初中数学竞赛辅导资料(27)
2020年初中数学竞赛讲义：第27讲-动态几何问题透视
2020年初中数学竞赛讲义：第27讲-动态几何问题透视春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来．动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”．【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A 移到点B时，A′B′的中点的位置( )A．在平分AB的某直线上移动B．在垂直AB的某直线上移动C．在AmB上移动D．保持固定不移动思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P 从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题：(1)当x=3时，y的值是多少?(2)就下列各种情形：①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式．(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x 的关系．思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m ／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒)．(1)当t为何值时，线段EF与BC平行?(2)设1<t<2，当t为何值时，EF与半圆相切?(3)当1≤t<2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于tAP是否为一定的方程；对于(3)，点P的位置是否发生变化，只需看PC值．注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结C O2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD=α．(1)求：CD的长(用含R、α的式子表示)；(2)试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′是否等于α? C′D′与P′O l的位置关系如何?并说明理由．思路点拨对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P点虽为OO l上的一个动点，但⊙O1、⊙O2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．学力训练1．如图，ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积是cm (π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)．2．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，将ΔABC绕点B旋转至ΔA'BC'的位置，且使A、B、C'三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是 cm ．3．一块等边三角形的木板，边长为l ，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束走过的路径长度为( )A ．23πB ．34πC ．4D ．232π+4．把ΔABC 沿AB 边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12-B ．22C ．1D ．215．如图，正三角形ABC 的边长为63厘米，⊙O 的半径为r 厘米，当圆心O 从点A 出发，沿着线路AB —BC —CA 运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动．(1)若r=3厘米，求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；(2)在O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；(3)设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S，在S>0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．6．已知：如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB 的长为x，CD的长为y．(1)求y关于x的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求y的值；(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时y的取值范围；(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE 为直径的圆与⊙O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长．7．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=x，ON= (y>x≥0)，ΔAOM的面积为S，若cosα、OA是方程0-z+z的两个根．2522=(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ON·MN；(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．9．已知：如图①，E 、F 、G 、H 按照AE=CG ，BF=DH ，BF ＝nAE(n 是正整数)的关系，分别在两邻边长a 、na 的矩形ABCD 各边上运动． 设AE=x ，四边形EFGH 的面积为S ．(1)当n=l 、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图④，求S 与x 之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)，探索S 随x 增大而变化的规律；猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使ABCD S S 矩形21 ； (3)当n=k (k ≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿y轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作⊙O1．(1)若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?(3)如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥x轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问PA·FA的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．参考答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第27讲 动态几何问题透视
第二十七讲 动态几何问题透视春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来．动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是： 1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系． 3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”． 【例题求解】【例1】 如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在定直线上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到A ″B ″C ″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A 运动到点A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是 ．思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割．Rt ΔABC 的两次转动，顶点A 所经过 的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l 所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作AA ′⊥AB ，BB ′⊥AB ，且AA ′=AP ，BB ′=BP ，连结A ′B ′，当点P 从点A 移到点B 时，A ′B ′的中点的位置( ) A ．在平分AB 的某直线上移动 B ．在垂直AB 的某直线上移动C ．在AmB 上移动D ．保持固定不移动⌒思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题：(1)当x=3时，y的值是多少?(2)就下列各种情形：①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式．(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系．思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．【例4】 如图，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC=2cm ，现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1m ／秒的速度向点A 运动，点F 沿折线A —D —C 以2cm ／秒的速度向点C 运动，设点E 离开点B 的时间为2 (秒)． (1)当t 为何值时，线段EF 与BC 平行?(2)设1<t <2，当t 为何值时，EF 与半圆相切?(3)当1≤t <2时，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP ：PC 的值．思路点拨 动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于t 的方程；对于(3)，点P 的位置是否发生变化，只需看PCAP是否为一定值．注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．【例5】 ⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点；如图(1)，连结O 2 O 1并延长交⊙O 1于P 点，连结PA 、PB 并分别延长交⊙O 2于C 、D 两点，连结C O 2并延长交⊙O 2于E 点．已知⊙O 2的半径为R ，设∠CAD=α．(1)求：CD 的长(用含R 、α的式子表示)；(2)试判断CD 与PO 1的位置关系，并说明理由；(3)设点P ′为⊙O 1上(⊙O 2外)的动点，连结P ′A 、P ′B 并分别延长交⊙O 2于C ′、D ′，请你探究∠C ′AD ′是否等于α? C ′D ′与P ′O l 的位置关系如何?并说明理由．思路点拨 对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P 点虽为OO l 上的一个动点，但⊙O 1、⊙O 2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．⌒学力训练1．如图， ΔABC 中，∠C=90°，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点B 为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB 延长线上的D 处，则AC 边扫过的图形的面积是 cm (π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)．2．如图，在Rt Δ ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3 cm ，将ΔABC 绕点B 旋转至ΔA'BC'的位置，且使A 、B 、C'三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是 cm ．3．一块等边三角形的木板，边长为l ，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束走过的路径长度为( ) A ．23π B ．34πC ．4D ．232π+4．把ΔABC 沿AB 边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12-B ．22C ．1D ．215．如图，正三角形ABC 的边长为63厘米，⊙O 的半径为r 厘米，当圆心O 从点A 出发，沿着线路AB —BC —CA 运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动． (1)若r=3厘米，求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；(2)在O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r 的取值范围及相应的切点个数；(3)设O 在整个移动过程中，在ΔABC 内部，⊙O 未经过的部分的面积为S ，在S>0时，求关于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围．6．已知：如图，⊙O 韵直径为10，弦AC=8，点B 在圆周上运动(与A 、C 两点不重合)，连结BC 、BA ，过点C 作CD ⊥AB 于D ．设CB 的长为x ，CD 的长为y ． (1)求y 关于x 的函数关系式；当以BC 为直径的圆与AC 相切时，求y 的值； (2)在点B 运动的过程中，以CD 为直径的圆与⊙O 有几种位置关系，并求出不同位置时y 的取值范围；(3)在点B 运动的过程中，如果过B 作BE ⊥AC 于E ，那么以BE 为直径的圆与⊙O 能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE 的长．7．如图，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)．当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN 保持不变)时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=x ，ON= (y >x ≥0)，ΔAOM 的面积为S ，若cos α、OA 是方程02522=+-z z 的两个根．(1)当∠MAN 旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N 移动的距离； (2)求证：AN 2=ON ·MN ；(3)求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； (4)试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．8．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=3cm ，∠C ＝60°，BD ⊥CD ． (1)求BC 、AD 的长度；(2)若点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度运动，点Q 从点C 开始沿CD 边向点D 以1cm ／s 的速度运动，当P 、Q 分别从B 、C 同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围(不包含点P 在B 、C 两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．9．已知：如图①，E 、F 、G 、H 按照AE=CG ，BF=DH ，BF ＝nAE(n 是正整数)的关系，分别在两邻边长a 、na 的矩形ABCD 各边上运动．设AE=x ，四边形EFGH 的面积为S ．(1)当n=l 、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图④，求S 与x 之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)，探索S 随x 增大而变化的规律；猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使ABCD S S 矩形21； (3)当n=k (k ≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．10．如图1，在直角坐标系中，点E 从O 点出发，以1个单位／秒的速度沿x 轴正方向运动，点F 从O 点出发，以2个单位／秒的速度沿y 轴正方向运动，B(4，2)，以BE 为直径作⊙O 1．(1)若点E 、F 同时出发，设线段EF 与线段OB 交于点G ，试判断点G 与⊙O 1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB ，几秒时FB 与⊙O 1相切?(3)如图2，若E 点提前2秒出发，点F 再出发，当点F 出发后，E 点在A 点左侧时，设BA ⊥x 轴于A 点，连结AF 交⊙O 1于点P ，试问PA ·FA 的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．参考答案。
初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题27 数形结合
专题27数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题；2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题；4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形()A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F .求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111.（湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L c S c b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L xS x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1.不查表可求得tan 015的值为__________.2.如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________.（全国初中数学联赛试题）3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________.（太原市竞赛试题）6.如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是()A.(13，13)B ．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)第2题图第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m +=()A.25B.128C.153D.243E.256（美国数学统一考试题）8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是()A ．∠B ＞2∠AB ．∠B=2∠AC ．∠B ＜2∠AD ．不确定9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ()A ．a 1127B ．a 1128C ．a 1129D ．a 113010.满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有()A.1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO .(1)求这个二次函数的解析式；(2)以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）12.已知正数a，b，c，A，B，C满足a＋A＝b＋B＝c＋C＝k.求证：a B十b C＋c A＜k2.13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG＝2，GF＝13，FC＝1，HI＝7，求DE．（美国数学邀请赛试题）14.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上）．请写出t可以取的一切值：_______________（单位：秒）．15.如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．（长春市竞赛试题）17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2).在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）专题27 数形结合例 1 5 提示:作出 B 点关于 x 轴的对称点 B '(2,-3)，连结 AB '交 x 轴于 C ，则 AB '=AC 十 CB ' 为所要求的最小值.例2D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b =12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8).例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3,BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可.例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点.例5由L c s c b s b a s a =+=+=+222①,知正数c b a ,,适合方程.2L x sx =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac sa c s c a -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证.例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+∙+∙∙∴ xz y z y x即,6232132121321=∙+∙+⨯∙xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32-提示:构造含15的Rt △ABC .2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ,F .设OE =a ,BF =b ，则AE =a 3,CF =b 3，所以点A ,C的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴33233332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.363b a ∴点D 坐标为()0,62.3.52-提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值.4.ax b ≤≤5.36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOABC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC .6.C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14.7.A8.B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bca abc a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9.D10.C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则abk b a b a 2122∙=+++(k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解.11.(1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥EH 于M ，连结DG ,2,===DO DG t DM ,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH =2FG .由4EF //x 轴，设H 为(x ,t )，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -∙=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去).12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13.AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得•CD ＝CF •CG•BE ＝BI •BH (16－x )＝1×14(16－y )＝6×13.＝10－22＝6－22.故DE ＝16－(x ＋y )＝222.14.t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8.提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝3＋12,BE ＝3＋32,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝3－32，AB 2＝AE 2＋BE 2＝（3－32）2＋（3＋32）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线．16．设AD AB ＝AEAC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB ＝AB －AD AB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )•S △ABE ＝m (1－m )•S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ），则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）,则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）．又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4(12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。
初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料倍数约数甲内容提要1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A 叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
乙例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。
解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，322×31，2，3，64221，2，43321，3，32322×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数,m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。
人教版初中数学竞赛专题复习第27章 极端原理(解析)
第27章极端原理1.1** 两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚．使得对方无法按照规则再放，谁就获胜．问：是先放合算还是后放合算？解析：本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币．这时当然是先放的人合算．一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜．评注：本题解法的独到之处在于考虑最极端的情况，“桌面最小”．这里的极端原理实际是一种“从特殊到一般”的思考方法，并且在极端情况下的结果提示我们解决一般问题的方法，在应用极端原理时，我们要利用如下的事实：1．有限个数中一定有最大数和最小数；2．无限个正整数中有最小数；3．无限个实数不一定有最大数或最小数．1.2** 在一次乒乓球循环赛中，n（n≥3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名选手A、B、C，使得A胜B，B胜C，C胜A．解析：没取胜场数最多的一名选手为A，由于没有一个选手是全胜的，所以在这n名选手中存在一名选手C，C胜A．考虑A击败的选手的全体，其中必有选手B胜C．事实上，若A的手下败将也都负于C，那么C胜的场数比A胜的场数至少要多1，这与A是获胜场数最多的选手矛盾．所以，存在三名选手A 、B 、C ，使得A 胜B ，B 胜C ，C 胜A ．1.3** 平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点．解析：997个点中每两点都有一个距离，因而共有9979962个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离．设AB 是最大的距离． 分别以A 、B 为圆心，12AB 为半径作圆，如图所示．点A 与除点B 之外的995个点的连线的中点在圆A 的内部或边界上；点B 与除点外的995个点的连线的中点在圆B 的内部或边界上，这样我们得到了 995+995＝1990个红点． 另外，AB 的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点．下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，…，997的位置．这时中点为：32，42，52，…，19922，19932，故红点恰有1991个．1.4** 证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形．解析;如图所示，在凸五边形ABCDE 中，一共有5条对角线：AC 、AD 、BD 、BE 、CE ，所以其中一定有一条是最长的，不妨设AC 最长．由于ACDE 是凸四边形，设AD 与CE 的交点为P ，则ABEPDAC AP PC AD CE <+<+．因为AC 最长，所以，AC 、AD 、CE 这三条对角线可以作为一个三角形的三条边．1.5* 平面上给定3个点。
初中数学竞赛辅导资料(七年级上)
数的整除（一）内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2．若四位数a 987能被3整除，那么 a=_______________ 3．若五位数3412X 能被11整除，那么 X ＝__________- 4．当 m=_________时，535m 能被25整除5．当 n=__________时，n 9610能被7整除 6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9． 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。
初中数学竞赛精品标准教程及练习：连续正整数的性质
初中数学竞赛精品标准教程及练习：连续正整数的性质初中数学竞赛精品标准教程及练习（24）连续正整数的性质一、内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。
例如3＝1＋2，79＝39＋40，111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个）1. n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1)例如一位正整数从1到9共9个（9×100），二位数从10到99共90个（9×101）三位数从100到999共900个（9×102）……2.连续正整数从n 到m的个数是m－n+1把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的连续奇数的个数是21349－＋1＝19从13到49的连续偶数的个数是21448－＋1＝184.从13到49能被3整除的正整数的个数是31548－＋1＝12从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1.1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）2n（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b)21 +-ab把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×223＝759（∵从11到55有奇数21155－＋1＝23个）3.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×215＝480（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共31153－＋1＝15）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1.123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝452.1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901五. 连续正整数的积从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘1.n 个连续正整数的积能被n ！整除，如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考(附答案)
七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。
（“五羊杯”竞赛试题）x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。
++=。
不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。
（2）请解释图中点B的实际意义。
图像理解（3）求慢车和快车的速度。
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。
初中数学竞赛辅导讲义全
初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中数学竞赛辅导材料目录
初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。
祝学习愉快！。
初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料解三角形甲内容提要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠). ① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt ∠ ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=c a ， CosA=c b , tanA=b a , CotA=ab. ④ 互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)= CosA ， Cos(90－A)= SinA ， tan(90－A)= CotA, Cot(90－A)= tanA. ⑤；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)① 正弦定理：SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ； b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)= sinA ， Cos(180－A)= － cosA ， tan(180－A)=－cotA ， cotA(180－A)=－tanA. ④ S △ABC ＝21absinC=21bcsinA=21casinB.4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等. 乙例题例1. 已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.求：AC 的长.解：延长AD 和BC 相交于E ，则∠E ＝30.在Rt △ECD 中，∵sinE=CECD, ∴CE=30sin 1=1÷21＝2. EB ＝4. 在Rt △EAB 中， ∵tanE=EBAB,∴AB=EBtan30。
(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
初中数学竞赛专题-第27章 圆的解析性质及应用
第二十七章 圆的解析性质及应用【基础知识】圆有如下一系列有趣的解析性质:性质1 圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的方程为222()()x a y b r -+-=．性质2 二次方程表示圆的方程所应满足的条件是2240D E F +->,且220x y Dx Ey F ++++=． 性质3 圆心为（,a b ）,半径为r 的圆的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⋅⎧⎨=+⋅⎩（θ为参数）．性质 4 与两定点(,0)a ,(,0)b （a b ≠）距离的比为mn（n m ≠且0,0n m >>）的点的轨迹是圆:22222222()an bm mn a b x y n m n m ⎛⎫--⎡⎤-+= ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭． 性质 5 与两定点(,0)a ,(0,)c 的距离的比为mn (n m ≠且0n >,0m >)的轨迹是圆:2222an x n m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 2222222()cm mn a c y n m n m ⎛⎫+⎡⎤++= ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭． 性质6 以点11(,)A x y ,22(,)B x y 为圆的直径两端点的圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．注 上述方程可变形为2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=．此式说明:若两曲线的两交点坐标满足它,则此两点为这圆的直径的两端点．性质7 若直线(),0f x y =与二次曲线(,)0F x y =相交于P ,Q 两点,且由(,)0,(,)0.f x y F x y =⎧⎨=⎩消去y ,得()0g x =；消去x ,得()0h y =(其中()g x 与()h y 的二次项系数均为1）,那么以P ,Q 为直径端点的圆的直径式方程为()()0g x h y +=．证明 设P ,Q 的坐标分别为11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则1x ,2x 是方程()0g x =的两个根；1y ,2y 是方程()0h y =的两个根,即12()()()0g x x x x x =--=,12()()()0h y y y y y =--=．两式相加,有1212()()()()()()0g x h y x x x x y y y y +=--+--=．由性质6,即证得结论成立．性质8 设O 为平面直角坐标系原点,P 为直线l :(,)1g x y Ax By =+=(A ,B 不同时为零）上一点,射线OP 交圆:2222(,)1x y f x y r r=+=于点R ,若点Q 在OP 上且满足22OQ OP OR r ⋅==,则点P 在l 上移动时,Q 点的轨迹是圆2222224()224Ar Br A B r x y ⎛⎫⎛⎫+⋅-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,或(,)(,)0f x y g x y -=． 证明 设00(,)P x y ,(,)Q x y ,则由Q 在OP 上可设OP k OQ =⋅．由2OQ OP r ⋅=,有OQ R OQ ⋅⋅= 2r ,即22r k OQ=,亦即22r OP OQ OQ=⋅,从而2022r x x x y =⋅+,2022r y y x y =⋅+．又00(,)x y 在直线l 上,即有001Ax By +=,亦即2222221r x r yA B x y x y ⋅⋅⋅+⋅=++,由此得222Ar x ⎛⎫- ⎪⎝⎭22224()24Br A B r y ⎛⎫+⋅+-=⎪⎝⎭． 上式又可化为2222x y Ax By r r+=+,故(,)(,)0f x y g x y -=．性质9 过两圆1(,)0f x y =,2(,)0f x y =（或一圆与一二次曲线）交点的圆的方程为1(,)f x y +2(,)0(1)f x y λλ=≠-．注 若1λ=-,则为一直线方程．性质10 设直线l :0Ax By C ++=,圆Γ:222()()x a y b r -+-=,圆心(,)O a b 到直线l 的距离为d =则(1)当d R <时,直线l 与圆Γ相交,反之亦真；(2)当d R =时,直线l 与圆Γ相切,反之亦真； (3)当d R >时,直线l 与圆Γ相离,反之亦真．性质11 直线0Ax By C ++=与圆222x y r +=相切的充要条件是()2222A B r C +=． 性质12 设00(,)M x y ,圆的方程222x y r +=,对于直线l 的方程200x x y y r +=,则(1)当M 在圆上时,l 为圆的切线；(2)当M 在圆外时,l 为圆的切点弦直线；(3)当M 在圆内时,l 为与以M 为中点的弦平行且过此弦端点切线交点的直线．事实上,这可由第二十五章的性质7推论后的注即得．这里,其实l 即为点M 关于圆的极线． 【典型例题与基本方法】例1 已知一圆在x 轴上的截距为a ,b ,在y 轴上的截距为(0)c c ≠,求此圆的方程．解法1 由于圆过点(,0)A a ,(,0)B b ,(0,)C c 三点,则圆心M 在AB ,AC 的垂直平分线上,即M 点是两直线1()2x a b =+,2222()()x a y x y c -+=+-的交点,求得2,22a b c ab M c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,又可求得半径22222a b c ab r MA b c ⎛⎫++⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故由性质1,得所求圆的方程为22222a b c ab x y ⎛⎫++⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222b a c ab c ⎛⎫-+⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解法2 设此圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=．此圆在x 轴上的距离是a ,b ,则20a Da F ++=,① 20b Db F ++=． ②由①,②知a ,b 是方程20x Dx F ++=的两根,从而由韦达定理,有a b D +=-,ab F =． 又此圆在y 轴上截距为c ,有20c Ec F ++=．③从而20c Ec ab ++=,即2c abE c+=-．此时,显然满足2240D E F +->,故由性质2知所求圆的方程为22()0ab x y a b x c y ab c ⎛⎫+-+-++= ⎪⎝⎭．注 也可由①,②,③联立求出D ,E ,F ．例2 设A 为定点(b ,0),P 为圆229x y +=上一点,M 是AP 上的一点,且满足12AM MP =．当点P 在圆上运动时,求点M 的轨迹方程．解法1 如图27-1,作MN PO ∥交x 轴于N ,显见MN 为定长,即1MN =,且N 为定点(4,0)．由圆的平面几何定义知,到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆,定点是圆心,定长为半径,故所求圆的方程为22(4)1x y -+=．解法2 设点M 的坐标是(,)x y ,设圆229x y +=的参数方程为3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）于是可设点P 的坐标为(3cos ,3sin )θθ,由此例定理（或由定比分点坐标公式）得点M 的轨迹的参数方程为4cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）由此即知,线段AP 上的点M 的轨迹是以点(4,0)为圆心,以1为半径的圆．例3 已知一曲线是与两个定点(0,0)O ,A (3,0)的距离的比为12的点的轨迹,求此曲线的方程． 解法1 由题设,运用性质4,知0a =,3b =,1m =,2n =．或运用性质5,知3a =,0c =,1n =,2m =,可求得曲线方程为22(1)4x y ++=．解法 2 由题设及圆的轨迹定义和所求的曲线为圆,即可推知其圆心在直线OA 上,且圆与直线OA 的两个交点即为直径的两端点．由平面几何知识得动点P 满足12PO PA=点为(1,0)P ,(3,0)Q -,从而所求方程为(1)(3)(0)(0)0x x y y -++--=,即22(1)4x y ++=．例 4 求以相交两圆1C :22410x y x y ++++=,及2C :222210x y x y ++++=的公共弦为直径的圆的方程．解法1 由两圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程:20x y -=． 设所求圆的方程为2241(2)0x y x y x y λ+++++-=,即 22(42)(1)10x y x y λλ++++-+=．其圆心12,2λλ-⎛⎫-- ⎪⎝⎭必在直线20x y -=上,即由()122202λλ----=,求得75λ=-． 故所求圆的方程为2255161250x y x y ++++=． 解法2 可求得两已知圆的公共弦方程为20x y -=． 运用性质7,由22410,20.x y x y x y ⎧++++=⎨-=⎩分别消去y ,x ,得25610x x ++=及251240y y ++=．此两式相加,得225561250x y x y ++++=,此即为所求圆的方程． 例5 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ,B ．求证:OA OB ⊥． 证明 由222y x y x=-⎧⎨=⎩分别消去y ,x ,得2640x x -+=,2240y y -+=．此两式相加,得以AB 为直径的圆的方程:22620x y x y +--=． 显然,原点O 在圆22620x y x y +--=上,故OA OB ⊥．例6 已知双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,P ,Q 两点．若OP OQ ⊥,且4PQ =,求双曲线的方程．（1991年全国高考理科题）解 设双曲线方程为22221x y a b-=,直线方程为3()5y x c =-,其中22c a b =+． 联立直线和双曲线方程分别消去y ,x ,得2222222222635()05353a c a c a b g x x x b a b a+=+-=--． 24222222153()05353b c b h y y y b a b a =++=--．由性质7,知以PQ 为直径的圆的方程为()()0g x h y +=．因OP OQ ⊥,所以圆过原点,则(0)(0)0g h +=,即222243530a c a b b +-=．解得223b a =．设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则PQ 的中点为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．由题设得122OM PQ ==,即221212()()16x x y y +++=．而2122261532a c x x cb a +=-=--,21221515b c y y +==． 将其代入()*式,得22151644c c +=,解得24c =．由此求得21a =,23b =．故所求双曲线方程为2x213y -=． 例7 已知函数1sin 1sin y x x =+-求y 的最大值．（新加坡竞赛题）解 令1sin u x =+1sin v x -则有直线方程:0u v y +-=,及圆的方程:222u v +=． 由已知可知直线与圆有公共点(,)u v ）,从而22y即2y ≤,等号当且仅当0x =时成立,故max 2y =． 例8 确定最大的实数z ,使5x y z ++=,3xy yz zx ++=,并且x ,y 也是实数． （第7届加拿大竞赛题）解 由已知,得22222()2()52319x y z x y z xy yz zx ++=++-++=-⋅=． 令直线l :(5)0x y z ++-=,O :22219x y z +=-．由已知可知l 与O 有公共点,从而 25192z z --即2310130z z --≤． 解得313z 1-≤≤,故max 133z =．例9 112()2x y z x y z --++．（1978年罗马竞赛题）解 x u =1y v -2z t -=,u v t s ++=,则可令l :()0u v t s ++-=,O :222u v s +=- 23t -．因l 与O 有公共点,2232t s S t ---即222(2)360s t t s t -+++≤．因s 有实数解,则22[2(2)]4(36)0t t ∆=-+-+≥,即2(1)0t -≤,故1t =．此时23s t =+=,223z t =+=,代入l 与O 的方程得2u v +=,222u v +=．解此方程得1u v ==,故原方程的解为1x =,2y =,3z =．【解题思维策略分析】1．运用圆的解析性质证明圆锥曲线性质例10 从椭圆22221x y a b+=上一点P ,引以短轴为直径、原点为圆心的O 的两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴,y 轴分别相交点M ,N ,则222222a b a bONOM+=．图27-2证明 如图27-2,设00(,)P x y ,O 的方程为222x y b +=,则切点弦AB 的方程为200x x y y b +=．由0x =得20b ON y y ==,0y =得20b OM x x ==,从而2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM++===．注 类似地,(i )可证明将上例中的O 换为以长轴为直径的圆,P 为此圆上一点,引椭圆的两条切线,则44222a b a OMON+=；(ii)可证明对于双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>,抛物线22(0)y px p =>的类似于上例的结论:(a)从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P ,向以实轴为直径、原点为圆心的圆O 引两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M ,N ,则 222222b a b a OMON-=． (b)从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点P ,向以虚轴为直径,原点为圆心的圆O 引两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M ,N ,则 222222b a a b OMON-=． (c)从抛物线22(0)y px p =>上一点P ,向以2p （通径）为直径,原点为圆心的圆引两条切线,切点为A ,B ,直线AB 与x 轴,y 轴相交于点M ,N ,则222OM pON=． 例11 设P 是半径为R 的圆O 内任意一点,过点P 任意引(2)n n ≥条直线1l ,2l ,…,n l ．如果这n 条直线相邻两条所成的角都为πn ,且第i 条直线i l 交圆于i M ,i M '两点（1i =,2,…,n ）,那么221()ni i i PM PM ='+∑是与P 点无关的定值22nR ．证明 以圆心O 为坐标原点,射线OP 为x 轴正半轴建立直角坐标系,则圆的方程为222x y R +=．设(,0)P r ,不妨设直线1l 的倾斜角α最小,1l 的参数方程为cos ,sin ,x r t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）将此方程代入圆的方程222x y R +=,整理得 2222cos 0t r t r R α+⋅⋅+-=．设关于t 的上述二次方程的两根为1t ,2t ,则知 122cos t t r α+=-,2212()t t R r =--．由t 的几何意义,从而222211121212()2PM PM t t t t t '+=+=+-222222(1cos2)2()2(cos2)r R r r R αα=++-=+ （*）设直线i l （1i =,2,…,n ）对应的倾斜角为(1)πi n α-+,分别以πn α+,2πn α+,…,(1)πn nα-+代（*）式的α,然后将n 个式子(连同(*)式）相加,并注意三角公式 12(1)πcos 0ni m i n θ=-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑,（n m >均为正整数） 从而22222112(1)π()2cos 22nn ii i i i PMPM r nR nR n α==⎧-⎫⎡⎤'+=++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑∑． 注 若注意到22211111212()4M M PM PM t t t t ''=-=+-,可得22212(2)niii M M n R r ='=⋅-∑；211PM +21212222121()21t t t t t t PM +-=⋅',可得2222221112()n i i i nR R r PM PM =⎛⎫ ⎪+= ⎪-'⎝⎭∑；221212221112()411t t t t PM PM t t ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪'⋅⎝⎭,可得22222212(2)()i i n R r PM PM R r ⎛⎫1-∑+= ⎪ ⎪'-⎝⎭等． 2．注意点圆方程的巧用例12 已知圆0C 的方程为222x y r +=,求经过圆0C 上一点00(,)M x y 的切线方程．解 视点00(,)M x y 为点圆曲线0Γ:2200()()0x x y y -+-=．于是00{}C M Γ=∩,由性质9,得曲线系2222200[()()]0x y r x x y y λ+-+-+-=．且由题设知其中1λ=-,故有22220000222x x y y x y r r +=++=．即得200x x y y r +=即为所求．例13 求与圆C :2268170x y x y +--+=切于点(1,2)的圆的方程． 解 视点(1,2)为点圆曲线0Γ:22(1)(2)0x y -+-=,由性质9得所求圆的方程为2268x y x y +-- 2217[(1)(2)]0x y λ-+-+-=．即 ()2223428111x y λλλλλ+⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+．由228(1)λ=+⎝⎭,求得115λ=-或295λ=-．于是得1C :2227922x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭及2C :2223122x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 易知点(1,2)满足圆1C 的方程,且圆1C 与圆C 的圆心距等于两圆半径之差的绝对值,所以圆1C 与圆C 内切于点(1,2),圆1C 为所求．同理,圆1C 与圆C 外切于点(1,2),圆2C 也为所求． 3．借助圆的解析性质求解其他代数问题例14 若正数x ,y ,z 满足x y z a ++=,2222(0)2a x y z a ++=>,求证:203x <≤,203y <≤,203z <≤．证明 由已知有x y a z +=-,22222a x y z +=-,此二式同时成立,即知直线x y a z +=-与圆22222a x y z +=-（z ）有公共点,即原点到直线的距离不大于圆的半径,得2320z az -≤．又0a >,则203z a <≤．同理有203y a <≤,203z a <≤．例15 已知cos cos 2m αβ+=,sin sin 2n αβ+=．求cot cot αβ的值．解 令(cos ,sin )A αα,(cos ,sin )B ββ,则知A ,B 在圆221x y +=上．设线段AB 的中点为(,)C m n ,则1(cos cos )2m αβ=+,1(sin sin )2n αβ=+,且OC n k m =,AB m k n =-．AB 的方程为22m m n y x n n +=-+,并代入圆的方程,得222222222222()()10m m m n n m n x x n n n ⎛⎫++-+-+= ⎪⎝⎭．又cos α,cos β为此方程两根,有222222()cos cos n m n m n αβ+-⋅=+． 同理22222()sin sin m n m m n αβ+-⋅=+．故2222222()cot cot ()m n n m n m αβ+-⋅=+-为所求．【模拟实战】习题A1．求过直线l :240x y ++=与圆C :222410x y x y ++-+=的两个交点P ,Q ,且面积最小的圆的方程．2．已知直线1y x =-与椭圆22221(1)1x y a a a +=>-相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆过椭圆的左焦点,求a 的值．3．已知圆C :2224x y +=,直线l :1128x y+=,P 是l 上一点,射线OP 交圆于点R ,又点Q 在OP 上且满足:2OQ OP OR ⋅=．当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线． 4．求与抛物线24y x =相切于点P (1,4)且过点(3,0)的圆的方程． 5．求函数3cos ()2sin xy f x x+==-的值的取值范围．6．解方程组222 1.x y z x y z ⎧++⎪⎨++=⎪⎩7．已知a ,b +∈R ,且1a b +=,求证:2211252a b b a ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．8．已知α,β是锐角,目4422sin cos 1cos sin ααββ+=．求证:π2αβ+=．9．已知sin sin()cos()ααβαβ++++=,π,π4β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求β的值．习题B1．自点A (3-,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在直线方程．2．半径等于某个正三角形高的圆在这个正三角形的一边上滚动．证明三角形两边截圆的弧的总长等于60︒． 3．（九点圆定理）证明:三角形三边的中点,三高的垂足,垂心与顶点连接线段的中心,这九个点共圆．第二十七章 圆的解析性质及应用 习题A1．面积最小的圆是以PQ 为直径的圆,由240x y ++=与222410x y x y ++-+=分别消去y ,x ,得()22633055g x x x =++=,()2124055h y y y =-+=,故所求圆的方程为22261240555x y x y ++-+=． 2．将1y x =-代入椭圆方程,得()2242222202121a a a g x x x a a -=-+=--．将1x y =+代入椭圆方程,得()22422222202121a a a h y y y a a --=++=--．从而以AB 为直径的圆的方程为2224222222224210212121a a a a x y y a a a ---+-++=---． 因为此圆过椭圆的左焦点()1,0-,由此代入上述方程得42410a a -+=．而1a >,从而求得()1622a =+．3．由2224241218x y x y +=+整理,得()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,此即为以31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心,132为半径的圆． 4．因为点()1,4P 在抛物线上,所以由圆锥曲线的一般性质,知过点P 与抛物线相切的切线方程为442y x +=,即840x y --=． 视点()1,4为点圆曲线0Γ:()()22140x y -+-=,设所求圆方程为()()()2214840x y x y λ-+-+--=．此圆过点()3,0,从而求得1λ=-．于是有22107210x y x y +--+=． 将上述方程与24y x =联立,消去y ,得42162710210x x x --+=,即()()2211632210x x x -++=．易知此方方程的实根有仅有二重根1x =,从而推知抛物线24y x =与圆22107210x y x y +--+=有且仅有公共点()1,4,也即它们相切于点()1,4,因此22107210x y x y +--+=为所求圆的方程． 5．令cos u x =,sin v x =,则l :()320u yv y ++-=,O :221u v +=,由已知l 与O 有公共点,有23211y y -+≤,即231280y y -+≤,解得23232233y -+≤≤． 6．令l :()30x y z ++-=,O :2221x y z +=-．由已知l 与O 有公共点,知2312z z --≤,即()310z -≤,故33z =,由此求得33x y ==．7．令2211a b u b a ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1a x b +=,1b y a +=,则l :110x y ab ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭O :22x y u +=．由已知条件知l 与O 有公共点,有112ab u ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,即21112u ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥．又由已知1a b +=得14ab ≤,由此知()21251422u +=≥． 8．令2sin cos x αβ=,2cos sin y αβ=,则l :cos sin 10x y ββ⋅+⋅-=,O :221x y +=（由已知所设）．又l 与O 有公共点,从而有1,即22cos sin 1ββ+=,而22cos sin 1ββ+=,这说明l 与O 有且只有一个公共点,而22sin cos ,cos sin P ααββ⎛⎫⎪⎝⎭与点()cos ,sin Q ββ均是l 与O 上的点,从而2sin cos cos αββ=,亦即22sin cos αβ=,又α,β均为锐角,故2αβπ+=． 9．由已知得()()1cos sin sin sin cos cos ββαββα+-⋅++⋅．令sin u α=,cos v α=, 则l :()()1cos sin sin cos cos 0u ββββα+-⋅++⋅． O :221u v +=．由l 与O 有公共点,1即cos sin ββ≥,而,4βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,从而cos sin ββ=,故4βπ=．习题B1．已知圆的方程为22221x y -+-=（）（）,它关于x 轴的对称圆方程为()()22221x y -++=．此圆与直线l 相切,设切点()11,B x y ,l 上任一点为(),M x y ,B 分MA 为定比λ,则131x x λλ-=+,131y y λλ+=+．又B 在圆上有()()22249255194470y x x y x y λλ+-+++-++=,又l 与圆相切有0=△,即()()83434330x y x y -+-++=,故所求两条光线方程为3430x y +-=,4330x y ++=．2．取正ABC △的顶点A 为原点,BC 边上的高DA 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则AB,AC 的 程分别为0y -=,0y +=．若正ABC △的高为r ,则与边BC 相切而滚动的圆的方程为()222x m y r -+=．设圆与AB ,AC 分别交于Q ,R 两点,则Q ,R 两点的横坐标Q x ,R x 为方程()2223x m x r -+=,即222420x mx m r -+-=的根．即有2Q R m x x +=,()214Q R x x mr ⋅=-．又Q Q y ,R R y ,则()()()2222222232Q R Q R Q Q R R Q Q R R RQ x x y y x x x x x x x x =-+-=-++++()222224444Q R Q R m m r x x x x r ⎛⎫-⎡⎤=+-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 从而RQ r =,故RQ 在圆心所张的角恒为60︒的圆上．3．以垂心为原点,ABC △的高AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系．设()0,2A a ,()22B b d ，,()22C c d ，,则三边中点的坐标分别为()2P b c d +，,(),Q c a d +,(),R b a d +垂心与三顶点连线的中点分别为()0,J a ,(),K b d ,(),L c d ．因AD ,BE ,CF 是ABC △的三条高,则JPD △,KQE △,LRF △都是直角三角形,故它们的外接圆直径分别为JP ,KQ ,LR ．又因这三条线段的中点坐标均为2,22b c a d ++⎛⎫⎪⎝⎭,故三外接圆的圆心重合．而()()2222JP b c d a =++-,()2222KQ LR b c a ==-+,且从BE AC ⊥可得()2220d d a b c -+⋅=,即2d bca d+=,故 ()()()22222220JP KQ b c d a b c a -=++----=,故JP KQ LR ==,即三圆直径相等,由此得JPD △,KQE △,LRF △的三外接圆重合,故九个点共圆．。
初中数学竞赛辅导资料27
初中数学竞赛辅导资料27第二十七课竞赛复习课4例1（第九届缙云杯赛试题）把一张纸剪成5块，从所得纸片中取出若干块，每块剪成5块，再从上述所得中取出若干块，每块剪成5块，……这样类似进行下去，剪完某一次后停止，共得纸片总数是（ ）（A ）1990 （B ）1991 （C ）1992 （D ）1993应选D 。
例2有9个分数的和为1，它们的分子都是1，其中五个是1/3，1/7，1/9，1/11，1/33，其余四个分数分母个位数都是5，请写出这四个数，（华罗庚金杯赛第一届，第二试试题） 解：设其余四个分数为a 51，b 51，c 51，d51，则 a 51+b 51+c 51+d51=1-（1/3+1/7+1/9+1/11+1/33）=1010/3×3×5×7×11 令a 51=a 1/3×3×5×7×11，b51=b 1/3×3×5×7×11， c51= c 1/3×3×5×7×11，d 51= d 1/3×3×5×7×11， 则a 1+b 1+c 1+d 1=1010，且a 1、b 1、c 1、d 1是3×3×7×11的约数，它们可能是：3，7，11，9，21，33，77，63，99，231，693。
∵99+77+231+693=1010 ∴其余四个分数为1/5，1/15，1/45，1/385。
例3 1×n 长方形上有n 个方程依次编号为1，2，…，n ，在编号为n-2，n-1，n 的方格里各放一枚棋子，有两人在玩下面的游戏，每个人每走一步就把其中任意一格棋子移入编号较小的空格里，谁先无法走谁就算输，问谁有必胜的策略？解：先走的人有必胜策略。
例4有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22？（2）三堆都是12？如能，请用最快的操作完成，不能，则说明理由。
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
初中数学竞赛辅导资料
第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0， ｜x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3， x =0或x =1， x =±6， 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时,有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
(∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0）的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时,方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a （a －2)x =4（a －2） ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解?④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2(x－2）的解是整数？②（1－x)k=6的解是负整数？例3己知方程a（x－2）=b（x+1)－2a无解.问a和b应满足什么关系?例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1。
根据方程的解的定义,写出下列方程的解：① (x +1）=0, ②x 2=9， ③｜x ｜=9， ④｜x ｜=－3, ⑤3x +1=3x －1， ⑥x +2=2+x2。
关于x 的方程ax =x +2无解,那么a __________ 3. 在方程a （a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时,有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解; 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数? ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3(m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数,那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
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初中数学竞赛辅导资料（27）
识图
甲内容提要
1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2.几何图形就是点，线，面，体的集合。
点是组成几何图形的基本元素。
《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。
因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像
点：只表示位置，没有大小，不可再分。
线：只有长短，没有粗细。
线是由无数多点组成的，即“点动成线”。
面：只有长、宽，没有厚薄。
面是由无数多线组成的，“线动成面”。
4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。
识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。
还要注意一般图形和特殊图形的差别。
乙例题
例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？
E
解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。
乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)
△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。
丁图中共有等边三角形48个：
边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15
顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10
边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10
顶点在下▼的个数有 1＋2＝3
边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6
边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3
边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1
以上要注意数一数的规律
例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同一
直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出
现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。
（1989年全国初中数学联赛题）
解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线
有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1，A 2除外）……以此类推，6个
点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点连
线共5×6再除以2（因重复计算）。
要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，
共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A 1A 4，A 2A 5，
A 3A 6
A 3
A 1 A 2
例3.如图水平线与铅垂线相交于O ，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前
进，当甲在O 点时，乙离点O 为500米，2分钟后，甲、乙离点O 相等；
又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。
求甲和乙的速度比。
解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2
乙2 为再前进8分钟的位置。
再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y
米，根据题意得 ⎩⎨⎧-=-=500
101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y
乙1 ∴x ∶y=2∶3
乙0 答甲和乙的速度比是2比3。
例4.在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形三个顶点，共6个
点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？
（1989年全国初中数学联赛题）
解：如图△ABC 中一个点D ，与A ，B ，C 各点连结可得3个不重迭的三角
形；再增加1个点E ，这时可连结不重迭的三角形共5个，再增加1个点F ，
又可增加2个不重迭的三角形，共有7个。
一般规律是每增加1个点，可增加不重迭的三角形2个 A A
A
F
D E E
B C D D
B C B C
丙练习27
1. 数一数：甲图中有直角三角形＿＿个，乙图中有等腰直角三角＿＿个，
丙图中有全等三角形＿＿对。
C
甲 乙 2. 平面上有5个点A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B ，C 三点在同一直线上，
那么以这5个点为端点的线段共有＿＿＿条，记作_____＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 以O 为端点画6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE,OF,那么可组成的角（小
于平角）最多是＿＿个，最少是＿＿＿个，试分别画出草图。
4. 在三角形内有n 个点（n 为整数）与原三角形3个顶点共n ＋3个点，以
这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有＿＿＿＿个。
5. 下图中三角形＿＿＿个其中等腰三角形＿＿个，直角三角形＿＿＿个，
全等的等腰三角形＿＿组，每组＿＿个，
全等的直角三角形＿＿＿组，每组＿＿个。
6. 如图长方形ABCD 中，E ，F ，G 分别在边
BC ，CD ，DA 上，以A 为一个顶点，其他两点
在B ，C ，D ，E ，F ，G 中任选，总共可组成的 三角形的个数是＿＿（1987年泉州市初二数学双基赛题）
7. 平面上有6个点A ，B ，C ，D ，E ，F 其中任意3个点都不在同一直
线上，如果不使图形出现有3个点两两连线，那么最多可连接线段几
条？试画出草图.
8. 如图OC ⊥AB 于O ，OD ⊥OE 于O ，写出图中
相等的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 互余的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 互补的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
C
如图长方形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，
AE ＝BF ＝1，CG ＝DH ＝2 F 那么四边形EFGH 的面积是＿＿（平方单位）
10.如图A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，到A ，B ，C ，D 各点距离之和为
最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用
哪些线段的长度来表示？（1987年全国初中数学联赛题）
A B C D
11.正方形的边长为a ，以四条边长为直径，向形内作4个半圆，求这四个
半圆相交所成的菊花形面积。
12.下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？
答：（ ）
(D)
13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相
向而行，第一次相遇时，乙走了100米，第二次相遇时，甲还差60米
走完一圈。
求这个圆的周长。
提示：可设 圆周长为x 米，并引入参数V 甲，V 乙 列方程组解之
14.正方形ABCD 边长为a ，在点A 处有个质点P ， 在点B 处有个质点 Q ， 两个质点同时依反时针方向，沿正方形的边线作匀速的运动，过4秒钟，
P 在C 处追上Q 。
那么 B P A
① 再过 ＿＿秒钟， P 在＿处第二次追上Q ② 出发6秒钟时，P ，Q 这间相距＿＿a
D
O
15.有长3cm，宽2cm的长方形纸片1991张，将它们按照下图所示的方法，摆在平面上，那么这1991张纸片覆盖的面积是（）
（1991年泉州市初二数学双基赛题）（A）3982（B）3986（C）3990（D）3999
16.一条线段（与圆相交）可把一个圆分成两部分，问四条线段最多可把圆分成＿＿＿＿部分。
（1991年泉州市初二数学双基赛题）
17.把一个矩形分成6个正方形（如图），其中最小的一个面积是1（单位平
方）那么这个矩形的面积是＿＿＿（单位平方）。