线性代数 第4节 正定矩阵
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。
二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。
2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。
3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。
三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。
2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。
3、行列式判定法。
矩阵正定
则XTAX = XT CT ACX = (CX)TA(CX) = a12x12 + a22x22 +……+ an2xn2>0
∴A是正定的。□
1.5． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于零。
证明：（ ）
半正定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有ຫໍສະໝຸດ TAX≥0，就称A为半正定矩阵。
2.1． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的秩。
2.2． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵T，使TTAT=（）。
2.3. A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实矩阵S，使A=STS。
∴ A是正定的。□
1.4． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=CTC。
证明：（ ）若A是正定矩阵，则由1.3可知，A相合于E
∴存在实可逆矩阵C，使A = CTEC = CTC
（ ）若A=CTC，C是实可逆矩阵
∴ f（α，β）是正定的
∴ A是正定的。□
1.3． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E。
证明：（ ）任取正定矩阵A，它对应唯一的正定双线形函数f，且存在V上的一组基：η1η2……ηn，使任取向量α= ，β= ,双线形函数f有:
证明：若A，B都是n阶正定矩阵，则任取X，有XTAX >0，XTBX >0
则XT（A+B）X = XTAX + XTBX >0
XTkAX = kXTAX >0
即：A+B ，kA都是正定矩阵。□
线性代数中的合同关系、正定矩阵
什么是线性代数中的合同？惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系。
两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。
按照它可以对n阶方阵的全体进行分类。
对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。
①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。
②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。
但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。
结果②就是“惯性定理”。
一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?不对，反例： 1 22 1只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即：A正定由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
证明正定矩阵
证明正定矩阵正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在实际应用中，我们常常需要证明一个矩阵是否为正定矩阵，因此掌握正定矩阵的证明方法对于深入了解线性代数理论和应用非常重要。
下面将介绍正定矩阵的定义和性质，以及如何证明一个矩阵是正定矩阵。
一、正定矩阵的定义和性质定义：若矩阵$A$满足对于任意非零向量$\bold{x}$，都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$，则称$A$为正定矩阵。
性质：1. 正定矩阵的特征值全是正实数。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
4. 正定矩阵的各阶子矩阵也是正定矩阵。
二、证明矩阵为正定矩阵的方法1. 利用特征值根据正定矩阵的定义，对于任意非零向量$\bold{x}$，都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$，即$\bold{x}^T\lambda\bold{x}>0$，其中$\lambda$为矩阵$A$的特征值。
因为$\bold{x}\neq\bold{0}$，所以$\lambda>0$。
因此，我们可以通过计算矩阵$A$的特征值来证明矩阵$A$是正定矩阵。
如果矩阵$A$的所有特征值都是正实数，则矩阵$A$是正定矩阵。
举个例子，假设有一个矩阵$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&4\end{bmatrix}$，我们可以通过计算它的特征值来证明它是正定矩阵。
矩阵$A$的特征方程为$(2-\lambda)(4-\lambda)-1=0$，解得$\lambda_1=1$和$\lambda_2=5$，由于$\lambda_1>0$且$\lambda_2>0$，因此矩阵$A$是正定矩阵。
2. 利用正交矩阵正交矩阵是指满足$Q^TQ=I$的方阵$Q$，其中$I$为单位矩阵。
因为正交矩阵保持向量的长度不变，所以它可以用来证明矩阵$A$是正定矩阵。
正定矩阵知识点总结
正定矩阵知识点总结1. 正定矩阵的定义在线性代数中，一个矩阵被称为正定矩阵，如果它是一个对称矩阵，并且对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中A是这个矩阵。
这个定义可以进一步推广到Hermitian矩阵（对于复数域）和实对称矩阵（对于实数域）上，即一个Hermitian矩阵或者实对称矩阵被称为正定矩阵，如果对于任意非零复数向量x，都有x^H * A * x > 0或者对于任意非零实数向量x，都有x^T * A * x > 0。
2. 正定矩阵的性质正定矩阵具有许多重要的性质，其中一些是：（1）正定矩阵是非奇异（即可逆）的，因为它的特征值都是正数。
（2）正定矩阵的所有主子式都是正数。
（3）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
（4）对称矩阵A是正定的当且仅当它的所有特征值都是正数。
（5）正定矩阵的行列式是正数。
3. 判断一个矩阵是否为正定矩阵判断一个矩阵是否为正定矩阵有多种方法，以下是其中一些常用的方法：（1）特征值判据：判断一个对称矩阵A是否为正定矩阵可以通过它的特征值来判断，如果A的所有特征值都是正数，则A是正定的。
（2）Sylvester判据：判断一个实对称矩阵A是否为正定矩阵可以使用Sylvester判据，即判断A的所有主子式都是正数。
（3）正定矩阵的定义：直接使用正定矩阵的定义来判断一个矩阵是否为正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0。
4. 正定矩阵的应用正定矩阵在许多数学和工程领域都有广泛的应用，以下是一些重要的应用：（1）在优化理论中，正定矩阵被广泛应用于二次优化问题的求解。
（2）在信号处理领域，正定矩阵被用于设计滤波器和信号处理算法。
（3）在机器学习和统计学中，正定矩阵被用于协方差矩阵的估计和模型参数的拟合。
（4）在工程领域，正定矩阵被用于结构分析和控制系统设计。
5. 结论正定矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
正定矩阵常见运算公式
正定矩阵常见运算公式
正定矩阵是指所有特征值均为正数的矩阵。
在线性代数中，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，其在许多领域中都有广泛的应用。
下面是一些正定矩阵常见的运算公式。
1. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其逆矩阵的特征值也都是正数。
2. 正定矩阵的行列式也是正数。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其行列式等于特征值的乘积，也是正数。
3. 正定矩阵的转置矩阵也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值与其转置矩阵的特征值相同。
4. 正定矩阵的乘积也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其乘积的特征值也都是正数。
5. 正定矩阵的平方根也是正定矩阵。
这是因为正定矩阵的特征值都是正数，所以其平方根的特征值也都是正数。
6. 正定矩阵可以通过Cholesky分解来得到。
Cholesky分解是将正定矩阵分解
为一个下三角矩阵和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T，其中L是下三角矩阵。
这个分解方法可以用来解线性方程组和计算矩阵的行列式和逆矩阵等。
7. 正定矩阵可以用来定义内积。
设A是一个正定矩阵，x和y是两个向量，则它们的内积可以定义为x^TAy。
这个内积满足对称性、线性性和正定性等性质，因此可以用来定义向量空间的内积结构。
总之，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，其具有许多重要的性质和应用。
以上是一些正定矩阵常见的运算公式，可以帮助我们更好地理解和应用正定矩阵。
正定矩阵
5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵[1] 二次型的分类n 个变数的二次型∑===nj i Tji ij n x A x x x a x x q 1,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0对应一个函数值)(0x q ，依据)(x q 值的符号，在教材184页上给出了二次型的分类定义：1．正定二次型。
若对一切nR x ∈，当0)(0>=⇒≠Ax x x q x T称二次型)(x q 正定。
显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。
2．正半定（或半正定）二次型。
若对一切nR x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T，且至少有一 00≠x 能使0)(0=x q .3．负定。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。
4．负半定（或半负定）。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。
5．不定二次型。
若二次型Ax x q T=既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。
容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。
若系数全正为正定二次型；若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型；若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。
对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。
例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型212322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++=是正定二次型。
解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。
但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。
线性代数 第4节 正定矩阵
全为正， 因此二次型正定.
7
n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的 准则2 顺序主子式全大于零. 证略.
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
a11 | Ak | a 21 ak 1
a12 a 22
a1k a2k ,
i 1 j 1
T 取 X i (0, ,1, ,0) ，则有
n
n
f ( X i ) aii 0, (i 0,1,.n) .
4.若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵. 证 对任意非零向量X ，
X T ( A B) X X T AX X T BX 0 .
设 B T AB 为正定阵, 必要性：
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即 r ( B) n ；
T T T T T 充分性: 因为 ( B AB ) B A B B AB ,
可见 B AB 为实对称阵.
T
将上述过程逆推,即可得证.
23
T
证
因为 ( A A) A A , 故 A A 是 n 阶对称矩阵.
T T
T
T
又 r( A) n ，可知齐次线性方程组AX o 仅有零解，
于是 所以对任意 X o ，必有AX o ，
X T ( AT A) X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A) X 为正定二次型，
即矩阵 A A 为正定， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
T
类似结论有：
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这是因为：
A 矩阵 A 与它的转置
1
T
有相同的特征值；
1 | A| ( A ) ; ( A ) ; ( Ak ) [ ( A)]k . ( A) ( A)
12
3.若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角元全为正.
f ( X ) X T AX aij xi x j 正定， 证 因为
（5）若A负定，则A的对角元全为负.
注意: 1.最后一条只是必要条件.
2.A的顺序主子式全非负,A也未必是半正定的.
17
例4
设矩阵
1 1 0 A 1 1 0 , 0 0 1
显然A的顺序主子式
| A1 | 1 0 , | A2 |
1 1
1 1
0
0 , | A3 | 1 1 0 0 , 1 1 0 0 1
4
定理 n元实二次型 f X AX 正定的充分必要条件是 它的正惯性指数等于 n.
T
准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正.
5
例1 判别二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 3 x3 2 x1 x2 2 x2 x3
是否正定. 解 二次型对应的矩阵为
| A1 | 5 0 ,
5 2 | A2 | 21 0 , 2 5
2 2
因此 A是正定的，
即二次型 f 正定.
9
5
| A3 | 2 5 1 88 0 , 2 1 5
例3 设有实二次型
2 2 2 f x1 x2 5 x3 2t x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
(2) f x 2 x 3 x 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (2) f 的矩阵为
顺序主子式
1 2 0 A 2 2 2 , 0 2 3
1 2 2 2 2 0 ,
1 0,
所以 f 是不定的.
20
练习：
P244 习题六
2
4 解得 t 0 . 5
10
三、正定矩阵的性质
1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.
准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正.
11
三、正定矩阵的性质
1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.
| A | 12 n 0
2.若 A 为正定矩阵,则 AT , A1 , A , Ak 都是正定阵，
k 1,2,, n
a k 2 a kk
8
例2 判别二次型
2 2 2 f 5 x1 5 x2 5 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3
是否正定. 解 二次型对应的矩阵为 它的顺序主子式为：
2 2 5 A 2 5 1 , 2 1 5
且C是实对称阵，故C是正定矩阵.
22
2. 设 A 是 m 阶实对称阵且正定,B 为 m n 实矩阵， 试证: B AB 为正定阵的充分必要条件是 r ( B ) n .
T
证 则对任意实 n 维向量 x o ,有 x T BT A B x 0 ,
T 即 ( Bx ) A( Bx ) 0 , 可见 Bx 0 ,
即矩阵 A A 为正定矩阵.
15
T
6.设 A 为 m n 矩阵， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
T
类似结论有：
设 A 为 n 阶可逆矩阵,则 A A, AA 为正定矩阵.
设 A 为 n 阶正定矩阵,P 为 n m 矩阵,且 r ( P ) m n ， 则 P AP 为正定矩阵.
代入二次型，得 f (0,,1,,0) d k 0 ，
与二次型 f ( y1 , y2 ,, yn ) 正定矛盾.
3
2 2 2 （1）二次型 f ( y1 , y2 ,, yn ) d1 y1 d2 y2 dn yn 正定
的充分必要条件是 d i 0 .
（2） 二次型 X AX 若正定， 经过可逆线性替换 X CY ，
T
化为 Y (C AC )Y ，其正定性保持不变.
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y o ，就有 X o ，
即 Y T (C T AC )Y 0 . 于是 X AX 0 ， T T 由替换的可逆性，若 Y (C AC )Y 正定，也可推出
T
X T AX 正定.
由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只 要通过非退化线性替换，将其化为标准形，就容易由 以下定理判别其正定性.
求得 A 的特征值为 2, 2 3 ，
全为正， 因此二次型正定.
7
n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的 准则2 顺序主子式全大于零. 证略.
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
a11 | Ak | a 21 ak 1
a12 a 22
a1k a2k ,
21
备用例题
1. 设A, B分 别 为 阶, n阶 正 定 矩 阵试 判 定 分 块 m ,
A 0 矩 阵C . 0 B 是 否 为 正 定 矩 阵 解 C是正定的.
因为 设z T ( x T , y T )为m n维向量 其中x, y分别 , , 是m维和n维列向量若z 0, 则 x, y不同时为零向量 , , 于是 0 x T T T A x T Ax y T By 0 , z Cz ( x , y ) 0 B y
设 B T AB 为正定阵, 必要性：
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即 r ( B) n ；
T T T T T 充分性: 因为 ( B AB ) B A B B AB ,
可见 B AB 为实对称阵.
T
将上述过程逆推,即可得证.
23
13
5.实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵P，使得 A P T P .
实际上，正定二次型的规范形为
2 2 2 z1 z2 zn ,
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ， 即存在可逆矩阵P ，使
A P T EP P T P .
14
6.设 A 为 m n 矩阵， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
但对角元有正有负，显然A是不定的.
18
例5
判定下列二次型是否为有定二次型.
2 1 2 2 2 3
2 2 2 (1) f 2 x1 6 x2 4 x3 2 x1 x2 2 x1 x3
(2) f x 2 x 3 x 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (1) f 的矩阵为
二、正定矩阵、正定二次型的判别
由定义，可得以下结论：
2 2 2 （1）二次型 f ( y1 , y2 ,, yn ) d1 y1 d2 y2 dn yn 正定
的充分必要条件是 d i 0 .
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
取 假设某个dk 0 ， yk 1 ，其余 y j 0 ( j k ) ，
i 1 j 1
T 取 X i (0, ,1, ,0) ，则有
n
n
f ( X i ) aii 0, (i 0,1,.n) .
4.若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵. 证 对任意非零向量X ，
X T ( A B) X X T AX X T BX 0 .
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？ 解
1 t | A2 | 1 t2 0 , 顺序主子式为：| A1 | 1 0 , t 1
1 t 1 f 的矩阵为 A t 1 2 , 1 2 5
| A3 | | A | 5t 4t 0 ,
顺序主子式
1 2 1 A 1 6 0 , 1 0 4
2 1 11 0 , | A | 38 0 , 1 6
19
20,
所以 f 是负定的.
例5
判定下列二次型是否为有定二次型.
2 1 2 2 2 3
2 2 2 (1) f 2 x1 6 x2 4 x3 2 x1 x2 2 x1 x3
1 1 0 A 1 2 1 , 0 1 3
1
|E A| 1 0
1
0 1 3
6
2
1
1
|E A| 1 0
1
0 1 3
2
1
2 1 0 c1 c2 c3 ( 2)(2 4 1) , 2 2 1 2 1 3
T
证
因为 ( A A) A A , 故 A A 是 n 阶对称矩阵.
T T
T
T
又 r( A) n ，可知齐次线性方程组AX o 仅有零解，
于是 所以对任意 X o ，必有AX o ，
X T ( AT A) X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A) X 为正定二次型，
T
T
T
16
显然，A是负定（半负定 ）的当且仅当-A是正定 （半正定）的.由此，容易得出以下结论： （1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；
（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负； （3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正； （4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子 式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；