正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编

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正定矩阵的判别方法及其应用论文大学论文

正定矩阵的判别方法及其应用论文大学论文

毕业论文题目正定矩阵的判别方法及其应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名周永辉班级11级数应1班学号20111010148指导教师董芳芳讲师提交日期2015/5/12原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

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论文作者签名:年月日论文指导教师签名:正定矩阵的判别及其应用周永辉(天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,天水,74100)摘要本文从正定矩阵的定义出发,给出了矩阵正定性的一些判别方法,并得到了正定矩阵的一些应用.关键词矩阵;正定性;判别;应用Methods and the applications of the judgment ofpositive definite matrixYonghui zhou(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China) Abstract In this paper, Some Methods of judgement matrix are given by the definite and some application are obtained.Key Words matrix;positive definiteness;method;application目录一引言及预备知识.............................................. - 1 - 二正定矩阵的判别方法.......................................... - 1 - 三正定矩阵的应用.............................................. - 8 -3.1用正定矩阵的定义证明一些结论............................. - 8 -3.2 在矩阵中的应用.......................................... - 9 -3.3 正定矩阵在行列式中的应用............................... - 10 -3.4 用正定矩阵证明不等式................................... - 10 -3.5判断多元函数的极值问题.................................. - 10 - 小结........................................................... - 11 - 参考文献....................................................... - 12 - 致谢........................................................... - 13 -正定矩阵的判别方法及其应用一 引言及预备知识在数学中,二次型和正定二次型是一个非常重要的部分,但是在大学的学习中,我们只是简单地了解了一下实二次型及矩阵的表示和正定二次型的定义与简单性质,但对矩阵正定性的判别方法没有给出较全面的证明方法.本文对矩阵的性.给出了若干判别方法,并给出了若干正定矩阵的应用实例定义1[1]设A 是实对称矩阵.若若二次型TX AX 正定, 则称A 为正定矩阵.引理1[2]任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的.引理2[3]设A 是n 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵T 使得112(,,,)Tn T AT T AT diag λλλ-== (1)其中12,,,n λλλ为A 的特征值.二 正定矩阵的判别方法定理 1[4]n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是存在n 阶实可逆矩阵C ,使得T A C C =.证 (充分性)因为A 是是实对称矩阵,C 为n 阶实可逆矩阵,假设n 阶实可逆C 矩阵的特征值分别为12,,...,n λλλ(0i λ≠),又T A C C =,两边取行列式有20A C =>,A 于是知道对应的特征值分别为22212,,...,n λλλ全部大于零,故A 是正定矩阵.(必要性)因为A 是正定矩阵,所以存在实可逆矩阵P ,使TP AP E =.即T A C C =,其中1C P -=.定理2[2]n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 的一切主子式全大于零.证 (必要性)首先,若矩阵A 是正定矩阵,则存在实可逆矩阵P ,使T P AP E =.即T A C C =,其中1C P -=.两边取行列式得20A C =>.其次讨论二次型()12,,...,T n f x x x x Ax =,12,,,k x x k x 不全为零,而让前面个自变量让最后的12(),,...,k k n n k x x x k ++-个自变量都等于零,则得到一个个变量的二次型()()1212,,...,,,...,,0...,0k k k f x x x f x x x =,对此,下列结论显然成立: (1)()12,,...,n f x x x 正定⇒()12,,...,k k f x x x 正定;(2)()12,,...,k k f x x x 的矩阵恰好是()12,,...,n f x x x 的矩阵A 的k 阶主子矩阵k A .所以有0k A >.(充分性)设n 阶实对称矩阵()ij A a =的所有主子式均大于零.特别地,110a >.取上三角可逆阵11211111 (1)......1n a a a a P ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则有11...00...0TTa P AP B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B =,其中,B '是(n-1)阶实对称矩阵.对矩阵P ,A ,B 进行如下的分块,B =12121212222212222200Tkkkkk TTB B P P A A P P B B P A A P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦121222P T k k kTP A C C C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其中,k P ,k A ,k B 分别是矩阵P ,A ,B 的k -阶主子矩阵,且k P 仍1是对角元均为的上三角可逆矩阵.则有T k k k k B P A P =.从而0T k k k k k B P A P A ==>,B 即的所有主子式也都大于零.由B 与B '的关系,B '的所有主子式也都大于零.现在用第二数学归纳法来证明矩阵的阶数:B '合同于(1)n -阶单位矩阵,从而A 合同于对角形111...1a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,于是n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵.定理 3[3]实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 的顺序主子式全大于零.证 由定义1和定义2可证.例1 判别矩阵524212425A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦是否为正定矩阵. 解 矩阵A 的各阶顺序主子式分别为:125250,1021∆=>∆==>,352421210.425-∆=-=>--所以矩阵A 是正定矩阵. 例2 当t 取何值时,二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+是正定的.解 二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+对应的矩阵为1112125t A t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,而矩阵A 对应的各阶顺序主子式分别为:110,∆=>211t t ∆= 2231110,12540.125t t tt t -=->∆==-->- f 因为二次型正定的充要条件是A 的各阶顺序主子式均大于零,所以405t -<<.故当405t -<<时,二次型f 正定. 定理 4[5]n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是存在实列满秩矩阵m n P ⨯,使得T A P P =.证 (充分性)因为矩阵m n P ⨯是列满秩的矩阵,所以齐次线性方程组0m n P X ⨯=只有零解。

正定矩阵的性质和判定方法及应用概要

正定矩阵的性质和判定方法及应用概要

正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象,它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。

二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值,所以正定矩阵是一种对称矩阵,其特征值都是大于0,即特征值>0;特征向量都是有向量,即特征向量≠0;这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。

2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵,则它满足:mTm>0,其中mT表示M 的转置,m表示M中的其中一行(或列)向量。

3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一,它的特殊性质:(1)正定矩阵是正交矩阵的一类;(2)正定矩阵的逆矩阵是它的转置;(3)正定矩阵的主对角线元素全为正;(4)正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根;(5)正定矩阵的行列式是正值;(6)正定矩阵也是正秩矩阵。

三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值,则它是一个正定矩阵。

2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0,其中mT表示M的转置,m表示M中的其中一行(或列)向量,则它是一个正定矩阵。

3、行列式判定法。

正定矩阵 三角不等式

正定矩阵 三角不等式

正定矩阵三角不等式正定矩阵是线性代数中的一个重要概念,它在数学、物理学、计算机科学等领域都得到了广泛的应用。

而与正定矩阵相关的三角不等式也是一个基本的不等式,它在解决许多问题中都起到了重要的作用。

一、正定矩阵的定义和性质正定矩阵是指一个$n\times n$的实对称矩阵$A$,如果对于所有的$n$维非零向量$x$都有$x^T A x >0$,那么$A$就是正定的。

其中,$x^T$表示$x$的转置。

一般地,正定矩阵具有如下的性质:1. 所有的特征值都大于零。

2. 矩阵的行列式大于零。

3. 具有正交对角化,即存在正交矩阵$Q$和对角矩阵$D$使得$A=Q^T D Q$。

4. 对于每个$x\neq 0$,都有$x^T A x >0$。

5. 正定矩阵的逆矩阵也是正定的。

正定矩阵具有许多重要的性质,在求解线性方程组、优化问题等方面都有广泛的应用。

二、三角不等式的定义和性质三角不等式是一种基本的不等式,它可以用来描述两个向量之间的距离。

对于任意两个向量$x,y\in \mathbb {R}^n$,三角不等式可以表示为:$$ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\| $$其中,$\|\cdot\|$表示向量的范数。

三角不等式还满足以下的性质:1. 对于任意两个向量$x,y\in \mathbb {R}^n$,有$\|x-y\|\geq \big |\|x\|-\|y\| \big |$。

2. 对于任意两个向量$x,y\in \mathbb {R}^n$,有$\big | \|x\|-\|y\| \big |\leq \|x-y\|$。

三、正定矩阵与三角不等式的关系正定矩阵与三角不等式之间存在一定的联系。

具体来说,我们可以通过正定矩阵的定义来证明三角不等式。

假设$x,y$是两个$n$维向量,那么我们有:$$ 0< x^T A x,\ \ 0< y^T A y $$由于正定矩阵具有对称性,所以有:$$ (x+y)^T A (x+y) = x^T A x + y^T A y + 2 x^T A y $$由于$x^T A y = (x^T A y)^T = y^T A x$,所以有:$$ 2 x^T A y = x^T A y + y^T A x = (x+y)^T A (x+y) - x^T A x - y^T A y $$将上面的两个式子代入原式,可以得到:$$ (x+y)^T A (x+y) = x^T A x + y^T A y +(x+y)^T A (x+y) - x^T A x - y^T A y $$通过整理可以得到:$$ (x+y)^T A (x+y) \leq \|x+y\|^2 $$由于$A$是正定矩阵,所以对于任意非零向量$x+y\in \mathbb{R}^n$,有:$$ (x+y)^T A (x+y) > 0 $$因此,上面的不等式可以进一步推得:$$ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\| $$由此,我们可以发现,正定矩阵与三角不等式之间存在着非常密切的联系。

正定矩阵的性质及判定方法

正定矩阵的性质及判定方法

和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数f(x)=lnx-axꎬ求函数f(x)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬfᶄ(x)=1/x-aꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于0的解ꎬ以及小于0的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的a的值ꎬ想当然的认为a的值大于0.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当a小于0时ꎬ当a等于0时ꎬ当a大于0时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学 圆与方程 时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[1]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[J].学周刊ꎬ2019(25):40.[2]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[J].中学生数理化(学习研究)ꎬ2019(Z1):42.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀674100)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:G632㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2020)24-0018-02收稿日期:2020-05-25作者简介:何守元(1964.11-)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型f(x1ꎬx2ꎬ ꎬxn)=XTAX正定ꎬ则称矩阵A为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵A必须满足两个条件:首先ꎬA必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以A为矩阵的实二次型f(x1ꎬx2ꎬ ꎬxn)=XTAX必须是正定二次型ꎬ即A与同价单位方阵E合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定A为正定矩阵的依据:性质1㊀实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A与同价单位方阵E合同.㊀㊀(因为A为正定矩阵的充要条件是实二次型f(x1ꎬx2ꎬ ꎬxn)=XTAX是正定二次型.)性质2㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:A=012101210æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且|A|=2>0ꎬA可逆81Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但A经过合同变换化为dig(1ꎬ-1ꎬ-1)ꎬ其负惯性指数为2ꎬ故A不是正定矩阵.性质3㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为A=PTEPꎬA-1=[(P-1)T]TE(P-1)TꎬA-1也与单位方阵E合同ꎬ必然正定.)性质4㊀实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质5㊀实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(1)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(2)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(3)与同阶单位方阵合同ꎻ(4)特征根全为正实数ꎻ(5)与同阶对角形方阵dig(t1ꎬt2ꎬ ꎬtn)相似且合同(其中ti为它的特征根).(6)行列式等于t1t2 tn(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法1㊀若A为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则A为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则A非正定.例1㊀A=1-12-112224æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式D2=1-1-11æèçöø÷=0ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例2㊀当t为何值时ꎬA=t1-11t-1-1-1tæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式D1=t>0ꎬD2=t11tæèçöø÷=t2-1>0ꎬD3=|A|=(t+2)(t-1)2>0ꎬ由此可得:t>1时A为正定矩阵.判法2㊀若A为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程f(t)=|tI-A|=0ꎬ计算出A的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则A为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则A非正定.例3㊀A=1-22-2-2424-2æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬf(t)=|tI-A|=(t-2)2(t+7)=0ꎬ得特征根为2㊁2㊁-7ꎬ有一个根不是正数ꎬ故A不是正定矩阵.判法3㊀若A为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵E(或:主对角元全为正数)ꎬ则A为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例1中ꎬ对A施行合同变换:1-12-112224æèççöø÷÷ң100004046æèççöø÷÷ң100064040æèççöø÷÷ңA=10006000-166æèçççöø÷÷÷ңA=10001000-1æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故A不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法4㊀若A为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算A的行列式|A|ꎬ若|A|ɤ0ꎬ则A不正定.这是根据性质2的等价命题来判定的.如:上述例1中ꎬ|A|=-16<0ꎬ说明A不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看n阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于n?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例4㊀若A是正定矩阵ꎬE是与A同价的单位方阵ꎬ则k为足够大的实数时ꎬ可以判定kE+A也是正定矩阵.事实上ꎬ若A的特征根为ti>0ꎬ则kE+A的特征根为ti+kꎬ从而当k足够大时ꎬ就可保证kE+A的特征根全为正数ꎬ使kE+A为正定矩阵.例5㊀若A=(aij)是正定矩阵ꎬbi(i=1ꎬ2ꎬ ꎬn)是任意n个非零实数ꎬ则B=(aijbibj)也是正定矩阵.事实上ꎬ若A正定ꎬ则其顺序主子式|Ak|>0ꎬ而B的顺序主子式|Bk|=b21 b2k|Ak|>0ꎬ从而B也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[1]何守元.高等代数[M].北京:现代教育出版社ꎬ2015:15.[2]刘振宇.高等代数的思想和方法[M].济南:山东大学出版社ꎬ2009.[3]扬子胥.高等代数精选题解[M].北京:高等教育出版社ꎬ2008.[责任编辑:李㊀璟]91Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

正定矩阵的判定及其应用

正定矩阵的判定及其应用

正定矩阵的判定及其应用专业:数学与应用数学班级:姓名:目录引言1 正定矩阵1.1 正定矩阵的若干判定条件1.2关于实对称正定矩阵的一些重要结论2正定矩阵的应用2.1利用标准型来证明2.2利用特征值都大于零来证2.3利用存在n阶满秩矩阵b,使A=B T B来证4.2利用A与单位矩阵合同来证5.2正定矩阵在柯西不等式中的应用6.2证明不等式7.2判别多元函数极值3关于Hermite正定矩阵的推广虚析3.1复正定矩阵3.2正定矩阵的推广及其在线性互补问题中的应用结论致谢参考文献摘要目前对于非对称实正定矩阵和非Hermite的复正定矩阵,都已经作了较为详细的研究,并且建立了一些特殊正定阵的著名行列式不等式,已为众多学科所应用,目前对它的研究比较系统.在这里我仅对现在课程中的正定矩阵的确判定及其应用进行研究.关于正定矩阵的判定及其应用的发展方向是向着更宽、更广、更系统化发展的.它的发展趋势不只是单一的某一个性质问题,而是各问题间的转化.研究矩阵的正定性,在数学理论或应用中,具有重要意义和应用价值,是矩阵论中重要的热门课题之一.矩阵的正定性思想是证明问题的一种重要思想.矩阵正定性的一些判定性质是解决线性代数中证明问题的一个重要重要途径之一.通过矩阵正定的思想来解决其他问题,例如:带状对称正定矩阵的Cholesky分解在实际工程计算中占有重要的地位,其串行算法已经成熟,但其并行算法由于对计算机体系结构的高度依赖性,仍受到广泛关注.本文给出了若干充要条件;正定矩阵是一类特殊的矩阵,固然有它与其它矩阵不同的性质,所以给出了一些重要结论;本文还介绍了正定矩阵在分析中的应用;讨论了正定矩阵与柯西不等式的关系,最后还对正定矩阵进行了简单的推广.关键词:正定矩阵;性质;判定;方法;应用;AbstractAt present, it is for non-symmetric positive definite matrix and non-Hermite positive definite matrix of the complex have been made more detailed studies and the establishment of a number of specific well-known determinant positive definite matrix inequality has been applied to many disciplines, the current study compared to its system. Here, I only now of course positive definite matrix and its application is indeed a study found. on the positive definite matrices and its application to determine the direction of development towards a wider, broader and more systematic development. its development trend not just a single character, but the conversion between the various issues.Qualitative research is the matrix, or in the application of mathematical theory, of great significance and applicationvalue is an important矩阵论one of the most popular topics.Matrix are qualitative idea is to prove an important ideological issues. Matrix are a number of qualitative determine nature of linear algebra to solve the problem proved to be an important one of the important ways. Zhengding thinking through the matrix to solve other problems, such as: band symmetric positive definite matrix in the Cholesky decomposition of the calculation of the actual works occupy an important position, the string line algorithm is ripe, but the parallel algorithm on the computer architecture as a result of a high degree of dependence, is still widespread concern.Keywords:Positive definite matrix; nature; found; method; application;引言代数学是数学中的一个重要的基础分支,而正定矩阵又是高等代数中的重中之重. 特别是正定矩阵部分的应用很广泛.正定矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类, 其应用引起人们极大的研究兴趣. 目前对正定矩阵的研究, 主要集中在理论研究与工程应用方面. 线性互补是线性规划和二次规划的推广, 线性互补作为一类新的数学模型, 它已成为数学规划的一个重要分枝, 在矩阵对策,经济均衡,障碍,供应链等问题中有着重要的应用. 对于一个给定的线性互补问题, 它是否有解, 是否存在唯一解, 往往不是容易弄清的. 关于线性互补问题解的存在性、唯一性已经成为优化界的一个热点问题.复方阵的正定性,在数学理论或应用中,具有重要意义和应用价值,是矩阵论中重要的热门课题之一对于非对称实正定矩阵,Johnson C R、屠伯埙、李炯生、郭忠等作了详细的研究,对于非Hermite的复正定矩阵,Hom R A, Johnson C R、梁景伟、李俊杰等对其作了较为详细的研究华罗庚、Hadamard等建立了一些特殊正定阵的著名行列式不等式,已为众多学科所应用.本文在此基础上进一步研究了复方阵的正定性,给出了复正定矩阵的一系列判别条件,获得了一些新的结果,改进并推广了Fejer定理、Hadamard不等式及郭忠的结果,削弱了华罗庚不等式的条件,并刻划了等式成立的方阵.本文从正定矩阵的概念出发,对正定矩阵判定性质进行了深刻的讨论,并从这些性质出发给出了一系列关于矩阵正定的判定条件,且利用这些判定条件证明了矩阵、不等式以及函数极值的相关问题。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用一、正定矩阵的判定方法一般而言,正定矩阵是一种特殊的方阵,它是满足下列条件的方阵:1)对于任一非零列向量$\mathbf x$,有$\mathbf x^T\mathbfAx>0$;2)对任一向量$\mathbf y$,有$\mathbf y^T\mathbf Ay\geqslant0$;3)对任一向量$\mathbf z$,$\mathbf z^T\mathbf Az\geqslant 0$,且$\mathbf z^T\mathbf Az=0$当且仅当$\mathbf z=\mathbf 0$。

(1)根据上述定义,可以判断一个矩阵是否为正定矩阵,即可以通过验证上述3个条件是否成立,来判断一个矩阵是否为正定矩阵。

(2)另一种方法是利用一般性的行列式代数秩定理,即一个正定方阵的行列式的秩为整数。

因此,可以根据行列式的秩来判断方阵是否为正定矩阵。

如果行列式的秩为整数,则该矩阵是正定矩阵;如果行列式的秩不为整数,则该矩阵不是正定矩阵。

(1)Cauchy-Schwarz不等式:若$\mathbf u,\mathbf v$是任意二个非零向量,则$\mathbf {u^Tv}\leqslant \sqrt{\mathbf{u^Tu}}\cdot\sqrt{\mathbf {v^Tv}} $。

证明:我们可以构造一个正定矩阵A,其中$A=\begin{bmatrix}\mathbf {u^Tu}&\mathbf {u^Tv}\\ \mathbf {v^Tu}& \mathbf{v^Tv}\end{bmatrix}$根据正定矩阵的定义,可以得到$\mathbf {u^Tv}\leqslant \sqrt{\mathbf {u^Tu}}\cdot\sqrt{\mathbf {v^Tv}} $。

(2)矩阵与向量乘积的定理:设A是$n$阶方阵,$\mathbf u,\mathbf v$是任意$n$个向量,则。

正定矩阵地性质和判定方法及应用

正定矩阵地性质和判定方法及应用

正定矩阵地性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中一个重要的概念,它在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。

在本文中,我将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及一些应用。

一、正定矩阵的性质:1.定义:设A是n×n矩阵,如果对于任意非零向量x,都有x^TAx>0,则A是正定矩阵。

2.特征值:正定矩阵的特征值都大于0。

3.对称性:正定矩阵一定是对称矩阵。

4.非奇异性:正定矩阵一定是非奇异矩阵,即其行列式不为0。

5.可逆性:正定矩阵一定是可逆矩阵,即存在逆矩阵A^(-1),使得AA^(-1)=I。

6.二次型:正定矩阵可以表示为二次型的矩阵形式。

二、正定矩阵的判定方法:1.主子式判定法:设A是n×n矩阵,如果A的所有n阶主子式都大于0,则A是正定矩阵。

2.特征值判定法:设A是对称矩阵,如果A的所有特征值都大于0,则A是正定矩阵。

3.正定矩阵的条件:设A是对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是存在n阶非奇异矩阵B,使得A=B^TB。

三、正定矩阵的应用:1.优化问题:正定矩阵在优化问题中应用广泛。

例如,在最小二乘问题中,正定矩阵可用于求解线性方程组的最优解。

正定矩阵还可以用于确定函数的极小值点。

2.信号处理:正定矩阵在信号处理中有重要应用。

例如,在信号滤波中,通过构造正定矩阵,可以设计出有效的滤波器,对信号进行去噪或增强。

3.机器学习:正定矩阵在机器学习中也起到关键作用。

例如,在支持向量机中,可以使用正定矩阵的核函数来进行非线性分类。

正定矩阵还可以用于降维算法中的线性判别分析,提高分类的准确性。

4.最小二乘问题:正定矩阵可以用于解决最小二乘问题,即寻找一组关系最紧密的数据的最优拟合线。

通过构造正定矩阵,可以求得最小二乘问题的闭合解,提高计算效率。

综上所述,正定矩阵是线性代数中一个重要的概念,具有许多重要的性质和判定方法。

正定矩阵在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。

正定矩阵的性质和判定方法及应用

正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念,也是一个主要研究对象,同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具.而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念.正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用.且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域.本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件.在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质,主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性.本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理.本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法:定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法.且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定.最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用.关键词:二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics,but also a main research object,at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。

At the same time,the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。

The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。

正定矩阵的判定、性质及其应用.

正定矩阵的判定、性质及其应用.

学校代码:10722 学号:1006024112分类号:O151.21 密级:公开题目:正定矩阵的判定、性质及其应用Discussion on Determinant,Positive and Application ofPositive Definite Matrix作者姓名:专业名称:学科门类:指导老师:提交论文日期: 2014年5月成绩评定:I咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文(设计)摘要在高等代数的学习中,我们详细学习了二次型的相关知识,并且从中引出了正定矩阵的概念。

事实上,正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵,它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。

本文首先介绍了实对称矩阵的定义,然后给出了判定正定矩阵的7条定理,接着总结归纳了正定矩阵的相关性质,最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。

关键词:实对称;正定矩阵;判定;性质正定矩阵的判定、性质及其应用AbstractWe have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文(设计)目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1 正定矩阵的定义 (1)1.1 正定二次型的定义 (1)1.2正定矩阵的定义 (1)2正定矩阵的判定 (2)3 正定矩阵的性质 (6)4 正定矩阵的应用 (6)4.1正定矩阵在证明不等式中的应用 (6)4.2 正定矩阵在数学分析中的应用 (7)4.3正定矩阵的其他应用 (8)小结 (9)参考文献 (10)谢辞 (11)正定矩阵的判定、性质及其应用引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵,它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象,而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具,如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。

正定矩阵的判别方法

正定矩阵的判别方法

正定矩阵的判别方法正定矩阵是数学上的重要概念,在线性代数、图论等领域有着广泛的应用。

它能够很好地描述一个实现特定功能的系统的构造。

在本文中,我们将介绍正定矩阵的定义,并且介绍正定矩阵的判定方法。

最后,我们将对正定矩阵判定法的几种应用进行简要介绍。

1、什么是正定矩阵正定矩阵,也称半正定矩阵,是由实数构成的n×n矩阵A,它满足:任意非零向量x,xTAx大于等于0。

正定矩阵是一种特殊的对称矩阵,它的特点是它的所有特征值都大于等于0,而且它的对角线元素大于对角线外元素的绝对值。

正定矩阵具有很好的性质,如求逆、求特征值等,因此在线性代数领域有着广泛的应用。

2、正定矩阵的判定方法由以上可以知道,正定矩阵是一种特殊的对称矩阵,其判别方法如下:(1)提取对角线元素a11,a22,a33…an;(2)求出对称矩阵的特征值λ1,λ2,λ3…;(3)满足条件:a11>|a12|,a22>|a23|,a33>|a34|……an>|an,n-1|,且λ1,λ2,λ3…都大于0,则矩阵A是正定矩阵。

3、正定矩阵的几种应用正定矩阵具有很多性质,因此在数学上有着广泛的应用。

(1)代数分析:正定矩阵可以用于表示线性空间的立方体;(2)解析几何:正定矩阵可以用来解决三角形的相似性、平面的变换和曲线的变换;(3)图论和组合优化:正定矩阵可以用来解决最小团问题和最大团问题;(4)统计学:正定矩阵可用来处理回归分析和协方差分析;(5)机器学习:正定矩阵可以用于支持向量机(SVM)算法。

总之,正定矩阵在数学上有着广泛的应用,它在线性代数、图论、机器学习等多个领域有着重要的作用。

完【结论】本文介绍了正定矩阵的定义、判定方法及其在不同领域的应用,深入地阐述了正定矩阵的重要性和作用,以期使读者更加深入地理解正定矩阵的概念。

正定矩阵的性质和判定方法及应用

正定矩阵的性质和判定方法及应用

正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵在数学和应用中有着重要的地位和作用。

本文将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及它们在实际应用中的应用。

一、正定矩阵的性质:1.所有的特征值都大于0:对于一个n阶矩阵A,如果其特征值全部大于0,则A是正定矩阵。

2.所有的主子式大于0:对于一个n阶矩阵A,如果它的所有k阶主子式都大于0,则A是正定矩阵。

其中,k为1到n的整数。

3.正定矩阵是满秩矩阵:正定矩阵的秩等于其阶数。

4.正定矩阵的转置也是正定矩阵:如果矩阵A是正定的,则其转置矩阵A^T也是正定的。

5.正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵:如果矩阵A是正定的,则其逆矩阵A^(-1)也是正定的。

二、正定矩阵的判定方法:1.使用特征值判定法:对于一个n阶矩阵A,计算其特征值λ1,λ2,...,λn,如果所有的特征值都大于0,则A是正定矩阵。

2.使用主子式判定法:对于一个n阶矩阵A,计算它的所有k阶主子式,如果所有的主子式都大于0,则A是正定矩阵。

3.使用矩阵的正定性矩阵判定法:一个n阶矩阵A是正定矩阵,当且仅当存在一个n阶可逆矩阵B,使得B^T*A*B是一个对角矩阵,且对角元素都大于0。

三、正定矩阵在应用中的应用:1.优化问题:正定矩阵在最优化问题中起着重要的作用。

例如,梯度下降法求解最小二乘问题中,需要对函数的海森矩阵进行判断是否为正定矩阵。

2.协方差矩阵:在统计学中,协方差矩阵是刻画多维随机变量之间关系的重要工具。

协方差矩阵是对称、半正定的。

3.特征向量的选择:在图像处理和模式识别等领域中,需要对数据进行降维处理,正定矩阵可以用于选择特征向量,帮助提取出最具有代表性的特征。

4.线性代数中的理论证明:正定矩阵在线性代数中有广泛的应用,用于证明各种定理,如线性变换的范数、二次表单的分类等。

总结起来,正定矩阵是一类非常重要的矩阵,在数学和应用中有着广泛的应用。

它具有许多有用的性质和判定方法,可以应用于优化问题、协方差矩阵、特征选择和线性代数等领域。

判断矩阵正定的方法

判断矩阵正定的方法

判断矩阵正定的方法矩阵正定性是线性代数中的一个重要概念,对于矩阵而言,正定性可以用于解决最优化问题、求解线性方程组等。

了解如何判断一个矩阵是否正定是非常重要的。

本文将介绍几种常用的判断矩阵正定性的方法。

方法一:特征值判定法矩阵正定的一个重要性质是其所有特征值都大于0。

因此,我们可以通过计算矩阵的特征值来判断其正定性。

具体步骤如下:1. 计算矩阵的特征值。

2. 判断特征值是否都大于0,如果是,则矩阵正定;如果存在特征值小于或等于0,则矩阵非正定。

方法二:主子式判定法主子式是指矩阵的顺序主子式、反序主子式等。

如果一个矩阵的所有主子式都大于0,则该矩阵是正定的。

反之,如果存在主子式小于或等于0,则矩阵非正定。

具体步骤如下:1. 提取矩阵的顺序主子式,即取连续的若干行和列,构成一个子矩阵,并计算其行列式的值。

2. 判断主子式是否都大于0,如果是,则矩阵正定;如果存在主子式小于或等于0,则矩阵非正定。

方法三:Sylvester判据法Sylvester判据是判断一个矩阵正定性的充要条件。

该判据是基于矩阵的主子式的符号来进行判断的。

具体步骤如下:1. 计算矩阵的所有主子式。

2. 根据Sylvester判据,如果所有的主子式都大于0,则矩阵正定;如果存在奇数个主子式小于0,则矩阵非正定。

方法四:Cholesky分解法Cholesky分解是一种将正定矩阵分解为下三角矩阵的方法。

具体步骤如下:1. 对正定矩阵进行Cholesky分解,得到下三角矩阵L。

2. 判断分解是否成功,如果成功,则矩阵正定;如果分解失败,则矩阵非正定。

方法五:Gram矩阵判定法Gram矩阵是由向量组的内积所构成的矩阵。

根据Gram矩阵的性质,如果一个矩阵的Gram矩阵正定,则该矩阵也是正定的。

具体步骤如下:1. 计算向量组的内积,得到Gram矩阵。

2. 判断Gram矩阵是否正定,如果是,则矩阵正定;如果不是,则矩阵非正定。

通过以上几种方法,我们可以判断一个矩阵是否正定。

正定矩阵判定方法(一)

正定矩阵判定方法(一)

正定矩阵判定方法(一)正定矩阵判定什么是正定矩阵?正定矩阵是指满足对于任意一个非零向量x,都有x^T A x > 0的矩阵,其中x^T表示向量x的转置。

如何判断一个矩阵是否是正定矩阵?判定一个矩阵是否是正定矩阵的方法有以下几种:1. 特征值法正定矩阵的特征值均为正数,因此可以通过计算矩阵的特征值来判断矩阵是否是正定矩阵。

若矩阵A的特征值均为正数,则矩阵A为正定矩阵。

2. 对角线元素法若一个矩阵所有的对角线元素都大于0,而且所有主子式都大于0,则该矩阵是正定矩阵。

主子式是指从矩阵中取出一些行和列,组成的新矩阵的行列式。

3. 矩阵分解法矩阵可以进行Cholesky分解,即将矩阵分解成一个下三角矩阵L和它的转置LT的乘积,即A=LLT。

如果分解成功了,且L的对角线元素都大于0,则矩阵是正定矩阵。

4. 向量内积法考虑向量x和矩阵A的乘积,即x^T A x。

若x^T A x > 0,则矩阵A是正定矩阵。

该方法需要计算x^T A x,计算较为繁琐。

5. Sylvester 判别法Sylvester 判别法是一种递推算法,用于判定是否是正定矩阵。

具体如下:1.定义符号函数sign(x),当x>0时,sign(x)=1,x<0时,sign(x)=-1,x=0时,sign(x)=0。

2.对于n阶矩阵A,令A1=A[1,1],A2=⎡⎡⎡⎡A[1,1] A[1,2] A[1,n] A[2,1] A[2,2] A[2,n] A[n,1]A[n,2] A[n,n] ⎡⎡⎡⎡3.递推计算S1,A14.对于k=2,3,…,n,S[k] = |A[k,k]|S[k-1] - S[k-1,k-1]A[k,k],A[k,k]不为0。

5.当S[n]>0时,矩阵A是正定矩阵。

总结以上是判定一个矩阵是否是正定矩阵的五种方法,其中特征值法和对角线元素法较为简单,Cholesky 分解法和 Sylvester 判别法计算量较大,向量内积法需要逐个计算向量,较为繁琐。

正定矩阵的判定和应用

正定矩阵的判定和应用

正定矩阵的判定和应用太原师范学院张彤【内容摘要】正定矩阵是线性代数中的一种重要理论,自有其独特的地位,同时,正定矩阵在高等数学等领域乃至实际生活中都具有十分重要的应用,因此,针对正定矩阵的研究也是许多学者共同关注的问题。

其中,针对正定矩阵的性质、特征,以及其判定方法,历来收到了诸多讨论,本文在前人的基础上,对正定矩阵的性质等进行了一定的总结和讨论,同时,从不同角度介绍正定矩阵的一些初步应用。

正定矩阵,也可简称为正定阵,其在线性代数中占据十分重要的地位,同时,无论是在矩阵理论的讨论方面,还是在数学的其它分支方面,甚至在实际的应用层面,正定矩阵都具有特殊的作用以及独特的重要性。

【关键词】正定矩阵判定特征值正定二次型引言二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题,正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位,在计算数学,数学物理以及优化控制理论中都得到了广泛的应用。

本文分别在第二部分总结了正定矩阵的判定方法,第三部分从不同角度介绍了正定矩阵一些应用。

一、定义n阶实对称矩阵称A为正定矩阵,如果对于任意n的维实非零列向量X,都有X T AX>0。

正定的实对称矩阵A简称为正定矩阵,记作A>0。

二、判定1.定义判定定义1对于实对称矩阵A=(a y),(其中a y∈R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X T AX>0,则称A是正定矩阵.定义2对于复对称矩阵A=(a y),(其中a y∈C,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X*AX>0,则称A是正定矩阵.2.定理判定定理1n阶实对称矩阵A正定,当且仅当实二次f(x1,x2,…x n)=X T AX的正惯性指数为n.定理2实对角d1d2d n⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⎫⎭⏐⏐⏐⏐⏐⎬⏐⏐⏐⏐⏐···矩阵正定的充分必要条件是d1>0,(i=1,2,…,n).定理3实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n.定理4实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…x n,)=X T AX的系数矩阵A的所有特征值都是正数,即大于零.定理5实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得A=C T C.定理6实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零.定理7A是正定矩阵的充要条件是:存在非退化的上(下)三角矩阵Q,使A=Q T Q.定理8A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组a1,a2,……a n使A=a1a1T+a2a2T+…a n a n T.推论1正定矩阵的和仍是正定矩阵.推论2实正定矩阵的行列式大于零.推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4正定矩阵A的逆矩阵A-1一定是正定矩阵.推论5正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.推论6设A,B均为n阶正定矩阵,且AB=BA,则AB正定.推论7若A是正定矩阵,则A*也是正定的(其中A*表示A 的伴随矩阵).推论8若A,B都是n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,则存在-n阶实可逆矩阵P使P T AP与P T BP同时为对角形.推论9若A是实对称的正定矩阵,则存在a>0,b>0,c>0,使aE+A,E+bA.cE-A均是正定矩阵.推论10已知A是n阶正定矩阵,则A k(k是正整数)也是正定矩阵.推论11若A是n阶实对称正定矩阵,则必有a11>0,a22>0,…,a nn>0.小结:正定矩阵的判定在矩阵理论中占有重要的地位,因此,对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面,或是实际应用方面都有重要的意义。

判断矩阵正定方法

判断矩阵正定方法

判断矩阵正定方法在线性代数中,一个矩阵被称为正定矩阵(positive definite matrix),如果对于任意非零向量x,都有x^T A x > 0,其中A是一个n×n的实对称矩阵,x^T表示x的转置。

正定矩阵是很重要的数学概念,在数学分析、优化和统计学等领域中都有广泛应用。

判定一个矩阵是否为正定矩阵有多种方法,下面将介绍几种常见的方法。

1.特征值方法:一个实对称矩阵A为正定矩阵,当且仅当A的所有特征值都大于0。

对于一个实对称矩阵A,可以通过求解其特征值来判断其是否为正定矩阵。

如果A的所有特征值均大于0,则A为正定矩阵;如果A的所有特征值都大于等于0,但存在至少一个特征值为0,则A被称为半正定矩阵。

如果存在至少一个特征值小于0,则A不是正定矩阵。

2.主子式方法:对于一个实对称矩阵A,如果对于任意正整数k(1≤k≤n),A的所有k阶主子式(取A的前k行和前k列所得到的矩阵的行列式)都大于0,则A为正定矩阵。

3.正定性与正定次序数:对于一个实对称矩阵A,如果存在置换矩阵P,使得P^TAP=D为对角矩阵,且对角元素都大于0,则A为正定矩阵。

这里的D被称为A的正定次序数。

4.其他方法:除了上述方法外,还有一些其他方法也可以用于判断矩阵的正定性,比如Cholesky分解、Sylvester判别准则和线性规划等。

Cholesky分解利用正定矩阵的特点,将其分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积,如果分解成功,则矩阵为正定矩阵。

Sylvester判别准则利用特征值的性质和矩阵的顺序主子式来判断正定性。

线性规划则是将矩阵和向量组成线性规划问题,通过求解问题的最优解来判断矩阵的正定性。

总结起来,判断矩阵是否为正定矩阵可以通过特征值、主子式、置换矩阵以及其他方法来进行。

不同的方法适用于不同的情况,其中特征值方法是最常用且最简便的方法。

在实际应用中,判断矩阵的正定性是非常重要的,因为正定矩阵具有许多重要的数学性质和应用,比如在优化算法中的拟牛顿法和共轭梯度法中的Hessian矩阵的正定性检验,以及在统计学中的协方差矩阵的正定性检验等。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的。

特征值是指矩阵A经过线性变换后,向量x所在的直线方向仍然不变的那些实数λ,即满足方程Ax=λx的λ值。

具体来说,对于一个n阶方阵A,如果所有特征值均大于零,那么A就是正定矩阵。

正定矩阵在三个不等式证明中有广泛的应用。

这三个不等式分别是半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式。

1.半正定矩阵不等式:给定一个n阶半正定矩阵P,对于任意非零向量x,都有x^TPx≥0,其中x^T表示x的转置。

如果要证明一个矩阵是半正定的,只需要证明它所有的特征值均大于等于零即可。

应用:在工程和经济领域中,半正定矩阵不等式常用于设计稳定的控制系统和优化问题的约束条件。

例如,在线性规划问题中,通过引入半正定矩阵不等式将约束条件加到目标函数中,可以得到更加准确和可行的优化结果。

2.正定矩阵不等式:给定一个n阶正定矩阵P,对于任意非零向量x,都有x^TPx>0。

证明一个矩阵是正定的,需要确保它所有的特征值均大于零。

应用:正定矩阵不等式在数学分析和最优化理论中有广泛的应用。

例如,在函数的变分法中,通过使用正定矩阵不等式可以得到最小化函数的解。

另外,正定矩阵也常用于计算机科学、图像处理和机器学习等领域中的算法设计中。

3.负定矩阵不等式:给定一个n阶负定矩阵P,对于任意非零向量x,都有x^TPx<0。

证明一个矩阵是负定的,需要确保它所有的特征值均小于零。

应用:负定矩阵不等式在控制论、信号处理和优化问题中有重要的应用。

例如,在模拟电路设计中,通过使用负定矩阵不等式可以保证电路的稳定性。

此外,负定矩阵也常用于设计纠错码和密码算法等领域。

总之,正定矩阵的判定方法是通过特征值判断的,特征值大于零时为正定矩阵。

正定矩阵的应用在半正定矩阵不等式、正定矩阵不等式和负定矩阵不等式中。

它在控制系统、优化问题、信号处理和机器学习等领域中有广泛应用,具有重要的理论和实际意义。

正定矩阵的性质和判定方法及应用

正定矩阵的性质和判定方法及应用

正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中的一个重要概念,具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍正定矩阵的定义、性质和判定方法,并且讨论一些应用领域。

1.正定矩阵的定义在矩阵理论中,一个n×n实对称矩阵A被称为正定矩阵,如果对于任何非零向量x∈R^n,都有x^TAx>0,即x的转置乘以A再乘以x的结果大于零。

2.正定矩阵的性质(1)正定矩阵的所有特征值都大于零。

这是因为对于任意非零向量x,都有x^TAx>0。

设v是A的特征向量,对应的特征值是λ,则有Av=λv,可以计算x^TAx=x^T(λv)=λx^Tv。

由于x和v都是非零向量,所以λ必须大于零。

(2)正定矩阵的特征值分解不存在负值。

根据性质(1),正定矩阵的特征值都大于零,因此没有负值。

(3)正定矩阵的行列式大于零。

由特征值的性质可以得到,一个正定矩阵的行列式是它的特征值的乘积,因此行列式大于零。

(4)正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

设A是正定矩阵,对于任意非零向量x,都有x^TAx>0。

我们可以将这个不等式两边同时乘以x^TA^-1,得到x^Tx=x^TAA^-1x,即A^-1是正定矩阵。

3.正定矩阵的判定方法(1)主元顺序准则:一个n×n矩阵A是正定矩阵,当且仅当A的所有n阶主子式均大于零。

主子式是从A的每一行和每一列中选择相同编号的元素,并且这些元素所构成的矩阵的行列式。

(2)Sylvester准则:一个n×n 实对称矩阵 A 是正定矩阵,当且仅当 A 的所有顺序主子式大于零。

顺序主子式是从 A 的前 k 行和前 k列中选择相同编号的元素,并且这些元素所构成的矩阵的行列式。

(3)特征值判定法:一个n×n实对称矩阵A是正定矩阵,当且仅当A的所有特征值都大于零。

4.正定矩阵的应用正定矩阵在数学和工程领域都有广泛的应用,如下所示:(1)最优化问题:正定矩阵是最有用的约束条件,用于定义凸优化问题的约束集合。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者:袁亮(西安财经大学)摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发,给出了正定矩阵的若干判定定理及推论,并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵,判定,不等式,应用Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application目录1 引言 (4)2 正定矩阵的判定方法 (4)2.1 定义判定 (5)2.2 定理判定 (6)2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11)3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15)3.1 证明柯西不等式 (15)3.2 证明Holder不等式 (16)3.3 证明Minkowski不等式 (18)结束语 (21)参考文献 (22)1 引言代数学是数学中的一个重要的分支,而正定矩阵又是高等代数中的重要部分.特别是正定矩阵部分的应用很广泛, n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中,占有十分重要的地位.它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用,而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法,并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵,若对任意nx∈,且0Rx,≠都有0Mxx T成立[]2.本文从正定矩阵的定义,给出正定矩阵的判定定理,并给>出正定矩阵的重要推论,这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用,并在矩阵对策,经济均衡,障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用,其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式,其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明,其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式,这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面,它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法2.1 定义判定设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…,n),A的共轭转置记为*A=()ji a定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,(其中ij a∈R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有TX A X>0,则称A是正定矩阵.定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有*X A X>0,则称A是正定矩阵.例1设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,TB为B的转置矩阵,试证ABB T为正定矩阵的充要条件是B的秩r(B)=n.证 [必要性] 设ABB T为正定矩阵,则对任意的实n维列向量0x,≠有()0>x AB B x T T , 即()()0>Bx A Bx T .于是0≠Bx ,因此,0=Bx 只有零解,从而()n B r =.[充分性] 因()AB B B A B AB B T T T T T ==,即AB B T 为实对称矩阵.若秩()n B r =,则线性方程组0=Bx 只有零解,从而对任意实n 维向量0≠x 有0≠Bx .又A 为正定矩阵,所以对于0≠Bx ,有()0>ABx Bx T ,于是当0≠x 时,()0>x AB B x T T . 故AB B T 为正定矩阵.例2[]3 设 A 是 n 阶正定矩阵,B 是 n ×m 实矩阵,B 的秩为 m ,证明 :B 'AB 是正定矩阵.证 因为(B 'AB )'=B 'A 'B=B 'AB,故 B 'AB 是实对称矩阵,其次,由于秩 B=m ,m ≤n.故 BX=0 只有零解 ,因此,若任取非零实列向量 X 必有 BX ≠0,因 A 是正定矩阵,故对任取的非零实列向量 X ,必有X '(B 'AB )X=(BX)'A(BX)>0.因此 B 'AB 是正定矩阵.注意 以上两个例子,是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是,若 A 不是方阵,也不对称时,A 'A ,AA '是正定矩阵,若 A 是方阵,但不对称,则 A+A '是正定矩阵,同时,在证明的过程中,我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定定理1[]1 n 阶实对称矩阵A 正定,当且仅当实二次f (1x ,2x ,…,n x )=T X A X 的正惯性指数为n .证 设实二次型f(1x ,2x ,…,n x )经过非退化线性变换得1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x . (2.1) 由于非退化实线性变换保持正定性不变,那么A 正定当且仅当(2.1)是正定的,由定义3知(3.1)正定当且仅当i a >0(n i ,,2,1 =),因此,正惯性指数为n. .定理2[]1 实对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n d d d 21正定的充分必要条件是i d >0,(n i ,,2,1 =). 证 由定理3.1得,实对称矩阵正定当且仅当二次型f(1x ,2x ,…,n x )=1d 21x +2d 22x +…+n d 2n x . 的正惯性指数为n ,因此,i d >0(i =1,2,…,n,).例3 设A 为n 阶实对称矩阵,证明:秩(A )=n 的充分必要条件为存在一个n 阶实矩阵B ,使A B AB T +是正定矩阵.证 [充分性](反证法)反设()n A r <,则0=A .于是0=λ是A 的特征值,假设相应的特征向量为x , 即()00≠=x Ax ,所以0=T T A x .所以()0=+=+Ax B x ABx x x A B AB x T T T T T ,和A B AB T +是正定矩阵矛盾.[必要性] 因为()n A r =,所以A 的特征值n λλλ,,,21 全不为0.取B=A ,则22A AA AA A B AB T =+=+.它的特征值为222212,2,2n λλλ 全部为正,所以A B AB T +是正定矩阵.定义3 在实二次型()n x x x f ,,,21 的规范形中,正平方项的个数p 称为()n x x x f ,,,21 的正惯性指数,负平方项的个数p r -称为()n x x x f ,,21的负惯性指数,它们的差()r p p r p -=--2称为()n x x x f ,,,21 的符号差.定理3[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件矩阵A 的秩与符号差n .定理4[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件是二次型f(1x ,2x ,…n x )=T X A X 的系数矩阵A 的所有特征值都是正数,即大于零.证 由文献[1]知,实对称矩阵A 可对角化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21 其中1a ,,,2 a n a 恰好是A 的特征值,则二次型T X A X 的标准形为:1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x , 而非退化实线性变换保持正定性不变,由f (1x ,2x ,…,n x )=1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x . 正定得i a >0(n i ,,2,1 =).例4设A 为实对称矩阵,则当t 充分大时,A+tE 为正定矩阵.证 设A 的特征值为()为实数i n λλλλ,...,,21,取{}i ni t λ≤≤>1max ,则tE A +的特征值()n i t i ,...,2,1=+λ全部大于零,因此当{}i ni t λ≤≤>1max 时,tE A +是正定矩阵. 例5 设A 为n 阶实对称矩阵,且035323=-+-E A A A .证明:A 正定. 证 设λ是A 的任一特征值,对应特征向量为0≠x ,即x Ax λ=,代入已知等式035323=-+-E A A A ,有()()0353*******=-+-=-+-x x E A A A λλλ, 因为0≠x ,故λ满足.035323=-+-λλλ得i 211±==λλ或,因A 为实对称矩阵,其特征值一定为实数,故只有1=λ,即A 的全部特征值就是01>=λ,这就证明A 是正定矩阵.定理5[]1 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.证 实正定二次型的规范形为21x + +22x +2n x . (2.2.1)而(2.2.1)的系数矩阵为单位矩阵,非退化实线性变换保持正定性不变,而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的,故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.定理6[]2 实对称矩阵A 是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得A =T C C .证 设A 为一正定矩阵,当切仅当A 与单位矩阵合同,因此,存在可逆矩阵C ,使得 A =T C EC =T C C .定理7[]1 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是矩阵A 的顺序主子式全大于零.证 [必要性] 实对称矩阵A 正定,则二次型f (1x ,2x ,…,n x )=TX A X =∑∑==n i nj j i ij x x a 11是正定的, 对于每一个k ,1≤k ≤n ,令k f (1x ,2x ,…,k x )=∑∑==k i kj j i ij x x a 11,我们来证k f 是一个k 元正定二次型,对于一组不全为零的数1c ,2c ,…,k c ,有k f (1c ,2c ,…,k c )=k f (1c ,2c ,…,k c ,0,…,0)>0,因此,k f 是一个k 元正定二次型.由充要条件2得k f 的矩阵行列式 kk k ka a a a1111>0,(k =1,2,…,n ).[充分性] 对n 作数学归纳法当n =1时,f(1x )=11a 21x ,由条件11a >0,显然f(1x )是正定的.假定此论断对n -1元二次型成立,下证n 元的情形.令1A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1,12,11,11,222121,11211n n n n n n a a a a a a a a a , X =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n a a a ,121 , 则 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T a X X A 1. 由A 的顺序主子式全大于零可知1A 的顺序主子式全大于零,由假设1A 是正定矩阵,有n-1阶可逆矩阵 G ,使得T G 1A G =1-n E ,令1C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100G ,则T C 1A 1C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100T G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T a X X A 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100G =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1. 令2C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101X G E T n , 则T C 2T C 1A 1C 2C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101G X E T n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101X G E T n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--X GG X a E T T nn n 001. 令C =1C 2C ,a =nn a -T X G T G X ,则有T C AC =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11. 两边取行列式得 2C A =a ,由条件 A >0 知 a >0. 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 111. 因此,A 与单位矩阵合同. 由定理5得,A 是正定矩阵.定理8[]2 n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在对称正定阵B ,使A=B 2. 证 [必要性] 存在正交阵Q ,使A=Q<Q T =Q <<Q T =Q <Q T Q <Q T []6 =B 2,其中记 B=Q <Q T ,以及 ),...2,1,).(,...,,(21n i diag i n ==<λλλλ,为A 的特征值.[充分性] 对任给0,02>=≠X B X AX X X T T ,因为B 正定,所以A 正定.定理9[]3 A 是正定矩阵的充要条件是:存在非退化的上(下)三角矩阵 Q ,使 A=Q T Q.证 不妨以下三角矩阵为例来证明,上三角矩阵的情况同理可证.[必要性] 若 A=(a ij ) 是 n 阶正定矩阵,则A 的任意 k 阶主子式大于零.特别的有 a nn >O .将 A 的第 n 列乘适当的倍数,分别加到第 1,2……n—l 列上,再施同样的行变化,可使 A 变成为⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn a A 001,的形式.即存在非退化的下三角矩阵T 1,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn T a A AT T 00111, 再令.100),1,1,...,1,1(121122⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A T AT T T a diag T TT nn故因为A 正定 ,故A 1作为A 的n-1阶顺序主子式,也是正定的. 对A 1做同样处理,最终可得到n T T TT E R R T AT T T R R =21211212.............令 Q R T T T Q ∴=,......2121是非退化的下三角矩阵,且使A=O T Q[充分性] 是显然的.定理10[]2 A 是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 n a a a ,......,,21使A=Tn n T T a a a a a a +++...2211.2.3 正定矩阵的一些重要推论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外,还有很多重要推论,下面给出.推论1[]3 正定矩阵的和仍是正定矩阵.证 若A 与B 为同阶正定矩阵,则对于非零列向量C =(,1c ,,,2 c n c )≠0,必有T C A C >0,T C B C >0,从而TC(A+B)C=T C A C+T C B C >0.所以A+B也是正定的.推论2[]1实正定矩阵的行列式大于零.证对A=TC C两边取行列式有|A|=|T C| |C|=2||C>0,因此,|A|>0.推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4 正定矩阵A的逆矩阵1-A一定是正定矩阵.证由命题1.3得正定矩阵A的逆矩阵1-A一定是对称矩阵,又因为正定矩阵与单位矩阵合同,所以存在可逆矩阵P使得A=T P EP=T P P,取逆矩阵得1-A=()1-P E()TP1-,令Q=()TP1-,则1-Q E Q.A=T因此,1-A与单位矩阵合同,所以1-A是正定矩阵.推论5 正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.推论6[]4设A,B均为 n 阶正定矩阵,且AB=BA,则AB 正定.证因为AB=BA,故(AB)'=B'A'=BA=AB,所以AB为实对称矩阵,又因为A 正定,所以实可逆矩阵P,使P'AP=E.[方法一] P'ABP=P'APP1-BP=P1-BP,而 B 正定,故 B 的特征值都大于零,所以 P 'ABP 的特征值大于零,正定,AB 是正定的.[方法二][]5 P 'AB(P ')1-=P 'APP 1-B(P ')1-=P 1-B(P 1-)',因为B 正定,故 P 1-B(P 1-)'正定, P 1-B(P 1-)'的特征值大于零,AB 的特征值大于零,又因为AB 实对称,所以AB 是正定的.推论7 若A 是正定矩阵,则A * 也是正定的(其中A *表示A 的伴随矩阵). 证 因为A 正定 ,故 A 1-正定;A *=A A 1-(A >0),所以 A *也正定. 推论8[]2 若A ,B 都是n 阶实对称矩阵,且B 是正定矩阵,则存在一n 阶实可逆矩阵P 使P T AP 与P T BP 同时为对角形.证 因为B 是正定的,所以合同于E ,即存在可逆阵U 使U T BU=E ;且A 是n 阶实对称矩阵,则(U T AU)T =U T A T U.存在正交矩阵C 使C T (U T AU)C=diag( 1λ, 2λ,⋯,n λ),则E C C EC C C BU U C T T T T ===)(.取P=UC ,则P 为所求.推论9 若 A 是实对称的正定矩阵,则存在 a>0,b>O ,c>0,使 aE+A ,E+bA.cE —A 均是正定矩阵.证 若A 的特征值为i λ,1≤i ≤n ,则 aE+A 的特征值为 a+i λ ,1≤i ≤n ,所以存在 a 使 aE+A 的特征值大于零,其余同理可证.推论10 已知 A 是 n 阶正定矩阵,则A k (k 是正整数)也是正定矩阵. 证 A k 与 A 的特征值有熟知的关系,故从特征值角度人手考虑.根据A 正定,即知其特征值1λ,⋯, n λ 全正,由于 A k 的全部特征值就是 k n kλλ,...,1 也都为正.这就知A k 是正定矩阵.例6 若 A 是 n 阶正定矩阵,则 E A 2+>2n .证 [法一] A 与2E 都是n 阶实对称正定矩阵,因此存在一n 阶实可逆矩阵 P 使)2,...2,2()2(21+++=+n Tdiag P E A P λλλ.由推论9可知其中入i (i=l ,2,⋯,n)为 A 的特征值且大于零.所以 i λ+2(i=l ,2,⋯,n) 为 A+2E 的特征值,也是大于零的.所以E A 2+=( 1λ+2)( 2λ+2)⋯( n λ+2) ≥2n .[法二] 因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩阵,由推论10,有E A 2+≥ A +E 2>2n .推论11[]6 A 为n 阶正定矩阵,B 为2n 阶非零半正定矩阵,则B A +>A +B . 证 由题意可知,存在实可逆阵P ,使P 'AP=E ,且P 'BP=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d ..21,(d i ≥0) 所以)()(.....1)1)...(1)(1(1..11)(2'''2112121''2B A P P B A P BP P AP P d d d E d d d d d d d d d P B A P P B A P nn n n n+=+=+=+=+>+++=+++=+=+所以B A +>A +B .推论12 若 A 是 n 阶实对称正定矩阵,则必有 a 11>0,a 22>0,…,a nn >0. 证 根据定义,对一切 X ≠O 皆有 X T AX>0,故依次令X=e 1,…e n ,就有(e 1)T Ae 1>O,即 a 11>0(e n )T Ae n >0,即 a nn >0.3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 3.1 证明柯西不等式如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道如何用正定矩阵证明柯西不等式(1)柯西不等式在中学里,我们就熟悉了如下的一个不等式22221222212211.........nnn n yy y xx x y x y x y x +++++≤+++这就是著名的柯西不等式.如果我们将上述不等式用内积的形式来表示,则可将它 写成βαβα⋅≤),(.(2)那如何用正定矩阵证明柯西不等式呢?如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.并应用正定矩阵证明柯西不等式.设A=(a ij )是一个n 阶正定矩阵,则对任何向量α=(x 1,x 2,⋯,x n )与β=(Y 1,Y 2,⋯,y n ),定义∑==1,),(j i j i ijy x aβα.则可以证明由上式定义的一定是n 维向量间的内积.反之,对于n 维向量问的任意一种内积,一定存在一个n 阶正定矩阵A=(a ij ),使得对任何向量α和β,(βα,)可由(2)式来定义.因此,给定了一个n 阶正定矩阵,在n 维向量间就可由该矩阵定义一个内积,从而可得到相应的柯西不等式∑∑∑===≤nj i j i ijnj i ji ijnj i j i ijy y ax x ay x a1,1,1,.例7 证明不等式32213222213221232221231332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x ---+--++≤----++对所有实数x 1,x 2,x 3和y 1,y 2,y 3均成立.证 从不等式来看,可知它相当于βαβα⋅≤),( 其中(βα,)是由矩阵A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210121012.所定义的,但要证明),(βα是内积还需证明A 是个正定矩阵.经验证该矩阵为正定矩阵.从而可看出该不等式就是由A 所确定的内积所产生的柯西不等式,因此不等式成立.3.2 证明Holder 不等式设A 为n 阶正定矩阵,x ∈R n ,易知xA Axx x x x 1''2')(-≤[]7,本节将其推广为更一般的形式,并以此为工具给出Holder 不等式的一个新证明.定理[]7 设A 为n 阶正定阵,x n R ∈,r ,s 为任意正整数,则r s s r s r x A x x A x x x )()()('''-+≤.证 对任一0,≠∈x R x n ,令a=sr r x A rx x A sx +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1'1',则有a>0, 令()s s r r t a t a t f --+=,易见()t f 在()+∞,0上有最小值sr s sr r s r r s m ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=,由于A 正定,故存在正交阵P 使P P A Λ=',其中{}()n i diag i n ,...,10,,...,,21=>=Λλλλλ,为A 的特征值, 于是()()()(){}P f f f diag P A a A a A f n s s r r λλλ,...,,21'=+=--,由于()()n i m f i ...2,1=≥λ,故()()(){}n n mI f f f diag ≥λλλ,...,,21,从而()n s s r r mI A a A a A f ≥+=--,于是x mx x A x a x A x a s s r r '''≥+--,将a 的表达式代入上式左端并整理得()()sr r ss r s rssrrx A x xA x m x A x a x A x a +-+--=+'''',由此即得()()x x x A x x A x sr r ss r s r'''≥+-+,即()()()sr rssrx x x A x x A x +-≥'''.证毕下面我们 利用以上结果证明Holder 不等式. Holder 不等式 设1,1,0,0>>≥≥q p b a i i ,并且111=+qp ,则 qni q i pni p i ni i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===.证 由常规的极限过渡法,不妨设()n i b a i i ...2,10,0=>> 且p ,q 为有理数;由111=+qp 知必存在正整数r ,s ,使得 sr r q s r s p +=+=1,1. 令()nnn R b a b a b a x ∈='2211,...,, , ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=---r n s n r s r s b a b a b a diag A 1112121111,...,,经简单运算得∑==ni i i b a x x 1',∑∑==+==ni p i ni s s r ira ax A x 11',∑∑==+-==ni ni q i r s r isb bx A x 11',于是由r s s r s r x A x x A x x x )()()('''-+≤ 得rn i q i s n i p i sr n i i i b a b a ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑==+=111, 即qni q i pni p i n i i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===.3.3 证明Minkowski 不等式引理1[]8 设i A ,i B ()m j ,2,1 =都是n n ⨯阶正定实对称矩阵,p<1且0≠p ,则有pmj np j pmj np j pmj np j j B A B A 111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===. 引理2[]8 设i A ,i B (i=1,2,…,m )是n ×n 阶实对称正定矩阵,0<p<1,则对n r ≥,有prp m i i prp mi ipm i rp i i rn r B A B A 1111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===-. r>n 时,等式成立当且仅当i i B A =;当r=n 时,即为引理1,等式成立当且仅当()().,...,2,10m i k kB A i i =>=证 令10,111<<=+p qp ,则p=q (p —1).由Holder 不等式(下文中由推论进行了证明)及引理1,得到∑∑=-=+•+=+mi rp ii rii rp mi iiB A B A BA 1111≥∑=---≥+•⎪⎪⎭⎫⎝⎛+mi rp i i riri rn r B A B A 11112()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=-==-=--q mi rq p i i pmi rp i qmi rq p i i pm i rp i rn r B A B B A A 11111111112= pmi rp i i pmi r p im i p i rn r B A B A 1111112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===-, 两边同乘pmi rp i i rn r B A 112⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-, 便得到pmi rpi pmi rpi pmi rp i i rn r B A B A 1111112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===-. 若令()()()0,,,>==i i i i i i b a b B a A 为一阶矩阵时,在引理2中,取r=1,0<p<1, 得到qni q i pni p i pni p i i b a b a 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑∑===. 此为Minkowski 不等式.结束语本文重点介绍了正定矩阵的判定方法,归纳总结了判定正定矩阵的一系列定理及推论,并给出相应的证明和适当的例题. 与此同时利用正定矩阵的性质以及得出的一些重要推论给出了柯西不等式,Holder不等式,Minkowski不等式的证明方法.参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003:205-226.[2] 金义明,丁嘉华,王海敏.线性代数[M].北京:中国物资出版社,2002:198-224.[3] 张文丽.正定矩阵的简单应用.晋东南师专学报[L],2004,21(2):67-69.[4] 岳贵鑫.正定矩阵的一些应用探讨.辽宁省交通高等专科学校学报[L],2008,10(5):31-33,59-59.[5] 王海东.正定二次型的刻划定理及其程序.长春大学学报[L],2006,16(3):28-30.[6] 曹璞.正定矩阵的判定与性质[J].南都学坛,1994(3):1-3.[7] 冯天祥,刘学飞.Hermite正定矩阵迹的几个重要不等式[J].数学杂志,2009,29(3).[8] 王长文,张有正.正定矩阵和的行列式不等式.浙江工业大学学报[L],2006,34(3):352-354.。

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正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者:袁亮(西安财经大学)摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发,给出了正定矩阵的若干判定定理及推论,并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用.关键词: 正定矩阵,判定,不等式,应用Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality.Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application目录1 引言 (4)2 正定矩阵的判定方法 (4)2.1 定义判定 (5)2.2 定理判定 (6)2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11)3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15)3.1 证明柯西不等式 (15)3.2 证明Holder不等式 (16)3.3 证明Minkowski不等式 (18)结束语 (21)参考文献 (22)1 引言代数学是数学中的一个重要的分支,而正定矩阵又是高等代数中的重要部分.特别是正定矩阵部分的应用很广泛, n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中,占有十分重要的地位.它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用,而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法,并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用.正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵,若对任意nx∈,且0Rx,≠都有0Mxx T成立[]2.本文从正定矩阵的定义,给出正定矩阵的判定定理,并给>出正定矩阵的重要推论,这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用,并在矩阵对策,经济均衡,障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用,其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式,其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明,其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式,这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面,它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 正定矩阵的判定方法2.1 定义判定设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…,n),A的共轭转置记为*A=()ji a定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,(其中ij a∈R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有TX A X>0,则称A是正定矩阵.定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有*X A X>0,则称A是正定矩阵.例1设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,TB为B的转置矩阵,试证ABB T为正定矩阵的充要条件是B的秩r(B)=n.证 [必要性] 设ABB T为正定矩阵,则对任意的实n维列向量0x,≠有()0>x AB B x T T , 即()()0>Bx A Bx T .于是0≠Bx ,因此,0=Bx 只有零解,从而()n B r =.[充分性] 因()AB B B A B AB B T T T T T ==,即AB B T 为实对称矩阵.若秩()n B r =,则线性方程组0=Bx 只有零解,从而对任意实n 维向量0≠x 有0≠Bx .又A 为正定矩阵,所以对于0≠Bx ,有()0>ABx Bx T ,于是当0≠x 时,()0>x AB B x T T . 故AB B T 为正定矩阵.例2[]3 设 A 是 n 阶正定矩阵,B 是 n ×m 实矩阵,B 的秩为 m ,证明 :B 'AB 是正定矩阵.证 因为(B 'AB )'=B 'A 'B=B 'AB,故 B 'AB 是实对称矩阵,其次,由于秩 B=m ,m ≤n.故 BX=0 只有零解 ,因此,若任取非零实列向量 X 必有 BX ≠0,因 A 是正定矩阵,故对任取的非零实列向量 X ,必有X '(B 'AB )X=(BX)'A(BX)>0.因此 B 'AB 是正定矩阵.注意 以上两个例子,是运用正定矩阵的定义来证明的.还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法.具体是,若 A 不是方阵,也不对称时,A 'A ,AA '是正定矩阵,若 A 是方阵,但不对称,则 A+A '是正定矩阵,同时,在证明的过程中,我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用.2.2 定理判定定理1[]1 n 阶实对称矩阵A 正定,当且仅当实二次f (1x ,2x ,…,n x )=T X A X 的正惯性指数为n .证 设实二次型f(1x ,2x ,…,n x )经过非退化线性变换得1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x . (2.1) 由于非退化实线性变换保持正定性不变,那么A 正定当且仅当(2.1)是正定的,由定义3知(3.1)正定当且仅当i a >0(n i ,,2,1 =),因此,正惯性指数为n. .定理2[]1 实对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n d d d 21正定的充分必要条件是i d >0,(n i ,,2,1 =). 证 由定理3.1得,实对称矩阵正定当且仅当二次型f(1x ,2x ,…,n x )=1d 21x +2d 22x +…+n d 2n x . 的正惯性指数为n ,因此,i d >0(i =1,2,…,n,).例3 设A 为n 阶实对称矩阵,证明:秩(A )=n 的充分必要条件为存在一个n 阶实矩阵B ,使A B AB T +是正定矩阵.证 [充分性](反证法)反设()n A r <,则0=A .于是0=λ是A 的特征值,假设相应的特征向量为x , 即()00≠=x Ax ,所以0=T T A x .所以()0=+=+Ax B x ABx x x A B AB x T T T T T ,和A B AB T +是正定矩阵矛盾.[必要性] 因为()n A r =,所以A 的特征值n λλλ,,,21 全不为0.取B=A ,则22A AA AA A B AB T =+=+.它的特征值为222212,2,2n λλλ 全部为正,所以A B AB T +是正定矩阵.定义3 在实二次型()n x x x f ,,,21 的规范形中,正平方项的个数p 称为()n x x x f ,,,21 的正惯性指数,负平方项的个数p r -称为()n x x x f ,,21的负惯性指数,它们的差()r p p r p -=--2称为()n x x x f ,,,21 的符号差.定理3[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件矩阵A 的秩与符号差n . 定理4[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件是二次型f(1x ,2x ,…n x )=T X A X 的系数矩阵A 的所有特征值都是正数,即大于零.证 由文献[1]知,实对称矩阵A 可对角化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21 其中1a ,,,2 a n a 恰好是A 的特征值,则二次型T X A X 的标准形为:1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x , 而非退化实线性变换保持正定性不变,由f (1x ,2x ,…,n x )=1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x . 正定得i a >0(n i ,,2,1 =).例4设A 为实对称矩阵,则当t 充分大时,A+tE 为正定矩阵.证 设A 的特征值为()为实数i n λλλλ,...,,21,取{}i ni t λ≤≤>1max ,则tE A +的特征值()n i t i ,...,2,1=+λ全部大于零,因此当{}i ni t λ≤≤>1max 时,tE A +是正定矩阵. 例5 设A 为n 阶实对称矩阵,且035323=-+-E A A A .证明:A 正定. 证 设λ是A 的任一特征值,对应特征向量为0≠x ,即x Ax λ=,代入已知等式035323=-+-E A A A ,有()()0353*******=-+-=-+-x x E A A A λλλ, 因为0≠x ,故λ满足.035323=-+-λλλ得i 211±==λλ或,因A 为实对称矩阵,其特征值一定为实数,故只有1=λ,即A 的全部特征值就是01>=λ,这就证明A 是正定矩阵.定理5[]1 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.证 实正定二次型的规范形为21x + +22x +2n x . (2.2.1)而(2.2.1)的系数矩阵为单位矩阵,非退化实线性变换保持正定性不变,而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的,故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.定理6[]2 实对称矩阵A 是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得A =T C C .证 设A 为一正定矩阵,当切仅当A 与单位矩阵合同,因此,存在可逆矩阵C ,使得 A =T C EC =T C C .定理7[]1 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是矩阵A 的顺序主子式全大于零.证 [必要性] 实对称矩阵A 正定,则二次型f (1x ,2x ,…,n x )=TX A X =∑∑==n i nj j i ij x x a 11是正定的, 对于每一个k ,1≤k ≤n ,令k f (1x ,2x ,…,k x )=∑∑==k i kj j i ij x x a 11,我们来证k f 是一个k 元正定二次型,对于一组不全为零的数1c ,2c ,…,k c ,有k f (1c ,2c ,…,k c )=k f (1c ,2c ,…,k c ,0,…,0)>0,因此,k f 是一个k 元正定二次型.由充要条件2得k f 的矩阵行列式 kk k ka a a a1111>0,(k =1,2,…,n ).[充分性] 对n 作数学归纳法当n =1时,f(1x )=11a 21x ,由条件11a >0,显然f(1x )是正定的.假定此论断对n -1元二次型成立,下证n 元的情形.令1A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1,12,11,11,222121,11211n n n n n n a a a a a a a a a , X =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n a a a ,121 , 则 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T a X X A 1. 由A 的顺序主子式全大于零可知1A 的顺序主子式全大于零,由假设1A 是正定矩阵,有n-1阶可逆矩阵 G ,使得T G 1A G =1-n E ,令1C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100G ,则T C 1A 1C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100T G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn T a X X A 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100G =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1. 令2C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101X G E T n , 则T C 2T C 1A 1C 2C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101G X E T n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn T T n a G X X G E 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101X G E T n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--X GG X a E T T nn n 001. 令C =1C 2C ,a =nn a -T X G T G X ,则有T C AC =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11. 两边取行列式得 2C A =a ,由条件 A >0 知 a >0. 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 11=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 111. 因此,A 与单位矩阵合同. 由定理5得,A 是正定矩阵.定理8[]2 n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在对称正定阵B ,使A=B 2. 证 [必要性] 存在正交阵Q ,使A=Q<Q T =Q <<Q T =Q <Q T Q <Q T []6 =B 2,其中记 B=Q <Q T ,以及 ),...2,1,).(,...,,(21n i diag i n ==<λλλλ,为A 的特征值.[充分性] 对任给0,02>=≠X B X AX X X T T ,因为B 正定,所以A 正定.定理9[]3 A 是正定矩阵的充要条件是:存在非退化的上(下)三角矩阵 Q ,使 A=Q T Q.证 不妨以下三角矩阵为例来证明,上三角矩阵的情况同理可证.[必要性] 若 A=(a ij ) 是 n 阶正定矩阵,则A 的任意 k 阶主子式大于零.特别的有 a nn >O .将 A 的第 n 列乘适当的倍数,分别加到第 1,2……n—l 列上,再施同样的行变化,可使 A 变成为⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn a A 001,的形式.即存在非退化的下三角矩阵T 1,使⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn T a A AT T 00111, 再令.100),1,1,...,1,1(121122⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A T AT T T a diag T TT nn故因为A 正定 ,故A 1作为A 的n-1阶顺序主子式,也是正定的. 对A 1做同样处理,最终可得到n T T TT E R R T AT T T R R =21211212.............令 Q R T T T Q ∴=,......2121是非退化的下三角矩阵,且使A=O T Q[充分性] 是显然的.定理10[]2 A 是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 n a a a ,......,,21使A=Tn n T T a a a a a a +++...2211.2.3 正定矩阵的一些重要推论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外,还有很多重要推论,下面给出.推论1[]3 正定矩阵的和仍是正定矩阵.证 若A 与B 为同阶正定矩阵,则对于非零列向量C =(,1c ,,,2 c n c )≠0,必有T C A C >0,T C B C >0,从而TC(A+B)C=T C A C+T C B C >0.所以A+B也是正定的.推论2[]1实正定矩阵的行列式大于零.证对A=TC C两边取行列式有|A|=|T C| |C|=2||C>0,因此,|A|>0.推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4 正定矩阵A的逆矩阵1-A一定是正定矩阵.证由命题1.3得正定矩阵A的逆矩阵1-A一定是对称矩阵,又因为正定矩阵与单位矩阵合同,所以存在可逆矩阵P使得A=T P EP=T P P,取逆矩阵得1-A=()1-P E()TP1-,令Q=()TP1-,则1-Q E Q.A=T因此,1-A与单位矩阵合同,所以1-A是正定矩阵.推论5 正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.推论6[]4设A,B均为 n 阶正定矩阵,且AB=BA,则AB 正定.证因为AB=BA,故(AB)'=B'A'=BA=AB,所以AB为实对称矩阵,又因为A 正定,所以实可逆矩阵P,使P'AP=E.[方法一] P'ABP=P'APP1-BP=P1-BP,而 B 正定,故 B 的特征值都大于零,所以 P 'ABP 的特征值大于零,正定,AB 是正定的.[方法二][]5 P 'AB(P ')1-=P 'APP 1-B(P ')1-=P 1-B(P 1-)',因为B 正定,故 P 1-B(P 1-)'正定, P 1-B(P 1-)'的特征值大于零,AB 的特征值大于零,又因为AB 实对称,所以AB 是正定的.推论7 若A 是正定矩阵,则A * 也是正定的(其中A *表示A 的伴随矩阵). 证 因为A 正定 ,故 A 1-正定;A *=A A 1-(A >0),所以 A *也正定. 推论8[]2 若A ,B 都是n 阶实对称矩阵,且B 是正定矩阵,则存在一n 阶实可逆矩阵P 使P T AP 与P T BP 同时为对角形.证 因为B 是正定的,所以合同于E ,即存在可逆阵U 使U T BU=E ;且A 是n 阶实对称矩阵,则(U T AU)T =U T A T U.存在正交矩阵C 使C T (U T AU)C=diag( 1λ, 2λ,⋯,n λ),则E C C EC C C BU U C T T T T ===)(.取P=UC ,则P 为所求.推论9 若 A 是实对称的正定矩阵,则存在 a>0,b>O ,c>0,使 aE+A ,E+bA.cE —A 均是正定矩阵.证 若A 的特征值为i λ,1≤i ≤n ,则 aE+A 的特征值为 a+i λ ,1≤i ≤n ,所以存在 a 使 aE+A 的特征值大于零,其余同理可证.推论10 已知 A 是 n 阶正定矩阵,则A k (k 是正整数)也是正定矩阵. 证 A k 与 A 的特征值有熟知的关系,故从特征值角度人手考虑.根据A 正定,即知其特征值1λ,⋯, n λ 全正,由于 A k 的全部特征值就是 k n kλλ,...,1 也都为正.这就知A k 是正定矩阵.例6 若 A 是 n 阶正定矩阵,则 E A 2+>2n .证 [法一] A 与2E 都是n 阶实对称正定矩阵,因此存在一n 阶实可逆矩阵 P 使)2,...2,2()2(21+++=+n Tdiag P E A P λλλ.由推论9可知其中入i (i=l ,2,⋯,n)为 A 的特征值且大于零.所以 i λ+2(i=l ,2,⋯,n) 为 A+2E 的特征值,也是大于零的.所以E A 2+=( 1λ+2)( 2λ+2)⋯( n λ+2) ≥2n .[法二] 因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩阵,由推论10,有E A 2+≥ A +E 2>2n .推论11[]6 A 为n 阶正定矩阵,B 为2n 阶非零半正定矩阵,则B A +>A +B . 证 由题意可知,存在实可逆阵P ,使P 'AP=E ,且P 'BP=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d ..21,(d i ≥0) 所以)()(.....1)1)...(1)(1(1..11)(2'''2112121''2B A P P B A P BP P AP P d d d E d d d d d d d d d P B A P P B A P nn n n n+=+=+=+=+>+++=+++=+=+所以B A +>A +B .推论12 若 A 是 n 阶实对称正定矩阵,则必有 a 11>0,a 22>0,…,a nn >0. 证 根据定义,对一切 X ≠O 皆有 X T AX>0,故依次令X=e 1,…e n ,就有(e 1)T Ae 1>O,即 a 11>0(e n )T Ae n >0,即 a nn >0.3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 3.1 证明柯西不等式如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道如何用正定矩阵证明柯西不等式(1)柯西不等式在中学里,我们就熟悉了如下的一个不等式22221222212211.........nnn n yy y xx x y x y x y x +++++≤+++这就是著名的柯西不等式.如果我们将上述不等式用内积的形式来表示,则可将它 写成βαβα⋅≤),(.(2)那如何用正定矩阵证明柯西不等式呢?如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.并应用正定矩阵证明柯西不等式.设A=(a ij )是一个n 阶正定矩阵,则对任何向量α=(x 1,x 2,⋯,x n )与β=(Y 1,Y 2,⋯,y n ),定义∑==1,),(j i j i ijy x aβα.则可以证明由上式定义的一定是n 维向量间的内积.反之,对于n 维向量问的任意一种内积,一定存在一个n 阶正定矩阵A=(a ij ),使得对任何向量α和β,(βα,)可由(2)式来定义.因此,给定了一个n 阶正定矩阵,在n 维向量间就可由该矩阵定义一个内积,从而可得到相应的柯西不等式∑∑∑===≤nj i j i ijnj i ji ijnj i j i ijy y ax x ay x a1,1,1,.例7 证明不等式32213222213221232221231332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x ---+--++≤----++对所有实数x 1,x 2,x 3和y 1,y 2,y 3均成立.证 从不等式来看,可知它相当于βαβα⋅≤),( 其中(βα,)是由矩阵A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210121012.所定义的,但要证明),(βα是内积还需证明A 是个正定矩阵.经验证该矩阵为正定矩阵.从而可看出该不等式就是由A 所确定的内积所产生的柯西不等式,因此不等式成立.3.2 证明Holder 不等式设A 为n 阶正定矩阵,x ∈R n ,易知xA Axx x x x 1''2')(-≤[]7,本节将其推广为更一般的形式,并以此为工具给出Holder 不等式的一个新证明.定理[]7 设A 为n 阶正定阵,x n R ∈,r ,s 为任意正整数,则r s s r s r x A x x A x x x )()()('''-+≤.证 对任一0,≠∈x R x n ,令a=sr r x A rx x A sx +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1'1',则有a>0, 令()s s r r t a t a t f --+=,易见()t f 在()+∞,0上有最小值sr s sr r s r r s m ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=,由于A 正定,故存在正交阵P 使P P A Λ=',其中{}()n i diag i n ,...,10,,...,,21=>=Λλλλλ,为A 的特征值, 于是()()()(){}P f f f diag P A a A a A f n s s r r λλλ,...,,21'=+=--,由于()()n i m f i ...2,1=≥λ,故()()(){}n n mI f f f diag ≥λλλ,...,,21,从而()n s s r r mI A a A a A f ≥+=--,于是x mx x A x a x A x a s s r r '''≥+--,将a 的表达式代入上式左端并整理得()()sr r ss r s rssrrx A x xA x m x A x a x A x a +-+--=+'''',由此即得()()x x x A x x A x sr r ss r s r'''≥+-+,即()()()sr rssrx x x A x x A x +-≥'''.证毕下面我们 利用以上结果证明Holder 不等式. Holder 不等式 设1,1,0,0>>≥≥q p b a i i ,并且111=+qp ,则 qni q i pni p i ni i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===.证 由常规的极限过渡法,不妨设()n i b a i i ...2,10,0=>> 且p ,q 为有理数;由111=+qp 知必存在正整数r ,s ,使得 sr r q s r s p +=+=1,1. 令()nnn R b a b a b a x ∈='2211,...,, , ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=---r n s n r s r s b a b a b a diag A 1112121111,...,,经简单运算得∑==ni i i b a x x 1',∑∑==+==ni p i ni s s r ira ax A x 11',∑∑==+-==ni ni q i r s r isb bx A x 11',于是由r s s r s r x A x x A x x x )()()('''-+≤ 得rn i q i s n i p i sr n i i i b a b a ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑==+=111, 即qni q i pni p i n i i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===.3.3 证明Minkowski 不等式引理1[]8 设i A ,i B ()m j ,2,1 =都是n n ⨯阶正定实对称矩阵,p<1且0≠p ,则有pmj np j pmj np j pmj np j j B A B A 111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===. 引理2[]8 设i A ,i B (i=1,2,…,m )是n ×n 阶实对称正定矩阵,0<p<1,则对n r ≥,有prp m i i prp mi ipm i rp i i rn r B A B A 1111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===-. r>n 时,等式成立当且仅当i i B A =;当r=n 时,即为引理1,等式成立当且仅当()().,...,2,10m i k kB A i i =>=证 令10,111<<=+p qp ,则p=q (p —1).由Holder 不等式(下文中由推论进行了证明)及引理1,得到∑∑=-=+•+=+mi rp ii rii rp mi iiB A B A BA 1111≥∑=---≥+•⎪⎪⎭⎫⎝⎛+mi rp i i riri rn r B A B A 11112()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=-==-=--q mi rq p i i pmi rp i qmi rq p i i pm i rp i rn r B A B B A A 11111111112= pmi rp i i pmi r p im i p i rn r B A B A 1111112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===-, 两边同乘pmi rp i i rn r B A 112⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-, 便得到pmi rpi pmi rpi pmi rp i i rn r B A B A 1111112⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===-. 若令()()()0,,,>==i i i i i i b a b B a A 为一阶矩阵时,在引理2中,取r=1,0<p<1, 得到qni q i pni p i pni p i i b a b a 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑∑===. 此为Minkowski 不等式.结束语本文重点介绍了正定矩阵的判定方法,归纳总结了判定正定矩阵的一系列定理及推论,并给出相应的证明和适当的例题. 与此同时利用正定矩阵的性质以及得出的一些重要推论给出了柯西不等式,Holder不等式,Minkowski不等式的证明方法.参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003:205-226.[2] 金义明,丁嘉华,王海敏.线性代数[M].北京:中国物资出版社,2002:198-224.[3] 张文丽.正定矩阵的简单应用.晋东南师专学报[L],2004,21(2):67-69.[4] 岳贵鑫.正定矩阵的一些应用探讨.辽宁省交通高等专科学校学报[L],2008,10(5):31-33,59-59.[5] 王海东.正定二次型的刻划定理及其程序.长春大学学报[L],2006,16(3):28-30.[6] 曹璞.正定矩阵的判定与性质[J].南都学坛,1994(3):1-3.[7] 冯天祥,刘学飞.Hermite正定矩阵迹的几个重要不等式[J].数学杂志,2009,29(3).[8] 王长文,张有正.正定矩阵和的行列式不等式.浙江工业大学学报[L],2006,34(3):352-354.。

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