GH ( s )
F(s)的特点
零点 i : 闭环极点 ① F(s)的 极点 pi : 开环极点 ② F ( j ) 1 GH ( j )
所以，闭环系统稳定。
0
Re
K (TS 1) Gb ( S ) S2
奈氏曲线图
10
0 点逆时针 (c)由于ν＝2，从
0
Im -1 0
＝0
Re
补画半径为无穷大的半园。 P=0, N=-1 Z=2 该闭环不系统稳定。 K 10 Gc ( S ) 2 G ( S ) d S (TS 1) S (TS 1) (d)ν=1,从 0 点逆时针
0
Im
？
＝0
0
Re
补画半径为无穷大的1/4园。 虚线的终端落在负实轴上 P=1, N=-1/2， Z=1-2(-1/2)=2
11
奈氏曲线图 非最小相位系统
N N N 该闭环系统不稳定。
3 在对数坐标图上应用奈奎斯特稳定性判据
L( ) 20 lg GH
40
G( j ) H ( j ) 1
奈氏判据半包围和对数判据判断系统稳定性
-1 -1
-1.5 -0.15K
j
--0.5 0 0.05K
ω
、－0.15、－ 、－0.05 、－ 、－ 当K=1时，三个交点参数为： －0.2、－ 时 三个交点参数为： K没确定时，三个交点参数为： 0.2K、－ 没确定时， 没确定时 三个交点参数为： 、－0.15K、－ 、－0.05K － 、－ 、－ 0.15K>1同时 同时0.05K<1系统稳定 同时 系统稳定 20 0.2K<1时系统也稳定 答案： 0 < k < 5和 < k < 20 时系统也稳定 答案：
− 180o
− 270o
− 360 o
最小相位系统开环对数相频特性曲线
对数判据例题
改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 试确定系统闭环稳定时截止频率ω 的范围。 试确定系统闭环稳定时截止频率 c的范围。
ϕ(ω) ω
360 o
180o
0o
ωc1
ωc
ω
− 180o
5(s + 1) 已知单位反馈系统开环传递函数 G (s ) = 2 s(s + 2s − a )
试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 的取值范围
5 + G ( j0 ) = − = ∞∠ − 270o as
j
5 G ( j∞) = 2 = 0∠ − 180o s
5-5 频率域稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数 闭环特征根在 右半平面的个数
z=0
系统稳定
z = p _2N
开环极点在s右半平面的个数 开环极点在 右半平面的个数 开环幅相曲线穿越－ 之左实轴的次数 开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1.5 -0.15K
j
--0.5 0 0.05K
ω
、－0.15、－ 、－0.05 、－ 、－ 当K=1时，三个交点参数为： －0.2、－ 时 三个交点参数为： K没确定时，三个交点参数为： 0.2K、－ 没确定时， 没确定时 三个交点参数为： 、－0.15K、－ 、－0.05K － 、－ 、－ 0.15K>1同时 同时0.05K<1系统稳定 同时 系统稳定 20 0.2K<1时系统也稳定 答案： 0 < k < 5和 < k < 20 时系统也稳定 答案：
− 180o
− 270o
− 360 o
最小相位系统开环对数相频特性曲线
对数判据例题
改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 试确定系统闭环稳定时截止频率ω 的范围。 试确定系统闭环稳定时截止频率 c的范围。
ϕ(ω) ω
360 o
180o
0o
ωc1
ωc
ω
− 180o
5(s + 1) 已知单位反馈系统开环传递函数 G (s ) = 2 s(s + 2s − a )
试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 的取值范围
5 + G ( j0 ) = − = ∞∠ − 270o as
j
5 G ( j∞) = 2 = 0∠ − 180o s
5-5 频率域稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数 闭环特征根在 右半平面的个数
z=0
系统稳定
z = p _2N
开环极点在s右半平面的个数 开环极点在 右半平面的个数 开环幅相曲线穿越－ 之左实轴的次数 开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
奈氏稳定判据课件
0
F
F (s)平面
8
1 、 奈氏判据数学基础…
j
z1
s
p1
0
z2
p2
s平面
s F(s) 映射
j F(s)
F(s)
0
F
F (s)平面
幅角原理: R=P-Z Z — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的零点个数 P — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的极点个数 R — 当s沿Γ顺时针运动一周，F(s)平面上闭合曲线гF 逆时针包围原点的圈数。
G( j0 )H( j0 )
14
1 、 奈氏判据数学基础…
3)G(S)H(S)含等幅振荡环节:
G(s)H (s)
(s2
1
2 n
)1
G1 ( s)
G(s)H (s) s jn e j
1
(2 jne j 2e2 j )1
G1( jn
e j )
j
jn
e j
e j( 90o )v1
(2n )v1
G1(
z1 )( s p1 )( s
z2 ) p2 )
F (s) s z1 s z2 s p1 s p2
F (s) s z1 s z2 s p1 s p2
2 0 (2 ) (2 ) 2
j
j
F(s)
z1
s
p1
0
z2
p2
s平面
s F(s) 映射
F(s)
重点回顾
幅相曲线绘制三要素
（1）开环幅相曲线的起点（ 0）和终点( )
（2）开环幅相曲线与实轴的交点
交点处的频率 x -------穿越频率
x : Im[G( jx )H ( jx )] 0 或 (x ) G( jx )H ( jx ) k , k 0,1,2 交点处坐标 Re[G( jx )H ( jx )]
F
F (s)平面
8
1 、 奈氏判据数学基础…
j
z1
s
p1
0
z2
p2
s平面
s F(s) 映射
j F(s)
F(s)
0
F
F (s)平面
幅角原理: R=P-Z Z — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的零点个数 P — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的极点个数 R — 当s沿Γ顺时针运动一周，F(s)平面上闭合曲线гF 逆时针包围原点的圈数。
G( j0 )H( j0 )
14
1 、 奈氏判据数学基础…
3)G(S)H(S)含等幅振荡环节:
G(s)H (s)
(s2
1
2 n
)1
G1 ( s)
G(s)H (s) s jn e j
1
(2 jne j 2e2 j )1
G1( jn
e j )
j
jn
e j
e j( 90o )v1
(2n )v1
G1(
z1 )( s p1 )( s
z2 ) p2 )
F (s) s z1 s z2 s p1 s p2
F (s) s z1 s z2 s p1 s p2
2 0 (2 ) (2 ) 2
j
j
F(s)
z1
s
p1
0
z2
p2
s平面
s F(s) 映射
F(s)
重点回顾
幅相曲线绘制三要素
（1）开环幅相曲线的起点（ 0）和终点( )
（2）开环幅相曲线与实轴的交点
交点处的频率 x -------穿越频率
x : Im[G( jx )H ( jx )] 0 或 (x ) G( jx )H ( jx ) k , k 0,1,2 交点处坐标 Re[G( jx )H ( jx )]
5-3奈氏判据
= arctan3.16 − 2arctan0.316 = 37.4° ° 当ϕ(ωg) = −180°时 ° −180° = arctanωg −180° − 2arctan0.1ωg ° ° arctanωg =2arctan0.1ωg ωg = 8.94 求得 k ⋅ ωg 20lg h = −20lg A(ωg ) = −20lg 2 2 = 9.03dB ωg ⋅ 1 因为γ > 0，所以闭环系统是稳定的。 ，所以闭环系统是稳定的。
0
A
Gk(jω)
0A Gk ( jω) M(ω) = = 1+ Gk ( jω) PA
ϕ(ω) = ∠0A− ∠PA
12
Mm M0 0.707M0 二.闭环频率特性 （1）零频幅值特性 0 ： ）零频幅值特性M ω = 0时的闭环幅频特性值。 时的闭环幅频特性值。
ωr
ωb
ω
（2）谐振峰值 r ：幅频特性极大值与零频幅值之比 ）谐振峰值M Mr = Mm/M0。 。 出现谐振峰值时的频率。 （3）谐振频率ωr ：出现谐振峰值时的频率。 ） 闭环幅频特性值减小到0.707 M0时的 （4）系统带宽ωb ：闭环幅频特性值减小到 ） 表示。频率范围0 频率，称为带宽频率， 频率，称为带宽频率，用ωb表示。频率范围 ≤ ω ≤ ωb 13 称为系统带宽。 称为系统带宽。
17
一单位反馈控制系统， 例5-17 一单位反馈控制系统，其开环传递函数 7 G(s) = s(0.087s + 1) 试用相角裕度估算过渡过程指标M 试用相角裕度估算过渡过程指标 p% 与ts。 解：系统开环伯德图如图示 系统开环伯德图如图示 由图可得， ωc =7，γ = 58.7° 由图可得， ， ° 根据γ = 58.7° ，可得ξ = 0.592，则 ° ， Mp % = 9.95% ts = 0.52(s) 直接求解系统， 直接求解系统，得ξ = 0.64 Mp% = 7.3% ts = 0.522(s) 两者基本上是一致的。 两者基本上是一致的。
0
A
Gk(jω)
0A Gk ( jω) M(ω) = = 1+ Gk ( jω) PA
ϕ(ω) = ∠0A− ∠PA
12
Mm M0 0.707M0 二.闭环频率特性 （1）零频幅值特性 0 ： ）零频幅值特性M ω = 0时的闭环幅频特性值。 时的闭环幅频特性值。
ωr
ωb
ω
（2）谐振峰值 r ：幅频特性极大值与零频幅值之比 ）谐振峰值M Mr = Mm/M0。 。 出现谐振峰值时的频率。 （3）谐振频率ωr ：出现谐振峰值时的频率。 ） 闭环幅频特性值减小到0.707 M0时的 （4）系统带宽ωb ：闭环幅频特性值减小到 ） 表示。频率范围0 频率，称为带宽频率， 频率，称为带宽频率，用ωb表示。频率范围 ≤ ω ≤ ωb 13 称为系统带宽。 称为系统带宽。
17
一单位反馈控制系统， 例5-17 一单位反馈控制系统，其开环传递函数 7 G(s) = s(0.087s + 1) 试用相角裕度估算过渡过程指标M 试用相角裕度估算过渡过程指标 p% 与ts。 解：系统开环伯德图如图示 系统开环伯德图如图示 由图可得， ωc =7，γ = 58.7° 由图可得， ， ° 根据γ = 58.7° ，可得ξ = 0.592，则 ° ， Mp % = 9.95% ts = 0.52(s) 直接求解系统， 直接求解系统，得ξ = 0.64 Mp% = 7.3% ts = 0.522(s) 两者基本上是一致的。 两者基本上是一致的。
5.3奈氏判据
图5-3-6 例5-3-2系统的奎斯特图
例5-3-3 设系统的开环传递函数为
G (s)H (s) ( 4 s 1) s ( s 1)( 2 s 1)
2
要求绘制系统的乃奎斯特图，并判闭环系统的稳定性。
解 开环系统有两个极点位于s平面的坐标原点， 如图5-3-7a所示。
图5-3-7 例5-3-3系统的奎斯特图
当ε→0时，此小半圆的面积也趋近于零。因此， F(s)的位于s平面右半部的零点和极点均被此乃氏 回线包围在内。而将位于坐标原点处的开环极点 划到了左半部。这样处理是为了适应乃奎斯特判 据的要求，因为应用乃氏判据时必须首先明确位 于s平面右半部和左半部的开环极点的数目。 当s沿着上述小半圆移动时，有
例5-3-1 绘制开环传递函数为
G (s)H (s) K ( 1s 1)( 2s 1 )
的系统的乃奎斯特图，并判断闭环系统的稳定性。 解 此系统的开环频率特性为
G ( j ) H ( j ) K ( j 1 1)( j 2 1)
当 0 时， G ( j ) H ( j ) K ， 当 时， G ( j ) H ( j ) 0
图5-3-4 ΓGH和ΓF的关系
综合上述，可将乃奎斯特稳定判据(简称乃氏 判据)表述如下： 闭环控制系统稳定的充分和必要条件是， 当ω从-∞变化到+∞时，系统的开环频率特 性G(jω)H(jω)按逆时针方向包围(-1，jO) 点P周，P为位于s平面右半部的开环极点数 目。 显然，若开环系统稳定，即位于s平面 右半部的开环极点数P=0，则闭环系统稳定 的充分和必要条件是，系统的开环频率特性 G(jω)H(jω)不包围(-1，j0)点。
虚轴上有开环极点的情况通常出现于在系统中有 串联积分环节的时候，即在s平面的坐标原点有 开环极点。这时不能直接应用图5-3-3所示的乃 奎斯特回线。 为了在这种情况下应用乃奎斯特判据，可以选择图 5-3-6a所示的乃氏回线，它与图5-3-3中乃氏回线 的区别仅在于，此回线经过以坐标原点为圆心，以 无穷小量ε为半径的，在s平面右半部的小半圆， 绕过了开环极点所在的原点
04 频率特性法——奈氏判据和伯德图判据
一、开环频率特性与闭环频率 特性的关系
为什么可以用开 环系统的频率特 性来研究闭环？
开环频率特性
？
闭环频率特性
闭环系统稳定
G( s ) ( s) 1 G( s ) H ( s )
闭环系统的极 点分布在S的 左半平面 1+G(s)H(s)=0 时S的值都在 左半平面 F(s)=1+G(s)H(s) 的零点都在S左 半平面
-1 ~ -∞段实轴，用 N 表示。
Im
Im
正穿越
(－1，j0)
+
负穿越
(－1，j0)
0
_
Re
0
Re
Nyquist稳定判据穿越法
重点 掌握
半次穿越：若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的负 轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿 越。
+1/2次穿越
例：两系统奈氏曲线如图，试分析系统稳定性。
Im
P0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
(a)
(b)
解： (a) N= N+ - N –=（0-1）= -1，P =0，故
Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。 (b) K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，P=1，故 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，故 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个 根在虚轴上，闭环系统不稳定。
5-2奈氏判据
4
假如这个根是正实根，当：0时，D( j) 这个矢 量顺时针方向旋转/2角度，则 Arg[D( j)]= /2 结论：对于一阶系统，如果系统是稳定的，那么当 从0 时，D( j)矢量逆时针方向旋转/2角度。 2. 二阶系统
其特征多项式为 D(s) = (s + p1)(s + p2) 如果特征根均为负实根，
11
奈氏稳定判据：已知开环系统特征方程式在s右半 平面的根的个数为p，当由0变到时，开环频率特性 的轨迹在G(j)H(j)平面包围（1，j0）点的圈数为R， 则闭环系统特征方程式在 s右半平面的根的个数为z，且 有
z = p 2R 若z = 0，说明闭环特征根均在s左半平面，闭环系 统是稳定的; 若z 0，说明闭环特征根在s右半平面有z 个根，闭环系统是不稳定的。
D(j) = (j + p1)(j + p2) =D1(j) D2(j) 当 = 0，D(j) = D1(j) + D2(j) = 0 当， D(j) = /2 + /2 = 2 /2
Arg[D( j)]= Arg[D1( j)] + Arg[D2( j)]= 2 /2
闭环系统是不稳定的
21
（2）开环有积分环节的系统
Gk ( s ) k s
v
j 0+
G0 ( s )
由于开环极点因子1/ s ，既不在 的s 左半平面，也不在的s 右半平面， 开环系统临界稳定。在这种情况下， 不能直接应用奈氏判据。
0 如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此， 在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无穷 小的半圆，绕过原点。 相应地，在G(j)H(j)平面上开环极坐标图在 =0时， 小半圆通过G(j)H(j)映射到G(j)H(j)平面上是一个半 径为无穷大，逆时针旋转v • 90° 的大圆弧。如此处理之 22 后，就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。
5-4 频域：奈氏 判据PPT课件
Im
Im
0 (1, j0) ＋
0
Re
(1, j0)
_
0
0
Re
G( j )H ( j )
G( j )H ( j )
7
如果G(jω)H(jω)按逆时针方向铙(-1, j0) 一周， 则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点
(-1, j0) 一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和 即为G(jω)H(jω)包围的圈数。故奈氏判据又可表述 为：
注意：这里对应的ω变化范围是 0 。 8
例: 某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分
布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次 负穿越，因为：N= N N 2 ,1 1
P为开环传递函数在s右半平面的极点数。 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 P 0 则闭环系统稳定的充要条件是：在 L() 0 的频段 内，相频特性 () 在 线上正负穿越次数代数和为 零。或者不穿越 线 。
11
五、 稳定裕量
人们常用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面 上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定 程度。一般来说，G(jω)H(jω)离开（-1，j0）点越远， 则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB
0 Re
0
( )
0
c
10
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈 判据可表述如下：
闭环系统稳定的充要条件是：当 由0→∞变化
时，在开环对数幅频特性 L() 0 的频段内，相频特 性 () 穿越的次数（正穿越 N 与负穿越 N 次数之 差）为 P 2 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P 在右半面的个数
的极点
开环传递函数(s)k G R 0
R 00j ,1-
-
(s)
k ><+∞→∞
=右手式，逆时针，左手式，顺时针，）的次数包围（全闭合曲线开环传递函数R G ωZ
在右半面的个数
的极点
闭环传递函数(s)b G P
)(2−+−N N Z
在右半面的个数
的极点
开环传递函数(s)k G -
k N -N -1-,-0(s)，负穿越，，正穿越，）次数穿越负实轴（半闭合曲线开环传递函数+→→+∞+∞→=+ωG 在右半面的个数
的极点
闭环传递函数(s)b G
例题1：已知系统开环传递函数)
1)(1)(1()(321+++=
s T s T s T K
s G k 和其)0[∞+∈，ω时的幅相
曲线
j
1-，试分析该系统的稳定性
求解：无积分环节 0=P
2)10(2)(2−=−=−=−+N N R 2=−=R P Z 闭环不稳定
例题2：已知系统开环传递函数)
1)(1(21++=
s T s T s K
G k 和其)0(∞+∈，ω时的幅相曲线
+
=0ω，试分析该系统的稳定性
求解：有积分环节，且阶次1=v ，需做补线
补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2
π
×
v 的大圆弧 0=P
0)00(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定
例题3：已知系统开环传递函数)
1(2+=
Ts s K
G k 和其)0(∞+∈，ω的幅相曲线
，试分析该系统的稳定性
求解：有积分环节，且阶次2=v ，需做补线
补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2
π
×
v 的大圆弧 0=P
2)10(2)(2−=−=−=−+N N R 2=−=R P Z 闭环不稳定
例题4：已知)
1()
1(221++=
s T s s T K G k 和
ω
求解：有积分环节，且阶次2=v ，需做补线
补线为：从0=ω到+
=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2
π
×
v 的大圆弧 0=P
0)00(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定
例题5：已知3s
K G k =
和
求解：有积分环节，且阶次3=v ，需做补线
补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2
π
×
v 的大圆弧 0=P
2)10(2)(2−=−=−=−+N N R 2=−=R P Z 闭环不稳定
例题6：已知3
21)
1)(1(s
s T s T K G k ++=
和
=ω
求解：有积分环节，且阶次3=v ，需做补线
补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2
π
×
v 的大圆弧 0=P
0)11(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定
例题7：已知)
1)(1)(1)(1()1)(1(432165++++++=s T s T s T s T s s T s T K G k 和
+=0ω
求解：有积分环节，且阶次1=v ，需做补线
补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2
π
×v 的大圆弧
0=P
0)11(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定
例题8：已知1
−=Ts K
G k 和 j
1
-
求解：无积分环节
1=P
1)02
1
(2)(2=−=−=−+N N R
0=−=R P Z 闭环稳定
例题9：已知1
+−−=Ts K
G k 和
j
1
-
求解：无积分环节
1=P
0)00(2)(2=−=−=−+N N R 1=−=R P Z 闭环不稳定
例题10：已知)
1(+=Ts s K G k 和
=0ω
求解：有积分环节，且阶次1=v ，需做补线
补线为：从0=ω到+=0ω，顺时针补半径为∞，角度为2
π
×
v 的大圆弧 0=P
0)00(2)(2=−=−=−+N N R 0=−=R P Z 闭环稳定
说明，对积分项作处理，用ε+s 带入积分项
)1
arctan (arctan
222211)(jT )(j )(1)
(Ts )(s )s (ω
εωω
ωεωεωωεT j k k e
T K
K j G K
G +−++=++=
++=
当0=ω时，
=∞
⇒=0
)()(ω
θε
ωK M
（4）两图对应关系。