天津市南开区2017-2018学年高三上学期第三次月考数学(文)试题Word版含答案

天津市南开区2017-2018学年高三上学期第三次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|6}U x N x =∈≤，{1,3,5}A =，{4,5,6}B =，则()U C A B ∩等于（ ） A ．{4,6} B ．{5} C ．{1,3} D ．{0,2}2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．23 D ．343.“1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[1,)+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.执行程序框图，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ． 6B ．5 C. 4 D ．35.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）A ．2x y =B ．2x y = C.28x y = D ．216x y =6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a 满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,)2-∞B ．13(,)(,)22-∞+∞∪ C. 13(,)22 D ．3(,)2+∞ 7.函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为（ ） A．．12- C.12 D8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11[,]66- B．[ C.11[,]33- D．[第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_________. 10.若曲线ln y ax x =+在点(1,)a 处的切线方程为2y x b =+，则b =________. 11.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为________3cm.12.圆心在直线270x y -+=上的圆C 与x 轴交于两点(2,0)A -、(4,0)B -，则圆C 的方程为__________.13.在ABC ∆中，90BAC ∠=，1AB =，2AC =，13BD BC = ，13AE AB =，DE 的延长线交CA 的延长线于点F ，则AD AF •的值为 ．14.已知m R ∈，函数2|21|,1,()log (1),1,x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数(())y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a =. （1）求角C 的大小； （2）若2cos 3B =，求cos A 的值.16.（本小题满分13分）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A 原料3千克，B 原料1千克，生产1桶乙产品需耗A 原料1千克，B 原料3千克.每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A B 、原料都不超过12千克.设公司计划每天生产x 桶甲产品和y 桶乙产品.（1）用,x y 列出满足条件的数学关系式；（2）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？17. （本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，60DAB ∠=，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆为等腰直角三角形，90APD ∠= ，M 为AP 的中点.（1）求证：AD PB ⊥； （2）求证：//DM 平面PCB ； （3）求PB 与平面ABCD 所成角的大小.18. （本小题满分13分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对任意*n N ∈时，点(,)n n a S 都在函数11()22f x x =-+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设33log (12)102n n b S =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.19. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点(2,1)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆22:2O x y +=相切，与椭圆C 相交于,P Q 两点. ①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求OPQ ∆的面积； ②求证：OP OQ ⊥.20. （本小题满分14分）已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a b 、是不同时为零的常数），导函数为'()f x .（1）当13a =时，若存在[3,1]x ∈--，使得'()0f x >成立，求b 的取值范围； （2）求证：函数'()y f x =在(1,0)-内至少有一个零点；（3）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t =-，在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.天津市南开区2017-2018学年高三上学期第三次月考数学（文）试题参考答案一、选择题1-4:ABAC 5-8: DCAB二、填空题9. 2 10. -1 11. 16 12. 22(3)(2)5x y ++-= 13. 49-14. 3(0,)5三、解答题15.解：（1）∵2cos 2B a =，∴222222a c b c a ac+-⨯=，∴22222a c b a +-=，∴222c a b =+，∴cos C ==，∴6C π=.（2）cos cos()A B C π=--cos()6B ππ=--cos()6B π5=-5cos cos sin sin 66B B ππ5=+．∵2cos 3B =，∴sin B ==原式2132=+=．16.解：（1）设每天生产甲产品x 桶，乙产品y 桶， 则,x y 满足条件的数学关系式为312,312,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如下：（2）设利润总额为z 元，则目标函数为：400300z x y =+. 如图，作直线:4003000l x y +=，即430x y +=. 当直线43300z y x =-+经过可行域上的点A 时，截距300z最大，即z 最大. 解方程组312,312,x y x y +=⎧⎨+=⎩得3,3,x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ，代入目标函数得max 2100z =.且90APD ∠=， ∴PA PD =， ∴PG AD ⊥.∵AB AD =，且60DAB ∠=，∴ABD ∆是等边三角形， ∴BG AD ⊥. 又PG BG G =∩， ∴AD ⊥平面PBG ， ∴AD PB ⊥.（2）取PB 的中点N ，连结,MN CN . ∵,M N 分别是,PA PB 的中点，∴//MN AB ，12MN AB =. 又//AB CD ，12CD AB =，∴//MN CD ，MN CD =. ∴四边形MNCD 是平行四边形， ∴//DM CN .又CN ⊂平面PCB ，DM ⊄平面PCB ，∴//DM 平面PCB .（3）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，又PG AD ⊥， ∴PG ⊥底面ABCD ，∴PBG ∠为PB 与平面ABCD 所成的角.设CD a =，则PG a =，BG =. 在Rt PBG ∆中，∵tan PG PBG BG ∠== ∴30PBG ∠=，∴PB 与平面ABCD 所成的角为30.18. 试题解析：（1）因为点(),n n a S 都在函数()1122f x x =-+的图象上．所以1122n n S a =-+，当1n =时，11111111,223S a S a a +==∴= ，当2n ≥时，111122n n S a --=-+，所以1111111122222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-=-+，113n n a a -∴=，{}n a ∴是公比为13，首项为13的等比数列，13nn a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭（2）因为{}n a 是公比为13，首项为13的等比数列，所以1111133112313n n n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，………………7分 ()333log 12101022n n b S n ∴=-+=-÷，………………8分n 132n b b +-=- ，∴数列{}n b 是以172为首项，公差为32-的等差数列，且单调递减…………9分 由100n n b b +≥⎧⎨<⎩，所以()31002311002n n ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-++<⎪⎩，即125633n <≤，………………10分6n ∴=，………………11分数列{}n b 的前n 项和的最大值为61175716222T ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭．………………12分19. 试题解析：解：（1）由题意，得22411c a a b=+=，解得226,3a b ==． 所以椭圆的方程为22163x y +=．（2）①椭圆C的右焦点)F．设切线方程为(y k x =-，即0kx y -=，=k =y x =．由方程组22163x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以PQ =． 因为O 到直线PQOPQ ∆． 综上所述，OPQ ∆． ②（i ）若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ的方程为xx =当x,PQ．因为0OP OQ ⋅=，所以OP OQ ⊥．当x =时，同理可得OP OQ ⊥．（ii ）若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=．=2222m k =+．将直线PQ 方程代入椭圆方程，得()222124260k x kmx m +++-=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则有2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++， 因为()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()22222264111m km k km m k k -⎛⎫=+⨯+⨯-+ ⎪++⎝⎭． 将2222m k =+代入上式可得0OP OQ ⋅=，所以OP OQ ⊥．综上所述，OP OQ ⊥．20. 试题解析：解：（1）当13a =时，()()2'2211233f x x bx b x b b b ⎛⎫=++-=+-+- ⎪⎝⎭，其对称轴为直线x b =-．当()'2,30,b f -≥-⎧⎪⎨->⎪⎩解得2615b <，当()'210b f -<-⎧⎪⎨->⎪⎩，无解，所以b 的取值范围为26,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．（2）因为()()'232f x ax bx b a =++-．当0a =时，12x =-，适合题意．当0a ≠时，23210b b x x a a ++-=，令bt a=，则23210x tx t ++-=．令()2321h x x tx t =++-，则11024h ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭．当1t >时，()010h t =->，所以()y h x =在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内有零点；当1t ≤时，()1210h t -=-≥>，所以()y h x =在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有零点．因此，当0a ≠时， ()y h x =在()1,0-内至少有一个零点． 综上可知，函数()'y f x =在()1,0-内至少有一个零点．（3）因为()()32f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以()3f x ax ax =-， 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =， 即()3f x x x =-．………………10分因为()'3f x x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,⎛⎫-∝+∝ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上是增函数，在⎡⎢⎣⎦上是减函数．由()0f x =解得1,0x x =±=．………………11分当1t -<≤()104f t t ≥->，即3104t t t -≥->，解得t ≤≤当0t <<时，()104f t t >->，解得0t <<； 当0t =时，显然不成立；当0t <≤时，()104f t t ≤-<即3104t t t -<-<，解得0t <≤；当t >时，()104f t t <-<或14t f -==⎝⎭t <<或t =．所以，所求t 的取值范围是0t ≤<，或0t <<或t =．………………16分。