正定矩阵的性质及应用

正定矩阵的性质及应用

摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.

关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.

研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．

一、正定矩阵的定义

定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,

21 都

有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.

定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.

注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.

二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.

二．正定矩阵的一些性质

1.正定矩阵的充分必要条

（1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定⇔它的惯性指数为n . 证：设二次型),,,(21n x x x f 经过非退化矩阵实线性替换成标准

=),,,(21n x x x f 2

222211n n y d y d y d +++ （1）

由“非退化线性替换保持正定性不变”可知

),,,(21n x x x f 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的？？

由二次型2

222211n n y d y d y d +++ 正定当且仅当i d 0>.n i ，， 2,1=.

因此二次型正惯性指数为n .

（2）一个是对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同.既∃可逆矩阵C ，使得C C A '=. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：

定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成

2

21221r p p z z z z ---+++

称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.

定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一

的.

以下就是上述从要条件的证明：

证:正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为

2

2

22

1n y y y +++ （2）

因此（2）式的矩阵为单位矩阵E .

所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型AX X x x a

x x x f T j i n i n

j ij

n ==

∑∑==11

21),,,( 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.

证：必要性：设二次型

j i n i n

j ij n x x a x x x f ∑∑===11

21),,,(

是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令

j i k i k

j ij k k x x a x x f ∑∑===11

1),,(

我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有

0)0,0,,,(),,(111

1>==∑∑== k j i k i k

j ij k k c c f c c a c c f

因此),,(1k k x x f 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式

n k a a a a kk

k k ,,101111

=>，

这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. 充分性：对n 作数学归纳法

当1=n 时,

21111)(x a x f =

由条件011>a ,显然有)(1x f 是正定的.

假设充分性的论断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令

⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n a a ,1,1 α

于是矩阵A 可以分块写成⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡'=nn a A A αα1

既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使

11-='n E G A G

这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵，令 ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣⎡=1001G C ，于是 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'='-nn n nn a G G E G a A G AC C αααα1111

100100

再令

⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-10

-1

2αG E

C n 有

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=''--1010111-n 2112ααααG E a G G E G E C AC C C n nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=-ααG G a E nn n 001 令21C C C = , 则a G G a nn =''-αα，于是

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡='a AC C 11 再取行列式 ， a A C =2

，由条件，0>A .因此0>a .显然有