第八章 第3节 平面及其方程

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B( 1,3,2) 、 C (0,2,3) 例 2 求过三点 A( 2,1,4)、
的平面方程.
解
AB {3, 4,6} AC {2, 3,1}
i j k
取 n AB AC 3 4 6 {14, 9,1}, 2 3 1
所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0,
化简得 2 x 6 y 2 z 7 0
2 2 2
说明: 动点轨迹为线段AB的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:
(1) 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,
10( x 1) 15( y 1) 5( z 1) 0,
化简得
2 x 3 y z 6 0.
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例 6 设平面过原点及点(6,3, 2) ，且与平面
4 x y 2 z 8 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
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例 5 求过点(1,1,1) ，且垂直于平面x y z 7 和
3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程. 解 n1 {1,1, 1}, n2 {3, 2,12} 取法向量 n n1 n2 {10, 15, 5},
所求平面方程为
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例9 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0, ( 2) 2 x y z 1 0, ( 3) 2 x y z 1 0,
解
y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0
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例 7 设平面与x , y, z 三轴分别交于 P (a ,0,0) 、
Q(0, b,0) 、 R(0,0, c )（其中a 0 ，b 0 ， c0） ，
求此平面方程.
解
设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0,
平面 2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C 2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1 B2 C1C 2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C 2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
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例4 求过点(4,3,1)和x轴的平面方程.
解 : 平面过x轴,
可设方程为By Cz 0 将点(4,3,1)代入
3B C 0 C 3 B
即 By 3 Bz 0
y 3z 0
由于它既在曲面S1上，又在S2上，故其坐标同时满足 上面两个方程即满足方程组。 例如,方程组
z
2
L
表示圆柱面与平面的交线L.
o
x
1 y
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二、平面的点法式方程
平面的法向量 :
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量．
x
z
n
M
M0
o
y
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n { A, B , C }, M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
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由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2) 知 6 A 3 B 2C 0
n{4,1,2},
4 A B 2C 0
2 A B C, 3 所求平面方程为 2 x 2 y 3 z 0. 问题: 怎样求点法式方程 ? 取n n0 OM
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按照两向量夹角余弦公式有
cos
| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 2
2 2 2 2 2 2
两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C2 0;
A1 B1 C1 . ( 2) 1 // 2 A2 B2 C 2
法向量 n { A, B , C }.
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平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面平行于 x 轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
( 3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
其中法向量 n { A , B ,C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
用 法:
只要知道平面上的一点 及一个法向量 就可写出平面的点法式 方程 .
7
例1 求过点M 0 ( 2,1,4)且垂直于向量n {14,9,1} 的平面方程.
解 : 由点法式得
14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0 14 x 9 y z 15 0
则 F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,
曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.
F ( x, y , z ) 0
z
S
o
x
y
4
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G ( x, y , z ) 0
S2
L F ( x, y , z ) 0
S1
交线L上的任一点 M ( x , y , z )
设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0
6
M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
| 1 0 2 1 1 3 | (1) cos ( 1)2 22 ( 1)2 12 32
1 1 cos 两平面相交，夹角 arccos . 60 60
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( 2)
n1 {2,1,1},
n2 {4, 2,2}
2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2

B( y z ) 0
或
B0 yz0
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所求平面方程为： y z 0
小结:
1.平面基本方程: 一般式 Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0 ) 点法式
截距式
x y z 1 a b c
(abc 0)
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2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
P1 P0 n PP d Prj n 1 0 n A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) A2 B 2 C 2 A x0 B y0 C z0 D A2 B 2 C 2
n P0
d
P 1
(点到平面的距离公式)
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方程 ( y 2 ) ( z 3 ) 0
y
即
yz 5
10
四、平面的一般方程
由平面的点法式方程
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A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0 D
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
第八章 空间解析几何 与向量代数 本章内容：
第一节、向量及其线性运算
第二节、数量积 向量积 *混合积
第8 章
第三节、平面及其方程
第四节、空间直线及其方程
第五节、曲面及其方程
第六节、空间曲线及其方程
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第三节 平面及其方程
一、曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程
三、平面的一般方程 四、两平面的夹角
d
例11：一平面通过 x 轴，且与平面 的夹角为

x y0 By Cz 0
, 求此平面方程。 3
解：由题意设所求平面方程为：
其与平面 x y 0 的夹角为 , 由公式可得 3 B 2 cos 2 2 2 2 2 B C B 3 B C 1 ( 1 ) 2 平方后移项得： C B 代入所设平面方程：
D A , a
D D B , C . b c
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D D D 将A , B , C , a b c
代入所设方程得
x y z 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
y 轴上截距
z 轴上截距
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例 8 求平行于平面 2 x y 2z 5 0 而与三个坐标 面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解
设平面为 2 x y 2 z D 0,
z
x y z 即 1, D D D o 2 2 x 1 D D 由题意 ( D)( ) 1 D 2 3 3 6 2 2
平面方程为 2 x y 2 z 2 3 3 0
y
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三、两平面的夹角
化简得
14 x 9 y z 15 0.
9
( 1,2 ,3 )且垂直于y轴与z轴 例 3 已知平面过点 夹角平分线( yoz面上 ) z 解 : j { 0 ,1,0 } k { 0 ,0 ,1 } o j k { 0 ,1,1 }在角平分线上 x n { 0 ,1 ,1 }
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 （通常取锐角） 夹角.
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0,
2

2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n1 { A1 , B1 , C1 }, 1 n2 { A2 , B2 , C2 },
2
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M ( x , y , z ) , 则 AM BM , 即
( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 ( x 2) ( y 1) ( z 4)
两平面平行但不重合．
2 1 1 ( 3) , 两平面平行 4 2 2
M (1,1,0) 1
M (1,1,0) 2
两平面重合.
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例10.设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为n ( A , B , C ) , 在平面上取一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为