正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号*********指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目录引言...................................................... 错误!未定义书签。

一、正定矩阵的定义........................................ 错误!未定义书签。

二、正定矩阵的性质........................................ 错误!未定义书签。

三、正定矩阵的有关定理.................................... 错误!未定义书签。

四、正定矩阵的判定方法.................................... 错误!未定义书签。

（一）定义法............................................ 错误!未定义书签。

（二）主子式法.......................................... 错误!未定义书签。

（三）特征值法.......................................... 错误!未定义书签。

（四）与单位矩阵E合同法................................ 错误!未定义书签。

五、正定矩阵的应用........................................ 错误!未定义书签。

（一）正定矩阵在不等式中的应用.......................... 错误!未定义书签。

（二）正定矩阵在多元函数极值问题中的应用................ 错误!未定义书签。

总结...................................................... 错误!未定义书签。

参考文献.................................................. 错误!未定义书签。

后记...................................................... 错误!未定义书签。

正定矩阵的性质及应用引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论．矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用．二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字1,,n X X 的正定二次型与n 阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义．其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题．一、 正定矩阵的定义定义1[3]设(),1,2,,;ij a i j n i j =≤均为实常数，则关于n 个实变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式函数()22212111222,,,n nn nf x x x a x a x a x =+++121213131,1222n n n n a x x a x x a x x --++++， ()1称为n 元实二次型．定义2[3] 只含有平方项的二次型称为标准形，即()222121122,,,n n nf y y y d y d y d y =+++． ()2 定义3[3] 若二次型的标准形中的系数()1,2,,i d i n =仅为1,1,0-，则此标准形称为二次型的规范形．定义4 [1] 实二次型()12,,,n f x x x 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c ，都有()12,,,0n f c c c >； 如果都有()12,,,0n f c c c <，那么()12,,,n f x x x 称为负定的；如果都有()12,,,0n f c c c ≥，那么()12,,,n f x x x 称为半正定的；如果都有()12,,,0n f c c c ≤，那么()12,,,n f x x x 称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么()12,,,n f x x x 就称为不定的．定义5[1]若实数域上的n 元二次型1211(,,,)()nnn ij i j ij ji i j f x x x a X a a ====∑∑ＸT X AX=是正定二次型（负定二次型），则称A 为正定矩阵（负定矩阵）；若二次型是半正定二次型（半负定二次型），则称A 为半正定矩阵（半负定矩阵）．其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x X x ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．定义6[1] 子式()1112121222121,2,,i i i i i iia a a a a a P i n a a a == ()3称为矩阵()ij nn A a =的i 阶顺序主子式．下面是正定矩阵的一些等价条件．定理1[8] 设A 是n 阶实对称矩阵，则下列命题等价： (1)A 是正定矩阵．(2)A 的正惯性指数等于n ． (3)A 的特征值全大于零． (4)A 合同于n 阶单位矩阵n E ．(5)A 合同于主对角元大于零的对角矩阵．(6)存在可逆矩阵P ，使得T A P P =，其中T P 表示P 的转置．注：二次型的正定（负定），半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性．不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的．二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系．因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定性的判定．二、 正定矩阵的性质性质1[1] 正定矩阵的行列式大于零．证明 设A 是正定矩阵．因为A 与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C 使A C EC C C ''==． 两边取行列式，有20A C C C '==>．推论1[1] 若A 是正定矩阵，则A 的顺序主子式全大于零． 证明 设二次型()1211,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是正定的．对于每个,1k k n ≤≤，令()1211,,kkk n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑．下面证明k f 是一个k 元的正定二次型．对于任意一组不全为零的实数1,,k c c ，有()()1111,,,,,0,,00k kk k ij i j k i j f c c a c c f c c ====>∑∑．因此()1,,k k f x x 是正定的．由性质１可知，k f 的矩阵的行列式11110,1,,kk kka a k n a a >=．这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零．性质2 [6] 若A 是正定矩阵，则A 的主对角元全大于零．证明 设()ij A a =，对于任意的0X ≠，恒有11nnTij i j i j X AX a x x ===∑∑，其中ij ji a a =，,1,2,i j n =．令(0,0,1,00)iTX =，将其代入11()n nTij i j ij ji i j X AX a x x a a ====∑∑，得T ii X AX a =，所以0ii a >，1,2,i n =，从而结论得证．性质3[6] 正定矩阵()ij A a =中绝对值最大元素必可以在主对角线上取到． 证明 设()ij A a =是正定矩阵，则它的一切主子式都大于零．如果()ij a i j ≠是A 的中绝对值最大的一个元素，那么，取A 的二阶主子式0iiijii jj ij ji ji jja a a a a a a a =->，由此可得2ii jj ij ji ij a a a a a >=，因此，,ii jj a a 的绝对值不可能都小于ij a ，所以，ij ii a a <或ij jj a a <，故A 中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到．性质4[8] 若A 是正定矩阵，则kA ，A kE +是正定矩阵，其中0k >． 证明 由A 是正定矩阵，可知A 的特征值120,0,0n λλλ>>>，则kA 的特征值0(1,2,)i k i n λ>=，因此kA 是正定矩阵．同理可得A kE +的特征值120,0,0n k k k λλλ+>+>+>，因此A kE +也是正定矩阵．性质5[7] 若A 是正定矩阵，则1A -，*A 是正定矩阵，其中1A -表示A 的逆矩阵，*A 表示A 的伴随矩阵．证明 首先证1A -是正定矩阵．因为A 是正定矩阵，所以A 可逆且T A A =，则有()()111TTA A A ---==，即1A -为实对称矩阵．设A 的特征值为12,,n λλλ，因为A 是正定矩阵正定，所以0(1,2,)i i n λ>=．故1A -的特征值111120,0,0n λλλ--->>>，因此1A -也是正定矩阵．再证*A 是正定矩阵． 由*1A A A -=，()()()1111TTTA AA AA AA A ----===可得()**TAA =，即*A 是实对称矩阵．因为*A 的特征值120,0,0nAAAλλλ>>>，所以*A 是正定矩阵．性质6 [1]若A 是正定矩阵，则对于任意整数k ，k A 都是正定矩阵． 证明 当0k =时，k A E =显然是正定矩阵．当0k <时，由于k k =-，而()1kk A A -=，有性质３可知，1A -也是正定矩阵，故下面只需假定k 为正整数即可．Ⅰ 当k 为偶数时，由于TA A =，且22Tk kk A A A ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正定矩阵的等价条件(6)可知k A 是正定矩阵．Ⅱ 当k 为奇数时，由于A 是正定矩阵，故存在实可逆矩阵C ，使T A C C =． 由此可得：111111222222Tk k k k k k k T A AAAA C CACA CA ------⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而仍由正定矩阵的等价条件(6)可知，k A 是正定矩阵．性质7[4] 设A 为n 阶正定矩阵，则1122nn A a a a ≤，其中ii a ()1,2,,i n =为A 的主对角元素.证明 设1Tnn A A a αα⎛⎫⎪⎝⎭=，其中1A 为A 的1n -阶顺序主子式，()121,,,T n n n n a a a α-=．那么1111111111000101n n TT T nn nn A A E E A a a A A ααααα-----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，两边取行列式得 ：()111T nn A A a A αα-=⋅-，因为A 是正定矩阵，所以1A ，11A -都是正定矩阵，那么 1100T A A αα-≥>，．由上式可知1nn A A a ≤⋅ ．同理121,1n n A A a --≤⋅，其中2A 为A 的2n -级顺序主子式阵，这样继续下去可得12-1,-11122nn n n nn nn A A a A a a a a a ≤⋅≤⋅≤≤.性质8[5] 任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵．证明 设A ,B 都是正定矩阵，又设,0a b >．由A ,B 是正定矩阵，可得,T T A A B B ==．则有()TT T aA bB aA bB aA bB +=+=+，所以aA bB +是实对称矩阵．因为对任意0()n X X R ≠∈有()T T T X aA bB X aX AX bX BX +=+，由性质4可知,aA bB 是正定矩阵，则有0T aX AX >，0T bX BX >．所以()0T X aA bB X +>．因此aA bB +是正定矩阵．多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明： （1）当2n =时已证明命题成立；（2）假设1n k <+时命题成立，现证明1n k =+时命题也成立． 设12,1,,k k A A A A +是同阶正定矩阵，121,,,,0k k a a a a +>．对任意0()n X X R ≠∈有11111111()0T T T T k k k k k k k k X a A a A a A X a X A X a X A X a X A X +++++++=+++>，其中每一项均为正．所以当1n k =+时，结论成立．综合（1）（2）可知，对于一切的自然数n ，多个正定矩阵的正线性组合必为正定矩阵．性质9[8] 如果A 是正定矩阵，m 是任意实数，则存在正定矩阵B ，使得m A B =．证明 由于A 是正定矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使100T n Q AQ λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中1,,0n λλ>，所以100T n A Q Q λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭．令00TB Q Q ⎫⎪=⎪ ⎝，则mA B =，结论得证 ．三、 正定矩阵的有关定理定理2[5] 若A ，B 都是正定矩阵，则00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是正定矩阵． 由定理2的推广，可以得到如下推论：推论2 若A ，B ，C ，D 都是正定矩阵，则12340(0,1,2,3,4)0i l A l B l i l C l D +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭是正定矩阵．推论3 若12,,,s A A A 都是正定矩阵，则12s A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正定矩阵． 定理3[5] 正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵．证明 设B 为n 阶正定矩阵，A 为n 阶实对称矩阵且与B 合同．由正定矩阵的等价条件可知，B 与单位矩阵n E 合同．又因为A 与B 合同，那么A 也与单位矩阵n E 合同，即A 为正定矩阵．定理4[5] 若A ,B 是实对称矩阵，A 的特征值全大于a ，B 的特征值全大于b ．若0a b +≥，则A B +是正定矩阵．证明 性质5已证得A B +是实对称矩阵，且由已知条件可知A aE -，B bE -都是正定矩阵，由性质5可得()()A aE B bE -+-是正定矩阵．设λ是A B +的任一特征值，则[][]()()()()E A B a b E A aE B bE λλ-+=-+--+-，这表明()a b λ-+是()()A aE B bE -+-的特征值．由于()()A aE B bE -+-是正定矩阵，故()0a b λ-+>，所以()0a b λ>+≥，即A B +的特征值全大于0，从而A B +为正定矩阵．推论4 设12,,,s A A A 都是实对称矩阵，i A 的特征值均大于(1,2,,)i a i s =．若10sii a=≥∑，则12s A A A +++是正定矩阵．定理5[9] 若A ,B 是正定矩阵，则AB 是正定矩阵的充要条件是AB BA =． 证明 必要性：设AB 是正定矩阵，则AB 是实对称矩阵，从而()TT T AB AB B A BA ===．充分性：由AB BA =知，()TT T AB B A BA AB ===，故AB 是实对称矩阵． 由于B 正定，存在可逆矩阵P 使得T B P P =，从而11()T T T AB AP P P PAP P P PAP P --===，即AB 与T PAP 相似，因而AB 与T PAP 有相同的特征值．因为A 正定，故T PAP 也正定，T PAP 的特征值全大于零，故AB 的特征值全大于零，所以AB 是正定矩阵．定理6[7] 若A 是实对称矩阵，且A 可逆，则2A 是正定矩阵．证明 由已知可知，T A A =，()()222TT A A A ==，则2A 是实对称矩阵.又因为()121TA A A E --=，故2A 与E 合同，从而2A 是正定矩阵正定.对定理6推广，可以得到如下推论：推论5 若A 是实对称矩阵，且A 可逆，则2()k A k Z +∈是正定矩阵.注：当A 满足推论４的条件时，21()k A k Z ++∈不一定是正定矩阵．例如123A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则A 是实对称矩阵，且A 可逆．显然()()212121123k k k A +++⎛⎫⎪=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭不是正定矩阵．定理7[6] 设()(),ij ij A a B b ==都是n 阶正定矩阵，则()ij C c =也是正定矩阵，其中ij ij ij c a b =．证明 ,A B 是实对称矩阵，显然C 也是实对称矩阵．任取1(,,)0T n X x x =≠，则由矩阵,A B 是正定矩阵，可知：11110,0n n n nTTjk j k jk j k j k j k X AX a x x X BX b x x =====>=>∑∑∑∑，且存在n 阶可逆矩阵()ij Q q =，使得T B Q Q =，即1(,1,,)njk lj lk l b q q j k n ===∑，所以()()11111111nnnnn n n njk jk j k jk lj lk j k jk j lj k lk j k j k l l j k a b x x a q q x x a x q x q ========⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑， 对任意1(,,)0T n X x x =≠，因为Q 可逆，所以总存在一个l ，使得11(,,)0n T l n l x q x q ≠，(不妨设10x ≠，则由Q 可逆知Q 的第一列中总有一个元素不为零，设为1l q ，于是110l x q ≠)．又由A 是正定矩阵有：()()110nnjk j lj k lk j k a x q x q ==>∑∑对以上的l 成立．所以110nnjkjk j k j k ab x x ==>∑∑，即()ij ij C a b =为正定矩阵．定理8[6] 设A 是正定矩阵，B 为m n ⨯实矩阵，其中T B 为B 的转置矩阵，则T B AB 为正定矩阵的充要条件是B 的秩()r B n =．证明 必要性 设T B AB 为正定矩阵，则对任意的n 维非零列向量X ，有()()()X >0TT T X B AB BX A BX =，于是0BX ≠，因此n 元齐次线性方程组0BX =只有零解，故系数矩阵B 的秩()r B n =．充分性 因为()TTT T T B AB B A B B AB ==，故T B AB 为实对称矩阵.若()r B n =，则齐次线性方程组0BX =只有零解，从而对任意实n 维非零列向量X ，有0BX ≠．又因为A 正定，所以对于0BX ≠有()()>0TBX A BX ，于是当0X ≠时，有()()()>0TT T X B AB X BX A BX =，故T B AB 为正定矩阵.四、 正定矩阵的判定方法(一)定义法n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意n 维实非零向量X ，都有0T X AX >．则实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作：0A >．用定义证明矩阵A 是正定矩阵需证明两点： (1)A 为实对称矩阵．(2)对任意的非零向量X ，0T X AX >．运用定义判定正定矩阵适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相关矩阵所对应的二次型大于零，根据已知条件得出所求矩阵对应的二次型大于零，则可以确定该矩阵属于正定矩阵．例1 设A 是n m ⨯实矩阵，且A 是列满秩，即()r A m =，证明T A A 是正定矩阵． 证明 首先，因为()()TTTTT T A A AA A A ==，所以，T A A 是实对称矩阵．其次，由()r A m =可知，齐次线性方程组0AX =只有零解．因此，对任意m 维列向量0X ≠，必有0AX ≠，不妨设()12,,,Tn AX a a a =，则12,,,n a a a 是一组不全为零的实数．从而，对任意m 维列向量0X ≠，二次型()()()210nTTTii XA A X AX AX a===>∑，即二次型()T T X A A X 正定，所以矩阵T A A 是正定矩阵．例2 设A 是m n ⨯矩阵，T B E A A λ=+，证明当0λ>时，B 是正定矩阵．证明 因为()TT T T B E A A E A A B λλ=+=+=，故B 是n 阶实对称矩阵，对于任意的n 维实向量0x ≠，有()22T T T T T T x Bx x x x A Ax x x Ax Ax x Ax λλλ=+=+=+．由于0x ≠，0λ>，则恒有20x λ>，而20Ax ≥，因此()00T x Bx x >∀≠，由定义可得B 是正定矩阵．(二) 主子式法若矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵A 为正定矩阵．运用主子式判定正定矩阵，首先需确定该矩阵的各阶顺序主子式容易求得．然后根据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速地判定出一个矩阵是否属于正定矩阵，但是此法只适用于判定一些比较简单，或方便计算各阶顺序主子式的矩阵．例3 设二次型()2221231231213,,65744f x x x x x x x x x x =++-+，判定该二次型的矩阵是否属于正定矩阵.解 二次型的矩阵为622250207A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭， 其各阶顺序主子式分别为123626,26,16225D D D A -=====-全大于零，所以矩阵A 是正定矩阵．例4 t 取何值时，二次型222112132233222410f x x x x x x tx x x =+-+++的矩阵是正定矩阵．解 二次型f 对应的矩阵为1111221210A t t -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭， 要使矩阵A 正定，必须使A 的各阶顺序主子式全大于零，即满足121110,10,12D D =>==>()2223111121944104484(2)00219D A t t t t t t t t -==+=-++>=--+=-+->+，得到21t -<<，所以，当(2,1)t ∈-时，二次型f 的矩阵是正定矩阵．(三) 特征值法若矩阵A 的特征值全为正数，则矩阵A 为正定矩阵．运用特征值判定正定矩阵，先计算出矩阵的所有特征值，若所有特征值都为正数则可以判定该矩阵属于正定矩阵．如果可以保证所有特征值全为正数，则可以不计算出特征值的具体值直接判定．此法适用于一些行列较多且不容易计算各阶主子式，或根据已知条件容易判断特征值是否全为正数的矩阵．例5 已知,A A E -是n 阶实对称正定矩阵，证明1E A --是正定矩阵． 证明 由()()111TTTE AE AE A ----=-=-可知，1E A --是对称矩阵．设12,,,nλλλ是A 的特征值，则A E -的特征值1210,1,,10n λλλ->->->，即1i λ>，那么11iλ<，从而110iλ->．综上可得：1E A --的特征值全为正数，即1E A --是正定矩阵． 例6 判定n 元二次型12111nn i i i i i f x x x -+===+∑∑的矩阵是否属于正定矩阵．解 二次型f 的矩阵为111221112211122n nA ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 则()21111211111,1,,1221121A E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥==+ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，记()111,1,,11B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．由2B nB =可得，B 的特征值是n 与0（1n -重）．于是A 的特征值是()111,22n +(1n -重) ．A 的特征值全为正数，故A 属于正定矩阵．例7 设A 是n 阶实对称矩阵，且满足43234640A A A A E -+-+=，证明A 是正定矩阵．证明 设λ是矩阵A 的特征值，α是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则有()()432432346434640AA A A E αλλλλα-+-+=-+-+=，因为0α≠，所以43234640λλλλ-+-+=，即()()()22120λλλ+--=，由于A 是实对称矩阵，故由上式可知矩阵A 的特征值为１或２，即矩阵A 的特征值全为正数，从而可得A 是正定矩阵．(四)与单位矩阵E 合同法正定二次型()12,,,n f x x x 的规范形为22212n y y y +++，而规范形的矩阵为单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵E 合同．此法较上述方法比较简单，即此法不需要判定该矩阵对应的二次型是否大于零，也不用计算顺序主子式和特征值，只需判定该矩阵是否与同阶单位矩阵合同即可．此法适用于较容易判断出与单位矩阵合同的矩阵．例8 已知A 是n 阶可逆矩阵，证明T A A 是正定矩阵． 证明 由于()TT T A A A A =，则T A A 是对称矩阵．因为T T A A A EA =，且A 是可逆矩阵，所以T A A 与E 是合同矩阵，从而T A A 是正定矩阵．例9 用此法证明分块矩阵00A Q B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定矩阵，其中,A B 分别为,m n 阶正定矩阵．证明 由于矩阵,A B 为正定矩阵，故存在可逆矩阵m m C ⨯和n n D ⨯，使得,T T m n C AC E D BD E ==，令00C P D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则00T TT C P D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且P 为m n +阶可逆矩阵． 00000000TT mTT T n E A CC C ACP QP E B D D D BD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，矩阵Q 与单位矩阵E 合同，故分块矩阵00A Q B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正定矩阵．五、 正定矩阵的应用(一)正定矩阵在不等式中的应用实对称矩阵A 是正定矩阵是由于其对应的实二次型T XAX （其中()12,,,n X x x x =）正定，而二次型正定是指对于任意0X 恒有000T X AX >．因此可以利用此性质来证明不等式是否成立．例10 证明不等式22212312134222x x x x x x x ++>-（其中123,,x x x 是不全为零的实数）成立．证明 令()2221231231213,,4222f x x x x x x x x x x =++-+，其系数矩阵为1-11-140102A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭， A 的各阶顺序主子式为11221-1=10,=30,20-14A A A >=>=>，则A 为正定矩阵．因此对于任意一组不全为零的()123,,x x x 都有()123,,0f x x x >，故原不等式成立．例11 证明不等式2211nnii i i n X X ==≥∑∑（）成立．证明 令2211n nT ii i i f n X X X AX ===-=∑∑（），则二次型为 ()1212111111,,,111n X n X f X X Xn Xn ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭， 则111111111n n A ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪⎪---⎝⎭． A 的各阶顺序主子式211221110,20,011n A n A n n A n --=-≥==-≥=--，所以A 是半正定的，那么二次型是半正定的，即0f ≥．故原不等式成立．(二) 正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以解决.定义7[2] 设n 元实函数12()(,,)n f X f x x x =在12(,,,)T n n X x x x R =∈的某个邻域内存在一阶、二阶连续偏导数．记12()()()(),,,n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭,称()f X ∇为函数()f X 在点12(,,,)T n X x x x =处的梯度．定义8[2]222211212222212()()()()()()()()n i j n nn n nf X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ⨯⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎛⎫∂ ⎪==⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭∂∂∂ ⎪⎪∂∂∂∂∂⎝⎭，此矩阵称为函数12()(,,)n f X f x x x =在点n X R ∈处的(Hessian)黑塞矩阵．则()H X 是由()f X 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵．定理9[2] (极值必要条件)设函数()f X 在点000012(,,,)Tn X x x x =处可微，且0X 为该函数的极值点，则1) 0X 必为()f X 的稳定点，即0()0f X ∇=.2) 若()f X 在0X 的某领域()0U X 存在连续二阶偏导数，则当()0f X 为极小值时，()f X 在0X 的黑塞矩阵为正定或正半定；则当()0f X 为极大值时，()f X 在0X 的黑塞矩阵为负定或负半定．定理10[2] (极值充分条件)设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内存在一阶、二阶连续偏导数时，且000012()()()(),,,0n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝⎭．则： (1)当0()H X 是正定矩阵时，()f X 在0X 处取得极小值； (2)当0()H X 是负定矩阵时，()f X 在0X 处取得极大值； (3)当0()H X 是不定矩阵时，()f X 在0X 处不取极值．例12 求多元函数222(,,)22244f x y z x y z x y z =++++-的极值. 解 先求驻点，由220440440x y zf x f y f z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=-=⎩， 解得1,1,1x y z =-=-=． 可得驻点为0(1,1,1)P --．再求(Hessian)黑塞矩阵，因为2,0,0,4,0,4xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======，所以200040004H ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，由正定矩阵的等价命题（5）可知H 是正定的，所以0(1,1,1)P --是(,,)f x y z 的极小点，且(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点的极小值为(1,1,1)5f --=-．例13 求多元函数()22211223231342466f x x x x x x x x x x =-+-+-+的黑塞矩阵，并根据结果判断该函数的极值点．解 先求驻点，由123123123321246044608660x x x f x x x f x x x f x x x ⎧=-++=⎪=--=⎨⎪=-+=⎩，解得1230,0,0x x x ===． 可得驻点为()00,0,0P ．由上述方程组可求得(Hessian)黑塞矩阵为246446668H -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭，由于11222420,8044H H -=-<==-<-，所以黑塞矩阵为不定矩阵，故0P 不是极值点．总结本文深刻研究了正定矩阵的各类性质以及相关定理，并从这些性质和定理出发探讨了多种判定正定矩阵的方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．判定一个矩阵是否属于正定矩阵，根据已知条件及各种方法的适用范围选定上述一种方法．最后本文又利用正定矩阵的性质以及判定方法把正定矩阵应用于不等式、多元函数极值的相关问题中，继而减少各类问题的计算量，提高准确率．参考文献：[1] 王萼芳，石生明．《高等代数》（第三版）．北京：高等教育出版社． [2] 华东师范大学数学系．《数学分析》（第四版）．高等教育出版社． [3] 何亚丽．《线性代数》．科学出版社．[4] 陈大新．《矩阵理论》．上海：上海交通大学出版社．[5] 刘畅．正定矩阵性质的推广［J ］．沈阳师范大学学报，2009,27(3),268~271． [6] 岳贵鑫．正定矩阵及其应用［J ］．辽宁省交通高等专科学院学报，2008,10(5),31~33． [7] 黄云美．正定矩阵的性质及其应用［J ］．烟台职业学院学报，2011,17(3):85~88． [8] 张丹，刘庆平．正定矩阵的性质及相关问题［J ］．中南大学学报，2011,31（4）． [9] 倪凌炜．实正定矩阵的若干判定方法［J ］．湖州师范学院学报，2010,26（2）．后记写完这篇论文之时，我深深地叹了口气，虽然写作过程艰苦，但是最终还是喜悦地，顺利地完成了毕业论文．在这个过程中我对正定矩阵有了更深入的了解，尤其是对于正定矩阵的应用．我更认识到毕业论文的结束并不意味着学习的终止，而是人生的又一起点．首先诚挚的感谢我的导师高菲菲老师，她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文．无论从选题、文章的整体结构还是语言规范上高老师都给了我悉心指导．从高老师的指导中我深深感受到了高老师的渊博的专业知识、严谨的治学态度以及诲人不倦的师德．还有教过我的所有老师们，你们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．同时也要感谢我的同学，在大学四年里，无论从生活上还是学习上给了我很大的帮助和鼓励，让我不断进步．最后感谢我的父母，让我在他们的关怀中逐渐的成长，给了我无限的包容，我要以勤奋的工作和优秀的成绩回报他们．。