奈奎斯特稳定判据ppt课件

G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1
A
-1.5
-2
11
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2. 围线CS只包围零点不包围极点
如图所示围线CS包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角a，当 变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平 面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于-360°。
围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲
线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方 向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。
s平面
F (s)平面

Cs顺时针
示意图 CF 顺时针
2
若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；
若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点；
若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。
对于一个复变函数
F (s) K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个S平面上变化，对
于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个

im1 (s2

zi )

n
(s2
j 1

p
j
)


im1 ( s1

zi )

n
(s1
j 1

p j )

im1 (s2

zi )
m
(s1 i 1

zi
)



n

j 1
(s2

pj)

Fra Baidu bibliotek
n
(s1
j 1
i1
j1
5
Im S平面

Re

Im

F(s)
(s)
F(s)平面 Re
6
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也 将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS 决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有
F (s) F (s2 ) F (s1)
F (s)平面
df (0, j1)
8
1. 围线CS既不包围零点也不包围极点 如图所示，在S平面上当变点s沿围线 CS按顺时针方向运动一周时，我们 来考察F(S)中各因子项的辐角的变化 规律。 现以图中未被包围的零点-2为例。当 变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)的 辐角a的变化为0°。
7
[例]设：F(s) s 2 ，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从
s
(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)
到(-1，-j0) ，相角的变化为：
s平面
ds(1, j1)

2 1
F (s) F (s2 ) F (s1) 00 1800 (450 1350 ) 900
n
s1 zi
m
n

e j

i
1
(
s1

zi
)

j
1
(
s1

p
j
)

s1 p j e j(s1 p j )
s1 p j
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
j1
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
2
A BC
s平面
H
D
2 a 1
注意，虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然 而逆过程往往并非如此。例如已知
F(s)
K
s(s 1)( s 2)
s(s 1)(s 2) K F (s)
这个函数在有限的S平面上除S=0,－1, － 2以外均解析，除此三 点外，S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点，但是 F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说 明方式就是将方程改写成
第四节 奈奎斯特稳定判据
1
一、辐角定理： 对于一个复变函数
F (s) K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
式中-zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点， -pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点。
[柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包
4
现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量
来表示，即当
m
K (s1 zi )
F (s1)
i 1 n
(s1 p j )
j 1
m
m
K
F (s1) F (s1) e jF (s1)
i1 n
s1 zi e j(s1zi )
K i1
同理，对未被包围的极点也是一样， 因子项(s+0) 的辐角b在变点s沿CS绕 行一周后的变化也等于0°。
于是，映射到F(S)平面上，当变点 F(s)沿CF绕行一周后的辐角变化也应 等于0°。这表明，围线CF此时不包 围原点。
s平面
◎
A BC
2
1 a
H
1
2
D
3
b
GF E
CS顺时针

2
1.5
F ( s)平面
值与之对应。
[例]设：
F(s) s 2 s
ds (1, j1)
s平面
2 1

F (s)平面
d f (0, j1)
3
F (s) K (s z1)(s z2 )(s zm ) (s p1)(s p2 )(s pn )
F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部 零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面 上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点， 映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。

p j )
m
n
(s zi ) (s p j )
i 1
j 1
例
F (s) F (s2 ) F (s1)
F(s) s 2 s
(s2 2) (s2 0) (s1 2) (s1 0)
(s2 2) (s1 2) (s2 0) (s1 0)