第三节 正定二次型和正定矩阵
6-4正定二次型及正定矩阵
1 2
=
t + 2 2t + 2 2 3t + 2
= (3t 2 + 4t) > 0.
由 可得
,
2 t 2 > 0 (3t + 4)t < 0
4 <t <0 3
于是当 4 < t < 0 时, f (x1, x2 , x3 ) 为正定 3 二次型.
例5
为可逆矩阵, 设 U 为可逆矩阵 A = UTU, 证明 是正定二次型. f = X AX 是正定二次型
X 1T AX 1 > 0 ,而对另一 3)如果对某向量 X 1 ,有 )
X 2 ,有 X 2T AX 2 > 0 ,则称该二次型为不定 向量
二次型。矩阵A称为不定矩阵。 二次型。矩阵 称为不定矩阵。 称为不定矩阵
例如
2 2 2 (1) f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + 4 x 2 + 6 x 3 为正定二次型
( 1)
r
ar 1
> 0, arr
(r = 1,2, , n ).
例1 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定. 是否正定
2 5 1 解 f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为 2 4 2 它的顺序主子式 5 2 5 2 1 5 > 0, = 1 > 0, 2 2 1 4 2 故上述二次型是正定的. 故上述二次型是正定的
X ,都有 X T AX ≥ 0 2) 如果对于任意非零向量
成立,并且存在某向量X 使得 (或 ≤ 0 )成立,并且存在某向量 0,使得
正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义,若要判别一个对称矩阵A是否正定,按照前 面的讨论,可以利用一个非退化的线性替换X=PY,将二次型XTAX化成 标准型(与其具有同样正定性)
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而,利用正定二次型的判别定c 理,判别XTAX的正定性,也就得 到了A的正定性.但是,更希望从矩阵的本身,直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性: 显然,对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T, 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此,原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
(2)如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式,那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
(7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性,从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式(7-16)中大于0的di的个数, 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数,因此,得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件(5),A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0, 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法,引入如下定义.
高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵
f
x2 1
x2 2
5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A
1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1>0
(1) xTAx >0 ,则称 f 为正定二次型,
相应地矩阵A称为正定矩阵;
(2) xTAx <0 ,则称 f 为负定二次型,相应
地矩阵A称为负定矩阵;
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
(3)xTAx≥ 0 ,则称 f 为半正定二次型,相应
地矩阵A称为半正定矩阵;
(4)xTAx ≤0 ,则称 f 为半负定二次型,相应
0 1 2
2
5 2
2 6
2 0
2 0 4
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
解 (1) 2>0,
2 2
1 2
5>0,
2 1 0
1 2 1 4>0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5>0, 5 2 26 >0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2>0,
1t t1
1
2 5t 2 4t >0,
1 2 5
1 t 2>0
因此
5t
2
4t <0
解之得 4<t<0 5
故当 4 <t<0 时,该二次型为正定二次型. 5
§ P15 5.3 正定二次型与对称正定矩阵
21:54:29
4
定理4 设A是n阶对称矩阵,则有 (1) A是正定的充要条件是A的特征值全是正数。 (2) A是正定的充要条件是A与单位阵合同, T 即存在可逆矩阵 C,使A C C (3) A是正定的,则|A|>0
由定义可知,正定矩阵必是半正定矩阵,但是 半正定矩阵不一定是正定矩阵。
21:54:29 1
一个二次型既不是半正定的,也不是半负正定 的,则称是不定的二次型。 例如 f x 2 4 y 2 16z 2
2 2 f x1 3 x2
为正定二次型
为负定二次型
为半正定二次型。 为半负定二次型。
T
X T ( BT B) X ( BX )T ( BX ) Y T Y
y y y 0
2 1 2 2 2 m
所以BTB是半正定矩阵。 如果B的秩是n,即B的列向量线性无关,因此当 X≠0时,必定有Y=BX≠0,从而有
T T 2 1 2 2 2 m
21:54:29 8
X (B B) X y y y 0 所以这时BTB是正定矩阵。
k k
3 0 2 0 0
1 4 3 k k 1 1 k 1 k
k 1 0, k 1,2,, n
21:54:29
2A的全部顺序主子式都大于0. A正定,f正定.
17
例6 判断n阶(n≥2)矩阵A是否是正定阵.
2 1 A 1
1 2 1
1 1 2
正定二次型及正定矩阵.ppt
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P,使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x (y1 , y2 ,, yn) , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同,则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC,则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆,x 0, 故Cx 0,则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是: A的 特征值全为正. 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值, i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X= 2 ,都有 xn
线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵
方法一
令g( A) A 5 E ,
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以g( A)的所有特征值为 g( 1), g( 2), g( 3),
A 5 E g( A) g(1) g(1) g(2) 4 6 3 72.
A 80 0,
根据定理4知f为负定.
例5(矩阵正定的必要条件)
则其对角线元aii 0. 若A为正定矩阵,
证明: 因为A正定,所以对非零向量
x ei [0,,1,0]T , 有
f x Ax ei Aei aii 0 ( i 1, 2,, n)
T T
成立.
证明 设可逆变换x Cy使 f x f Cy ki yi2 .
充分性:设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0,
i 1
n
则 y C x 0, 故
-1
2 f x k i yi 0. i 1
n
必要性: f x f Cy ki yi2 0.
3
2 用方阵A的特征值, 来讨论kE A的可逆性
方法二
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以 f A ( ) E A ( 1)( 1)( 2),
5 E A f A (5) (5 1)(5 1)(5 2) 72,
A 5 E ( 1) 5 E A 72.
解
A与P1 AP有相同的特征值 .
1 是 P i P AP属于 i 的特征向量. 1
P
1
AP i I X 0 P 1 A i I PX 0
线性代数§6.4
小结
1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 主子式判别法; (3) 特征值判别法.
yT (CT AC) y
任取 y0 0, 由x=Cy得到与 y0 对应的 x0
0 x0 Cy0
正定.
因为 xT Ax 正定,所以 x0T Ax0 0 即 y0T (CT AC) y0 0 故 yT (CT AC) y 正定.
另一方面,由 yT (CT AC) y 正定
xT Ax 正定.
任取 x0 0, 由 x=Cy 得到与 x0对应的 y0
(1) 二次型 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
正定
di 0 (i 1, 2, , n)
充分性,若 di 0 (i 1, 2, , n),y ( y1, y2, , yn) 0 则 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2 0
定义1: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定二
次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二
次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 注意:正定矩阵一定是对称矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。
故 A1 正定.
A *的特征值为:| A | 由|A|>0,所以 A * 全部
特征值大于零所以 A*正定
正定矩阵具有以下一些简单性质: 1. 若A为正定的, 则AT, A-1, kA(k为正数),A*
正定二次型
i 1 j 1 n n
A的顺序主子式 Pk 全大于零.
证:必要性.设 f ( x1 , x2 ,
k (1 k n), 令
, xn ) 正定,对每一个k
f k ( x1 , x2 ,
, xk ) aij xi x j
§4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式
nn A ( a ) R 设矩阵 ij
、
1) A(1,2,
a11 ,k) a k1
a1k k k R akk
a11 ak 1 a1k akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
2) Pk det A(1,2,
,k)
f ( x1 , x2 ,
§4 正定二次型
, xn ) xi2 是正定的;
n 1 i 1 i 1
n
, xn ) xi2
2、正定性的判定
1)实二次型 X AX 正定
X Rn , 若X 0,则X AX 0
2)设实二次型
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) d1 x1 d 2 x2
, xn ) 经非退化线性替换 X CY
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) d1 y1 d 2 y2
2 d n yn
由2), f 正定 di 0, i 1,2,
,n
即,f 的正惯性指数p=n=秩 f .
§4 正定二次型
5)正定二次型 f ( x1 , x2 ,
n X R , X 0, 都有 X AX 0, (2)由于A 正定,对
因此有 X ( kA) X kX AX 0. 故, kA 正定.
正定二次型
正定二次型正定二次型是线性代数中一种重要的二次型形式,它在数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及一些应用。
1. 定义对于一个n维向量x=(x1,x2,...,x n)T,其中x i表示向量x的第i个分量。
正定二次型是指具有如下形式的二次型:Q(x)=x T Ax其中A是一个$n \\times n$的对称矩阵,x T表示向量x的转置。
如果对于任意的非零向量x,都有Q(x)>0,则称二次型Q(x)为正定二次型。
2. 性质正定二次型具有一些重要的性质,下面将介绍其中几个性质。
2.1 对称性正定二次型的矩阵A是一个对称矩阵,即A=A T。
这是因为对于任意的向量x,都有x T Ax=x T(A T x)=(x T Ax)T=x T A T x。
因此,正定二次型的矩阵A是对称的。
2.2 正定性与正定矩阵的关系正定二次型与正定矩阵之间有着紧密的联系。
一个$n \\times n$的对称矩阵A 是正定矩阵,当且仅当对于任意的非零向量x,都有x T Ax>0。
而正定二次型Q(x)是由矩阵A定义的,因此正定矩阵与正定二次型是等价的概念。
2.3 正定矩阵的特征值对于一个正定矩阵A,它的特征值都大于零。
这是因为如果A的一个特征值为$\\lambda$,对应的特征向量为x,那么有$Ax = \\lambda x$。
进而,我们可以得到$x^T A x = x^T (\\lambda x) = \\lambda (x^T x) > 0$。
由于x是非零向量,x T x> 0,因此必有$\\lambda > 0$。
2.4 正定矩阵的行列式对于一个正定矩阵A,它的行列式大于零。
这是因为正定矩阵的特征值都大于零,而行列式是特征值的乘积,因此正定矩阵的行列式也大于零。
3. 应用正定二次型在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍两个典型的应用。
3.1 正定二次型在优化问题中的应用正定二次型经常出现在优化问题的目标函数中。
第三节正定二次型
C A C 1,
T
A C 1
2
1 A 2 0 C
定理2 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是: A 的各阶顺序主子式为正,即 a11 a1n a11 a12 0; a11 0, 0, , a21 a22 an1 ann 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是:奇数阶顺序主 子式为负,而偶数阶顺序主子式为正,即 a11 a1r
问题: y1,y2,…,yn取怎样的实数时,(4)式左端大于0,同时相应 的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于等于0?
2 2 2 2 f y12 y2 y 2 y 2 1 yr2 z12 z2 zq zq 1 zr2 p p
(4)
惯性定理可表述成 设有实二次型f x Ax, 它的秩
T
为r , 有两个实的可逆变换 x Cy 使 及 相等. 及 x Pz
2 f k1 y12 k2 y2 kr yr2 2 f 1 z12 2 z2 r zr2
ki 0 , i 0 ,
0
当yi (i=1,2,…,r)不全为0时,二次型f>0,所以上述二次型半正定。
四、小结
1. 正定二次型的概念,正定二次型与正定 矩阵的区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1)定义法; (2)顺次主子式判别法; (3)特征值判别法. 3. 类似地,可以得到负定二次型(负定 矩阵)相应的判别方法.
惯性定理: 设有实二次型 f X T AX , 它的秩为 r , 它的规范形是唯一的。
2 f z 1 z22 z 2 z 2 1 z 2 2 zr2 p p p
即r和正惯性系数 p对于f都是确定的。
实二次型的正定性与正定矩阵
【法一】由A可逆, 则有 AT A AT EA , 则AT A与单位阵合
同, 所以 AT A正定.
【法二】由A可逆, 则对任意n维实列向量X≠O, 有 AX≠O, X T AT AX ( AX )T AX 0, 所以 AT A 正定.
矩阵之间的关系
A的特征值均大于0 A与单位阵E合同 存在可逆阵P, 使得 A PT P A的各阶顺序主子式 > 0
例3 设A为n阶正定矩阵, E为n阶单位阵, 证明 A E 1
例4 A为n阶实对称矩阵, 且满足 A3 2A2 4A 3E O,
证明A为正定矩阵. 例5 证明
(1)若 An 正定,有实数域上矩阵 Pnm ,r(P) m n ,
2 4 5
例2 若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围?
【解析】已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用
顺序主子式求解.
2 1 0
二次型矩阵为
A2 1
21 0
——负定
2 2 2
(4)
XT
2
5
4
X
判断是否正定?
2 4 5
二、正定矩阵的充分必要条件
准则1 n阶实对称矩阵A正定 A的特征值全为正数.
2 2 2
例1
判断矩阵
A
2 2
5 4
4 5
是否为正定矩阵?
【解析】可求得A的全部特征值为1(二重)和10, 则该实对称矩阵A
的特征值全大于0, 故A为正定矩阵.
对于负定矩阵有类似的结论
A正定 -A负定 二次型 f 为正定 二次型 -f 为负定
6-2正定二次型与正定矩阵
5 2 4
5 2 1
2 1 2
4
4 2 , 5
它的顺序主子式
5 0,
5 2
2 1
1 0,
2 4
2 1 0, 5
2
故上述二次型是正定的.
四、其他类别二次型
定义 设 为实二次型,若对任意非零 向量X,恒有: (1) f ( X ) 0 ,则称 f ( X ) X AX 为半正定二次型;
a 11 a 21
a 12 a 22
0,
,
a n1
a nn
例
判别二次型
2 2 2
f x1 , x 2 , x 3 5 x1 x 2 5 x 3 4 x1 x 2 8 x1 x 3 4 x 2 x 3
是否正定.
解
f x 1 , x 2 , x 3 的矩阵为
规范型中有三个要素: 1、正惯性指数:正平方项的个数p 2、负惯性指数: 负平方项的个数r-p 3、符号差:正惯性指数-负惯性指数;即2p-r 说明:由于正交变换得到的标准型前面系数都 是矩阵A的特征值;因此正惯性指数就是矩阵A 正的特征值的个数,负惯性指数就是矩阵A负 的特征值的个数。
二、正定二次型的概念
f ( X ) X AX
T
T
(5) A的特征值都为负; (6) A的所有奇数阶顺序主子式都小于零,偶数阶 顺序主子式都大于零(霍尔维茨定理).
思考题
设A为 m n实矩阵,E为n阶单位矩阵, 又设B E A A ,证明:当 0 时,B正定. (直接用定义证明,见黑板)
T
定 义1 设有实二次型 f (x) x Ax,如 果 对 任 何
正定二次型
正定二次型(李治飞)●教学目标与要求通过本节的学习,使学生正确掌握正定二次型与正定矩阵的概念,了解惯性定理,学会如何判断一个二次型为正定的二次型,一个实对称矩阵为正定矩阵.●教学重点与难点教学重点:正定二次型与正定矩阵的定义. 教学难点:如何判断正定二次型及正定矩阵。
●教学方法与建议通过简单的例子使学生能直观地看到: 二次型的标准型不是唯一的,从而引入惯性定理.对标准形各种情况的讨论使学生易于理解正(负)定二次型、 正(负)定矩阵及半正(负)定二次型、半正(负)定矩阵等基本概念,进而给出正定二次型、正定矩阵等概念的定义以及正定二次型、正定矩阵的判别法。
●教学过程设计1. 问题的提出: 二次型的标准型是否唯一呢?(1)举例:将二次型: 22312x x x f += 化为标准型解一: 通过正交变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2102101021021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y可得标准型 232221y y y f ++-= (见前节例)解二: 通过可逆变换::⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y可得标准型23222122y y y f -+=( 由此知:通过不同可逆变换而得到的二次型的标准型可能是不同的,那么不同的标准型之间有怎样的相同性呢?)(2)惯性定理定理:设实二次型 ƒ = xTAx 的秩为r , 有两个实可逆变换: x=cy 及x=py使 ƒ = k 1y 21 + k 2y 22 + … +k r y 2r (k i ≠0, i=1, …,r)及 ƒ = 1λy 21 + 2λy 22+ … +r λy 2r (i λ ≠0, i=1, …,r)则: k 1, k 2,…, k r 与 1λ, 2λ, … ,r λ中所含正数的个数相等。
( 注:证明略。
仅由前面的实例加以说明。
)(3)二次型 ƒ = x TAx 其标准型可分以下几种情形。
正定二次型与正定矩阵
1
B
2
,
n
其中λi(i=1,2,…,n)是A的全部特征值.A正定 , 的充要条件是B正定.B对应的二次型
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
, 显见它正定的充要条件是λi>0,(i=1,2,…,n). 由于B=QTAQ=Q-1AQ,故A与B还是相
事实上,设f(x1,…,xn)是正定的,则g(y1,…,yn) 也是正定的.任给y1,y2,…,yn一组不完全为 零的实数值
y1 c1, y2 c2 ,, yn cn
,
将它代入X = CY得到x1,x2,…,xn的一组对应 值 ,
x1 b1, x2 b2 , , xn bn
它们的关系为
对应的实对称矩阵A称为半正定矩阵; f(c1,c2,…,cn)<0,称 f 为负定二次型,
对应的实对称矩阵A称为负定矩阵; f(c1,c2,…,cn)≤0,称 f 为半负定二次型,
对应的实对称矩阵A称为半负定矩阵. 若 f 非半正定,也非半负定,称 f 为不
定的二次型,相应的矩阵A称为不定矩阵.
易见半正定矩阵包括了正定矩阵在内,
f (x1,, xn ) x12 x22 xn2
是正定的.因为不论x1,x2,…,xn取什么实数, 只要它们不全为零,就一定大于零;反之亦
然.但如果二次型不是规范形,就不是很容 易观察出来了.此时我们可以用非退化线 性替换将其化为规范形.然而这样做的时 候,正定性是否保持不变?
由惯性定理可知,实二次型经过非退
x2 4
为正定二次型的λ的取值范围.
解 f 对应的实对称矩阵为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
6
x
2 2
4 x32
2 x1 x2
2 x1 x3源自(2) f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (1)f 的矩阵为 顺序主子式
2 1 1 A 1 6 0 ,
1 0 4
2 1
20,
11 0 , A 38 0 ,
这是因为 C 是可逆矩阵,只要Y 0 ,就有X 0 ,
于是 XT AX 0 ,即Y T (C T AC )Y 0 。
由变换的可逆性,若Y T (C T AC )Y 正定,也可推出
XT AX 正定。
由上述两个结论可知,研究二次型的正定性,只要 通过非退化线性变换,将其化为标准形,就容易由以下 定理判别其正定性。
( A)
3
例1 判别二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 2 x1 x2 2 x2 x3
是否正定。
1 1 0
解 二次型对应的矩阵为 A 1 2 1 ,
1 1
0 0 1 3
E A 1 2 1
即矩阵 AT A 为正定矩阵。
11
2、其它有定二次型 定义 设 f (X) XT AX是一个实二次型,对任意非零向量
X ( x1, x2 , , xn )T 0 ,
(1)若恒有 f ( X ) 0 ,则称 f (X) 是半正定二次型, A 称为半正定矩阵;
(2)若恒有 f ( X ) 0 ,则称 f (X) 是负定二次型, A 称为负定矩阵; (3)若恒有 f ( X ) 0 ,则称 f (X) 是半负定二次型, A 称为半负定矩阵。
如果二次型不是有定的,就称为不定二次型。
12
显然,A是负定(半负定 )的当且仅当-A是正定 (半正定)的。由此,容易得出以下结论:
(1)A半正定的充分必要条件是A的特征值非负; (2)A负定的充分必要条件是A的特征值全负; (3)A半负定的充分必要条件是A的特征值非正; (4)A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子 式全为负而偶数阶顺序主子式全为正; (5)若A负定,则A的对角元全为负。 注意: 1.最后一条只是必要条件。 2.A的顺序主子式全非负, A也未必是半正定的。
证 必要性 设 BT AB 为正定阵,
则对任意实 n 维向量 x 0 , 有 xT BT A B x 0 ,
即 (Bx)T A(Bx) 0 ,可见 Bx 0 ,
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即r(B) n ;
充分性: 因为 (BT AB)T BT AT B BT AB ,
问 t 取何值时,该二次型为正定二次型?
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
1 2 顺序主子式为: A1 1 0 ,
A3 A 5t 2 4t 0 ,
解得 4 t 0 . 5
1 2 , 5
1 A2 t
t 1t2 0, 1
0 1 3
2 c1 c2 c3 2
2
1
2
1
0
1 ( 2)(2 4 1) , 3
4
E A ( 2)(2 4 1) ,
求得 A 的特征值为2, 2 3 ,
全为正, 因此二次型正定。
5
下面,我们从二次型矩阵 A 的子式,来判别二次
充分性是显然的;下面用反证法证必要性:
假设某个 dk 0 ,取 yk 1 ,其余 y j 0 ( j k) ,
代入二次型,得 f (0, ,1, ,0) dk 0 ,
与二次型 f ( y1, y2, , yn) 正定矛盾。
1
(1) 二 次型 f ( y1, y2, , yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。 (2) 二次型XT AX 若正定,经过可逆线性变换X CY , 化为 Y T (C T AC )Y ,其正定性保持不变。
为正定矩阵。
证 因为 ( AT A)T AT A , 故 AT A 是 n 阶对称矩阵。 又r(A) n ,可知齐次线性方程组AX 0 仅有零解,
所以对任意X 0 ,必有AX 0 ,于是
X T ( AT A)X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A)X 为正定二次型,
a11 a12 a1k
Ak
a21
a22
a2k
ak1 ak 2 akk
7
例2 判别二次型
f 5 x12 5 x22 5 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3
是否正定。
5
解 二次型对应的矩阵为 A 2
2 2 5 1 ,
f ( Xi ) aii 0, (i 0,1, .n) 。
(2)因为 A 正定,所以 A 的特征值全大于零,即
得 A 12 n 0 。
6
上述定理是A正定的必要条件,但不是充分条件。
定理 二次型 X T AX 正定的充分必要条件是,A 的顺
序主子式全大于零。(证略)
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
13
例如,设矩阵
1 1 0 A 1 1 0 ,
0 0 1
显然A的顺序主子式
11 0
11
A1 1 0 ,
A2 1
0, 1
A3 1
1
0 0,
0 0 1
但对角元有正有负,显然A是不定的。
14
例5 判定下列二次型是否是有定二次型。
(1)
f
2 x12
0 2 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
16
练习:
P222 习题五
17
END
18
选用例题
1、 设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块
矩
阵C
A 0
0 B
是
否
为
正
定
矩 阵.
解 C是正定的。
因 为,设zT ( xT , yT )为m n维 向 量,其 中x, y分 别
是m维和n维列向量,若z 0,则 x, y不同时为零向量,
于是
z T Cz
(
xT
,
yT
)
A 0
0 B
x y
xT
Ax
yT By
0
,
且C是实对称阵,故C是正定矩阵。 19
2. 设 A 是 m 阶实对称阵且正定,B 为m n 实矩阵,
试证: BT AB 为正定阵的充分必要条件是r(B) n 。
2
定理 n元实二次型 f X T AX 正定的充分必要条件是 它的正惯性指数等于 n。
推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正。
☎ 若实对称矩阵A为正定矩阵,则 AT , A1, A 均为
正定矩阵。 这是因为:
矩阵 A 与它的转置AT 有相同的特征值; ( A1 ) 1 ( A) ; ( A ) A .
9
☎ 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在
可逆矩阵C,使得 A C TC .
实际上,正定二次型的规范形为
z12 z22 zn2 ,
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E , 即存在可逆矩阵C ,使
A C T EC C T C .
10
☎ 设 A 为m n 矩阵,且的秩r( A) n ,则AT A
型 X T AX 的正定性。先给出 A 正定的两个必要条件,
再给一个充分必要条件。
定理 设矩阵A正定,则
(1)A的主对角元全为正;
(2)A 的行列式 A 0 。
nn
证明(1)因为 f ( X ) X T AX
aij xi x j 正定,
取 X i (0, ,1, ,0)T ,则有 i1 j1
可见 BT AB 为实对称阵.
将上述过程逆推,即可得证. 20
1 6
所以 f 是负定的。
15
例5 判定下列二次型是否是有定二次型。
(1)
f
2 x12
6
x
2 2
4 x32
2 x1 x2
2 x1 x3
(2) f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (2)f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 0 A 2 2 2 ,
一、正定二次型正定矩阵
定义 设 f (X) XT AX 是一个实二次型,若对任意的非
零向量 X (x1, x2, , xn)T 0 ,恒有 f ( X ) 0 ,则称 f (X) 是正定二次型,它所对应的矩阵 A 称为正定矩阵。
由定义,可得以下结论:
(1)二次型 f ( y1, y2, , yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正定 的充分必要条件是di 0 。
它的顺序主子式为:
2 1 5
52
A1 5 0 ,
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的, 即二次型 f 正定。
8
例3 设有实二次型
f x12 x22 5 x32 2t x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3