变量之间的关系附答案

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变量之间的关系(带答案)

变量之间的关系(带答案)

变量之间的关系(带答案)变量之间的关系、表达⽅法复习知识要点表⽰变量的三种⽅法:列表法、解析法(关系式法)、图象法◆要点1 变量、⾃变量、因变量(1) 在⼀变化的过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量,常量和变量往往是相对的,相对于某个变化过程。

(2) 在⼀变化的过程中,主动发⽣变化的量,称为⾃变量,⽽因变量是随着⾃变量的变化⽽发⽣变化的量。

例如⼩明出去旅⾏,路程S、速度V、时间T三个量中,速度V⼀定,路程S则随着时间T的变化⽽变化。

则T为⾃变量,路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀,可表⽰因变量随⾃变量的变化⽽变化的情况。

(2) 从表格中获取信息,找出其中谁是⾃变量,谁是因变量。

找⾃变量和因变量时,主动发⽣变化的是⾃变量,因变量随⾃变量的增⼤⽽增⼤或减⼩◆要点3 ⽤关系式表⽰变量之间的关系(1) ⽤来表⽰⾃变量与因变量之间关系的数学式⼦,叫做关系式,是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀。

(2) 写变化式⼦,实际上根据题意,找到等量关系,列⽅程,但关系式的写法⼜不同于⽅程,必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是⽤含⾃变量的代数式表⽰因变量。

(3) 利⽤关系式求因变量的值,①已知⾃变量与因变量的关系式,欲求因变量的值,实质就是求代数式的值;②对于每⼀个确定的⾃变量的值,因变量都有⼀个确定的与之对应的值。

◆要点4 ⽤图象法表⽰变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的⼜⼀重要⽅式,特点是⾮常直观。

(2) 通常⽤横轴(⽔平⽅向的数轴)上的点表⽰⾃变量,⽤纵轴(竖直⽅向的数轴)上的点表⽰因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息,关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置,才能准确获取信息。

如利⽤图象求两个变量的对应值,由图象得关系式,进⾏简单计算,从图象上变量的变化规律进⾏预测,判断所給图象是否满⾜实际情景,所给变量之间的关系等。

(4) 对⽐看:速度—时间、路程—时间两图象★若图象表⽰的是速度与时间之间的关系,随时间的增加即从左向右,“上升的线段”①表⽰速度在增加;“⽔平线段”②表⽰速度不变,也就是做匀速运动,“下降的线段”③表⽰速度在减少。

变量之间的关系(含答案)

变量之间的关系(含答案)

变量之间的关系试卷简介:变量的相关概念,用表格、关系式、图象表示变量之间的关系一、单选题(共12道,每道7分)1.在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体.下面是测得的弹簧长度y与所挂物体质量x的一组对应值:下列有关表格的分析中,不正确的是( )A.表格中两个变量是所挂物体质量和弹簧长度B.自变量是所挂物体质量C.在允许范围内,所挂物体质量越大,弹簧长度就越长D.所挂物体质量随弹簧长度的变化而变化答案:D解题思路:所挂物体质量x是自变量,弹簧长度y是因变量,弹簧长度y随着所挂物体质量的变化而变化,故正确选项是D试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系2.中国电信公司电话收费标准:前3分钟(不足3分钟按3分钟计算)为0.2元,3分钟后每分钟收0.1元,则通话时间x分钟(x>3)与通话费用y之间的函数关系是( )A.y=0.1x+0.2B.y=0.1xC.y=0.1x-0.1D.y=0.1x+0.5答案:C解题思路:当通话时间超过3分钟时,计费分为两段,第一段是前3分钟话费为0.2元,第二段是超过3分钟的部分,超出部分时间为(x-3),超出部分的话费为0.1(x-3),故总的话费为y=0.2+0.1(x-3),化简的结果为y=0.1x-0.1,故正确选项为C试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系3.如图,当输入数值x为-2时,输出数值y是( )A.4B.6C.8D.10答案:B解题思路:输入-2,-2<1则代入y=-0.5x+5=-0.5×(-2)+5=6,故正确选项是B试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系4.一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为200米,小军先走了一段路程,爸爸才开始出发,图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程s(米)与登山所用的时间t(分钟)的图象关系(从爸爸开始登山时计时).根据图象,下列说法错误的是( )A.爸爸开始登山时,小军已走了50米B.爸爸走了5分钟,小军仍在爸爸的前面C.小军比爸爸晚到山顶D.10分钟以后小军还在爸爸的前面答案:D解题思路:横轴表示时间,纵轴表示小军和爸爸离开山脚登山的路程,由于小军先出发,所以当时小军先出发,10分钟时2人相遇,之前小军在爸爸前面,之后爸爸赶超小军先到达山顶.试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系5.如图所示的图象描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的变化关系,下列说法中错误的是( )A.第3分时汽车的速度是40千米/时B.第12分时汽车的速度是0千米/时C.从第9分到第12分,汽车速度从60千米/时减少到0千米/时D.从第3分到第6分,汽车行驶了120千米答案:D解题思路:横轴表示时间,纵轴表示对应时间汽车的速度,0-3汽车由0千米/时加速到40千米/时,3-6以40千米/时匀速行驶,行驶路程为千米,9-12汽车由60千米/时逐渐减速到0千米/时.试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系6.在全民健身环城越野赛中,甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示.有下列说法:①起跑后1小时内,甲在乙的前面;②第1小时两人都跑了10千米;③甲比乙先到达终点;④两人都跑了20千米.其中正确的说法有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C解题思路:由图象可知起跑后1小时内,甲在乙的前面;在跑了1小时时,乙追上甲,此时都跑了10千米;乙比甲先到达终点;求得乙跑的直线的解析式,即可求得两人跑的距离,则可求得答案.试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系7.小明根据邻居家的故事写了一首小诗:“儿子学成今日返,老父早早到车站,儿子到后细端详,父子高兴把家还.”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离,用横轴x表示父亲离家的时间,那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是( )A. B.C. D.答案:C解题思路:父亲先到车站,2人最后一起回家,终点应在x轴上试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系8.某蓄水池的横断面示意图如图所示,分深水区和浅水区,如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出,下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是( )A. B.C. D.答案:A解题思路:水池上款下窄,所以在相等的时间内,水的高度为开始下降慢之后下降快.试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系9.如图1,在长方形ABCD中,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC,CD,DA运动至点A停止.设点P运动的时间为x,△ABP的面积为y,如果y与x的关系图象如图2所示,则m的值是( )A.3B.5C.6D.8答案:B解题思路:x=2时,P点位于C处,BC=4.P位于DC上时,三角形面积为12,可求出AB长,DC=AB,由速度可求出时间.试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系10.小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点A,再走下坡路到达点B,最后走平路到达学校,所用的时间与路程的关系如图所示.放学后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟答案:D解题思路:首先求得上坡,下坡,平路时的速度分别为80米/分,200米/分,100米/分,所以小高从学校到家需要的时间为,即可所求.试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系11.某村新修建一个蓄水池,这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管(两个进水管的进水速度相同),一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示,某天0点到6点(至少打开一个水管),该蓄水池的蓄水量如图2所示,并给出以下三个结论:①0点到1点不进水,只出水;②1点到4点不进水,不出水;③4点到6点只进水,不出水.则一定正确的结论是( )A.①③B.②③C.③D.①②③答案:C解题思路:根据图1可知进水速度小于出水速度,结合图2中特殊点的实际意义即可作出判断.试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系12.甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地,已知乙比甲先出发,他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示.给出下列说法:(1)甲的平均速度为km/h;(2)乙的平均速度为8km/h;(3)甲、乙两人同时到达目的地;(4)从开始到相遇这一段时间内,甲的平均速度=乙的平均速度.根据图象信息,以上说法正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B解题思路:首先注意横纵坐标的表示意义,再观察图象可得乙出发0.5小时后停留了0.5小时,然后又用1.6小时到达离出发地20千米的目的地;甲比乙早到0.6小时出发,用1.5小时到达离出发地20千米的目的地,然后根据此信息分别对4种说法进行判断.试题难度:三颗星知识点:变量之间的关系二、填空题(共2道,每道8分)13.一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的关系.则根据图象信息,快车的速度为____km/h.答案:160解题思路:由图象看出两地距离,两车相遇时y=0,C点表示快车到站,慢车继续行驶,D 点慢车到站,可以求出慢车速度,两车相遇路程之和等于甲乙两地距离,列出关系式,算出快车速度.试题难度:知识点:变量之间的关系14.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到市图书馆查阅资料,学校与市图书馆之间的路程是4千米,小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达市图书馆,图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的距离s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的关系,根据图象信息,则当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是____千米.答案:3解题思路:由BC段可求出小聪回学校的速度,OD可求出小明的速度,要求他们相遇时距学校的速度,可利用逆向思维,转化为相遇问题,利用速度和总路程可求出时间,最终算出距离.试题难度:知识点:变量之间的关系。

北师大版七年级下册数学第三章 变量之间的关系含答案(基础题)

北师大版七年级下册数学第三章 变量之间的关系含答案(基础题)

北师大版七年级下册数学第三章变量之间的关系含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、函数y=+中自变量x的取值范围是()A.x≤2B.x≤2且x≠1C.x<2且x≠1D.x≠12、函数y=x2﹣1中自变量x的取值范围()A.x≠1B.x=1C.x>1D.全体实数3、下列函数中,自变量x的取值范围是x>3的是()A.y=x﹣3B.C.D.y=4、小王计划用100元钱买乒乓球,所购买球的个数W(个)与单价n(元)的关系式w=中()A.100是常量,W,n 是变量B.100,W是常量,n 是变量C.100,n 是常量,W是变量D.无法确定5、设半径为r的圆的面积为S,则S=πr2,下列说法错误的是()A.变量是S和r,B.常量是π和2C.用S表示r为r=D.常量是π6、下列函数中,自变量x的取值范围是x>﹣2的是()A.y=x+2B.y=C.y=D.y=7、函数y=中,自变量x的取值范围是()A.x≠2B.x>2C.x<2D.x≠48、下列给出的式子中,x是自变量的是()A.x=5B.2x+y=0C.2y 2=4x+3D.y=3x﹣19、小丽从济南给远在广州的爸爸打电话,电话费随着时间的变化而变化,在这个过程中,因变量是()A.小丽B.时间C.电话费D.爸爸10、函数y=+的自变量x的取值范围是()A.x≤3B.x≠4C.x≥3且x≠4D.x≤3或x≠411、下列函数中自变量取值范围选取错误的是()A.y= 中x≠0B.y=x 2中x取全体实数C.y= 中x≠﹣1 D.y= 中x≥112、如图,数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围,则这个函数解析式为()A.y=x+2B.y=x 2+2C.y=D.y=13、函数y=中自变量x的取值范围为()A.x≥2B.x≥-2C.x≥0D.x≤-214、在函数y= 中,自变量x的取值范围是()A.x≠4B.x≠﹣4C.x≠0且x≠4D.x<415、函数y=+中自变量x的取值范围是()A.x≤2B.x=3C.x<2且x≠3D.x≤2且x≠3二、填空题(共10题,共计30分)16、小王在一家公司打工,报酬为20元/小时,设小王这个月工作的时间为t 时,应得报酬为m元,则m关于t的解析式是________.17、如图所示的函数图象反映的过程是:小明从家去书店看一会儿书,又去学校取封信后马上回家,其中x表示时间(单位:小时),y表示小明离家的距离(单位:千米),则小明从学校回家的平均速度为________ 千米∕小时.18、如图,某电信公司提供了A,B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(元)之间的关系,下列结论:①若通话时间少于120分,则A方案比B方案便宜20元;②若通话时间超过200分,则B方案比A方案便宜12元;③若通讯费用为60元,则B方案比A方案的通话时间多;④若两种方案通讯费用相差10元,则通话时间是145分或185分.其中正确结论的序号是________.19、一种圆环(如图),它的外圆直径是8厘米,环宽1厘米.①如果把这样的2个圆环扣在一起并拉紧(如图2),长度为________厘米;②如果用x个这样的圆环相扣并拉紧,长度为y厘米,则y与x之间的关系式是________.20、在函数y= +(x﹣1)0中,自变量x的取值范围是________.21、一皮球从高处落下,如果每次弹起的高度总是它下落高度的一半,则反弹高度h与落地次数n的对应关系的函数解析式为________.22、在圆的面积和半径之间的关系式S=πr2中,S随着r的变化而变化.其中,________是常量,________是变量.23、在函数y= 中,自变量x的取值范围是________.24、函数y= 中,自变量x的取值范围是________.25、函数中,自变量x的取值范围是________.三、解答题(共6题,共计25分)26、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐,在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系:(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当易拉罐底面半径为2.4cm时,易拉罐需要的用铝量是多少?(3)根据表格中的数据,你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜?说说你的理由.(4)粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响.27、设路程为s km,速度为v km/h,时间t h,指出下列各式中的常量与变量.(1)v=;(2)s=45t﹣2t2;(3)vt=100.28、如图,在正方形ABCD中,E为BC边上的点(不与B,C重合),F为CD边上的点(不与C,D重合),且AE=AF,AB=4,设△AEF的面积为y,EC的长为x,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.29、已知两个变量x、y满足关系2x﹣3y+1=0,试问:①y是x的函数吗?②x 是y的函数吗?若是,写出y与x的关系式,若不是,说明理由.30、我国是一个严重缺水的国家,我们都应该倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.5毫升.小燕子同学在洗手时,没有拧紧水龙头,当小燕子离开x(时)后水龙头滴了y(毫升)水.在这段文字中涉及的量中,哪些是常量,哪些是变量?参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、B2、D3、D4、A5、B6、D7、A8、D9、C11、A12、C13、A14、A15、A二、填空题(共10题,共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共6题,共计25分)27、28、29、30、。

变量之间的关系,附练习题含答案

变量之间的关系,附练习题含答案

变量之间的关系学案知识梳理:1.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量;变量分为自变量和因变量.2.表示变量之间的关系通常有三种方法,它们是列表法、图像法、表达式法.1.看图的方法:一看轴;二看点;三看线练习题1. 在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体.下面是测得的弹簧长度y 与所挂物体质量x 的一组对应值. 所挂物体质量x /kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y /cm 182022242628(1)表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当所挂物体质量为3 kg 时,弹簧多长?不挂重物时,弹 簧多长?(3)若所挂物体质量为7 kg (在允许范围内),你能说出此时 的弹簧长度吗?2. 如图,若输入x 的值为-5,则输出的结果是_______;若输入x 的值为5,则输出的结果是_______.3. 如图是某地一天的气温随时间变化的图象,根据图象回答:(1)在这一天中,什么时间气温最高?什么时间气温最低? 最高气温和最低气温各是多少? (2)20 h 的气温是多少? (3)什么时间气温为6 ℃? (4)哪段时间内气温保持不变?4. 一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶,过了一段时间后,汽车减速到达下一个车站,乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶,下面哪一个图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况?( )A .B .C .D .时间O速度时间速度O时间速度O时间速度O是 否 y =x +1输入xx 大于0吗? y =x 1输出yt /hT /°C-4-22468100242220161814121086425.某蓄水池的横断面示意图如图所示,分深水区和浅水区.如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出,下列图象中能大致表示水的深度和放水时间之间的关系的是()A.B.C.D.6.如图所示,向放在水槽底部的烧杯注水,注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽.水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的关系大致是图中的()A.B.C.D.7.星期天晚饭后,小红从家里出发去散步,图中反映了她散步过程中离家的距离s(米)与散步所用的时间t(分)之间的关系,依据图象,下面描述符合小红散步情景的是()A.从家里出发到了一个公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了B.从家里出发到了一个公共阅报栏,看了一会儿报,继续向前走了一段,然后回家了C.从家里出发一直散步(没有停留),然后回家了D.从家里出发散一会儿步,就找同学去了,18分钟后才开始返回8.小李讲了一个龟兔赛跑的故事,并用图象描绘了比赛过程中路程随时间的变化情况,请先回答下列问题,再讲述这个故事.(1)兔子和乌龟是否在同一地点同时出发?(2)兔子和乌龟在比赛途中相遇过几次?(3)哪一个先到达终点?9.男、女运动员在100米跑道的两端同时起跑,往返练习跑步,测得男运动员每跑一百米用12秒,女运动员每跑一百米用15秒,图中实线和虚线分别为这两名运动员距女运动员起跑点的距离s(米)与时间t(秒)之间的关系图象,请根据图象回答问题:(1)图中实线是_____运动员跑步的图象,虚线是_____运动员跑步的图象(填“男”或“女”);(2)在百米跑道上两运动员第一次在同一端点相遇时,两人均跑了________秒,其中男运动员跑了________米,女运动htt员跑了________米;(3)两运动员从开始起跑到第一次在同一端点相遇止,共相 遇了__________次.10. 甲、乙两人在一次赛跑中,路程s (米)与时间t (秒)的关系如图所示,则下列结论错误的是( ) A .这是一次100米赛跑B .甲比乙先到达终点C .乙跑完全程需12.5秒D .甲的速度为8米/秒第10题图第11题图11. 明明骑自行车去上学时,经过一段先上坡后下坡的路,在这段路上所走的路程s (千米)与时间t (分)之间的关系如图所示.放学后如果按原路返回,且往返过程中,上坡速度相同,下坡速度相同,那么他回来时,走这段路所用的时间为( ) A .12分B .13分C .14分D .15分12. 一个装有进水管和出水管的容器,从某一时刻起只打开进水管进水,经过一段时间,再打开出水管放水,至12分钟时,关闭进水管.在打开进水管到关闭进水管这段时间内,容器内的水量y (升)与时间x (分钟)之间的关系如图所示,则关闭进水管后,经过______分钟,容器中的水恰好放完.13. 如图,小明从家骑自行车去上学,当他以往常的速度骑了一段路时,忽然想起要买一本练习册,于是又折回到刚经过的一家书店,买到书后继续赶去学校,他离家的距离s (米)与时间t (分)之间的关系如图所示,根据图中提供的信息回答下列问题: (1)小明家到学校的距离是多少米?书店到学校的距离是多少米? (2)小明在书店停留了多少分钟?本次上学途中,小明一共行驶了多少米? (3)在整个上学的途中,哪个时间段小明骑车速度最快?最快速度是多少?(4)如果小明不买书,以往常的速度去学校,需要多少分钟?本次上学比往常多用多少分钟?x /分钟14.一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离.......为y(km),图中的折线表示y与x之间的关系.根据图象进行以下探究:(1)甲、乙两地之间的距离为________km;(2)请解释图中点B的实际意义;(3)求慢车和快车的速度.15.如图是某空蓄水池的横断面示意图,分为深水区和浅水区.若以固定的流量往这个空蓄水池中注水,则下列图象中,能大致表示水的深度h与时间t之间的关系的是()A.B.C.D.16.小明某天上午9时骑车离家,15时回家,如图描绘了他离家的距离与时间的具体变化情况,请结合图象回答以下问题:(1)小明经过多长时间到达离家最远的地方?此时他离家多远?(2)11时到12时,他行驶了多少千米?(3)他由离家最远的地方返回的平均速度是多少?【思路分析】读图,从图象中提取信息.①看轴:明确横轴、纵轴表示的意义.横轴表示____________,纵轴表示___________________.②看点:看起点、终点、状态转折点,与实际情景对应.起点表示上午9时从家出发,终点表示15时回家,与实际情景相符.状态转折点:10时离家__________,10.5时离家___________,11时离家________,12时离家________,13时离家_________.③看线,观察线段的变化趋势.线的变化较为复杂,9时—10时,距离增加了_________,此段的速度为________;10时—10.5时,速度为________;10.5时—11时,距离未发生变化;11时—12时,距离增加了________,此段的速度为________;12时—13时,距离未发生变化;13时—15时,距离减少了________,此段的速度为________.【过程书写】解:时浅水区深水区17.在利用太阳能热水器加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是()A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器18.如图,当输入数值x为-2时,输出的结果是()A.-2B.3C.-3D.2t y t y t O yt【参考答案】1.(1)表中反应了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系;所挂物体质量是自变量;弹簧长度是因变量(2)当所挂物体质量为3kg时,弹簧长24cm;不挂重物时,弹簧长18cm(3)32cm2.-6;63.(1)16h气温最高;4h气温最低;最高气温是10℃;最低气温是-4℃;(2)20h的气温是8℃;(3)10h和22h的气温是6℃;(4)12h到14h的气温持续不变4. B5. A6. B7. B8.(1)否;(2)两次;(3)乌龟9.(1)男;女;(2)60;500;400;(3)510. D11. C12.813.(1)1500米;900米;(2)4分钟;2700米;(3)12-14分钟小明骑车速度最快;450米/分钟;(4)如果不买书需要7.5分钟;本次比往常多用了6.5分钟14.(1)900;(2)点B的实际意义是甲、乙两车在出发4h时相遇;(3)慢车的速度是75km/h;快车的速度是150km/h15. C16.(1)3小时,30千米(2)13千米(3)15千米/小时思路分析:①时间,离家的距离②10千米,17千米,17千米,30千米,30千米③10千米,10千米/小时14千米/小时13千米,13千米/小时30千米,15千米/小时17.B18.B19.(1)时间,气温(2)16,2,10,-2(3)5(4)9和2220.B21.D22.C23.D24.(1)甲教师的平均速度是0.25千米/分钟,乙教师的平均速度是1千米/分钟(2)乙出发后追上甲所用的时间是6分钟25.(1)a=20,b=1 100,c=50(2)60分钟。

七年级数学专项习题——变量之间的关系(附参考答案)

七年级数学专项习题——变量之间的关系(附参考答案)

1. 已知AB ∥CD ,现将一个含30°角的直角三角尺EFG 七年级数学专项习题——变量之间的关系(附参考答案)按如图方式放置,其中顶点F 、G 分别落在直线AB ,CD 上,GE 交AB 于点H ,若∠EHB =50°,则∠AFG 的度数为( )A .100°B .110°C .115°D .120°2. 如图,已知AB ∥DF ,DE 和AC 分别平分∠CDF 和∠BAE ,若∠DEA =46°,∠ACD =56°,则∠CDF 的度数为( )A .22°B .33°C .44°D .55°3. 如图,将长方形ABCD 沿EF 翻折,再沿ED 翻折,若∠FEA ″=105°,则∠CFE = 度.4. 已知∠1的两边分别平行于∠2的两边,若∠1=40°,则∠2的度数为 .5. 如图,将一副三角板的直角顶点重合,摆放在桌面上,当∠AOC= 时,AB所在直线与CD所在直线互相垂直.6. 已知:如图△ABC中,AC⊥BC,点D、E在AB边上,点F在AC边上,DG⊥BC于G,∠1=∠2.求证:EF∥CD.(请在下面空白处写出完整证明过程)∴∠AHG =∠EHB =50°,∵AB ∥CD ,∴∠EGD =∠AHG =50°,∵∠FGE =60°,∴∠FGD =∠FGE +∠EGD =60°+50°=110°,∵AB ∥CD ,∴∠AFG =∠FGD =110°1.解:∵GE 交AB 于点H 参考答案,.故选:B .2.解:过点C 作CN ∥AB ,过点E 作EM ∥AB ,∵FD ∥AB ,CN ∥AB ,EM ∥AB ,∴AB ∥CN ∥EM ∥FD∴∠BAC =∠NCA ,∠NCD =∠FDC ,∠FDE =∠DEM ,∠MEA =∠EAB . ∴∠DEA =∠FDE +∠EAB ,∠ACD =∠BAC +∠FDC .又∵DE 和AC 分别平分∠CDF 和∠BAE ,∴∠FDC =2∠FDE =2∠EDC ,∠BAE =2∠BAC =2∠EAC , ∴56°=∠BAC +2∠FDE ①,46°=∠FDE +2∠BAC ②.①+②,得3(∠BAC +∠FDE )=102°,∴∠BAC +∠FDE =34°③.①-③,得∠FDE =22°.∴∠CDF =2∠FDE =44°.故选:C .3.解:由四边形ABFE 沿EF 折叠得四边形A ′B ′FE ,∴∠A ′EF =∠AEF .∵∠A ′EF =∠A ′ED +∠DEF ,∠AEF =180°-∠DEF .∴∠A ′ED +∠DEF =180°-∠DEF .由四边形A ′B ′ME 沿AD 折叠得四边形A ″B ″ME ,∴∠A ′ED =∠A ″ED .∵∠A ″ED =∠A ″EF +∠DEF =105°+∠DEF ,∴∠A ′ED =105°+∠DEF .∴105°+∠DEF +∠DEF =180°-∠DEF .∴∠DEF =25°.∵AD ∥BC ,∴∠DEF =∠EFB =25°.∴∠CFE =180°-∠EFB =180°-25°=155°.故答案为:155.4. 解:①若∠1与∠2位置如图1所示:∵AB ∥DE ,∴∠1=∠3, 又∵DC ∥EF ,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,又∵∠1=40°,∴∠②若∠1与∠2位置如图2所示:∵AB∥DE,∴∠1=∠3,又∵DC∥EF,∴∠2+∠3=180°,∴∠2+∠1=180°,又∵∠1=40°,∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140°,综合所述:∠2的度数为40°或140°,故答案为:40°或140°.5.6. 证明:,,( 已知 ),( 垂直的定义 ),( 同位角相等,两直线平行)两直线平行,内错角相等),( 已知 ),( 等量代换 )同位角相等,两直线平行)。

第三章 变量之间的关系(解析版)

第三章 变量之间的关系(解析版)

2020-2021学年七年级数学下册高分数拔尖提优单元密卷(北师大版)参考答案与试题解析考试时间:120分钟;满分:150分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、单选题(共40分)1.(本题4分)变量y 与x 之间的关系式为y =2x +5,当自变量x =6时,因变量y 的值为() A .7 B .14 C .17 D .21【答案】C【详解】把x =6代入y =2x +5得,y =2×6+5=17.故选C.2.(本题4分)在圆面积公式2S R π=中,变量是( )A .SB .S 与πC .S 与R 2D .S 与R【答案】D【解析】圆面积公式S=πR 2中,S 和R 是变量;故选D .3.(本题4分)小红到文具商店买彩笔,每打彩笔12支,售价18元,那么买彩笔所需的钱数y(元)与购买彩笔的支数x(支)之间的关系式为( )A.y=1.5x B.y=x C.y=12x D.y=18x【答案】A【解析】根据钱数=单价×数量可得:183122y x x ==.故选A.4.(本题4分)下列各情景分别可以用哪一幅图来近似的刻画?正确的顺序是()①汽车紧急刹车(速度与时间的关系)②人的身高变化(身高与年龄的关系)③跳过运动员跳跃横杆(高度与时间的关系)④一面冉冉上升的红旗(高度与时间的关系)A.abcd B.dabc C.dbca D.cabd【答案】C【解析】解:A、人的身高随着年龄的增加而增大,到一定年龄不变,故与②符合;B、红旗升高随着时间的增加而增大,到一定时间不变,故与④符合;C、运动员跳跃横杆时高度在上升到最大高度然后上升到最大高度之后高度减小,与③符合;D 、汽车紧急刹车时速度随时间的增大而减小,与①符合.故选C .5.(本题4分)下列各曲线中表示y 是x 的函数的是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】根据函数的意义可知:对于自变量x 的任何值,y 都有唯一的值与之相对应,故D 正确.故选D .6.(本题4分)某商场自行车存放处每周的存车量为5000辆次,其中变速车存车费是每辆一次1元,普通车存车费为每辆一次0. 5元,若普通车存车量为x 辆次,存车的总收入为y 元,则y 与x 之间的关系式是( ) A .0.55000y x =+B .0.55000y x =-+C .0.52500y x =+D .0.52500y x =-+【答案】B【详解】根据“变速车存车费+普通车存车费=存车的总收入”,可得:y=0.5x+(5000-x )×1=-0.5x+5000.即:y=-0.5x+5000.故选B.7.(本题4分)李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD .设BC 边的长为x 米,AB 边的长为y 米,则y 与x 之间的函数关系式是( )A.y=-2x+24(0<x<12)B.y=-x+12(0<x<24)C.y=2x-24(0<x<12)D.y=x-12(0<x<24)【答案】B【解析】由实际问题抽象出函数关系式关键是找出等量关系,本题等量关系为“用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米”,结合BC边的长为x米,AB边的长为y米,可得BC+2AB=24,即x+2y=24,即y=-x+12.因为菜园的一边是足够长的墙,所以0<x<24.故选B.8.(本题4分)弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y (cm)与所挂的物体的质量x(kg)之间有下面的关系:下列说法不正确的是()A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量B.弹簧不挂重物时的长度为0 cmC.物体质量每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cmD.所挂物体质量为7 kg时,弹簧长度为13.5 cm【答案】B【解析】试题解析:A.y随x的增加而增加,x是自变量,y是因变量,故A选项正确;B. 弹簧不挂重物时的长度为10cm,故B选项错误;C. 物体质量每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm,故C选项正确;D. 由C知,y=10+0.5x,则当x=7时,y=13.5,即所挂物体质量为7kg时,弹簧长度为13.5cm,故D选项正确;故选B.9.(本题4分)如图,某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池,且中间有管道连通,现要向甲池中注水,若单位时间内的注水量不变,那么从注水开始,乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是()A.B.C.D.【答案】D【详解】开始一段时间内,乙不进行水,当甲的水到过连接处时,乙开始进水,此时水面开始上升,速度较快,水到达连接的地方,水面上升比较慢,最后水面持平后继续上升,故选D.10.(本题4分)(2015随州)甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s(单位:千米),甲行驶的时间为t(单位:小时),s与t 之间的函数关系如图所示,有下列结论:①出发1小时时,甲、乙在途中相遇;②出发1.5小时时,乙比甲多行驶了60千米;③出发3小时时,甲、乙同时到达终点;④甲的速度是乙速度的一半.其中,正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】B【详解】解:由图象可得:出发1小时,甲、乙在途中相遇,故①正确;甲骑摩托车的速度为:120÷3=40(千米/小时),设乙开汽车的速度为a千米/小时,则1201 40a=+,解得:a=80,∴乙开汽车的速度为80千米/小时,∴甲的速度是乙速度的一半,故④正确;∴出发1.5小时,乙比甲多行驶了:1.5×(80﹣40)=60(千米),故②正确;乙到达终点所用的时间为1.5小时,甲得到终点所用的时间为3小时,故③错误;∴正确的有①②④,共3个,第II卷(非选择题)二、填空题(共20分)11.(本题4分)根据图中的程序,当输入x=3时,输出的结果y=_______.【答案】2.【解析】将x=3代入y=113x ,得:y=1+1=2,故答案为:2.12.(本题4分)某农场租用收割机收割小麦,甲收割机单独收割2天后,又调来乙收割机参与收割,直至完成800亩的收割任务.收割亩数与天数之间的关系如图所示,那么乙参与收割________天.【答案】4【解析】试题分析:由图可知,甲、乙收割机每天共收割350-200=150亩,共同收割600亩,所以,乙参与收割的天数是600÷150=4天.故答案为:4.13.(本题4分)根据如图所示的计算程序计算变量y的对应值,若输入变量x的值为﹣12,则输出的结果为_____【答案】-1.5【详解】∴-2<12-<1,∴x=12-时,y=x-1=13122--=-,故答案为3 2 -.14.(本题4分)如图所示的是某个计算y值的程序,若输入x的值是32,则输出的y值是_________.【答案】12(或0.5)【解析】x=32>1,∴y=-x+2=-32+2=0.5.故答案为12(或0.5).15.(本题4分)如图,是小明从学校到家里行进的路程s(米)与时间t(分)的函数图象.观察图象,从中得到如下信息:①学校离小明家1000米;②小明用了20分钟到家;③小明前10分钟走了路程的一半;④小明后10分钟比前10分钟走得快,其中正确的有_____(填序号).【答案】①②④【解析】①由图象的纵坐标可以看出学校离小明家1000米,故①正确;②由图象的横坐标可以看出小明用了20到家,故②正确;③由图象的纵横坐标可以看出,小明前10分钟走的路程较少,故③错误;④由图象的纵横坐标可以看出,小明后10分钟比前10分钟走得快,故④正确;故答案为①,②,④.三、解答题(共90分)16.(本题8分)“十一”期间,小明和父母一起开车到距家200 km的景点旅游,出发前,汽车油箱内储油45 L,当行驶150 km时,发现油箱余油量为30 L(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的).(1)求该车平均每千米的耗油量,并写出行驶路程x(km)与剩余油量Q(L)的关系式;(2)当x=280 km时,求剩余油量Q的值.【答案】(1)该车平均每千米的耗油量为0.1(L/km),Q=45-0.1x;(2)当x=280 km时,剩余油量Q的值为17 L.【解析】(1)该车平均每千米的耗油量为(45-30)÷150=0.1(L/km),行驶路程x(km)与剩余油量Q(L)的关系式为Q=45-0.1x.(2)当x=280时,Q=45-0.1×280=17.故当x=280 km时,剩余油量Q的值为17L.17.(本题8分)已知两个变量x,y之间的变化情况如图所示,根据图象回答下列问题:(1)写出y的变化范围;(2)求当x=0,-3时,y的对应值;(3)求当y=0,3时,对应的x的值;(4)当x为何值时,y的值最大?(5)当x在什么范围内时,y的值在不断增加?【答案】(1)y的变化范围为-2~4;(2)当x=0时,y=3;当x=-3时,y=1.(3)当y=0时,x1=-2.5,x2=-1.5,x3=3.5;当y=3时,x1=0,x2=2.(4)当x=1时,图象有最高点,此时y最大.(5)当x在-2~1时,y的值在不断增加.【解析】(1)根据函数图象可得:y的变化范围为-2~4.(2)当x=0时,y=3;当x=-3时,y=1.(3)当y=0时,x1=-2.5,x2=-1.5,x3=3.5;当y=3时,x1=0,x2=2.(4)当x=1时,图象有最高点,此时y最大.(5)当x在-2~1时,函数图象上升,y的值在不断增加.18.(本题8分)小明用的练习本可以到甲超市购买,也可以到乙超市购买.已知两超市的标价都是每本1元,但甲超市的优惠条件是购买10本以上,从第11本开始按标价的70%卖.乙超市的优惠条件是从第1本开始就按标价的85%卖.(1)当小明要买20本时,到哪家超市购买较省钱?(2)写出甲超市中,收款y甲(元)与购买本数x(本)(x>10)的关系式.(3)小明现有24元钱,最多可买多少本练习本?【答案】(1)一样(2)y甲=0.7x+3(x>10)(3)30本【解析】试题解析:(1)、买20本时,在甲超市购买需用10×1+10×1×70%=17(元),在乙超市购买需用20×1×85%=17(元),所以买20本到两家超市买收费一样.(2)、y甲=10×1+(x-10)×1×70%=0.7x+3(x>10).(3)由题知乙超市收款y乙(元)与购买本数x(本)间的关系式为y乙=x×1×85%=x.所以当y甲=24时,24=0.7x甲+3,x甲=30;当y乙=24时,24=x乙,x乙≈28.所以拿24元钱最多可以买30本练习本(在甲超市购买).19.(本题8分)如图,分别表示甲步行与乙骑自行车(在同一路上)行走的路程s甲,s乙与时间t的关系,观察图象并回答下列问题:(1)乙出发时,乙与甲相距千米;(2)走了一段路程后,乙的自行车发生故障,停下来修车的时间为小时;(3)乙从出发起,经过小时与甲相遇;(4)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗?为什么?【答案】(1)10;(2)1;(3)3;(4)不一样,理由见解析;【解析】解:(1)由图象可知,乙出发时,乙与甲相距10千米.故答案为10.(2)由图象可知,走了一段路程后,乙的自行车发生故障,停下来修车的时间为=1.5-0.5=1小时,故答案为1.(3)图图象可知,乙从出发起,经过3小时与甲相遇.故答案为3(4)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.理由如下:乙骑自行车出故障前的速度7.50.5=15千米/小时.与修车后的速度22.57.53 1.5--=10千米/小时.因为15>10,所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.20.(本题10分)如图,长方形ABCD中,AB=4,BC=8.点P在AB上运动,设PB=x,图中阴影部分的面积为y.(1)写出阴影部分的面积y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围;(2)点P在什么位置时,阴影部分的面积等于20?【答案】(1)阴影部分的面积为:y=32-4x(0<x≤4);(2)PB=3【解析】试题分析:(1)根据梯形的面积公式得出y与x的函数关系式即可;(2)利用(1)中所求得出y=20,求出x即可得出答案.试题解析:(1)设PB=x,长方形ABCD中,AB=4,BC=8,则图中阴影部分的面积为:y=12(4-x+4)×8=32-4x(0≤x≤4).(2)当y=20时,20=32-4x,解得x=3,即PB=3.21.(本题10分)某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润=收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的):(1)在这个变化过程中,______是自变量,______是因变量;(2)观察表中数据可知,每月乘客量达到_______人以上时,该公交车才不会亏损;(3)请你估计当每月乘车人数为3500人时,每月利润为多少元?【答案】(1)x,y;(2)观察表中数据可知,每月乘客量达到2000;(3)每月乘车人数为3500人时,每月利润为3000元.【解析】解:(1)在这个变化过程中,每月的乘车人数x是自变量,每月的利润y是因变量;故答案为每月的乘车人数x,每月的利润y;(2)观察表中数据可知,每月乘客量达到观察表中数据可知,每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损;故答案为观察表中数据可知,每月乘客量达到2000;(3)由表中数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,当每月的乘车人数为2000人时,每月利润为0元,则当每月乘车人数为3500人时,每月利润为3000元.22.(本题12分)如图所示,梯形的上底AD=4,下底BC=6,CD=8,∠C=∠D=90°,点M从点C出发向点D移动,连接AM,BM,假设阴影部分的面积是y,CM的长度为x.(1)写出变量y与x之间的关系式;(2)当x=2时,阴影部分的面积是多少?(3)在点M 的移动过程中,是否存在阴影部分的面积等于梯形面积的14,若存在,求出x 的值;若不存在,简单说明理由.【答案】(1)y=-x+24;(2)22;(3)不存在,【解析】试题分析:(1)根据S 阴影=S 梯形-S 三角形BCM -S 三角形ADM ,代入相关数据即可得;(2)把x=2代入(1)中的关系式即可得;(3)不存在,根据阴影部分的面积等于梯形面积的14列方程进行求解即可得. 试题解析:(1)y=S 梯形-S 三角形BCM -S 三角形ADM =()()111468648222x x ⨯+⨯-⨯-⨯-=-x+24; (2)当x=2时,y=-2+24=22;(3)不存在,理由:假设存在,则-x+24=14×12×(4+6)×8,解方程,得x=14>8,所以不存在. 23.(本题12分)小明某天上午9时骑自行车离开家,15时回家,他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况(如图).(1)图象表示了哪两个变量的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)10时和13时,他分别离家多远?(3)他到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?(4)11时到12时他行驶了多少千米?(5)他可能在哪段时间内休息,并吃午餐?(6)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少?【答案】(1) 自变量是时间,因变量是距离;(2) 10时他距家10千米,13时他距家30千米; (3) 12:00时他到达离家最远的地方,离家30千米;(4)13千米;(5) 12:00~13:00休息并吃午餐;(6) 15千米/时解:(1)图象表示了时间、距离的关系,自变量是时间,因变量是距离.(2)由图象看出10时他距家10千米,13时他距家30千米.(3)由图象看出12:00时他到达离家最远的地方,离家30千米.(4)由图象看出11时距家19千米,12时距家30千米,11时到12时他行驶了30- 17=13(千米).(5)由图象看出12:00~13:00时距离没变且时间较长,得12:00~13:00休息并吃午餐.(6)由图象看出回家时用了2小时,路程是30千米,所以回家的平均速度是30÷2=15(千米/时). 24.(本题14分)如图表示的是汽车在行驶的过程中,速度随时间变化而变化的情况.(1)汽车从出发到最后停止共经过了多少时间?它的最高时速是多少?(2)汽车在那些时间段保持匀速行驶?时速分别是多少?(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况?(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析;【详解】(1)汽车从出发到最后停止共经过了24min,它的最高时速是90km/h(2)汽车大约在2分到6分,18分到22分之间保持匀速行驶,时速分别是30km/h 和90km/h(3)出发后8分到10分速度为0,所以汽车是处于静止的.可能遇到了红灯或者障碍(或者遇到了朋友或者休息).(答案不唯一,只要所说的情况合理即可)(4)该汽车出发2分钟后以30km/h的速度匀速行驶了4分钟,又减速行驶了2分钟,又停止了2分钟,后加速了8分钟到90km/h的速度匀速行驶了4分钟,最后2分钟停止了行驶.。

新教材【北师大版】七年级下册数学:第三章-变量之间的关系-章末复习(含答案)

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(新教材)北师大版精品数学资料期末复习(三) 变量之间的关系01 知识结构本章知识是学习函数的基础,要求掌握表示变量之间关系的三种方法,学会分析变量之间的关系,并能进行简单的预测.02 典例精讲【例1】 下面的表格列出了一个试验的统计数据,表示将皮球从高处落下时,弹跳高度b 与下降高度d 的关系,下面能表示这种关系的式子是(C )A .b =d 2B .b =2C .b =d2D .b =d +25【思路点拨】 这是一个用图表表示的关系,可以看出d 是b 的2倍,即可得关系式.【方法归纳】 利用表格表示两个变量之间关系,其对应值清晰明了,但它们之间的关系不够明朗,要结合数据加以分析才能发现潜在的规律.从表示自变量与因变量的表格中辨识自变量与因变量,一般第一栏为自变量,第二栏为因变量.【例2】 下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系,请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序(D )①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系);②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系);③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系);④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系). A .①②④③ B .③④②① C .①④②③ D .③②④①【思路点拨】 观察图象的走势,并与实际情景相联系是解决此题的关键.【方法归纳】 解决此类题重在观察图象并对图象上的数量关系和走势进行分析,抓住图象的转折点,这些转折点往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.【例3】 如图所示,圆柱的高为10 cm ,当圆柱的底面半径变化时,圆柱的体积也发生变化.(1)在这个变化过程中,圆柱的底面半径是自变量,圆柱的体积是因变量;(2)请你求出圆柱的体积V(cm 3)与圆柱的底面半径R(cm )之间的关系式; (3)R 的值能为负值吗?为什么?(4)当圆柱的底面半径从2 cm 变化到5 cm 时,圆柱的体积变化了多少?(最后结果保留π)【思路点拨】 (1)题目中有两个变量,主动变化的量是圆柱的底面半径,随之变化的是圆柱的体积;在(2)中,根据圆柱的体积=底面积×高即可求出V 与R 之间的关系式;由于R 为圆柱的底面半径,所以(3)中R 不能为负值;在(4)中,分别求出R 1=2 cm 和R 2=5 cm 时圆柱的体积,其差值即为体积的变化量. 【解答】 (2)因为圆柱的体积=底面积×高,所以V =πR 2×10=10πR 2.(3)因为R 为圆柱的底面半径,所以R>0,因此R 不能为负值.(4)因为10πR 22-10πR 21=10π·52-10π·22=10π·(52-22)=210π,所以圆柱体积增加了210π cm 3. 【方法归纳】 当变量之间的关系以图形形式表示时,可根据图形特点寻找有关变量的等量关系.然后根据等量关系列出关系式.值得注意的是,为使实际问题有意义,在求出变量之间的关系式后,要根据具体的题目要求,确定自变量的取值范围. 03 整合集训一、选择题(每小题3分,共30分)1.小亮以每小时8千米的速度匀速行走时,所走路程s(千米)随时间t(小时)的增大而增大,则下列说法正确的是(C ) A .8和s ,t 都是变量 B .8和t 都是变量 C .s 和t 都是变量 D .8和s 都是变量2.已知三角形ABC 的面积为2 cm 2,则它的底边a(cm )与底边上的高h(cm )之间的关系为(D ) A .a =4h B .h =4a C .a =h 4 D .a =4h3.对关系式的描述,不正确的是(D )A .x 看作自变量时,y 就是因变量B .x ,y 之间的关系也可以用表格表示C .x 在非负数范围内,y 的最大值为2D .当y =0时,x 的值为-24.如图所示y =2-x 是某市某天的气温随时间变化的图象,通过观察可知,下列说法中错误的是(C )A .这天15时气温最高B .这天3时气温最低C .这天最高气温与最低气温的差是13℃D .这天有两个时刻气温是30℃5.2017年1月4日上午,小华同学接到通知,他的作文通过了《我的中国梦》征文选拔,需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后,小华立即在电脑上打字录入这篇文稿,录入一段时间后因事暂停,过了一小会,小华继续录入并加快了录入速度,直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x ,录入字数为y ,下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是(C )6则表中a 的值为(B )A .21.5B .20.5C .21D .19.57.一个大烧杯中装有一个小烧杯,在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水,水流的速度恒定不变,小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中,浮子始终保持在容器的正中间.用x 表示注水时间,用y 表示浮子的高度,则用来表示变量y 与x 之间关系的选项是(B )8.(衡阳中考)小明从家出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家,如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分钟)之间的关系,根据图象,下列信息错误的是(A )A .小明看报用时8分钟B .公共阅报栏距小明家200米C .小明离家最远的距离为400米D .小明从出发到回家共用时16分钟9.贝贝利用计算机设计了一个程序,输入和输出的数据如下表:那么,当输入数据8 A.861 B.863 C.865 D.86710.如图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t ,正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分),则变量S 与t 的大致图象为(A )二、填空题(每小题4分,共20分)11.圆的周长C 与圆的半径r 之间的关系式为C =2πr ,其中常量是2,π.12.一蜡烛高20厘米,点燃后平均每小时燃掉4厘米,则蜡烛点燃后剩余的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)之间的关系式是h =20-4t .13.如图是某个计算y 值的程序,若输入x 的值是32,则输出的y 值是12.14.(义乌中考)小明从家跑步到学校,接着马上原路步行回家.如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的图象,则小明回家的速度是每分钟步行80米.15.下面由小木棒拼出的系列图形中,第n 个图形由n 个正方形组成,请写出第n 个图形中小木棒的根数S 与n 的关系式S =3n +1.三、解答题(共50分)16.某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动,需要制作宣传单,校园附近有一家印刷社,收费y(元)与印刷数量x(张)之间关系如表:(1)(2)从上表可知:收费y(元)随印刷数量x(张)的增加而增大; (3)若要印制1 000张宣传单,收费多少元?解:(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系,印刷数量是自变量,收费是因变量. (3)由上表可知:印刷数量每增加100张,收费增加15元,所以每张的价格是0.15元. 所以收费y(元)与印刷数量x(张)之间的关系式为y =0.15x. 当x =1 000时,y =0.15×1 000=150(元). 故要印制1 000张宣传单,收费150元.17.(10分)青春期男、女生身高变化情况不尽相同,下图是小军和小蕊青春期身高的变化情况.(1)上图反映了哪两个变量之间的关系?自变量是什么?因变量是什么?(2)A,B两点表示什么?(3)小蕊10岁时身高多少?17岁时呢?(4)比较小军和小蕊青春期的身高情况有何相同与不同.解:(1)反映了身高随年龄的变化而变化的关系,自变量是年龄,因变量是身高.(2)A点表示小军和小蕊在11岁时身高都是140厘米,B点表示小军和小蕊在14岁时身高都是155厘米.(3)小蕊10岁时身高130厘米,17岁时身高160厘米.(4)相同点:进入青春期,两人随年龄的增长而快速长高,并且在11岁和14岁时两人的身高相同;不同点:11岁至14岁间小蕊的身高变化比小军的快些,14岁后小军的身高变化比小蕊的快些.18.(10分)如图所示,在△ABC中,底边BC=8 cm,高AD=6 cm,E为AD上一动点,当点E从点D沿DA向点A运动时,△BEC的面积发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量和因变量各是什么?(2)若设DE长为x(cm),△BEC的面积为y(cm2),求y与x之间的关系式.解:(1)ED长度是自变量,△BEC的面积是因变量.(2)y与x的关系式为y=4x.19.(10分)新成药业集团研究开发了一种新药,在试验药效时发现,如果儿童按规定剂量服用,那么2小时的时候血液中含药量最高,接着逐步衰减,每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.当儿童按规定剂量服药后:(1)何时血液中含药量最高?是多少微克?(2)A点表示什么意义?(3)每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的,那么这个有效期是多长?解:(1)服药后2小时血液中含药量最高,最高是4微克.(2)A点表示血液中含药量为0.(3)有效期为5小时.20.(10分)如图,用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的长方形菜园ABCD,设与墙平行的篱笆AB的长为x m,菜园的面积为y m2.(1)试写出y与x之间的关系式;(2)当AB 的长分别为10 m 和20 m 时,菜园的面积各是多少?解:(1)因为与墙平行的篱笆AB 的长为x m , 所以长方形的另一边长为60-x2 m ,则长方形的面积为60-x2·x m 2.所以y 与x 之间的关系式为: y =60-x 2·x =-12x 2+30x. (2)当x =10时,y =-12×102+30×10=250(m 2);当x =20时,y =-12×202+30×20=400(m 2).21.(12分)一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发.设慢车行驶的时间为x(h ),两车之间的距离为y(km ),图中的折线表示y 与x 之间的关系.根据图象解答下列问题: (1)甲、乙两地之间的距离为900km ; (2)请解释图中点B 的实际意义; (3)求慢车和快车的速度.解:(2)图中点B 的实际意义是:当慢车行驶4 h 时,慢车和快车相遇. (3)由图象可知,慢车12 h 行驶的路程为900 km , 所以慢车的速度为90012=75(km /h ).当慢车行驶 4 h 时,慢车和快车相遇,两车行驶的路程之和为900 km ,所以慢车和快车行驶的速度之和为9004=225(km /h ),所以快车的速度为225-75=150(km /h ).。

变量之间的关系__变量之间的关系知识讲解

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变量之间的关系撰稿:康红梅 责编:李爱国【学习目标】1.知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围(即变量的取值范围);2.感受生活中存在的变量之间的依赖关系.3.能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4. 能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系,并进行简单的预测.【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 要点诠释:一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. t 是自变量,s 是因变量.要点二、用表格表示变量间关系借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.要点诠释:表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等.要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式(如3y x =),我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.要点诠释:关系式能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的变量之间都能列出关系式.要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量,用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.要点诠释:图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势,而且对于一些无法用关系式表达的变量,图象可以充当重要角色.【典型例题】类型一、常量、自变量与因变量1、对于圆的周长公式C=2πR,下列说法正确的是( )A .π、R 是变量,2是常量B .R 是变量,π是常量C .C 是变量,π、R 是常量D .C 、R 是变量,2、π是常量【思路点拨】常量就是在变化过程中不变的量,变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量.【答案】D ;【解析】解:C 、R 是变量,2、π是常量.【总结升华】本题主要考查了常量,变量的定义,是需要识记的内容.举一反三:【变式】从空中落下一个物体,它降落的速度随时间的变化而变化,即落地前速度随时间的增大而逐渐增大,这个问题中自变量是()A.物体 B.速度 C.时间 D.空气【答案】C.类型二、用表格表示变量间关系2、已知某易拉罐厂设计一种易拉罐,在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系:底面半径x(cm) 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0用铝量y(cm3) 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当易拉罐底面半径为2.4cm时,易拉罐需要的用铝量是多少?(3)根据表格中的数据,你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜?说说你的理由.(4)粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响.【思路点拨】(1)用铝量是随底面半径的变化而变化的,因而底面半径为自变量,用铝量为因变量;(2)根据表格可以直接得到;(3)选择用铝量最小的一个即可;(4)根据表格,说明随底面半径的增大,用铝量的变化即可.【答案与解析】解:(1)易拉罐底面半径和用铝量的关系,易拉罐底面半径为自变量,用铝量为因变量.(2)当底面半径为2.4cm时,易拉罐的用铝量为5.6cm3.(3)易拉罐底面半径为2.8cm时比较合适,因为此时用铝较少,成本低.(4)当易拉罐底面半径在1.6~2.8cm变化时,用铝量随半径的增大而减小,当易拉罐底面半径在2.8~4.0cm间变化时,用铝量随半径的增大而增大.【总结升华】根据表格理解:随底面半径的增大,用铝量的变化情况是关键.类型三、用关系式表示变量间关系3、如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=10,设P为BC上任一点,点P不与点B、C重合,且CP=x.若y表示△APB的面积.(1)求y与x之间的关系式;(2)求自变量x的取值范围.【答案与解析】解: (1)因为AC=6,∠C=90°,BC=10,所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=. 又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=, 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-,即303y x =-.(2)因为点P 不与点B 、C 重合,BC =10,所以0<x <10.【总结升华】利用三角形面积公式找到变量之间的关系式,要把握点P 是一动点这个规律,结合图形观察到点P 移动到特殊点,便可求出自变量的取值范围.举一反三:【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形.请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的关系式,并求自变量x 的取值范围.【答案】解:由题意得,2x y +=80,所以802y x =-,由于三角形两边之和大于第三边,且边长大于0,所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩,解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型四、用图象表示变量间关系4、星期日晚饭后,小红从家里出去散步,如图所示,描述了她散步过程中离家的距离s (m )与散步所用的时间t (min )之间的关系,该图象反映的过程是:小红从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一段,在邮亭买了一本杂志,然后回家了.依据图象回答下列问题(1)公共阅报栏离小红家有______米,小红从家走到公共阅报栏用了______分钟;(2)小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟;(3)邮亭离公共阅报栏有______米,小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟;(4)小红从邮亭走回家用了______分钟,平均速度是______米/分钟.【答案】(1)300,4;(2)6;(3)200,3;(4)5,100.【解析】由图象可知,0到4分钟,小红从家走到离家300米的报栏,4到10分钟,在公共报栏看新闻,10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭,13到18分钟,从离家500米的邮亭返回家里.【总结升华】这个图象是由几条线段组成的折线,其中每条线段代表一个阶段的活动.这条线段左右端点的横坐标的差,对应相应活动所用的时间.举一反三:【变式】一列货运火车从南京站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火车到达下一个车站停下,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次开始匀速行驶,可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( ).【答案】B;。

七年级数学下册《变量之间的关系》练习题附答案(北师大版)

七年级数学下册《变量之间的关系》练习题附答案(北师大版)

七年级数学下册《变量之间的关系》练习题附答案(北师大版)班级:___________姓名:___________考号:___________一、选择题1.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是( )A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器2.小军用50元钱买单价为8元的笔记本,他剩余的钱数Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系式为Q=50-8x,则下列说法正确的是( )A.Q和x是变量B.Q是自变量C.50和x是常量D.x是Q的函数3.根据科学研究表明,在弹簧的承受范围内,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下表的关系:下列说法不正确的是( )A.弹簧不挂重物时的长度为0cmB.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量C.随着所挂物体的重量增加,弹簧长度逐渐边长D.所挂物体的重量每增加1kg,弹簧长度增加0.5cm4.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据(如下表):温度/℃-20 -10 0 10 20 30声速/(m/s) 318 324 330 336 342 34下列说法错误的是( )A.在这个变化中,自变量是温度,因变量是声速B.温度越高,声速越快C.当空气温度为20℃时,声音5s可以传播1740mD.当温度每升高10℃,声速增加6m/s5.在某次实验中,测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表:则m与v之间的关系最接近于下列各表达式中的( )m 1 2 3 4v 0.01 2.9 8.03 15.1A.v=2m-2B.v=m2-1C.v=3m-3D.v=m+16.下面的表格列出了一个实验的统计数据,表示将皮球从高处落下时,弹跳高度b与下降高度d的关系,下面能表示这种关系的式子是( )d 50 80 100 150b 25 40 50 75A.b=d2B.b=2dC.b=12d D.b=d+257.李大爷想围成一个如图所示的长方形菜园,已知长方形菜园ABCD的面积为24平方米,设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数解析式为()A.y=24xB.y=-2x+24C.y=2x-24D.y=12x-128.汽车由北京驶往相距120千米的天津,它的平均速度是30千米/时,则汽车距天津的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系式及自变量的取值范围是( )A.s=120﹣30t(0≤t≤4)B.s=30t(0≤t≤4)C.s=120﹣30t(t>0)D.s=30t(t=4)9.如图,一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成,其中点A(﹣1,2),B(1,3),C(2,1),D(6,5),则此函数( )A.当x<1时,y随x的增大而增大B.当x<1时,y随x的增大而减小C.当x>1时,y随x的增大而增大D.当x>1时,y随x的增大而减小10.如图,在物理课上,老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没在水中,然后缓慢匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位:N)与铁块被提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系的大致图象是( )11.某学校组织团员举行“伏羲文体旅游节”宣传活动,从学校骑自行车出发,先上坡到达甲地后,宣传了8分钟,然后下坡到乙地又宣传了8分钟返回,行程情况如图所示.若返回时,上、下坡速度保持不变,在甲地仍要宣传8分钟,那么他们从乙地返回学校所用的时间是( )A.33分钟B.46分钟C.48分钟D.45.2 分钟12.某通讯公司就上宽带网推出A,B,C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示,则下列判断错误的是( )A.每月上网时间不足25 h时,选择A方式最省钱B.每月上网费用为60元时,B方式可上网的时间比A方式多C.每月上网时间为35 h时,选择B方式最省钱D.每月上网时间超过70 h时,选择C方式最省钱二、填空题13.小丽烧一壶水,发现在一定时间内温度随时间的变化而变化,即随时间的增加,温度逐渐增高,如果用t表示时间,T表示温度,则_____是自变量,_____是因变量.14.已知3x﹣y=7中,变量是,常量是 .把它写成用x的式子表示y的形式是 .15.一辆汽车以45km/h的速度行驶,设行驶的路程为s(km),行驶的时间为t(h),则s与t的关系式为,自变量是,因变量是.16.弹簧挂上物体后会伸长,测得﹣弹簧的长度y(cm)与所挂重物的质量x(㎏)有下面的关系:那么弹簧总长y(cm)与所挂重物x(㎏)之间的函数关系式为 .17.有甲、乙两个长方体蓄水池,将甲池中的水匀速注入乙池,甲、乙两个蓄水池中水高度y(米)与注水时间x(小时)之间的函数图象如图,若要使甲、乙两个蓄水池蓄水深度相同,则注水时间应为小时.18.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地,所行的路程与时间图象如图,则慢车比快车早出发小时,快车追上慢车行驶了千米,快车比慢车早小时到达B地.三、解答题19.已知高度每增加1000米,气温下降6℃,如果某地面气温为22℃(1)分别计算出该地1000米、2000米高空的气温.(2)若h米高空的气温为T,试写出T与h的关系,并指出关系式中的常量和变量.20.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间有如下关系(其中0≤x≤30).提出概念所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?那个是自变量?哪个是因变量?(2)根据表格中的数据,你认为提出概念所用时间为几分钟时,学生的接受能力最强?(3)从表格中可知,当提出概念所用时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?当提出概念所用时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?(4)根据表格大致估计当提出概念所用时间为23分钟时,学生对概念的接受能力是多少.21.下列是三种化合物的结构式及分子式⑴请按其规律,写出下一种化合物的分子式....⑵每一种化合物的分子式中H的个数m是否是分子式中C的个数n的函数?如果是,请你其写出关系式.22.一辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.(1)写出表示y与x的函数关系式.(2)指出自变量x的取值范围.(3)汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?23.甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地,行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图.请你根据图象解决下列问题:⑴谁先出发?先出发多少时间?谁先到达终点?先到多少时间?⑵分别求出甲、乙两人的行驶速度;⑶在什么时间段内,两人均行驶在途中(不包括起点和终点)?请你根据图中的情形,分别求出关于行驶时间x与行程y之间的函数关系式,根据图象回答:①两人相遇;②甲在乙的前面;③甲在乙后面.24.一列动车从甲地开往乙地,一列普通列车从乙地开往甲地,两车同时出发,设普通列车行驶的时间为x(小时),两车之间的距离为y(千米),如图中的折线表示y与x之间的函数关系.根据图象进行以下探究:【信息读取】(1)甲、乙两地相距千米,两车出发后小时相遇;(2)普通列车到达终点共需小时,普通列车的速度是千米/小时.【解决问题】(3)求动车的速度;(4)普通列车行驶t小时后,动车到达乙地,求此时普通列车还需行驶多少千米到达甲地?25.小刚周末骑单车从家出发去少年宫,当他骑了一段路时,想起要买一本书,于是原路返回到刚经过的深圳书城,买到书后继续前往少年宫,如图是他离家的距离与时间的关系示意图,请根据图中提供的信息回答下列问题:(1)小刚从家到深圳书城的路程是多少米?(2)小刚在书城停留了多少分钟?(3)买到书后,小刚从书城到少年宫的骑车速度是多少米/分?(4)小刚从家到少年宫的整个过程中,骑车一共行驶了多少米?参考答案1.C2.A3.A4.C5.B6.C.7.A8.A.9.A10.D11.D12.D13.答案为:t 是自变量,T 是因变量.14.答案为:答案是:x 和y ;3和7;y=3x ﹣7.15.答案为:s=45t ;t ;s.16.答案为:y=0.5x+12.17.答案为:3518.答案为:2,276,4.19.解:∵离地面距离每升高1 km ,气温下降6℃∴该地空中气温T(℃)与高度h(km)之间的函数表达式为:T =22﹣6h ;(1)把h =1km 代入T =22﹣6h =16把h =2km 代入T =22﹣6h =22﹣12=10答:该地1000米、2000米高空的气温分别为16℃、10℃;(2)T =22﹣6h ,其中22,6是常量,T ,h 是变量.20.解:(1)反映了提出概念所用的时间x 和对概念接受能力y 两个变量之间的关系; 其中x 是自变量,y 是因变量.(2)提出概念所用的时间为13分钟时,学生的接受能力最强.(3)当x在2分钟至13分钟的范围内,学生的接受能力逐步增强.当x在13分钟至20分钟的范围内,学生的接受能力逐步降低.(4)估计当提出概念所用的时间为23分钟时,学生的接受能力为49.9.21.解:⑴ C4H10;⑵m=2n+2.22.解:(1)根据题意,每行程x,耗油0.1x,即总油量减少0.1x则油箱中的油剩下50﹣0.1x∴y与x的函数关系式为:y=50﹣0.1x;(2)因为x代表的实际意义为行驶里程,所以x不能为负数,即x≥0;又行驶中的耗油量为0.1x,不能超过油箱中现有汽油量的值50即0.1x≤50,解得,x≤500.综上所述,自变量x的取值范围是0≤x≤500;(3)当x=200时,代入x,y的关系式:y=50﹣0.1×200=30.所以,汽车行驶200km时,油桶中还有30L汽油.23.解:⑴甲比乙早10分钟出发,乙比甲早5分钟到达;⑵ V甲=12km/t V乙=24km/t ;⑶当10<t<25两人均在途中,y甲=12x, y乙=24x-4①t=20两人相遇②10<t<20甲在乙前面③20<t<25,甲在乙后面.24.解:(1)由图象可得甲、乙两地相距1400千米,两车出发后4小时相遇,故答案为:1400,4;(2)由图象可知普通列车到达终点共需14小时,普通列车的速度是:1400÷14=100千米/小时故答案为:14,100;(3)动车的速度为:1400÷4﹣100=350﹣100=250千米/小时即动车的速度为250千米/小时;(4)t=1400÷250=5.6动车到达乙地时,此时普通列车还需行驶:1400﹣100×5.6=840(千米)即此时普通列车还需行驶840千米到达甲地.25.解:(1)根据函数图象,可知小刚从家到深圳书城的路程是4000米;(2)30﹣20=10(分钟).所以小刚在书城停留了10分钟;(3)小刚从书城到少年宫的路程为6250﹣4000=2250米,所用时间为35﹣30=5分钟小刚从书城到少年宫的骑车速度是:2250÷5=450(米/分);(4)6000+(6000﹣4000)+(6250﹣4000)=6000+2000+2250=10250(米).答:小刚从家到少年宫的整个过程中,骑车一共行驶了10250米.第11 页共11 页。

第四章《变量之间的关系》知识要点分梳理及单元测试题(含答案)

第四章《变量之间的关系》知识要点分梳理及单元测试题(含答案)

“变量之间的关系”知识要点梳理自变量变量的概念因变量变量之间的关系表格法关系式法变量的表达方法速度时间图象图象法路程时间图象一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中,不断变化的量叫做变量。

2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化,则把x叫做自变量,y叫做因变量。

3、自变量与因变量的确定:(1)自变量是先发生变化的量;因变量是后发生变化的量。

(2)自变量是主动发生变化的量,因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

(3)利用具体情境来体会两者的依存关系。

二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式,从中获取信息、研究不同量之间的关系。

(1)首先要明确表格中所列的是哪两个量;(2)分清哪一个量为自变量,哪一个量为因变量;(3)结合实际情境理解它们之间的关系。

2、绘制表格表示两个变量之间关系(1)列表时首先要确定各行、各列的栏目;(2)一般有两行,第一行表示自变量,第二行表示因变量;(3)写出栏目名称,有时还根据问题内容写上单位;(4)在第一行列出自变量的各个变化取值;第二行对应列出因变量的各个变化取值。

(5)一般情况下,自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列,这样便于反映因变量与自变量之间的关系。

三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时,通常是用含有自变量(用字母表示)的代数式表示因变量(也用字母表示),这样的数学式子(等式)叫做关系式。

2、关系式的写法不同于方程,必须将因变量单独写在等号的左边。

3、求两个变量之间关系式的途径:(1)将自变量和因变量看作两个未知数,根据题意列出关于未知数的方程,并最终写成关系式的形式。

(2)根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式;(3)根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式;(4)根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

4、关系式的应用:(1)利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值;(2)同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值;(3)根据关系式求值的实质就是解一元一次方程(求自变量的值)或求代数式的值(求因变量的值)。

七年级下册数学之变量之间的关系习题与答案

七年级下册数学之变量之间的关系习题与答案

变量之间的关系(导学案)知识过关1.如图,小明和课外小组一起利用同一块木板,测量了小车从不同高度下滑的时间,他们得到如下数据:支撑物高度/cm102030405060708090小车下滑时间/s4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.42(1)支撑物高度为70 cm时,小车下滑的时间是多少?(2)如果用h表示支撑物的高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么?(3)h每增加10 cm,t的变化情况相同吗?(4)随着支撑物高度h的变化,哪些量发生了变化?哪些量始终不发生变化?1.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为______,数值始终不变的量为______;变量分为______和________.2.表示变量之间的关系通常有三种方法,它们是__________、_____________、__________.3.看图的方法:____________、___________、___________.➢精讲精练1.在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体.下面是测得的弹簧长度y与所挂物体质量x的一组对应值.所挂物体质量x/kg0 1 2 3 4 5弹簧长度y/cm18 20 22 24 26 28(1)表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当所挂物体质量为3 kg时,弹簧多长?不挂重物时,弹簧多长?(3)若所挂物体质量为7 kg(在允许范围内),你能说出此时的弹簧长度吗?2.如图,若输入x的值为-5,则输出的结果是_______;若输入x的值为5,则输出的结果是_______.是否y=x+1输入xx大于0吗?y=x 1输出y3. 如图是某地一天的气温随时间变化的图象,根据图象回答:(1)在这一天中,什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少? (2)20 h 的气温是多少? (3)什么时间气温为6 ℃? (4)哪段时间内气温保持不变?4. 一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶,过了一段时间后,汽车减速到达下一个车站,乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶,下面哪一个图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况?( )A .B .C .D .5. 某蓄水池的横断面示意图如图所示,分深水区和浅水区.如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出,下列图象中能大致表示水的深度和放水时间之间的关系的是( )A . B. C . D .6. 如图所示,向放在水槽底部的烧杯注水,注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽.水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的关系大致是图中的( )h tA.B.C.D.7.星期天晚饭后,小红从家里出发去散步,图中反映了她散步过程中离家的距离s(米)与散步所用的时间t(分)之间的关系,依据图象,下面描述符合小红散步情景的是()A.从家里出发到了一个公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了B.从家里出发到了一个公共阅报栏,看了一会儿报,继续向前走了一段,然后回家了C.从家里出发一直散步(没有停留),然后回家了D.从家里出发散一会儿步,就找同学去了,18分钟后才开始返回8.小李讲了一个龟兔赛跑的故事,并用图象描绘了比赛过程中路程随时间的变化情况,请先回答下列问题,再讲述这个故事.(1)兔子和乌龟是否在同一地点同时出发?(2)兔子和乌龟在比赛途中相遇过几次?(3)哪一个先到达终点?9.男、女运动员在100米跑道的两端同时起跑,往返练习跑步,测得男运动员每跑一百米用12秒,女运动员每跑一百米用15秒,图中实线和虚线分别为这两名运动员距女运动员起跑点的距离s (米)与时间t(秒)之间的关系图象,请根据图象回答问题:(1)图中实线是_____运动员跑步的图象,虚线是_____运动员跑步的图象(填“男”或“女”);(2)在百米跑道上两运动员第一次在同一端点相遇时,两人均跑了________秒,其中男运动员跑了________米,女运动t员跑了________米;(3)两运动员从开始起跑到第一次在同一端点相遇止,共相 遇了__________次.10. 甲、乙两人在一次赛跑中,路程s (米)与时间t (秒)的关系如图所示,则下列结论错误的是( )A .这是一次100米赛跑B .甲比乙先到达终点C .乙跑完全程需12.5秒D .甲的速度为8米/秒第10题图第11题图11. 明明骑自行车去上学时,经过一段先上坡后下坡的路,在这段路上所走的路程s (千米)与时间t (分)之间的关系如图所示.放学后如果按原路返回,且往返过程中,上坡速度相同,下坡速度相同,那么他回来时,走这段路所用的时间为( ) A .12分B .13分C .14分D .15分12. 一个装有进水管和出水管的容器,从某一时刻起只打开进水管进水,经过一段时间,再打开出水管放水,至12分钟时,关闭进水管.在打开进水管到关闭进水管这段时间内,容器内的水量y (升)与时间x (分钟)之间的关系如图所示,则关闭进水管后,经过______分钟,容器中的水恰好放完.13. 如图,小明从家骑自行车去上学,当他以往常的速度骑了一段路时,忽然想起要买一本练习册,于是又折回到刚经过的一家书店,买到书后继续赶去学校,他离家的距离s (米)与时间t (分)之间的关系如图所示,根据图中提供的信息回答下列问题: (1)小明家到学校的距离是多少米?书店到学校的距离是多 少米?(2)小明在书店停留了多少分钟?本次上学途中,小明一共 行驶了多少米?(3)在整个上学的途中,哪个时间段小明骑车速度最快?最 快速度是多少?(4)如果小明不买书,以往常的速度去学校,需要多少分钟? 本次上学比往常多用多少分钟?x /分钟14. 一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x (h ),两车之间的.....距.离.为 y (km ),图中的折线表示y 与x 之间的关系. 根据图象进行以下探究:(1)甲、乙两地之间的距离为________km ; (2)请解释图中点B 的实际意义; (3)求慢车和快车的速度.【参考答案】知识过关1.(1)1.59s ;(2)逐渐减小;(3)不同; (4)小车下滑的时间;木板的长度 1. 变量;常量;自变量;因变量2. 表格法;关系式法;图象法3. 一看轴;二看点;三看线 ➢ 精讲精练1. (1)表中反应了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系;所挂物体质量是自变量;弹簧长度是因变量(2)当所挂物体质量为3kg 时,弹簧长24cm ;不挂重物时,弹簧长18cm (3)32cm 2. -6;63. (1)16h 气温最高;4h 气温最低;最高气温是10℃;最低气温是-4℃;(2)20h 的气温是8℃; (3)10h 和22h 的气温是6℃; (4)12h 到14h 的气温持续不变 4.Bt /分钟5. A6. B7. B8.(1)否;(2)两次;(3)乌龟9.(1)男;女;(2)60;500;400;(3)510.D11.C12.813.(1)1500米;900米;(2)4分钟;2700米;(3)12-14分钟小明骑车速度最快;450米/分钟;(4)如果不买书需要7.5分钟;本次比往常多用了6.5分钟14.(1)900;(2)点B的实际意义是甲、乙两车在出发4h时相遇;(3)慢车的速度是75km/h;快车的速度是150km/h每日一练(一)15.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,设慢车离乙地的距离为y1(km),快车离乙地的距离为y2(km),慢车的行驶时间为x(h),两车之间的距离为s(km),y1,y2与x之间的关系图象如图1所示,s与x之间的关系图象如图2所示.(1)图中的a=________,b=__________.(2)从甲地到乙地依次有E,F两个加油站,相距200km,若慢车经过E加油站时,快车恰好经过F加油站,求F加油站到甲地的距离.16.小丽家离学校2km,步行到校需30min,小丽的同学小军骑车上学,而且上学要经过小丽家,小图1 图2军离学校的路程与时间的关系如图所示.(1)小军家离学校多远?骑车上学的平均速度是多少?(2)若小丽与小军同时从家里出发上学,试在小军离学校的路程与时间的关系图上画出小丽上学过程中离学校路程与时间的关系图.(3)若他们同时从家里出发,途中能相遇吗?若能相遇,求出相遇时小军所用的时间;若不能相遇,请说明理由.【参考答案】1.(1)6,15 4(2)250km或500km2.(1)3km;0.2km/min(2)图略(3)能相遇,在7.5min时相遇,理由略变量之间的关系(随堂测试)1.如图是某空蓄水池的横断面示意图,分为深水区和浅水区.若以固定的流量往这个空蓄水池中注水,则下列图象中,能大致表示水的深度h与时间t之间的关系的是()A.B.C.D.2.小明某天上午9时骑车离家,15时回家,如图描绘了他离家的距离与时间的具体变化情况,请结合图象回答以下问题:(1)小明经过多长时间到达离家最远的地方?此时他离家多远?(2)11时到12时,他行驶了多少千米?(3)他由离家最远的地方返回的平均速度是多少?【思路分析】读图,从图象中提取信息.时间/min时浅水区深水区①看轴:明确横轴、纵轴表示的意义.横轴表示____________,纵轴表示___________________.②看点:看起点、终点、状态转折点,与实际情景对应.起点表示上午9时从家出发,终点表示15时回家,与实际情景相符.状态转折点:10时离家__________,10.5时离家___________,11时离家________,12时离家________,13时离家_________.③看线,观察线段的变化趋势.线的变化较为复杂,9时—10时,距离增加了_________,此段的速度为________;10时—10.5时,速度为________;10.5时—11时,距离未发生变化;11时—12时,距离增加了________,此段的速度为________;12时—13时,距离未发生变化;13时—15时,距离减少了________,此段的速度为________.【过程书写】解:【参考答案】1. C2.(1)3小时,30千米(2)13千米(3)15千米/小时思路分析:①时间,离家的距离②10千米,17千米,17千米,30千米,30千米③10千米,10千米/小时14千米/小时13千米,13千米/小时30千米,15千米/小时过程书写略变量之间的关系(习题)➢例题示范1.在利用太阳能热水器加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是()A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器2.如图,当输入数值x为-2时,输出的结果是()A.-2B.3C.-3D.2之间关系的是( ) D .t y t y t OytC.18分钟D.20分钟1.一元一次方程应用题数据都在题目中,所以通过_____、_____等手段梳理信息,根据等量关系建方程即可;变量之间关系应用题数据大部分都在图象里面,所以需要通过看图象的______、_______、______,把数据提取出来,转为一元一次方程应用题处理.2.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:乌龟和兔子从起点同时出发,领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,请在下图中画出兔子和乌龟运动的大致图象.【参考答案】➢巩固练习1.B2.B3.(1)时间,气温(2)16,2,10,-2(3)5(4)9和224.B5.D6.C7.D8.(1)甲教师的平均速度是0.25千米/分钟,乙教师的平均速度是1千米/分钟(2)乙出发后追上甲所用的时间是6分钟9.(1)a=20,b=1 100,c=50(2)60分钟➢思考小结1.列表,画线段图,轴、点、线2.略。

专题05 变量之间的关系压轴题五种模型(老师版)

专题05 变量之间的关系压轴题五种模型(老师版)

专题05变量之间的关系压轴题五种模型【类型一表格表示变量之间的关系模型】例题:(2021·全国·八年级专题练习)根据心理学家研究发现,学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间有如表所示的关系:提出概念所用时间(x)257101213141720对概念的接受能力(y)47.853.556.35959.859.959.858.355(1)上表中反映的两个变量之间的关系,哪个是自变量?哪个是因变量?(2)根据表格中的数据,提出概念所用时间是多少分钟时,学生的接受能力最强?(3)学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱?【答案】(1)“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量;(2)13分钟;(3)从第13分钟以后开始逐渐减弱【解析】【分析】(1)根据表格中提供的数量的变化关系,得出答案;(2)根据表格中两个变量变化数据得出答案;(3)提供变化情况得出结论.【详解】解:(1)表格中反映的是:提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量,其中“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量;(2)根据表格中的数据,提出概念所用时间是13分钟时,学生的接受能力最强达到59.9;(3)根据表格中的数据,学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱.【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系,理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键.【变式训练1】(2021·全国·七年级专题练习)某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润=收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的).x(人)50010001500200025003000…y(元)﹣3000﹣2000﹣1000010002000…(1)在这个变化过程中,每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量;(2)观察表中数据可知,每月乘客量达到人以上时,该公交车才不会亏损;(3)当每月乘车人数为4000人时,每月利润为多少元?【答案】(1)每月的乘车人数,每月利润;(2)2000人;(3)4000元【解析】【分析】(1)根据函数的定义即可求解;(2)根据表格可得:当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,即可求解;(3)有表中的数据推理即可求解.【详解】解:(1)在这个变化过程中,每月的乘车人数是自变量,每月利润是因变量;故答案为:每月的乘车人数,每月利润;(2)根据表格可得:当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,故答案为:2000;(3)有表中的数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,当每月的乘车人数为2000人时,利润为0元,故每月乘车人数为4000人时,每月的利润是(4000-2000)÷500×1000=4000元.【点睛】本题考查了根据表格与函数知识,正确读懂表格,理解表格体现变化趋势是解题关键.【变式训练2】(2020·全国·八年级课时练习)一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表:时间(秒)012345678910速度(米/秒)0.31.32.8 1.97.611.014.118.424.228.9(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)如果用时间t 表示时间,v 表示速度,那么随着t 的变化,v 的变化趋势是什么?(3)当t 每增加1秒,v 的变化情况相同吗?在哪个时间段内,v 增加的最快?(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限.【答案】(1)时间与速度;时间;速度;(2)0到3和4到10,v 随着t 的增大而增大,而3到4,v 随着t 的增大而减小;(3)不相同;第9秒时;(4)1秒.【解析】【分析】(1)根据表中的数据,即可得出两个变量以及自变量、因变量;(2)根据时间与速度之间的关系,即可求出v 的变化趋势;(3)根据表中的数据可得出V 的变化情况以及在哪1秒钟,V 的增加最大;(4)根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,再根据时间与速度的关系式即可得出答案.【详解】解:(1)上表反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量;(2)如果用t 表示时间,v 表示速度,那么随着t 的变化,v 的变化趋势是0到3和4到10,v 随着t 的增大而增大,而3到4,v 随着t 的增大而减小;(3)当t 每增加1秒,v 的变化情况不相同,在第9秒时,v 的增加最大;(4)由题意得:120千米/小时=12010003600⨯(米/秒),由33.328.9 4.4-=,且28.924.2 4.7 4.4-=>,所以估计大约还需1秒.【点睛】本题主要考查函数的表示方法,常量与变量;关键是理解题意判断常量与变量,然后结合图表得到问题的答案即可.【变式训练3】(2019·广东深圳·七年级期末)某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润=收入费用-支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的);(1)在这个变化过程中,是自变量,是因变量;(填中文)(2)观察表中数据可知,每月乘客量达到人以上时,该公交车才不会亏损;(3)请你估计当每月乘车人数为3500人时,每月利润为元?(4)若5月份想获得利润5000元,则请你估计5月份的乘客量需达人.【答案】(1)每月的乘车人数,每月利润;(2)2000;(3)3000;(4)4500.【解析】【分析】(1)直接利用常量与变量的定义分析得出答案;(2)直接利用表中数据分析得出答案;(3)利用由表中数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,进而得出答案;(4)由(3)得出当利润为5000元时乘客人数,即可得出答案.【详解】解:(1)在这个变化过程中,每月的乘车人数是自变量,每月利润是因变量;(2)∵观察表中数据可知,当每月乘客量达到2000人以上时,每月利润为0,∴每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损;(3)∵每月乘客量增加500人时,每月利润增加1000元,∴当每月乘车人数为3500人时,每月利润为3000元;(4)∵每月乘客量增加500人时,每月利润增加1000元,∴若5月份想获得利润5000元,5月份的乘客量需达4500人.【点睛】本题主要考查了常量与变量以及函数的表示方法,正确把握函数的定义是解题关键.【变式训练4】(2021·山西晋中·七年级期末)研究表明,当钾肥和磷肥的施用量一定时,土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系:氮肥施用量/(千03467101135202259336404471克/公顷)土豆产量/(吨/15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75公顷)(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时,土豆的产量是多少?如果不施肥氮肥呢?(3)根据表格中的数据,你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜?说说你的理由.(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.【答案】(1)土豆的产量与氮肥的施用量,氮肥施用量是自变量,土豆产量是因变量;(2)32.29吨/公顷,15.18吨/公顷;(3)336千克/公顷;(4)当氮肥的施用量低于336千克/公顷时,土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产,当氮肥的施用量高于336千克/公顷时,土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产.【解析】【分析】(1)根据变量、自变量、因变量的定义,结合表格解答即可;(2)直接从表格中找出施用氮肥和不用氮肥时对应的土豆产量;(3)从表格中找出土豆的最高产量,此时施用氮肥量是最合适的;(4)根据表格中土豆产量的增长和减少数量来说明氮肥的施用量对土豆产量的影响.【详解】解:(1)上表反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系,氮肥施用量是自变量,土豆产量是因变量;(2)由表可知:当氮肥的施用量是101千克/公顷时,土豆的产量是:32.29吨/公顷,如果不施氮肥,土豆的产量是:15.18吨/公顷;(3)当氮肥的施用量是336千克/公顷时,氮肥的施用量是比较适宜的,因为此时土豆产量最高,施肥太多或太少都会使土豆产量减产;(4)当氮肥的施用量低于336千克/公顷时,土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产,当氮肥的施用量高于336千克/公顷时,土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产.【点睛】本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系.函数的定义:在一个变化过程中,有两个变量x ,y ,对于x 的每一个取值,y 都有唯一确定的值与之对应,则y 是x 的函数,x 叫自变量.【类型二关系式表示变量之间的关系模型】例题:(2021·山东·东营市垦利区教学研究室期末)一辆汽车油箱内有油56升,从某地出发,每行驶1千米,耗油0.08升,如果设油箱内剩油量为y (升),行驶路程为x (千米),则y 随x 的变化而变化.(1)在上述变化过程中,自变量是,因变量是.(2)用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量.请将表格补充完整:行驶路程x (千米)100200300400油箱内剩油量y (升)4024(3)试写出y 与x 的关系式是.(4)这辆汽车行驶350千米时,剩油量是多少?汽车油箱内剩油8升时,汽车行驶了多少千米?【答案】(1)行驶路程,油箱内剩油量(2)48,32(3)560.08y x =-(0700)x ≤≤(4)28升,600千米(1)因变量随自变量的变化而变化,根据题意,油箱内剩油量随行驶路程的变化而变化,即可求解;(2)根据每行驶1千米,耗油0.08升,用油箱内原有油量减去耗油量,可以分别求出行驶100千米和300千米时的剩油量;(3)由已知条件,油箱内原有油量为56升,行驶x 千米耗油0.08x 升,根据“剩余油量=原有油量-耗油量”即可求出函数关系式;(4)将350x =和8y =分别代入y 与x 的关系式即可求解.(1)根据题意,油箱内剩油量随行驶路程的变化而变化,故自变量是行驶路程,因变量是油箱内剩油量,故答案为:行驶路程,油箱内剩油量.(2)汽车从出发地行驶100千米时的剩油量为:560.0810056848-⨯=-=(升);汽车从出发地行驶300千米时的剩油量为:560.0830*******-⨯=-=(升);故答案为:48,32.(3)油箱内原有油量为56升,行驶x 千米耗油0.08x 升,560.08y x ∴=-,当0y =时解得700x =,∴x 的取值范围是0700x ≤≤,∴y 与x 的关系式是560.08y x ∴=-(0700)x ≤≤,故答案为:560.08y x =-(0700)x ≤≤.(4)当350x =千米时,560.0835*******y =-⨯=-=(升);当8y =时,得8560.08x =-,解得600x =,故这辆汽车行驶350千米时,剩油量是28升;汽车油箱内剩油8升时,汽车行驶了600千米.【点睛】本题考查自变量与因变量的概念,求函数解析式等知识,学会用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是解题的关键.【变式训练1】(2021·黑龙江大庆·七年级期中)将长为40cm 、宽为15cm 的长方形白纸,按如图所示的方法黏合起来,黏合部分宽为5cm .(1)根据图,将表格补充完整:白纸张数12345⋯纸条长度/cm40110145⋯(2)设x 张白纸黏合后的总长度为cm y ,则y 与x 之间的关系式是什么?(3)你认为白纸黏合起来总长度可能为2020cm 吗?为什么?【答案】(1)75,180;(2)355y x =+;(3)不可能,理由见解析(1)理解题意分别求得白纸张数为2和5时的长度即可;(2)根据题意,找到等量关系,列出式子即可;(3)将2020y =代入,求解x ,判断是否为正整数,即可求解.【详解】解:(1)由题意可得,白纸张数为2时,长度为4040575cm +-=当白纸张数为5时,长度为40545180cm ⨯-⨯=故答案为:75,180;(2)当白纸张数为x 张时,长度()4051355y x x x =--=+故答案为355y x =+()3不可能.理由:将2020y =代入355y x =+,得2020355x =+,解得57.6x ≈.因为x 为整数,所以总长度不可能为2020cm .【点睛】本题主要考查了函数关系式的知识,解答本题的关键在于熟读题意发现题目中纸张长度的变化规律,并求出正确的函数关系式.【变式训练2】(2021·贵州毕节·七年级期末)威宁粮食二库需要把晾晒场上的120吨苞谷入库封存.受设备影响,每天只能入库15吨.入库所用的时间为x (单位:天),未入库苞谷数量为y (单位:吨).(1)直接写出y 和x 间的关系式为:______.(2)二库职工经过钻研,改进了入库设备,现在每天能比原来多入库5吨.则①直接写出现在y 和x 间的关系式为:______.②求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少多少天?【答案】(1)y =120-15x ;(2)①y =120-20x ;②2【解析】【分析】(1)入库所用的时间为x ,未入库苞谷数量为y 的函数关系式为y =120-15x ;(2)①改进了入库设备,每天入库15+5=20吨;y 和x 间的关系式为:y =120-20x ;②120吨苞谷入库封存现在所需天数一原来所需天数,即可求得答案.【详解】解:(1)晾晒场上的120吨苞谷入库封存,每天只能入库15吨,入库所用的时间为x ,未入库苞谷数量为y 的函数关系式为y =120-15x ;故答案为:y =120-15x ;(2)①改进了入库设备,则每天入库20吨;y 和x 间的关系式为:y =120-20x ;故答案为:y =120-20x ;②12012021520-=答:求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少2天.【点睛】主要考查了函数的实际应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式,从实际意义中找到对应的变量的值,利用待定系数法求出函数解析式,再根据自变量的值求算对应的函数值.【变式训练3】(2021·山东青岛·七年级期中)果实成熟从树上落到地面,它下落的高度与经过的时间有如下的关系:时间t /秒0.50.60.70.80.9…高度h /米4.90.25⨯ 4.90.36⨯ 4.90.49⨯ 4.90.64⨯ 4.90.81⨯…(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?其中自变量是什么?因变量是什么?(2)请你按照表中呈现的规律,列出果子下落的高度h (米)与时间t (秒)之间的关系式;(3)现有一颗果子经过2秒后离地面一米,请计算这颗果子开始下落时离地面的高度是多少米?【答案】(1)下落的角度h 与经过的时间t 之间的关系,自变量:经过的时间t ,因变量:下落的高度h ;(2)24.9h t =;(3)这颗果子开始下落时离地面高度为20.6m .【解析】【分析】(1)根据自变量与因变量的定义即可求解;(2)根据表格中数据发现规律,即可得到果子落下的度h (米)与时间t (秒)之间的关系式;(3)根据一颗果子经过2秒后离地面一米计算即可求解.【详解】解:(1)下落的高度h 与经过的时间t 之间的关系自变量:经过的时间t 因变量:下落的高度h(2)根据表格中数据可得到果子落下的度h (米)与时间t (秒)之间的关系式为24.9h t =;(3)果子开始下落时离地面高度为24.92120.6⨯+=m 答:果子开始下落时离地面高度为20.6m .【点睛】本题考查了函数的图表示方法,考查了学生的探究能力,要求学生有较强的分析数据和描述数据的能力及从图象得出规律的能力.能够正确找到h 和t 的关系是解题的关键.【变式训练4】(2021·山东济南·七年级期末)某公空车每天的支出费用为600元,每天的乘车人数x (人)与每天利润(利润=票款收入-支出费用)y (元)的变化关系,如下表所所示(每位委文的乘车票价固定不变):x (人)…200250300350400…p (元)…-200-100100200…根据表格中的数据,回答下列问题:(1)观察表中数据可知,当乘客量达到________人以上时,该公交车才不会亏损;(2)当一天乘客人数为500人时,利润是多少(3)请写出公交车每天利润y (元)与每天乘车人数x (人)的关系式.【答案】(1)300;(2)400;(3)y =2x -600【解析】【分析】(1)根据表格中的数据,当y 大于0时,相应的x 的取值即可;(2)根据表格中的变量之间的变化关系,可得“每增加50人,利润将增加100元”,可求出答案;(3)“每增加50人,利润将增加100元”也就是“每增加1人,利润将增加2元”,根据乘坐人数可得利润即可.【详解】解:(1)当y =0时,x =300,当x >300时,y >0,故答案为:300;(2)200+100×(50040050-)=400(元),答:一天乘客人数为500人时,利润是400元;(3)由表格中的数据变化可知,当乘坐人数为300人时,利润为0元,每增加50人,利润就增加100元,每减少50人,利润就减少100元,所以利润y =0+30050x -×100=2x -600,即:y =2x -600,答:公交车每天利润y (元)与每天乘车人数x (人)的关系式为y =2x -600.【点睛】y 元”与“乘坐的人数x ”之间的变化关系是正确解答的关键.【变式训练5】(2021·江西吉安·七年级期末)如图,是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条,已知铁环粗0.8厘米,每个铁环长5厘米,设铁环间处于最大限度的拉伸状态.求:(1)2个、3个、4个铁环组成的链条长分别有多少.(2)设n 个铁环长为y 厘米,请用含n 的式子表示y ;(3)若要组成2.09米长的链条,需要多少个铁环?【答案】(1)2个铁环组成的链条长8.4cm ,3个铁环组成的链条长为11.8cm ,4个铁环组成的链条长15.2cm ;(2)3.4 1.6y n =+;(3)需要61个铁环【解析】【分析】(1)根据铁环粗0.8厘米,每个铁环长5厘米,进而得出2个、3个、4个铁环组成的链条长;(2)根据铁环与环长之间的关系进而得出y 与n 的关系式;(3)由(2)得,3.4n +1.6=209,进而求出即可.【详解】解:(1)由题意可得:2520.810 1.68.4()cm ⨯-⨯=-=,3540.815 3.211.8()cm ⨯-⨯=-=,4560.820 4.815.2()cm ⨯-⨯=-=.故2个铁环组成的链条长8.4cm ,3个铁环组成的链条长为11.8cm ,4个铁环组成的链条长15.2cm ;(2)由题意得:n 个铁环一共有n -1个相接的地方,∴52(1)0.8y n n =--⨯,即 3.4 1.6y n =+;(3)∵2.09米=209cm ∴据题意有3.4 1.6209n +=,解得:61n =,答:需要61个铁环.【点睛】本题主要考查了用关系式表示的变量之间的关系,利用链条结构得出链条长的变化规律是解题的关键.【类型三动点问题与关系式间变量之间的关系模型】例题:(2021·全国·七年级专题练习)如图,长方形ABCD 的边长分别为AB =12cm ,AD =8cm ,点P 、Q 从点A 出发,P 沿线段AB 运动,点Q 沿线段AD 运动(其中一点停止运动,另一点也随着停止),设AP =AQ =xcm 在这个变化过程中,图中阴影部分的面积y (cm 2)也随之变化.(1)写出y 与x 的关系式.(2)当AP 由2cm 变到8cm ,图中阴影部分的面积y 是如何变化的?请说明理由.【答案】(1)21962y x =-;(2)y 由294cm 变到264cm ,理由见详解.【解析】【分析】(1)表示出APQ 的面积,用长方形的面积减去APQ 的面积可得y 与x 的关系式;(2)当AP 由2cm 变到8cm ,由(1)中y 与x 的关系式计算出相应的y 的值,可知其变化.【详解】解:(1)21122APQ S AP AQ x =⋅=V ,长方形的面积为212896cm ⨯=,所以21962y x =-;(2)当AP 等于2cm 时,即2x =时,221962962942y cm =-⨯=-=,当AP 等于8cm 时,即8x =时,2219689632642y cm =-⨯=-=,所以当AP 由2cm 变到8cm ,图中阴影部分的面积y 由294cm 变到264cm .【点睛】本题考查了和动点有关的图形的面积,灵活的表示出阴影部分的面积是解题的关键.【变式训练1】(2021·黑龙江大庆·七年级期中)如图所示,在三角形ABC 中,已知16BC =,高10AD =,动点Q 由点C 沿CB 向点B 移动(不与点B 重合).设CQ 的长为x ,三角形ACQ 的面积为S ,则S 与x 之间的关系式为___________________.【答案】()5016S x x =<<【解析】【分析】根据三角形的面积公式可知1=2AQC S AD CQ ⋅△,由此求解即可.【详解】∵AD 是△ABC 中BC 边上的高,CQ 的长为x ,∴1==52AQC S AD CQ x ⋅△,∴()5016S x x =<<.故答案为:()5016S x x =<<.【点睛】本题主要考查了列关系式,解题的关键在于能够熟练掌握三角形面积公式.【变式训练2】(2021·全国·七年级期末)如图在直角梯形ABCD 中,//AD BC ,90B ∠=︒,5cm AB =,8cm AD =,14cm BC =,点P ,Q 同时从点B 出发,其中点P 以1cm/s 的速度沿着点B A D →→运动;点Q 以2cm/s 的速度沿着点B C →运动,当点Q 到达C 点后,立即原路返回,当点P 到达D 点时,另一个动点Q 也随之停止运动.(1)当运动时间4s t =时,则三角形BPQ 的面积为_____2cm ;(2)当运动时间6s t =时,则三角形BPQ 的面积为_____2cm ;(3)当运动时间为3(s)1t t ≤时,请用含t 的式子表示三角形BPQ的面积.【答案】(1)16;(2)30;(3)当运动时间为3(s)1t t ≤时,三角形BPQ 的面积()255(57)705(713)t t t t t t ⎧⎪=<⎨⎪-<⎩【解析】【分析】(1)根据AB 、BC 的值和点Q 的速度是2cm/s ,点P 的速度是1cm/s ,求出BP 、BQ 的值,再根据三角形面积公式计算即可;(2)求出BQ 的值,再根据三角形面积公式计算即可;(3)分三种情况讨论:根据三角形面积公式列出即可.【详解】解:(1)AB =5cm ,AD =8cm ,BC =14cm ,点Q 的速度是2cm /s ,点P 的速度是1cm /s ,当运动时间t =4s 时,QB =2t =2×4=8(cm ),BP =t =4(cm ),则三角形BPQ 的面积为:()2118416cm 22BQ BP ⋅=⨯⨯=,故答案为:16;(2)当运动时间6s t =时,∵AB =5cm ,点P 的速度是1cm /s ,∴点P 运动到了AD 上,()22612cm QB t ==⨯=,则三角形BPQ 的面积为:()21112530cm 22BQ AB ⨯⋅=⨯⨯=,故答案为:30;(3)当P 在AB 上时,此时5t ≤,则三角形BPQ 的面积为211222BQ BP t t t ⋅=⋅=;当P 在AD 上,且Q 沿着点B C →运动时,∵BC =14cm ,点Q 的速度是2cm /s ,此时1452t <≤,即57t <≤,则三角形BPQ 的面积为1125522BQ AB t t ⋅=⨯⨯=;当P 在AD 上,且Q 沿着点C B →运动时,∵AB =5cm ,AD =8cm ,点P 的速度是1cm /s ,此时1371t <≤,即713t <≤,则三角形BPQ 的面积为()()112142551470522BQ AB t t t ⋅=⨯⨯-⨯=-=-;综上,当运动时间为3(s)1t t ≤时,三角形BPQ 的面积()255(57)705(713)t t t t t t ⎧⎪=<⎨⎪-<⎩.【点睛】本题考查了列代数式,三角形的面积,数形结合、分类讨论是解题的关键.【变式训练3】(2019·全国·七年级课时练习)如图,在Rt △ABC 中,已知∠C =90°,边AC =4cm ,BC =5cm ,点P为CB边上一点,当动点P沿CB从点C向点B运动时,△APC的面积发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量和因变量各是什么?(2)如果设CP长为x cm,△APC的面积为y cm,则y与x的关系可表示为_____;(3)当点P从点D(D为BC的中点)运动到点B时,则△APC的面积从____cm2变到_____cm2.【答案】(1)自变量是CP的长,因变量是△APC的面积;(2)y=2x;(3)5,10【解析】【分析】(1)根据函数自变量和因变量的概念解答即可;(2)根据三角形的面积公式列出关系式;(3)计算出CD的长度,求出相应的面积,求差得到答案.【详解】(1)自变量是CP的长,因变量是△APC的面积;(2)y=12×4×x=2x所以y与x的关系可表示为y=2x;(3)当x=52时,y=5;当x=5时,y=10,所以△APC的面积从5cm2变到10cm2.【点睛】考查的是函数关系式、自变量和因变量、求函数值的知识,属于基础题,学生认真阅读题意即可作答.【类型四动点问题与图象间变量之间的关系模型】例题:(2021·全国·八年级单元测试)如图,正方形ABCD的边长为2,动点P从点B出发,在正方形的边上沿B C D→→的方向运动到点D停止,设点P的运动路程为x,在下列图象中,能表示PAD△的面积y关于x的函数关系的图象是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分02x ≤≤、24x <≤两种情况,分别求出函数表达式,即可求解.【详解】解:当02x ≤≤时,如图,则1122222y AD AB =⋅=⨯⨯=,为常数;当24x <≤时,如下图,则112(22)422y AD PD x x =⨯=⨯⨯+-=-,为一次函数;故选:D .【点睛】本题考查了动点函数图象问题,在图象中应注意自变量的取值范围,注意分类讨论.【变式训练1】(2017·江西景德镇·七年级期末)如图,直线l 是菱形ABCD 和矩形EFGH 的对称轴,点C 在EF 边上,若菱形ABCD 沿直线l 从左向右匀速运动直至点C 落在GH 边上停止运动.能反映菱形进入矩形内部的周长y 与运动的时间x 之间关系的图象大致是()A .B .C .D .【答案】B【解析】【详解】周长y 与运动的时间x 之间成正比关系,故选B点睛:函数图象是典型的数形结合,图象应用信息广泛,通过看图象获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题能力、解决问题能力.用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图.【变式训练2】(2021·全国·八年级专题练习)如图(a )所示,在矩形ABCD 中,动点P 从点B 出发,沿BC ,CD ,DA 运动至点A 停止.设点P 运动的路程为x ,ABP △的面积为y ,如果y 关于x 的关系如图(b )所示,则m 的值是________.【答案】5【解析】【分析】先根据点(2,3)在图象上得出BC 的长,然后利用三角形的面积求出AB 的长,进而可得答案.【详解】解:由图象上的点(2,3)可知:2BC =,由三角形面积公式,得:132BC AB ⨯⨯=,解得:3AB =.3CD AB ∴==,5m BC CD =+=.故答案为:5.【点睛】本题考查了利用图象表示变量之间的关系,属于常见题型,根据题意和图象得出BC 和AB 的长是解题关键.【变式训练3】(2021·全国·七年级专题练习)如图①所示,在△ABC 中,AD 是三角形的高,且AD =6cm ,E 是一个动点,由B 向C ②所示,已知BC =8cm .(1)求当E 点在运动过程中△ABE 的面积y 与运动时间x 之间的关系式;(2)当E 点停止后,求△ABE 的面积.【答案】(1)y =9x (0<x ≤2);(2)△ABE 的面积是18cm 2.【解析】【分析】根据三角形的面积公式,可得答案.【详解】(1)由图2可知E 点的速度为3,∴y=12×3x×AD=9x,即y=9x(0<x≤2);(2)当E点停止后,BE=6,∴x=2时,y=9×2=18.∴△ABE的面积是18cm2.【点睛】本题考查了函数关系式,三角形的面积公式是解题关键.【类型五用图象表示变量之间的关系模型】例题:(2021·四川成都·七年级期末)下列各情境,分别描述了两个变量之间的关系:(1)一杯越晾越凉的开水(水温与时间的关系);(2)一面冉冉升起的旗子(高度与时间的关系);(3)足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系);(4)匀速行驶的汽车(速度与时间的关系).依次用图象近似刻画以上变量之间的关系,排序正确的是()A.③④①②B.②①③④C.①④②③D.③①④②【答案】A【解析】【分析】根据题干对应图像中变量的变化趋势即可求解.【详解】解:(1)一杯越来越凉的水,水温随着时间的增加而越来越低,故③图象符合要求;(2)一面冉冉上升的旗子,高度随着时间的增加而越来越高,故④图象符合要求;(3)足球守门员大脚开出去的球,高度与时间成二次函数关系,故①图象符合要求;(4)匀速行驶的汽车,速度始终不变,故②图象符合要求;正确的顺序是③④①②.故选:A.【点睛】本题考查用图像表示变量之间的关系,关键是将文字描述转化成函数图像的能力.【变式训练1】(2021·广东深圳·七年级期末)一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段时间后开始匀速行驶.过了一段时间,汽车到达下一车站.乘客上、下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶.下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是()。

第三章 变量之间的关系(答案版)

第三章  变量之间的关系(答案版)

第三章 变量之间的关系一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.在圆的面积公式S =πr 2中,常量为( B ) A .S B.πC.rD.S 和r2.用总长50 m 的篱笆围成长方形场地,长方形的面积S (m 2)与一边长l (m)之间的关系式为S =l (25-l ),那么下列说法正确的是( C ) A .l 是常量,S 是变量 B.25是常量,S 与l 是变量,l 是因变量 C .25是常量,S 与l 是变量,S 是因变量 D.以上说法都不对3.如果圆珠笔有12支,总售价为18元,用y(元)表示圆珠笔的总售价,x 表示圆珠笔的支数,那么y 与x 之间的关系应该是( D ) A .y =12xB.y =18xC.y =23xD.y =32x4.如图是护士统计一位病人的体温变化图,这位病人在16时的体温约是( C )A .37.8 ℃ B.38 ℃ C.38.7 ℃D.39.1 ℃5.变量x 与y 之间的关系式是y = 12 x 2-3,当自变量x =4时,因变量y 的值是( C ) A.-1B.-5C.5D.16.下面的表格列出了一个实验的统计数据,表示将皮球从高处落下时,弹跳高度b 与下降高度d 的关系,下面能表示这种关系的式子是( C )A .b =d 2B.b =2dC.b =d2D.b =d +257.如图,各图象所反映的是两个变量之间的关系,表示匀速运动的是( B )A.①②B.②C.①③D.无法确定8.某梯形上底长、下底长分别是x,y,高是6,面积是24,则y 与x 之间的关系式是( A ) A.y =-x +8B.y =-x +4C.y =x -8D.y =x -49.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系:下列说法不正确的是( C )A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量B.所挂物体质量为4 kg时,弹簧长度为12 cmC.弹簧不挂重物时的长度为0 cmD.物体质量每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm10.小刚以400米/分的速度匀速骑车5分,在原地休息了6分,然后以500米/分的速度骑回出发地.下列函数图象能表达这一过程的是( C )二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)11.大家知道,冰层越厚,所承受的压力越大,其中自变量是___冰层的厚度____,因变量是_冰层所承受的压力______.12.某机器工作时,油箱中的余油量Q(升)与工作时间t(时)的关系式为Q=40-6t.当t=3时,Q=_22______ .13.如图是桂林冬季某一天的气温随时间变化的图象,则这一天的温差是__12____℃.14.1~6个月的婴儿生长发育得非常快,出生体重为4 000克的婴儿,他们的体重y(克)和月龄x(月)之间的关系如下表:则6个月大的婴儿的体重约为_8200__克__ .15.如图所示的图象反映的过程是:小明从家去书店看书,又去学校取封信后马上回家,其中x表示时间,y表示小明离开家的距离,则小明从学校回家的平均速度为__6_____千米/时.16.如图,在△ABC中,边BC长为10,BC边上的高AD'为6,点D在BC上运动,设BD 长为x(0<x<10),则△ACD的面积y与x之间的关系式为__y=30-3x ____.17.(创新题)新冠疫情下,某医药研究院实验一种新药缓解病情,根据其药效发现,成人如果按规定剂量服用,每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)的变化情况如图所示.如果每毫升血液中含药量达到3微克以上(含3微克)时治疗疾病为有效,那么有效时长是__4___小时.三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)18.如图是某港口在某天从0时到12时的水位情况变化曲线.(1)在这一问题中,自变量是什么?(2)大约在什么时间水位最深,最深是多少?(3)大约在什么时间段水位是随着时间推移不断上涨的?解:(1)由图象可得,在这一问题中,自变量是时间.(2)大约在3时水位最深,最深是8米.(3)由图象可得,在0到3时和9到12时,水位是随着时间推移不断上涨的.19.如图,在一个半径为18 cm的圆面上,从中心挖去一个小圆面,当挖去小圆的半径由小变大时,剩下的一个圆环面积也随之发生变化.(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?2)如挖去的圆半径为x(cm),圆环的面积y(cm2)与x的关系式是y=324π-πx2;(3)当挖去圆的半径由1 cm变化到9 cm时,圆环面的面积由323πcm2变化到243πcm2.解:(1)自变量是小圆的半径,因变量是圆环的面积.20.日常生活中,我们经常要煮开水,下表为煮开水的时间与水的温度的描述.(1)根据上表的数据,我们得到什么信息?(2)在第9分钟时,水可以喝吗?为什么?在11分钟时呢?3)根据表格的数据判断:在第15分钟时,水的温度为多少呢?(4)随着加热时间的增长,水的温度是否会一直上升?说明你判断的依据.解:(1)随着时间的加长,水的温度在逐渐升高,11分钟时达到开水温度.(2)在第9分钟时,水不可以喝,因为水还没有烧开;在11分钟时,水烧开,可以喝.(3)第15分钟时,水的温度为100 ℃.(4)随着加热时间的增长,水的温度不会一直上升,因为水温升高到100 ℃时,水温不再升高.四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题8分,共24分)21.点燃一根蜡烛后,蜡烛的高度h(厘米)与燃烧时间t(分)之间的关系如下表:(1)蜡烛未点燃前的长度是多少厘米?(2)写出蜡烛的高度h(厘米)与燃烧时间t(分)之间的关系式;(3)求这根蜡烛能燃烧多长时间.解:(1)30厘米(2)h=30-0.5t(3)这根蜡烛能燃烧60分22.某水库初始的水位高度为5米,水位在10小时内持续匀速上涨,测量可知,经过4小时,水位上涨了1米.(1)写出水库的水位高度y(米)与时间x(小时)(0≤x≤10)之间的关系式;2)经过____6____小时,水库的水位上涨到6.5米;(3)当时间由1小时变化到10小时时,水库的水位高度由___5.25______米变化到_7.5____米.解:y=0.25x+5(0≤x≤10)23.小明从家骑自行车上学,当他骑了一段路时,想起要买某本书,于是又折回到刚经过的某书店,买到书后,继续去学校.如图是他本次上学所用的时间t(分钟)与离开家的距离y(米)的图象.根据图象提供的信息回答下列问题:(1)小明家到学校的距离是__1500______米;(2)小明在书店停留了__4___分钟;(3)本次上学途中,小明一共骑行了多少米?(4)整个上学的途中,哪个时间段小明骑车速度最快?解:(3)1 200+(1 200-600)+(1 500-600)=2 700(米),答:本次上学途中,小明一共骑行了2 700米.(4)设小明离家时间为t分钟,当0≤t≤6时,小明骑车的速度为1 200÷6=200(米/分);当6<t≤8时,小明骑车的速度为(1 200-600)÷(8-6)=300(米/分);当12≤t≤14时,小明骑车的速度为(1 500-600)÷(14-12)=450(米/分).因为200<300<450,所以在12≤t≤14段,小明骑车速度最快.五、解答题(三)(本大题共2小题,每小题10分,共20分)24.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间有如下关系(其中2≤x≤20):(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?(2)当提出概念所用时间是10分钟时,学生的接受能力是多少?(3)根据表格中的数据,你认为提出概念几分钟时,学生的接受能力最强;(4)从表中可知,当时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?当时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?解:(1)表格反映了提出概念所用时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系.(2)当x=10时,y=59,所以时间是10分钟时,学生的接受能力是59.(3)当x=13时,y的值最大是59.9,所以提出概念13分钟时,学生的接受能力最强.(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时,学生的接受能力逐步增强;当x在13分钟至20分钟的范围内时,学生的接受能力逐步降低.25.如图,棱长为a的小正方体,按照如图所示的方法继续摆放,自上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层.第n层的小正方体的个数记为S.解答下列问题:(1)按要求填写下表:(2)研究上表可以发现S随n的变化而变化,且S随n的增大而增大有一定的规律,请你用式子来表示S与n的关系,并计算当n=10时,S的值为多少?解:(2)S=n(n+1)2.当n=10时,S=10×(10+1)2=55.。

北师大初中数学七下变量之间的关系(附答案)

北师大初中数学七下变量之间的关系(附答案)

北师大初中数学七下变量之间的关系(带解析)1.甲、乙两同学从A地出发,骑自行车在同一条路上行驶到B地,他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系的图象如图所示,根据图中提供的信息,有下列说法:(1)他们都行驶了18千米;(2)甲在途中停留了0.5小时;(3)乙比甲晚出发了0.5小时;(4)相遇后,甲的速度大于乙的速度;(5)甲、乙两人同时到达目的地.其中,符合图象描述的说法有()A.2个B.4个C.3个D.5个2.甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动,如图,是甲、乙二人行走的图象,点O代表的是学校,x表示的是行走时间(单位:分),y表示的是与学校的距离(单位:米),最后都到达了目的地,根据图中提供的信息,下面有四个推断:①甲、乙二人第一次相遇后,停留了10分钟;②甲先到达的目的地;③甲在停留10分钟之后提高了行走速度;④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快.所有正确推断的序号是()A.①②B.①②③C.①③④D.①②④3.已知A、B两地相距600米,甲、乙两人同时从A地出发前往B地,所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示,则下列说法中:①甲每分钟走100米;②两分钟后乙每分钟走50米;③甲比乙提前3分钟到达B地;④当x=2或6时,甲乙两人相距100米.正确的有(在横线上填写正确的序号).4.重庆实验外国语学校运动会期间,小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式,出发时小明发现鞋带松了,停下来系鞋带,小欢继续跑往操场,小明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行,小明到达操场时入场式还没有开始,于是小明站在操场等待,小欢继续前往操场.设小明和小欢两人相距s (米),小欢行走的时间为t(分钟),s关于t的函数图象如图所示,则在整个运动过程中,小明和小欢第一次相距80米后,再过分钟两人再次相距80米.5.在抗击新冠肺炎疫情期间,司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市,到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市(志愿者下车时间忽略不计),而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递,他们出发时间相同,均沿两市间同一条公路匀速行驶,设两人行驶的时间为x(h),两人相距y(km),如图表示y随x变化而变化的情况,根据图象解决以下问题:(1)A、B两市之间的路程为km;点M表示的实际意义是;(2)小张开车的速度是km/h;小李骑摩托车的速度是km/h.(3)试求出发多长时间后,两人相距60km.6.一天早晨,小玲从家出发匀速步行到学校,小玲出发一段时间后,她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品,于是立即下楼骑自行车,沿小玲行进的路线,匀速去追小玲,妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后,立即沿原路线匀速返回家里,但由于路上行人渐多,妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半,小玲继续以原速度步行前往学校,妈妈与小玲之间的距离y(米)与小玲从家出发后步行的时间x(分)之间的关系如图所示(小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计).当妈妈刚回到家时,小玲离学校的距离为_____米.7.赛龙舟是端午节的主要习俗,某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛,从起点A驶向终点B,在整个行程中,龙舟离开起点的距离y(米)与时间x(分钟)的对应关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)起点A与终点B之间相距多远?(2)哪支龙舟队先出发?哪支龙舟队先到达终点?(3)分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式;(4)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米?8.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示,下列结论:①甲步行的速度为60米/分;②乙走完全程用了32分钟;③乙用16分钟追上甲;④乙到达终点时,甲离终点还有300米其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,甲车匀速前往B地,到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地;乙车匀速前往A地,中途与乙相遇后休息了一会儿,然后以原来的速度继续行驶直到A地.设甲、乙两车距A地的路程为y(千米),甲车行驶的时间为x(时),y与x之间的函数图象如图所示,则乙车到达A地时甲车距B地的路程为___________千米.10.“珍重生命,注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全.小明骑单车上学,当他骑了一段时,想起要买某本书,于是又折回到刚经过的新华书店,买到书后继续去学校,以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:(1)小明家到学校的路程是多少米;(2)小明在书店停留了多少分钟;(3)本次上学途中,小明一共行驶了多少米?一共用了多少分钟?11.某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示.根据图象解答下列问题:(1)洗衣机的进水时间是多少分钟?清洗时洗衣机中水量为多少升?(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.①求排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)与之间的关系式;②如果排水时间为2分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量.12.小颖和小亮上山游玩,小颖乘坐缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50分才乘上缆车,缆车的平均速度为180米/分,设小亮出发x分后行走的路程为y米.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系.(1)小亮行走的总路程是_________米,他途中休息了___________分;(2)分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度;(3)当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是多少?1.甲、乙两同学从A地出发,骑自行车在同一条路上行驶到B地,他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系的图象如图所示,根据图中提供的信息,有下列说法:(1)他们都行驶了18千米;(2)甲在途中停留了0.5小时;(3)乙比甲晚出发了0.5小时;(4)相遇后,甲的速度大于乙的速度;(5)甲、乙两人同时到达目的地.其中,符合图象描述的说法有()A.2个B.4个C.3个D.5个【分析】通过观察图象可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时,然后再用1.5小时到达离出发地18千米的目的地;乙比甲晚0.5小时出发,用1.5小时到达离出发地18千米的目的地,根据此信息分别对5种说法分别进行判断.【解答】解:观察图象,甲、乙到达目的地时离出发地的距离,所以(1)正确;都为18千米,甲在0.5小时至1小时之间,S没有变化,说明甲在途中停留了0.5小时,所以(2)正确;甲出发0.5小时后乙开始出发,说明(3)正确;两图象相交后乙的图象在甲的上方,说明甲的速度小于乙的速度,所以(4)不正确;甲出发2.5小时后到达目的地,而乙在甲出发2小时后到达目的地,所以(5)不正确.故选:C.【点评】本题考查了函数图象:学会看函数图象,从函数图象中获取信息,并且解决有关问题.2.甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动,如图,是甲、乙二人行走的图象,点O代表的是学校,x表示的是行走时间(单位:分),y表示的是与学校的距离(单位:米),最后都到达了目的地,根据图中提供的信息,下面有四个推断:①甲、乙二人第一次相遇后,停留了10分钟;②甲先到达的目的地;③甲在停留10分钟之后提高了行走速度;④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快.所有正确推断的序号是()A.①②B.①②③C.①③④D.①②④【分析】根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度,进而解答即可.【解答】解:①甲、乙二人第一次相遇后,停留了20﹣10=10分钟,说法正确;②甲在35分时到达,乙在40分时到达,所以甲先到达的目的地,说法正确;⑧甲在停留10分钟之后减慢了行走速度,说法错误;④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快,说法正确;故选:D.【点评】本题考查一次函数的图象,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.3.已知A、B两地相距600米,甲、乙两人同时从A地出发前往B地,所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示,则下列说法中:①甲每分钟走100米;②两分钟后乙每分钟走50米;③甲比乙提前3分钟到达B地;④当x=2或6时,甲乙两人相距100米.正确的有(在横线上填写正确的序号).【分析】①根据函数图象中的数据,可知甲6分钟走了600米,从而可以计算出甲每分钟走的路程,从而可以判断该小题是否正确;②根据图象中的数据可知,乙2分钟到6分钟走的路程是500﹣300=200米,从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程,从而可以判断该小题是否正确;③根据乙2分钟后的速度,可以计算出乙从A地到B地用的总的时间,然后与6作差,即可判断该小题是否正确;④根据图象,可以分别计算出x=2和x=6时,甲乙两人的距离,从而可以判断该小题是否正确.【解答】解:由图象可得,甲每分钟走:600÷6=100(米),故①正确;两分钟后乙每分钟走:(500﹣300)÷(6﹣2)=200÷4=50(米),故②正确;乙到达B地用的时间为:2+(600﹣300)÷50=2+300÷50=2+6=8(分钟),则甲比乙提前8﹣6=2分钟达到B地,故③错误;当x=2时,甲乙相距300﹣100×2=300﹣200=100(米),当x=6时,甲乙相距600﹣500=100米,故④正确;故答案为:①②④.【点评】本题考查函数的图象,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题的条件,利用数形结合的思想解答.4.重庆实验外国语学校运动会期间,小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式,出发时小明发现鞋带松了,停下来系鞋带,小欢继续跑往操场,小明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行,小明到达操场时入场式还没有开始,于是小明站在操场等待,小欢继续前往操场.设小明和小欢两人相距s (米),小欢行走的时间为t(分钟),s关于t的函数图象如图所示,则在整个运动过程中,小明和小欢第一次相距80米后,再过分钟两人再次相距80米.【分析】由题意小欢的速度为40米/分钟,小明的速度为80米/分钟,设小明在途中追上小欢后需要x分钟两人相距80米,则:80x﹣40x=80,解得x=2分钟,推出小欢一共走了40×(2+2)=160(米),由此即可解决问题.【解答】解:由题意小欢的速度为40米/分钟,小明的速度为80米/分钟,设小明在途中追上小欢后需要x分钟两人相距80米,则有:80x﹣40x=80,∴x=2,此时小欢一共走了40×(2+2)=160(米),(600﹣160﹣80)÷40=9(分).即小明和小欢第一次相距80米后,再过9分钟两人再次相距80米.故答案为:9【点评】本题考查一次函数的应用,路程,速度,时间的关系等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.5.在抗击新冠肺炎疫情期间,司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市,到达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市(志愿者下车时间忽略不计),而快递员小李则骑摩托车从B市向A市运送快递,他们出发时间相同,均沿两市间同一条公路匀速行驶,设两人行驶的时间为x(h),两人相距y(km),如图表示y随x变化而变化的情况,根据图象解决以下问题:(1)A、B两市之间的路程为240km;点M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇;(2)小张开车的速度是80km/h;小李骑摩托车的速度是40km/h.(3)试求出发多长时间后,两人相距60km.【分析】(1)根据题意和函数图象中的数据解答即可;(2)根据题意和函数图象中的数据可以求得小张开车的速度和小李骑摩托车的速度;(3)由(2)的结论分情况列方程解答即可.【答案】解:(1)根据函数图象中的数据可得A、B两市之间的路程为240km,M表示的实际意义是出发2小时小张与小李相遇;故答案为:240;出发2小时小张与小李相遇;(2)小张开车的速度为:240÷3=80(km/h),小李骑摩托车的速度为:240÷2﹣80=40(km/h).故答案为:80;40;(3)设出发x小时两人相距60km.有三种情况:相遇前:80x+40x+60=240,解得x=1.5;相遇后小张未到达B市前:80x+40x﹣60=240,解得x=2.5;小张返回途中:40x﹣80(x﹣3)=60,解得x=4.5;答:出发1.5,2.5,4.5小时,两人相距60km.【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.6.一天早晨,小玲从家出发匀速步行到学校,小玲出发一段时间后,她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品,于是立即下楼骑自行车,沿小玲行进的路线,匀速去追小玲,妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后,立即沿原路线匀速返回家里,但由于路上行人渐多,妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半,小玲继续以原速度步行前往学校,妈妈与小玲之间的距离y(米)与小玲从家出发后步行的时间x(分)之间的关系如图所示(小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计).当妈妈刚回到家时,小玲离学校的距离为_____米.【答案】200【详解】由图象得:小玲步行速度:1200÷30=40(米/分),由函数图象得出,妈妈在小玲10分后出发,15分时追上小玲,设妈妈去时的速度为v米/分,(15-10)v=15×40,v=120,则妈妈回家的时间:154060⨯=10,(30-15-10)×40=200.故答案为200.7.赛龙舟是端午节的主要习俗,某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛,从起点A驶向终点B,在整个行程中,龙舟离开起点的距离y(米)与时间x(分钟)的对应关系如图所示,请结合图象解答下列问题:(1)起点A与终点B之间相距多远?(2)哪支龙舟队先出发?哪支龙舟队先到达终点?(3)分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式;(4)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米?【答案】(1)3000米;(2)甲龙舟队先出发,乙龙舟队先到达终点;(3)y=200x﹣1000(5≤x≤20);(4)甲龙舟队出发53或10或15或703分钟时,两支龙舟队相距200米解:(1)由图可得,起点A与终点B之间相距3000米;(2)由图可得,甲龙舟队先出发,乙龙舟队先到达终点;(3)设甲龙舟队的y与x函数关系式为y=kx,把(25,3000)代入,可得3000=25k,解得k=120,∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y=120x(0≤x≤25),设乙龙舟队的y与x函数关系式为y=ax+b,把(5,0),(20,3000)代入,可得:05300020a ba b=+⎧⎨=+⎩,解得:2001000ab=⎧⎨=-⎩,∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y=200x﹣1000(5≤x≤20);(4)令120x=200x﹣1000,可得x=12.5,即当x=12.5时,两龙舟队相遇,当x<5时,令120x=200,则x=53(符合题意);当5≤x<12.5时,令120x﹣(200x﹣1000)=200,则x=10(符合题意);当12.5<x≤20时,令200x﹣1000﹣120x=200,则x=15(符合题意);当20<x≤25时,令3000﹣120x=200,则x=703(符合题意);综上所述,甲龙舟队出发53或10或15或703分钟时,两支龙舟队相距200米.8.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示,下列结论:①甲步行的速度为60米/分;②乙走完全程用了32分钟;③乙用16分钟追上甲;④乙到达终点时,甲离终点还有300米其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【详解】由图可得,甲步行的速度为:240÷4=60米/分,故①正确,乙走完全程用的时间为:2400÷(16×60÷12)=30(分钟),故②错误,乙追上甲用的时间为:16﹣4=12(分钟),故③错误,乙到达终点时,甲离终点距离是:2400﹣(4+30)×60=360米,故④错误,故选A.9.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,甲车匀速前往B地,到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地;乙车匀速前往A地,中途与乙相遇后休息了一会儿,然后以原来的速度继续行驶直到A地.设甲、乙两车距A地的路程为y(千米),甲车行驶的时间为x(时),y与x之间的函数图象如图所示,则乙车到达A地时甲车距B地的路程为___________千米.【答案】150180÷1.5=120(千米/时),300÷120=2.5(小时),300÷(5.5-2.5)=100(千米/时),(300-180)÷1.5=80(千米/时),300÷80+(1.75-1.5)=3.75+0.25=4(小时),(4-2.5)×100=1.5×100=150(千米).答:乙车到达A地时甲车距B地的路程为150千米.故答案为:150.10.“珍重生命,注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全.小明骑单车上学,当他骑了一段时,想起要买某本书,于是又折回到刚经过的新华书店,买到书后继续去学校,以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:(1)小明家到学校的路程是多少米;(2)小明在书店停留了多少分钟;(3)本次上学途中,小明一共行驶了多少米?一共用了多少分钟?【答案】(1)1500米;(2)4分钟;(3)2700米;共用14分钟.(1)根据图象,学校的纵坐标为1500,小明家的纵坐标为0,故小明家到学校的路程是1500米;(2)根据题意,小明在书店停留的时间为从(8分)到(12分),故小明在书店停留了4分钟.(3)一共行驶的总路程=1200+(1200−600)+(1500−600)=1200+600+900=2700米;共用了14分钟.11.某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示.根据图象解答下列问题:(1)洗衣机的进水时间是多少分钟?清洗时洗衣机中水量为多少升?(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.①求排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)与之间的关系式;②如果排水时间为2分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量.【答案】(1)洗衣机的进水时间是4分钟;清洗时洗衣机中水量为40升.(2)排水时间为2分钟,排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升.【解析】解:(1)依题意得洗衣机的进水时间是4分钟,清洗时洗衣机中的水量是40升;(2)①∵洗衣机的排水速度为每分钟19升,从第15分钟开始排水,排水量为40升,∴y=40-19(x-15)=-19x+325,②∵排水时间为2分钟,∴y=-19×(15+2)+325=2升.∴排水结束时洗衣机中剩下的水量2升.(1)根据函数图象可以确定洗衣机的进水时间,清洗时洗衣机中的水量;(2)①由于洗衣机的排水速度为每分钟19升,并且从第15分钟开始排水,排水量为40升,由此即可确定排水时y与x之间的关系式;②根据①中的结论代入已知数值即可求解.12.小颖和小亮上山游玩,小颖乘坐缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50分才乘上缆车,缆车的平均速度为180米/分,设小亮出发x分后行走的路程为y米.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系.(1)小亮行走的总路程是_________米,他途中休息了___________分;(2)分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度;(3)当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是多少?【答案】(1)3600,20;(2)65(米/分),55(米/分);(3)1100(米).【详解】(1)根据图象可知:小亮行驶的总路程为3600m ,中途休息时间为:50﹣30=20min ,故答案为;3600,20;(2)观察图象可知小亮休息前走了30分钟,1950米,所以小亮休息前的速度为:19506530=(米/分),小亮休息后的速度为:36001950558050-=-(米/分),答:小亮休息前的速度为65米/分,休息后的速度为55米/分;(3)缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800米,缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟,小颖到达缆车终点时,小亮行走的时间为10+50=60分钟,80-60=20(分),∴小颖到达终点时,小亮离缆车终点的路程为:20⨯55=1100(米),答:当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是1100米.。

高考数学专题复习十一-11.5变量间的相关关系、统计案例-高考真题练习(附答案)

高考数学专题复习十一-11.5变量间的相关关系、统计案例-高考真题练习(附答案)

11.5变量间的相关关系、统计案例考点一变量间的相关关系1.(2015湖北文,4,5分)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关答案C由y=-0.1x+1,知x与y负相关,即y随x的增大而减小,又y与z正相关,所以z随y的增大而增大,减小而减小,所以z随x的增大而减小,x与z负相关,故选C.2.(2015课标Ⅰ,理19,文19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i和年销售量(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.yi表中==18∑J18.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为^=∑J1(-p(-p∑J1(-p 2,^=-^.解析(1)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2分)(2)令w=,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于^=∑J18(-p(-p ∑J18(-p2=108.81.6=68,^=-^=563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为^=100.6+68w,因此y 关于x 的回归方程为^=100.6+68.(6分)(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值^=100.6+6849=576.6,年利润z 的预报值^=576.6×0.2-49=66.32.(9分)(ii)根据(2)的结果知,年利润z 的预报值^=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以当=13.62=6.8,即x=46.24时,^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)3.(2015重庆文,17,13分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年份20102011201220132014时间代号t 12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程^=^t+^;(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.附:回归方程^=^t+^中,^=∑J1-nB∑J12-n2,^=-^.解析(1)列表计算如下:i t i y i t i2t i y i 11515226412337921448163255102550∑153655120这里n=5,=1∑J1t i =155=3,=1∑J1y i =365=7.2.又l tt =∑J12-n 2=55-5×32=10,l ty =∑J1t i y i -n=120-5×3×7.2=12,从而^=B B=1210=1.2,^=-^=7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为^=1.2t+3.6.(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为^=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).4.(2014课标Ⅱ理,19,12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t 1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:^=∑J1(-p(-p∑J1(-p 2,^=-^.解析(1)由所给数据计算得=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=17×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,∑J17(t i -)2=9+4+1+0+1+4+9=28,∑J17(t i -)(y i -)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,^=∑J17(-p(-p ∑J17(-p2=1428=0.5,^=-^=4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为^=0.5t+2.3.(2)由(1)知,^=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得^=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.评析本题考查了回归直线方程的求解,注意回归直线恒过点(,)是关键,考查了回归系数^的几何意义.考查了学生的计算求解能力.5.(2016课标Ⅲ,18,12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附:参考数据:∑J17y i =9.32,∑J17t i y i J1=0.55,7≈2.646.参考公式:相关系数∑-p(-p回归方程^=^+^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^=∑J1(-p(-p∑J1(-p 2,^=-^.解析(1)由折线图中数据和附注中参考数据得=4,∑J17(t i -)2(∑J17(t i -)(y i -)=∑J17t i y i -∑J17y i =40.17-4×9.32=2.89,r≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.(4分)因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(6分)(2)由=9.327≈1.331及(1)得^=∑J17(-p(-p ∑J17(-p2=2.8928≈0.10,^=-^=1.331-0.10×4≈0.93.所以,y 关于t 的回归方程为^=0.93+0.10t.(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得^=0.93+0.10×9=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)6.(2017课标Ⅰ文,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得=116∑J116x i≈0.212,∑J116(t8.5)2≈18.439,∑J116(x i -)(i-8.5)=-2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(x i ,y i )(i=1,2,…,n)的相关系数∑-p(-pJ1(0.008≈0.09.解析本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差.(1)由样本数据得(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为∑-p(i-8.5)由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑J1162=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.方法总结样本的数字特征.(1)样本数据的相关系数r,∑-p(-p反映样本数据的相关程度,|r|越大,则相关性越强.(2)样本数据的均值反映样本数据的平均水平;样本数据的方差反映样本数据的稳定性,方差越小,数据越稳定;样本数据的标准差为方差的算术平方根.7.(2020课标Ⅱ理,18,12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20),其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑=201i x i =60,∑=201i y i =1200,∑=201i (x i -)2=80,∑=201i (y i -)2=9000,∑=201i (x i -)(y i -)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数=∑n−p(−p,2≈1.414.解析(1)由已知得样本平均数=120∑=201i y i =60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000.(2)样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数∑20−p(−p=.94.(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.考点二独立性检验1.(2017课标Ⅱ文,19,12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量<50kg箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.附:P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828,K2=oB-B)2(rp(rp(rp(rp.解析本题考查了频率分布直方图及独立性检验.(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.因此,事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表:箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2=200×(62×66−34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.解后反思解独立性检验问题的关注点:(1)两个明确:①明确两类主体;②明确研究的两个问题.(2)两个关键:①准确画出2×2列联表;②准确求解K2.2.(2021全国甲理,17,12分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:K 2=oB−B)2(rp(rp(rp(rp ,P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解题指导:(1)根据表中数据分别计算甲、乙两台机床所生产的产品中一级品的数量,进而得出结论;(2)根据2×2列联表中的数据计算K 2,然后对照临界值表作出判断.解析(1)因为甲机床生产的200件产品中有150件一级品,所以甲机床生产的产品中一级品的频率为150200=34,因为乙机床生产的200件产品中有120件一级品,所以乙机床生产的产品中一级品的频率为120200=35.(2)根据2×2列联表中的数据,得K 2=oB−B)2(rp(rp(rp(rp =400×(150×80−120×50)2270×130×200×200=40039≈10.256,因为10.256>6.635,所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.方法总结解决独立性检验问题的一般步骤:3.(2020新高考Ⅰ,19,12分)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 2浓度(单位:μg/m 3),得下表:SO 2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.附:K2=oB−B)2(rp(rp(rp(rp,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.答案解题思路:(1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100=0.64.(4分) (2)根据抽查数据,可得2×2列联表:SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(8分) (3)根据(2)的列联表得K2=100×(64×10−16×10)280×20×74×26≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.(12分) 17.(2022全国甲文,17,12分,应用性)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?附:K2=oB−B)2(rp(rp(rp(rp,P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析(1)由题意可得A公司长途客车准点的概率P1=240260=1213,B公司长途客车准点的概率P2=210240=78.(2)因为K2=500×(240×30−20×210)2450×50×240×260≈3.205>2.706,所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.。

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