第三节 正定二次型和正定矩阵

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6-4正定二次型及正定矩阵

6-4正定二次型及正定矩阵

1 2
=
t + 2 2t + 2 2 3t + 2
= (3t 2 + 4t) > 0.
由 可得

2 t 2 > 0 (3t + 4)t < 0
4 <t <0 3
于是当 4 < t < 0 时, f (x1, x2 , x3 ) 为正定 3 二次型.
例5
为可逆矩阵, 设 U 为可逆矩阵 A = UTU, 证明 是正定二次型. f = X AX 是正定二次型
X 1T AX 1 > 0 ,而对另一 3)如果对某向量 X 1 ,有 )
X 2 ,有 X 2T AX 2 > 0 ,则称该二次型为不定 向量
二次型。矩阵A称为不定矩阵。 二次型。矩阵 称为不定矩阵。 称为不定矩阵
例如
2 2 2 (1) f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + 4 x 2 + 6 x 3 为正定二次型
( 1)
r
ar 1
> 0, arr
(r = 1,2, , n ).
例1 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定. 是否正定
2 5 1 解 f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为 2 4 2 它的顺序主子式 5 2 5 2 1 5 > 0, = 1 > 0, 2 2 1 4 2 故上述二次型是正定的. 故上述二次型是正定的
X ,都有 X T AX ≥ 0 2) 如果对于任意非零向量
成立,并且存在某向量X 使得 (或 ≤ 0 )成立,并且存在某向量 0,使得

正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义,若要判别一个对称矩阵A是否正定,按照前 面的讨论,可以利用一个非退化的线性替换X=PY,将二次型XTAX化成 标准型(与其具有同样正定性)
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而,利用正定二次型的判别定c 理,判别XTAX的正定性,也就得 到了A的正定性.但是,更希望从矩阵的本身,直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性: 显然,对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T, 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此,原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
(2)如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式,那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
(7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性,从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式(7-16)中大于0的di的个数, 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数,因此,得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件(5),A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0, 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法,引入如下定义.

高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵

高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵

f

x2 1

x2 2

5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?

二次型的矩阵为
A


1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1>0
(1) xTAx >0 ,则称 f 为正定二次型,
相应地矩阵A称为正定矩阵;
(2) xTAx <0 ,则称 f 为负定二次型,相应
地矩阵A称为负定矩阵;
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(3)xTAx≥ 0 ,则称 f 为半正定二次型,相应
地矩阵A称为半正定矩阵;
(4)xTAx ≤0 ,则称 f 为半负定二次型,相应
0 1 2
2

5 2

2 6
2 0
2 0 4
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解 (1) 2>0,
2 2
1 2
5>0,
2 1 0
1 2 1 4>0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5>0, 5 2 26 >0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2>0,
1t t1
1
2 5t 2 4t >0,
1 2 5
1 t 2>0
因此

5t
2

4t <0
解之得 4<t<0 5
故当 4 <t<0 时,该二次型为正定二次型. 5

§ P15 5.3 正定二次型与对称正定矩阵

§ P15 5.3  正定二次型与对称正定矩阵
定理3 设n元实二次型 f X T AX 的秩为r,正惯性指标为p, 负惯性指标为q,则 二次型为 (1) 正定的充要条件是p=n, (2) 负定的充要条件是q=n, (3) 不定的充要条件是0<p<r≤n, 0<q
21:54:29
4
定理4 设A是n阶对称矩阵,则有 (1) A是正定的充要条件是A的特征值全是正数。 (2) A是正定的充要条件是A与单位阵合同, T 即存在可逆矩阵 C,使A C C (3) A是正定的,则|A|>0
由定义可知,正定矩阵必是半正定矩阵,但是 半正定矩阵不一定是正定矩阵。
21:54:29 1
一个二次型既不是半正定的,也不是半负正定 的,则称是不定的二次型。 例如 f x 2 4 y 2 16z 2
2 2 f x1 3 x2
为正定二次型
为负定二次型
为半正定二次型。 为半负定二次型。
T
X T ( BT B) X ( BX )T ( BX ) Y T Y
y y y 0
2 1 2 2 2 m
所以BTB是半正定矩阵。 如果B的秩是n,即B的列向量线性无关,因此当 X≠0时,必定有Y=BX≠0,从而有
T T 2 1 2 2 2 m
21:54:29 8
X (B B) X y y y 0 所以这时BTB是正定矩阵。
k k
3 0 2 0 0
1 4 3 k k 1 1 k 1 k
k 1 0, k 1,2,, n
21:54:29
2A的全部顺序主子式都大于0. A正定,f正定.
17
例6 判断n阶(n≥2)矩阵A是否是正定阵.
2 1 A 1
1 2 1
1 1 2

正定二次型及正定矩阵.ppt

正定二次型及正定矩阵.ppt
1 4 为半正定矩阵 6 0
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P,使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x (y1 , y2 ,, yn) , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同,则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC,则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆,x 0, 故Cx 0,则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是: A的 特征值全为正. 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值, i 为对应于i的
第六章
二次型
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一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X= 2 ,都有 xn

线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵

线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵
下面求 A 5E .
方法一
令g( A) A 5 E ,
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,

所以g( A)的所有特征值为 g( 1), g( 2), g( 3),
A 5 E g( A) g(1) g(1) g(2) 4 6 3 72.
A 80 0,
根据定理4知f为负定.
例5(矩阵正定的必要条件)
则其对角线元aii 0. 若A为正定矩阵,
证明: 因为A正定,所以对非零向量
x ei [0,,1,0]T , 有
f x Ax ei Aei aii 0 ( i 1, 2,, n)
T T
成立.
证明 设可逆变换x Cy使 f x f Cy ki yi2 .
充分性:设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0,
i 1
n
则 y C x 0, 故
-1
2 f x k i yi 0. i 1
n
必要性: f x f Cy ki yi2 0.
3
2 用方阵A的特征值, 来讨论kE A的可逆性
方法二
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以 f A ( ) E A ( 1)( 1)( 2),
5 E A f A (5) (5 1)(5 1)(5 2) 72,
A 5 E ( 1) 5 E A 72.

A与P1 AP有相同的特征值 .
1 是 P i P AP属于 i 的特征向量. 1
P

1
AP i I X 0 P 1 A i I PX 0

线性代数§6.4

线性代数§6.4

小结
1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 主子式判别法; (3) 特征值判别法.
yT (CT AC) y
任取 y0 0, 由x=Cy得到与 y0 对应的 x0
0 x0 Cy0
正定.
因为 xT Ax 正定,所以 x0T Ax0 0 即 y0T (CT AC) y0 0 故 yT (CT AC) y 正定.
另一方面,由 yT (CT AC) y 正定
xT Ax 正定.
任取 x0 0, 由 x=Cy 得到与 x0对应的 y0
(1) 二次型 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
正定
di 0 (i 1, 2, , n)
充分性,若 di 0 (i 1, 2, , n),y ( y1, y2, , yn) 0 则 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2 0
定义1: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定二
次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二
次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 注意:正定矩阵一定是对称矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。
故 A1 正定.
A *的特征值为:| A | 由|A|>0,所以 A * 全部
特征值大于零所以 A*正定
正定矩阵具有以下一些简单性质: 1. 若A为正定的, 则AT, A-1, kA(k为正数),A*

正定二次型

正定二次型
, xn ) aij xi x j X AX 正定
i 1 j 1 n n
A的顺序主子式 Pk 全大于零.
证:必要性.设 f ( x1 , x2 ,
k (1 k n), 令
, xn ) 正定,对每一个k
f k ( x1 , x2 ,
, xk ) aij xi x j
§4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式
nn A ( a ) R 设矩阵 ij

1) A(1,2,
a11 ,k) a k1
a1k k k R akk
a11 ak 1 a1k akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
2) Pk det A(1,2,
,k)
f ( x1 , x2 ,
§4 正定二次型
, xn ) xi2 是正定的;
n 1 i 1 i 1
n
, xn ) xi2
2、正定性的判定
1)实二次型 X AX 正定
X Rn , 若X 0,则X AX 0
2)设实二次型
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) d1 x1 d 2 x2
, xn ) 经非退化线性替换 X CY
f ( x1 , x2 ,
2 2 , xn ) d1 y1 d 2 y2
2 d n yn
由2), f 正定 di 0, i 1,2,
,n
即,f 的正惯性指数p=n=秩 f .
§4 正定二次型
5)正定二次型 f ( x1 , x2 ,
n X R , X 0, 都有 X AX 0, (2)由于A 正定,对
因此有 X ( kA) X kX AX 0. 故, kA 正定.
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6
x
2 2

4 x32

2 x1 x2
2 x1 x3源自(2) f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (1)f 的矩阵为 顺序主子式
2 1 1 A 1 6 0 ,
1 0 4
2 1
20,
11 0 , A 38 0 ,
这是因为 C 是可逆矩阵,只要Y 0 ,就有X 0 ,
于是 XT AX 0 ,即Y T (C T AC )Y 0 。
由变换的可逆性,若Y T (C T AC )Y 正定,也可推出
XT AX 正定。
由上述两个结论可知,研究二次型的正定性,只要 通过非退化线性变换,将其化为标准形,就容易由以下 定理判别其正定性。
( A)
3
例1 判别二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 2 x1 x2 2 x2 x3
是否正定。
1 1 0
解 二次型对应的矩阵为 A 1 2 1 ,
1 1
0 0 1 3
E A 1 2 1
即矩阵 AT A 为正定矩阵。
11
2、其它有定二次型 定义 设 f (X) XT AX是一个实二次型,对任意非零向量
X ( x1, x2 , , xn )T 0 ,
(1)若恒有 f ( X ) 0 ,则称 f (X) 是半正定二次型, A 称为半正定矩阵;
(2)若恒有 f ( X ) 0 ,则称 f (X) 是负定二次型, A 称为负定矩阵; (3)若恒有 f ( X ) 0 ,则称 f (X) 是半负定二次型, A 称为半负定矩阵。
如果二次型不是有定的,就称为不定二次型。
12
显然,A是负定(半负定 )的当且仅当-A是正定 (半正定)的。由此,容易得出以下结论:
(1)A半正定的充分必要条件是A的特征值非负; (2)A负定的充分必要条件是A的特征值全负; (3)A半负定的充分必要条件是A的特征值非正; (4)A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子 式全为负而偶数阶顺序主子式全为正; (5)若A负定,则A的对角元全为负。 注意: 1.最后一条只是必要条件。 2.A的顺序主子式全非负, A也未必是半正定的。
证 必要性 设 BT AB 为正定阵,
则对任意实 n 维向量 x 0 , 有 xT BT A B x 0 ,
即 (Bx)T A(Bx) 0 ,可见 Bx 0 ,
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即r(B) n ;
充分性: 因为 (BT AB)T BT AT B BT AB ,
问 t 取何值时,该二次型为正定二次型?
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
1 2 顺序主子式为: A1 1 0 ,
A3 A 5t 2 4t 0 ,
解得 4 t 0 . 5
1 2 , 5
1 A2 t
t 1t2 0, 1
0 1 3
2 c1 c2 c3 2
2
1
2
1
0
1 ( 2)(2 4 1) , 3
4
E A ( 2)(2 4 1) ,
求得 A 的特征值为2, 2 3 ,
全为正, 因此二次型正定。
5
下面,我们从二次型矩阵 A 的子式,来判别二次
充分性是显然的;下面用反证法证必要性:
假设某个 dk 0 ,取 yk 1 ,其余 y j 0 ( j k) ,
代入二次型,得 f (0, ,1, ,0) dk 0 ,
与二次型 f ( y1, y2, , yn) 正定矛盾。
1
(1) 二 次型 f ( y1, y2, , yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。 (2) 二次型XT AX 若正定,经过可逆线性变换X CY , 化为 Y T (C T AC )Y ,其正定性保持不变。
为正定矩阵。
证 因为 ( AT A)T AT A , 故 AT A 是 n 阶对称矩阵。 又r(A) n ,可知齐次线性方程组AX 0 仅有零解,
所以对任意X 0 ,必有AX 0 ,于是
X T ( AT A)X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A)X 为正定二次型,
a11 a12 a1k
Ak

a21
a22

a2k
ak1 ak 2 akk
7
例2 判别二次型
f 5 x12 5 x22 5 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3
是否正定。
5
解 二次型对应的矩阵为 A 2
2 2 5 1 ,
f ( Xi ) aii 0, (i 0,1, .n) 。
(2)因为 A 正定,所以 A 的特征值全大于零,即
得 A 12 n 0 。
6
上述定理是A正定的必要条件,但不是充分条件。
定理 二次型 X T AX 正定的充分必要条件是,A 的顺
序主子式全大于零。(证略)
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
13
例如,设矩阵
1 1 0 A 1 1 0 ,
0 0 1
显然A的顺序主子式
11 0
11
A1 1 0 ,
A2 1
0, 1
A3 1
1
0 0,
0 0 1
但对角元有正有负,显然A是不定的。
14
例5 判定下列二次型是否是有定二次型。
(1)
f

2 x12
0 2 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
16
练习:
P222 习题五
17
END
18
选用例题
1、 设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块

阵C


A 0
0 B





矩 阵.
解 C是正定的。
因 为,设zT ( xT , yT )为m n维 向 量,其 中x, y分 别
是m维和n维列向量,若z 0,则 x, y不同时为零向量,
于是
z T Cz

(
xT
,
yT
)

A 0
0 B


x y


xT
Ax

yT By

0
,
且C是实对称阵,故C是正定矩阵。 19
2. 设 A 是 m 阶实对称阵且正定,B 为m n 实矩阵,
试证: BT AB 为正定阵的充分必要条件是r(B) n 。
2
定理 n元实二次型 f X T AX 正定的充分必要条件是 它的正惯性指数等于 n。
推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正。
☎ 若实对称矩阵A为正定矩阵,则 AT , A1, A 均为
正定矩阵。 这是因为:
矩阵 A 与它的转置AT 有相同的特征值; ( A1 ) 1 ( A) ; ( A ) A .
9
☎ 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在
可逆矩阵C,使得 A C TC .
实际上,正定二次型的规范形为
z12 z22 zn2 ,
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E , 即存在可逆矩阵C ,使
A C T EC C T C .
10
☎ 设 A 为m n 矩阵,且的秩r( A) n ,则AT A
型 X T AX 的正定性。先给出 A 正定的两个必要条件,
再给一个充分必要条件。
定理 设矩阵A正定,则
(1)A的主对角元全为正;
(2)A 的行列式 A 0 。
nn
证明(1)因为 f ( X ) X T AX
aij xi x j 正定,
取 X i (0, ,1, ,0)T ,则有 i1 j1
可见 BT AB 为实对称阵.
将上述过程逆推,即可得证. 20
1 6
所以 f 是负定的。
15
例5 判定下列二次型是否是有定二次型。
(1)
f

2 x12

6
x
2 2

4 x32

2 x1 x2

2 x1 x3
(2) f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
解 (2)f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 0 A 2 2 2 ,
一、正定二次型正定矩阵
定义 设 f (X) XT AX 是一个实二次型,若对任意的非
零向量 X (x1, x2, , xn)T 0 ,恒有 f ( X ) 0 ,则称 f (X) 是正定二次型,它所对应的矩阵 A 称为正定矩阵。
由定义,可得以下结论:
(1)二次型 f ( y1, y2, , yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正定 的充分必要条件是di 0 。
它的顺序主子式为:
2 1 5
52
A1 5 0 ,
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的, 即二次型 f 正定。
8
例3 设有实二次型
f x12 x22 5 x32 2t x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
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