奈奎斯特稳定判据
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奈奎斯特稳定性判据
(c)(2k1)180
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数；
—N 相 频特性曲线正穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， 自下(而) 上穿越 (2k线1的)次18数0 ，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， (自 )上而下穿越 (2k1)线18的0次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G (s) G 1 (s)G 2 (s)G 3 (s).G .k .(s.)..
L ( () ) 2 G l( G 0 g j(j )H ) ( H j(j ) ) G 2 1 l G 0 g G 1 2 2 l G 0 g G 2k 2lG 0 g k
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)
由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N ；N 发散不稳定的充分条件是 N 。N 当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, 左j0)右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数；
—N 相 频特性曲线正穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， 自下(而) 上穿越 (2k线1的)次18数0 ，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L() 0 对应的频率范围内， (自 )上而下穿越 (2k1)线18的0次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算；
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G (s) G 1 (s)G 2 (s)G 3 (s).G .k .(s.)..
L ( () ) 2 G l( G 0 g j(j )H ) ( H j(j ) ) G 2 1 l G 0 g G 1 2 2 l G 0 g G 2k 2lG 0 g k
Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
一、奈奎斯特稳定性判据
【3 奈奎斯特稳定性判据】
由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2)
由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N ；N 发散不稳定的充分条件是 N 。N 当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, 左j0)右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
乃奎斯特稳定判据
显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子 分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：
F (s)
(s z )
i
n
(s p
j 1
i 1 n
。式中， zi ,pj 为F(s)的零、极点。
j
)
由(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
2 T T s ( T T ) s k 1 0 1 2 1 2
由劳斯—赫尔维茨判据知闭环系统是稳定的。
15
[例7]设开环系统传递函数为： G ，试用乃氏 s ) k( 2 ( s 1 )( s 2 s 5 ) 判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为-1， -1 j2，都在s左半平面， 所以 。乃氏图如 P k 0 右。从图中可以看出： 乃氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环 系统在s右半极点数 为： ， Z N P 2 0 2 k k 所以闭环系统是不稳定 的。
三、乃奎斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：
具有开环0值极点系统，其开环传递函数为：
Gk (s) k ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n m
G k ( s )不解析， 可见，在原点有 重0极点。也就是在s=0点， 若取乃氏路径同上时（即通过虚轴的整个s右半平面），不满足 柯西幅角定理。为了使乃氏路径不经过原点而仍然能包围整个s 右半平面，重构乃氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小 做右半圆。这时的乃氏路径由以下四部分组成：
18
上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有 开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角 定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上 （原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系 统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特路径。
奈奎斯特稳定判据
二、控制系统的频域稳定性判据
3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）
⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据
四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180
-
+
四、伯德图上的稳定性判据
由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-
由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域
4.4 奈奎斯特稳定判据
4.4.1 幅角原理
设为一单值复变函数，其零极点图如图 4.5(a)所示。在 s S平面上取一封闭曲线，记为 ，要求 s 不通过 s F(s)的任一极点和零点。设 包围了F(s)的Z个零点 s 和P个极点。记 在F平面上的映射为 F ，因为 F(s)为一单值复变函数，所以， F 是惟一的，也是 一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。
则
0
lim G ( j ) H ( j )
lim G( j ) H ( j ) 0
0
lim G ( j ) H ( j )
2
3 lim G ( j ) H ( j ) 2
奈氏曲线与实轴的交点：将频率特性化为代数 形式： 令
为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏曲线的 下列特征： ① 0 的映射； ② 的映射； ③奈氏曲线与实轴的交点； 根据这些映射点画出 对应的奈氏曲线， 然后根据奈氏曲线关于实轴的对称性,画出 的奈氏曲线 0 。 ④奈氏路径中小半圆的映射。
小半圆上的点可以表示为:
G( j ) H ( j ) K (T1 T2 ) (1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 j K ( 2T1T2 1)
[(1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 ]
Im G( j ) H ( j ) V ( ) 0
4.4.2 奈奎斯特稳定判据
判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征 方程在右半平面有没有极点。下பைடு நூலகம்将幅角原理应用于 稳定性分析。 为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几 项工作。 1）取 F(s)=1+G(s)H(s)：当 G(s)与 H(s) 没有零、极点对 消时， F(s) 的零点就是系统的全部闭环极点或特征根， F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)存在零、 极点对消时， F(s) 的零点加上对消掉的开环极点，就 是系统的全部闭环极点。 下面先讨论 G(s) 与 H(s) 没有零、极点对消的情况， 导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明 G(s) 与 H(s)有零、极点对消时的处理方法。
(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据
在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )
( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
奈奎斯特稳定判据
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个
F(s)的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在
F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数。
+
5. 4 . 3 奈氏判据
（1）0型系统
0
s为包围虚轴和整个右半平面。
s平面s 映射 F(s)
解：① 由开环传递函数知 P = 1 。 ② 作系统的开环对数频率特性曲线。
() = 90 + arctanT2 (180 arctanT1 )
270
arctan
(T1 1
T2 ) 2T1 T2
当() = 180时，g =(1/T1T2)1/2 ，A(g)=kT2
③ 稳定性判别。 G(s)H(s)有一个积分环节N =1 ，故
开环极坐标图如图
j
01
19
k(0.1s 1) Gk (s) s(s 1)
=0
Im
增补线
1 0.1k
Re 0
(3) 稳定性判别: 因为是1型系统，需作增补线如图
当 0.1k < 1 ，k > 10时， R =1/2，z = p 2R = 0
闭环系统是稳定的。
20
5.4.4 伯德图上的稳定性判据
Im
() 1
(+)
0
由图可知，幅相曲线 不 包 围 (1 ， j0) 点 。 此 结
Re 果也可以根据 增加时幅
相曲线自下向上(幅角减 小)和自上向下(幅角增加) 穿越实轴区间(，1)的 次数决定。
R = N N
自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴
区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。
5-4 奈奎斯特稳定判据
2
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数)s( F 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 ) s ( F 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，的开环传递函数为
比较式（5—107）和式（5—106）可知，
辅助函数 F (s) 的零点 Z i ( i = 1, 2 , … … , n ) 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 1 + G(s) H (s) = 0 的根。因此，如果辅助函数 F (s )的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
5-4
奈奎斯特稳定判据
第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 位于S平面右半部的 零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法， 它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解 析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼 有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概 1 念。
F (s) = ( s − z 1 )( s − z 2 )( s − z 3 ) ( s − p 1 )( s − p 2 )( s − p 3 )
（5-110）
其零、极点在S平面上的分布如图 5—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ,
Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点S 1 , 其对应的辅助函数 F ( s1 ) 的幅角应为
（一）S平面与F (s ) 平面的映射关系
假设复变函数)s( F 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则 函数,也就是说 ) s ( F 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析 点，的开环传递函数为
比较式（5—107）和式（5—106）可知，
辅助函数 F (s) 的零点 Z i ( i = 1, 2 , … … , n ) 即闭环传递函数的极点，即系统特征 方程 1 + G(s) H (s) = 0 的根。因此，如果辅助函数 F (s )的零点都具有负的实部，即 都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
5-4
奈奎斯特稳定判据
第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 位于S平面右半部的 零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法， 它依据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解 析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼 有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概 1 念。
F (s) = ( s − z 1 )( s − z 2 )( s − z 3 ) ( s − p 1 )( s − p 2 )( s − p 3 )
（5-110）
其零、极点在S平面上的分布如图 5—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ,
Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点S 1 , 其对应的辅助函数 F ( s1 ) 的幅角应为
奈魁斯特稳定判据
Im
(a)由于 v 2 因此首先补上ω从0到
0
-1
0＋部分；又因P＝0，所以该部分起 Re 于正实轴。由图可见，不存在穿越，
0
即N＋－N－＝0，所以不稳定的极点
数为
（a） 2, P 0
z P 2( N N ) 0 2(0 0) 0
所以，闭环系统稳定。
0
Im
0
以s代 jω ，得： F ( j) 1 G( j)H ( j) ( j s1)( j s2 ) ( j sn ) ( j p1)( j p2 ) ( j pn )
上式即为开环频率特性和闭环特征式的关系。
二、奈奎斯特稳定判据
1、幅角定理： 在辅助函数中，以某一根si为例，在复平面上随频率ω的变
化(jω在虚轴上移动)，向量(jω- si)的辐角 j si 也在变化。
如果si位于虚轴左侧，那么当ω由 时，向量(jω- si)逆时
针转180°，则有
( j si )＝
:
如果si位于虚轴右侧，则有
( j si )＝
:
因为复数相乘，幅角相加。如果系统特征方程n个根全部在虚轴 左侧（系统是稳定的），则有
例: 已知系统开环传递函数
G(s)H (s)
100
(s 1)(s 2)(s 3)
试用奈氏判据判断闭环状态的稳定性。
解：开环系统有三个特征根: p1 1, p2 2, p3 3 三个特征根均在虚轴左侧（开环稳定，即P=0）
首先绘制出幅相特性图： ①特性曲线的起点（ω＝0）在实轴上； ②终点（ω∞）是以－270°进入原点； ③求系统开环幅相特性曲线与负实轴的交点值
:0
2
如果系统闭环后是稳定的，闭环特征方程的n个根应均在虚轴左
54-5 奈奎斯特稳定性判据
P183
曲线Γs包围一个F(s)的极点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，
因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此ΓF逆时针绕F平面零点一周，
(S+Pi)的相角积累是-2π角度。 幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函
数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的Z 个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平面 上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。 当N>0，表示曲线CF以顺时针方向旋转；
G( s ) K s(T1 s 1)(T2 s 1)
G( j 0) 0
解：依题有 G( j 0 ) 90
G( j) 0 270
K1 (小)
N 0
(稳定)
K
Z P N 00 0
K 2 (大)
N 2
(不稳定)
Z P N 02 2
2)T1 T2，G( j ) H ( j )曲线穿过 (1, j 0)点，说明闭环系统 有一对虚根，闭环系统 不稳定 ；
3) T1 T2，Z N 说明闭环系统有两个极点 P 2 0 2，
右方，故闭环系统不稳定。 在S平面的
例7：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。
zdkzcjlueducn22855频域稳定判据系统稳定的充要条件全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数不解根判定系统稳定性不能研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能代数稳定判据routh判据由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题频域稳定判据nyquist判据对数稳定判据
-j∞
G( jω )
曲线Γs包围一个F(s)的极点，当S1沿Γs顺时针连续变化一周，
因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此ΓF逆时针绕F平面零点一周，
(S+Pi)的相角积累是-2π角度。 幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函
数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的Z 个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平面 上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。 当N>0，表示曲线CF以顺时针方向旋转；
G( s ) K s(T1 s 1)(T2 s 1)
G( j 0) 0
解：依题有 G( j 0 ) 90
G( j) 0 270
K1 (小)
N 0
(稳定)
K
Z P N 00 0
K 2 (大)
N 2
(不稳定)
Z P N 02 2
2)T1 T2，G( j ) H ( j )曲线穿过 (1, j 0)点，说明闭环系统 有一对虚根，闭环系统 不稳定 ；
3) T1 T2，Z N 说明闭环系统有两个极点 P 2 0 2，
右方，故闭环系统不稳定。 在S平面的
例7：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。
zdkzcjlueducn22855频域稳定判据系统稳定的充要条件全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数不解根判定系统稳定性不能研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能代数稳定判据routh判据由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题频域稳定判据nyquist判据对数稳定判据
-j∞
G( jω )
奈奎斯特稳定判据
s jw
w 0
F(s)平面上的映射是这样得到的：
① 以 s = jw 代入F(s)，令w 从0→∞变化，得第一部分的映射；
② 以 s=R·ej 代入F(s)，令R→∞， :
，得第二部分的映射；
22
③ 以 s = jw 代入F(s)，令w从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西辐角定理计算 N = Z－P，式中Z、P是F(s)在s右 半平面的零点数和极点数。
令： G(s) M1(s) , H (s) M 2 (s)
N1 ( s)
N2 (s)
R(s)
C(Hale Waihona Puke )G(s)H (s)
则开环传递函数为：
闭环传递函数为：
16
Gk
(s)
M1(s)M 2 (s) N1(s)N2 (s)
(s) M1N2 M1M 2 N1N2
…………… (a) …………… (b)
将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
5 j1
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
•
Re
6
Im
•
F(s)
(s)
F(s)平面 Re
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF ，该 曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变 化量，则有
22
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率
奈奎斯特-判据
：0
Gk
(
j)
0
当 p 0时，开环极坐标的轨线围绕 ( 1，j0点) 的角度增量为 2 p，π 即
：0
Gk
(
j)
2
pπ
1.3奈奎斯特判据在伯德图中的应用
在应用奈奎斯特判据判断系统的稳定性时，首先要在 G( j) 平面上作出开 环系统的幅相频率特性曲线，即 Gk ( j轨)线（也称奈奎斯特图，简称奈氏图）；
（2）当 p 0时，系统的开环极点全部位于s左半平面上，则上式变为
F ( j) 0
或
：0
：0
[1
Gk
(
j
)]
0
即角度增量为0，或者说 F ( j) 的轨线不包围原点。
不稳定系统与稳定系统的 F ( j) 轨线与角度增量如下图所示。 不稳定系统与稳定系统的轨线与角度增量
F( j平) 面就是 1 Gk ( j)平面，因此， F( j平) 面的原点就等于 G( j平) 面的
点。(开1环，j频0)率特性
的幅G相k频( j率)特性曲线（极坐标图）是画在
G( j) 平面上的，所以可以利用系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。
此时，相对于 G( j)平面上 (1，j0) 点的角度增量，奈奎斯特判据的描述修 改为
当 p 0时，开环极坐标的轨线围绕 (1，j0点) 的角度增量为零，即
2．对数频率特性图上的正负穿越
开环系统的幅相频率特性与对数频率特性的对应关系如下。 （1）幅相频率特性图上的单位圆对应于对数频率特性图上的0 dB线。
（2）幅相频率特性图上的负实轴对应于对数频率特性图上的 180相位线。
由此可知，对数频率特性图上的正负穿越为：在对数频率特性图上 L() 的0
奈奎斯特稳定性判据课件
在多变量系统和非线性系统的 分析中，奈奎斯特稳定性判据 具有重要的应用价值。
03
判据的数学模型
模型建立
01
02
03
确定系统传递函数
首先需要确定控制系统的 传递函数，包括开环和闭 环传递函数。
绘制极坐标图
将传递函数转换为极坐标 形式，以便于分析系统的 频率响应特性。
确定临界频率
根据系统的开环和闭环传 递函数，确定系统的临界 频率。
。
在生物医学工程、环境 工程等领域，利用奈奎 斯特稳定性判据研究复 杂系统的动态行为和稳
定性问题。
TH 据的未来发展
研究方向
深入研究奈奎斯特稳定性判据 的数学原理，探索其在控制系
统中的更广泛应用。
结合现代控制理论和算法， 发展新的稳定性分析方法。
研究奈奎斯特稳定性判据与其 他稳定性判据的关系，完善稳
定性理论体系。
技术发展
1
利用计算机技术和数值计算方法，提高奈奎斯特 稳定性判据的运算效率和精度。
它提供了一种有效的数学方法来分析系统的动态行为，帮助工程师预测系 统的性能和行为。
判据的应用场景
控制系统设计
在控制系统设计中，奈奎斯特稳 定性判据用于分析控制系统的稳 定性和性能。
通信系统分析
在通信系统中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号传输的稳定性 和可靠性。
信号处理
在信号处理中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号的频域特征和 系统的稳定性。
2
开发适用于不同控制系统的奈奎斯特稳定性判据 分析工具。
3
探索将奈奎斯特稳定性判据应用于非线性控制系 统的方法。
应用前景
01
02
03
在航空航天、电力、化 工等领域，利用奈奎斯 特稳定性判据优化控制 系统的设计和性能。
03
判据的数学模型
模型建立
01
02
03
确定系统传递函数
首先需要确定控制系统的 传递函数，包括开环和闭 环传递函数。
绘制极坐标图
将传递函数转换为极坐标 形式，以便于分析系统的 频率响应特性。
确定临界频率
根据系统的开环和闭环传 递函数，确定系统的临界 频率。
。
在生物医学工程、环境 工程等领域，利用奈奎 斯特稳定性判据研究复 杂系统的动态行为和稳
定性问题。
TH 据的未来发展
研究方向
深入研究奈奎斯特稳定性判据 的数学原理，探索其在控制系
统中的更广泛应用。
结合现代控制理论和算法， 发展新的稳定性分析方法。
研究奈奎斯特稳定性判据与其 他稳定性判据的关系，完善稳
定性理论体系。
技术发展
1
利用计算机技术和数值计算方法，提高奈奎斯特 稳定性判据的运算效率和精度。
它提供了一种有效的数学方法来分析系统的动态行为，帮助工程师预测系 统的性能和行为。
判据的应用场景
控制系统设计
在控制系统设计中，奈奎斯特稳 定性判据用于分析控制系统的稳 定性和性能。
通信系统分析
在通信系统中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号传输的稳定性 和可靠性。
信号处理
在信号处理中，奈奎斯特稳定性 判据用于分析信号的频域特征和 系统的稳定性。
2
开发适用于不同控制系统的奈奎斯特稳定性判据 分析工具。
3
探索将奈奎斯特稳定性判据应用于非线性控制系 统的方法。
应用前景
01
02
03
在航空航天、电力、化 工等领域，利用奈奎斯 特稳定性判据优化控制 系统的设计和性能。
第4讲_5.5奈奎斯特稳定判据
2014-12-22 第五章 频率响应 16
GH
K 1 (T2 ) 2
() 180 arctanT2 arctanT1
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 (1 (T1 ) 2 ) 2 (1 (T1 ) 2 )
2014-12-22
第五章 频率响应
13
例4
K
K GH 2 ，K 0，T 0 S (1 TS )
解 : G ( j )
2 1 T 2 2
() 180 arctanT
因为 p 0， N 2 P Z， 所以 z 2 闭环系统不稳定。
Z = P -2（ N’+ - N’- ）
由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定性，而串联 比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要 选择合适的参数。
2014-12-22 第五章 频率响应 20
三、奈氏判据在对数坐标图上的应用
由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈 奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来 进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以 回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳 定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参 数对系统稳定性的影响。
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）； 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
2014-12-22
第五章 频率响应
2
一、幅角原理
令F (S )
K ( s z1 )(s z2 ) (s zn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则
GH
K 1 (T2 ) 2
() 180 arctanT2 arctanT1
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 (1 (T1 ) 2 ) 2 (1 (T1 ) 2 )
2014-12-22
第五章 频率响应
13
例4
K
K GH 2 ，K 0，T 0 S (1 TS )
解 : G ( j )
2 1 T 2 2
() 180 arctanT
因为 p 0， N 2 P Z， 所以 z 2 闭环系统不稳定。
Z = P -2（ N’+ - N’- ）
由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定性，而串联 比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要 选择合适的参数。
2014-12-22 第五章 频率响应 20
三、奈氏判据在对数坐标图上的应用
由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈 奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来 进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以 回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳 定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参 数对系统稳定性的影响。
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）； 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
2014-12-22
第五章 频率响应
2
一、幅角原理
令F (S )
K ( s z1 )(s z2 ) (s zn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则
自动控制原理--奈奎斯特稳定判据及应用
Ⅱ
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
奈奎斯特稳定性判据概要
在 c 的g条件下，当系统参数有微小变化使 时c， g 会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反，在这种条 件下，称系统为临界稳定。
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G(s) G1(s)G2(s)G3(s)...... Gk (s)
奈奎斯特稳定性判据
韩围线】
奈奎斯特围线是如下点的集合：s平面上j轴上除 了极点外所有点的集合，加上 j轴上极点处半径为 无穷小右半圆上点的集合，再加上右半s平面半径 为无穷大半圆上点的集合。
【2 奈奎斯特曲线】
奈奎斯特曲线是s平面上奈奎斯特围线，按 G(s)规H (s) 则在平面 G(s上)H的(s影) 射。
3) 低频段
ω<ωmin：Laa
( (
) )
由K和积分环节决定.
La
(
)
20 lg 1 s
K 水平线
20dB / dec斜
线
(
)
00 线 900
线
位置确定：① 在ω<ωmin上任取ω0，计算 20lg K 20lg0
Ts 1:
00 900
1 (s /n)2 2 (s /n ) 1 :
0 1800
s
n2
2
2 n
s1:
0 1800
1 :
900 900
s
s:
900 900
Ts 1:
00 900
1 (s / n )2 2 (s / n ) 1 :
0 1800
当
s 2 2 G(jωn2)H(jωn)
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G(s) G1(s)G2(s)G3(s)...... Gk (s)
奈奎斯特稳定性判据
韩围线】
奈奎斯特围线是如下点的集合：s平面上j轴上除 了极点外所有点的集合，加上 j轴上极点处半径为 无穷小右半圆上点的集合，再加上右半s平面半径 为无穷大半圆上点的集合。
【2 奈奎斯特曲线】
奈奎斯特曲线是s平面上奈奎斯特围线，按 G(s)规H (s) 则在平面 G(s上)H的(s影) 射。
3) 低频段
ω<ωmin：Laa
( (
) )
由K和积分环节决定.
La
(
)
20 lg 1 s
K 水平线
20dB / dec斜
线
(
)
00 线 900
线
位置确定：① 在ω<ωmin上任取ω0，计算 20lg K 20lg0
Ts 1:
00 900
1 (s /n)2 2 (s /n ) 1 :
0 1800
s
n2
2
2 n
s1:
0 1800
1 :
900 900
s
s:
900 900
Ts 1:
00 900
1 (s / n )2 2 (s / n ) 1 :
0 1800
当
s 2 2 G(jωn2)H(jωn)
(3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个
奈奎斯特稳定性判据
一、奈奎斯特稳定性判据 【4 Nyquist相曲线的绘制】
开环幅相曲线的绘制 精确曲线 ——由表达式取点，计算，描点。 概略曲线 ——工程方法。 概略幅相曲线的三要素：
0 1）起点： A( ), ( ) 终点：
2) 与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率ωx； 3) 曲线变化范围：象限，单调性。
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
0.05 K 20 K 50 K , , 500 500 500
闭环系统渐近稳定的条件：
K K 20 1 0.05 500 500
或
1 50
K 500
由 20
K K 1 0.05 500 500
得 25 K 10000 得 0 K 10
【解答】 (2)
系统稳定性
Z P 2( N N_ ) 0
P 1, v 1
系统为渐近稳定系统。
三、例题详解
【例5】 某负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为
10 G(s) H (s) s(0.2s 2 0.8s 1)
试:（1）画出半奈奎斯特曲线； （2）判定系统的稳定性。
二、对数频率特性稳定性判据
由式（3）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (4)
由式（3）还可知：渐近稳定的必要条件是 N N； 发散不稳定的充分条件是 N N 。
在 c g 的条件下，当系统参数有微小变化使 c g 时，会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反，在这 种条件下，称系统为临界稳定。
三、例题详解
【解答】 (1)
半奈奎斯特曲线
10 G( s) H ( s) s(0.2s 1)( s 1)
自动控制原理5奈魁斯特稳定判据
Friday, May 22, 2020
7
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环 频率特性GH( j)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向
做一条曲线s包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特 路径。如下图：
我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此 开环频率特性是已知的。设想：
如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据 柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：N F (s) |右半零点数 F (s) |右半极点数
闭环系统右半极点数 开环系统右半极点数 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
Friday, May 22, 2020
9
①中由，分Gk母( j阶)可数求比得分F子( j阶)数，高而，Gk所( j以)是当开s 环 频 率e特j 性时。，G一k (般s) 在G0k
d f (0, j1)
Friday, May 22, 2020
4
同样我们还可以发现以下事实：s平面上As BsCs Ds Es FsGs H s曲线 s 映射到F(s)平面的曲线为 s ，如下图：
s平面 As Bs
Hs
2 1
Gs Fs
Cs
F (s)平面
Ds
s顺时针
Es
示意图 f 逆时针
曲线 s是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0）， 不包围其零点（-2）；曲线f 包围原点，且逆时针运动。
N1 ( s)
N2 (s)
奈奎斯特稳定判据
由此推论，若s平面上的闭合曲线 以顺时针方向包围
的z个零点，则在
平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转z周。
如果s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着
的一个极点
旋转一
周，则向量
的相角变化了
。由式（5－42）可知，
的相角
变化了
。这表示
平面上的映射曲线 按逆时针方向围绕其坐标原点
一周。由此推广到一般，若s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着
（1）首先要确定开环系统是否稳定，若不稳定，则P为多少？
（2）作出奈氏曲线 曲线，然后以实轴为对称轴，画出 氏曲线。
。具体作图时可先画出 从0到
的一段
从0到
的另一段曲线，从而得到完整的奈
（3）计算奈氏曲线
对点（－1，j0）按顺时针方向的包围圈数N。
（4）根据辐角原理确定Z是否为零。如果Z＝0，表示.闭环系统稳定；反之， ，表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面
11.01.2011
控制理论
Seite 8 von 15
把上述 和 了。
部分在GH平面上的映射曲线和
的奈氏曲线在
处相连接，就组成了一条封闭曲线。此时，又可应用奈奎斯特稳定判据
例5－6 试判别该系统的稳定性。
反馈控制系统开环传函数为
试判别该系统的稳定性。
解：由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，因而在s上所取的奈氏
的具体形状，而是它是否包围
平面的坐标原点以及围绕原点的方向和圈数，
因为它与系统的稳定性有着密切的关系。
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线
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5.4.2 幅角定理
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过
特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设
辅助函数的幅角为：
n
n
F (s) s z j s pi
j1
i 1
n
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
Im
s1
Γs
jw [s]
() 2
F(s2)
为正负半次穿越。
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
0 Re
(－1，j0)
_
0 Re
(-1, j0)
Re 0
14
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对(-1，-∞)实轴段的 正负穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不 稳定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
13
(2) 由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓
“穿越”是指轨迹穿过(-1,-∞) 段。
• 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于(-1,-∞)段的负实轴的正、负穿越称
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
7
(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)
用曲线 s j j0 j0 j j 补足开环幅相频率曲线，形成 s j j 的奈奎斯特围线，则有：
当开环传递函数G(s)H(s)中含有ν个积分环节时，则 在曲线(ω)最左端视为ω=0+处，由下至上补作v900虚线
段，找到w=0时起点，才能正确确定(ω)对-1800线的穿 越情况。
闭环右极点 个数
Байду номын сангаас
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
开环右极点 个数
奈氏曲线围绕(-1,j0)点 的次数
［Ｆ］
－１ ０
［ＧＨ］
０ １
8
(2) 奈奎斯特稳定判据
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
闭环系统稳定的充要条件是：当w由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞ 0+
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
12
e 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1，j0)点的次数Ｎ＝Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ个右极点。
[F(s)]
s2
s
0
F(s3) Re
0
s3 vF F(s1)
4
当s从s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和 极点)顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：
(1)若特征函数的零点 zj和pi极点没有被曲线Γs包围，则有：
s zj 0o
s pi 0o
(２)若特征函数的零点 zj和pi极点被包围在曲线Γs里，则有：
w
0
Re
w
16
5.4.4 对数幅频特性上的奈奎斯特判据
极坐标图 (-1,j0)点
伯德图 0db线和-180相角线
(-1, -∞)段
0db线以上区域
因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点
左边的负实轴(-1, -∞)段，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相
频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PＲ
c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
(1, j0)
Im
G( jw)H ( jw)
w
w 0 Re
L(w ) dB
0
(w )
0
wc w
w
w
17
在对数频率特性图中，闭环系统稳定的充要条件是：
当w由０→＋∞变化时， 在开环对数幅频特性L(ω)>0db的
所有频段内，对数相频特性(w)曲线对-1800线的正负穿越 次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定，且 有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
9
例: 一系统开环传递函数为： G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
w
解：本系统的开环频率特性
G( jw )H ( jw ) a jw 1
w
2
1
w 0
Re
当w j j0 j0 j 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。
w
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
N() 1 ，N() 0 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
N() 0 ，N() 0 N N() N() 0
N() 1 ，N() 1 N N() N() 0
15
＋＋ － (1, j0)
Im G( jw )H ( jw )
N() 1 ，N() 2 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，
所以系统稳定。
10
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
11
[s] +j∞
s z j 2 (顺时针 ) s pi 2 (逆时针)
5
幅角定理： 在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z
个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零 点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向转过 一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针 绕原点（ P –Z）圈。即
R=P -Z
6
5.4.3 奈奎斯特稳定性判据
由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经过
特征函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设
辅助函数的幅角为：
n
n
F (s) s z j s pi
j1
i 1
n
(s zj)
F(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
Im
s1
Γs
jw [s]
() 2
F(s2)
为正负半次穿越。
正穿越
Im
负穿越
Im
Im
半次穿越
(－1，j0)
+
0 Re
(－1，j0)
_
0 Re
(-1, j0)
Re 0
14
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线对(-1，-∞)实轴段的 正负穿越次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不 稳定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
13
(2) 由“正负穿越次数之差”来判断
G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画0→+∞部分。所谓
“穿越”是指轨迹穿过(-1,-∞) 段。
• 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N(+)表示。 • 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N(-)表示。 • 半次穿越：起始于或终止于(-1,-∞)段的负实轴的正、负穿越称
+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
7
(1) 幅角原理在闭环系统稳定性分析中的应用
特征函数 F s 1 G s H s N (s) M(s)
N (s)
用曲线 s j j0 j0 j j 补足开环幅相频率曲线，形成 s j j 的奈奎斯特围线，则有：
当开环传递函数G(s)H(s)中含有ν个积分环节时，则 在曲线(ω)最左端视为ω=0+处，由下至上补作v900虚线
段，找到w=0时起点，才能正确确定(ω)对-1800线的穿 越情况。
闭环右极点 个数
Байду номын сангаас
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
开环右极点 个数
奈氏曲线围绕(-1,j0)点 的次数
［Ｆ］
－１ ０
［ＧＨ］
０ １
8
(2) 奈奎斯特稳定判据
Ｚ＝Ｐ－Ｒ
闭环系统稳定的充要条件是：当w由－∞→＋∞变化 时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上(-1，j0)点 的次数R等于开环传递函数右极点个数P。
[GH] 0-
e→0
0+
R→∞
0 0-
w=+∞ 0 w=-∞
-j∞ 0+
m
(is 1)
G(s)H (s) s lim ee j K
i 1 nv
e 0
sv (Tj s 1)
K
ev
e jv
e 0
e jv
j 1
s lim re j
12
e 0
在极坐标图中，闭环系统稳定的充要条件是：当w由 ０→＋∞变化时， G(jω)H(jω)曲线逆时针包围[GH]平面上 (-1，j0)点的次数Ｎ＝Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定， 且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ个右极点。
[F(s)]
s2
s
0
F(s3) Re
0
s3 vF F(s1)
4
当s从s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和 极点)顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下：
(1)若特征函数的零点 zj和pi极点没有被曲线Γs包围，则有：
s zj 0o
s pi 0o
(２)若特征函数的零点 zj和pi极点被包围在曲线Γs里，则有：
w
0
Re
w
16
5.4.4 对数幅频特性上的奈奎斯特判据
极坐标图 (-1,j0)点
伯德图 0db线和-180相角线
(-1, -∞)段
0db线以上区域
因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点
左边的负实轴(-1, -∞)段，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相
频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。
a.若P=0，且 Ｒ=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；
b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PＲ
c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。
(1, j0)
Im
G( jw)H ( jw)
w
w 0 Re
L(w ) dB
0
(w )
0
wc w
w
w
17
在对数频率特性图中，闭环系统稳定的充要条件是：
当w由０→＋∞变化时， 在开环对数幅频特性L(ω)>0db的
所有频段内，对数相频特性(w)曲线对-1800线的正负穿越 次数之差为N(+)- N(-)=Ｐ／２；否则，闭环系统不稳定，且 有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)- N(-)]个右极点。
9
例: 一系统开环传递函数为： G(s)H(s) a ( a 0)
s1
试判别系统的稳定性。
Im
w
解：本系统的开环频率特性
G( jw )H ( jw ) a jw 1
w
2
1
w 0
Re
当w j j0 j0 j 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。
w
因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。
N() 1 ，N() 0 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
N() 0 ，N() 0 N N() N() 0
N() 1 ，N() 1 N N() N() 0
15
＋＋ － (1, j0)
Im G( jw )H ( jw )
N() 1 ，N() 2 N N() N() 1 Z P 2[N() N() ]
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0，
所以系统稳定。
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+j∞
0+ 0- 0
[s] F(s) 1 G(s)H(s) N(s) M(s)
N (s) ［Ｆ］
R→∞
［ＧＨ］
－１
０
０
１
-j∞
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[s] +j∞
s z j 2 (顺时针 ) s pi 2 (逆时针)
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幅角定理： 在s平面上任一封闭曲线包围了F(s)的Z
个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零 点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向转过 一周时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线逆时针 绕原点（ P –Z）圈。即
R=P -Z
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5.4.3 奈奎斯特稳定性判据