永城高中高一(I)部数学学案(23) -幂函数性质的应用

永I ）部数学学案（23）
幂函数性质的应用
学案撰写人：高申 打印人：华洪涛
一．
学习目标：
1. 根据图像研究幂函数的有关性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性
2. 能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 二．
学习方法指引： 1. 做课本82页练习
2. 熟记幂函数的图像，在理解的基础上记忆性质
3. 本节是数形结合的思想的重要应用 三．
基础知识再现：幂函数的性质
⑴ 所有的幂函数在________上都是有定义，并且图像都通过_________ ⑵
如果，则幂函数的图像过_________象限，并且在区间[0，+上为_________
⑶ 如果，则幂函数图像在区间上是________，在第一象限内当从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+时，图像在x 轴上方无限逼近x 轴
⑷ 当x 为奇数时，幂函数为________，当x 为偶数时，幂函数为_________ 四． 方法总结：
1. 比较幂的大小通常利用函数的单调性来进行：
当底数相同指数不同时，利用指数函数单调性比较 当底数不同指数相同时，利用幂函数单调性比较 当底数不同指数不同时，常借助中间量进行比较
2. 已知与的大小，求x 的取值范围时，不能用指数函数来解决，应借助于函数y=与y=的图像，利用数形结合来解决
五． 典型例题：
例1. 比较下列各组数中两个数的大小
(1) 21
21
)3
1
()52
(与
(2) 1
1
)
5
3()3
2(---
-
与 (3) 21
43
)4
3
()21
(与
解：(1) ∵幂函数2
1x y =在),0(+∞上是增函数，又
31
5
2> ∴21
2
1
)3
1
()52
(>
(2) ∵幂函数1
-=x y 在)0,(-∞上是减函数，又5
332-
<- ∴1
1
)
5
3()
3
2(---
>-
(3) ∵函数x
y )2
1
(1=是减函数，又
432
1<
∴43
2
1)2
1
()
2
1
(>
又∵函数)0[21
2∞+=，在x y 上是增函数，且
43
2
1<∴21
21
)2
1
()43
(> ∴
43
2
1
)21
(43
>）（ 例2. 已知31
2
a a
>，求a 的取值范围
解：设31
2
x y x y ==、，在同一平面直角坐标系中，作出函数31
2
x y x y ==和的图像，
如图所示：
当x 满足31
2
x x >的值时，函数2x y =的图像
在函数31
x y =图像的上方。

有图像可知，满足31
2
x x >的 x 的取值范围),1()0,(+∞-∞
例3. 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0．1%，
若初时含杂质2%，每过滤一次减少31
，问过滤几次才能使产品达到
市场要求？
解：依题意，得
1000
1
321002
≤
⎪⎭⎫
⎝⎛∙n
即
20
132≤
⎪⎭
⎫ ⎝⎛n。

则
)2lg 1()3lg 2(lg +-≤-n ，故4
.72
lg 3lg 2lg 1≈-+≥
n ，
考虑到N n ∈，故8
≥n
，即至少要过滤8次才能达到市场要求。

例4. 已知函数()l o g (1)(0,1)a fx x a a =+>≠在区间[1，7]
求a 解：若a ＞1上的最大值为log 8a ， ； 若0＜a
log 8a ，最大值为a 六． 1. 下面给出的函数
①21
-
=x y ②1
-=x y ③32-
=x y ④21x y = ⑤32x y = ⑥31
x y =
其中，在定义域内是增函数的有（ ） A.④⑤⑥ B.①②③ C.④⑥
D.③④
2. 函数3121
52x x x y -+=-的定义域是（ ）
A.R
B. }0|{≠∈x R x x 且
C. }0|{≥x x D . }0|{>x x 3. 关于幂函数下列叙述中正确的是（ ）
A.幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
B.如果一个幂函数是奇函数，那么它一定过原点
C.图像不过)1,1(-点的幂函数，一定不是偶函数
D.如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同
4. 函数35
x y =的图像大致是（ ）
A B C D
5. 已知12222
)1(--++=m m x m m y 是幂函数，则m 的值为（ ）
A.0
B. 1-
C.0或1
D.以上都不正确 6. 函数1)3(-+=x y 的图像是将函数1-=x y 的图像( )得到的
A.向上平移3个单位
B. 向下平移3个单位
C.向左平移3个单位
D. 向右平移3个单位 7. 已知指数函数x
a y )1(-=与x
a
y )1
(=具有不同的单调性，若31
)1(-=a A ，
3
)1(a B =，则B A ,大小关系是（ ）
A.B A <
B.B A >
C.B A =
D.不能确定 8. 在区间)1,0(上，图像在x y =的下方的函数为（ ）
A.1-=x y
B.x y 2=
C.3x y =
D.21
x y = 9. 下列关系式中正确的是（ ）
A. 31
32
32
)21
()51
()21
(<<
B. 32
32
31
)51
()21
()21
(<<
C. 3
2
3
1
3
2
)2
1
()21
()51
(<<
D. 31
3
2
3
2
)2
1
()21
()51
(<< 10. 与函数2
1-
=x
y 的图像关于原点对称的是（ ）
A.2
1--=x
y
B.2
1)
(-
-=x y C.21
x y -=
D.2
1)
(-
--=x y
11.已知2
)(x
x
e
e x
f --=，则下列正确的是 （ ）
A ．奇函数，在R 上为增函数
B ．偶函数，在R 上为增函数
C ．奇函数，在R 上为减函数
D ．偶函数，在R 上为减函数
12.已知f(x)=|lgx|,则11
()()(2)43f f f 、、的大小关系是 （ ）
A ． )
41()31()2(f f f >> B ． )2()31
()41(f f f >>
C ． )31()41()2(f f f >>
D ． )2()41
()31(f f f >>
13.已知()log a f x x =，()log b g x x =，()log c r x x =，()log d h x x =
的图象如图所示则a,b,c,d 的大小为 （ ）
A ．c d a b <<<
B ．c d b a <<<
C ．d c a b <<<
D ．d c b a <<<
14.某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种细菌由1个繁殖成4096个需经过 （ ） A ． 12小时 B ． 4小时 C ． 3小时 D ． 2小时
15.函数y= | lg （x-1）| 的图象是 （ ）
C
16.已知幂函数2
1)(-
=x
x f ，若)210()1(a f a f -<+，则a 的取值范围是_________
17.已知函数⎩
⎨⎧<+≥=-),3)(1(),
3(2)(x x f x x f x
则=)3(log 2
f _________. 18.已知函数)2(lo
g ax y a
-=在]1,0[上是减函数，则a 的取值范围是_________
19．若定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞）上是增函数，且f 0，则不等
式f （l og 4x ）＞0的解集是______________． 20.若3
13
1)
23()
1(-
--<+a a 求实数a 的取值范围
21.已知函数[]2,1,4329)(-∈+⨯-=x x f x
x
（1）设[]2,1,3-∈=
x t x
，求t 的最大值与最小值； （2）求函数)(x f 的最大值与最小值；
22.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品能获得的利润依次是：P 、Q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式：x P 51=
，x Q 5
3=
，今有3万元资金投入
经营甲、乙两种商品，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？能获得多少利润？。