线性代数 第4节 正定矩阵
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。
二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。
2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。
3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。
三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。
2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。
3、行列式判定法。
矩阵正定
则XTAX = XT CT ACX = (CX)TA(CX) = a12x12 + a22x22 +……+ an2xn2>0
∴A是正定的。□
1.5． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于零。
证明：（ ）
半正定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有ຫໍສະໝຸດ TAX≥0，就称A为半正定矩阵。
2.1． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的秩。
2.2． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵T，使TTAT=（）。
2.3. A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实矩阵S，使A=STS。
∴ A是正定的。□
1.4． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=CTC。
证明：（ ）若A是正定矩阵，则由1.3可知，A相合于E
∴存在实可逆矩阵C，使A = CTEC = CTC
（ ）若A=CTC，C是实可逆矩阵
∴ f（α，β）是正定的
∴ A是正定的。□
1.3． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E。
证明：（ ）任取正定矩阵A，它对应唯一的正定双线形函数f，且存在V上的一组基：η1η2……ηn，使任取向量α= ，β= ,双线形函数f有:
证明：若A，B都是n阶正定矩阵，则任取X，有XTAX >0，XTBX >0
则XT（A+B）X = XTAX + XTBX >0
XTkAX = kXTAX >0
即：A+B ，kA都是正定矩阵。□
线性代数中的合同关系、正定矩阵
什么是线性代数中的合同？惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系。
两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。
按照它可以对n阶方阵的全体进行分类。
对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。
①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。
②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。
但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。
结果②就是“惯性定理”。
一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?不对，反例： 1 22 1只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即：A正定由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
证明正定矩阵
证明正定矩阵正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在实际应用中，我们常常需要证明一个矩阵是否为正定矩阵，因此掌握正定矩阵的证明方法对于深入了解线性代数理论和应用非常重要。
下面将介绍正定矩阵的定义和性质，以及如何证明一个矩阵是正定矩阵。
一、正定矩阵的定义和性质定义：若矩阵$A$满足对于任意非零向量$\bold{x}$，都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$，则称$A$为正定矩阵。
性质：1. 正定矩阵的特征值全是正实数。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
4. 正定矩阵的各阶子矩阵也是正定矩阵。
二、证明矩阵为正定矩阵的方法1. 利用特征值根据正定矩阵的定义，对于任意非零向量$\bold{x}$，都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$，即$\bold{x}^T\lambda\bold{x}>0$，其中$\lambda$为矩阵$A$的特征值。
因为$\bold{x}\neq\bold{0}$，所以$\lambda>0$。
因此，我们可以通过计算矩阵$A$的特征值来证明矩阵$A$是正定矩阵。
如果矩阵$A$的所有特征值都是正实数，则矩阵$A$是正定矩阵。
举个例子，假设有一个矩阵$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&4\end{bmatrix}$，我们可以通过计算它的特征值来证明它是正定矩阵。
矩阵$A$的特征方程为$(2-\lambda)(4-\lambda)-1=0$，解得$\lambda_1=1$和$\lambda_2=5$，由于$\lambda_1>0$且$\lambda_2>0$，因此矩阵$A$是正定矩阵。
2. 利用正交矩阵正交矩阵是指满足$Q^TQ=I$的方阵$Q$，其中$I$为单位矩阵。
因为正交矩阵保持向量的长度不变，所以它可以用来证明矩阵$A$是正定矩阵。
正定矩阵知识点总结
正定矩阵知识点总结1. 正定矩阵的定义在线性代数中，一个矩阵被称为正定矩阵，如果它是一个对称矩阵，并且对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中A是这个矩阵。
这个定义可以进一步推广到Hermitian矩阵（对于复数域）和实对称矩阵（对于实数域）上，即一个Hermitian矩阵或者实对称矩阵被称为正定矩阵，如果对于任意非零复数向量x，都有x^H * A * x > 0或者对于任意非零实数向量x，都有x^T * A * x > 0。
2. 正定矩阵的性质正定矩阵具有许多重要的性质，其中一些是：（1）正定矩阵是非奇异（即可逆）的，因为它的特征值都是正数。
（2）正定矩阵的所有主子式都是正数。
（3）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
（4）对称矩阵A是正定的当且仅当它的所有特征值都是正数。
（5）正定矩阵的行列式是正数。
3. 判断一个矩阵是否为正定矩阵判断一个矩阵是否为正定矩阵有多种方法，以下是其中一些常用的方法：（1）特征值判据：判断一个对称矩阵A是否为正定矩阵可以通过它的特征值来判断，如果A的所有特征值都是正数，则A是正定的。
（2）Sylvester判据：判断一个实对称矩阵A是否为正定矩阵可以使用Sylvester判据，即判断A的所有主子式都是正数。
（3）正定矩阵的定义：直接使用正定矩阵的定义来判断一个矩阵是否为正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0。
4. 正定矩阵的应用正定矩阵在许多数学和工程领域都有广泛的应用，以下是一些重要的应用：（1）在优化理论中，正定矩阵被广泛应用于二次优化问题的求解。
（2）在信号处理领域，正定矩阵被用于设计滤波器和信号处理算法。
（3）在机器学习和统计学中，正定矩阵被用于协方差矩阵的估计和模型参数的拟合。
（4）在工程领域，正定矩阵被用于结构分析和控制系统设计。
5. 结论正定矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
正定矩阵常见运算公式
正定矩阵常见运算公式
正定矩阵是指所有特征值均为正数的矩阵。
在线性代数中，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，其在许多领域中都有广泛的应用。
下面是一些正定矩阵常见的运算公式。
1. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其逆矩阵的特征值也都是正数。
2. 正定矩阵的行列式也是正数。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其行列式等于特征值的乘积，也是正数。
3. 正定矩阵的转置矩阵也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值与其转置矩阵的特征值相同。
4. 正定矩阵的乘积也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其乘积的特征值也都是正数。
5. 正定矩阵的平方根也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其平方根的特征值也都是正数。
6. 正定矩阵可以通过Cholesky分解来得到。
Cholesky分解是将正定矩阵分解
为一个下三角矩阵和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T，其中L是下三角矩阵。
这个分解方法可以用来解线性方程组和计算矩阵的行列式和逆矩阵等。
7. 正定矩阵可以用来定义内积。
设A是一个正定矩阵，x和y是两个向量，则它们的内积可以定义为x^TAy。
这个内积满足对称性、线性性和正定性等性质，因此可以用来定义向量空间的内积结构。
总之，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，其具有许多重要的性质和应用。
以上是一些正定矩阵常见的运算公式，可以帮助我们更好地理解和应用正定矩阵。
正定矩阵
5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵[1] 二次型的分类n 个变数的二次型∑===nj i Tji ij n x A x x x a x x q 1,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0对应一个函数值)(0x q ，依据)(x q 值的符号，在教材184页上给出了二次型的分类定义：1．正定二次型。
若对一切nR x ∈，当0)(0>=⇒≠Ax x x q x T称二次型)(x q 正定。
显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。
2．正半定（或半正定）二次型。
若对一切nR x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T，且至少有一 00≠x 能使0)(0=x q .3．负定。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。
4．负半定（或半负定）。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。
5．不定二次型。
若二次型Ax x q T=既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。
容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。
若系数全正为正定二次型；若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型；若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。
对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。
例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型212322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++=是正定二次型。
解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。
但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。
线性代数 第4节 正定矩阵
全为正， 因此二次型正定.
7
n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的 准则2 顺序主子式全大于零. 证略.
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
a11 | Ak | a 21 ak 1
a12 a 22
a1k a2k ,
i 1 j 1
T 取 X i (0, ,1, ,0) ，则有
n
n
f ( X i ) aii 0, (i 0,1,.n) .
4.若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵. 证 对任意非零向量X ，
X T ( A B) X X T AX X T BX 0 .
设 B T AB 为正定阵, 必要性：
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即 r ( B) n ；
T T T T T 充分性: 因为 ( B AB ) B A B B AB ,
可见 B AB 为实对称阵.
T
将上述过程逆推,即可得证.
23
T
证
因为 ( A A) A A , 故 A A 是 n 阶对称矩阵.
T T
T
T
又 r( A) n ，可知齐次线性方程组AX o 仅有零解，
于是 所以对任意 X o ，必有AX o ，
X T ( AT A) X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A) X 为正定二次型，
即矩阵 A A 为正定， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
T
类似结论有：
正定矩阵通俗解释
正定矩阵通俗解释正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程应用中有着广泛的应用。
所谓正定矩阵，指的是一个实对称矩阵，且对于任意的非零实向量，该矩阵与向量的内积都大于零。
正定矩阵的定义可能较为抽象，下面将通过通俗的语言来解释正定矩阵的概念。
我们先来理解一下内积的概念。
在日常生活中，我们经常会遇到两个物体之间有一种“相关性”。
例如，买菜的时候，某种蔬菜的价格与其重量有一定的关系，重量越大价格越高。
在这个例子中，我们可以将价格看作一个向量，重量看作另一个向量，两者之间的乘积就是它们的“内积”。
类似地，在数学中，我们可以将两个向量之间的乘积称为内积，它虽然不是数值，但它反映了两个向量的关系，从而对于一些数学理论和应用有着重要的意义。
回到正定矩阵，正定矩阵是对内积的一个扩展，它不仅仅是两个向量之间的内积大于零，而是矩阵与任意非零实向量的内积都大于零。
这意味着正定矩阵不仅仅是某两个向量之间有一种关系，而是对于所有的向量都有一种“正相关性”。
可以这样理解，正定矩阵是一种描述向量集合的方式，它反映了向量集合中的向量之间的整体关系。
正定矩阵在数学和工程应用中有着广泛的应用。
在数学领域，正定矩阵是研究线性代数、数值分析、微分方程等领域的基础工具。
它在数值计算中的应用尤为重要，例如在求解线性方程组、最小二乘拟合、优化算法等问题中都用到了正定矩阵。
在工程应用中，正定矩阵常常用于描述物理系统的性质和行为，例如热传导、弹性力学、信号处理等。
在机器学习和人工智能领域，正定矩阵也被广泛应用于特征提取、模式识别等任务中。
为了更深入地了解正定矩阵，下面给出一些相关的参考内容，供读者进一步学习和了解。
1. 《线性代数及其应用》（作者：Gilbert Strang）这本教材是线性代数领域的经典之作，其中有一个章节专门介绍正定矩阵及其应用。
适合想要深入了解正定矩阵的读者阅读。
2. 《秩量及其应用》（作者：J. W. S. Cassels）这本书是关于代数几何和数论中的秩量理论的经典教材之一。
判断正定矩阵的方法
判断正定矩阵的方法正定矩阵，顾名思义，是指矩阵的性质满足“正定”的条件。
在线性代数中，正定矩阵是非常重要的概念。
正定矩阵是一种定义良好的矩阵，它的主要性质有：所有特征值为正数，行列式为正数，且所有主子矩阵的行列式都为正数。
在实际应用中，正定矩阵常常用在优化问题、最小二乘问题、信号处理、加密等领域。
在进行正定矩阵的判断时，我们通常有以下几种方法，分别从不同的角度出发进行判断。
方法一：主元素主子式判定法主元素主子式判定法(Leading Principal Minor Test)是最常用和最简单的方法之一。
正定矩阵要求每个n个阶层次的主子式大于0，即主子矩阵行列式大于0。
如果所有的主子式都大于0，则该矩阵为正定矩阵。
证明：假设矩阵A为n阶正定矩阵，根据特征值定理，A的所有特征值必须为正数。
因此，其所有的主元素主子矩阵行列式均为正数。
反之，如果所有的主元素主子式都大于0，则矩阵A的所有特征值均大于0，从而A为正定矩阵。
举例：设矩阵A = [1 2; 2 5]，则一、二阶主子式分别为1，(1×5-2×2) = 1，因为所有的主子式均大于0，所以矩阵A是正定矩阵。
方法二：特征值判定法特征值判定法(Eigenvalue Test)是另一种常用的方法。
如果一个n阶的矩阵A有n个线性无关的特征向量，且这些特征值都为正数，则矩阵A为正定矩阵。
证明：根据特征值定理，如果A为n阶的对称矩阵，则A可以分解为A = VλV’，其中V是n阶正交矩阵，λ是n阶对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值。
如果A为正定矩阵，则λ的对角线上所有元素都为正数。
因为V为正交矩阵，所以V的所有列向量线性无关。
因此，矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中每个特征值都大于0。
反之，如果A有n个线性无关的特征向量，且所有特征值都大于0，则A为正定矩阵。
方法三：Sylvester判定法Sylvester判定法(Sylvester Criterion)是一种基于奇异值分解的方法。
正定矩阵——精选推荐
正定矩阵
正定矩阵式⾃共轭矩阵的⼀种。
正定矩阵类似复数中的正实数。
定义：对于对称矩阵M，当且仅当存在任意向量x，都有
若上式⼤于等于零，则称M为半正定矩阵。
正定矩阵记为M>0。
也被称为正定⼆次型
正定矩阵的判定
1、所有特征值为正数（根据谱定理，若条件成⽴，必然可以找到对⾓矩阵呢D和正定矩阵P，使M=P^-1DP）；
2、所有的顺序主⼦式为正定；
3、Cholesky分解得到的矩阵，其主对⾓线上的元素全为正数；
4、矩阵有半双线性映射形式。
⾸先解释双线性映射。
假设三个向量空间X, Y和Z，有Z = B(X, Y)。
对于X或Y中的任意向量都有到Z的唯⼀映射。
如果把X固定，Y中的元素就存在到Z的线性映射，反过来也⼀样。
所谓半双线性映射，就是它的两个参数⼀个是线性的，另⼀个是半线性的（或共轭线性）。
如：
复数空间的内积都是半双线性的。
正定矩阵的性质
1、正定矩阵均可逆，且逆矩阵也为正定矩阵；
2、正定矩阵与正实数的乘积也为正定；
3、迹Tr(M)>0；
4、存在唯⼀的平⽅根矩阵B，使得：。
正定矩阵性质
正定矩阵性质正定矩阵的性质：正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；若a是正定矩阵，则a的逆矩阵也是正定矩阵等等。
在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
（1）正定矩阵的行列式恒为也已；（2）实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；（3）若a就是正定矩阵，则a的逆矩阵也就是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积就是正定矩阵。
判定的方法：根据正定矩阵的定义及性质，辨别等距矩阵a的也已定性存有两种方法：1、求出a的所有特征值。
若a的特征值均为正数，则a是正定的；若a的特征值均为负数，则a为负定的。
2、排序a的各阶主子式。
若a的各阶主子式均大于零，则a就是正定的；若a的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则a为奇函数的。
对于n阶实对称矩阵a，下列条件是等价的：（1）a就是正定矩阵；（2）a的一切顺序主子式均为正；（3）a的一切主子式均为也已；（4）a的特征值均为正；（5）存有实对称矩阵c，并使a=c′c；（6）存在秩为n的m×n实矩阵b，使a=b′b；（7）存有主对角线元素全为正的实三角矩阵r，并使a=r′r矩阵是数学中一个重要的基本概念是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具，而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究,本文主要是通过特征值单位矩阵。
正定矩阵通俗解释
正定矩阵通俗解释正定矩阵是线性代数中非常重要的概念，常常涉及到很多数学问题的解决。
简言之，正定矩阵是指一个方阵其对应的二次型总是大于零的。
在这篇文章中，我们将会介绍正定矩阵的通俗解释及其相关应用。
1. 矩阵的定义在开始介绍正定矩阵的定义之前，我们需要知道什么是矩阵。
矩阵可以被定义为按照规定的格式排列的数的矩形阵列。
我们可以将其视为一个逻辑上的方便而非数学上的要求。
例如，一个2×2的矩阵可以看作如下的矩阵：$\begin{bmatrix}a&b \\ c&d\end{bmatrix}$矩阵的元素可以是任何类型的数，包括实数、复数等等。
另外，一般情况下我们用大写字母表示矩阵，例如A、B等。
2. 二次型的定义接下来，我们需要知道什么是二次型。
与矩阵类似，二次型也是线性代数中的一个概念。
二次型可以被定义为一个变量的二次多项式，其系数为矩阵元素，例如下面这个二次型：$f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) =x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}-4x_{2}x_{3}$其中，$x_{1}$、$x_{2}$、$x_{3}$是变量，$f$是一个实数。
可以通过矩阵相乘的方式将其表示为矩阵形式：$f(x) = x^{T}Ax$其中，$x^{T}$是$x$的转置，$A$是一个对称矩阵。
3. 正定矩阵的定义现在，我们可以对正定矩阵进行正式的定义了。
正定矩阵是指一个$n\times n$的实对称矩阵$A$，其对应的二次型$f(x)=x^{T}Ax$满足：$f(x)>0,\forall x\in\mathbb{R}^{n}, x \neq 0$换句话说，如果矩阵$A$是正定的，则其对应的二次型总是大于零的。
正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
4. 正定矩阵的特点正定矩阵具有如下的特点：(1) 所有的主子矩阵都是正定的。
正定矩阵（definitematrix）
正定矩阵（definitematrix ）
1. 基本定义
在线性规划中，⼀个对称的 的实值矩阵 ，如果满⾜对于任意的⾮零列向量 ，都有 .更⼀般地，对于 的 Hermitian 矩阵（原矩阵=共轭转置，，或者 ），对于任何的⾮零列向量 ，；2. 定理和推论
对称阵 为正定的充分必要条件是：
A 的特征值全为正；
A 的各阶主⼦式都为正；
对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主⼦式为负，偶数阶主⼦式为正；
3. 正定的⼏何意义
设 是⼆元正定⼆次型，则 （ 为⼤于 0 的常数）的图形是以
3. 简单举例
单位矩阵 是正定矩阵，
对于任何实可逆矩阵， 是正定的，因为对任何⾮零列向量 ，都有 ，可逆矩阵保证了 ；n ×n M z M z >0z T n ×n =a ij a ¯ji A =A T ¯¯¯¯¯z M z
>0z ⋆A f(x,y)f(x,y)=c c I Iz =∥z z T ∥2
A A T z Az =∥Az z T A T ∥2Az ≠0。
正定矩阵通俗解释
正定矩阵通俗解释正定矩阵是线性代数中重要的概念之一。
在很多实际应用中，正定矩阵扮演着重要的角色。
本文将从通俗易懂的角度，对正定矩阵的概念、性质以及应用进行解释。
首先，什么是正定矩阵？正定矩阵是指一个$n\times n$的实对称矩阵$A$，满足对于任意非零向量$x\in\mathbb{R}^n$，都有$x^TAx>0$。
其中，$x^T$表示向量$x$的转置。
可以理解为，正定矩阵是一种能保证$x$与$Ax$的内积为正的矩阵。
那么，正定矩阵有哪些性质呢？我们可以从以下几个方面进行说明：1. 正定矩阵的特征值都是正数。
即便是部分特征值为零的情况，其它非零特征值均为正。
2. 正定矩阵的行列式必须是正的。
3. 正定矩阵是非奇异矩阵，且求逆的结果也为正定矩阵。
基于以上性质，可以得出一个结论：正定矩阵是一种比较特殊的矩阵类型，它具有一些非常实用的优良性质。
例如，在数值计算、优化问题、信号处理的应用中，正定矩阵经常出现，并且可以用于帮助解决很多实际问题。
在数值计算方面，正定矩阵可用于设计求解一些线性方程组的算法。
例如，我们可以通过正定矩阵来构建一些高效且精确的迭代算法，如共轭梯度法、雅可比方法等等。
这些算法可以对大型稀疏矩阵进行求解，并且具有很高的求解速度和精度。
在优化问题中，正定矩阵则可用于设计一些高效的优化算法。
例如，批次优化、Newton算法等等。
这些算法的效率非常高，并且可以在各类大型优化问题中得到应用。
在信号处理方面，正定矩阵可用于设计一些高效的滤波器。
例如，我们可以通过正定矩阵来构建一种被称为最佳线性滤波器的滤波器。
它可以更好地去除带噪声的信号，并且在图像处理中也经常被应用。
除此之外，正定矩阵在微积分、微分方程、几何等领域中都有着广泛的应用。
例如，在微分方程中，正定矩阵可以用于判定某个边界值问题是否存在唯一解；在几何学中，正定矩阵可以用于判定坐标轴中的椭圆、四面体等对象的几何形态。
综上所述，正定矩阵是一种非常特殊且实用的矩阵类型。
正定矩阵的三种判定方式
正定矩阵的三种判定方式正定矩阵是在线性代数中非常重要的概念，它具有许多独特且有用的性质。
在本文中，我们将介绍正定矩阵的三种判定方式，并探讨它们的应用。
希望这篇文章能够生动、全面地介绍这个概念，并给读者带来指导意义。
首先，我们来介绍正定矩阵的定义。
一个n×n的实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于任意非零的实向量x，都有x^TAx > 0。
这个定义表明，正定矩阵的特征值全为正数，且它具有良好的性质。
第一种判定方式是通过特征值来判断。
对于一个对称矩阵A来说，它是正定矩阵的充分必要条件是A的所有特征值都大于0。
这是因为特征值等于0表示存在一个非零向量x，使得Ax = 0，从而矩阵不是正定的。
根据这个特性，我们可以通过计算矩阵的特征值来判断它是否为正定矩阵。
第二种判定方式是通过主子式来判断。
主子式是指通过在矩阵A中选取特定行和列所得到的子矩阵的行列式。
一个对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是它的所有主子式都大于0。
这是由于正定矩阵的定义中要求所有非零向量x都满足x^TAx > 0，而这也可以表示为x^TAX > 0，其中X为一个对角矩阵，其对角线上的元素分别为主子式。
因此，通过计算矩阵的所有主子式，我们可以判断它是否为正定矩阵。
第三种判定方式是通过行列式的符号来判断。
一个对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是它的所有顺序主子式的行列式都大于0。
顺序主子式是指通过在矩阵A的左上角选取特定行和列所得到的子矩阵的行列式。
正定矩阵的这个性质被称为Sylvester准则，它是通过对矩阵的行列式进行推导得到的。
根据这个准则，我们可以计算矩阵的各个顺序主子式的行列式，并验证它们是否都大于0，从而判断矩阵是否为正定矩阵。
正定矩阵在很多领域中都有广泛的应用。
在最优化问题中，正定矩阵被用于判断一个问题的目标函数是否是凸函数。
在数值计算中，正定矩阵被用于设计高效的迭代算法，例如共轭梯度法和牛顿法。
在统计学中，正定矩阵被用于建立多元正态分布的协方差矩阵。
正定矩阵与性质
阵G,使得
GT An1G En1 .
令 则
G O
C1
O
1
,|
C1
||
G
|
0.
C1T
AC1
GT
O
O An1
1
T
G
ann
O
O
1
G
A T n1
T
GT G
ann
O
O 1
G
T An1G
TG
G T
ann
En1
TG
GT
ann
.
再令
15
C2
En1 O
GT
故A是正定的.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对
称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是
A的特征值 1,L ,n, 由于A是正定的,这些特征
值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,
故A合同于单位矩阵.
9
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 X o,由于P可 逆,PX≠o,故 X o
a13
a23
,L
,
a33
13
a11 L a1s
a11 L a1n
As
M
M
M ,L
, An
M
M
M A.
as1 L ass
an1 L ann
的行列式.
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零.
证明 必要性
设A是正定矩阵,则对于非零向量 Xi (x1,L , xi ),
正定矩阵的几种经典证明方法
正定矩阵的几种经典证明方法正定矩阵作为线性代数中的重要概念，在数学与物理中都有着广泛的应用。
在线性代数中，我们常常会遇到正定矩阵，那么正定矩阵的证明方法有哪些呢？下面，我们将按照不同的方法分类，总结几种较为经典的证明方法。
一、特征值方法正定矩阵具有正定的特征值。
这一点是判断正定矩阵的重要依据。
如果判断一个方阵是否是正定矩阵，我们可以先求出其特征值，然后判断其特征值是否为正数。
如果所有的特征值都是正数，那么就可以确认该方阵是正定矩阵。
二、二次型方法正定矩阵的另一种较为常用的判断方法是利用其二次型的性质。
对于一个关于向量x的二次型Q(x)，如果当x≠0时，Q(x)>0，那么这个二次型就是正定的。
而对于正定矩阵，其二次型就一定是正定的。
三、行列式方法正定矩阵的另一个重要特征是其行列式的值始终大于0。
我们可以采用按照顺序进行行列式的一般化展开，然后观察每个项的符号，最终确定行列式的值是否大于0。
如果行列式的值大于0，那么该矩阵就是正定矩阵。
四、矩阵分解方法对于对称正定矩阵，其有很多可以用于判断其性质的矩阵分解方法，其中最常见的是Cholesky分解。
Cholesky分解方法的思想是将对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和它的转置矩阵的乘积。
如果能够成功将对称正定矩阵分解为下三角矩阵的乘积，那么就可以证明该矩阵是正定矩阵。
五、极值法正定矩阵的一个特性是其可以使二次型的值最小。
因此，我们可以根据二次型的最小值来判断一个矩阵是否是正定矩阵。
具体的判断方法是，求出矩阵的特征向量，然后代入二次型，将其转化为关于特征向量的多项式。
我们可以根据多项式的二次项系数是否为正值，来判断矩阵是否是正定矩阵。
以上是几种常见的正定矩阵的判定方法。
不同的判定方法有不同的适用场景，可以根据实际情况进行选择，来进行正定矩阵的证明。
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这是因为：
A 矩阵 A 与它的转置
1
T
有相同的特征值；
1 | A| ( A ) ; ( A ) ; ( Ak ) [ ( A)]k . ( A) ( A)
12
3.若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角元全为正.
f ( X ) X T AX aij xi x j 正定， 证 因为
（5）若A负定，则A的对角元全为负.
注意: 1.最后一条只是必要条件.
2.A的顺序主子式全非负,A也未必是半正定的.
17
例4
设矩阵
1 1 0 A 1 1 0 , 0 0 1
显然A的顺序主子式
| A1 | 1 0 , | A2 |
1 1
1 1
0
0 , | A3 | 1 1 0 0 , 1 1 0 0 1
4
定理 n元实二次型 f X AX 正定的充分必要条件是 它的正惯性指数等于 n.
T
准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正.
5
例1 判别二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x3 2 x1 x2 2 x2 x3
是否正定. 解 二次型对应的矩阵为
| A1 | 5 0 ,
5 2 | A2 | 21 0 , 2 5
2 2
因此 A是正定的，
即二次型 f 正定.
9
5
| A3 | 2 5 1 88 0 , 2 1 5
例3 设有实二次型
2 2 2 f x1 x2 5 x3 2t x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
(2) f x 2 x 3 x 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (2) f 的矩阵为
顺序主子式
1 2 0 A 2 2 2 , 0 2 3
1 2 2 2 2 0 ,
1 0,
所以 f 是不定的.
20
练习：
P244 习题六
2
4 解得 t 0 . 5
10
三、正定矩阵的性质
1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.
准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正.
11
三、正定矩阵的性质
1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.
| A | 12 n 0
2.若 A 为正定矩阵,则 AT , A1 , A , Ak 都是正定阵，
k 1,2,, n
a k 2 a kk
8
例2 判别二次型
2 2 2 f 5 x1 5 x2 5 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3
是否正定. 解 二次型对应的矩阵为 它的顺序主子式为：
2 2 5 A 2 5 1 , 2 1 5
且C是实对称阵，故C是正定矩阵.
22
2. 设 A 是 m 阶实对称阵且正定,B 为 m n 实矩阵， 试证: B AB 为正定阵的充分必要条件是 r ( B ) n .
T
证 则对任意实 n 维向量 x o ,有 x T BT A B x 0 ,
T 即 ( Bx ) A( Bx ) 0 , 可见 Bx 0 ,
即矩阵 A A 为正定矩阵.
15
T
6.设 A 为 m n 矩阵， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
T
类似结论有：
设 A 为 n 阶可逆矩阵,则 A A, AA 为正定矩阵.
设 A 为 n 阶正定矩阵,P 为 n m 矩阵,且 r ( P ) m n ， 则 P AP 为正定矩阵.
代入二次型，得 f (0,,1,,0) d k 0 ，
与二次型 f ( y1 , y2 ,, yn ) 正定矛盾.
3
2 2 2 （1）二次型 f ( y1 , y2 ,, yn ) d1 y1 d2 y2 dn yn 正定
的充分必要条件是 d i 0 .
（2） 二次型 X AX 若正定， 经过可逆线性替换 X CY ，
T
化为 Y (C AC )Y ，其正定性保持不变.
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y o ，就有 X o ，
即 Y T (C T AC )Y 0 . 于是 X AX 0 ， T T 由替换的可逆性，若 Y (C AC )Y 正定，也可推出
T
X T AX 正定.
由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只 要通过非退化线性替换，将其化为标准形，就容易由 以下定理判别其正定性.
求得 A 的特征值为 2, 2 3 ，
全为正， 因此二次型正定.
7
n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的 准则2 顺序主子式全大于零. 证略.
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
a11 | Ak | a 21 ak 1
a12 a 22
a1k a2k ,
21
备用例题
1. 设A, B分 别 为 阶, n阶 正 定 矩 阵试 判 定 分 块 m ,
A 0 矩 阵C . 0 B 是 否 为 正 定 矩 阵 解 C是正定的.
因为 设z T ( x T , y T )为m n维向量 其中x, y分别 , , 是m维和n维列向量若z 0, 则 x, y不同时为零向量 , , 于是 0 x T T T A x T Ax y T By 0 , z Cz ( x , y ) 0 B y
设 B T AB 为正定阵, 必要性：
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即 r ( B) n ；
T T T T T 充分性: 因为 ( B AB ) B A B B AB ,
可见 B AB 为实对称阵.
T
将上述过程逆推,即可得证.
23
13
5.实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵P，使得 A P T P .
实际上，正定二次型的规范形为
2 2 2 z1 z2 zn ,
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ， 即存在可逆矩阵P ，使
A P T EP P T P .
14
6.设 A 为 m n 矩阵， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
但对角元有正有负，显然A是不定的.
18
例5
判定下列二次型是否为有定二次型.
2 1 2 2 2 3
2 2 2 (1) f 2 x1 6 x2 4 x3 2 x1 x2 2 x1 x3
(2) f x 2 x 3 x 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (1) f 的矩阵为
二、正定矩阵、正定二次型的判别
由定义，可得以下结论：
2 2 2 （1）二次型 f ( y1 , y2 ,, yn ) d1 y1 d2 y2 dn yn 正定
的充分必要条件是 d i 0 .
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
取 假设某个dk 0 ， yk 1 ，其余 y j 0 ( j k ) ，
i 1 j 1
T 取 X i (0, ,1, ,0) ，则有
n
n
f ( X i ) aii 0, (i 0,1,.n) .
4.若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵. 证 对任意非零向量X ，
X T ( A B) X X T AX X T BX 0 .
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？ 解
1 t | A2 | 1 t2 0 , 顺序主子式为：| A1 | 1 0 , t 1
1 t 1 f 的矩阵为 A t 1 2 , 1 2 5
| A3 | | A | 5t 4t 0 ,
顺序主子式
1 2 1 A 1 6 0 , 1 0 4
2 1 11 0 , | A | 38 0 , 1 6
19
20,
所以 f 是负定的.
例5
判定下列二次型是否为有定二次型.
2 1 2 2 2 3
2 2 2 (1) f 2 x1 6 x2 4 x3 2 x1 x2 2 x1 x3
1 1 0 A 1 2 1 , 0 1 3
1
|E A| 1 0
1
0 1 3
6
2
1
1
|E A| 1 0
1
0 1 3
2
1
2 1 0 c1 c2 c3 ( 2)(2 4 1) , 2 2 1 2 1 3
T
证
因为 ( A A) A A , 故 A A 是 n 阶对称矩阵.
T T
T
T
又 r( A) n ，可知齐次线性方程组AX o 仅有零解，
于是 所以对任意 X o ，必有AX o ，
X T ( AT A) X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A) X 为正定二次型，
T
T
T
16
显然，A是负定（半负定 ）的当且仅当-A是正定 （半正定）的.由此，容易得出以下结论： （1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；
（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负； （3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正； （4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子 式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；