【VIP专享】第六章4正定二次型和正定矩阵9
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10
3 2 2 4 3 3 1 2 2 4 2 ( 1)( 2 1) 2( 1)2 ( 1)( 2 3) 0, 1. 2 3 0, (1)2 12 11 0.
2 3 0 无实根.A的特征值为1,n重故 A是正定矩阵.
11
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同.
§4 正定二次型和正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
1
一、基本概念
定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.
定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.
1
Ag
1
21负定矩阵;
h
x12
x22不定二次型.Ah
1
0
0 1
不定矩阵.
3
二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1,L ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1,L ,n , 对于X O, 令Y Q1X ,
RTBR 为对角形.
14
例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
001
A
:=
6 -2 2
-2 5 0
207
f
:=
318
2
99
162
f_factor:= (6) (3) (9)
9
例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A3 2A2 4A 3E O. 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 3 22 4 3为 A3 2A2 4A 3E O 的特征值,故 3 2 2 4 3 0,
证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可
逆矩阵C,使得 CT AC E,对于任意向量X≠O,由于
C可逆,可从 CY 解X 出Y ≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
故A是正定的.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对
称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
2
例
f ( x1 x2 )2 x22 x12 2 x1 x 2 x22正定二次型,
1
Af
1
1 2
正定矩阵;
g ( x1 x2 )2 x22 x12 2 x1 x 2 x22负定二次型,
A的特征值 1,L ,n, 由于A是正定的,这些特征
值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,
故A合同于单位矩阵.
12
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 X o,由于P可 逆,PX≠o,故 X o
X T PT PX (PX )T PX PX 2 0.
15
定理 n阶实对称矩阵A负定的充分必要条件是它与 负单位矩阵 En 合同.
16
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素组成的行列式
As | aij |ss , s 1,L , n
称为A的顺序主子式.即
A1
(a11 ), A2
即 X QY,显然 Y O, 又1 0,L ,n 0, 故
f X T AX
n
(QY )T AQY Y T (QT AQ)Y Y TY i yi2 0.
这就证明了条件的充分性.
i 1
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有
于是
AX X ,
X T AX X T X 0, X T X 0,故 0.
1 3,2 6,3 9.
8
>> E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix ([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*EA);f_factor:=factor(f);
E :=
1 0 0
0 1 0
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 QT AQ ,| QT AQ || QT || A || Q |
| Q1 || A || Q || Q |1| A || Q || A || | 1 L n 0.
5
定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其 特征值都是负数.
6
例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 解
A
6 2 2
2 5 0
2
0 7
.
E A 6 2 2 6 2 2
2 5 0 2 5 0 2 0 7 2 0 7
7
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 2 12 35) 8( 6) ( 6)( 2 12 27) =( 3)( 6)( 9).
设Baidu Nhomakorabea正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
13
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
RT AR QTPT APQ QTEQ E,
a11
a21
a12 a22
, A3
a11
a21
a31
a12 a22 a32
a13
a23
,L
,
a33
17
a11 L a1s
a11 L a1n
As
M
M
M ,L
, An
M
M
M A.
as1 L ass
an1 L ann
的行列式.
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零.
3 2 2 4 3 3 1 2 2 4 2 ( 1)( 2 1) 2( 1)2 ( 1)( 2 3) 0, 1. 2 3 0, (1)2 12 11 0.
2 3 0 无实根.A的特征值为1,n重故 A是正定矩阵.
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定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同.
§4 正定二次型和正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
1
一、基本概念
定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.
定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.
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Ag
1
21负定矩阵;
h
x12
x22不定二次型.Ah
1
0
0 1
不定矩阵.
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二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1,L ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1,L ,n , 对于X O, 令Y Q1X ,
RTBR 为对角形.
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例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
001
A
:=
6 -2 2
-2 5 0
207
f
:=
318
2
99
162
f_factor:= (6) (3) (9)
9
例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A3 2A2 4A 3E O. 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 3 22 4 3为 A3 2A2 4A 3E O 的特征值,故 3 2 2 4 3 0,
证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可
逆矩阵C,使得 CT AC E,对于任意向量X≠O,由于
C可逆,可从 CY 解X 出Y ≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
故A是正定的.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对
称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
2
例
f ( x1 x2 )2 x22 x12 2 x1 x 2 x22正定二次型,
1
Af
1
1 2
正定矩阵;
g ( x1 x2 )2 x22 x12 2 x1 x 2 x22负定二次型,
A的特征值 1,L ,n, 由于A是正定的,这些特征
值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,
故A合同于单位矩阵.
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定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 X o,由于P可 逆,PX≠o,故 X o
X T PT PX (PX )T PX PX 2 0.
15
定理 n阶实对称矩阵A负定的充分必要条件是它与 负单位矩阵 En 合同.
16
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素组成的行列式
As | aij |ss , s 1,L , n
称为A的顺序主子式.即
A1
(a11 ), A2
即 X QY,显然 Y O, 又1 0,L ,n 0, 故
f X T AX
n
(QY )T AQY Y T (QT AQ)Y Y TY i yi2 0.
这就证明了条件的充分性.
i 1
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设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有
于是
AX X ,
X T AX X T X 0, X T X 0,故 0.
1 3,2 6,3 9.
8
>> E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix ([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*EA);f_factor:=factor(f);
E :=
1 0 0
0 1 0
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 QT AQ ,| QT AQ || QT || A || Q |
| Q1 || A || Q || Q |1| A || Q || A || | 1 L n 0.
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定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其 特征值都是负数.
6
例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 解
A
6 2 2
2 5 0
2
0 7
.
E A 6 2 2 6 2 2
2 5 0 2 5 0 2 0 7 2 0 7
7
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 2 12 35) 8( 6) ( 6)( 2 12 27) =( 3)( 6)( 9).
设Baidu Nhomakorabea正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
13
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
RT AR QTPT APQ QTEQ E,
a11
a21
a12 a22
, A3
a11
a21
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a12 a22 a32
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a23
,L
,
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a11 L a1s
a11 L a1n
As
M
M
M ,L
, An
M
M
M A.
as1 L ass
an1 L ann
的行列式.
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零.