奈奎斯特稳定判据

(s)
F(s)平面 Re
6
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也 将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS 决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有
F (s) F (s2 ) F (s1)
im1 (s2
zi )
n
(s2
j 1
1 GH
1 Gk
……………..(c)
显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的
阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：
n
(s zi )
F(s)
i 1 n
。式中， zi , p j 为F(s)的零、极点。
(s pj)
j 1
由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：
F(s)的极点为 开环传递函数的极点；
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
18
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西辐角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环
频率特性Gk(jw)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向
线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方 向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。
s平面
2
F (s)平面
Cs顺时针
示意图 CF 顺时针
若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；
若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点；
若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。
对于一个复变函数
做一条曲线CS包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特 路径。如下图所示。它可分为三部分：
Ⅰ
0
e jw
Cs
Ⅲ Ⅱw
19
① 正虚轴： s jw w 0
② 右半平面上半径为无穷大的半圆： s R e j，R ，从 22
③ 负虚轴： s jw w 0
F(s)平面上的映射是这样得到的：
F (s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个S平面上变化，对
于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个
值与之对应。
[例]设：
F(s) s 2 s
ds (1, j1)
2
A BC
s平面
H
D
2 a 1
1.5
1
0.5
0
D
-0.5
E G A
GFE
CS顺时针
-1 -1.5
C
-2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)， CF应顺 时针包围原点Z次。
12
⒊ 围线CS只包围极点不包围零点
这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS 顺时针绕行一周时，因子(s+0)-1的辐角-b将变化360°。映射到
映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。
注意，虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然 而逆过程往往并非如此。例如已知
F(s)
K
s(s 1)( s 2)
s(s 1)(s 2) K F (s)
这个函数在有限的S平面上除S=0,－1, － 2以外均解析，除此三 点外，S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点，但是 F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说 明方式就是将方程改写成
F(s)的零点为 闭环传递函数的极点；
17
奈奎斯特为了应用柯西辐角原理研究闭环系统的稳定性， 因此设想：
如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据 柯西辐角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：
N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数 =闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1
A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2. 围线CS只包围零点不包围极点
如图所示围线CS包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角a，当 变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平 面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于-360°。
p
j
)
im1 ( s1
zi )
n
(s1
j 1
p j )
im1 (s2
zi )
m
(s1 i 1
zi
)
n
j 1
(s2
pj)
n
(s1
j 1
p
j
)
m
n
(s zi ) (s p j )
i 1
j 1
例
F (s) F (s2 ) F (s1)
F(s) s 2 s
(s2 2) (s2 0) (s1 2) (s1 0)
F (s) F (s2 ) F (s1) 00 1800 (450 1350 ) 900
F (s)平面
df (0, j1)
8
1. 围线CS既不包围零点也不包围极点
如图所示，在S平面上当变点s沿围线 CS按顺时针方向运动一周时，我们 来考察F(S)中各因子项的辐角的变化 规律。 现以图中未被包围的零点-2为例。当 变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)的 辐角a的变化为0°。
14
[柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包 围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲 线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方 向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。
若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点； 若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点； 若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。
F(S)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。
2 F
1.5
s平面 A B C
1
G
E
0.5
2
H
1
Baidu Nhomakorabea
b
D
0H -0.5
D
GF E
CS顺时针
-1 A
C
-1.5
B -2
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
同理，当围线CS的内域只包含P个极点时， CF应逆时针包围原点 13 P次，或者说， CF顺时针包围原点－P次。
第Ⅰ部分的映射是Gk(jw)曲线向右移1；
第Ⅱ部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高， 所以当s=∞·ej 时， Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子阶 数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。 第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分的映射关于实轴的对称。
②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线 F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。
7
(s2 2) (s1 2) (s2 0) (s1 0)
[例]设：F(s) s 2 ，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从
s
(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)
到(-1，-j0) ，相角的变化为：
s平面
ds (1, j1)
2 1
③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就 是Gk(s)在右半平面的极点数。
21
F平面 Im Gk平面
4
4
3
3
2
2
F平面 原点 1
1 Gk平面原点
-2
-1 0 w =1∞ 2
3
4
5
Re
-2
-1
0
12
3
4
5
Gk平面 -1
-1
(-1,j0)
点 -2 -2
w= 0
-3 -3
-4 -4
⒋ 围线CS包围Z个零点和P个极点
由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺 时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。
这就是所谓辐角原理。
2
F
1.5
s平面
1
A
B
C
0.5
E
H
2 1
D
0 -0.5
HG A
D
G
F
E
-1
CS顺时针
-1.5
-2
C B
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
① 以 s = jw 代入F(s)，令w 从0→∞变化，得第一部分的映射； ② 以 s=R·ej 代入F(s)，令R→∞， : ，得第二部分的映
22
射；
③ 以 s = jw 代入F(s)，令w从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西辐角定理计算 N = Z－P，式 中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。
4
现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量
来表示，即当
m
K (s1 zi )
F (s1)
i 1 n
(s1 p j )
j 1
m
m
K
F (s1) F (s1) e jF (s1)
i1 n
s1 zi e j(s1zi )
K i1
n
s1 zi
m
n
e j
23
[例5-6]开环传递函数为：Gk 断闭环系统的稳定性。
(s)
(T1s
K 1)(T2s
，试用奈氏判据判
1)
[解]：
Im
A(w)
K
1 T12w 2 1 T22w 2
15
二、奈奎斯特稳定判据：
奈奎斯特当年就是巧妙地应用了辐角原理得到了奈奎斯特 稳定判据。设系统结构图如图所示
Gk (s) G(s)H (s)
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
令： G(s) M1(s) , H (s) M 2 (s)
N1 ( s)
N2 (s)
R(s)
C(s)
G(s)
H (s)
第四节 奈奎斯特稳定判据
1
一、辐角定理： 对于一个复变函数
F (s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
式中-zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点， -pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点。
[柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包 围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲
则开环传递函数为：Gk
(s)
M1(s)M 2 (s) N1(s)N2 (s)
闭环传递函数为：(s) M1N2 M1M 2 N1N2
…………… (a) …………… (b)
16
将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：
F(s)
M1M 2 N1N2 N1 N 2
1 M1 M2 N1 N2
若已知P，并能确定N，可求出Z = N + P 。当Z = 0时，系统 稳定；否则不稳定。
20
第2个问题：如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将
它和开环频率特性Gk(jw)相联系？
奈奎斯特所构造的的F(s)＝1＋Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。
①由Gk(jw)可求得F(jw) ，而Gk(jw)是开环频率特性。
s平面
2 1
F (s)平面
d f (0, j1)
3
F(s)
K (s z1)(s z2 )(s zm ) (s p1)(s p2 )(s pn )
F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部
零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面
上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点，
同理，对未被包围的极点也是一样， 因子项(s+0) 的辐角b在变点s沿CS绕 行一周后的变化也等于0°。
于是，映射到F(S)平面上，当变点 F(s)沿CF绕行一周后的辐角变化也应 等于0°。这表明，围线CF此时不包 11 围原点。
s平面
◎
A BC
2
1 a
H
1
2
D
3
b
GF E
CS顺时针
2
1.5
F ( s)平面
i
1
(
s1
zi
)
j
1
(
s1
p
j
)
s1 p j e j(s1 p j )
s1 p j
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
j1
5
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
• Re
Im
•
F(s)
闭环系统稳定的充分必要条件为：在 Gk(s)平面上的开环频率特
性曲线及其镜象当w从－∞变化到+∞时，将以逆时针的方向围绕
(－1，j0)点P圈。 对于开环系统稳定的情况，P=0，则闭环系统稳定的充分必
要条件是开环频率特性曲线及其镜象不包围(－1，j0)点。 不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：Z = N + P。
22
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P 个极点，且开环频率特性曲线对(－1，j0)点包围的次数为N， （N > 0顺时针，N < 0 逆时针），则闭环系统在右半平面的极点 数为：Z = N + P。若Z = 0 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。
[奈奎斯特稳定判据的另一种描述]： 设开环系统传递函数Gk(s)在右半s平面上的极点数为P，则