【VIP专享】第六章4正定二次型和正定矩阵9
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【VIP专享】6-4正定二次型及正定矩阵
1
4
6
为 半 正 定 矩 阵 0
(3) f x1, x2 x12 3x22为 负 定 二 次 型
1 3为 负 定 矩 阵 。
(4) f x1, x2 , x3 x12 3x22为半 负定 二次型
1
3 为半负定矩阵。
0
(5) f x1, x2 x12 3x22为 不 定 二 次 型
3）如果对某向量
X1
，有
X
T 1
AX1
>
0
，而对另一
向量
X2
，有
X
T 2
AX
2
>0
，则称该二次型为不定
二次型。矩阵A称为不定矩阵。
例如 (1) f x1 , x2 , x3 x12 4 x22 6 x32为正定二次型
1 0
0 4
0 0
为
正
定
矩
阵
。
0 0 6
(2) f x1 , x2 , x3 , x4 x12 4 x22 6 x32为半正定二次型
a11 a1r
1r
0, r 1,2, , n.
ar1 arr
例1 判别二次型
f x1, x2 , x3 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定.
5 2 4
解
f x1, x2 , x3 的矩阵为
2
1 2,
4 2 5
它的顺序主子式
式都应大于零，即
d1 1 0,
1 d2 t
t 2t2 0 2
1 t 1 1 t 1 d3 | A | t 2 2 t 2 2t 2 0
1 2 3 2 3t 2 0
正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前 面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成 标准型（与其具有同样正定性）
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而，利用正定二次型的判别定c 理，判别XTAX的正定性，也就得 到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性： 显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此，原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
（7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数， 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0， 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.
第6章 第4讲 正定二次型 课件(共26张PPT)- 《概率论与数理统计(慕课版)》同步教学(人民邮
之差为2r – m为符号差.
3
01
正定二次型的定义
惯性定理
任意二次型 X T AX 都可通过非退化线性变换化为规范形
z12 z22
z 2p z 2p 1
z 2p q，
其中 p 为正惯性指数，q 为负惯性指数，p + q为二次型的秩
且 p 、q 由二次型唯一确定，即规范情势唯一的.
霍尔维茨定理
例5
方程3x 2 5 y 2 5z 2 4 xy 4 xz 10 yz 1表示何种二次曲面.
2
2
2
f
x
,
y
,
z
解 因为
3x 5 y 5z 4 xy 4 xz 10 yz
是一个二次型，
3 2 -2
其矩阵A= 2 5 -5 ，由 A - E 0 得
因为 3 2 3 0，
所以A不是正定矩阵，从而二次型不是正定二次型.
10
01
正定二次型的定义
例3
已知A为n阶正定矩阵，E为n阶单位矩阵，证明 | A E | 1.
解
设A的特征值为 1 , 2 ,
, n， 由A为正定矩阵知
1 0, 2 0,
A + E 的特征值为 1 1, 2 1,
4
01
正定二次型的定义
定义6.3
对应矩阵A 称为正定矩阵.
实二次型 f ( x1 , x2 ,
恒有 f (c1 , c2 ,
, xn ) X T AX，若对任意 (c1 , c2 ,
, cn ) 0，则称 f ( x1 , x2 ,
, cn )T 0，
第六章二次型答案详解
【解析】上课已经证明过，自己看 ppt.
习题 6.5 正交线性替换
1．用正交线性替换化下列二次型为标准形：
x12 2x22 +3x32 4x1x2 4x2 x3
2
【答案】正交线性替换为：
x1 x2 x3
3 2 3 1 3
2 3 1 3 2 3
A 11
2 3
53
0 0
1 2
2 4
0 0
1 0
2 0
，秩为
2
3． 已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22+cx32 2x1x2 6x1x3 6x2x3 的秩为 2 ，求常数 c 及此二次型
院系
班级
姓名
学号
第六章 二次型
习题 6.1 二次型及其标准形
1． 把下列二次型写成矩阵形式：
(1) f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 4x1x3 3x22+x2 x3 +7x32 ； (2) f (x, y, z) x2 4xy 2 y 2+4yz+3z 2 ．
1 3 2 3
2 3
y1 y2 y3
，标准形为：
y12
2
y22
5
y32
.
2．已知实二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22+3x32 2ax2x3 ，其中 a 0 ，经正交线性替换化成标准形 为 y12 2 y22 +5y32 ，求 a 及所用的正交线性替换．
正定二次型和正定矩阵的概念判别二次型或矩阵正定的方法21页PPT
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第五章小结
本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。
201
所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次
型。
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例19 设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的， 则C TAC是正定的。
有 f证x TA 因x 为 A0,为作 正x定，C所y,以则 对f任 意y T x(C T 0A , )y C , 由 x 0 及 C 可 ,得 y C 逆 1 x 0 , 从 f 而 x T A x y T ( C T A ) y 0 C ,
定理12 实二次型 f xTAx为正定的充分
必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。
证 设可逆变换 xCy使
n
f(x)f(C)y kyi2. i1
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设 先k 证i 充0分(i性1,2,,n)任 . x 给 0 ,则 C1x 0 ,故
f(x )nkiyi20. i1
当 显 yC 再e 然 e s 时 证s ,必0 (.要这单性与位：假坐用设标反向f 证量正法定) 时。矛，假盾f设(，C 故 有e sk)ki s≤k 00s. , 则0 , 推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特
及
1z122z22rzr2, (i 0)
则k1,k2,,kr中正数的个 1,数 2,与 ,r中正数的
个数相. 正等数的个数称为正惯性指数，负数的个数
正定二次型和正定矩阵
5 2
2 5
21 0 ，D3
2
5 1 88 0 ，
2 1 5
故 A 是正定矩阵．
此题也可求出
A
的 全部 特征 值 1
4 ， 2
11 2
33
，
3
11 2
33
， 因为 i
0
(i 1，2，3) ，所以 A 是正定矩阵．
1.2 判别方法
定义
例 4 设二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 x22 x32 2ax1x2 2bx2 x3 (a R ，b R) ，判断 f 的正
1.2 判别方法
定义
推论 1 二次型 f xT Ax 正定的充要条件是它的矩阵 A 的特征值都是正数． 推论 2 对称阵 A 正定的充要条件是它的特征值都是正数． 定理 2 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于 0，即
a11 0 ，
a11 a21
a12 0 ， a22
1.2 判别方法
定义
例 5 设二次型 f 5x2 6y2 4z2 4xy 4xz ，判断 f 的正定性．
5 2 2
解：二次型
f
的矩阵
A
2
6
0
，各阶顺序主子式为
2 0 45 2 2D Nhomakorabea 5 0 ，D2
5 2
2 6
26 0 ，D3
2 6
0 80 0 ，
2 0 4
由定理 2 知， f 是负定二次型．
解：二次型的矩阵为
A
2
0
4 2
2
，A
的顺序主子式
D1
3
0 ，D2
5
线性代数§6.4
小结
1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 主子式判别法; (3) 特征值判别法.
yT (CT AC) y
任取 y0 0, 由x＝Cy得到与 y0 对应的 x0
0 x0 Cy0
正定.
因为 xT Ax 正定，所以 x0T Ax0 0 即 y0T (CT AC) y0 0 故 yT (CT AC) y 正定.
另一方面，由 yT (CT AC) y 正定
xT Ax 正定.
任取 x0 0, 由 x＝Cy 得到与 x0对应的 y0
(1) 二次型 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
正定
di 0 (i 1, 2, , n)
充分性，若 di 0 (i 1, 2, , n),y ( y1, y2, , yn) 0 则 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2 0
定义1: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定二
次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二
次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 注意：正定矩阵一定是对称矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。
故 A1 正定.
A *的特征值为：| A | 由|A|>0，所以 A * 全部
特征值大于零所以 A*正定
正定矩阵具有以下一些简单性质: 1. 若A为正定的, 则AT, A-1, kA（k为正数），A*
北京航空航天大学线性代数第六章64正定二次型和正定矩阵.ppt
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
北京航空航天大学线性代数第六章6-4-正定二次型和正定矩阵
所以 B 为对称矩阵. 对于任意的 n 维实向量 X ,有
X BX X
T T
(kE A A ) X kX
T T
T
X X
T
A AX
T
kX
X ( AX ) AX .
T
T T
当X
0 时,有 X X 0 , ( AX ) AX 0
.因此,当
线性代数
k 0
时,有
X
T
BX kX
t 1 1 2 5
1 t
2
0 , 即 1 t 1,
t 1 2
5t
2
4t 0, 即
4 5
t 0.
于是当 5 t 0 时, f 为正定二次型.
线性代数
AX 为n元 定义6.4.3 T 实二次型, X ( c1 , c 2 , , c n ) 为任一非零的实向
1 n
2
2
1
n
必要性 设
A
是 n 阶正定矩阵,则
A
线性代数
为实对称矩阵,从而存在正交矩阵 Q ,使得
1 1 T Q AQ Q AQ n
即
1 A Q T Q n
其中
1
, , n
是 A 的 n 个特征值,且都大于
Y
T
BY
2 1 y1
2 2 y2
2 n yn
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必 要条件是 0 ( i 1, 2 , , n ).
i
线性代数
由于 A B 1 2 n ＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕. 例6.4.1 判断实二次型 f ( x , x , x )
第六章4正定二次型和正定矩阵
5
定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其
特征值都是负数.
6
6 例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 A 2 2
2 5 0
解
2 0. 7
EA 6 2 2 5
2 0
2 6 2 2 0 2 5 0 7 2 0 7
2 0. 7
30 4 26 0,
2 2 0 210 20 28 162 0. 7
22
故A正定.
实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 E n .
T P ,P 可逆. 3. A P
4.A的顺序主子式全是正数.
5.A的主子式全是正数.
7
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 12 35) 8( 6)
2 2
( 6)( 12 27) =( 3)( 6)( 9). 1 3, 2 6, 3 9.
2 1 2 2
3
二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
, 证明 设实对称矩阵A的特征值 1, n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 1 , , Y Q X, 其对角线元素为 , 对于 令 X O, 1 n
令 则
GO C ,|C |G | 0 . 1 1| O 1
T T T T T G O G A G G A G G E G n 1 n 1 n 1 . T T T O1 a G a G a n n n n n n
定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其
特征值都是负数.
6
6 例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 A 2 2
2 5 0
解
2 0. 7
EA 6 2 2 5
2 0
2 6 2 2 0 2 5 0 7 2 0 7
2 0. 7
30 4 26 0,
2 2 0 210 20 28 162 0. 7
22
故A正定.
实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 E n .
T P ,P 可逆. 3. A P
4.A的顺序主子式全是正数.
5.A的主子式全是正数.
7
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 12 35) 8( 6)
2 2
( 6)( 12 27) =( 3)( 6)( 9). 1 3, 2 6, 3 9.
2 1 2 2
3
二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
, 证明 设实对称矩阵A的特征值 1, n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 1 , , Y Q X, 其对角线元素为 , 对于 令 X O, 1 n
令 则
GO C ,|C |G | 0 . 1 1| O 1
T T T T T G O G A G G A G G E G n 1 n 1 n 1 . T T T O1 a G a G a n n n n n n
实二次型的正定性与正定矩阵
【解析】要注意首先要说明 AT A 是实对称矩阵.
【法一】由A可逆, 则有 AT A AT EA , 则AT A与单位阵合
同, 所以 AT A正定.
【法二】由A可逆, 则对任意n维实列向量X≠O, 有 AX≠O, X T AT AX ( AX )T AX 0, 所以 AT A 正定.
矩阵之间的关系
A的特征值均大于0 A与单位阵E合同 存在可逆阵P, 使得 A PT P A的各阶顺序主子式 > 0
例3 设A为n阶正定矩阵, E为n阶单位阵, 证明 A E 1
例4 A为n阶实对称矩阵, 且满足 A3 2A2 4A 3E O,
证明A为正定矩阵. 例5 证明
（1）若 An 正定，有实数域上矩阵 Pnm ，r(P) m n ，
2 4 5
例2 若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围?
【解析】已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用
顺序主子式求解.
2 1 0
二次型矩阵为
A2 1
21 0
——负定
2 2 2
(4)
XT
2
5
4
X
判断是否正定？
2 4 5
二、正定矩阵的充分必要条件
准则1 n阶实对称矩阵A正定 A的特征值全为正数.
2 2 2
例1
判断矩阵
A
2 2
5 4
4 5
是否为正定矩阵？
【解析】可求得A的全部特征值为1(二重)和10, 则该实对称矩阵A
的特征值全大于0, 故A为正定矩阵.
对于负定矩阵有类似的结论
A正定 -A负定 二次型 f 为正定 二次型 -f 为负定
【法一】由A可逆, 则有 AT A AT EA , 则AT A与单位阵合
同, 所以 AT A正定.
【法二】由A可逆, 则对任意n维实列向量X≠O, 有 AX≠O, X T AT AX ( AX )T AX 0, 所以 AT A 正定.
矩阵之间的关系
A的特征值均大于0 A与单位阵E合同 存在可逆阵P, 使得 A PT P A的各阶顺序主子式 > 0
例3 设A为n阶正定矩阵, E为n阶单位阵, 证明 A E 1
例4 A为n阶实对称矩阵, 且满足 A3 2A2 4A 3E O,
证明A为正定矩阵. 例5 证明
（1）若 An 正定，有实数域上矩阵 Pnm ，r(P) m n ，
2 4 5
例2 若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围?
【解析】已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用
顺序主子式求解.
2 1 0
二次型矩阵为
A2 1
21 0
——负定
2 2 2
(4)
XT
2
5
4
X
判断是否正定？
2 4 5
二、正定矩阵的充分必要条件
准则1 n阶实对称矩阵A正定 A的特征值全为正数.
2 2 2
例1
判断矩阵
A
2 2
5 4
4 5
是否为正定矩阵？
【解析】可求得A的全部特征值为1(二重)和10, 则该实对称矩阵A
的特征值全大于0, 故A为正定矩阵.
对于负定矩阵有类似的结论
A正定 -A负定 二次型 f 为正定 二次型 -f 为负定
线性代数 6-4正定二次型 PPT精品课件
第 六
将二次型 f ( X ) 化为标准型
章
实
f ( X ) a1 y12 a2 y22 an yn2 g(Y )
二
次
因 P 满秩，X 0 Y 0,
型
X 0 , 从而Y 0 ,
f ( X ) g(Y ) 0 ai 0 (i 1,2, ,n), 即二次型正21
1 2 0,
2 1
1 0, 1
t2
3 1 2 0, 2 t 2 .
-9-
第四节 正定二次型
例3 设A为m×n实矩阵，B I AT A, 证明:当 0 时, B为正定矩阵.
第
证: BT (I AT A)T B, 故 B为实对称矩阵.
1 a11 0,
2
a11 a21
a12 0, a22
,
第
六 章
a11 a12 a1n
实 二 次
(1)k a21 a22 a2n 0.
型
an1 an2 ann
即A的所有奇数阶顺序主子式都小于零; 而所有 偶数阶顺序主子式都大于零.
-6-
第四节 正定二次型
例1 判别下列二次型是否正定或负定
第四节 正定二次型
第 六
第四节 正定二次型
章
实 二 次 型
-1-
第四节 正定二次型
定义1 若对 X , 实二次型 f ( X ) X T AX 0,
则称二次型为正定二次型，并称A为正定矩阵。
定义2 若对 X , 实二次型 f ( X ) X T AX 0,
第
六 章
-7-
第四节 正定二次型
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
§4 正定二次型
A = −1 0 , A = 1 > 0 0 −1
A = C ′C = C > 0.
2
(
)
不是正定二次型 正定二次型. 但 X ′AX = − x12 − x2 2 不是正定二次型
4、顺序主子式、主子式 顺序主子式、
n×n 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
、
a11 K a1k k ×k 1) A(1,2,L , k ) = M O M ∈ R a L a kk k1
ai1i2 a i2 i 2 L a ik i2
L L L L
ai1ik a i2 ik L a ik ik
即行指标与 列指标相同 的k阶子式 阶子式
称为A的一个 主子式. 称为 的一个k 阶主子式. 的一个
5、（定理6） 、（定理6 定理
实二次型 f ( x1 , x2 ,K , xn ) = ∑∑ aij xi x j = X ′AX 正定
规范形为
z12 + z2 2 + L + zn 2 .
二、正定矩阵
1、定义：设A为实对称矩阵，若二次型 X ′AX 定义： 为实对称矩阵，
是正定的，则称A 正定矩阵. 是正定的，则称A为正定矩阵.
2、正定矩阵的判定
与单位矩阵E合同. 1）实对称矩阵A正定 ⇔ A与单位矩阵E合同. 实对称矩阵A
Q 正定二次型的规范形为z12 + z2 2 + L + zn 2 = Z ′EZ 实对称矩阵A正定 2) 实对称矩阵 正定
(i )
f ( X 0 ) = d i xi2 > 0, 则
∴ d i > 0, i = 1,2,L , n
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性. ）非退化线性替换不改变二次型的正定性. 证明： 证明：设正定二次型 f ( x1 , x2 ,K , xn ) = X ′AX 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 ＝
A = C ′C = C > 0.
2
(
)
不是正定二次型 正定二次型. 但 X ′AX = − x12 − x2 2 不是正定二次型
4、顺序主子式、主子式 顺序主子式、
n×n 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
、
a11 K a1k k ×k 1) A(1,2,L , k ) = M O M ∈ R a L a kk k1
ai1i2 a i2 i 2 L a ik i2
L L L L
ai1ik a i2 ik L a ik ik
即行指标与 列指标相同 的k阶子式 阶子式
称为A的一个 主子式. 称为 的一个k 阶主子式. 的一个
5、（定理6） 、（定理6 定理
实二次型 f ( x1 , x2 ,K , xn ) = ∑∑ aij xi x j = X ′AX 正定
规范形为
z12 + z2 2 + L + zn 2 .
二、正定矩阵
1、定义：设A为实对称矩阵，若二次型 X ′AX 定义： 为实对称矩阵，
是正定的，则称A 正定矩阵. 是正定的，则称A为正定矩阵.
2、正定矩阵的判定
与单位矩阵E合同. 1）实对称矩阵A正定 ⇔ A与单位矩阵E合同. 实对称矩阵A
Q 正定二次型的规范形为z12 + z2 2 + L + zn 2 = Z ′EZ 实对称矩阵A正定 2) 实对称矩阵 正定
(i )
f ( X 0 ) = d i xi2 > 0, 则
∴ d i > 0, i = 1,2,L , n
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性. ）非退化线性替换不改变二次型的正定性. 证明： 证明：设正定二次型 f ( x1 , x2 ,K , xn ) = X ′AX 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 ＝
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001
A
:=
6 -2 2
-2 5 0
207
f
:=
318
2
99
162
f_factor:= (6) (3) (9)
9
例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A3 2A2 4A 3E O. 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 3 22 4 3为 A3 2A2 4A 3E O 的特征值,故 3 2 2 4 3 0,
RTBR 为对角形.
14
例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
1 3,2 6,3 9.
8
>> E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix ([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*EA);f_factor:=factor(f);
E :=
1 0 0
0 1 0
10
3 2 2 4 3 3 1 2 2 4 2 ( 1)( 2 1) 2( 1)2 ( 1)( 2 3) 0, 1. 2 3 0, (1)2 12 11 0.
2 3 0 无实根.A的特征值为1,n重故 A是正定矩阵.
11
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同.
1
Ag
1
21负定矩阵;
h
x12
x22不定二次型.Ah
1
0
0 1
不定矩阵.
3
二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1,L ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1,L ,n , 对于X O, 令Y Q1X ,
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
13
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
RT AR QTPT APQ QTEQ E,
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 QT AQ ,| QT AQ || QT || A || Q |
| Q1 || A || Q || Q |1| A || Q || A || | 1 L n 0.
5
定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其 特征值都是负数.
6
例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 解
a11
a21
a12 a22
, A3
a11
a21
a31
a12 a22 a32
a13
a23
,L
,
a33
17
a11 L a1s
a11 L a1n
As
M
M
M ,L
, An
M
M
M A.
as1 L ass
an1 L ann
的行列式.
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零.
A
6 2 2
2 5 0
2
0 7
.
E A 6 2 2 6 2 2
2 5 0 2 5 0 2 0 7 2 0 7
7
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 2 12 35) 8( 6) ( 6)( 2 12 27) =( 3)( 6)( 9).
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
2
例
f ( x1 x2 )2 x22 x12 2 x1 x 2 x22正定二次型,
1
Af
1
1 2
正定矩阵;
g ( x1 x2 )2 x22 x12 2 x1 x 2 x22负定二次型,
即 X QY,显然 Y O, 又1 0,L ,n 0, 故
f X T AX
n
(QY )T AQY Y T (QT AQ)Y Y TY i yi2 0.
这就证明了条件的充分性.
i 1
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有
于是
AX X ,
X T AX X T X 0, X T X 0,故 0.
证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可
逆矩阵C,使得 CT AC E,对于任意≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
故A是正定的.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对
称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是
A的特征值 1,L ,n, 由于A是正定的,这些特征
值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,
故A合同于单位矩阵.
12
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 X o,由于P可 逆,PX≠o,故 X o
X T PT PX (PX )T PX PX 2 0.
§4 正定二次型和正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
1
一、基本概念
定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.
定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.
15
定理 n阶实对称矩阵A负定的充分必要条件是它与 负单位矩阵 En 合同.
16
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素组成的行列式
As | aij |ss , s 1,L , n
称为A的顺序主子式.即
A1
(a11 ), A2