工程力学 静力学与材料力学高等教育出版社PPT 应力状态

R (
材料力学
d (9.02,-58.3)
60 - (-40) 2 ) (-30) 2 58.31MPa 2
应力状态
主应力单元体：
3
p1
1
1 68.3MPa, 2 0, 3 -48.3MPa
材料力学
应力状态
（二）、解析法
（1）斜面上的应力
yx (dA sin ) cos - y (dA sin ) sin 0
e
n´
x

xy dA f a yx y dA· sin

材料力学
应力状态
F 0
t
dA· cos t´
dA - x (dA cos ) sin - xy (dA cos ) cos yx (dA sin ) sin y (dA sin ) cos 0
x - y sin 2 xy cos 2 2 用 斜截面截取，此截面上的应力为
2
x y x - y cos 2 xy sin 2 2 2
x - y sin 2 - xy cos 2 2
材料力学
1，2 和 3 表示，且
1 2 3
材料力学
应力状态
三向（空间）应力状态
( Three-Dimensional State of Stresses )
3
1
2
材料力学
应力状态
平面（二向）应力状态
( Plane State of Stresses )
材料力学
应力状态
y
yx xy
材料力学
应力状态
应力的三个重要的概念 1、应力的面的概念 2、应力的点的概念 3、应力状态的概念
材料力学
应力状态
（二）、一点应力状态的描述
• 微元
（Element）
dx , dy , d z 0
材料力学
应力状态
若单元体各个面上的应力已知，
由平衡即可确定任意方向面上的正
应力和切应力。
材料力学
e
n´
x

引入 2 sin cos sin2
1 cos 2 cos 2
2
材料力学
xy dA f a yx y dA· sin

1 - cos 2 sin 2
2
应力状态
解得：
x y x - y cos 2 - xy sin 2 2 2
正向者为正；
n
x
反之为负。
材料力学
应力状态
2、利用截面法及微元局部的平衡方程
• 平衡对象——用ef斜截面截取的微元局部
y
x
e
dA· cos t´
yx

e
n´
xy
f
x
y
材料力学
x xy dA f a yx y dA· sin
应力状态
参加平衡的量 ——应力乘以其作用的面积
dA· cos t´
e
n´
x

xy dA f a yx y dA· sin

平衡方程——
材料力学
F
n
0 及 Ft 0
应力状态
F
n
0
dA· cos t´
dA - x (dA cos ) cos
xy (dA cos ) sin
t y


n
A
a'
2
oE
20Βιβλιοθήκη (x ,xy)a
x
材料力学
C
D
应力状态
对应关系论证
DE R sin[ 180o - (2 2 0 )] R sin( 2 2 0 ) ( R cos 2 0 ) sin 2 ( R sin 2 0 ) cos 2
x - y
(2)
材料力学
应力状态
x y 2 2 x - y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2

a ( a , a )
x - y 2 2 ( ) xy 2
R c
x y 2
材料力学

应力圆上某一点的 坐标值对应着微元 某一方向上的正应 力和切应力
2

A
a (x ,xy)
x
0
xy
2
也有： 书上P281页为：
材料力学
o
1
2
c
20 g

1
d (y ,yx)
xy xy tan 0 x - 2 1 - y
xy xy tan 0 x - min max - y
应力状态
材料力学
应力状态
主应力表达式
材料力学
应力状态
利用解析法得到： x y x - y cos 2 - xy sin 2
2 2
由
x - y sin 2 xy cos 2 2
2 xy d 0 tg 2 0 x - y d
y
x
x
x
纯剪应力状态
( Shearing State of Stresses )
材料力学
单向应力状态
( One Dimensional State of Stresses )
应力状态
三 平 向 面 应 应 力 力 状 特例 状 特例 态 态
单向应力状态
纯剪应力状态
材料力学
应力状态
二、平面应力状态分析
40
D
A

30MPa 60MPa
材料力学
应力状态
解： （一）、图解法 3 -48.3MPa
40
30MPa

1 68.3MPa
a(-40,30)

60MPa
(10,0)
f
2 0

b(60,-30)
e
o c
60
tg 2 0 -
2 xy
x - y
0.6
0 15.48
1、应力圆方程
x y x - y cos 2 - xy sin 2 2 2
(1)
x y x - y ( ) cos 2 - xy sin 2 2 2 x - y sin 2 xy cos 2 2
x - y sin 2 xy cos 2 2
即应力的面的概念。
材料力学
应力状态
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应 力各不相同，此即 应力的点的概念 。
材料力学
应力状态
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
应力圆
（Mohr 圆）
应力状态
2.应力圆的画法 y yx xy D x
A

c
d
x - y 2 2 ( ) xy 2
R
a (x ,xy)

材料力学
x y 2 在 -坐标系中，标定与微元A、D面上 应力对应的点a和d 连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应 力圆半径。

a
xy
oB 1 d
c
20

A1
主平面（Principal Plane）： = 0,
与应力圆上和横轴交点对应的面
材料力学
应力状态
利用应力圆确定主应力
y
D

yx
A
x
a
xy
o B1 d
c
20

A 1
x y x - y 2 2 0c cA ( ) xy oA 1 1 2 2 x y x - y 2 2 oB1 0c - cB1 - ( ) xy 2 2
应力状态
单元选取示例一 F
S平面
F
1
1
从前往后看
材料力学
从右往左看
1
F A
应力状态
S平面
n
F
1

F


1


90
同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.
材料力学
应力状态
单元选取
示例二：
l/2
FP
S平面
l/2
5 4 3
5
S平面 4 3 2 1
材料力学
2 1
将0值代入，得：
材料力学
x y x - y 2 2 ( ) xy 2 2 x y x - y 2 2 - ( ) xy 2 2
应力状态
主应力排序：
1 2 3



a
o 2
d
c
20

1
3 o
1

2 o
2
sin 2 xy cos 2
n D( , )
2 0 E C 20 B(y ,yx) x A(x ,xy)

材料力学
应力状态
n D( , )
2 E 0 C OE OC - EC B(y ,yx) x y o - R cos[180 - (2 2 0 )] 2 x y R cos( 2 2 0 ) 2 x y R(cos 2 cos 2 0 - sin 2 sin 2 0 ) 2 x y x - y cos 2 - xy sin 2 2 2