矩阵正定的若干判别方法
正定矩阵的等价表征及若干判定准则
1996年 第5期中山大学学报论丛SUPP LEM EN T TO T HE JOU RN ALOF SUN YATSEN UNIV ERSI TYNo.5 1996 正定矩阵的等价表征及若干判定准则①郑长和(汕头教育学院,广东汕头515000)摘 要 在复内积空间引进一般正定矩阵的定义,讨论其性质,给出四个等价表征及若干新的判定准则.关键词 Hermite矩阵,酉矩阵,正定矩阵,*相合,T相合,严格占优矩阵在矩阵应用中最重要的首推正定矩阵.实正定矩阵的定义、性质及判定方法在现行的《高等代数》教材中已作了详尽的阐述,探寻一般复正定矩阵的充要条件及其判定方法对进一步完善矩阵理论并拓广其应用具有重要现实意义[1～5],笔者对此进行深入的研究和论证,得到一般正定矩阵的等价表征及若干判定准则.本文采用如下一些符号:M n表示所有n×n复矩阵的集合;A*表示A的共轭转置阵,C n表示复n维列向量空间.1 正定矩阵的定义及性质定义1 矩阵A=(a ij)∈M n称为Hermite矩阵,是指A=A*,其中A*是A的复共轭转置阵,即A*=(a ji).定义2 设U∈M n满足U*U=UU*=I,则称U为酉矩阵.引理1 设A∈M n是Hermite矩阵,那么:①A的所有主对角元均为实数;②对所有x∈C n,x*Ax是实数;③A的所有特征值都是实数;④存在酉矩阵U∈C n和实对角阵Λ=diag(λ1,λ2,…λn),使得U*AU=Λ或A=UΛU*,其中λ1,λ2,…λn是A的全部特征值(见[6]).定义3 设A是n阶Hermite矩阵,如果对所有非零向量x∈C n有x*Ax>0,则称A 为正定矩阵.定义4 (*相合,T相合):设A,B∈M n是给定的矩阵,如果存在可逆矩阵S∈M n,使得:①B=SAS*,则称B是*相合于A;②B=SAS T,则称B是T相合于A.由定义4可得*相合的基本特性:引理2 *相合是一种等价关系,即对任一A∈M n,(a)A与A*相合.(自反性);(b)如果A与B*相合,则B与A*相合(对称性);(c)如果A与B*相合且B与C*相合,则A与C*相合(传递性)对于T相合的特性是相类似的①收稿日期63.:199-0-20由Hermite正定的概念可得到如下一般正定矩阵的基本性质:命题1 若A=(a ij)为正定矩阵,则A-=(a ij),A T=(a ji),A*=(a i j)T也是正定矩阵.证明 若A为正定矩阵,由定义3可知,对所有非零向量x∈C n,有x*Ax>0,且x T≠0,由此可得(x-)*A-(x-)=x*Ax=x*Ax>0, x T A T(x Tt)*=(x*Ax)T>0, x*A*x=x* Ax>0,所以A-,A T,A*都是正定矩阵.证毕.命题2 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵(见[2]§7.1).推论 正定矩阵的诸对角元是正实数.命题3 正定矩阵的全部特征值都是正实数(见[2]§7.2).推论1 正定矩阵的迹、行列式和所有主子式都是正实数(见[2]§7.1).推论2 任意两个同阶正定矩阵的和也是正定矩阵,更一般地,诸正定矩阵的正线性组合是正定矩阵.证明 设A,B∈M n都是正定矩阵,又设a,b>0,因而对任意非零向量x∈C n,有x* (a A+bB)x=a x*Ax+bx*Bx>0,所以任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵.多于两个矩阵的情形可按同样方式处理,并利用数学归纳法给出证明:①当n=2时已证明命题结论为真;②假设n<k+1时命题结论为真,现证明n=k+1时命题结论为真.设A1,A2,…, A k,A k+1是同阶正定矩阵,a1,a2,…,a k,a k+1>0,下证a1A1+…+a k A k+a k+1A k+1为正定矩阵.因为对于任意非零向量x∈C n,有x&(a1A1+…+a k A k+a k+1A k+1)x=a1x*A1x+…+a k x* A k x+a k+1x*A k+1x>0(因为其中每一项均为正)所以n=k+1时,结论为真.综上证明,可知对于一切的自然数n,诸正定矩阵的正线性组合必为正定矩阵.2 n阶复矩阵为正定矩阵的条件定理1 Hermite矩阵A∈M n是正定的,当且仅当它的所有特征值都是正实数[6].推论1 如果可逆矩阵A∈M n是正定的,则A-1也是正定的.证明 令λ是A的特征值,x∈C n是A的属于特征值λ的特征向量,即Ax=λx,因为A可逆,所以A-1存在.两边各乘A-1,可得x=λA-1x又因为A为正定,所以λ>0,两边乘λ-1,可得:λ-1x=A-1x,即A-1x=λ-1x,这表明λ-1是A-1的特征值.又因为A的特征值全为正实数,所以A-1的特征值也为正实数,即A-1为正定矩阵.推论2 如果A是正定的,则对所有k=1,2,…,n,A k也是正定的.证明 如果A的特征值是λ1,λ2,…,λn,则A k的特征值是λk1,λk2,…,λk n.若Ax i=λi x i(i=1,2,…,n)(x i是相应于λi的特征向量)则A k x1=A k-1(Ax i)=λi A k-1x i=λi A k-2(Ax i)=λ21A k-2x i=…=λk-1i Ax i=λk i x i(i=1,2,…,n)这表明λk i(i=1,2,…,n)是A k的特征值.若A为正定,则λi>0,i=1,2,…,n,于是对所有的k=1,2,…,n,λk i>0,i=1,2,…,n 所以A k也是正定的.证毕.引理3 设B∈M是给定的矩阵,y∈是给定的向量,∈R是给定的实数,设∈M+是在B旁镶上y和后得到的矩阵,即=B Yy*,而和B的特102中山大学学报论丛 1996年n Hermite Cn aA n1a H ermite AaA征值分别用{λi }和{_i }表示,且假定它们接递增顺序λ1≤…≤λn +1和_1≤…≤_n ,则λ1≤_1≤λ2≤…≤_n-1≤λn ≤_n ≤λn +1(见[2]§4.3).定理2 Her n ite 矩阵A ∈M n 是正定的,当且仅当detA i >0对一切的i=1,2,…,n 成立.更一般地,A 的n 个主子式(不一定是诸前主子式)所组成的一套序列的正性是A 为正定矩阵的充分必要条件.(见[2]§7.2)推论 Hermite 矩阵A ∈M n 是正定矩阵,当且仅当A 的各前主子式(即各阶顺序主子式)为正数(证明包含在定理2中).定理3 Hermite 矩阵A ∈M n 是正定的,当且仅当存在可逆矩阵C ∈M n 使得A =C *C .证明 必要性:若A 为正定,由引理1和定理2可知必存在酉矩阵U ∈M n ,使得A =U *diag(λ1,λ2,…,λn )U ,其中λ1,λ2,…,λn 是A 的全部特征值,且λi >0(i=1,2,…n ).于是A =U *diag(λ1,λ2,…,λn )diag(λ1,λ2,…,λn )U =(diag(λ1,λ2,…,λn )U )*diag(λ1,λ2,…,λn )U ,令 C=diag(λ1,λ2,…,λn )U ,则C 可逆,且C ∈M n .可得A=C *C (得证).充分性 对任意的非零向量x ∈C n ,若A =C *C(C 为n 阶可逆矩阵),则x *Ax=x *C *Cx=(Cx )*(Cx )>0(∵Cx ∈C n 且Cx ≠0),这表明A 为正定矩阵(充分性也得证),证毕.推论 Hermite 矩阵A ∈M n 是正定的,当且仅当A *相合于n 阶单位阵I.定理4 Hermite 矩阵A ∈M n 是正定的,当且仅且A 可以按序施行第三种行(或列)初等变换,化为主对角元全为正数的上(或下)三角形矩阵.证明 只就第三种行初等变换来证明,列变换的情形可类似地给出.设A =a 11a 12…a 1n a 12a 22…a 2n…………a 1n a 2n …a n na 11≠0,按顺序施行第三种初等行变换a (0)11a (0)12…a (0)1n 0a (1)22…a (1)2n …………00…a (n-1)nn =B 因为第三种行初等变换不改变行列式的值,所以A 的前n 阶主子式与B 的前n 阶主子式对应相等,即det A i =detB i ,i=1,2,…,n又因为B 是上三角形矩阵,所以当且仅当B 的主对角元全为正时,det B i >0,对应的det A i >0,对于一切的i=1,2,…,n,根据定理2的推论:A 正定,当且仅当的各阶顺序主子式为正数,即当且仅当B 的主对角元全为正数.定理得证.以上四个定理的充分性都可以作为复正定矩阵的判定准则,下面再引进一个新的判定准则.为了方便定理的证明,先给出对角占优、严格对角占优的定义及引理4:定义5 设A =(a ij )∈M n ,称A 为对角占优矩阵是指|a ii |≥∑n j =1,j ≠i|a ij |,对所有i=1,2,…,n 成立;称A 为严格对角占优矩阵是指|a ii |>∑nj=1,j ≠i|a i j ,对所有的i=1,2,…,n 成立.引理 设λ是∈M 的任一特征值,令=(j ),则(见[6]3)()有一个(≤≤),使|λ|≤∑=,≠||;103第5期 郑长和:正定矩阵的等价表征及若干判定准则4A n A a i p201i 1i n -a ii nk 1k ia ik(2)有一个j (1≤j ≤n ),使|λ-a j j |≤∑nk =1,k ≠j|a k j |.定理5 如果A ∈M n 是Hermite 矩阵,且严格对角占优,又如果对所有的i =1,2,…n ,a ii >0(即主对角元全为正数),则A 是正定矩阵.证明 本题关键是证明满足上述条件的矩阵A 的全部特征值为正数.用反证法:设λ是A 的任一特征值,则由引理4,有i (1≤i ≤n )使|λ-a ii |≤∑hk=1,k ≠i|a ik |<|a ii |=a ii (因为A 是严格占优且主对角元全为正)若λ≤0,则|λ-a ii |=|λ|-a ii ,矛盾.可见A 的任一特征值λ>0,即A 为正定矩阵.证毕.推论 如果Hermite 矩阵A ∈M n *相合于具有正对角元的严格占优矩阵,则A 是正定矩阵.证明 设B 是具有正对角元的严格占优矩阵,若Hermite 矩阵A ∈M n *相合于B ,则存在可逆矩阵S ∈M n ,使得B =SAS *,所以B 为n 阶Hermite 矩阵,根据定理5可知B 为正定矩阵,并由定理3的推论可知B 必*相合于n 阶单位阵I ,根据*相合的传递性可知A 必*相合于n 阶单位阵I ,所以A 必为正定矩阵.参考文献1 ΥΡ甘特马赫尔.矩阵论.柯召译.北京:高等教育出版社,19952 R A 合恩,C R 约翰逊.矩阵分析.杨奇译.天津:天津大学出版社,19893 谢国瑞.应用矩阵方法.北京:化学工业出版社,19884 程云鹏.矩阵论.西安:西北工业大学出版社,19895 陈大新.矩阵理论.上海:上海交通大学出版社,19916 罗家洪.矩阵分析引论.广州:华南理工大学出版社,1992Equivalent Re pres entations of thePositive Definite Matrix a nd Its J udging CriterionsZ heng Cha nghe(Teaching College of Shantou)Abstr act We investigate a positive definite ma trix in complex inner-product space,and present four equivalent representations of the ma trix as well as some judging criterions.Keywor ds Hermite matrix,U-matrix,positive definite ma trix,the *-congruence,a strictly diagonally domina te matrix 104中山大学学报论丛 1996年。
证明正定矩阵
证明正定矩阵第1篇：正定矩阵的几种经典证明方法科技论坛正定矩阵的几种经典证明方法封京梅（陕西广播电视大学，陕西西安７１０１１９）摘要：矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究，本文主要利用特征值，单位矩阵，上三角矩阵，可逆矩阵等知识给出正定矩阵的几种证明方法和一些性质，希望能起到推广正定矩阵应用的作用。
关键词：正定矩阵；可逆矩阵；特征值；主子式零，由归纳法的假设可知Ａ。
是正定矩阵，换句话说存在可逆的ｎ一１引言ｑｑ矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在级矩阵Ｇ使ＧＡＧ＝（Ｅ是ｎ一１级单位矩阵），解线性方程组时的应用上。
而经过近几年的发展，矩阵论已经是代数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受到了人们的广泛关注．但是正定矩阵的证明方法一直成为我们应用正定矩阵的瓶颈，为此我们将给出几种经典的证明方法及重要性质．首先，对以下名词加以说明：①正定矩阵：实数域Ｒ上二次型刷＝ｘ＇Ａｘ，若对任意一，恐，‘‘）∈，Ｘｏ；０均有价。
Ｊ＞０，则称ｇｘ）为正定二次型，此时称Ａ为正定矩止Ｅ时令ｃ—ＧＣ２，日一ＧＧ０＝ａ阵。
ｆ１０１②主子式：在一个矩阵中取出相同的行，相同的列，其交叉位置就有ｃＡＣ＝ｌＩ，两边取行列式｝ｃｌ一ａ上的元素重新组成的子矩阵的行列式叫做主子式，通常记为：【０ｏ／有ｃＡ＝（０］［ｃｔｆ￣。
ｌ’０１＝（由条件ｌＡＩ＞０，因此ａ＞Ｏ，∞．］，刮③顺序主子式的定义：子式Ｐ令再ＧＯ二ｏ显然：［：】＝【二刊二】，故矩阵Ａ与单位矩阵合同，因此Ａ是正定矩阵或者说二次型＇厂（，Ｘ２，）是正定的，根据归纳法的原理，充分性得证。
称为矩阵＝（ａ）的顺序主子式。
定理２如果Ａ的主子式均大于零，则Ａ为正定矩阵。
证明：必要性：有定理１显然成立。
④正交矩阵：Ｔ为实矩阵且有丁一７＿。
正定矩阵的性质有哪些呀
正定矩阵的性质有哪些呀一．定义因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:设有二次型,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：令A为阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有＞0(≥0)则称A 正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量x≠0 ,都有＜0（≤ 0），则称A负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。
二．正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即有这就证明了A正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
证明：A正定二次型正定A的正惯性指数为n3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使；进一步有（B为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使令则令则反之，∴A正定。
同理可证A为半正定时的情况。
4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素，且。
证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定∴ 是正定二次型现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有∴∴A正定∴存在可逆矩阵C ，使5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。
证明：必要性：设二次型是正定的对每个k,k=1,2,…,n,令，现证是一个k元二次型。
∵对任意k个不全为零的实数，有∴ 是正定的∴ 的矩阵是正定矩阵即即A的顺序主子式全大于零。
充分性：对n作数学归纳法当n=1时，∵ ，显然是正定的。
假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。
正定矩阵的性质及判定方法
和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａｘꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬｆᶄ(ｘ)＝１/ｘ－ａꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于０的解ꎬ以及小于０的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的ａ的值ꎬ想当然的认为ａ的值大于０.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当ａ小于０时ꎬ当ａ等于０时ꎬ当ａ大于０时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学 圆与方程 时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[１]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[Ｊ].学周刊ꎬ２０１９(２５):４０.[２]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):４２.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀６７４１００)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２４－００１８－０２收稿日期:２０２０－０５－２５作者简介:何守元(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ正定ꎬ则称矩阵Ａ为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵Ａ必须满足两个条件:首先ꎬＡ必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以Ａ为矩阵的实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ必须是正定二次型ꎬ即Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定Ａ为正定矩阵的依据:性质１㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.㊀㊀(因为Ａ为正定矩阵的充要条件是实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ是正定二次型.)性质２㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:Ａ＝０１２１０１２１０æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且｜Ａ｜＝２>０ꎬＡ可逆８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但Ａ经过合同变换化为ｄｉｇ(１ꎬ－１ꎬ－１)ꎬ其负惯性指数为２ꎬ故Ａ不是正定矩阵.性质３㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为Ａ＝ＰＴＥＰꎬＡ－１＝[(Ｐ－１)Ｔ]ＴＥ(Ｐ－１)ＴꎬＡ－１也与单位方阵Ｅ合同ꎬ必然正定.)性质４㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质５㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(１)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(２)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(３)与同阶单位方阵合同ꎻ(４)特征根全为正实数ꎻ(５)与同阶对角形方阵ｄｉｇ(ｔ１ꎬｔ２ꎬ ꎬｔｎ)相似且合同(其中ｔｉ为它的特征根).(６)行列式等于ｔ１ｔ２ ｔｎ(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法１㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则Ａ非正定.例１㊀Ａ＝１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式Ｄ２＝１－１－１１æèçöø÷＝０ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例２㊀当ｔ为何值时ꎬＡ＝ｔ１－１１ｔ－１－１－１ｔæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式Ｄ１＝ｔ>０ꎬＤ２＝ｔ１１ｔæèçöø÷＝ｔ２－１>０ꎬＤ３＝｜Ａ｜＝(ｔ＋２)(ｔ－１)２>０ꎬ由此可得:ｔ>１时Ａ为正定矩阵.判法２㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程ｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝０ꎬ计算出Ａ的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则Ａ非正定.例３㊀Ａ＝１－２２－２－２４２４－２æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝(ｔ－２)２(ｔ＋７)＝０ꎬ得特征根为２㊁２㊁－７ꎬ有一个根不是正数ꎬ故Ａ不是正定矩阵.判法３㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵Ｅ(或:主对角元全为正数)ꎬ则Ａ为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例１中ꎬ对Ａ施行合同变换:１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ң１００００４０４６æèççöø÷÷ң１０００６４０４０æèççöø÷÷ңＡ＝１０００６０００－１６６æèçççöø÷÷÷ңＡ＝１０００１０００－１æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故Ａ不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法４㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算Ａ的行列式｜Ａ｜ꎬ若｜Ａ｜ɤ０ꎬ则Ａ不正定.这是根据性质２的等价命题来判定的.如:上述例１中ꎬ｜Ａ｜＝－１６<０ꎬ说明Ａ不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看ｎ阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于ｎ?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例４㊀若Ａ是正定矩阵ꎬＥ是与Ａ同价的单位方阵ꎬ则ｋ为足够大的实数时ꎬ可以判定ｋＥ＋Ａ也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ的特征根为ｔｉ>０ꎬ则ｋＥ＋Ａ的特征根为ｔｉ＋ｋꎬ从而当ｋ足够大时ꎬ就可保证ｋＥ＋Ａ的特征根全为正数ꎬ使ｋＥ＋Ａ为正定矩阵.例５㊀若Ａ＝(ａｉｊ)是正定矩阵ꎬｂｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)是任意ｎ个非零实数ꎬ则Ｂ＝(ａｉｊｂｉｂｊ)也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ正定ꎬ则其顺序主子式｜Ａｋ｜>０ꎬ而Ｂ的顺序主子式｜Ｂｋ｜＝ｂ２１ ｂ２ｋ｜Ａｋ｜>０ꎬ从而Ｂ也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[１]何守元.高等代数[Ｍ].北京:现代教育出版社ꎬ２０１５:１５.[２]刘振宇.高等代数的思想和方法[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００９.[３]扬子胥.高等代数精选题解[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.[责任编辑:李㊀璟]９１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
实正定矩阵的若干判定方法
性质和判定作了初步的讨论和研究, 得到 了一般实正定矩阵的几个重要性质和判定定理.
关键词: 实对称正定矩阵; 实正定矩阵; 严格对角占优阵; Hadamard 积
中图分类号: O151. 21
文献标识码: A
文章编号: 1009 1734( 2004) 02 0125 04
0 引言
二次齐次多项式在实际工作和理论研究中是一种重要的多项式, 它不仅在数学的许多分支中用到, 而且 在物理学中也经常用到, 其中实二次型中的正定二次型占有特殊重要的位置. 正定二次型的系数矩阵就是实 对称正定矩阵, 它是一类特殊的正定矩阵. 在历史上, 正定矩阵的研究最先出现于二次型与 Hermite 型的研究 中, 这种正定只限于对实对称矩阵或 Hermite 矩阵使用, 它在几何学、物理学以及概率论等学科中都有重要的 应用[ 1~ 2] .
A = a21 a22 , a2n , ,, ,
an1 an2 , ann
为一实矩阵, 如果 A 是严格对角占优阵, 那么 | A | X 0. 引理 2[ 3] 设
a11 a12 , a1n
A = a21 a22 , a2n , ,, ,
an1 an2 , ann
为一实矩阵, 如果 A 是严格对角占优阵, 且 aii > 0, i = 1, 2, ,, n , 那么 | A | > 0. 证明 由已知条件可知: A + AT 的各阶顺序主子阵都是严格对角占优阵, 且 aii > 0, i = 1, 2, ,, n. 于
A
m2
1CTCA
m2
1
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(
CA
m2
1
)
T
(
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矩阵正定的若干判别方法
矩阵正定的若干判别方法矩阵的正定性是一个重要的数学概念，它在各个领域中都有广泛的应用，特别是在线性代数、优化理论、统计学等领域中。
一个矩阵被称为正定矩阵，如果它满足一些特定的条件。
本文将介绍矩阵正定的几种判别方法。
1.主子式判定法主子式是指从矩阵中任意选取k行和k列，所得到的k阶子矩阵的行列式。
对于一个n阶矩阵A来说，如果它的所有主子式都大于0，则矩阵A是正定的。
否则，如果存在一个主子式小于等于0，或者存在一个奇数阶主子式大于0但有负主子式，则矩阵A不是正定的。
2.特征值判定法特征值是矩阵A的一个重要性质，通过求解矩阵A的特征方程即可得到。
对于矩阵A的所有特征值λi，如果它们都大于0，则矩阵A是正定的。
如果存在一个特征值小于等于0，或者存在一个奇数个特征值大于0但有负特征值，则矩阵A不是正定的。
3.随机矩阵判定法随机矩阵是指矩阵中的元素是随机变量，其取值满足一定的概率分布。
对于一个n阶随机矩阵X，定义一个n维向量a，则矩阵X的正定性可以通过判断向量a^TXa的期望是否大于0来确定。
如果a^TXa>0成立的概率为1，即对于几乎所有的a都满足这个条件，则矩阵X是正定的。
这个方法是通过随机选择的方法来验证矩阵的正定性，适用于一些特殊的矩阵。
4.半正定矩阵判定法半正定矩阵是指矩阵A的所有特征值都大于等于0，即λi ≥ 0，其中1 ≤ i ≤ n。
如果一个矩阵A是半正定的，并且A的对角线元素都大于0，即Aii > 0，那么矩阵A是正定的。
该方法是正定性判别方法的一种特殊情况。
以上是矩阵正定的几种常用判别方法。
根据矩阵的不同性质和应用领域，可以选择适合的判定方法来判断一个矩阵是否是正定的。
这些方法充分利用了矩阵的特征值、主子式、随机矩阵等性质，为矩阵正定性的判断提供了有效的工具。
正定矩阵的判定
正定矩阵的判定正定矩阵的判定摘要：鉴于正定矩阵的重要性及其应⽤的⼴泛性，本⽂给出了正定矩阵判定的若⼲等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。
关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定⼆次型⼀、利⽤定义（⼀）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实⾮零列向量X ，都有T X AX 0>。
正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。
例1 设A 是正定矩阵，P 是⾮奇异实⽅阵，则TP AP 也是正定矩阵。
证明：因为A 是实对称阵，故TP AP 显然也是实对称阵，⼜对任何实的⾮零列向量X ，由于PX ≠0(P 是⾮奇阵),故()T T X P AP X 0>,即TP AP 是正定阵。
1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分⽽且必要条件是对于任意的n 维实⾮零列向量X =12x x ??≠0, ⼆次型'X AX 是正定⼆次型。
2．实对⾓矩阵1n d d ?? ?是正定矩阵的充分⽽且必要条件是i d >0(i =1,2,n )。
3．实对称矩阵A 是正定矩阵的必要⽽且充分条件是⼆次型'X AX 的秩与符号差都等于n 。
⼆、利⽤主⼦式（⼀）n 阶实对称矩阵A 的⼀切顺序主⼦式都⼤于0，则A 为正定矩阵。
证明：对n 作数学归纳法。
当1n =时，()21111f x a x =，由条件11a >0，显然有()1f x 是正定的。
假设该论断论断对1n -元⼆次型已经成⽴，现在来证n 元的情形。
令111,111,11,1n n n n a a A a a ----?? ?= ? ，11,n n n a a α-??=于是矩阵A 可以分块写成1'nn A A a αα。
既然A 的顺序主⼦式全⼤于零，当然1A 的顺序主⼦式也全⼤于零。
由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n -级矩阵G 使'11n G AG E -=，这⾥1n E -代表1n -级矩阵。
三阶矩阵正定的判别方法-概述说明以及解释
三阶矩阵正定的判别方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具，它在很多领域都有广泛的应用。
正定矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它在优化问题、最小二乘法、信号处理等领域中扮演着重要角色。
本文将重点探讨三阶矩阵正定的判别方法。
我们将首先介绍三阶矩阵的定义，然后给出正定矩阵的定义。
接着，我们将详细讨论三阶矩阵正定的判别方法，这些方法包括特征值法、主子式法以及Sylvester判准则等。
在结论部分，我们将总结三阶矩阵正定判别方法的优势与不足，并给出一些应用前述方法的例子。
最后，我们还将展望未来研究方向，探讨可能的改进和扩展。
通过本文的阅读，读者将能够全面理解三阶矩阵正定的概念及其判别方法，从而在实际问题中能够有效地应用这些方法。
同时，本文也为进一步研究相关领域提供了一定的参考和思路。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕三阶矩阵的正定性展开讨论，结构安排如下：第一部分为引言，概述了本文的研究背景和意义，介绍了文章的结构和目的。
第二部分是正文，分为三个小节。
2.1节定义了三阶矩阵，阐述了矩阵的基本概念和性质。
在这一节中，我们将介绍如何表示和操作三阶矩阵，为后续讨论奠定基础。
2.2节定义了正定矩阵，详细解释了正定矩阵的特性和性质。
我们将深入探讨正定矩阵的定义、判定方法以及其在数学和应用中的重要性。
2.3节是本文的重点内容，介绍了三阶矩阵正定性的判别方法。
我们将详细讨论不同的判别方法，包括特征值判定法、主子式判定法和向量方法等。
通过这些方法，读者可以快速准确地判断一个给定的三阶矩阵是否正定。
第三部分为结论，总结了本文的研究成果和重要发现。
我们将回顾三阶矩阵正定判别方法的优缺点，并提供一些展望未来研究方向的建议。
在本文中，我们将提供大量的数学推导和实例分析，希望读者能够通过阅读本文深入了解三阶矩阵正定性判别方法的理论与应用。
1.3 目的目的是在本文中介绍和讨论三阶矩阵正定的判别方法。
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矩阵正定的若干判别方法
摘要矩阵是数学学习中的一个重要概念，同时也是一个主要的研究对象，在我们研究线性代数和近世代数时，矩阵都是一个强有力地工具。
而正定矩阵又是研究矩阵的一重要的概念，正定矩阵具有特殊性质，其等价定理在解题中可以灵活运用。
因此本文主要阐述矩阵判定的若干方法及其在生活中的应用，第一部分主要讲述正定矩阵的定义及其性质；第二部分通过正定矩阵的定义及性质来归纳其多种判定方法：定义法，主子式法，特征值法，与单位矩阵合同法等并通过一些简单的实例来阐述实矩阵的正定性的判定；第三部分研究正定矩阵的判别方法在实际生活中的应用。
关键词正定矩阵二次型判别方法
Abstract The matrix is not only an important concept in the study of math but also is vital for us in the research. Meanwhile, the matrix is a very powerful tool which is used in the research of Linear algebra and Modern algebra.
目录
一．正定矩阵的定义——————————————1
二．正定矩阵的性质——————————————3
三．正定矩阵的相关定理—————————————5
四．正定矩阵的判别方法
（一）定义法
（二）主子式法
（三）特征值法
（四）与单位矩阵合同法
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