正定矩阵及其应用

本科毕业论文(设计)

正定矩阵及其应用

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A Graduation Thesis (Project)

Submitted to School of Science，Hubei University for

Nationalities

In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016

Positive definite matrices and their applications

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摘要

矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.

关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值

Abstract

The matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars' attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix' primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum.

Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum

目录

摘要 .................................................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................................................... I I 1绪论. (1)

1.1 课题背景 (1)

1.2 课题研究的目的和意义 (1)

1.3 国外研究概况 (2)

2 预备知识 (3)

2.1 矩阵 (3)

2.2二次型 (5)

3正定矩阵 (8)

3.1正定二次型 (8)

3.2正定矩阵的判定定理 (9)

4正定矩阵的应用 (13)

4.1正定矩阵的相关命题 (13)

4.2正定矩阵在函数极值中的应用 (14)

总结与展望 (18)

致 (19)

1绪论

我们知道矩阵是高等代数中非常重要的容之一. 在学习高等代数时，矩阵方面的知识也经常被用到. 而正定矩阵又是矩阵中的重点，它不单单用来解决数学中的问题，还应用于许多的科学领域. 本课题阐述了正定矩阵研究背景、正定矩阵的研究的目的和意义、正定矩阵的现状以及发展方向，明确指出了研究正定矩阵应用所面临的问题.

1.1 课题背景

正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中. 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便. 不仅在代数学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 因此它的性质、定理以及应用问题一直备受学者关注. 而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，而用正定矩阵解决问题可能会更方便简洁一点. 这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在四则运算、在函数极值、在不等式中的应用. 因此可以使得我们可以更好地使用正定矩阵这一重要工具. 本文通过对正定矩阵的理解和掌握，查阅各种相关资料，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，并且由此给出了正定矩阵在四则运算和函数极值及中的应用.根据课题研究容和手中相关文献资料，了解课题研究现状，学习掌握相关理论基础知识，并进行初步研究，撰写开题报告.

1.2 课题研究的目的和意义

矩阵是代数中一个非常重要的概念，是研究和解决数学问题的一个重要工具. 而正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在矩阵中扮演着重要的角色，因此是我们学习矩阵时不可忽略的重点. 本文对我们对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有非常重要的意义. 能够加强我们对正定矩阵的掌握，也可以促进正定矩阵理论的进一步完善，丰富正定矩阵的应用，加强我们对正定矩阵的理解，丰富矩阵的理论知识. 有助于我们对整个高等代数知识的一体化的认识. 从而可以培养我们对代数知识的串联思想. 正定矩阵多方面的应用，能够开阔我们的视野，加强我们的联想能力，引起我们对数学的探究欲望，对知识的渴望.

研究矩阵的正定性，在代数理论和应用中具有重要意义. 正定矩阵不仅在数学方面，在其他各个领域都具有广泛的应用价值，因此引起了学者们极大的研究兴趣. 这些研究不断丰富了正定矩阵的理论知识，也引起了我们对正定矩阵的兴趣.