常见数列递推公式
高中数学必修5数列的递推公式
典型例题解析
例题1
已知等差数列{an}中， a1=2，d=3，求a10。
解析
根据等差数列的通项公 式an=a1+(n-1)d，代 入n=10，a1=2，d=3 ，可得a10=2+(101)×3=29。
例题2
已知等差数列{an}中， a3=7，a7=15，求a5 。
解析
根据等差数列的性质， a5=(a3+a7)/2=(7+15 )/2=11。
递推关系性质
递推关系具有确定性，即对于给 定的初始条件和递推公式，数列 的每一项都是唯一确定的。
递推关系建立
01
等差数列递推关系
等差数列的递推关系为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项 ，d为公差，n为项数。
02
等比数列递推关系
等比数列的递推关系为an=a1×qn-1，其中a1为首项， q为公比，n为项数。
，r是公比。
调和数列
调和数列是每一项都是其前一项 的倒数与1的和的数列。递推公 式为1/a_n = 1/a_(n-1) + 1/b，
其中a_1 = b。
05 递推公式在实际问题中应用
数学问题应用举例
等差数列求和
数列通项公式求解
利用递推公式可以快速求解等差数列 的前n项和，如求1+2+3+...+n的和 。
03
其他类型数列递推关系
对于非等差非等比数列，需要根据具体题目条件建立相 应的递推关系。
初始条件确定
初始条件定义
初始条件是数列中已知的第一项或前 几项，用于启动递推过程。
初始条件确定方法
根据题目给出的条件或已知信息，确 定数列的初始条件。例如，题目中可 能会直接给出首项a1和公差d或公比q 等参数。
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
求数列通项公式的十种办法
求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。
下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。
通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。
例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。
例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。
3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。
例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。
4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。
例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。
例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。
6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。
例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。
7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。
例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。
8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。
首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
数字的变化规律数列的递推与通项公式
数字的变化规律数列的递推与通项公式数字的变化规律：数列的递推与通项公式数学中，我们经常会遇到各种数列，它们是由数字按照一定规律排列得到的。
了解数列的变化规律对于我们深入理解数学问题、解决实际问题非常重要。
本文将介绍数列的递推与通项公式，帮助读者更好地理解数字的变化规律。
一、递推关系与递推公式在数列中，我们常常会发现后一项与前一项之间存在某种规律。
根据这种规律，我们可以得到两个重要的概念：递推关系和递推公式。
递推关系是指数列中相邻两项之间的关系。
这种关系可以通过一个或多个常数、变量以及运算符等表示。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，我们可以观察到每一项与前一项之间的差为3。
因此，递推关系可以表示为an = an-1 + 3，其中an表示第n项。
递推公式是指数列中的递推关系用代数表达方式表示的结果。
递推公式可以通过观察数列前几项的特点，或者利用已知的数学定理来求得。
对于等差数列1，4，7，10，13，...，我们可以发现第n项可以表示为an = 1 + 3(n-1)，其中n表示项数。
二、等差数列的递推与通项公式等差数列是一种常见的数列，它的递推关系和递推公式非常简单明确。
等差数列的特点是每一项与前一项之间的差是一个常数，这个常数称为公差。
对于等差数列，我们可以通过已知的两项或者项数来推导出递推关系和通项公式。
1. 递推关系：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d 表示公差，n表示项数。
2. 通项公式：对于等差数列，通项公式可以通过观察前几项的规律得到。
通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n 表示项数。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，我们可以得到递推关系an = a1 + 3(n-1)，其中a1 = 1，d = 3。
同时，我们可以通过观察前几项的规律得到通项公式an = 1 + 3(n-1)。
三、等比数列的递推与通项公式除了等差数列，还有一种常见的数列是等比数列。
数列递推公式
数列递推公式数列是数学中非常重要的概念，它描述了一组按照特定规律排列的数字。
数列常常通过递推公式来定义，递推公式表达了每一项与前一项之间的关系。
在本文中，我们将探讨数列递推公式的定义、性质以及应用。
一、数列递推公式的定义数列是由一组按照特定规律排列的数字所组成的序列。
数列中的每一项通常用a1, a2, a3等符号来表示，其中an代表第n个数字。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
对于有限数列，其最后一项是确定的；而对于无限数列，其具体项数是无穷大。
数列递推公式是数列中的每一项用其前一项表示的关系式。
数列递推公式常常写成an = f(an-1)，其中f是一个确定的函数。
递推公式表达了每一项与前一项之间的关系，通过这个关系，我们可以根据已知的前几项，推导出后面的项。
二、数列递推公式的性质1. 逐差性质：对于数列 {an}，如果有递推公式an = an-1 + d，其中d是常数，那么这个数列就具有逐差性质。
也就是说，每一项与前一项之差都是相等的。
2. 叠加性质：如果数列 {an} 和 {bn} 都有递推公式an = f(an-1) 和bn = g(bn-1)，那么它们的和的递推公式为cn = f(cn-1) + g(cn-1)。
3. 乘法性质：如果数列 {an} 有递推公式an = f(an-1)，那么其倍数的递推公式为an = kf(an-1)，其中k是常数。
三、数列递推公式的应用数列递推公式在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
以下是数列递推公式的一些应用示例：1. 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 斐波那契数列是一个经典的数列，满足递推公式an = an-1 + an-2。
它在自然界中常常出现，比如花瓣的排列、兔子的繁殖等。
2. 等差数列：1, 4, 7, 10, 13, ... 等差数列是一个对应项之差都相等的数列，满足递推公式an = an-1 + 3。
等差数列在代数学中经常出现，用于解方程、求和等问题。
数列的求和公式和递推公式
数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。
2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。
3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。
5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。
二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。
5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。
习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。
常见二项式递推数列通项的求法
常见二项式递推数列通项的求法一、斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的二项式递推数列，其通项求法如下：1. 定义斐波那契数列的前两项为 0 和 1，即 F(0) = 0，F(1) = 1。
2. 从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即 F(n) = F(n-1)+ F(n-2)。
根据上述定义，我们可以得到斐波那契数列的通项公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)二、杨辉三角数列（帕斯卡三角形）杨辉三角数列是另一个常见的二项式递推数列，其通项求法如下：1. 杨辉三角的第一行只有一个数值为 1。
2. 从第二行开始，每一个数值等于上一行相邻两数之和。
对于边界数值，我们可以认为其前一行相邻数不存在，默认为 0。
根据上述定义，我们可以得到杨辉三角数列的通项公式为：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)其中 C(n,k) 表示杨辉三角的第 n 行第 k 个数值。
三、幂次方数列幂次方数列也是个常见的二项式递推数列，其通项求法如下：1. 定义幂次方数列的初始项为 1，即 A(0) = 1，A(1) = a。
2. 从第三项开始，每一项都等于前一项乘以一个常数 a，即A(n) = a * A(n-1)。
根据上述定义，我们可以得到幂次方数列的通项公式为：A(n) = a * A(n-1)其中 a 表示常数。
四、其他常见二项式递推数列除了斐波那契数列、杨辉三角数列和幂次方数列，还有许多其他常见的二项式递推数列。
它们的通项求法可以根据具体的定义来确定，但通常都遵循递推关系，即每一项都依赖于前面的一项或多项。
在实际应用中，我们可以通过观察数列的规律，找出递推关系，并通过迭代或递归的方式计算任意项的值。
数列常见的基本公式
数列常见的基本公式数列是数学中一个重要的概念，它描述了一系列按照特定规律排列的数字或者其他数学对象。
数列常见的基本公式包括等差数列、等比数列、调和数列等。
一、等差数列：等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都是一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列一般用an表示，其中a1是首项，d是公差。
等差数列的定义公式为：an = a1 + (n - 1)d。
等差数列的特点：1. 任意两个相邻项之差都是一个常数，即an+1 - an = d。
2.等差数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 + d。
3.等差数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn = (n/2)(a1 + an)。
4.等差数列的前n项和也可以用递推公式表示为Sn=(n/2)(2a1+(n-1)d)。
二、等比数列：等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比都是一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列一般用an表示，其中a1是首项，q是公比。
等比数列的定义公式为：an = a1 * q^(n - 1)。
等比数列的特点：1. 任意两个相邻项之比都是一个常数，即an+1 / an = q。
2.等比数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 * q。
3.等比数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，其中q不等于14.当公比q等于1时，等比数列变为等差数列。
三、调和数列：调和数列是指数列中的任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数h，这个常数称为调和差。
调和数列一般用an表示，其中a1是首项，h是调和差。
调和数列的定义公式为：an = 1 / (a1 + (n - 1)h)。
调和数列的特点：1. 任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数，即1 / an+1 - 1 /an = h。
2. 调和数列的通项公式可以用递推公式表示为an = 1 / (1 / an-1 + h)。
除了这些常见的基本公式外，还有其他一些特殊的数列，如等差矩阵数列、Fibonacci数列、Arithmetico-geometric数列等。
通项公式和递推公式(二)
通项公式和递推公式(二)通项公式和递推公式1. 什么是通项公式通项公式是指能够直接计算数列中的任意一项的公式。
它不需要通过前面的项来计算，而是直接给出某一项的数值。
通项公式可以大大简化计算数列的过程，特别是对于复杂的数列。
下面是一些常见的数列的通项公式及其示例：•等差数列的通项公式:a n=a1+(n−1)d其中，a n表示数列中的第n项，a1表示数列中的第一项，d表示公差。
例如，对于等差数列2,4,6,8,…，其通项公式为a n=2+(n−1)2。
•等比数列的通项公式：a n=a1⋅r(n−1)其中，a n表示数列中的第n项，a1表示数列中的第一项，r表示公比。
例如，对于等比数列3,6,12,24,…，其通项公式为a n=3⋅2(n−1)。
2. 什么是递推公式递推公式是指通过前面的项来计算下一项的公式。
它需要已知数列中的前几项，通过执行特定的计算来得到数列中的下一项。
递推公式是数列中常见的计算方法之一。
下面是一些常见的数列的递推公式及其示例：•斐波那契数列的递推公式：f n=f n−1+f n−2其中，f n表示数列中的第n项，f n−1和f n−2分别表示数列中的第n−1项和第n−2项。
例如，对于斐波那契数列0,1,1,2,3,5,8,…，其递推公式为f n=f n−1+f n−2。
•等差数列的递推公式：a n=a n−1+d其中，a n表示数列中的第n项，a n−1表示数列中的第n−1项，d表示公差。
例如，对于等差数列2,4,6,8,…，其递推公式为a n=a n−1+2。
总结通项公式和递推公式是数学中用来计算数列的重要工具。
通过通项公式，我们可以直接通过计算得到数列中的任意一项；通过递推公式，我们可以通过已知的数列前几项来计算数列中的下一项。
这些公式在解决问题、推导数学定理和进行数值计算等方面都有广泛的应用。
数列通项公式—常见9种求法
数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。
找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。
在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。
1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。
例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。
2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。
等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。
4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。
幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。
5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。
组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。
6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。
可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。
7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。
8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。
9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。
以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。
数列的递推公式
等比数列的递推公式
$a_n = a_{n-1} times r$， 其中 $r$ 是公比，表示相邻 两项的比。
递推公式的应用
通过递推公式可以快速地求 出数列中任意一项的值，也 可以用于证明数列的性质。
拓展延伸：非线性递推关系简介
非线性递推关系的
定义
如果数列的递推公式中包含了非 线性运算（如乘法、除法、指数 等），则称该递推关系为非线性 递推关系。
02
CATALOGUE
常见数列递推公式类型
等差数列递推公式
01
一般形式
$a_n = a_{n-1} + d$，其中 $d$ 为公差。
初始条件
02
03
求解方法
给出首项 $a_1$ 和公差 $d$。
通过递推关系逐步计算每一项的 值。
等比数列递推公式
一Байду номын сангаас形式
$a_n = a_{n-1} times r$，其中 $r$ 为公比 。
非线性递推关系的
求解
对于非线性递推关系，通常没有 通用的求解方法，需要根据具体 情况进行分析和求解。常用的方 法包括迭代法、数学归纳法、特 征根法等。
非线性递推关系的
应用
非线性递推关系在数学、物理、 计算机科学等领域都有广泛的应 用，如分形、混沌、密码学等。
THANKS
感谢观看
方法求解。
03
CATALOGUE
递推公式求解方法
迭代法求解
初始条件确定
根据递推公式中的初始条件，确定数列的前几 项。
结果输出
输出计算得到的数列各项。
迭代计算
从初始条件出发，利用递推公式逐项计算数列 的后续项。
特征根法求解
六种常见数列递推公式
已知a1=1/2, 3an+1-2an=an+公式求通项公式 方法(2)
目标引领
• （1）可变型为“an+1=an∙f(n)"数列递推公式 求通项公式 • （2）可变型为“pan+1-pan=an+1∙an"(p不为 0,p为常数)的数列递推公式求通项公式。 • （3）可变型为‘‘pan+1-qan=an+1∙an’’ （p、q不相等，且均不为0的常数）的数列 递推公式求通项公式。
当堂诊学（10分钟）
【必做题】
1 an an=_______. n
2 n
1.设｛an｝是首项为1的正项数列，且满足 2 2 (n 1)an na ,2,3) ，则 1 n an1an 0(n 1
2. 数列{an}中a1=1，当 n 2 时，其前n项和
1 Sn满足S an ( S n ), 求{an }的通项公式 . 21 (n 1) an 2 ( n 2) (2n 1)(2n 3)
( pq 0, p q, p、q为常数)
目标再现
• （1）可变型为“an+1=an∙f(n)"(p不为0,p为常数)的数列递 推公式求通项公式 方法1：迭代 方法2：累乘 • （2）可变型为“pan+1-pan=an+1∙an"(p不为0,p为常数)的数 列递推公式求通项公式。 1 方法：两边同除pan+1an，则{ } 成等差.
1
(n 1)
强化补请
• 完成《全品》上的题目.（晚自习）
当堂诊学(10分钟）
• 【提高题】 • 设Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足
2bn b1=1， 1(n 2). 2 bn S n S n
递推公式通项公式
递推公式通项公式
递推公式和通项公式是数列中常见的两种公式。
递推公式是指通过前一项或前几项来确定下一项的公式，通项公式是指能够直接求出数列中任意一项的公式。
对于等差数列和等比数列，我们都有相应的递推公式和通项公式。
例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n
为项数。
这个递推公式表明第n项与第n-1项的关系是an=an-1+d。
而通项公式为an=a1+(n-1)d。
同样地，对于等比数列an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
这个递推公式表明第n项与第n-1项的关系是
an=an-1*r。
而通项公式为an=a1*r^(n-1)。
在数列的求解中，递推公式和通项公式是相互补充的。
使用递推公式可以快速地求出数列中的每一项，而使用通项公式可以方便地求出数列中任意一项的值。
因此，在应用数列时，我们需要掌握这两种公式的使用方法。
- 1 -。
数列的递推公式an+1=aan+b向通项公式转化
数列的递推公式an+1=aan+b向通项公式转化
数列是数学中一个重要的概念，它是按照一定的规律排列的数的有序集合。
数列的递推公式是指用来描述数列的规律的公式，它可以用来求出数列中任意一项的值。
例如，an+1=aan+b是一个数列的递推公式，它表示数列中第n+1项的值等于第n项的平方乘以a再加上b。
要将数列的递推公式转化为通项公式，首先要把递推公式中的变量抽象出来，然后把它们替换成通项公式中的变量。
例如，an+1=aan+b中的变量a和b可以替换成通项公式中的变量A和B，这样就可以得到通项公式an=Aan-1+B。
通项公式的优点是可以用来求出数列中任意一项的值，而不需要一步一步地求出每一项的值。
另外，通项公式还可以用来求出数列的前n项和，从而可以更快地求出数列的和。
总之，数列的递推公式是一种描述数列规律的公式，可以用来求出数列中任意一项的值。
要将数列的递推公式转化为通项公式，需要把递推公式中的变量抽象出来，然后把它们替换成通项公式中的变量。
通项公式的优点是可以用来求出数列中任意一项的值，也可以用来求出数列的前n项和。
常见数列递推公式
数列求和常用公式:1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷22）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷63）1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2=n^2*(n+1)^2÷44）1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=n(n+1)(n+2)÷35）1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)÷46）1+3+6+10+15+......=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷67）1+2+4+7+11+......=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) =(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷68）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)=1-1/(n+1)=n÷(n+1)9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n) =2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)=(n-1) ÷(n+1)10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n11）1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷312）1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)13）1^4+2^4+3^4+..........+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷3014）1^5+2^5+3^5+..........+n^5=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 1215）1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1ps：数列的性质：等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．⑷对任何m、n ，在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a }为等差数列时，有：a + a +a + … = a + a + a + … ．⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．⑺如果{ a }是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a }中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、)⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．⑽设a ，a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a ，a 与a 的项距差之比= （≠－1），则a = ．5．等差数列前n项和公式S 的基本性质⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．⑵在等差数列{ a }中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd，= ；当项数为(2n －1) (n )时，S －S = a ，= ．⑶若数列{ a }为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差数列，公差为．⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则= ．⑸在等差数列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．⑹等差数列{a }中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y = x + (a －)上．⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小．3．等比数列的基本性质⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差)．⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有：a = a · q ，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等比数列时，有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．⑷若{ a }是公比为q的等比数列，则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．⑸如果{ a }是等比数列，公比为q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列．⑹如果{ a }是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时，等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．4．等比数列前n项和公式S 的基本性质⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S =也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．⑵当已知a ，q，n时，用公式S = ；当已知a ，q，a 时，用公式S = ．⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S ＋qS ．⑵⑷若数列{ a }为等比数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比数列．⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ，次n项和与次n项积分别为S 与T ，最后n项和与n项积分别为S 与T ，则S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列求和常用公式:
1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷2
2）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6
3）1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4
4）1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)÷3
5）1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4
6）1+3+6+10+15+......
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6
7）1+2+4+7+11+......
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) =(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6
8）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n÷(n+1)
9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n) =2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)
=(n-1) ÷(n+1)
10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
11）1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3
12）1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13）1^4+2^4+3^4+..........+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30
14）1^5+2^5+3^5+..........+n^5
=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12
15）1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1
ps：数列的性质：
等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n ，在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a }为等差数列时，有：a + a +
a + … = a + a + a + … ．
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a }是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a }中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、)
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a ，a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a ，a 与a 的项距差之比= （≠－1），则a = ．
5．等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a }中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd，= ；当项数为(2n －1) (n )时，S －S = a ，= ．
⑶若数列{ a }为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差数列，公差为．
⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则= ．
⑸在等差数列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．
⑹等差数列{a }中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y = x + (a －)上．
⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有：a = a · q ，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等比数列时，有：
a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．
⑷若{ a }是公比为q的等比数列，则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比数列，公比为q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列．
⑹如果{ a }是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时，等比数列为递增数列；当a ＞0
且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S 的基本性质
⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S =
也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a ，q，n时，用公式S = ；当已知a ，q，a 时，用公式S = ．
⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S ＋qS ．⑵
⑷若数列{ a }为等比数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ，次n项和与次n项积分别为S 与T ，最后n项和与n项积分别为S 与T ，则S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列。