亚正定矩阵的判定方法
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用
正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者：袁亮（西安财经大学）摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application目录1 引言 (4)2 正定矩阵的判定方法 (4)2.1 定义判定 (5)2.2 定理判定 (6)2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11)3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15)3.1 证明柯西不等式 (15)3.2 证明Holder不等式 (16)3.3 证明Minkowski不等式 (18)结束语 (21)参考文献 (22)1 引言代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意nx∈，且0Rx，≠都有0Mxx T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给>出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法2.1 定义判定设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有TX A X>0,则称A是正定矩阵.定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有*X A X>0,则称A是正定矩阵．例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，TB为B的转置矩阵，试证ABB T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n.证 [必要性] 设ABB T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0x，≠有()0>x AB B x T T ， 即()()0>Bx A Bx T .于是0≠Bx ，因此，0=Bx 只有零解，从而()n B r =.[充分性] 因()AB B B A B AB B T T T T T ==,即AB B T 为实对称矩阵.若秩()n B r =，则线性方程组0=Bx 只有零解，从而对任意实n 维向量0≠x 有0≠Bx .又A 为正定矩阵，所以对于0≠Bx ，有()0>ABx Bx T ,于是当0≠x 时，()0>x AB B x T T . 故AB B T 为正定矩阵.例2[]3 设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n ×m 实矩阵，B 的秩为 m ，证明 ：B 'AB 是正定矩阵.证 因为（B 'AB ）'=B 'A 'B=B 'AB,故 B 'AB 是实对称矩阵，其次，由于秩 B=m ，m ≤n.故 BX=0 只有零解 ，因此，若任取非零实列向量 X 必有 BX ≠0，因 A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量 X ，必有X '（B 'AB ）X=(BX)'A(BX)>0.因此 B 'AB 是正定矩阵.注意 以上两个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是，若 A 不是方阵，也不对称时，A 'A ，AA '是正定矩阵，若 A 是方阵，但不对称，则 A+A '是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定定理1[]1 n 阶实对称矩阵A 正定，当且仅当实二次f (1x ,2x ,…,n x )=T X A X 的正惯性指数为n ．证 设实二次型f(1x ,2x ,…,n x )经过非退化线性变换得1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x . （2.1） 由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A 正定当且仅当（2.1）是正定的，由定义3知（3.1）正定当且仅当i a >0(n i ,,2,1 =)，因此，正惯性指数为n. .定理2[]1 实对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n d d d 21正定的充分必要条件是i d >0，(n i ,,2,1 =). 证 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型f(1x ,2x ,…，n x )=1d 21x +2d 22x +…+n d 2n x . 的正惯性指数为n ，因此，i d >0（i =1,2,…,n,）．例3 设A 为n 阶实对称矩阵，证明：秩（A ）=n 的充分必要条件为存在一个n 阶实矩阵B ，使A B AB T +是正定矩阵.证 [充分性]（反证法）反设()n A r <，则0=A .于是0=λ是A 的特征值，假设相应的特征向量为x ， 即()00≠=x Ax ,所以0=T T A x .所以()0=+=+Ax B x ABx x x A B AB x T T T T T ，和A B AB T +是正定矩阵矛盾.[必要性] 因为()n A r =，所以A 的特征值n λλλ,,,21 全不为0.取B=A ，则22A AA AA A B AB T =+=+.它的特征值为222212,2,2n λλλ 全部为正，所以A B AB T +是正定矩阵.定义3 在实二次型()n x x x f ,,,21 的规范形中，正平方项的个数p 称为()n x x x f ,,,21 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为()n x x x f ,,21的负惯性指数，它们的差()r p p r p -=--2称为()n x x x f ,,,21 的符号差.定理3[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件矩阵A 的秩与符号差n ．定理4[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件是二次型f(1x ,2x ,…n x )=T X A X 的系数矩阵A 的所有特征值都是正数，即大于零.证 由文献[1]知，实对称矩阵A 可对角化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21 其中1a ，,,2 a n a 恰好是A 的特征值，则二次型T X A X 的标准形为：1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x , 而非退化实线性变换保持正定性不变，由f (1x ,2x ,…，n x )=1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x . 正定得i a >0(n i ,,2,1 =)．例4设A 为实对称矩阵，则当t 充分大时，A+tE 为正定矩阵.证 设A 的特征值为()为实数i n λλλλ,...,,21，取{}i ni t λ≤≤>1max ，则tE A +的特征值()n i t i ,...,2,1=+λ全部大于零，因此当{}i ni t λ≤≤>1max 时，tE A +是正定矩阵. 例5 设A 为n 阶实对称矩阵，且035323=-+-E A A A .证明：A 正定. 证 设λ是A 的任一特征值，对应特征向量为0≠x ，即x Ax λ=，代入已知等式035323=-+-E A A A ,有()()0353*******=-+-=-+-x x E A A A λλλ， 因为0≠x ，故λ满足.035323=-+-λλλ得i 211±==λλ或，因A 为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有1=λ，即A 的全部特征值就是01>=λ，这就证明A 是正定矩阵.定理5[]1 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．证 实正定二次型的规范形为21x + +22x +2n x . (2.2.1)而（2.2.1）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．定理6[]2 实对称矩阵A 是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得A =T C C ．证 设A 为一正定矩阵，当切仅当A 与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵C ，使得 A =T C EC =T C C .定理7[]1 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是矩阵A 的顺序主子式全大于零．证 [必要性] 实对称矩阵A 正定，则二次型f (1x ,2x ,…,n x )=TX A X =∑∑==n i nj j i ij x x a 11是正定的， 对于每一个k ,1≤k ≤n ,令k f （1x ,2x ,…，k x ）=∑∑==k i kj j i ij x x a 11，我们来证k f 是一个k 元正定二次型，对于一组不全为零的数1c ，2c ，…，k c ，有k f （1c ，2c ，…，k c ）=k f （1c ，2c ，…，k c ，0，…,0）>0,因此，k f 是一个k 元正定二次型.由充要条件2得k f 的矩阵行列式 kk k ka a a a1111>0,（k =1,2,…,n ）.[充分性] 对n 作数学归纳法当n =1时，f(1x )=11a 21x ,由条件11a >0，显然f(1x )是正定的．假定此论断对n -1元二次型成立，下证n 元的情形.令1A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1,12,11,11,222121,11211n n n n n n a a a a a a a a a ， X =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n a a a ,121 ， 则 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T a X X A 1. 由A 的顺序主子式全大于零可知1A 的顺序主子式全大于零，由假设1A 是正定矩阵，有n-1阶可逆矩阵 G ，使得T G 1A G =1-n E ,令1C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100G ,则T C 1A 1C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100T G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T a X X A 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100G =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1. 令2C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101X G E T n , 则T C 2T C 1A 1C 2C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101G X E T n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101X G E T n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--X GG X a E T T nn n 001. 令C =1C 2C ,a =nn a -T X G T G X ,则有T C AC =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11. 两边取行列式得 2C A =a ,由条件 A >0 知 a >0. 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 111. 因此，A 与单位矩阵合同. 由定理5得，A 是正定矩阵．定理8[]2 n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在对称正定阵B ，使A=B 2. 证 [必要性] 存在正交阵Q ，使A=Q<Q T =Q <<Q T =Q <Q T Q <Q T []6 =B 2,其中记 B=Q <Q T ,以及 ),...2,1,).(,...,,(21n i diag i n ==<λλλλ,为A 的特征值.[充分性] 对任给0,02>=≠X B X AX X X T T ，因为B 正定，所以A 正定.定理9[]3 A 是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上(下)三角矩阵 Q ，使 A=Q T Q.证 不妨以下三角矩阵为例来证明，上三角矩阵的情况同理可证.[必要性] 若 A=(a ij ) 是 n 阶正定矩阵，则A 的任意 k 阶主子式大于零．特别的有 a nn >O ．将 A 的第 n 列乘适当的倍数，分别加到第 1,2……n—l 列上，再施同样的行变化，可使 A 变成为⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn a A 001,的形式．即存在非退化的下三角矩阵T 1，使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn T a A AT T 00111, 再令.100),1,1,...,1,1(121122⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A T AT T T a diag T TT nn故因为A 正定 ，故A 1作为A 的n-1阶顺序主子式，也是正定的. 对A 1做同样处理，最终可得到n T T TT E R R T AT T T R R =21211212.............令 Q R T T T Q ∴=,......2121是非退化的下三角矩阵，且使A=O T Q[充分性] 是显然的．定理10[]2 A 是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 n a a a ,......,,21使A=Tn n T T a a a a a a +++...2211.2.3 正定矩阵的一些重要推论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外，还有很多重要推论，下面给出.推论1[]3 正定矩阵的和仍是正定矩阵．证 若A 与B 为同阶正定矩阵，则对于非零列向量C =(,1c ,,,2 c n c )≠0,必有T C A C >0，T C B C >0,从而TC（A+B）C=T C A C+T C B C >0.所以A+B也是正定的.推论2[]1实正定矩阵的行列式大于零．证对A=TC C两边取行列式有|A|=|T C| |C|=2||C>0，因此，|A|>0．推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵．(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4 正定矩阵A的逆矩阵1-A一定是正定矩阵．证由命题1.3得正定矩阵A的逆矩阵1-A一定是对称矩阵，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，所以存在可逆矩阵P使得A=T P EP=T P P,取逆矩阵得1-A=()1-P E()TP1-,令Q=()TP1-,则1-Q E Q.A=T因此，1-A与单位矩阵合同，所以1-A是正定矩阵．推论5 正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵．推论6[]4设A，B均为 n 阶正定矩阵，且AB=BA，则AB 正定.证因为AB=BA，故(AB)'=B'A'=BA=AB，所以AB为实对称矩阵，又因为A 正定，所以实可逆矩阵P，使P'AP=E.[方法一] P'ABP=P'APP1-BP=P1-BP，而 B 正定，故 B 的特征值都大于零，所以 P 'ABP 的特征值大于零，正定，AB 是正定的.[方法二][]5 P 'AB(P ')1-=P 'APP 1-B(P ')1-=P 1-B(P 1-)'，因为B 正定，故 P 1-B(P 1-)'正定， P 1-B(P 1-)'的特征值大于零，AB 的特征值大于零，又因为AB 实对称，所以AB 是正定的.推论7 若A 是正定矩阵，则A * 也是正定的(其中A *表示A 的伴随矩阵). 证 因为A 正定 ，故 A 1-正定；A *=A A 1-(A >0)，所以 A *也正定. 推论8[]2 若A ，B 都是n 阶实对称矩阵，且B 是正定矩阵，则存在一n 阶实可逆矩阵P 使P T AP 与P T BP 同时为对角形.证 因为B 是正定的，所以合同于E ，即存在可逆阵U 使U T BU=E ；且A 是n 阶实对称矩阵，则(U T AU)T =U T A T U.存在正交矩阵C 使C T (U T AU)C=diag( 1λ， 2λ，⋯，n λ),则E C C EC C C BU U C T T T T ===)(.取P=UC ，则P 为所求．推论9 若 A 是实对称的正定矩阵，则存在 a>0，b>O ，c>0，使 aE+A ，E+bA.cE —A 均是正定矩阵.证 若A 的特征值为i λ，1≤i ≤n ，则 aE+A 的特征值为 a+i λ ，1≤i ≤n ，所以存在 a 使 aE+A 的特征值大于零，其余同理可证.推论10 已知 A 是 n 阶正定矩阵，则A k (k 是正整数)也是正定矩阵. 证 A k 与 A 的特征值有熟知的关系，故从特征值角度人手考虑．根据A 正定，即知其特征值1λ，⋯， n λ 全正，由于 A k 的全部特征值就是 k n kλλ,...,1 也都为正．这就知A k 是正定矩阵.例6 若 A 是 n 阶正定矩阵，则 E A 2+>2n .证 [法一] A 与2E 都是n 阶实对称正定矩阵，因此存在一n 阶实可逆矩阵 P 使)2,...2,2()2(21+++=+n Tdiag P E A P λλλ.由推论9可知其中入i (i=l ，2，⋯，n)为 A 的特征值且大于零．所以 i λ+2(i=l ，2，⋯，n) 为 A+2E 的特征值，也是大于零的.所以E A 2+=( 1λ+2)( 2λ+2)⋯( n λ+2) ≥2n .[法二] 因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩阵，由推论10，有E A 2+≥ A +E 2>2n .推论11[]6 A 为n 阶正定矩阵，B 为2n 阶非零半正定矩阵，则B A +>A +B . 证 由题意可知，存在实可逆阵P ，使P 'AP=E ，且P 'BP=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d ..21，（d i ≥0） 所以)()(.....1)1)...(1)(1(1..11)(2'''2112121''2B A P P B A P BP P AP P d d d E d d d d d d d d d P B A P P B A P nn n n n+=+=+=+=+>+++=+++=+=+所以B A +>A +B .推论12 若 A 是 n 阶实对称正定矩阵，则必有 a 11>0，a 22>0,…,a nn >0. 证 根据定义，对一切 X ≠O 皆有 X T AX>0，故依次令X=e 1，…e n ，就有(e 1)T Ae 1>O,即 a 11>0(e n )T Ae n >0,即 a nn >0.3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 3.1 证明柯西不等式如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道如何用正定矩阵证明柯西不等式(1)柯西不等式在中学里，我们就熟悉了如下的一个不等式22221222212211.........nnn n yy y xx x y x y x y x +++++≤+++这就是著名的柯西不等式．如果我们将上述不等式用内积的形式来表示，则可将它 写成βαβα⋅≤),(.(2)那如何用正定矩阵证明柯西不等式呢？如果有一个正定的矩阵，我们通常可以设计出一个柯西不等式．进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系．并应用正定矩阵证明柯西不等式.设A=(a ij )是一个n 阶正定矩阵，则对任何向量α=(x 1，x 2，⋯，x n )与β=(Y 1，Y 2，⋯，y n )，定义∑==1,),(j i j i ijy x aβα.则可以证明由上式定义的一定是n 维向量间的内积．反之，对于n 维向量问的任意一种内积，一定存在一个n 阶正定矩阵A=(a ij )，使得对任何向量α和β，(βα,)可由(2)式来定义．因此，给定了一个n 阶正定矩阵，在n 维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式∑∑∑===≤nj i j i ijnj i ji ijnj i j i ijy y ax x ay x a1,1,1,.例7 证明不等式32213222213221232221231332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x ---+--++≤----++对所有实数x 1，x 2，x 3和y 1，y 2，y 3均成立．证 从不等式来看，可知它相当于βαβα⋅≤),( 其中(βα,)是由矩阵A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210121012.所定义的，但要证明),(βα是内积还需证明A 是个正定矩阵．经验证该矩阵为正定矩阵．从而可看出该不等式就是由A 所确定的内积所产生的柯西不等式，因此不等式成立.3.2 证明Holder 不等式设A 为n 阶正定矩阵，x ∈R n ，易知xA Axx x x x 1''2')(-≤[]7，本节将其推广为更一般的形式，并以此为工具给出Holder 不等式的一个新证明.定理[]7 设A 为n 阶正定阵，x n R ∈，r ，s 为任意正整数，则r s s r s r x A x x A x x x )()()('''-+≤.证 对任一0,≠∈x R x n ，令a=sr r x A rx x A sx +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1'1',则有a>0， 令()s s r r t a t a t f --+=,易见()t f 在()+∞,0上有最小值sr s sr r s r r s m ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=,由于A 正定，故存在正交阵P 使P P A Λ='，其中{}()n i diag i n ,...,10,,...,,21=>=Λλλλλ,为A 的特征值， 于是()()()(){}P f f f diag P A a A a A f n s s r r λλλ,...,,21'=+=--,由于()()n i m f i ...2,1=≥λ,故()()(){}n n mI f f f diag ≥λλλ,...,,21,从而()n s s r r mI A a A a A f ≥+=--,于是x mx x A x a x A x a s s r r '''≥+--,将a 的表达式代入上式左端并整理得()()sr r ss r s rssrrx A x xA x m x A x a x A x a +-+--=+'''',由此即得()()x x x A x x A x sr r ss r s r'''≥+-+,即()()()sr rssrx x x A x x A x +-≥'''.证毕下面我们 利用以上结果证明Holder 不等式. Holder 不等式 设1,1,0,0>>≥≥q p b a i i ，并且111=+qp ，则 qni q i pni p i ni i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===.证 由常规的极限过渡法，不妨设()n i b a i i ...2,10,0=>> 且p ，q 为有理数；由111=+qp 知必存在正整数r ，s ，使得 sr r q s r s p +=+=1,1. 令()nnn R b a b a b a x ∈='2211,...,, , ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=---r n s n r s r s b a b a b a diag A 1112121111,...,,经简单运算得∑==ni i i b a x x 1',∑∑==+==ni p i ni s s r ira ax A x 11',∑∑==+-==ni ni q i r s r isb bx A x 11',于是由r s s r s r x A x x A x x x )()()('''-+≤ 得rn i q i s n i p i sr n i i i b a b a ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑==+=111, 即qni q i pni p i n i i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===.3.3 证明Minkowski 不等式引理1[]8 设i A ，i B ()m j ,2,1 =都是n n ⨯阶正定实对称矩阵，p<1且0≠p ，则有pmj np j pmj np j pmj np j j B A B A 111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===. 引理2[]8 设i A ，i B （i=1，2,…,m ）是n ×n 阶实对称正定矩阵，0<p<1，则对n r ≥，有prp m i i prp mi ipm i rp i i rn r B A B A 1111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===-. r>n 时，等式成立当且仅当i i B A =；当r=n 时，即为引理1，等式成立当且仅当()().,...,2,10m i k kB A i i =>=证 令10,111<<=+p qp ，则p=q （p —1）.由Holder 不等式（下文中由推论进行了证明）及引理1，得到∑∑=-=+•+=+mi rp ii rii rp mi iiB A B A BA 1111≥∑=---≥+•⎪⎪⎭⎫⎝⎛+mi rp i i riri rn r B A B A 11112()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=-==-=--q mi rq p i i pmi rp i qmi rq p i i pm i rp i rn r B A B B A A 11111111112= pmi rp i i pmi r p im i p i rn r B A B A 1111112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===-, 两边同乘pmi rp i i rn r B A 112⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-, 便得到pmi rpi pmi rpi pmi rp i i rn r B A B A 1111112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===-. 若令()()()0,,,>==i i i i i i b a b B a A 为一阶矩阵时，在引理2中，取r=1，0<p<1， 得到qni q i pni p i pni p i i b a b a 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑∑===. 此为Minkowski 不等式.结束语本文重点介绍了正定矩阵的判定方法，归纳总结了判定正定矩阵的一系列定理及推论，并给出相应的证明和适当的例题. 与此同时利用正定矩阵的性质以及得出的一些重要推论给出了柯西不等式，Holder不等式，Minkowski不等式的证明方法.参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社,2003:205-226.[2] 金义明,丁嘉华,王海敏.线性代数[M].北京：中国物资出版社，2002:198-224.[3] 张文丽.正定矩阵的简单应用.晋东南师专学报[L],2004,21（2）：67-69.[4] 岳贵鑫.正定矩阵的一些应用探讨.辽宁省交通高等专科学校学报[L],2008,10（5）：31-33,59-59.[5] 王海东.正定二次型的刻划定理及其程序.长春大学学报[L],2006,16（3）：28-30.[6] 曹璞.正定矩阵的判定与性质[J].南都学坛,1994(3)：1-3.[7] 冯天祥,刘学飞.Hermite正定矩阵迹的几个重要不等式[J].数学杂志,2009,29（3）.[8] 王长文,张有正.正定矩阵和的行列式不等式.浙江工业大学学报[L],2006,34（3）:352-354.。
正定矩阵的性质及判定方法
和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａｘꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬｆᶄ(ｘ)＝１/ｘ－ａꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于０的解ꎬ以及小于０的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的ａ的值ꎬ想当然的认为ａ的值大于０.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当ａ小于０时ꎬ当ａ等于０时ꎬ当ａ大于０时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学 圆与方程 时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[１]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[Ｊ].学周刊ꎬ２０１９(２５):４０.[２]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):４２.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀６７４１００)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２４－００１８－０２收稿日期:２０２０－０５－２５作者简介:何守元(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ正定ꎬ则称矩阵Ａ为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵Ａ必须满足两个条件:首先ꎬＡ必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以Ａ为矩阵的实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ必须是正定二次型ꎬ即Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定Ａ为正定矩阵的依据:性质１㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.㊀㊀(因为Ａ为正定矩阵的充要条件是实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ是正定二次型.)性质２㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:Ａ＝０１２１０１２１０æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且｜Ａ｜＝２>０ꎬＡ可逆８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但Ａ经过合同变换化为ｄｉｇ(１ꎬ－１ꎬ－１)ꎬ其负惯性指数为２ꎬ故Ａ不是正定矩阵.性质３㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为Ａ＝ＰＴＥＰꎬＡ－１＝[(Ｐ－１)Ｔ]ＴＥ(Ｐ－１)ＴꎬＡ－１也与单位方阵Ｅ合同ꎬ必然正定.)性质４㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质５㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(１)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(２)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(３)与同阶单位方阵合同ꎻ(４)特征根全为正实数ꎻ(５)与同阶对角形方阵ｄｉｇ(ｔ１ꎬｔ２ꎬ ꎬｔｎ)相似且合同(其中ｔｉ为它的特征根).(６)行列式等于ｔ１ｔ２ ｔｎ(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法１㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则Ａ非正定.例１㊀Ａ＝１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式Ｄ２＝１－１－１１æèçöø÷＝０ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例２㊀当ｔ为何值时ꎬＡ＝ｔ１－１１ｔ－１－１－１ｔæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式Ｄ１＝ｔ>０ꎬＤ２＝ｔ１１ｔæèçöø÷＝ｔ２－１>０ꎬＤ３＝｜Ａ｜＝(ｔ＋２)(ｔ－１)２>０ꎬ由此可得:ｔ>１时Ａ为正定矩阵.判法２㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程ｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝０ꎬ计算出Ａ的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则Ａ非正定.例３㊀Ａ＝１－２２－２－２４２４－２æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝(ｔ－２)２(ｔ＋７)＝０ꎬ得特征根为２㊁２㊁－７ꎬ有一个根不是正数ꎬ故Ａ不是正定矩阵.判法３㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵Ｅ(或:主对角元全为正数)ꎬ则Ａ为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例１中ꎬ对Ａ施行合同变换:１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ң１００００４０４６æèççöø÷÷ң１０００６４０４０æèççöø÷÷ңＡ＝１０００６０００－１６６æèçççöø÷÷÷ңＡ＝１０００１０００－１æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故Ａ不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法４㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算Ａ的行列式｜Ａ｜ꎬ若｜Ａ｜ɤ０ꎬ则Ａ不正定.这是根据性质２的等价命题来判定的.如:上述例１中ꎬ｜Ａ｜＝－１６<０ꎬ说明Ａ不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看ｎ阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于ｎ?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例４㊀若Ａ是正定矩阵ꎬＥ是与Ａ同价的单位方阵ꎬ则ｋ为足够大的实数时ꎬ可以判定ｋＥ＋Ａ也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ的特征根为ｔｉ>０ꎬ则ｋＥ＋Ａ的特征根为ｔｉ＋ｋꎬ从而当ｋ足够大时ꎬ就可保证ｋＥ＋Ａ的特征根全为正数ꎬ使ｋＥ＋Ａ为正定矩阵.例５㊀若Ａ＝(ａｉｊ)是正定矩阵ꎬｂｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)是任意ｎ个非零实数ꎬ则Ｂ＝(ａｉｊｂｉｂｊ)也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ正定ꎬ则其顺序主子式｜Ａｋ｜>０ꎬ而Ｂ的顺序主子式｜Ｂｋ｜＝ｂ２１ ｂ２ｋ｜Ａｋ｜>０ꎬ从而Ｂ也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[１]何守元.高等代数[Ｍ].北京:现代教育出版社ꎬ２０１５:１５.[２]刘振宇.高等代数的思想和方法[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００９.[３]扬子胥.高等代数精选题解[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.[责任编辑:李㊀璟]９１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号*********指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目录引言...................................................... 错误!未定义书签。
条件亚正定矩阵及其应用
第21卷 第4期1995年10月 曲阜师范大学学报Jour nal o f Qufu N or mal U niver sityVo l.21 N o.4O ct.1995条件亚正定矩阵及其应用张玉忠 郑庆玉 周厚春( 中科院应用数学所,100080,北京市; 临沂师专数学系,276005,山东省临沂市) 摘 要 提出条件亚正定矩阵的概念,研究了它的性质和特征;把它应用到解一类线性方程组及求解二次规划上.关键词 亚正定矩阵 条件正定矩阵 条件亚正定矩阵 二次规划分类号 O221在多元散乱数据插值函数的整体求解和求解二次规划时,往往要解其系数矩阵形式为O BB T A的线性方程组.这里的A一般不是正定的,在实际应用中,甚至它不是对称的,而是在一定条件下具有正定矩阵的性质.孙家昶等在[1]中讨论了一种有条件的正定矩阵.在没有对称假设的情况下,屠伯埙系统地讨论了矩阵的亚正定理论[2].本文推广了这两种概念,没有对称性条件,提出了一种新的概念——条件亚正定矩阵.研究了它的性质及特征,最后把它用到线性方程组和二次规划的求解上.1 定义和性质定义[1] 设A为实对称n阶矩阵,B为k×n阶实矩阵,rank(B)=k,称矩阵A对矩阵B 是k条件正定的(简称(k,B)正定),如果对任意x≠0,x∈R n,B x=0,有x T A x>0.定义2 设A是n阶实矩阵,称A是亚正定的,如果对于任意x≠0,x∈R n,有x T A x> 0.定义3 设A为n阶实矩阵,B为k×n阶实矩阵(k≤n),其秩为k,如果对任意x≠0, x∈R n,Bx=0,有x T A x>0,则称矩阵A关于矩阵B是k条件亚正定的,简称(k,b)亚正定.定义4 设A为n阶实矩阵,称S=(A+A T)/2为A的对称分支;k=(A-A T)/2为A 的斜对称分支.定理1.1 1)A是(k,B)亚正定 A T是(k,B)亚正定的;国家自然科学基金资助项目( 曲阜师范大学运筹学研究所成员) 收稿日期:1995-04-052)A 为(k ,B )亚正定 对任意可逆与A 同阶的矩阵C ,都有C T A C 为(k ,BC )亚正定的;3)A 为(k ,B )亚正定 它的对称分支S 是(k ,B )正定的;4)A i 是(k i ,B i )亚正定阵,a i 是不同时为零的非负实数,i =1,2,…,m .B =(B T 1,…,B Tm ),且k =rank(B )=∑mi =1k i;则∑mi =1a iAi为(k ,B )亚正定的.证明 只证4).由条件知:任意x ∈R n ,x ≠0,只要B i x =0 x T A i x >0.即B 1B 2B mx =0x TA i x >0,因a i 是不全为零的非负数,从而∑mi =1a i x TA i x >0,即x T(∑mi =1a i A i )x >0.考虑到,B =(B T1,…,B Tm )T也是行满秩的,其秩为k ,因而∑mi =1a i A i 为(k ,B )亚正定的.证毕.值得指出的是,[1]中的性质2°是不成立的.性质2°[1]A 为k ,B )正定的,M 是可逆矩阵,则M T A M 是(k ,B )正定矩阵.反例 设A =1 00 0为二阶对称矩阵,B =[0,1],则rank (B )=1,显然B x =0的所有解为(t ,0)T,t ∈R .对任意t ≠0,(t ,0)A t 0=t 2>0,所以A 是(1,B )正定的.再取M =0 11 1,M 显然是可逆矩阵并且M TA M =0 00 1,但是对于Bx =0的非零解(t ,0)T ,有(t ,0)M T A M t 0=0,因此M TA M 不是(1,B )正定矩阵.2 (k ,B )亚正定矩阵的判定定理2.1 设n 阶矩阵A 的分块为A 1 A 2A 3 A 4,A 1是k ×k 阵,B =(B 1,B 2)为k ×n 阵,rank(B )=k ,B 1可逆.则,A 是(k ,B )亚正定矩阵,当且仅当A 4+A T 4+B T 2(B -11)T (A 4+A T 4)B -11B 2-[B T 2(B -11)T (A 2+A T 3)+(A T 2+A 3)B -11B 2]为正定矩阵.证明 B x =0,即(B 1,B 2)x 1x 2=0,得x 1=-B -11B 2x 2,所以x T A x =(x T 1,x T2)A 1 A 2A 3 A 4x 1x 2=x T 1A 1x 1+x T 1A 2x 2+x T 2A 3x 1+x T2A 4x 2=x T 2(A 4+B T 2(B -11)T A 1B -11B 2-B T 2(B -11)T A 2-A 3B -11B 2)x 2,2 曲阜师范大学学报(自然科学版) 1995年令 A ~=A 4+B T 2(B -11)T A 1B -11B 2-B T 2(B -11)T A 2-A 3B -11B 2,则x T A x =x T 2A ~x 2=x T 2[12(A ~+A ~T )+12(A ~-A ~T )]x 2=12x T 2(A ~+A ~T)x 2,因此,当B x =0时,x T A x >0 x 2∈R n -k ,x 2≠0,x T 2(A ~+A ~T )x 2>0.即,A 为(k ,B )亚正定 A~+A~T 正定.即A 4+A T 4+B T 2(B -11)T (A 4+A T 4)B -11B 2-[B T 2(B -11)T (A 2+A T 3)+(A T 2+A 3)B -11B 2]为正定矩阵.证毕.推论2.2 如定理中B 的形式为[B 1,0],即B 2=0,则A 为(k ,B )亚正定 A 4+A T 4正定,即A 4亚正定.3 在解线性方程组和二次规划中的应用考虑如下线性方程组:0 BB T Ax =dC,(1)其中A 是n 阶实矩阵(未必对称),B 是k ×n 阶的行满秩阵,即r ank (B )=k ;A 与B 有如下形式的分块:A =A 1 A 2A 3 A 4,B =(B 1,B 2),A 1和B 1是k ×k 阶矩阵,且B 1可逆.方程(1)中的x和C 有相应的分块:x =x 1x 2,C =c 1c 2,则(1)可写成0B 1B 2B T1A 1A 2B T 2A 3A 4 x 1x 2=d c 1c 2.(2) 如无特别说明,下面出现的A 和B ,C 和x 及其分块都如上面所述.关于(2)的求解问题有如下定理:定理3.1 方程(1)有唯一解的充分条件是,A 为(k ,B )亚正定矩阵.而且此时,其解的表达式如下:*=(Y T-(B T1)-1M )Z -1Yd -(B 1T )-1A 1B -11d +(B T 1)-1C 1 -(Y T -(B T 1)-1M )Z -1X C 1+(Y T -(B T 1)-1)M )Z -1C 2,x *1=(B -11-X TZ -1Y )d +X TZ -1X C 1-X TZ -1C 2,x *2=Z -1Yd -Z -1X C 1+Z -1C 2,其中,X =B T 2(B T 1)-1,Y =(B T 2(B T 1)-1A 1-A 3)B -11,Z =A 4-B T 2(B T 1)-1A 2+B T 2(B T 1)-1A 1B -11-1T T 1B -11B 2-A 1B -11B 2.证明 令Q 3第4期 张玉忠等:条件亚正定矩阵及其应用 易得Q0BB T AQ-1=A1B T1MB10000Z,其中,X,Y,Z和M的表达式如定理所述.令P1=0101-A1B-11000I,P2=10001-(B T1)-1M001,则知,P1,P2都可逆,而且易证:P1Q0BB T AQ T P2=B1000B T1000Z.式中的Z正好是定理2.1的证明中的A~.因而,方程(1)的系数矩阵可逆的充要条件是Z可逆,即A~可逆.而此时,A为(k,B)亚正定,当然有A~亚正定,从而A~可逆,所以(1)的系数矩阵可逆,其解唯一.计算出系数矩阵的逆为QP2B-11000(B T1)-1000Z-1P1Q,将Q、P1、P2代入计算出:N Y-(B T1)1A1B-11(B T1)-1-N X NB-11-X T Z-1Y X T Z-1X-X T Z-1Z-1Y-Z-1X Z-1,其中N=(Y T-(B T1)M)Z-1.这样即求出方程(1)的解,将N的表达式代入即得:*=(Y T-(B T1)-1M)Z-1Yd-(B1T)-1A1B-11d+(B T1)-1C1 -(Y T-(B T1)-1M)Z-1X C1+(Y T-(B T1)-1M)Z-1C2,x*1=(B-11-X T Z-1Y)d+X T Z-1X C1-X T Z-1C2,x*2=Z-1Yd-Z-1X C1+Z-1C2,证毕.当A为对称阵时,定理中的条件即为A是(k,B)正定矩阵;此时,A T1=A1,A T2=A3,且M =0,有:推论3.2 若A为(k,B)正定矩阵,则方程(1)有唯一解,解的表达式如下:*=(Y T Z-1Y-(B T1)-1A1B-11)d+((B T1)-1-Y T Z-1X)C1+Y T Z-1C2,x*1=(B-11-X T Z-1Y)d+X T Z-1X C1-X T Z-1C2,x*2=Z-1Yd-Z-1X C1+Z-1C2,其中,X=B T2(B T1)-1,Y=(B T2(B T1)-1A1-A T2)B-11,Z=A4-B T2(B T1)-1A2+B T2(B T1)-1A1B-11B2-A T2B T1B2.考虑二次规划的求解问题:4 曲阜师范大学学报(自然科学版) 1995年(QP) M in 12x T A x -C T x ,s .t Bx =d ,其中A 为对称矩阵(n 阶的),B 是k ×n 阶行满秩矩阵,x ∈R n ,C ∈R n ,d ∈R k .推论3.3 如果(QP )中的矩阵A 是(k ,B )正定的,根据前面的分块,B 1可逆;则(QP )有唯一的Kuhn -T ucker 对( *,x *),其表示式如推论3.2所示.证明 (QP)的Lagr ang e 函数为L (x , )=12x T A x -C T x + T(B x -d ),令 L (x , )=0,x L (x , )=0,得Bx =d ,B T +A x =C .此方程组的解即是Kuhn-T ucker 对,它正好是前面的方程(1);因而,当A 为(k ,B )正定时,它的解即为推论3.2所示.证毕.参考文献1 孙家昶,齐远伟.条件正定矩阵及其在多元插值计算中的应用,计算数学,1989,(4):386—3932 屠伯埙.亚正定阵理论(I).数学学报,1990,33(4):462—4713 李炯生.实方阵的正定性.数学的实践与认识,1985,(3):67—734 屠伯埙.线性代数方法引论.上海:复旦大学出版社,19865 屠伯埙.亚正定阵理论.数学学报,1990,33(5)6 张玉忠等.亚正定阵三种积的亚正定性.曲阜师范大学学报,1992,18(4)7 黎奇升.关于“矩阵正定性的进一步推广”一文注记.数学研究与评论,1995,(1)CONDITIONED SUBPOSITIVE DEFINITEMATRIX AND ITS APPLICATIONS Zhang Yuz hong Zheng Q ingy u Zhou H ouchun( Institute of Applied Math emartics,Academia Sinica,100080,Beijing; Linyi Teachers College,276000.Lin yi,Shandong)Abstract T he co ncept of conditio ned subpositive definite matrix is proposed .The pro p-er ties and the characteristics of the matrix ar e studied.Finally,these ar e applied to solve the sy stem o f linear equatio ns and quadratic prog ramm ing.Key words subpositiv e definite matrix conditio ned positive definite matrix condi-tio ned subpositive definite m atr ix system of linear equations quadratic progr am ming5第4期 张玉忠等:条件亚正定矩阵及其应用 。
正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用.关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值ABSTRACTThis paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given.Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value第1章 正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质1.1. 相关概念定义1[1] 设a ij (i =1，2，⋯，n ，i ≤j)都是实常数，则关于n 个实变量x 1，x 2，⋯，x n 的二次齐次多项式函数f(x 1，x 2，⋯，x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋯+a nn x n 2+2a 12x 1x 2+2a 12x 1x 3+⋯+2a n−1，n x n−1x n ，称为n 元实二次型.[9]定义2[1] 实二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )为正定的，如果对于一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c n 都有f(c 1，c 2，⋯，c n )>0，如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )<0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为负定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≥0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半正定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≤0,那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半负定的.如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么称为不定的.[1]定义3[1] 若实数域上的n 元二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij nj=1ni=1x i x j =X T AX是正定（半正定）二次型，则A 被称为正定（半正定）矩阵，其中A =(a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn )，X =(x 1x 2⋮x n) 定义4[1] 子式|a 11a 12⋯a 1i a 21a 22⋯a 2i ⋮⋮⋱⋮a i1a i2⋯a ii|，，，，，，，，，0)00()(11121>==∑∑==ki kj k j i ij k k c c f c c a c c c f 称为矩阵A =(a ij )的i 阶顺序主子式i =1，2，⋯，n.1.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题1.2.1.正定矩阵的等价命题定理1[9] A 是n 阶实对称矩阵，则下列叙述等价： (1) A 是正定矩阵.(2) A 的所有顺序主子式全大于零. (3) A 的特征值全大于零. (4) 存在正定矩阵B ，使得A =B 2. (5) A 合同于E .(6) A 的一切主子式全大于零. (7) A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.(8) 对任意的实列满秩矩阵C n×m ,都有C T AC 为正定矩阵.(9) 任意实可逆矩阵T ,都有T T AT 为正定矩阵. (10) 存在秩为n 的m ×n 实矩阵C 使A =C T C . (11) A =P T P ，P 是n 阶可逆矩阵.(12) A =R T R ，R 是n 阶主对角元素全大于零的上三角形矩阵.A =U T U ，U 是n 阶主对角元素全大于零的下三角形矩阵.[9]证明(1)⇒(2)设二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i nj=1n i=1x j 是正定的.对于每个k ，1≤k ≤n ，设f k =(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i n j=1n i=1x j以下证明f k 是一个正定二次型，对于任意一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c k ，有)13(因此f k(x1，x2，⋯，x n)是正定的.由性质1可得，f k所对应的矩阵行列式|a11⋯a1n ⋮⋱⋮a k1⋯a kk|>0，k=1，2，⋯，n.从而A的各阶顺序主子式都大于零.(1)⇒(3)用反证法，若A的特征根λ1，λ2，⋯，λn不都大于零.不妨设λ1≤0，取A的属于λi的单位特征向量β≠0，就有βT Aβ=λ1≤0，这与A为正定矩阵相矛盾，所以A的特征值全大于零。
亚正定矩阵的充要条件
维复列向量集合 ； Ａ 表示矩阵Ａ的转置 ； 表示矩阵 Ａ的复共 轭 ； Ａ 表 示矩 阵 Ａ 的共 轭 转置 ， 即 Ａ ＝
（ ２ ０ １ ４ ） Ｏ ３— ０ ２ １ ８— ０ ４
亚 正定 矩 阵 的充 要条 件
黄 毅
（ １ ． 成都大学 信 息科 学与技术 学院，四川 成都 ６ １ ０ １ ０ ６ ；
２ ． 模式识别与智能信 息处理 四川省 高校 重点 实验 室，四川 成都
摘 要 ：建 立 了 实对 称 正 定 矩 阵的 推 广 概 念 亚 正 定 矩 阵 的 一 些 充 分 必要 条 件 ．
称为实对称正定矩阵 ， 如果对于任一非零实 向量 ， ∈ ， 都有 Ｘ ｒ Ａ Ｘ ＞０ ．
定 义 ３（ 实 方 阵 的对 称 分 支 和反 对 称 分 支 ） 事 实上 ， 实方 阵可 唯一 地表示 成 ，
矩阵 的概 念 ； １ ９ ８ ５年 ， Ｈ ｏ ｎ 等 给 出 了 实 正 定 矩 阵 ｒ 的定 义 ， 而李炯生ｂ 对广 义正 定 矩 阵 的性 质 和特 征
究使 用亚 正定 矩 阵 的概 念 ， 建 立 了亚 正 定 矩 阵 的一 些充 分 和必要 条件 ．
Ｓ （ Ａ）： （ Ａ —Ａ ）
二
则， Ａ ＝ Ｒ（ Ａ ）＋ ． ｓ （ Ａ） ．
１ 定 义
先说明一些本研究使用符号 ： Ｒ表示实数集 ； Ｃ 表示 复数 集 ； （ Ｐ） 表 示数 域 Ｐ上 ｎ阶方 阵 的集 合 ；
表 示全 体 ｎ维实列 向量 集 合 ； ｃ ， Ｉ 表示 全 体 ｎ
正定矩阵的判定方法
正定矩阵的判定方法
正定矩阵是数学中的一个常用概念，用于表示各种函数的变化趋势，如多项式的展开、积分运算等。
正定矩阵是一种矩阵，其经过特殊处理后，矩阵元素都是正值，因此我们可
以通过判断矩阵元素是否为正来判断矩阵是否为正定矩阵。
1、正定矩阵是一种特殊的秩1矩阵，其中的矩阵元素全为正实数。
因此，第一步是
将给定的矩阵进行非零变量约束，以消除矩阵元素为负值的情况。
2、对非零变量的结果，识别是否为正定矩阵，即所有矩阵元素都是正数。
如果所有
矩阵元素都是正数，则说明此矩阵为正定矩阵。
3、计算矩阵行列式，以进一步确定矩阵是否为正定矩阵。
如果矩阵行列式的值为正，则说明该矩阵为正定矩阵，反之则不是正定矩阵。
4、对正定矩阵进行对角化，即求解A=QDQ-1.将矩阵A改写为QDQ-1，其中D为矩阵A 的对角形矩阵，Q为一个正交矩阵。
如果可以得到矩阵D，则说明A是正定矩阵。
通过以上步骤可以判断矩阵是否为正定矩阵。
因此，正定矩阵的判定就是将给定的矩
阵逐行逐列判断矩阵的元素是否全为正数，再计算该矩阵的行列式，根据行列式的计算结
果确定矩阵是否为正定矩阵，最后按照上述方法对矩阵进行对角化，以较精确地判断该矩
阵是否为正定矩阵。
矩阵正定的若干判别方法
矩阵正定的若干判别方法矩阵的正定性是一个重要的数学概念，它在各个领域中都有广泛的应用，特别是在线性代数、优化理论、统计学等领域中。
一个矩阵被称为正定矩阵，如果它满足一些特定的条件。
本文将介绍矩阵正定的几种判别方法。
1.主子式判定法主子式是指从矩阵中任意选取k行和k列，所得到的k阶子矩阵的行列式。
对于一个n阶矩阵A来说，如果它的所有主子式都大于0，则矩阵A是正定的。
否则，如果存在一个主子式小于等于0，或者存在一个奇数阶主子式大于0但有负主子式，则矩阵A不是正定的。
2.特征值判定法特征值是矩阵A的一个重要性质，通过求解矩阵A的特征方程即可得到。
对于矩阵A的所有特征值λi，如果它们都大于0，则矩阵A是正定的。
如果存在一个特征值小于等于0，或者存在一个奇数个特征值大于0但有负特征值，则矩阵A不是正定的。
3.随机矩阵判定法随机矩阵是指矩阵中的元素是随机变量，其取值满足一定的概率分布。
对于一个n阶随机矩阵X，定义一个n维向量a，则矩阵X的正定性可以通过判断向量a^TXa的期望是否大于0来确定。
如果a^TXa>0成立的概率为1，即对于几乎所有的a都满足这个条件，则矩阵X是正定的。
这个方法是通过随机选择的方法来验证矩阵的正定性，适用于一些特殊的矩阵。
4.半正定矩阵判定法半正定矩阵是指矩阵A的所有特征值都大于等于0，即λi ≥ 0，其中1 ≤ i ≤ n。
如果一个矩阵A是半正定的，并且A的对角线元素都大于0，即Aii > 0，那么矩阵A是正定的。
该方法是正定性判别方法的一种特殊情况。
以上是矩阵正定的几种常用判别方法。
根据矩阵的不同性质和应用领域，可以选择适合的判定方法来判断一个矩阵是否是正定的。
这些方法充分利用了矩阵的特征值、主子式、随机矩阵等性质，为矩阵正定性的判断提供了有效的工具。
矩阵正定和半正定判定方法
矩阵正定和半正定判定方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊矩阵正定和半正定的判定方法，这可有意思啦！
你看啊，矩阵就像是一个神秘的大盒子，里面装着各种数字的秘密。
而正定和半正定呢，就像是给这个盒子贴上的特殊标签。
想象一下，正定矩阵就像是一个永远充满正能量的小太阳，闪闪发光，温暖又可靠。
怎么判断它是不是正定矩阵呢？那就得看看它是不是对所有非零向量都能散发出温暖的“能量”，也就是对应的二次型是不是恒大于零。
这就好比，不管你从哪个方向去靠近这个小太阳，都能感受到它的热情和积极。
那半正定矩阵呢，就像是一个有点害羞的小暖炉，虽然没有小太阳那么耀眼，但也能带来温暖呀。
它对应的二次型是大于等于零的哦。
要判断矩阵是不是正定或半正定，咱有好些办法呢。
比如说，看看它的所有主子式是不是都大于零，这就像是检查这个神秘盒子的各个小格子是不是都装满了正能量。
再比如，通过特征值来判断，特征值都大于零那就是正定啦，都大于等于零那就是半正定咯，这就像通过了解小太阳内部的光芒强度来确定它的性质一样。
咱可别小瞧了这些判定方法，它们在好多地方都大有用处呢！就像你要盖一座坚固的房子，就得先搞清楚建筑材料的质量好不好。
在数学和其他领域里，这些判定能帮我们解决好多难题，让我们的思路更加清晰明了。
所以啊，朋友们，一定要好好掌握矩阵正定和半正定的判定方法呀！这可是打开数学神秘大门的一把重要钥匙呢！别觉得它难，只要咱用心去琢磨，就一定能搞明白。
加油吧，让我们一起在数学的海洋里畅游，去探索更多的奇妙之处！
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
判断正定矩阵的方法
判断正定矩阵的方法正定矩阵，顾名思义，是指矩阵的性质满足“正定”的条件。
在线性代数中，正定矩阵是非常重要的概念。
正定矩阵是一种定义良好的矩阵，它的主要性质有：所有特征值为正数，行列式为正数，且所有主子矩阵的行列式都为正数。
在实际应用中，正定矩阵常常用在优化问题、最小二乘问题、信号处理、加密等领域。
在进行正定矩阵的判断时，我们通常有以下几种方法，分别从不同的角度出发进行判断。
方法一：主元素主子式判定法主元素主子式判定法(Leading Principal Minor Test)是最常用和最简单的方法之一。
正定矩阵要求每个n个阶层次的主子式大于0，即主子矩阵行列式大于0。
如果所有的主子式都大于0，则该矩阵为正定矩阵。
证明：假设矩阵A为n阶正定矩阵，根据特征值定理，A的所有特征值必须为正数。
因此，其所有的主元素主子矩阵行列式均为正数。
反之，如果所有的主元素主子式都大于0，则矩阵A的所有特征值均大于0，从而A为正定矩阵。
举例：设矩阵A = [1 2; 2 5]，则一、二阶主子式分别为1，(1×5-2×2) = 1，因为所有的主子式均大于0，所以矩阵A是正定矩阵。
方法二：特征值判定法特征值判定法(Eigenvalue Test)是另一种常用的方法。
如果一个n阶的矩阵A有n个线性无关的特征向量，且这些特征值都为正数，则矩阵A为正定矩阵。
证明：根据特征值定理，如果A为n阶的对称矩阵，则A可以分解为A = VλV’，其中V是n阶正交矩阵，λ是n阶对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值。
如果A为正定矩阵，则λ的对角线上所有元素都为正数。
因为V为正交矩阵，所以V的所有列向量线性无关。
因此，矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中每个特征值都大于0。
反之，如果A有n个线性无关的特征向量，且所有特征值都大于0，则A为正定矩阵。
方法三：Sylvester判定法Sylvester判定法(Sylvester Criterion)是一种基于奇异值分解的方法。
半正定矩阵的主次对角元判定法
半正定矩阵的主次对角元判定法半正定矩阵，这个听起来有点高大上的名词，说白了就是一种特殊的矩阵。
你知道，它不是什么“坏蛋”，也不是啥“反派”，而是矩阵家族里比较乖巧听话的那种类型。
别看它名字带个“定”字，感觉有点严肃，其实它挺温柔的，基本上没啥危险。
要想判断一个矩阵是不是半正定的，首先得了解它的主对角线和次对角线上的元素，才能看出它的“品性”。
行了，咱不绕圈子，直接聊聊这个判定方法。
想象一下，矩阵就是一个个小格子。
每个格子里面都有个数字，这些数字按着一定的规则排成一个大大的阵列。
而主对角线上的数字，就是从左上角到右下角的那些数字。
次对角线呢，就是从右上角到左下角的那条线。
就像你在玩跳格子游戏时，经常跳过的那条线。
好，现在我们要做的事，就是看这些数字能不能满足特定的条件。
简单来说，半正定矩阵的判断关键，就在于这些对角线上的数字有没有符合某些“规则”。
最简单的一条，半正定矩阵的主对角线上的每个元素必须是大于等于零的。
你别小看这个条件，这其实已经过滤掉了不少矩阵，毕竟有些矩阵的主对角线上那点小数字，动不动就带个负号，连个“零”字都懒得搭理。
大家都知道，负数可是心机很深的家伙，能让一切变得复杂。
像这样带着负号的家伙，怎么可能是“正面人物”呢？想都不用想，直接淘汰！所以啊，半正定矩阵的主对角线上的元素，必须是温和的、乖乖的“零”或者“正数”。
好啦，这个条件过了，接下来就进入了比较有趣的部分了。
你得看次对角线上的元素是不是符合某种关系。
要注意哦，次对角线上的数字虽然没有那么直接影响矩阵的“整体气质”，但它们能反映出矩阵背后潜在的一些规律。
所以你要做的，就是判断这个矩阵的“整体情况”。
如果有些元素的“品行不端”，比如某些地方的值是负数，嗯，那它就有点问题。
简单来说，若是次对角线上的数字不符合条件，那就意味着矩阵的整体“气场”出了点差错，差强人意。
其实判定半正定矩阵是不是合格，过程简单，但精髓就在于一个“零”字。
正定矩阵的三种判定方式
正定矩阵的三种判定方式正定矩阵是在线性代数中非常重要的概念，它具有许多独特且有用的性质。
在本文中，我们将介绍正定矩阵的三种判定方式，并探讨它们的应用。
希望这篇文章能够生动、全面地介绍这个概念，并给读者带来指导意义。
首先，我们来介绍正定矩阵的定义。
一个n×n的实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于任意非零的实向量x，都有x^TAx > 0。
这个定义表明，正定矩阵的特征值全为正数，且它具有良好的性质。
第一种判定方式是通过特征值来判断。
对于一个对称矩阵A来说，它是正定矩阵的充分必要条件是A的所有特征值都大于0。
这是因为特征值等于0表示存在一个非零向量x，使得Ax = 0，从而矩阵不是正定的。
根据这个特性，我们可以通过计算矩阵的特征值来判断它是否为正定矩阵。
第二种判定方式是通过主子式来判断。
主子式是指通过在矩阵A中选取特定行和列所得到的子矩阵的行列式。
一个对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是它的所有主子式都大于0。
这是由于正定矩阵的定义中要求所有非零向量x都满足x^TAx > 0，而这也可以表示为x^TAX > 0，其中X为一个对角矩阵，其对角线上的元素分别为主子式。
因此，通过计算矩阵的所有主子式，我们可以判断它是否为正定矩阵。
第三种判定方式是通过行列式的符号来判断。
一个对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是它的所有顺序主子式的行列式都大于0。
顺序主子式是指通过在矩阵A的左上角选取特定行和列所得到的子矩阵的行列式。
正定矩阵的这个性质被称为Sylvester准则，它是通过对矩阵的行列式进行推导得到的。
根据这个准则，我们可以计算矩阵的各个顺序主子式的行列式，并验证它们是否都大于0，从而判断矩阵是否为正定矩阵。
正定矩阵在很多领域中都有广泛的应用。
在最优化问题中，正定矩阵被用于判断一个问题的目标函数是否是凸函数。
在数值计算中，正定矩阵被用于设计高效的迭代算法，例如共轭梯度法和牛顿法。
在统计学中，正定矩阵被用于建立多元正态分布的协方差矩阵。
判断矩阵正定方法
判断矩阵正定方法在线性代数中，一个矩阵被称为正定矩阵（positive definite matrix），如果对于任意非零向量x，都有x^T A x > 0，其中A是一个n×n的实对称矩阵，x^T表示x的转置。
正定矩阵是很重要的数学概念，在数学分析、优化和统计学等领域中都有广泛应用。
判定一个矩阵是否为正定矩阵有多种方法，下面将介绍几种常见的方法。
1.特征值方法：一个实对称矩阵A为正定矩阵，当且仅当A的所有特征值都大于0。
对于一个实对称矩阵A，可以通过求解其特征值来判断其是否为正定矩阵。
如果A的所有特征值均大于0，则A为正定矩阵；如果A的所有特征值都大于等于0，但存在至少一个特征值为0，则A被称为半正定矩阵。
如果存在至少一个特征值小于0，则A不是正定矩阵。
2.主子式方法：对于一个实对称矩阵A，如果对于任意正整数k(1≤k≤n)，A的所有k阶主子式（取A的前k行和前k列所得到的矩阵的行列式）都大于0，则A为正定矩阵。
3.正定性与正定次序数：对于一个实对称矩阵A，如果存在置换矩阵P，使得P^TAP=D为对角矩阵，且对角元素都大于0，则A为正定矩阵。
这里的D被称为A的正定次序数。
4.其他方法：除了上述方法外，还有一些其他方法也可以用于判断矩阵的正定性，比如Cholesky分解、Sylvester判别准则和线性规划等。
Cholesky分解利用正定矩阵的特点，将其分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积，如果分解成功，则矩阵为正定矩阵。
Sylvester判别准则利用特征值的性质和矩阵的顺序主子式来判断正定性。
线性规划则是将矩阵和向量组成线性规划问题，通过求解问题的最优解来判断矩阵的正定性。
总结起来，判断矩阵是否为正定矩阵可以通过特征值、主子式、置换矩阵以及其他方法来进行。
不同的方法适用于不同的情况，其中特征值方法是最常用且最简便的方法。
在实际应用中，判断矩阵的正定性是非常重要的，因为正定矩阵具有许多重要的数学性质和应用，比如在优化算法中的拟牛顿法和共轭梯度法中的Hessian矩阵的正定性检验，以及在统计学中的协方差矩阵的正定性检验等。
正定矩阵判定方法(一)
正定矩阵判定方法(一)正定矩阵判定什么是正定矩阵？正定矩阵是指满足对于任意一个非零向量x，都有x^T A x > 0的矩阵，其中x^T表示向量x的转置。
如何判断一个矩阵是否是正定矩阵？判定一个矩阵是否是正定矩阵的方法有以下几种：1. 特征值法正定矩阵的特征值均为正数，因此可以通过计算矩阵的特征值来判断矩阵是否是正定矩阵。
若矩阵A的特征值均为正数，则矩阵A为正定矩阵。
2. 对角线元素法若一个矩阵所有的对角线元素都大于0，而且所有主子式都大于0，则该矩阵是正定矩阵。
主子式是指从矩阵中取出一些行和列，组成的新矩阵的行列式。
3. 矩阵分解法矩阵可以进行Cholesky分解，即将矩阵分解成一个下三角矩阵L和它的转置LT的乘积，即A=LLT。
如果分解成功了，且L的对角线元素都大于0，则矩阵是正定矩阵。
4. 向量内积法考虑向量x和矩阵A的乘积，即x^T A x。
若x^T A x > 0，则矩阵A是正定矩阵。
该方法需要计算x^T A x，计算较为繁琐。
5. Sylvester 判别法Sylvester 判别法是一种递推算法，用于判定是否是正定矩阵。
具体如下：1.定义符号函数sign(x)，当x>0时，sign(x)=1，x<0时，sign(x)=-1，x=0时，sign(x)=0。
2.对于n阶矩阵A，令A1=A[1,1]，A2=⎡⎡⎡⎡A[1,1] A[1,2] A[1,n] A[2,1] A[2,2] A[2,n] A[n,1]A[n,2] A[n,n] ⎡⎡⎡⎡3.递推计算S1,A14.对于k=2,3,…,n，S[k] = |A[k,k]|S[k-1] - S[k-1,k-1]A[k,k]，A[k,k]不为0。
5.当S[n]>0时，矩阵A是正定矩阵。
总结以上是判定一个矩阵是否是正定矩阵的五种方法，其中特征值法和对角线元素法较为简单，Cholesky 分解法和 Sylvester 判别法计算量较大，向量内积法需要逐个计算向量，较为繁琐。
《亚正定变换研究》word版
亚正定变换研究摘要：本文在欧氏空间中定义了亚正定变换，并给出了线性变换是亚正定变换的充分必要条件是它在标准正交基下的矩阵是亚正定矩阵.在此基础上进一步引入正定变换、共轭变换、正规变换等概念，进而探讨及证明了它们得出的相关结论.关键词：亚正定变换；正规变换；共轭变换；亚正定矩阵Study on the subpositive definitenesstransformationZHANG Lan(Department of mathematics,Xiaogan Universty, Xiaogan,Hubei 432100,China) Abstract：This article defined subpositive definiteness transformation on Euclidean Space,and had given sufficient and necessary conditions of a linear transformation is a subpositive definiteness transformation is that the matrix under the orthonormal basis is subpositive definiteness. And further to introduction the concept of positive definiteness transformation,conjugate transformation, regular transformation.and futher to discuss and prove the related conclusion.Key words ：subpositive definiteness transformation;regular transformation ;conjugate transformation; subpositive definiteness of matrix0 引言实对称矩阵和实对称正定矩阵（简称为正定矩阵）在矩阵理论与应用中起着重要作用.1970年, C.R.Johnson提出了更为广泛的一类矩阵，即亚正定矩阵概念[1]：定义1 设n n A R ⨯∈，10n x R ⨯∀≠∈，有'0x Ax >，则称A 为亚正定矩阵. 复旦大学屠伯埙教授在此基础上建立了亚正定矩阵的基本理论，对亚正定矩阵的性质作了较为系统的研究，得到了很多新的结果，并把许多有关正定矩阵的结果推广到亚正定矩阵[2，3].由于亚正定矩阵应用的广泛性，对它的研究一直是计算数学与矩阵论研究的热点之一，文献[3-10]对亚正定矩阵的性质、判断条件、应用等方面进行了进一步的探讨，所用方法基本上都是纯矩阵方法.我们知道，欧氏空间中通过对正交变换、对称变换的讨论，使我们对正交阵、对称阵的研究更为深刻。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。
At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。
The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。
正定矩阵与半正定矩阵定义与判别
正定矩阵与半正定矩阵定义与判别
1.正定矩阵和半正定矩阵
若所有特征值均⼤于零，则称为正定。
定义:A是n阶⽅阵，如果对任何⾮零向量x，都有>0,其中表⽰x的转置，就称A为正定矩阵。
性质:
正定矩阵的⾏列式恒为正；
实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同；
两个正定矩阵的和是正定矩阵；
正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种⽅法：
求出A的所有特征值。
若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
计算A的各阶顺序主⼦式。
若A的各阶顺序主⼦式均⼤于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主⼦式中，奇数阶主⼦式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
2.半正定矩阵
若所有特征值均不⼩于零，则称为半正定。
定义：设A是实对称矩阵。
如果对任意的实⾮零列向量x有≥0，就称A为半正定矩阵。
对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主⼦式⾮负。
顺序主⼦式⾮负并不能推出矩阵是半正定的。
性质:
半正定矩阵的⾏列式是⾮负的；
两个半正定矩阵的和是半正定的；
⾮负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
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亚正定矩阵的判定方法
X 贾正华
(安徽巢湖师专数学系,巢湖,238000)
中图分类号 O 151
文[1]~[3]给出了亚正定矩阵的理论及有关性质,本文给出亚正定矩阵的一个判定方法.定理1[1] A 为n 阶实方阵,则下列诸结论等价:
(1)A 亚正定.(2)A +A c 正定.
(3)对任意实n 元非零列向量X ,都有X c A X >0.(4)A 可逆且A -1亚正定.
(5)对任意正实数k ,k A 亚正定.(6)对任意反对称实阵S ,A +S 亚正定.
(7)对任意n 阶可逆实方阵P ,P c A P 亚正定.(8)A 的任何主子阵均为亚正定阵.
定理2 (亚正定矩阵的必要条件)A 为亚正定矩阵,则
(1)[4]A 的各阶主子式大于0.
(2)[1]A 的任一特征根的实部大于0.
引理1 K 1,K 2,,,K n 为一组实数,若对任意正实数E 1,E 2,,,E n ,都有
E n i=1K i E i >0,
K i >0,i =1,2,,,n.
引理1用数学归纳法不难验证.引理2 设A 为n 阶实对称方阵,则A 正定的充要条件为对任意n 阶正定方阵B ,都有Tr (AB)>0.
证明 设K 1,K 2,,,K n 为A 的特征根,则存在正交矩阵Q ,使得Q c A Q =diag [K 1,K 2,,,K n ],所以Q c ABQ =Q c A QQ c BQ =diag [K 1,K 2,,,K n ]#Q c
BQ.设Q c B Q 的对角线元素为C 11,C 22,,,C nn ,则Q c AB Q 的对角线元素为K 1C 11,K 2C 22,,,K n C nn ,所以T r (AB )=Tr (Q c
ABQ )=E n i=1K
i C ii .若A ,B 均正定,则K i >0,C ii >0,i =1,2,,,n ,则Tr (AB )>0.反之,对任意正定矩阵B ,当然可取得Q c BQ =diag [E 1,E 2,,,E n ]使E 1,E 2,,,E n 为一组任意正实数,所以
Q c ABQ =diag [K 1E 1,K 2E 2,,,K n E n ], Tr (AB )=
E n
i =1K i E i .由Tr (AB )>0及引理1]K i >0i =1,2,,,n.故A 正定.
定理3 A 为n 阶实方阵,A 亚正定当且仅当对任意n 阶正定矩阵B 都有Tr (AB )>0.证明 因为(A +A c )B =AB +A c B =AB +(BA )c ,当A 亚正定时,A +A c 正定,由引理2得X 收稿日期:1997-10-291998年12月
第27卷第4期内蒙古师大学报自然科学(汉文)版Journal of Inner M ong olia No rmal U niversity (Natur al Science Edition)
Vol.27No.4Dec.1998
2Tr (AB )=Tr (AB )+Tr [(AB )c ]=T r (AB )+T r [(BA )c ]=
Tr [AB +(BA )c ]=T r [(A +A c )B ]>0.
故Tr (AB )>0.反之,若Tr (A B)>0,则Tr [(A +A c )B ]>0,由引理2]A +A c 正定,故A 亚正定.
定理4 A 为n 阶实方阵,n 为偶数,A *为A 的伴随矩阵,则A 亚正定当且仅当A *为亚正定阵.
证明 因为A #A *=A #I n (I n 为n 阶单位阵),若A 亚正定,由定理1及定理2推出A >0,且A
-1亚正定.所以A *=A #A -1,由定理1知A *为亚正定阵.
反之,若A *亚正定,由定理1](A *)-1亚正定,且A *>0,又A *=A n-1而n 为
偶数]A >0.
所以A =A #(A *)-1由定理1]A 为亚正定矩阵.
推论 A 为实方阵,A 亚正定则A *也然.
引理3[6] A ,B 为同阶的实方阵,A 正定,B (半)正定,A ,B 可交换,则AB 为正定阵(半正定阵).
定理5 A ,B 为同阶实方阵,A 正定,B 亚正定(亚半正定),A ,B 可交换,则AB 为亚正定阵(亚半正定阵).
证明 AB +(AB )c =A B +B c A c =BA +B c A =(B +B c )A.
又 B c A =B c A c =(AB )c =(BA )c =A c B c =AB c ,
所以 A (B +B c )=AB +AB c =AB +B c A =BA +B c A =(B +B c )A .
因为A 正定,B 亚正定,由定理1及引理3知,(B +B c )A 正定,所以AB +(AB )c 正定,AB 亚正定.
参 考 文 献
1 屠伯埙.亚正定理论(Ñ).数学学报,1990,33(4):462~471
2 屠伯埙.亚正定理论(Ò).数学学报,1991,34(1):91~102
3 李月芬.亚正定矩阵的几个性质.内蒙古师大学报(自然科学汉文版),1992,2:13~15
4 贾正华.从正定矩阵判定定理所想到的.数学学报,1995,11:40~41
5 屠伯埙.线性代数方法导引.上海:复旦大学出版社,1986
6 屠伯埙.高等数学.上海:复旦大学出版社,1990
SOM E DET ERM IN IN G M ETHO DS ON
Q U ASI-POSIT IVE DEFIN IT E M AT RICES
Jia Zhenghua
(D ep ar tment of M athematics ,A nhui Chaohu T eacher p s College,238000,Chaohu,PRC)
Abstract We show some determining methods on quas-i positive definite m atrices.
Key words quas-i positive definite matrix ,positive definite matrix #268# 内蒙古师大学报自然科学(汉文)版第27卷。