2019年高中数学北师大版必修五达标练习：第2章 §3 解三角形的实际应用举例 Word版含解析
高中数学 第二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例学案 北师大版必修5
3 解三角形的实际应用举例学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)知识点二测量方案思考如何不登月测量地月距离？梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一测量不可到达点间的距离例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A、B两点间的距离(精确到0.1 m)．反思与感悟解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1 要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为______km.类型二测量高度例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)．反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m.类型三航海中的测量问题例3 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？1．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．10 2 n mile B．10 3 n mileC．20 2 n mile D．20 3 n mile2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离．4．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．答案精析问题导学 知识点一 思考梳理 (1)90 (2)上方 下方 知识点二思考 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离． 题型探究例1 解 根据正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，AB ＝AC sin C sin B＝AC sin C－A －C ＝55sin 75°－51°－＝55sin 75°sin 54°≈65.7(m)．答 A 、B 两点间的距离为65.7 m. 跟踪训练1 5解析如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)．△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km.例2 解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠BAD ＝α. 根据正弦定理，BCα－β＝AB＋β，所以AB ＝BC ＋βα－β＝BC cos βα－β.解Rt△ABD ，得BD ＝AB sin∠BAD ＝BC cos βsin αα－β.将测量数据代入上式，得BD ＝27.3cos 50°1′sin 54°40′－＝27.3cos 50°1′sin 54°40′sin 4°39′≈177.4(m)．CD ＝BD －BC ≈177.4－27.3≈150(m)．答 山的高度约为150 m. 跟踪训练2 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点， 在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．例3 解 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137° ≈113.15(n mile)．根据正弦定理，BC sin∠CAB ＝ACsin∠ABC，sin∠CAB ＝BC sin∠ABC AC ＝54.0sin 137°113.15≈0.325 5， 所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile. 跟踪训练3 解如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at (海里)， AC ＝3at (海里)， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin∠CAB ＝ACsin B得：sin∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12，∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 当堂训练1．A 2.203米、4033米3．解 由题意知∠ABC ＝30°， 由正弦定理AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，故AB ＝AC ·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)． 4．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°， ∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)． 根据正弦定理，15sin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ×sin 21.4°＝15×cos 18.6°sin 2.8°×sin 21.4°≈106.19(m)．。
2019北师大版数学必修5跟踪训练：第二章 3 解三角形的实际应用举例含解析
第二章解三角形§3解三角形的实际应用举例[A组学业达标]1．(2019·潮州高一检测)海洋中有A，B，C三座灯塔．其中A，B之间距离为a，在A处观察B，其方向是南偏东40°，观察C，其方向是南偏东70°，在B处观察C，其方向是北偏东65°，则B，C之间的距离是()A．a B.2aC.12a D.22a解析：如图所示，由题意可知AB＝a，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∴∠C＝45°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin C ＝BCsin∠BAC，即BC＝12a22＝22a.故选D.答案：D2．(2019·遂宁高一检测)如图，设A，B两点在涪江的两岸，一测量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°.则A，B两点间的距离为()A．50 2 m B．50 mC．50 3 m D．50 6 m解析：在△ABC中，∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得ACsin B＝ABsin C，即5012＝AB22，解得AB ＝50 2.故选A.答案：A3．(2019·永州高一检测)如图，在热气球C 正前方有一高为a 的建筑物AB ，在建筑物底部A 测得C 的仰角为60°，同时在C 处测得建筑物顶部B 的俯角为30°，则此时热气球的高度CD 为( ) A.2a B.3a C.332aD.32a解析：由题意，∠BCA ＝∠BAC ＝30°， ∴AB ＝BC ＝a ，AC ＝ 3 a ，△ADC 中，CD ＝AC sin 60°＝32 a ，故选D. 答案：D4．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 相对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 相对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝( ) A.32 B.3－1 C ．2－ 3D.22解析：在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin （45°－15°）＝50(6－2)(m)．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD ＝50（6－2）sin 45°50＝3－1.由题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1，故选B.答案：B5．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于()A.217 B.2114C.32114 D.2128解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°. 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝207.由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，得∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝277.故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.故选B.答案：B6．有一段长为10 m的斜坡，它的倾斜角为75°，在不改变坡高的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________m.解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，所以BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC＝10sin 45°sin 30°＝102(m)．答案：10 27．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的持续时间为________小时．解析：设t 小时时，B 城市恰好处于危险区，则由余弦定理，得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°＝302，即4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.故|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（22）2－4×74＝1.答案：18．在点O 观测到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于点P ，一分钟后，该物体位于点Q ，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于点R ，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ ＝________．解析：由物体做匀速直线运动，得PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.如图，在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ .在△OPR 中，由正弦定理，得2sin （90°＋30°）＝OPsin ∠ORP ＝cos ∠OPQ sin ∠ORP.同理在△ORQ中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQsin ∠ORQ ＝sin ∠OPQ sin ∠ORQ，所以1sin 30°·sin 120°2＝sin ∠OPQ sin ∠ORQ ·sin ∠ORPcos ∠OPQ ＝tan ∠OPQ ，所以tan ∠OPQ ＝sin 120°2sin 30°＝32.答案：3 29．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为32a的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝32a，∵BCsin 30°＝CDsin 45°，∴BC＝64a.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝34a2＋38a2－2×32a×64a×22＝38a2，∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为64a.10．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解析：(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12 (n mile)，AC＝10×2＝20 (n mile)，∠BCA＝α.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28 (n mile)．所以渔船甲的速度为12BC ＝14(n mile/h)． (2)在△ABC 中，AB ＝12 n mile ，∠BAC ＝120°， BC ＝28 (n mile)，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，所以sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.[B 组 能力提升]11．(2019·桂林高一检测)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( ) A.7 km B.13 km C.19 kmD.10－3 3 km解析：如图所示，15 min ＝14 h.设甲、乙两船行驶14 h 分别到D 、C 点． ∴AD ＝14×8＝2 km. BC ＝14×12＝3 km.∵∠EBC ＝60°，∴∠ABC ＝120°. ∵AB ＝BC ＝3， ∴∠A ＝∠ACB ＝30°.在△ABC 中，由余弦定理可得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝32＋32－2×3×3cos 120°＝27.∴AC＝3 3.在△ACD中，由余弦定理可得：DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos∠DAC＝4＋27－2×2×33cos 30°＝13.∴DC＝13.所以B选项是正确的．答案：B12．(2019·承德高一检测)飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔1 5000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108 s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为()A．(15－183sin 18°cos 78°)kmB．(15－183sin 18°sin 78°)kmC．(15－203sin 18°cos78°)kmD．(15－203sin 18°sin 78°)km解析：如图，∠A＝18°，∠ACB＝60°，AB＝1 000×108×13 600＝30(km)∴在△ABC中，BC＝30sin 18°sin 60°＝203sin 18°，∵CD⊥AD，∴CD＝BC sin∠CBD＝BC×sin 78°＝203sin 18°sin 78°.山顶的海拔高度＝15－203sin 18°sin 78° (km)．故选D.答案：D13．(2019·丰台高一检测)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离．观察者找到了一个点C，从C可以观察到点A，B；找到了一个点D，从D可以观察到点A，C；找到一个点E，从E可以观察到点B，C.并测量得到图中一些数据，其中CD＝23，CE＝4，∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BCE＝90°，∠ADC＝60°，∠BEC＝45°，则AB＝________．解析：在Rt△BCE中，BC＝CE＝4，在Rt△ACD中，AC＝3CD＝6，在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 60°＝16＋36－2·4·6·1＝27.2答案：2714．某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，则巡逻艇应该沿________方向去追，需要________小时才追赶上该走私船．解析：如题干图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得(14x)2＝92＋(10x)2－2×9×10x cos 120°化简得32x 2－30x －27＝0， 解得x ＝32或x ＝－916(舍去)， 所以BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21， 由正弦定理， 得sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314，所以∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)． 38°13′＋45°＝83°13′. 答案：北偏东83°13′ 3215．某人在塔的正东，沿着南偏西60°的方向前进60米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为60°，求塔高．解析：如图，设AE 为塔，某人在塔正东的B 点，他在B 点沿南偏西60°前进60米后到达C 点，则BC ＝60，∠BAC ＝90°＋45°＝135°， ∠ABC ＝90°－60°＝30°， 在△ABC 中， 根据正弦定理有BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，即60sin 135°＝AC sin 30°， 解得AC ＝30 2.过点A 作AG ⊥BC 于点G ，连接EG ，则∠AGE 为直线EG 与平面ABC 所成的线面角， 即为沿途测得塔顶的最大仰角， 故∠AGE ＝60°，在△ABC 中， S △ABC ＝12AG ·BC ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ， 即AG ＝AC ·BC ·sin ∠ACBBC＝302×sin(180°－135°－30°)＝15(3－1)．又因为AE ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以AE ⊥AG ， 在直角△AEG 中，塔高AE ＝AG ·tan ∠AGE ＝15(3－1)×tan 60°＝15(3－3)． 答：塔高为15(3－3)米．16．某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(3＋1)n mile 的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile ，正以10 2 n mile/h 的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)h 后开始影响基地持续2 h ．求台风移动的方向． 解析：如图，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B ，C ，D 在一条直线上，且AD ＝20 n mile ，AC ＝20 n mile.由题意，得AB ＝20(3＋1)n mile ，DC ＝20 2 n mile ，BC ＝102(3＋1)n mile.在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°，在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝32.∴∠BAC＝30°.∵B位于A的南偏东60°方向，且60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向．又∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量CD→的方向，即北偏西45°方向．- 11 -。
数学北师大版必修5检测：2.3 解三角形的实际应用举例
§3解三角形的实际应用举例课后篇巩固探究1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了四种测量方案:(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c)①测量A,C,b②测量a,b,C③测量A,B,a④测量a,b,B则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④解析:已知三角形的两角及一边,可以确定三角形,故①③正确;已知两边及夹角,可以确定三角形,故②正确;已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个,故④错误.故选A.答案:A2.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20 m,则折断点与树干底部的距离是()m.A.20√63B.10√6C.10√63D.20√2解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°, 所以∠OAB=60°.由正弦定理知,AOsin45°=20sin60°,所以AO=20sin45°sin60°=20√63(m).答案:A3.已知一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过√3 h,该船实际航程为()A.2√15kmB.6 kmC.2√21kmD.8 km解析:如图,因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 km/h,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4 km/h,∠AOB=120°,所以∠OAC=60°,|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |= √22+42-2×2×4cos60°=2√3(km/h).经过√3 h,该船的实际航程为2√3×√3=6(km). 答案:B4.甲船在B 岛的正南方10 km 处,且甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行,同时乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是( ) A.1507 minB.157 hC.21.5 minD.2.15 h解析:如图,设经过x h 后甲船处于点P 处,乙船处于点Q 处,两船的距离为s ,则在△BPQ 中,BP=(10-4x ) km,BQ=6x km,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s 2=PQ 2=BP 2+BQ 2-2BP ·BQ ·cos ∠PBQ ,即s 2=(10-4x )2+(6x )2-2(10-4x )·6x ·cos 120°=28x 2-20x+100.当x=--202×28=514时,s 最小,此时514 h =1507 min . 答案:A5.已知一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( ) A.20(√2+√6)海里/时 B.20(√6−√2)海里/时 C.20(√6+√3)海里/时D.20(√6−√3)海里/时解析:设货轮航行30分后到达N 处,由题意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°, 则∠MSN=180°-105°-45°=30°. 而MS=20海里,在△MNS 中, 由正弦定理得MNsin30°=MSsin105°, 即MN=20sin30°sin105°=10sin (60°+45°) =10sin60°cos45°+cos60°sin45°==10(√6−√2)(海里).6+24=20(√6−√2)(海里/时).故货轮的速度为10(√6−√2)÷12答案:B6.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10 000 m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为()A.2 500(√3-1) mB.5 000√2mC.4 000 mD.4 000√2m解析:如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10 000 m,所以∠ACB=45°.由正弦定理,得10000=BC,,又cos 75°=BDBC·cos 75°=2 500(√3-1)(m).所以BD=10000·sin30°sin45°答案:A7.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h解析:设t h后,B市处于危险区内,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40cos 45°≤302.化简得4t2-8√2t+7≤0,所以t1+t2=2√2,t1·t2=7.4从而|t1-t2|=√(t1+t2)2-4t1t2=1.答案:B8.如图,已知海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距3√2n mile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5 n mile的C处,则两艘船之间的距离为n mile.解析:连接AC,BC=AB=5 n mile,∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,所以AC=5 n mile,且∠DAC=180°-75°-60°=45°.在△ACD中,由余弦定理得CD2=(3√2)2+52-2×3√2×5×cos 45°=13,所以CD=√13n mile.故两艘船之间的距离为√13n mile.答案:√139.如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A 的俯角β=45°.已知塔高60 m,则山高为.解析:在△ABC中,BC=60 m,∠BAC=15°,∠ABC=30°,由正弦定理,得AC=60sin30°sin15°=30(√6+√2)(m).所以CD=AC·sin 45°=30(√3+1)(m).答案:30(√3+1)m10.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=50 m,则山高MN=m.解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=50 m,所以AC=50√2m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理得,ACsin45°=AMsin60°,因此AM=50√3m.在Rt△MNA中,AM=50√3m,∠MAN=60°,由MNAM =sin 60°,得MN=50√3×√32=75(m).答案:75 11.导学号33194045如图,CM,CN为某公园景观湖畔的两条木栈道,∠MCN=120°.现拟在两条木栈道的A,B两处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米).(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;(2)已知AB=12,记∠ABC=θ,试用θ表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.解(1)因为a,b,c成等差数列,且公差为4,所以a=b-4,c=b+4,因为∠MCN=120°,所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos 120°,解得b=10.(2)由题意,得ACsinθ=BCsin(60°-θ)=12sin120°,所以AC=8√3sin θ,BC=8√3sin(60°-θ),所以观景路线A-C-B的长AC+BC=8√3sin θ+8√3sin(60°-θ)=8√3sin(60°+θ)(0°<θ<60°).所以当θ=30°时,观景路线A-C-B长的最大值为8√3百米.12.导学号33194046如图,一艘船由西向东航行,测得某岛M的方位角为α,前进5 km 后测得此岛的方位角为β.已知该岛周围3 km内有暗礁,现该船继续东行.(1)若α=2β=60°,问该船有无触礁危险?(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险?解(1)设岛M到直线AB的距离MC为d km,则AC=d tan α km,BC=d tan β km.由AC-BC=AB,得d tan α-d tan β=5,d=5tanα-tanβ.当α=2β=60°时,d=√3-33=5√32>3,所以此时没有触礁的危险.(2)方法一:要使船没有触礁危险,只要使d>3,即5tanα-tanβ>3.因为0<β<α<π2,所以tan α-tan β>0,所以tan α-tan β<53,所以当α,β满足tan α-tan β<53时,该船没有触礁的危险.方法二:设CM=x km,由AB=BM,即5sin (α-β)=x cosαcosβ,解得x=5cosαcosβsin (α-β), 所以当5cosαcosβsin (α-β)>3时没有触礁危险.13.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号,海军舰艇在A 处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10 n mile 的C 处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h 的速度航行,海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间(角度精确到0.1°,时间精确到1 min).解如图,设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为x h,则AB=21x n mile, BC=9x n mile, AC=10 n mile,∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°,根据余弦定理可得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos 120°, 即(21x )2=102+(9x )2-2×10×9x cos 120°, 亦即36x 2-9x-10=0, 解得x 1=23,x 2=-512(舍去), 所以AB=14 n mile,BC=6 n mile . 由余弦定理可得cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=142+102-622×14×10≈0.928 6,所以∠BAC ≈21.8°, 所以方位角为45°+21.8°=66.8°,又因为23h =40 min,所以舰艇应以北偏东66.8°的方向航行,靠近渔船需要40 min .由Ruize收集整理。
【创新设计】高中数学(北师大版必修五)配套练习：2.3解三角形的实际应用举例(二)(含答案解析)
§ 3解三角形的实质应用举例( 二).2.利用正、余弦定课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的相关高度的问题理及三角形面积公式解决三角形中的几何胸怀问题．1．仰角和俯角：与目标视野在同一铅垂平面内的水平视野和目标视野的夹角，目标视线在水平线 ____方时叫仰角，目标视野在水平线____方时叫俯角．(如下图 )2．已知△ ABC 的两边 a、 b 及其夹角C，则△ ABC 的面积为 ____________ ．一、选择题1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为() A．α >β B ．α＝βC．α <β D ．α＋β＝90°2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是 ()40A． 20 3 m，33mB． 10 3 m,20 3 mC． 10(3－ 2) m,203 m1520D. 2 3 m，3 3 m3．如图，为测一树的高度，在地面上选用 A 、B 两点，从 A 、 B 两点分别测得树尖的仰角为 30°， 45°，且 A 、B 两点之间的距离为60 m，则树的高度为()A． 30＋ 30 3 m B． 30＋153mC． 15＋ 30 3m D．15＋33m4．从超出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为 ()A． 2h 米 B. 2h 米C. 3h 米 D ． 22h 米5．在某个地点测得某山岳仰角为来的 2 倍，持续在平行地面上行进θ，对着山岳在平行地面上行进 600 m200 3 m 后，测得山岳的仰角为本来的后测仰角为原4 倍，则该山岳的高度是()A． 200 m B． 300 mC． 400 m D． 100 3 m6．如下图， D、C、B 三点在地面同向来线上，DC ＝a，从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别是β、α( β<．α)则 A 点离地面的高AB 等于 ()asin α sinβA.sin(α－β)asin α sinβB.cos(α－β)asin α cosβC.sin( α－β)acosα cosβD.cos(α－β)二、填空题7.如下图，丈量河对岸的塔高AB 时，能够选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C 与 D，现测得∠ BCD ＝α，∠ BDC ＝β，CD ＝s，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为θ，则塔高 AB 为 ________．8．甲船在A 处察看乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3倍，则甲船应取方向 __________ 才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．9. 如图，为认识某海疆海底结构，在海平面内一条直线上的 A 、B、C三点进行丈量．已知 AB ＝ 50 m，BC ＝ 120 m，于 A 处测得水深 AD ＝ 80 m，于 B 处测得水深 BE＝ 200 m，于C 处测得水深 CF＝ 110 m，则∠ DEF 的余弦值是 ________．10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的 C 处，此时得悉，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛凑近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇抵达渔船的最短时间是______小时．三、解答题11．如下图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β已.知铁塔 BC 部分的高为 h，求山高 CD.12．在海岸 A 处，发现北偏东45°的方向，距离 A ( 3－ 1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西75°的方向，距离 A 2 n mile 的度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？C 处的缉私船受命以10 3 n mile/h 的速的速度从 B 处向北偏东30°的方向逃跑，能力提高13．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°，并且两条船与炮台底部连成 30°角，求两条船之间的距离．14．如图， A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观察点，现位于 A 点北偏东45°， B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60°且与 B 点相距 203海里的C 点的营救船立刻前去营救，其航行速度为30 海里 /时，该救援船抵达D 点需要多长时间？1．丈量底部不行抵达的建筑物的高度问题．因为底部不行抵达，这种问题不可以直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，而后转变为解直角三角形的问题．2．丈量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依据需要求出所求的角．【创新设计】高中数学(北师大版必修五)配套练习：2.3解三角形的实质应用举例(二)(含答案分析)§ 3解三角形的实质应用举例 (二 )答案知识梳理11．上下2.2absin C作业设计1． B2．A[h 甲＝ 20tan 60 40 ＝°20 3(m)． h 乙 ＝ 20tan 60 －°20tan 30 ＝°3(m)． ]33．A[ 在 △PAB 中，由正弦定理可得1＝ PB60×＝ 3060 ， PB ＝ 2 ， h ＝ PBsin 45 °＝(30 ＋ 30 3)m.]sin(45 －°30°) sin 30 ° sin 15 °sin 15 °4. A [如下图，BC ＝ 3h ， AC ＝h ，∴ AB ＝ 3h 2＋ h 2＝2h.]5． B [ 如下图， 600 · sin 2＝ 200θ 3· sin 4，θ∴ cos 2 θ＝ 3，∴ θ＝ 15°，2∴ h ＝200 3·sin 4＝θ300 (m)． ]h6．A[ 设 AB＝h ，则 AD ＝，∵∠ CAD ＝α－β，CDAD∴sin(α－ β)＝sin .β∴ a＝ h，∴ h ＝ asin α sin βsin(α－ β) sin α sin β sin(α－ β).]s · tan θ sin β7.sin( α＋ β)分析在 △ BCD 中，∠ CBD ＝ π－ α－β.BCCD由正弦定理，得 sin ∠ BDC ＝sin ∠ CBD.CDsin ∠ BDC s · sin β∴BC ＝＝.sin ∠ CBDsin( α＋ β)s · tan θ sin β在 Rt △ABC 中， AB ＝ BCtan ∠ ACB ＝ sin(α＋ β) .8．北偏东 30°3a分析如下图，设到C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t ，乙船速度为 v ，则 BC ＝ tv ，AC ＝ 3tv ， B ＝ 120°，BC AC由正弦定理知 sin ∠ CAB ＝sin B ，∴1 ＝ 3 ，sin ∠ CAB sin 120°∴ sin ∠ CAB ＝12，∴∠ CAB ＝ 30°，∴∠ ACB ＝ 30°，∴ BC ＝AB ＝ a ，22 2 2 2 212∴ AC ＝ AB ＋BC － 2AB ·BCcos 120°＝ a ＋ a － 2a ·－ 2 ＝ 3a ，∴ AC ＝ 3a.16 9.65分析作 DM ∥AC 交 BE 于点 N ，交 CF 于点 M.DF ＝ MF 2＋DM 2＝ 302＋ 1702＝ 10 298(m)， DE ＝ DN 2＋ EN 2＝ 502＋ 1202＝ 130(m)EF ＝ (BE － FC)2＋ BC 2＝ 902＋ 1202＝ 150(m)在 △DEF 中，由余弦定理的变形公式，得DE 2＋ EF 2－ DF 2＝1302 ＋1502－ 102×298 ＝ 16cos ∠ DEF ＝2DE ·EF2×130 ×15065.2 10.3分析 设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在 △ ABC 中，由已知可得：∠ ACB ＝120°，设舰艇抵达渔船的最短时间为t ，则 AB ＝ 21t ， BC ＝9t ，AC ＝ 10，则 (21t) 2＝ (9t) 2＋ 100－2或 t ＝－52×10×9tcos 120 ，°解得 t ＝ 312(舍 )．11．解 在△ ABC 中，∠ BCA ＝ 90°＋ β，∠ABC ＝ 90°－ α，∠BAC ＝ α－β，∠ CAD ＝ β.ACBCACBC依据正弦定理得： sin ∠ ABC ＝sin ∠ BAC，即sin(90 －°α)＝sin( α－ β)，∴AC ＝ BCcos α hcos α＝ sin(α－ β).sin( α－ β)在 Rt △ACD 中， CD ＝ACsin ∠ CAD ＝ ACsin β＝ hcos α sin βhcos α sin βsin(α－β) .即山高 CD 为 sin( α－ β) .12．解如下图，设缉私船用t h在 D 处追上走私船，则有CD ＝ 10 3t ， BD ＝ 10t ，在 △ ABC中，∵AB ＝3－1， AC ＝ 2，∠ BAC ＝ 120°，∴由余弦定理，得BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB ·AC ·cos ∠ BAC ＝ (3－ 1)2＋22－ 2×(3－1) ×2×cos 120＝°6，∴ BC ＝6，且 sin ∠ ABC ＝ AC ·sin ∠ BACBC＝2×3＝6 22 2.∴∠ ABC ＝ 45°，∴ BC 与正北方向垂直．∴∠ CBD ＝ 90°＋30°＝ 120°，在 △BCD 中，由正弦定理得sin ∠ BCD ＝ BD ·sin ∠CBD ＝ 10tsin 120＝°1，CD10 3t2∴∠ BCD ＝ 30°.即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船． 13．解 如下图：∠CBD ＝ 30°，∠ADB ＝ 30°，∠ACB ＝ 45°∵ AB ＝30，∴ BC＝30，30BD ＝＝30 3.tan 30°在△BCD 中，CD2＝ BC2＋ BD 2－ 2BC·BD·cos 30 °＝ 900，∴CD＝30，即两船相距 30 m.14．解由题意知 AB ＝ 5(3＋ 3)海里，∠ DBA ＝ 90°－ 60°＝ 30°，∠ DAB ＝ 90°－45°＝45°，∴∠ ADB ＝ 180 °－ (45 °＋ 30°)＝ 105 °.在△DAB 中，由正弦定理，得DB＝AB，sin∠ DAB sin∠ ADB∴DB＝AB·sin∠ DAB＝5(3＋ 3) ·sin 45°5(3＋ 3) ·sin 45 °＝5 3( 3＋1)sin∠ ADB sin 105 °＝sin 45 cos° 60 ＋°cos 45 sin° 60°3＋12＝10 3(海里 )．又∠ DBC ＝∠ DBA ＋∠ ABC ＝ 30°＋ (90 °－ 60°)＝ 60°，BC＝ 203(海里 )，在△DBC 中，由余弦定理，2221，得 CD ＝BD＋BC －2BD·BC·cos ∠DBC ＝ 300＋ 1 200－ 2×103×20 3×＝9002∴CD＝30(海里 )，30∴需要的时间t＝＝1(小时)．故营救船抵达 D 点需要 1 小时．。
北师大版高中数学必修五3 解三角形的实际应用举例
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）3 解三角形的实际应用举例（北师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共25分）1．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮 的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A. 20（ + ）海里/时B. 20（ ﹣ ）海里/时C. 20（ + ）海里/时D. 20（-）海里/时2．在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度 为（ ） A. 200 m B. 300 mC. 400 mD. 100m3．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（ ）A. mB. mC.mD.m4．甲船在岛B 的正南方A 处，AB =10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A.分钟B.分钟C.21.5分钟D.2.15分钟5．海中有一小岛B ，周围3.8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A ，望见岛在北偏东75°，航行8海里到C ，望见岛B 在北偏东60°，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险（ ） A. 有触礁危险 B. 不会触礁C. 前两种情况都有可能发生D. 不能判断6．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为米．7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°.若PB =，则P A的长为.8.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为 .9.如图，在倾斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的倾斜度为15︒，向山顶前进100 m后，又从点B测得倾斜度为45︒，假设建筑物高50 m，设山坡对于地平面的倾斜度为θ，则cosθ= .三、解答题（共55分）10．（10分）用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α，β,已知B，D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. 11．（10分）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？12.（12分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD DC，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．13.（13分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连接本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能所示）14. (10分)如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD CD⊥，10km,AD=kmAB=14 60BDA︒∠=，135BCD︒∠=，求两景点B与C的距离（假设,,,A B C D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2 1.414,3 1.732,5 2.236===）3 解三角形的实际应用举例答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6． 7． 8． 9．三、解答题10.11.12.13.14.3 解三角形的实际应用举例参考答案1．B 解析：由题意知SM =20，∠SNM =105°，∠NMS =45°，∴ ∠MSN =30°. △MNS 中利用正弦定理可得，20.sin 30sin105MN =︒︒()12021062,264MN ⨯==-+∴ 货轮航行的速度v =()()1062206212-=- （海里/时）.点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．2.B 解析：依题意可知AB =BP =600，BC =CP =200，∴ cos 2θ=2223.22BC BP PC BC BP +-=⋅ ∴ 2θ=30°，θ=15°， ∴ PD = PC •sin 60°=2003×32=300 m ，故选B. 点评：本题主要考查了解三角形中的实际应用，考查了学生分析问题和解 决问题的能力．3．A 解析：依题意可得图象如图所示， 从塔顶向山体引一条垂线CM ，则AB =BD ⋅tan 60°，AM =CM ⋅tan 30°，BD = CM ， ∴ AM =tan 30tan 60AB⨯︒︒=， ∴ 塔高 CD =200﹣=m ，故选A.点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题，属基础题．4．A 解析：假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至C ，D ， 可知BC =10﹣4x ，BD =6x ，∠CBD =120°，CD 2=BC 2+BD 2﹣2BC BD cos ∠CBD =（10﹣4x ）2+36x 2-2（10﹣4x ）6x 1⎛⎫-=28x 2﹣20x +100， 当x =514小时，即1507分钟时距离最小，故选A. 点评：本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象．属基础题．5．B 解析：由B 向AC 的延长线作垂线，垂足为D ，依题意可知∠BAC =15°，∠BCD =30°， ∴ ∠ABC =30°﹣15°=15°∴ BC =AC =8，∴ BD =BC sin 30°=4＞3.8，故可知无触礁危险，故 选B.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．6．解：依题意设树干底部为C ，树尖着地处为B ，折断部分为A ， 可知∠A =30°，∠C =90°，BC =5， 故AC =553,tan 33BC A ==∠510,1sin 2BC AB A ===∠∴ 树干原来的高度为 AC +AB =10+5.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题． 7．解析：由已知得∠PBC =60°，所以∠PBA =30°. 在△PBA 中，由余弦定理得P A 2=3+-2××cos 30°=,故P A =.8. 1 h 解析:设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ，在△ABP 中,PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40 cos 45︒,化简得24027000x x -+=，｜x 1－x 2｜2＝（x 1＋x 2）2-4x 1x 2=400,|x 1－x 2｜＝20，即CD ＝20， 故 20120CD t v ===. 9. 13- 解析：在△ABC 中，AB = 100 m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒- 15︒ = 30︒, 由正弦定理得15sin 30sin 100BC=，∴ BC = 200sin 15︒. 在△DBC 中，CD = 50 m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ由正弦定理得)90sin(15sin 20045sin 50θ+=⇒cos θ =13-. 10.分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与AC =BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA .解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，根据正弦定理，得AE ＝a sin βsin （α－β）,在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝a sin αsin βsin （α－β） ,∴ EF ＝EG ＋b ＝a sin αsin βsin （α－β） ＋b .答：气球的高度是a sin αsin βsin （α－β）＋b .11．分析：解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用s vt =求出边长,再进行进一步分析.解：如图，连接11A B ，由已知22102A B =，122030210260A A =⨯=， 1222,A A A B ∴=又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212102A B A A ∴==.由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理得，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22220(102)2201022=+-⨯⨯⨯200=，12102B B ∴=． 因此，乙船的速度的大小为1026030220⨯=（海里/时）． 答：乙船每小时航行302海里．12．解法一：设该扇形的半径为r 米. 由题意，得 CD =500（米），DA =300（米），∠CDO =60︒，在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-︒=，即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯= 解得490044511r =≈（米）. 解法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H ，由题意，得CD =500（米），AD =300（米），120,CDA ∠=︒∴AC =700（米），22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.点评：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解; （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.13. 解：设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB ＝15°，OB ＝vt ，4v AB t ≤⋅. 在△AOB 中，由正弦定理，得sin sin15OB ABOAB =∠， ∴ 62sin sin1562/44OB vt OAB AB vt -∠=≥⋅=- 而2(62)84384 1.741-=->-⨯>，即sin ∠OAB1,∴ 这样的∠OAB 不存在，因此，游击手不能接着球.14. 解：在△ABD 中，设BD =x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得：096102=--x x ， 解得161=x ，62-=x （舍去）， 在△BCD 中，由正弦定理，得BCDBDCDB BC ∠=∠sin sin , ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC ≈11(km ). 答：两景点B 与C 的距离约为11 km.。
北师大版高中数学必修五§3 解三角形的实际应用举例
§3 解三角形的实际应用举例双基达标(限时20分钟)1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )．A．10kmB．103kmC．105kmD．107km解析由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos120°＝700.∴AC＝107(km)．答案 D2．D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从D 、C 两点测得A 点仰角分别是α、β(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )． A.a sin αsin βsin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin αcos βsin (β－α) D.a cos αsin βcos (α－β)解析 由已知得∠DAC ＝β－α，由正弦定理AC sin α＝DC sin (β－α)，∴AC ＝a sin αsin (β－α).在Rt △ABC中，AB ＝AC ·sin β＝a sin αsin βsin (β－α). 答案 A 3．如右图所示，D ，C ，B 在同一地平面的同一直线上，DC ＝10m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB 等于( )．A ．10mB ．53mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1)m解析 在△ADC 中，AD ＝10·sin 135°sin 15°＝10(3＋1)(m)． 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ·sin30°＝5(3＋1)(m)．答案 D4．测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，使AB ＝120m ，从A ，B 望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，则河宽为________m.解析 ∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA＝180°－30°－75°＝75°，∴AC ＝AB ＝120m.∴河宽CD ＝12AC ＝60m. 答案 605．海岸边有一炮台高30m ，海中有两小船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两小船与炮台底部连线成30°角，则两小船相距________．解析 如图，设CD 为炮台，A ，B 为两小船，由题意CD ＝30m ，∠CBD ＝45°，∠CAD ＝30°，∠ACB ＝30°，在Rt △ACD 中，AC ＝30tan60°＝303(m)，同理BC ＝30tan45°＝30(m)，在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(303)2＋302－2×30 3×30cos30°＝900，∴AB ＝30(m)．答案 30m6．如图所示，客轮以速度2v 由A 至B 再到C 匀速航行；货轮从AC的中点D 出发，以速度v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝50海里．若两船同时起航，则两船相遇之处距C 点多少海里？解 设两船相遇之处距C 点x 海里，由题意可知，CD ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝252(海里)， 则100－x 2v ＝(252)2＋x 2－2×252x cos 45°v， 解得x 2＝5 0003，∴x ≈40.8(海里)． 所以，两船相遇之处距C 点40.8海里．综合提高（限时25分钟）7．有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长表( )．A ．5mB ．10mC ．102mD ．103m解析 如下图所示，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.依题意，∠AB ′B ＝30°， ∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m.在△ABB ′中，根据正弦定理得，BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)， 即当坡底伸长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案 C8．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )．A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km解析 如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°，∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝3a (km)．答案 B9．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10nmile ，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是_____nmile.解析 在△ABC 中，由正弦定理可得BCsin A ＝ABsin C ，即BC ＝AB sin A sin C＝10sin 60°sin (180°－60°－75°) ＝5 6.答案 5 610．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为________．解析 如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m ，依据正弦定理可得2sin 60°＝x sin (120°－α)， 所以x ＝43·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案 30°11．如图所示，在高出地面30m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度．解 设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则tan α＝3060＝12， 又∠DAB ＝45°＋α，tan ∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060， 又tan(α＋45°)＝tan 45°＋tan α1－tan α＝3 ∴x ＋3060＝3，∴x ＝150m ，即电视塔的高度为150m.12．(创新拓展)在南海伏季渔期中，我渔政船在A 处观测到一外国偷渔船在我船北偏东60°的方向，相距a 海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的3倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？解 如图所示，设渔船沿B 点向北行驶的速度大小为v ，则我船行驶的速度大小为3v ，两船相遇的时间为t ，则BC ＝vt ，AC ＝3vt ，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋vat ，∴2v 2t 2－vat －a 2＝0.解得t 1＝a v ，t 2＝－a2v(舍去)．∴BC ＝a ，∴∠CAB ＝30°. 即我船应沿北偏东30°的方向去追赶渔船，在渔船行驶a 海里处相遇．。
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形应用举例(三)
第八课时§解三角形应用举例（三）一、教课目的1、知识与技术：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实质问题。
2、过程与方法：本节课是在学习了有关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应经过综合训练加强学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启迪性的 2 道例题，重申知识的教授更重能力的浸透。
讲堂中要充足表现学生的主体地位，重过程，重议论，教师经过导疑、导思让学生有效、踊跃、主动地参加到研究问题的过程中来，逐渐让学生自主发现规律，贯通融会。
3、感情态度与价值观：培育学生提出问题、正确剖析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的研究精神。
二、教课要点：能依据正弦定理、余弦定理的特色找到已知条件和所求角的关系。
教课难点：灵巧运用正弦定理和余弦定理解对于角度的问题。
三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程Ⅰ. 课题导入[ 创建情境 ]发问：前方我们学习了如何丈量距离和高度，这些实质上都可转变已知三角形的一些边和角求其他边的问题。
但是在实质的航海生活中 , 人们又会碰到新的问题，在浩大无垠的海面上如何保证轮船不迷失方向，保持必定的航速和航向呢？今日我们接着商讨这方面的丈量问题。
Ⅱ . 探析新课[ 典范解说 ]例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后抵达海岛B, 然后从 B 出发 , 沿北偏东 32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛 C.假如下次航行直接从 A 出发抵达C, 此船应当沿如何的方向航行, 需要航行多少距离?( 角度精准到0.1, 距离精准到0.01n mile)学生看图思虑并叙述解题思路教师依据学生的回答概括剖析：第一依据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出 AC边，再依据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角 CAB。
解：在ABC中，ABC=180 - 75 + 32 =137，依据余弦定理，AC=AB 2BC 22AB BC cos ABC=67.5254.02267.554.0cos137≈ 113.15依据正弦定理 ,BC=ACsin CAB sin ABCsinCAB = BCsinABC =54 .0 sin 137 ≈0.3255,因此CAB =19.0,75-CAB AC113 .15=56.0答 : 此船应当沿北偏东 56.1的方向航行 , 需要航行 113.15n mile例 2、在某点 B 处测得建筑物AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE方向行进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再持续行进10 3 m至 D点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE的高。
2018-2019学年北师大版必修五第二章§3 解三角形的实际应用举例学案
3 解三角形的实际应用举例学习目标1.准确理解仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握一些常见问题的测量方案.3.培养把实际问题抽象为数学问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．答案梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)知识点二测量方案思考如何不登月测量地月距离？答案可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．知识点三 把实际问题抽象为数学问题思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在北偏西75°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在北偏西65°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD ？该问题的数学本质是什么？答案 先在△ABC 中，用正弦定理求BC ＝5sin 15°sin 10°，再在Rt △DBC 中求DC ＝BC tan 8°.问题本质如图，已知三棱锥 D －ABC ，DC ⊥平面ABC ，AB ＝m ，用α，β，m ，γ表示DC 的长．梳理 解与三角形有关的应用题的步骤(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语． (2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答．1．在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．(×)2．在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影．(√)类型一 平面内的测量问题 命题角度1 水平平面内的测量问题例1 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，又∠ABC ∈(0°，60°)，∴∠ABC ＝45°， ∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12.又∵∠BCD ∈(0°，60°)，∴∠BCD ＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向正北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B ，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ×sin 120°3at ＝323＝12，∵0°<∠CAB <60°，∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 命题角度2 竖直平面内的测量问题例2 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 D解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m.∴BD ＝(10＋x ) m ，∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33，解得x ＝5(3＋1) m.∴A 点离地面的高AB 等于5(3＋1) m. 方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CD sin ∠CAD ·sin ∠ADC ＝10sin 15°·sin 30°＝206－2.∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1) m.反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．跟踪训练2 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达点D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m ．(精确到1 m) 答案 811解析 如图，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理，得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 000×sin 135°sin 30°＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈811(m)． 答 山的高度约为811 m. 类型二 空间中的测量问题例3 如图所示，A ，B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点处测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点处测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝ADsin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．即山的高度为800(3＋1) m.反思与感悟 测量方向角求高度问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某一个量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 2 mC ．10 3 mD ．10 6 m考点 解三角形求高度 题点 测量方向角、仰角求高度 答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠DBC，BC ＝10sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC ×tan 60°＝106(m)．1．如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m考点 解三角形求距离题点 测量可到达点与不可到达点间的距离 答案 A解析 ∠B ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由AB sin 45°＝50sin 30°，得AB ＝100×22＝50 2 (m)． 2．如图，某人向正东方向走了x 千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13 千米，那么x 的值是 ．考点 几何图形中的计算问题 题点 三角形有关的几何图形计算问题 答案 4解析 由余弦定理，得x 2＋9－3x ＝13，整理得x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1(舍)．3．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，A ，B ，C ，D 四点共圆，则AC 的长为 km.考点 几何图形中的计算问题 题点 四边形有关的几何图形计算问题 答案 7解析 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D ＋B ＝π.在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ， 整理得cos D ＝－12，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝⎛⎭⎫－12＝49， 故AC ＝7.4.如图，测量河对岸的塔高AB 时，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝ 米．考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD，所以 BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×tan 60° ＝156(米)．1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题．3．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、选择题1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( ) A ．20⎝⎛⎫1＋33 m B ．20⎝⎛⎭⎫1＋32 m C ．20(1＋3) m D ．30 m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 A解析 塔的高度为20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A. 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角(仰角)求高度 答案 B解析 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ， BC ＝DC ＝200 3 m.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.3．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( ) A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案 D解析 在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C ，∴BC sin 60°＝10sin 45°， 解得BC ＝5 6 n mile.4．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10° C ．南偏东10°D ．南偏西10°考点 三角形中角度的求解 题点 三角形中角度的求解 答案 B解析 如图，因为△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.5．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米D ．22h 米考点 解三角形求距离 题点 测量俯角(仰角)求距离 答案 A解析如图所示，BC＝3h，AC＝h，∴AB＝3h2＋h2＝2h(米)．6．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )A．15 m B．5 mC．10 m D．12 m考点解三角形求高度题点测量俯角(仰角)求高度答案C解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．即塔高为10 m.7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝519 m，起吊的货物与岸的距离AD为( )A.30 mB.1532 mC.15 3 mD.45 m考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用答案 B 解析 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝102＋(519)2－1522×10×519＝7219，∠ABC ∈(0，π)， ∴sin ∠ABC ＝ 1－⎝⎛⎭⎫72192＝33219， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABC ＝519×33219＝1532(m)． 二、填空题8.如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3 mm ，BC ＝2 2 mm ，AB ＝29 mm ，则∠ACB ＝ .考点 解三角形求角度题点 解三角形求角度答案 3π4解析 在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝32＋(22)2－(29)22×3×22＝－22. 因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4. 9．要测量对岸两点A ，B 之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为 km.考点 解三角形求距离题点 测量两个不可到达点间的距离答案 5解析 如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)． 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 km.∴A ，B 之间的距离为 5 km. 10．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为 m.考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 30 6解析 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.三、解答题11．如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.(1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度．(精确到0.01 m ，其中3≈1.732) 考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度解 (1)由题意，得∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°，则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4，由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°， 解得BC ＝42，即BC 的长为4 2 m.(2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝6＋24， 则DC ＝2＋23，所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16 (m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度约为7.16 m.12．甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，最快用多少小时能追上乙船？ 考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离解 如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇．在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12，128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)， ∴甲船最快用34小时能追上乙船． 13．在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B ，C ，D .已知B ，C 两市相距20 km ，C ，D 相距34 km ，C 市在B ，D 两市之间，如图所示，某时刻C 市感到地表震动，8 s 后B 市感到地表震动，20 s 后D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A 到B ，C ，D 三市的距离．考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用解 在△ABC 中，由题意得AB －AC ＝1.5×8＝12 (km)．在△ACD 中，由题意得AD －AC ＝1.5×20＝30 (km)．设AC ＝x km ，AB ＝(12＋x ) km ，AD ＝(30＋x ) (km)．在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－(12＋x )22×20×x＝256－24x 40x ＝32－3x 5x ， 在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－(30＋x )268x ＝256－60x 68x ＝64－15x 17x. ∵B ，C ，D 在一条直线上，∴64－15x 17x ＝－32－3x 5x ，即64－15x 17＝3x －325， 解得x ＝487. ∴AB ＝1327 km ，AD ＝2587km. 即震中A 到B ，C ，D 三市的距离分别为1327 km ，487 km ，2587km. 四、探究与拓展14．某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为 m.考点 解三角形求高度题点 测量方向角、仰角求高度答案 10(3－3)3解析 如图所示，设AE 为塔，B 为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m 到达C 处，即BC ＝40 m ，∠CAB ＝135°，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝15°.在△ABC 中，AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠CAB， 即AC sin 30°＝40sin 135°， ∴AC ＝20 2 m.过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G ，此时仰角∠AGE 最大，在△ABC 中，由面积公式知12×BC ×AG ＝12×BC ×AC ×sin ∠ACB . ∴AG ＝AC ×CB ×sin ∠ACB BC＝202×40×sin 15°40＝202sin 15°，∴AG ＝202sin(45°－30°)＝202⎝⎛⎭⎫22×32－22×12＝10(3－1)． 在Rt △AEG 中，∵AE ＝AG tan ∠AGE ，∴AE ＝10(3－1)×33＝10－1033， ∴塔高为⎝⎛⎭⎫10－1033 m. 15．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设检查员行驶到公路上C ，D 两点之间时收不到信号，即公路上C ，D 两点到考点的距离均为1千米．在△ABC 中，AB ＝ 3 千米，AC ＝1 千米，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ×AB ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1 千米．在△ACD 中，AC ＝AD ＝1 千米，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1 千米． ∵BC 12×60＝5， ∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟．∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。
3解三角形的实际应用举例(北师大必修五)
2.方向角: 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通 常表达成：正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏 东××度，南偏西××度.
解决有关测量、航海等问题时，一定要搞清题 中有关术语的准确含义.
【例2】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+ ）3海 里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出 求救信号，位于B点南偏西 60°且与B点相距 20 3海里 的C点的救援船立即前往营 救，其航行速度为30海里/小 时，该救援船到达D点需要多长时间？
答：经过约1.1小时后，甲、乙两船相距最近. ………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见错误
不能正确的 用时间x表 示出CD
错误原因 对题意理解不清，不能正确理解方向角的含 义，不会利用余弦定理表示出两船之间的距 离，对于这类问题要养成利用数形结合解题 的习惯.
课堂训练：
1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上 种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这 种草皮至少要( )
（A）5 000米
（B） 5 000 米2
（C）4 000米
（D） 4 000 米2
【解析】选A.作出示意图如图，∠A=30°,∠DBC=60°,AB=10
000.
∴∠BCD=30°,∴BC=10 000,BD=5 000（米）.
4.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮
的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮
又因为sin∠BAC＝ BCsin120 15 3 5 3，
AB
21 2 14
北师大版2019高中数学必修5第二章 解三角形23解三角形的实际应用举例习题精选 含答案
§3 解三角形的实际应用举例课后篇巩固探究. 1ABABC,不共线的一点,,为了测量某湖泊两侧然后,某同学首先选定了与间的距离,如图所示ABCABCabc)的角所对的边分别记为,,,,给出了四种测量方案:(△①ACb ②abC ③ABa ④abB测量,,,,,,,测量测量测量,AB )间距离的所有方案的序号为则一定能确定(,①②③②③④①③④①②③④ D.B. A.C.①③正确;已知两边及夹角,故,可以确定三可以确定三角形解析:已知三角形的两角及一边,②④.错误故已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个角形,故,正确;.故选A答案:A.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成275°角,树 . ()m干底部与树尖着地处相距20 m,则折断点与树干底部的距离是B.10 A.D.20 C.OBAABO=AOB=75°,45°,∠,折断点为 ,如图解析:,设树干底部为,树尖着地处为则∠OAB=. 60°所以∠,,由正弦定理知AO=. (m)所以A答案:.则经2 km/h,已知河水流速为,120°的方向航行的速度与水流方向成4 km/h已知一艘船以3．) (过 h,该船实际航程为..6 km 2A km B..8 kmkmC2D||=AOB=||=120°,∠ ,因为2 km/h,4 km/h,解析:如图||=OAC=60°, 所以∠.= (km/h)2=. 26(km) h,该船的实际航程为经过B:答案.BB岛出同时乙船自的速度向正北方向航行,4 km/h岛的正南方10 km处4,甲船在且甲船以发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是)(..15 hD.25 min B. hC.21A. minxPQsBPQ则在△,处设经过, h后甲船处于点两船的距离为处,乙船处于点如图解析:,2222BQBPsxPBQ==PQ=BP+BQ-xBP=-BQ=·cos∠ km,∠120°,由余弦定理可知,(1024) km,·6中=x=-s. 2222-x+.xx=sPBQx=-x+x-- ,即)·6100(10·cos 120°4)4(628)202(10min h此时,当最小,时A答案:SM.S随后货轮20测得灯塔5已知一货轮航行到处,在货轮的北偏东15°,与灯塔相距海里,)(则货轮的速度为,又测得灯塔在货轮的东北方向,分后3030°的方向航行按北偏西//时 )海里时海里B.20(A.20()//时时 )C.20()海里D.20(海里N处,30分后到达解析:设货轮航行NMS=MNS=105°,45°,∠由题意可知∠MSN=--=.105°30°则∠45°180°MS=MNS中在△, 20海里而,由正弦定理得,MN=即=.== )10()(海里/.÷= )时20(故货轮的速度为)10()(海里B:答案.AC的俯角为30°,向前飞行10 处测得正前下方地面目标000 6m飞机沿水平方向飞行,在到BC ) 的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为达处,此时测得正前下方目标( -B.5 000 m1) mA.2 500( mC.4 000 mD.4 000BAC=DBC=AB=10 000 m,30°,∠75°,,解析:如图∠ACB=. 45°所以∠得,由正弦定理,=,cos 75°又．-.BD==·cos 75°2 500(所以1)(m)A答案:.A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km7内的地区为危险区台风中心从,BAB ) 处,城市(在城市处于危险区内的持续时间为的正东40 km.5 h B.1 h A.0.D.2 h C.15 h×t×. (202)40cos 45°≤3040解析:设20 h后,,市处于危险区内则由余弦定理得222tBt+-|==|t-t. 1从而21B 答案:.8 2=.ttt+t+t=t- 82,4化简得7≤0,所以·2211ABBA.海上停泊位于灯塔,灯塔n 如图,已知海岸线上有相距5 mile的两座灯塔的正南方向, DABA乙船位于灯塔处3 n mile的北偏西75°方向,与的相距;甲位于灯塔着两艘轮船,BC. 处,5 n mile的则两艘船之间的距离为的北偏西60°方向,与n mile相距ACBC=AB=ABC=60°, 5 n mile,解析:连接∠,ABCAC=5 n mile, 所以为等边三角形所以△,DAC=--=. 180°60°75°且∠45°222CD=×=.××-+CDACD= (33所以mile545°cos n 13,)52,在△中由余弦定理得. n mile故两艘船之间的距离为:答案.9BA=C处测得点60°,在塔底α的俯角处测得地面上一点在塔顶,山顶上有一座电视塔,如图A=.. β的俯角60 m,45°则山高为已知塔高ABCBC=BAC=ABC=30°, ,15°,∠60 m,解析:在△∠中.AC==30(得)(m)由正弦定理,+=.CD=AC1)(m)·sin 45°所以30(+1)m30(答案:.10MNAC.AM的仰角∠为测量观测点,为测量山高,选择测得点和另一座山的山顶从点如图MAN=CCAB=MAC=CMCA=.BC=50 m,的仰角∠测得∠45°及∠已知山高75°,从点60°60°,点MN=. 则山高 m.AC=ABCCAB=BC= m45°,5050 m,所以解析:在Rt△∠中,AMCMAC=MCA=AMC=45°, ∠中,60°,从而∠75°,∠在△.AM= m,,因此50由正弦定理得=MN=AM=MAN=.=MNA m,50∠75(m)sin 60°,得60°,由50在Rt△,中75 答案:.11CMCNMCN=.120°∠为某公园景观湖畔的两条木栈道导学号33194045如图,,,ABBC=aAC=bAB=c. )单位,:,现拟在两条木栈道的百米,(两处设置观景台,记abcb的值;4,求成等差数列,(1)若且公差为,,AB=ABC=A-C-BA-C-B长的最大,表示观景路线并求观景路线已知的长12,记∠θ,试用θ(2).值abc成等差数列,因为(1)且公差为,4,,解a=b-c=b+4, 4,所以MCN=120°,因为∠222.b-b-+bb-=b+b= 104)cos 120°,解得(24)(4),(所以由余弦定理得．得,,(2)由题意-BC=AC=θsin(60°所以), 88sin θ,AC+BC=A-C-B8所以sin的长路线观景+<=+<.-θ8sin(60°860°)sin(60°θθθ))(0°A-C-B=.8,观景路线所以当θ长的最大值为百米30°时.12M的方位角为α,前进,一艘船由西向东航行,测得某岛5导学号33194046如图..现该船继续东行内有暗礁β,已知该岛周围3 kmkm后测得此岛的方位角为==60°,问该船有无触礁危险β若α?2(1)(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险?MABMCd km,则的距离解(1)设岛到直线为AC=dBC=d. kmtan βtan α km,AC-BC=AB,由d=.d-d= tan αtan β得5,d=>==3,2β,当α60°时.所以此时没有触礁的危险d>3, ,只要使方法一:要使船没有触礁危险(2) >.即3<-<><0,tan tan ,所以因为0βααβ<-,tan βtan 所以α<.-该船没有触礁的危险,时βtan αtan 满足β,α所以当．CM=x由 km,:设,方法二x=,解得即,>.时没有触礁危险所以当3.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号,海军舰13AAC处,10 n mile的处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离并测得渔船艇在为正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度航行,海军舰艇立即以21 n mile/h的速度.1°,0(角度精确到前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 1 min)时间精确到Ax h,设舰艇从处靠近渔船所用的时间为解如图,AB=x n mile,则21BC=x n mile, 9AC=10 n mile,ACB=+=+-=120°,45°∠105°)∠1(180°∠2x×x+-×x= (9)9(212)10cos 120°,10 222BC+BC-ACAB=AC根据余弦定理可得·2·cos 120°,222即2=-x-x0, 91036亦即=-xx=),(,舍去解得21.AB=BC= 14 n mile,所以6 n mile BAC= cos ∠由余弦定理可得=.BAC.8°,≈21≈0928 6,所以∠=.=..+8°的方66 h40 min,所以舰艇应以北偏东所以方位角为45°218°668°,又因为.靠近渔船需要向航行,40 min。
北师大版高中数学必修五第二章 第2-3节 三角形中的几何计算;解三角形的实际应用举例同步练习.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例同步练习（答题时间：70分钟）一、选择题：1. 在△ABC 中，已知a=1，b=3，∠A=30°，B 为锐角，则角A ，B ，C 的大小关系是（ ）A. A>B>CB. B>A>CC. C>B>AD. C>A>B *2. 在△ABC 中，角A ，B 满足：sin32A =sin 32B ，则三边a ，b ，c 必满足（ ） A. a=bB. a=b=cC. a+b=2cD. 0)c ab b a )(b a (222=--+-3. 如图，D ，C ，B 三点在一条直线上，DC=a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角是,βα，（βα<）则A 点离地面的高度AB 等于（ ）sin sin sin sin sin cos cos cos ,,,,,sin()cos()sin()cos()a a a a A B C D αβαβαβαβαβαβαβαβ---- 4. 在三角形ABC 中，下列等式总能成立的是（ ）A. a cosC=c cosAB. bsinC=csinAC. absinc=bcsinBD. asinC=csinA *5. 某人向正东方向走x 千米后，他向右转150°，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好为3千米，则x=（ ）,3,23,323D,3A B C 或 *6. 有一座20米高的观测台，测得对面一水塔塔顶的仰角是60°，塔底的俯角是︒45，则这座塔高是（ ）3,20(1),20(13)m ,10(62),20(62)m3A m B C m D ++++*7. 已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都是a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离是（ ） A,a kmB,32km ,2k a km C a D a m ，8. 在三角形ABC 中，若（a+b+c ）（b+c －a ）=3bc ，且sinA=2sinBcosC ，则三角形ABC 是（ ）A. 等腰三角形，B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形二、填空题：*9. 在三角形ABC 中，a －b=4，a+c=2b ，且最大角为120°，则此三角形的周长是**10. 在三角形ABC 中，若C=3B ，则c b的取值范围是 *11. 在三角形ABC 中，已知B=45°，C=60°，2(31),a =+则三角形的面积S=________ 12. 海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望，C 岛和B 岛成60°视角，从B 岛望A 岛和C 岛成75°视角，则B 岛和C 岛的距离是 海里*13. 在三角形ABC 中，若acosA+bcosB=c cosC ，则三角形ABC 的形状是 **14. 若等腰三角形的顶角是20°，底边和一腰长分别是b ，a ，则下列结论不成立的是（1）3323323,(2)3a b a b a b ab +=+=，（3）333a b ab +=（4）33223a b a b +=三、计算题：*15. 已知地面上有一旗杆OP ，为了测得其高度h ，地面上取一基线AB ，AB=20米，在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30°，在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45°，又知∠AOB=60°，求旗杆的高度h.16. 已知小岛A 的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？**17. 在圆心角为60°的扇形铁板OAB 中，工人师傅要裁出一个面积最大的内接矩形，求此内接矩形的最大面积。
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》应用举例(一)1
7
例1、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行,需要航行多少距离(角度精确到0.10, 距离精27.3cm, c 38.7cm. 9
例3、在ABC中,求证 :
(1)
a
2
c2
b2
sin 2 A sin 2 sin 2 C
B;
(2)a2 b2 c2 2(bc cos A ca cos B ab cos C).
证明三角形中的边角关系恒等式 : 全部转 化为边的关系, 或者全部转化为角的关系.
2
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用: (1)测量距离; (2)测量高度; 包含不可达到的点 (3)测量角度.
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例1、如图,设A, B两点在河的两岸,要测量 两点之间的距离.测量者在A的同侧, 在所 在的河岸边选定一点C , 测出AC的距离是 55m, BAC 510 , ACB 750 ,求A, B两点 间的距离(精确到0.1m).
11
10
课时小结：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画 出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建 立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解（4）检验： 检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解 课后作业：课本2-3 A组第2、3、4题 五、教后反思：
4
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到 达),设计一种测量A, B两点间距离的方法.
2019-2020学年北师大版数学必修五讲义：第2章 §3 解三角形的实际应用举例 Word版含答
姓名，年级：时间：§3解三角形的实际应用举例学习目标核心素养1。
掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点)2．了解测量的方法和意义．(难点）3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点)1.通过实际问题应用举例提升数学建模素养．2．通过解三角形的实际应用培养数学运算素养。
实际问题中的有关术语阅读教材P58～P61“练习2”以上部分完成下列问题．名称定义图示仰角与俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°。
如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30°思考：（1)方位角的范围是什么？[提示］[0°,360°)（2)若点B在点A的北偏东60°，那么点A在点B的哪个方向？[提示] 南偏西60°。
1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西34°27′［答案］A2．如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东5°B．北偏西10°C．南偏东5°D．南偏西10°［答案］B3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为（)A．50错误!m B．50错误!mC．25错误!m D．错误!mA［由正弦定理得错误!＝错误!,又∵B＝30°,∴AB＝错误!＝错误!＝50错误!(m）．］4．在A点观察一塔吊顶的仰角为45°，又A点距塔吊底部距离为45米,则塔吊的高是______米．45 [如图所示,设塔吊为BC,由题意可知△ABC为等腰直角三角形，所以BC＝AB ＝45(米)．]测距离问题【例1】B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________．5错误!海里［如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，由正弦定理，可得错误!＝错误!，所以BC＝错误!×10＝5错误!（海里）．]求距离问题时应注意的三点（1）选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．1．（1）为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示），某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，则A,B两点间的距离为________m。
高中数学第二章解三角形2-3解三角形的实际应用举例达标练习北师大版必修5【2019-2020学年度】
12.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为______m.
解析：如图，∠SAB＝45°－30°＝15°，
又∠SBD＝15°，
所以∠ABS＝30°.
AS＝1 000，由正弦定理知 ＝ ，所以BS＝2 000sin 15°.
(1)求该军舰艇的速度．
(2)求sinα的值．
解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，
AC＝120，∠ACB＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB
＝2002＋1202－2×200×120cos 120°
＝78 400，解得BC＝280.
解：由题意，设AC＝xm，
则BC＝x－ ×340＝x－40 (m)．
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.
A．14.5 km/hB．15.6 km/h
C．13.5 km/hD．11.3 km/h
解析：选C.由物理学知识，
画出示意图，AB＝15，
AD＝4，∠BAD＝120°.
在▱ABCD中，D＝60°，
在△ADC中，由余弦定理得
AC＝
＝ ＝
≈13.5.
5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
2019高中数学北师大版高二必修5_第二章3_解三角形的实际应用举例_作业2_word版含解析
,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．如图，为了测量隧道两口A 、B 之间的长度，对给出的四组数据， 计算时要求最简便，测量时要求最容易，应当采用的一组是( )A ．a ，b ，γB ．a ，b ，αC ．a ，b ，βD ．α，β，a解析：选A.根据实际情况，α，β都是不易测量的数据，在△ABC 中，a ，b 可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB 的长．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B ．346海里/小时C.1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：选A.如图所示，在△PMN 中， PM sin 45°＝MNsin 120°，所以MN ＝68×32＝346，所以v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(30＋303)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋153)m解析：选A.在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32 －22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°，所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303) m. 4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)()A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C.由物理学知识， 画出示意图，AB ＝15，AD ＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°， 在△ADC 中，由余弦定理得AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CDcos D＝16＋225－4×15＝181 ≈13.5. 5.如图，从气球A 测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆B 、C 的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h ，则两个场馆B 、C 间的距离为( )A.h sin αsin βsin （α－β） B.h sin （β－α）sin αsin βC.h sin αsin βsin （α－β）D.h sin βsin αsin （α－β）解析：选B.在Rt △ADC 中，AC ＝h sin β，在△ABC 中，由正弦定理得BC ＝ACsin α·sin(β－α)＝h sin （β－α）sin αsin β.6．海上的A 、B 两个小岛相距10 km ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________km.解析：如图所示，则C ＝180°－(60°＋75°)＝45°. 在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A，得BC ＝AB sin A sin C ＝10·sin 60°sin 45°＝56(km)．答案：5 67．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲观测点连线及甲、乙两观测点连线所成的角为120°，甲、乙两观测点相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是________．解析：由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得，3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解得h ＝500 m(负值舍去)．答案：500 m8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063.答案：10639．如图，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．(1)求该军舰艇的速度． (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝100×2＝200，AC ＝120，∠ACB ＝α， 在△ABC 中， 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120° ＝78 400，解得BC ＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314. 10．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内，如图，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 间的距离，请设计一个方案；包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．解：(1)需要测量的数据有A 到M 、N 的俯角α1、β1，B 到M 、N 的俯角α2、β2，A 、B 的距离d (如图所示)．(2)方案一：第一步：计算AM ，由正弦定理得AM ＝d sin α2sin （α1＋α2）；第二步：计算AN ，由正弦定理得AN ＝d sin β2sin （β2－β1）；第三步：计算MN ，由余弦定理得MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos （α1－β1）.方案二：第一步：计算BM ，由正弦定理得BM ＝d sin α1sin （α1＋α2）；第二步：计算BN ，由正弦定理得BN ＝d sin β1sin （β2－β1）；第三步：计算MN ，由余弦定理得MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos （β2＋α2）.[B.能力提升]1．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得两船俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．10 3 mB ．100 3 mC ．2030 mD ．30 m解析：选D.设炮台顶部为A ，两条船分别为B 、C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°， ∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中， 求得DB ＝30，DC ＝30 3. 在△DBC 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos 30°，解得BC ＝30.2．在船A 上测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半个小时后，于B 处看得灯塔在船的正西方向，则这时船和灯塔相距(sin 15°＝6－24)( )A.15（6－2）2海里 B.152－562海里C.15（6－2）4海里 D.152－564海里解析：选B.如图所示，设灯塔为C ，由题意可知，在△ABC 中，∠BAC ＝15°，B ＝45°，C ＝120°，AB ＝30×0.5＝15(海里)，所以由正弦定理，可求得BC ＝15sin 120°·sin 15°＝1532×6－24＝152－562(海里)．3．如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________m.解析：如图，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°， 所以∠ABS ＝30°.AS ＝1 000，由正弦定理知BS sin 15°＝ 1 000sin 30°，所以BS ＝2 000sin 15°. 所以BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°·cos 15°＝1 000sin 30°＝500，且DC ＝ST ＝1 000sin 30°＝500， 从而BC ＝DC ＋DB ＝1 000 m. 答案：1 0004．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.解析：由题意，知∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔C 的距离为x km ，即BC ＝x ，由余弦定理，可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.答案：6－15．要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M 在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m ，速度为900 km/h ，航测员先测得对山顶的俯角为30°，经过40 s(已飞过M 点)后又测得对山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度．(精确到1 m ，可能要用到的数据：2＝1.414，3＝1.732，6＝2.450)解：900 km/h ＝250 m/s ，AB ＝250×40＝10 000(m)， 在△ABM 中，由正弦定理得BMsin 30°＝AB sin 105°，BM ＝AB sin 30°sin 105°.作MD ⊥AB 于D ， 则MD ＝BM sin 45°＝AB sin 30°sin 105°×sin 45°＝10 000×12×2222×12＋22×32＝10 0003＋1＝5 000(3－1)＝3 660， M 的海拔高度为10 000－3 660＝6 340 (m)．即山顶的海拔高度为6 340 m.6．某海上养殖基地A 接到气象部门预报，位于基地南偏东60°距离20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地并持续2小时．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，影响结束时台风中心为D ，则B ，C ，D 在同一直线上，且AD ＝20海里，AC ＝20海里．由题意知，AB ＝20(3＋1)海里，DC ＝2×102＝202海里，BC ＝(3＋1)×102海里．在△ADC 中，因为DC 2＝AD 2＋AC 2， 所以∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°. 在△ABC 中，由余弦定理的变形公式得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32，所以∠BAC ＝30°，又因为B 位于A 的南偏东60°， 且60°＋30°＋90°＝180°，所以D 位于A 的正北方向，又因为∠ADC ＝45°， 所以台风移动的方向为CD →的方向，即北偏西45°方向． 所以台风向北偏西45°方向移动．。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第2章 3 解三角形的实际应用举例 第1课时
第1课时 距离问题与高度问题课时过关·能力提升1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.a kmB.3a kmC.2a kmD.2a km,由题意可知∠ACB=120°,AC=BC=a km.在△ABC中,由余弦定理,得AB=AC2+CB2-2AC·CBcos∠ACB=3a(km).2.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3 ℎ,该船实际航程为( )A.215 kmB.6 kmC.221 kmD.8 km,由题意∠AOB=120°,∴A=60°,知|OA|=23,|OB|=43,·cos 30°=6(km).故经h,该船的航程为6 km.|OC|=|OB|过 33.在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高是( )A .4003m B.40033mC.2003 m D .200 m,设塔AB 的高为h ,在Rt △CDB 中,CD=200 m,∠BCD=90°-60°=30°,∴BC =200cos30°=40033(m).在△ABC 中, ∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°,∴∠BAC=120°.在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin120°=ABsin30°,∴AB (m).=BC ·sin30°sin120°=4003 即塔高hm .=40034.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=519 m,起吊的货物与岸的距离AD 为( )A.30 m B .1523 mC.153 mD.45 m△ABC 中,由余弦定理,得cos ∠ACB=AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC =152+102-(519)22×15×10=‒12,∴∠ACB=120°,∴∠ACD=180°-120°=60°.∴AD=AC ·sin 60°=153(m).5.如图,从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD 是60 m,则河流的宽度BC 是( )A.240(3‒1)m B .180(2‒1)mC.120(3‒1)m D .30(3+1)m,在Rt △ADC 中,C=30°,AD=60 m,∴AC=120 m .在△ABC 中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC =ACsin∠BAC sin∠ABC =120×26+24=120(3‒1)(m).6.已知A 船在灯塔C 北偏东80°方向,且A 到C 的距离为2 km,B 船在灯塔C 北偏西40°方向,A ,B 两船的距离为3 km,则B 到C 的距离为 km .(6‒1)★7.如图所示,在观礼台上某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面,∠BAD=15°,在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°,且座位A ,B 的距离为106 m,则旗杆的高度为______________m .∠BAN=105°,∠BNA=30°.由正弦定理,得AN sin45°=106sin30°,解得AN=203(m),在Rt △AMN 中,MN=260°=30(m).03sin 故旗杆的高度为30 m .8.湖中有一小岛,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向,汽车向南行驶1 km 后,又测得小岛在南偏西75°方向,则小岛到公路的距离是 km .,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1 km .由正弦定理BC sin∠CAB =AB sin∠ACB ,得BC =sin15°sin60°=6-223(km).设点C 到直线AB 的距离为d ,则d=BC sin 75°=6-223×6+24=36(km).★9.在海岛A (可视岛A 为一点)上有一座海拔1 km 的山,山顶设有一个观察站P ,上午11时,测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角为30°的B 处匀速直线行驶,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C 处.(1)求该船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛正西方向的D 处,此时船距岛A 有多远?由题意得,在Rt △PAB 中,∠APB=60°,∠PAB=90°,PA=1 km,∴AB km .= 3在Rt △PAC 中,∠APC=30°,∠PAC=90°,∴AC km .=33 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°,∴BC =AC 2+AB 2=(33)2+(3)2=303(km).故船的航行速度是303÷16=230(km/ℎ).(2)∠DAC=90°-60°=30°,sin ∠DCA=sin(180°-∠ACB )=sin ∠ACB =AB BC =3330=310,sin ∠CDA=sin(∠ACB-30°)=sin ∠ACB cos 30°-cos ∠ACB sin 30°=31010×32‒12×1-(31010)2=(33-1)1020.在△ACD 中,由正弦定理,得AD sin∠DCA =AC sin∠CDA,∴AD=AC ·sin∠DCA sin∠CDA =3×310(33-1)1020=9+313(km),即此时船距岛A km .有9+313。
2020-2019学年北师大版数学必修5学案：2.3 解三角形的实际应用举例含解析
内容标准学科素养1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部或顶部不可到达的物体高度测量的问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.3.能够根据题意建立数学模型，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，画出示意图，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解. 深化数学建模加强数形结合提升数学运算注重函数方程[基础认识]知识点一测量中的常用概念知识梳理 1.基线(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．2．坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫做坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度，如图所示，α为坡角，坡比i＝hl＝tan α.3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示)．4．铅直平面铅直平面是指与水平面垂直的平面．知识点二角度的有关概念1．如何用方向角的含义表示下列两图中的m°角与n°角？提示：图①的m°角描述为北偏西m°，图②的n°角描述为南偏东n°.2．下列两图中的130°角与200°角是什么含义？提示：图③的方位角为130°；图④的方位角为200°.1．视角观察物体的两端，视线张开的夹角叫做视角，如图所示．2．方位角与方向角(1)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α，如图所示．方位角的取值范围为0°＜α＜360°．(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图所示．思考：结合教材P58例1，你认为求距离问题的关键是什么？提示：(1)基线的选取要恰当．(2)选定或创建的三角形要确定．(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定．[自我检测]1．海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 岛间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063 海里C ．5 2 海里D ．5 6 海里解析：如图，C ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝10.由正弦定理，得10sin 45°＝BC sin 60°，解得BC ＝56(海里)．故选D.答案：D2．(2019·临汾高一检测)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(30＋303)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋153)m解析：在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－24.由正弦定理得：PB sin 30°＝AB sin 15°， ∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.答案：A3．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时风向是北偏东30°，风速是20 km/h ，水的流向是正东，流速是20 km/h.若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.解析：如图，∠AOB ＝60°.由余弦定理，得OC 2＝202＋202－2×20×20cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COY ＝30°＋30°＝60°.答案：60° 20 3授课提示：对应学生用书第45页探究一 测量距离问题[阅读教材P58例1及解答]题型：测量距离(长度)问题方法步骤：①抽象到△ABC 中；②求内角∠BAC ＝60°＋6°20′＝66°20′；③利用余弦定理求出BC 的长．[例1] 如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在A 处，经观察，在河的对岸有一参照物C ，与学生前进方向成30°角，学生前进200 m 后到达点B ，测得该参照物与前进方向成75°角．(1)求点A 与参照物C 的距离；(2)求河的宽度．[解题指南] 根据图形，先由已知求出∠ACB ，再利用正弦定理求得AC 的长度，最后在直角三角形中求出河的宽度．[解析] (1)由已知，得∠ABC ＝105°，∠ACB ＝180°－30°－105°＝45°.在△ABC 中，由正弦定理，得200sin 45°＝AC sin 105°，所以AC ＝200sin 105°sin 45°＝100(3＋1)(m)，即点A与参照物C 的距离为100(3＋1)m.(2)河的宽度为AC sin 30°＝100(3＋1)×12＝50(3＋1)(m)，即河的宽度为50(3＋1)m.方法技巧 测量距离问题的类型测量距离问题分为三种类型：两点间不可到达又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达，解决此类问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 如图，点B 为不可到达点，求A ，B 的距离的具体解题步骤是：(1)取基线AC (尽量长)，且使AB ，AC 不共线；(2)测量AC ，∠BAC ，∠BCA ；(3)利用正弦定理解△ABC ，得AB ＝AC sin C sin B ＝AC sin C sin （180°－A －C ）. 跟踪探究 1.如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°的方向上，距离为126n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°的方向上，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°的方向，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．解析：(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理，得AD＝AB sin B sin ∠ADB＝126×2 232＝24(n mile)．即A处与D处的距离为24 n mile.(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°，解得CD＝83(n mile)．即灯塔C与D处的距离为8 3 n mile.探究二测量高度问题[阅读教材P58例2及解答]题型：测量高度问题方法步骤：①在△BCD中求出角∠BD1C1＝120°；②求∠C1BD1＝15°；③由正弦定理求出BC1＝(182＋66)m；④利用三角函数定义求出A1B＝18＋6 3.⑤求出烟囱高AB＝A1B＋A1A≈29.89(m)．[例2]如图，地平面上有一旗杆OP，为了测量它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20 m，在A点测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B点测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h(结果精确到1 m)．[解题指南]旗杆OP垂直于地面，所以△AOP和△BOP都是直角三角形，则用h表示OA，OB；在△AOB中，可利用余弦定理构造方程，求出旗杆的高度h.[解析]在Rt△AOP中，OA＝OP1tan 30°＝3h，在Rt△BOP中，OB＝OP1tan 45°＝h，在△AOB中，根据余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos 60°，即202＝(3h)2＋h2－2×3h×h×12，所以h2＝4004－3≈176，得h≈13，所以旗杆的高度约为13 m.延伸探究 1.(1)在本例中，若将条件“∠AOB＝60°”改为“∠AOB＝0°”，则结论如何？(2)在本例中，若将条件“∠AOB＝60°”改为“∠AOB＝180°”，则结论如何？解析：(1)如图，在△ABP中，∠APB ＝15°，由正弦定理，得 BP sin ∠OAP ＝AB sin ∠APB ， 所以BP ＝AB sin ∠OAP sin ∠APB＝20sin 30°sin 15°＝10(6＋2)(m)． 在Rt △BOP 中，OP ＝BP sin 45°＝10(6＋2)×22≈27(m)，所以此时旗杆的高度约为27 m.(2)如图，在Rt △AOP 中，OA ＝h tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，OB ＝h tan 45°＝h ，由OA ＋OB ＝AB ，得3h ＋h ＝20，所以h ＝203＋1≈7(m)， 所以此时旗杆的高度约为7 m.方法技巧 测量高度问题的解题思路对于底部不能到达或者无法直接测量的物体高度问题，常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所测量物体的高度．如图所示其一般步骤总结为跟踪探究 2.如图，为了测量河对岸的塔高AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 和D ，测得CD ＝200 m ，在点C 和点D 测得塔顶A 的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB .[解题指南] 先在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，用AB 表示BC和BD ，再在△BCD 中，由余弦定理建立方程，求得AB .解析：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，设AB ＝h ，则BC ＝h ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3h .在△BCD 中，由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2·BC ·BD ·cos ∠CBD ，即2002＝h 2＋(3h )2－2·h ·3h ·32，解得h ＝200(h ＝－200舍去)，即塔高AB ＝200 m.探究三 测量角度问题[阅读教材P62A 组第3题]如图为一角槽示意图，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并量得AB ＝85 mm ，BC ＝78 mm ，AC ＝32 mm ，则α＝______，β＝________(精确到0.1°)解析：在△ABC 中，AB ＝85，BC ＝78，AC ＝32，由余弦定理得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝322＋852－7822×32×85≈0.397 9，所以A ≈66.5°，所以α≈23.5°. cos B ＝BC 2＋BA 2－AC 22BC ·BA ＝782＋852－3222×78×85≈0.926 5. 所以B ≈22.1°，所以β≈67.9°.答案：23.5° 67.9°[例3] 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．[解题指南] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，再解三角形．[解析] 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°.设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t .在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，即212t 2＝102＋81t 2－2×10×9t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理，得360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB， 所以sin ∠CAB ＝BC sin ∠ACB AB＝6×3214＝3314， 即∠CAB ≈21.8°.故舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮．延伸探究 2.本题中其他条件不变，将“渔轮向小岛靠拢的速度”改为“10 n mile/h”，将“我海军舰艇的速度”改为“10 3 n mile/h ”，求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间．解析：如图所示，设所需时间为t h ，则AB ＝103t ，CB ＝10t .在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，即(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°，整理，得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．舰艇需1 h 靠近渔轮．此时AB ＝103，BC ＝10.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB， 所以sin ∠CAB ＝BC sin ∠ACB AB ＝10×32103＝12. 所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为30°＋45°＝75°，靠近渔轮需要1 h. 方法技巧 解决测量角度问题的注意点(1)明确方位角和方向角的含义；(2)分析题意，明确已知条件和所求问题，并根据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．体现了数形结合与方程的数学思想方法．跟踪探究 3.地图测绘人员在点A 测得某一目标参照物P 在他的北偏东30°的方向，且距离他40 3 m ，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m ，达到点B .试确定此时目标参照物P 相对于他的方位角以及他与目标参照物P 的距离．[解题指南] 画出图形，在三角形中，利用正弦定理求出内角的大小以及边的长度，从而确定相应的方位角以及距离．解析：如图，在△P AB 中，∠P AB ＝30°，P A ＝40 3 m ，AB＝40 m.由余弦定理，得PB ＝ AB 2＋P A 2－2·AB ·P A ·cos ∠P AB＝402＋（403）2－2×40×403cos 30°＝40(m)．因为AB ＝40 m ，所以AB ＝PB ，所以∠APB ＝∠P AB ＝30°，所以∠PBA ＝120°.因此测绘人员到达点B 时，目标参照物P 相对于该测绘人员的方位角为180°－120°＝60°，且目标参照物P 与他的距离为40 m.授课提示：对应学生用书第47页[课后小结](1)运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．(2)空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题．(3)正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．[素养培优]对实际情况理解偏差致误如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？易错分析解此类问题一般会用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的关系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．尤其第(2)问中求“乙在缆车上与甲的距离最短”，“甲出发2 min”后乙才出发，都是不可忽视的关键．所设变量时间t是以甲为主还是以乙为主，又会带来不一样的运算过程．考查数学建模、数形结合，函数与方程思想，提升数学运算能力．自我纠正(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45，所以sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B·sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)，所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理，得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)．由于0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，因此当t＝3537时，乙在缆车上与甲的距离最短．。
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[A 基础达标]1．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点间的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522m解析：选A.由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠CBA .又∠CBA ＝180°－45°－105°＝30°，故AB ＝AC ·sin ∠ACBsin ∠CBA＝50×2212＝50 2 (m)．2.如图，测量河对岸的塔的高度AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔AB 的高度为( ) A ．152米 B ．153米 C ．15(3＋1)米D ．156米解析：选D.在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝CD sin 30°sin 135°＝152(米)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan 60°＝156(米)．故选D.3．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为( ) A ．20分钟 B ．40分钟 C ．60分钟D ．80分钟解析：选B.如图，设它们在D 处相遇，用时为t 小时，则AD ＝21t ，CD ＝9t ，∠ACD ＝120°，由余弦定理，得cos 120°＝102＋（9t ）2－（21t ）22×10×9t ，解得t ＝23(负值舍去)，23小时＝40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟．4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)( ) A ．14.5 km/h B ．15.6 km/h C ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C.由物理学知识， 画出示意图，AB ＝15， AD ＝4，∠BAD ＝120°. 在▱ABCD 中，D ＝60°， 在△ADC 中，由余弦定理得 AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝16＋225－4×15＝181 ≈13.5.5．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东40° B ．北偏西10° C ．南偏东10°D ．南偏西10° 解析：选B.如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，因为AC ＝BC ，所以∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°，所以∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.6．如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3 mm ，BC ＝2 2 mm ，AB ＝29 mm ，则∠ACB ＝________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ACB ＝32＋（22）2－（29）22×3×22＝－22.因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4.答案：3π47．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________ m.解析：设水柱的高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝ 3 h ，根据余弦定理，得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50，故水柱的高度是50 m. 答案：508．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063.答案：10639．如图，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．(1)求该军舰艇的速度． (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝100×2＝200， AC ＝120，∠ACB ＝α， 在△ABC 中， 由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC ＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理， 得AB sin α＝BCsin 120°，即 sin α＝AB sin 120°BC ＝200×32280＝5314.10.如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离． 解：依题意得，CD ＝30 km ，∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°， ∠DAC ＝45°.在△BDC 中， 由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得 AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.[B 能力提升]11．如图，某山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°，从B 处攀登400米后到达D 处，再看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°，从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为______米．解析：在△ABD 中，BD ＝400，∠ABD ＝120°，因为∠ADB ＝180°－∠ADC ＝30°，所以∠DAB ＝30°，所以AB ＝BD ＝400，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos 120°＝400 3.在△ADC 中，DC ＝800，∠ADC ＝150°，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，所以AC ＝40013，故索道AC 的长为40013米． 答案：4001312.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为______m. 解析：如图，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°， 所以∠ABS ＝30°.AS ＝1 000，由正弦定理知BS sin 15°＝ 1 000sin 30°，所以BS ＝2 000sin 15°.所以BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°·cos 15°＝1 000sin 30°＝500， 且DC ＝ST ＝1 000sin 30°＝500， 从而BC ＝DC ＋DB ＝1 000 m. 答案：1 00013.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得该仪器在最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解：由题意，设AC ＝x m ， 则BC ＝x －217×340＝x －40 (m)．在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°. 由正弦定理得CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC ，所以CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 6 m.14．(选做题)如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB ＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； (2)求塔的高AB .(结果保留根号，不求近似值)．解：(1)依题意知，在△DBC 中，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°，CD ＝6 000×160＝100 (m)，∠BDC ＝45°－30°＝15°，由正弦定理得 CD sin ∠DBC ＝BCsin ∠BDC，所以BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠DBC ＝100×sin 15°sin 135°＝100×6－2422＝50（6－2）2＝50(3－1)(m)，在Rt △ABE 中，tan α＝ABBE，因为AB 为定长，所以当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE ⊥CD ，当BE ⊥CD 时，在Rt △BEC 中，EC ＝BC ·cos ∠BCE ＝50(3－1)·32＝25(3－3)(m)，设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟，则t ＝EC6 000×60＝25（3－3）6 000×60＝3－34(分钟)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE ⊥CD ， 在Rt △BEC 中，BE ＝BC ·sin ∠BCD ，所以AB ＝BE ·tan 60°＝BC ·sin ∠BCD ·tan 60° ＝50(3－1)·12·3＝25(3－3)(m)，即所求塔高为25(3－3) m.。