正定矩阵

有f = x T Ax > 0, 取x = eiT = (0, ,1, ,0),
则x Ax = a ii > 0( i = 1,2, , n).
T
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第五章小结
本章通过向量的内积,从而给 维向量建立了度 本章通过向量的内积,从而给n维向量建立了度 量的概念,结合方阵的特征值理论, 量的概念,结合方阵的特征值理论,给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法; 阵是否可以对角化的判定方法;通过对实对称矩阵 所具有的特点, 所具有的特点,说明实对称矩阵不仅可以相似对角 而且可以正交对角化; 化,而且可以正交对角化;从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法:正交变换法. 提供了一种重要方法:正交变换法.由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系, 对称矩阵的一一对应关系,将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论,并讨论了正定二次型. 矩阵的讨论,并讨论了正定二次型.
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定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是:A 为正定的充分必要条件是: 定理 的各阶主子式都为正. 的各阶主子式都为正.即
a11 > 0, a11 a 21 a12 a 22 a11 a1n > 0, , … … > 0; a n1 a nn
为负定的充分必要条件是: 对称阵 A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为 而偶数阶主子式为正. 负,而偶数阶主子式为正.即 a11 a1r
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判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵 根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A 的正定性有两种方法. 的正定性有两种方法. 一是求出A 的所有特征值. 一是求出 的所有特征值.若A 的特征值均为 正数, 是正定的; 的特征值均为负数, 正数,则A 是正定的;若A 的特征值均为负数,则A 为负定的. 为负定的. 二是计算A 的各阶主子式. 二是计算 的各阶主子式.若A 的各阶主子式 均大于零, 是正定的; 的各阶主子式中, 均大于零,则A 是正定的;若A 的各阶主子式中, 奇数阶主子式为负,偶数阶为正, 为负定的. 奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A 为负定的.
( 1) r > 0, ( r = 1,2, , n). ar 1 a rr
这个定理称为霍尔维兹定理. 这个定理称为霍尔维兹定理. 霍尔维兹定理
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注意:对于二次型,除了有正定和负定以外, 注意:对于二次型,除了有正定和负定以外, 还有半正定和半负定及不定二次型等概念. 还有半正定和半负定及不定二次型等概念.
f ( x ) = f (Cy ) = ∑ kyi2 .
i =1 n
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先证充分性 1 设k i > 0( i = 1,2, , n).任给x ≠ 0, 则C x ≠ 0, 故
f ( x ) = ∑ k i yi2 > 0.
i =1 n
再证必要性:用反证法. 再证必要性:用反证法.假设有 ks ≤0 , 则 f 当y = e s时, ( 单位坐标向量 ) 时, (Ce s ) = k s ≤ 0, 故 正定矛盾, 显然Ce s ≠ 0.这与假设 f 正定矛盾, k i > 0. 为正定的充分必要条件是: 推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是:A 的特 征值全为正. 征值全为正.
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判别二次型 f = 5 x 2 6 y 2 4 z 2 + 4 xy + 4 xz 的正定性. 的正定性. 例17 解
2 5 2 f 的矩阵是 A = 2 6 0 , 2 0 4
A 的各阶主子式为: 的各阶主子式为:
a11 = 5 < 0,
a11 a 21
a12 a 22
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正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的. 二次型的标准形不是唯一的. 标准形中所含项数是确定的( 标准形中所含项数是确定的 即是二次型的秩 ). . 限定变换为实变换时, 限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是 不变的. 不变的.
f = x T Ax , 定理11 定理 ( 惯性定理 ) 设有实二次型 它的秩是 r ,有两个实的可逆变换x = Cy与x = Pz , 2 2 k1 y1 + k 2 y 2 + + k r y r2 , ( k i ≠ 0) 使
2 λ1 z12 + λ 2 z 2 + + λ r z r2 , (λ i ≠ 0) 则k1 , k 2 , , k r中正数的个数与 λ1 , λ 2 , , λ r中正数的
及
个数相等 . 正数的个数称为正惯性指数,负数的个数 正数的个数称为正惯性指数, 正惯性指数
称为负惯性指数 称为负惯性指数
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�
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f = x T Ax , 如果对于任何 定义9 设有实二次型 定义 x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,(显然 f(0) = 0 ),则称 f 为正定 ),则称 ( 二次型, 正定的. 二次型,并称对称阵 A 是正定的.记作 A > 0 ;如果 负定二次型, 对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型, 并称对称阵 A 是负定的 ,记作 A < 0 . 定理12 实二次型 f = x T Ax 为正定的充分 定理 必要条件是: 个系数全为正. 必要条件是:它的标准形的 n 个系数全为正. 证 设可逆变换 x = Cy使
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三) 化二次型为标准型的方法
(1).正交变换法 正交变换法 1 .写出二次型对应的矩阵 . 写出二次型对应的矩阵A 写出二次型对应的矩阵 2 .将A化为对角阵,求出正交阵P . .将A化为对角阵 求出正交阵P 化为对角阵, 3 .写出标准型,且正交变换为 写出标准型, 写出标准型 且正交变换为X=PY . (2).配方法 配方法 1.含有平方项,直接配方; 含有平方项, 含有平方项 直接配方; 2.不含有平方项 化成含有平方项 再配方 不含有平方项,化成含有平方项 再配方; 不含有平方项 化成含有平方项,再配方
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方法二: 方法二:A 的特征多项式为
3λ | A λE |= 1 0 1 3λ 0 0 0 = ( 2 λ )( 3 λ )(4 λ ), 3λ
故A的特征值为λ1 = 2, λ 2 = 3, λ 3 = 4.从而知A是 正定的.
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判别二次型正定的方法
由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知,判断二次型的正定性也有两种方法. 别法知,判断二次型的正定性也有两种方法. 一是利用对称矩阵A 的正定性. 一是利用对称矩阵 的正定性.若二次型 f 的 对称矩阵A 是正定的, 是正定二次型; 对称矩阵 是正定的,则f 是正定二次型;若A 是 负定的, 也是负定二次型. 负定的,则 f 也是负定二次型. 化为标准形. 二是将 f 化为标准形.若其标准形的 n 个系数 全为正, 是正定的; 全为正,则 f 是正定的;若 f 的标准形的 n 个系数 全为负, 是负定的. 全为负,则 f 是负定的. 化为标准形非常复杂, 由于将 f 化为标准形非常复杂,因此第二种方 法一般不用. 法一般不用.
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3 1 0 正定性. 例16 判定对称矩阵 A = 1 3 0 正定性. 0 0 3 解 方法一 因为a11 = 3 > 0,
a11 a 21 a12 a 22
3 1 0 3 1 = = 8 > 0, | A |= 1 3 0 = 24 > 0, 1 3 0 0 3
所以A 是正定的. 所以 是正定的.
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第五章主要方法 一) 方阵的特征值与特征向量的求法
(1).计算 A的特征多项式 f (λ ) =| A λ E |; ( 2).求出 f (λ ) = 0的全部根 , 即A的全部特征值 ;
( 3 ).把 A 的特征值逐个代入齐次 线性方程组 ( A λ E ) x = 0, 并求出这个方程组的一 个基础解 系, 则这个基础解系的非零 线性组合就是 A 的属 于特征值 λ 的全部特征向量 .
正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型, 正定二次型是二次型中讨论最多的类型,本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念, 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念, 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法. 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法.
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四 判定矩阵与二次型为正定的方法
1.定义法: 定义法: 定义法 2. 用霍尔维兹定理: A 的各阶主子式都为正, 用霍尔维兹定理: 的各阶主子式都为正, 是正定的; 则A 是正定的 3. 用A的特征值: A 的特征值全为正,则A 的特征值: 的特征值全为正, 的特征值 是正定的; 是正定的 4. 化A所对应的二次型为标准形 根据标准形 所对应的二次型为标准形,根据标准形 所对应的二次型为标准形 中的正平方项个数判断; 中的正平方项个数判断
5 2 = = 26 > 0, 2 6
A = 80 < 0,
是负定的. 所以 f 是负定的.
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例18 设二次型 2 2 2 f = x1 + 4 x 2 + 4 x 3 + 2 λ x1 x 2 2 x1 x 3 + 4 x 2 x 3
问λ取何值时 , f为正定二次型 .
解
1 λ f 的矩阵是 A = λ 4 1 2 1 2 , 4
Hale Waihona Puke Baidu
2 2 x1 + 2 x1 x 2 + 4 x1 x 3 + x 3
2 0 , A 的各阶主子式为: 的各阶主子式为: 2 0 1
a11 = 1 > 0,
a11 a 21
a12 a 22
=
1 1 1 0
= 1 < 0,
1 1 2 A = 1 0 0 = 1 < 0, 2 0 1
既不是正定的,也不是负定的, 所以 f 既不是正定的,也不是负定的,即不定二次 型.
A 的各阶主子式为: 的各阶主子式为:
a11 > 0,
a11 a 21
a12 a 22
=
1
λ
4
λ
= 4 λ 2 > 0,
A = 4(λ 1)(λ + 2) > 0, 解得 2 < λ < 1时, 二次型为正定的 .
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Ex.11 判别二次型 f = 的正定性. 的正定性. 1 1 解 f 的矩阵是 A = 1 0
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二 ) 用正交方阵将方阵化为对角阵的方法
(1).求A 的特征值; 求 的特征值; (2).求A 的特征值对应的 个线性无关的特征向量; 求 的特征值对应的n 个线性无关的特征向量; (3). 将重特征值所对应的特征向量正交化,连同单 将重特征值所对应的特征向量正交化, 特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征 向量; 向量; (4). 将 (3) 中 n 个特征向量单位化,得到 n 个两两 个特征向量单位化, 正交的单位特征向量; 正交的单位特征向量; (5). 以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的 正交矩阵, 正交矩阵,且有 P 1 AP = ∧ .
由x ≠ 0及C可逆, 得y = C 1 x ≠ 0, f = x T Ax = y T (C T AC ) y > 0, 从而
是正定的. 即C TAC是正定的. 是正定的
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Ex.12 证明:若实对称矩阵 = ( aij ) 为正定矩阵, 证明:若实对称矩阵A 为正定矩阵, 则 aii > 0 ( i =1, 2, …, n ). 证 因为A 为正定, 因为 为正定,所以对任意 x ≠ 0,
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例19 设C 是满秩矩阵,实对称矩阵 是正定的, 是满秩矩阵,实对称矩阵A 是正定的, 是正定的. 是正定的 则C TAC是正定的. 证
T
有f = x Ax > 0, 作x = Cy , 则f = y (C AC ) y ,
T T
因为A 为正定, 因为 为正定,所以对任意 x ≠ 0,