函数的方案、最值型问题
[方案]三角函数中的最大值与最小值
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三 角 函 数 中 的 最 大 值 与 最 小 值湖南省南县一中 陈敬波(*****************)(413200)三角函数的最值问题是对三角函数的概念、图象与性质以及诱导公式、同角间的基本关系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现．解决三角函数的最值问题可通过适当的三角变换或代数换元,化归为某种三角函数或代数函数,再利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理,通常有以下六种类型．（１） sin y a x b =+（或cos y a x b =+）型的函数此类函数利用sin 1x ≤（或cos 1x ≤）即可求解,max min ||,|a|+b,y a b y =+=-显然这里x R ∈．例1．求sin cos 6y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最大值与最小值．解：111sin cos sin 2sin sin 2,6266264y x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（若不要求记忆和差与积互化公式,则按下列解法）解：21111cos 2cos cos cos cos 22222111111112cos 2sin 2cos 2sin 24442224264x y x x x x x x x x x x x x π⎫+=-=-=-⨯⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--=⨯--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()max min 1111131,1.244244y y ∴=⨯-==⨯--=-（２） sin cos y a x b x =+型的函数()αϕ+其中辅助角ϕ所在的象限由a,b 的符号确定,角ϕ的值由tan ba ϕ=确定．例2．当22x ππ-≤≤时,函数()sin f x x x =的（ ）Ａ． 最大值是１,最小值是－１ Ｂ． 最大值是１,最小值是－12１Ｃ． 最大值是２,最小值是－２ Ｄ． 最大值是２,最小值是－１解析：()sin 2sin .3f x x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭()()max min 5,,22636,,2,3261,,2 1.3622x x x x f x x x f x πππππππππππ-≤≤∴-≤+≤∴+===⎛⎫+=-=-=⨯-=- ⎪⎝⎭故选（Ｄ）（３） 22sin sin cos cos y a x b x x c x =++型的函数此类函数可先降次,再整理转化为()sin y A x B ωϕ=++的形式来解决．例3．求22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++的最小值,并求y 取最小值时的x 的集合．解：()22222sin 2sin cos 3cos sin cos 2sin cos 2cos y x x x x x x x x x=++=+++()1sin 21cos 2sin 2cos 2224x x x x x π⎛⎫=+++=++=++ ⎪⎝⎭,∴当sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即()322,428x k x k k Z πππππ+=-+=-∈时,y 取最小值2,使y 取最小值的x 的集合为3|,.8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭（４） 2sin cos y a x b x c =++型的函数此类函数可转化为形如()211y At Bt C t =++-≤≤的二次函数,从而讨论其最值．例4.求函数2cos 2sin y x a x a =--(a 为定值)的最大值M.解: ()()2222cos 2sin 1sin 2sin sin 1.y x a x a x a x a x a a a =--=---=-++-+令sin x t =,则()()221||1.y t a a a t =-++-+≤如下图(1)若-a<-1,即a>1,则当t=-1时,有最大值M=-(-1+a)2+a 2-a+1=a;(2)若-1≤-a ≤1,即-1≤a ≤1,则当t=-a 时,有最大值M=a 2-a+1;(3)若-a>1,即a<-1,则当t=1时,有最大值M=-3a.注:本例借助函数思想,把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题.（５） sin cos a x cy b x d+=+型的函数此类函数可转化为()()sin x g y ϕ+=去处理,或利用万能公式换元后用判别去处理.例5.求下列函数的最大值与最小值.()()()3cos 2cos 1;2.2sin 2cos x xy y x R x x-+==∈+-解：（1）原函数可变形为sin cos 32,y x x y +=-即()sin x ϕ+=又()|sin |1x ϕ+≤()22213213128022y y y y y ≤⇔-≤+⇔-+≤⇔≤≤故所求最小值与最大值分别为：2（2）原函数可转化为()21cos ,1y x y -=+则()221131030,1y y y y -≤⇒-+≤+解得min max 113,, 3.33y y y ≤≤∴==（６） 巧用换元法转化为代数函数的最值问题① 对于含有s i n c o s ,s i n c o x x x x ±的函数的最值问题，常用的解决方法是令sin cos ,x x t ±=||t ,将sin cos x x 转化为t 的关系式，最终化归为二次函数或其他函数的最值问题.例6.已知0a <≤求函数()()sin cos y x a x a =++的最值解: ()()()2sin cos sin cos sin cos y x a x a x x a x x a=++=+++设sin cos x x t +=,则21||cos ,2t t x x -≤=()222211122t y at a t a a -⎡⎤∴=++=++-⎣⎦.当t a =-时,2min 12a y -=;当t =, 2max 1.2y a =++例7.求函数sin 21sin cos xy x x =+-的最大值与最小值.解: sin 22sin cos 1sin cos 1sin cos x x xy x x x x==+-+-令:sin cos ,x x t -=则||t ≤且1t ≠-原函数变为:211.1t y t t-==+-则[11)(1,1y ∈--min max 11y y ==② 首先利用换元法转化为代数函数by ax x=+,再利用函数的单调性求最值.例8.已知1sin cos ,0,sin cos 2y x x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,求y 的最小值.解析:令11sin cos sin 2,0,,(0,]222u x x x x u π⎛⎫==∈∈ ⎪⎝⎭则11,(0,].2y u u u =+∈由函数的单调性的定义易证1y u u =+在1(0,]2u ∈上是减函数,min 152.22y ∴=+=。
求函数值域的方法大全
求函数值域最值的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域最值的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域最值求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用;本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域最值的求法,希望对大家有所帮助; 一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦., 反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 二、求函数值域最值的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域最值的简单函数例1、求函数y=211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1 例2、求函数y=2－x 的值域;解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：-∞,2 2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5,x ∈-1,2的值域;解：将函数配方得：y=x-12+4, x ∈-1,2,由二次函数的性质可知： 当x=1时,y m in =4 当x=-1,时m ax y =8 故函数的值域是：4,8例4、求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥,则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤,所以04μ≤≤,故[]0,2,所以,y 的值域为[]0,2. 3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断;例5、求函数的值域22221x x y x x -+=++解：210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R.由22221x x y x x -+=++ 得()()22120y x y x y -+++-= ;① 当20y -=即2y =时,300,0x x R +=∴=∈；② 当20y -≠即2y ≠时,x R ∈时,方程()()22120y x y x y -+++-=恒有实根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥ 15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、 求函数y=x+)2(x x -的值域; 解：两边平方整理得：22x -2y+1x+y 2=01 x ∈R,∴△=4y+12-8y≥0 解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x2-x≥0,得：0≤x≤2;由△≥0,仅保证关于x 的方程：22x -2y+1x+y 2=0在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为21,23;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域; 0≤x≤2,∴y=x+)2(x x -≥0,∴y min =0,y=1+2代入方程1,解得：1x =222224-+∈0,2,即当1x =222224-+时,原函数的值域为：0,1+2;注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除; 4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数即有理分式一次型,也可用于其它易反解出自变量的函数类型; 例7、求函数12+=x xy 的值域; 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数;12+=x x y 反解得y y x -=2 即xxy -=2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域; 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y ; 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域;适用类型：一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等;例8、求函数y=11+-x x e e 的值域;解：由原函数式可得：x e =11-+y y x e ＞0,∴11-+y y ＞0 解得：-1＜y ＜1;故所求函数的值域为-1,1. 例9、求函数y=3sin cos -x x的值域;解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：12+y sinxx+β=3y 即 sinxx+β=132+y y∵x∈R,∴sinxx+β∈-1,1;即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤y≤42 故函数的值域为-42,42; 6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值;原理：同增异减 例10、求函数)4(log 221x x y -=的值域;分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而成,故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f 由复合函数的单调性同增异减知：),2[+∞-∈y ; 例11、 求函数y=+-25x log31-x 2≤x≤10的值域解：令y 1=25-x ,2y =log31-x ,则 y 1 ,2y 在2,10上都是增函数;所以y= y 1 +2y 在2,10上是增函数; 当x=2时,y m in =32-+log312-=81,当x=10时,m ax y = 52+log39=33;故所求函数的值域为：81,33;例12、求函数y=1+x -1-x 的值域; 解：原函数可化为： y=112-++x x令y 1 =1+x ,2y = 1-x ,显然y 1,2y 在1,+∞上为无上界的增函数,所以y= y 1 +2y 在1,+∞上也为无上界的增函数;所以当x=1时,y=y 1 +2y 有最小值2,原函数有最大值22=2;显然y ＞0,故原函数的值域为0,2; 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型;换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用;适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等; 例13、求函数y=x+1-x 的值域; 解：令x-1=t,t≥0则x=2t +1∵y=2t +t+1=2)21(+t +43,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y m in =1,当t→0时,y→+∞; 故函数的值域为1,+∞;例14、求函数y=x+2+2)1(1+-x 的值域 解：因1-2)1(+x ≥0,即2)1(+x ≤1故可令x+1=cosβ,β∈0,∏;∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sinβ+∏/4+1 ∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ -22≤sinβ+∏/4≤1 ∴ 0≤2sin β+∏/4+1≤1+2; 故所求函数的值域为0,1+2;例15、求函数 y=12243++-x x xx 的值域解：原函数可变形为：y=-21⨯212x x +⨯2211x x +- 可令x=tgβ,则有212x x+=sin2β,2211x x +-=cos2β∴y=-21sin2β⨯ cos2β=-41sin4β 当β=k∏/2-∏/8时,m ax y =41;当β=k∏/2+∏/8时,y m in =-41而此时tgβ有意义; 故所求函数的值域为-41,41; 例16、求函数y=sinx+1cosx+1,x∈-∏/12∏/2的值域; 解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=212t -1 y=212t -1+t+1=212)1(+t 由t=sinx+cosx=2sinx+∏/4且x∈-∏/12,∏/2 可得：22≤t≤2 ∴当t=2时,m ax y =23+2,当t=22时,y=43+22故所求函数的值域为43+22,23+2; 例17、求函数y=x+4+25x -的值域 解：由5-x≥0,可得∣x∣≤5 故可令x=5cosβ,β∈0,∏y=5cosβ+4+5sinβ=10sinβ+∏/4+4 ∵0≤β≤∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,m ax y =4+10,当β=∏时,y m in =4-5;故所求函数的值域为：4-5,4+10; 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目; 适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 例18、求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域;解：原函数可化简得：y=∣x -2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,B-8间的距离之和; 由上图可知：当点P 在线段AB 上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：10,+∞ 例19、求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点Px,0到两定点A3,2,B-2,-1的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y m in =∣AB∣=)12()23(22+++=43,故所求函数的值域为43,+∞; 例20、求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点B-2,1到点Px,0的距离之差;即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P1,则构成△ABP1,根据三角形两边之差小于第三边, 有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=)12()23(22-++= 26即：-26＜y ＜26 2当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= 26;综上所述,可知函数的值域为：-26,-26; 注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x 轴的同侧;如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,-2,-1,在x 轴的同侧； 例18的A,B 两点坐标分别为：3,2,2,-1,在x 轴的同侧; 例21、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点2,3到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: ]3326,3326[+-∈y 9 、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值;如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+ 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例22、 求函y=sinx+1/sinx+cosx+1/cosx 的值域 解：原函数变形为：y=x sin 2+x cos 2+1/x sin 2+1/x cos 2=1+ x csc 2+x sec 2=3+x tg 2+x ctg 2当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时k∈z,等号成立; 故原函数的值域为：5,+∞; 例23、求函数y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=4x sin 2cosxy2=16x sin 4x cos 2=8x sin 2x sin 22-2x sin 2≤8x sin 2+x sin 2+2- x sin 2=8x sin 2+x sin 2+2- x sin 2/33=2764当且当x sin 2=2-2x sin 2,即当x sin 2=时,等号成立; 由y 2≤2764,可得：-938≤y≤938 xB故原函数的值域为：-938,938; 例24、当0>x 时,求函数248)(xx x f +=的最值,并指出)(x f 取最值时x 的值; 分析与解：因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(x x x x f ••≥所以12)(≥x f 当且仅当244xx =即1=x 时取”=”当1=x 时)(x f 取得最小值12;例25、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ,双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ,则21e e +的最小值是 ;A 22B 4C 2D 2 分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：bb a a b a e e 222221+++=+,我们知道xy y x 2≥+所以abb a e e 22212+≥+当且仅当bb a a b a 2222+=+时取“=”而ab b a 222≥+故2221≥+e e 当且仅当b a =时取“=”22)(min 21=+e e 所以;10、导数法设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则()f x 在[],a b 上的最大值和最小值为()f x 在(),a b 内的各极值与()f a ,()f b 中的最大值与最小值;要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法;导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视; 例26、求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值;解: ()2'366f x x x =-+,令()'0f x =,方程无解.()2'366f x x x =-+()23130x =-+> ∴函数()f x 在[]1,1x ∈-上是增函数.故当1x =-时, ()()min 112f x f =-=-,当1x =时, ()()max 12f x f == 例27、求函数221)(2++=x x x f 的最值.解析: 函数)(x f 是定义在一个开区间()∞+∞-，上的可导函数,令0)22(22)('2=+++-=x x x x f得)(x f 的唯一驻点1-=x 即为最点.1-<x 时,0)('>x f ,函数递增, 1-<x 时,0)('<x f ,函数递减, 故)(x f 有最大值1)1(=-f .说明 本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.11)1(1)(2≤++=x x f ,等号成立条件是1-=x .注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数)(x f y =有导函数)()(x g x f ='存在,那么)(x f 是否有最值的问题可转化为)(x f 的导函数)(x g 是否有最根的问题来研究：1若导函数)(x g 无根,即0)(≠x g ,则)(x f 无最值；2若导函数)(x g 有唯一的根0x ,即0)('0=x f ,则)(x f 有最值)(0x f .此时,导函数)(x f '的根0x 即是函数)(x f 最根0x .3若导函数)(x g 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 11、多种方法综合运用 例28、求函数y=32++x x 的值域 解：令t=2+x t≥0,则x+3=2t +1 1 当t ＞0时,y=12+t t=t t /11+≤21, 当且仅当t=1,即x=-1时取等号 所以0＜y≤21; 2 当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：0,21; 注：先换元,后用不等式法;例29、求函数y=xx x x x x 424322121++++-+的值域;解：y=xx x x 42422121+++-+xx xx 42321+++=)11(222xx +-+x x21+令x=tg2β,则)11(222xx +-=βcos 2,xx 21+=21sin β,∴y=βcos 2+21sin β=-βsin 2+ 21sin β+1 =-)41(sin 2-β+1617 ∴当sin β=41时,m ax y =1617;当sin β=-1时,y m in =-2; 此时tg 2β都存在,故函数的值域为：－2,1617;注：此题先用换元法;后用配方法,然后再运用sin β的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法; 学生巩固练习1 函数y =x 2+x1 x ≤－21的值域是A －∞,－47]B －47,+∞)C 2233,+∞)D －∞,－32232 函数y =x +x 21-的值域是 A －∞,1]B －∞,－1]C RD 1,+∞)3 一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于20V 2千米 ,那么这批物资全部运到B 市,最快需要_________小时不计货车的车身长4 设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根,当m =_________时,x 12+x 22有最小值_________5 某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为Rx =5x －21x 2万元0≤x ≤5,其中x 是产品售出的数量单位 百台1把利润表示为年产量的函数； 2年产量多少时,企业所得的利润最大3年产量多少时,企业才不亏本6 已知函数fx =lg a 2－1x 2+a +1x +11若fx 的定义域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围； 2若fx 的值域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周按120个工时计算生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称 空调器 彩电 冰箱 工时产值千元4 3 2问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少以千元为单位8 在Rt△ABC 中,∠C =90°,以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S 1,△ABC 的内切圆面积为S 2,记ABCABC =x 1求函数fx =21S S 的解析式并求fx 的定义域 2求函数fx 的最小值 参考答案1 解析 ∵m 1=x 2在－∞,－21上是减函数,m 2=x1在－∞,－21上是减函数,∴y =x 2+x1在x ∈－∞,－21上为减函数,∴y =x 2+x1 x ≤－21的值域为－47,+∞)答案 B2 解析 令x 21-=tt ≥0,则x =212t -∵y =212t -+t =－21 t －12+1≤1∴值域为－∞,1] 答案 A 3 解析 t =V 400+16×20V 2/V =V 400+40016V≥216=8 答案 84 解析 由韦达定理知 x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=x 1+x 22－2x 1x 2=m 2－22+m =m －412－1617,又x 1,x 2为实根,∴Δ≥0 ∴m ≤－1或m ≥2,y =m －412－1617在区间－∞,1上是减函数,在2,+∞)上是增函数,又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴 故m =1时,y min =21答案 －1 215 解 1利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入Rx 与其总成本Cx 之差,由题意,当x ≤5时,产品能全部售出,当x >5时,只能销售500台,所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x 2在0≤x ≤5时,y =－21x 2+4 75x －0 5,当x =－ab2=4 75百台时,y max =10 78125万元,当x >5百台时,y ＜12－0 25×5=10 75万元,所以当生产475台时,利润最大3要使企业不亏本,即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或 解得5≥x ≥4 75－5625.21≈0 1百台或5＜x ＜48百台时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本6 解 1依题意a 2－1x 2+a +1x +1>0对一切x ∈R 恒成立,当a 2－1≠0时,其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即, ∴a ＜－1或a >35又a =－1时,fx =0满足题意,a =1时不合题意 故a ≤－1或a >为35所求2依题意只要t =a 2－1x 2+a +1x +1能取到0,+∞上的任何值,则fx 的值域为R ,故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时,t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意,∴1≤a ≤35为所求7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台,由题意得x +y +z =360 ①120413121=++z y x ② x >0,y >0,z ≥60③假定每周总产值为S 千元,则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下,为求目标函数S 的最大值,由①②消去z ,得y =360－3x ④将④代入①得 x +360－3x +z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30⑥再将④⑤代入S 中,得S =4x +3360－3x +2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知,当x =30时,产值S 最大,最大值为S =－30+1080=1050千元得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元8 解 1如图所示 设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab , ∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ, ∴fx =221)()(4c b a c b a ab S S -++= ①abCBcA又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ,得fx =1)(22-+x x x在Rt△ABC 中,有a =c sin A ,b =c cos A 0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin A +4π∴1＜x ≤2 2fx =]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈0, 2－1,y =2t +t2+6 在0,2－1]上是减函数,∴当x =2－1+1=2时,fx 的最小值为62+8。
中考数学核心考点强化突破函数的实际应用问题含解析
中考数学核心考点强化突破：函数的实际应用问题类型1 方案与最值问题1．江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案？请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用．解析：(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x 公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y 公顷,根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝1.42x ＋5y ＝2.5,解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.5y ＝0.3.答：略． (2)设大型收割机有m 台,总费用为w 元,则小型收割机有(10－m)台,根据题意得：w ＝300×2m＋200×2(10－m)＝200m ＋4000.∵2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,∴⎩⎪⎨⎪⎧2×0.5m＋2×0.3（10－m ）≥8200m ＋4000≤5400解得：5≤m≤7,∴有三种不同方案．∵w＝200m ＋4000中,200＞0,∴w 值随m 值的增大而增大,∴当m ＝5时,总费用取最小值,最小值为5000元．答：有三种方案,当大型收割机和小型收割机各5台时,总费用最低,最低费用为5000元．2．某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室长为x(m ),占地面积为y(m 2)．(1)如图1,问饲养室长x 为多少时,占地面积y 最大？(2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m 宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y ＝x ·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252,∴当x ＝25时,占地面积最大,即饲养室长x 为25 m 时,占地面积y 最大；(2)∵y ＝x ·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338,∴当x ＝26时,占地面积最大,即饲养室长x 为26 m 时,占地面积y 最大；∵26－25＝1≠2,∴小敏的说法不正确．3．(2017·河南)学校“百变魔方”社团准备购买A,B 两种魔方,已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元,购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同．(1)求这两种魔方的单价；(2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B 两种魔方共100个(其中A 种魔方不超过50个)．某商店有两种优惠活动,如图所示．请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．解：(1)设A 种魔方的单价为x 元/个,B 种魔方的单价为y 元/个,根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6y ＝1303x ＝4y ,解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝15. 答：A 种魔方的单价为20元/个,B 种魔方的单价为15元/个．(2)设购进A 种魔方m 个(0≤m≤50),总价格为w 元,则购进B 种魔方(100－m)个,根据题意得：w 活动一＝20m×0.8＋15(100－m)×0.4＝10m ＋600；w 活动二＝20m ＋15(100－m －m)＝－10m ＋1500.当w 活动一＜w 活动二时,有10m ＋600＜－10m ＋1500,解得：m ＜45；当w 活动一＝w 活动二时,解得：m ＝45；当w 活动一＞w 活动二时,解得：45＜m≤50.综上所述：当45＜m≤50时,选择活动一购买魔方更实惠；当m ＝45时,选择两种活动费用相同；当m ＞45时,选择活动二购买魔方更实惠．类型2 建立函数模型问题4．小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A,出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上,点A 至出水管BD 的距离为12 c m ,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2 cm 的圆柱型水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E,则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为__24－82__cm .解：建立如图的直角坐标系,过A作AG⊥OC于G,交BD于Q,过M作MP⊥AG于P,由题可得,AQ＝12,PQ ＝MD＝6,故AP＝6,AG＝36,∴Rt△APM中,MP＝8,故DQ＝8＝OG,∴BQ＝12－8＝4,由BQ∥CG可得,△ABQ∽△ACG,∴BQCG＝AQAG,即4CG＝1236,∴CG＝12,OC＝12＋8＝20,∴C(20,0),又∵水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24),∴可设抛物线为y＝ax2＋bx＋24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线,可得抛物线为y＝－320x2＋95x＋24,又∵点E的纵坐标为10.2,∴令y＝10.2,则10.2＝－320x2＋95x＋24,解得x1＝6＋82,x2＝6－82(舍去),∴点E的横坐标为6＋82,又∵ON＝30,∴EH＝30－(6＋82)＝24－8 2.5．湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000 kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值；(2)设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m(kg ),销售单价为y 元/ kg .根据以往经验可知：m 与t 的函数关系为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧20000（0≤t≤50）100t ＋15000（50＜t≤100）；y 与t 的函数关系如图所示． ①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时,y 与t 的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元,求当t 为何值时,W 最大？并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)解：(1)由题意,得：⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋b ＝30.420a ＋b ＝30.8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.04b ＝30. (2)①当0≤t≤50时,设y 与t 的函数解析式为y ＝k 1t ＋n 1,将(0,15)、(50,25)代入,可求得y 与t 的函数解析式为：y ＝15t ＋15；当50＜t≤100时,设y 与t 的函数解析式为y ＝k 2t ＋n 2,将点(50,25)、(100,20)代入,可求得y 与t 的函数解析式为：y ＝－110t ＋30；②由题意,当0≤t≤50时,W ＝20000(15t ＋15)－(400t ＋300000)＝3600t,∵3600＞0,∴当t ＝50时,W 最大＝180000(元)；当50＜t≤100时,W ＝(100t ＋15000)(－110t ＋30)－(400t ＋300000)＝－10(t －55)2＋180250,∵－10＜0,∴当t ＝55时,W 最大＝180250(元)．综上所述,放养55天时,W 最大,最大值为180250元．。
研究函数的极值与最值问题
研究函数的极值与最值问题在数学中，研究函数的极值和最值问题是非常重要的。
通过研究函数的极值和最值，我们可以了解函数的性质，并解决许多实际问题。
一、极值问题函数的极值是指在一定范围内的最大值或最小值。
为了求得函数的极值，我们需要先求出函数的导数，然后令导数为零并解方程，得到极值对应的自变量值。
接下来，可以通过代入自变量值进入原函数来求得极值。
举个例子，考虑函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4 在区间 [-2, 3] 上的极值问题。
首先，我们求得导数 f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
令 f'(x) = 0，解方程可以得到x = -1 和 x = 2。
接着，我们将这两个值代入原函数 f(x) 中，可以得到 f(-1) = -7 和 f(2) = 6。
所以，在区间 [-2, 3] 上，函数 f(x) 的最小值为 -7，对应的自变量 x = -1，函数 f(x) 的最大值为 6，对应的自变量 x = 2。
二、最值问题函数的最值是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
为了求得函数的最值，我们需要先求得函数的导数，并研究其在定义域内的增减性以及边界情况。
根据导数和边界的关系，可以找到函数在定义域内的最值。
以函数 g(x) = x^2 + 4x - 3 为例，我们可以求得导数 g'(x) = 2x + 4。
通过观察导数的符号，我们可以发现在 x < -2 时，导数为负数，表示函数 g(x) 单调递减；在 x > -2 时，导数为正数，表示函数 g(x) 单调递增。
由于函数 g(x) 是一个二次函数，我们可以知道当 x 趋近无穷大或无穷小时，函数的值无限增大，因此函数g(x) 在无穷大时没有最大值。
另外，函数 g(x) 在定义域内都是连续的，所以可以确定函数 g(x) 存在最小值。
为了找到函数 g(x) 的最小值，我们可以考虑其导数为零的情况。
最值问题课件
闭区间上连续函数的性质是求最值的重要依据，通过利用这些性质可以简化最值的求解 过程。
详细描述
闭区间上连续函数具有一些重要的性质，如介值定理和零点定理。介值定理指出，如果 函数在闭区间的两个端点取不同的函数值，则至少存在一个点使得函数在该点的值为两 个端点值的平均值。零点定理指出，如果函数在闭区间的两端取不同的符号，则至少存
最值问题的分类
01
02
03
函数最值
在给定区间上求函数的最 大值或最小值。
极值问题
研究函数在某一点的极值 ，包括极大值和极小值。
约束最值
在满足某些约束条件下， 求数学表达式的最大值或 最小值。
最值问题在数学中的重要性
应用广泛
最值问题在数学、物理、 工程等多个领域都有广泛 应用，是解决实际问题的 重要工具。
VS
统计学中的最值应用
在统计学中，最值的应用非常广泛。例如 ，在统计分析中，我们需要找到一组数据 中的最大值和最小值，以了解数据的分布 情况；在回归分析中，我们需要找到使误 差平方和最小的参数值等。这些问题的解 决都需要利用最值定理和优化算法等数学 工具。
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梯度法的步骤
计算目标函数的梯度，沿着负梯度的 方向搜索，确定步长，更新解的位置 。
牛顿法与最值
牛顿法
基于目标函数的二阶导数（海森 矩阵）信息，通过迭代寻找最优
解的方法。
牛顿法的步骤
计算目标函数的二阶导数（海森矩 阵），求解线性方程组，确定步长 ，更新解的位置。
牛顿法的优缺点
优点是对于凸函数收敛速度快；缺 点是需要计算二阶导数（海森矩阵 ），对于非凸函数可能陷入局部最 优解。
三角函数求面积最值型问题的方法技巧
三角函数求面积最值型问题的方法技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角函数求面积最值型问题是数学中的一个重要分支，它涉及到三角函数的性质和应用，需要运用相关的数学知识和技巧进行求解。
在解决这类问题时，我们可以运用一些特定的方法和技巧，以便更好地理解问题的本质和求解过程。
接下来，我将为大家介绍一些关于三角函数求面积最值型问题的方法技巧。
对于三角函数求面积最值型问题，我们需要建立数学模型，即将问题转化为数学语言，以便进行分析和求解。
在建立数学模型时，我们需要充分理解三角函数的性质和图像特征，例如正弦函数、余弦函数、正切函数等在特定区间内的变化规律，以及它们与角度的关系。
通过观察和分析三角函数的图像，我们可以更加直观地了解函数在不同区间内的行为，从而有助于建立数学模型。
对于求面积最值型问题，我们需要熟练掌握积分的相关知识和技巧。
在解决这类问题时，通常需要运用积分的概念和方法，将面积问题转化为定积分的求解过程。
掌握好积分的基本性质、常用积分公式以及积分计算的技巧是十分重要的。
对于三角函数求面积最值型问题，我们需要根据具体情况选择合适的积分方法，如换元积分、分部积分等，以便更快、更精确地求解面积最值。
对于一些特定的三角函数求面积最值型问题，我们还可以利用几何与代数方法相结合的技巧进行求解。
对于周期函数，我们可以利用函数的周期性质简化问题，从而减少求解的范围和难度。
我们还可以运用代数方法，如三角函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等，将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，进而利用积分求解面积。
除了数学知识和技巧外，对于三角函数求面积最值型问题，还需要培养良好的逻辑思维和问题分析能力。
在解决这类问题时，需要对问题进行全面细致的分析，找出其中的规律和特点，建立清晰的解题思路，尽量避免求解过程中的错误和歧路。
良好的逻辑思维和问题分析能力是解决三角函数求面积最值型问题的重要保障。
三角函数求面积最值型问题是数学中一个具有挑战性和深度的问题类型，解决这类问题需要掌握一定的数学知识和技巧。
数学中的最值问题与优化方案
如分支定界法、割平面法等，以及这些方法在求 解整数规划最值问题时的有效性和适用范围。
03
最值问题的算法解决方案
梯度下降法
原理
梯度下降法是一种通过迭代求解最值问题的方法，其核心 思想是利用目标函数的梯度信息来决定搜索方向，逐步逼 近函数的最值点。
缺点
容易陷入局部最小值，对初始值的选择敏感。
数学中的最值问题与优化方案
• 最值问题概述 • 最值问题的数学方法 • 最值问题的算法解决方案 • 最值问题与优化方案的实际应用案
例
01
最值问题概述
最值问题的定义
• 最值问题是数学中的一类优化问题，它研究的是 在一定条件下，如何选取自变量的值，使得某个 函数取得最大值或最小值。这类问题广泛存在于 现实生活和各种应用领域中。
确定函数的最值。
导数在多元函数最值问题中的应用
02
通过求偏导数，找到多元函数的驻点，并结合实际情况判断是
否为最值点。
导数与实际问题的结合
03
如利用导数求解最大利润、最小成本等问题，将实际问题转化
为数学模型进行求解。
凸优化与最值问题
凸集与凸函数
介绍凸集的定义和性质，以及凸函数的判定方法和性质。
凸优化问题的基本形式
最值问题的分类
最值问题根据函数的性质和约束条件的不同， 可以分为多种类型，包括但不限于
01
约束最值问题：求解函数在满足一定约束 条件下的最大值或最小值。
03
02
无约束最值问题：求解函数在整个定义域内 的最大值或最小值。
04
线性规划问题：目标函数和约束条件均为 线性的最值问题。
非线性规划问题：目标函数或约束条件为 非线性的最值问题。
一次函数应用最值专题
利用一次函数求最值1.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。
小强：如果以13元/千克的价格销售，每天可获取利润750元。
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系。
（1）求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×（销售单价－进价）】2.市阜城县西瓜产地组织20辆车装运完A 、B 、C 三种西瓜共120吨到外地销售，按计划，20辆汽车都装运，每辆汽车只能装运同（1） 设装运A 种西瓜的车辆数为x 辆，装运B 种西瓜的车辆数为y 辆，求y 与x 的函数关系式。
（2） 如果装运每种西瓜的车辆数都不少于三辆，车辆的安排方案有那几种，求出来。
（3） 要使此次利润最大，应采取哪套方案?并求出最大利润。
3. 种植草莓大户张华现有25吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查分受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必须在10日内售出．（１）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售25吨草莓所获纯利润y （元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x （吨）之间的函数关系式；（１） 怎样安排这25吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．一次函数方案设计问题1.某种子商店销售一种小麦种子，为促销，推出了两种销售方案供采购者选择。
方案一：小麦种子的价格为4元/千克，无论购买多少均不打折。
方案二：购买3kg 以内（含3kg ），价格为5元/千克；若一次性购买超过3kg ，则超过3kh 的部分价格打七折。
初二数学一次函数与方案设计问题
1．生产方案的设计例1某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
(1)要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；(2)生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?(98年河北)解 (1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是(50-x)件。
由题意得解不等式组得30≤x≤32。
因为x是整数，所以x只取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。
所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：生产A种产品30件，B种产品20件；第二种生产方案：生产A种产品31件，B种产品19件；第三种生产方案：生产A种产品32件，B种产品18件。
(2)设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。
由题意得y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。
(其中x只能取30，31，32。
)因为 -500<0, 所以此一次函数y随x的增大而减小，所以当x=30时，y的值最大。
因此，按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润是：-500·3+6000=4500(元)。
本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题。
2.调运方案设计例2北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台。
如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台。
求：(1)若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?(2)若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?(3)求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?解设上海厂运往汉口x台，那么上海运往重庆有(4-x)台，北京厂运往汉口(6-x)台，北京厂运往重庆(4+x)台，则总运费W关于x的一次函数关系式：W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。
函数问题的题型与解题方法
函数问题的题型与解题方法一、函数的概念函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．Ⅰ深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（）分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法。
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．例1．函数)23(log21-=xy的定义域是（D）A、[1,)+∞B、23(,)+∞C、23[,1]D、23(,1]例2．函数123-=xy（01<≤-x）的反函数是（D）A、)31(log13≥+=xxy B、)31(log13≥+-=xxyC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y 也有个别小题的难度较大，如 例3．函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断： ①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．Ⅱ 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：分析：x 的函数f(x 2)是由u=x 2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u ＜2，即0＜x 2＜2．求x 的取值范围．解：(1)由0＜x 2＜2， 得说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域。
函数的应用之最值与最值问题
函数的应用之最值与最值问题函数是数学中一种重要的概念，它描述了变量之间的关系，并在实际问题中具有广泛的应用。
在函数的应用中，最值与最值问题是其中一类常见的问题，它涉及到函数的最大值和最小值，对于我们求解实际问题具有重要意义。
一、最值的定义与性质最值是函数在给定定义域上取得的最大值和最小值。
对于函数 f(x)在区间 [a, b] 上，若存在 x1, x2 ∈ [a, b]，使得f(x1) ≥ f(x)（∀x ∈ [a, b]）成立，则 f(x1) 是函数 f(x) 的最大值；若存在 x1, x2 ∈ [a, b]，使得 f(x1) ≤ f(x)（∀x ∈ [a, b]）成立，则 f(x1) 是函数 f(x) 的最小值。
最值具有以下性质：1. 最值可能存在于区间的端点处。
2. 最值可能存在于函数的驻点处，即函数导数等于零的点。
3. 最值可能不存在，即函数在定义域内无界。
4. 如果最值存在，它通常是唯一的。
二、最值问题的求解方法对于最值问题的求解，我们可以采用不同的方法，主要有以下几种常见的方法：1. 利用导数法求解当函数连续可导时，可以通过求解导函数为零的方程，找到函数的驻点。
然后在区间的端点和驻点处比较函数值，求得最值。
2. 利用函数的图像求解通过绘制函数的图像，可以直观地观察函数的最值所在的位置。
利用图像可以判断函数在定义域内的最值是在端点还是在驻点处。
3. 应用数学建模求解在实际问题中，可以将问题抽象为数学模型，然后利用最值问题的解决方法求解。
这种方法通常需要根据实际情况灵活运用，选取合适的数学模型和方法。
三、最值问题的实际应用最值问题在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的例子：1. 生产问题在生产过程中，我们常常需要求解某种产品的最优生产方案。
通过建立生产成本与产量之间的函数关系，可以求解出使得成本最小或产量最大的最优方案。
2. 投资问题对于投资者来说，最大化收益或最小化风险是重要的目标。
高中数学函数最值问题的几种求解方法
高中数学函数最值问题的几种求解方法摘要：在高中数学的课程内容中，函数是占比非常大的部分学习内容。
最值问题，也是函数课程学习中最有难度且在考试中比较常考的一个知识点。
关于最值的求解，在具体的解题方法上有多种不同的类型，不同的解题方法，其应用中的思路和解题的关键要点都是有差异的，本文重点针对几种比较典型且求解效率较高的函数最值求解方法进行探讨，从而为高中阶段数学课程中的函数课程的学习提供参考。
关键词：高中数学；函数问题；最值求解；单调性；配方法引言：对于函数题目的求解而言，解题的思路不同，则具体应用的解题方法与技巧也是有所差别的，不同的题目类型，其最值求解的原理和思路也有细微的差别，在具体的解题方法选择应用的过程中，应当结合题目的已知条件，对于具体的解题方法进行科学的选取。
一、函数最值问题的特征分析（一）题型有多种不同的变化从本质上来讲，题型的多变性也意味着在解题中需要应用多种不同的方法来进行解题，这也符合函数最值求解的基本性质，从具体的题型角度来讲，这一点的具体表现是，虽然在最终的解题目标上，具体的题目都是对函数最值的求解，但从题目本身的呈现形式上，其就具有丰富性比较强的典型特征，另外，随着题目组织形式的变化，实际上也意味着函数最值问题在解答时的切入点和所适应的解题方法会发生变化，这在一定程度上反映出了函数最值问题本身的难度较高的特征[1]。
（二）题型解答涉及多种类型的知识这一点主要是指，在解决一个函数最值问题的过程中，需要涉及的知识内容具有多元性特征。
例如，虽然在形式上是单一的最值问题的解答，但在题目的思考解答过程中，需要学生掌握的思考方法和相关的数学知识是具有多样性的要求的。
这对于学生在解题中的思维灵活性和数学知识掌握的综合性都有很高的要求，这也意味着在具体的题目解答中，需要掌握科学的解题方法，方可切实解决具体的数学问题。
二、不同的最值解题方式的具体阐述（一）利用配方法解题这种函数机制的解题方法在这类问题的整体解答中，属于应用频率比较高，其应用的普遍性较强的一种方法，下文以一个具体的题目实例举例说明这种方法在函数最值求解中的应用。
函数的最值与最值问题的应用
函数的最值与最值问题的应用在数学中，函数的最大值和最小值是一种重要的概念。
它们可以在求解问题时提供有用的信息和指导。
本文将探讨函数的最值以及最值问题的应用。
一、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
函数的最值可以用于确定函数的范围、优化问题的求解，以及解决实际问题。
对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在该区间上存在x1和x2，使得f(x1)≤ f(x) ≤ f(x2)，则f(x)在区间[a, b]上取得最大值和最小值。
通常将最大值称为函数的极大值，最小值称为函数的极小值。
函数的最值可以通过找函数的驻点和端点来确定。
驻点是指函数在该点的导数等于零或不存在，也就是函数在该点的斜率为零或无穷。
端点是指函数定义域的边界点。
二、最值问题的应用函数的最值问题在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些典型的最值问题示例：1. 最大收益问题：假设你要投资一笔资金，在不同的投资产品（如股票、债券、房地产等）之间进行选择。
每个产品的收益率都是一个函数。
你的目标是找到最佳的投资组合，使得总收益最大化。
2. 最短路径问题：在地图上寻找两个地点之间的最短路径。
这是一个常见的导航问题，可以用最值问题求解。
每个地点可以看作是函数的定义域，路程可以看作是函数的值。
3. 最优生产问题：在生产过程中，选择最佳的生产方案，以最大化利润或最小化成本。
这涉及到多个变量，每个变量都可以看作是一个函数的值，可以通过最值问题求解最优解。
4. 最优设计问题：在工程设计中，选择最佳的设计方案，以满足特定的需求。
这个问题通常涉及到约束条件，需要找到符合条件的最佳解。
5. 最佳装箱问题：在物流领域，将不同大小的物品装箱，如何使得装箱数量最小化或装箱空间利用率最高化是一个经典的最值问题。
这些应用示例说明了最值问题在不同领域的实际意义。
三、结论函数的最值是数学中重要的概念之一，它可以帮助我们确定函数的范围、优化问题的求解，以及解决实际问题。
求函数最值的常见方法
求函数最值的常见方法随着数学的发展，函数概念不断丰富，其应用也逐步深入各个领域，其中求函数最值是数学中常见的一个问题。
最值是指在一定的范围内，函数的最大值和最小值。
解决这个问题可以帮助我们更好地了解函数的性质，为实际问题的解决提供更为精确的数学依据。
本文将分别介绍一些常见的求函数最值的方法。
一、导数法导数法就是先求出函数的导数，然后使导数为0，再将导数值带入函数中得到一组或几组最值。
导数是描述函数变化率的工具，由此可看出函数在某些点上的变化情况，从而判断函数的最值。
如果函数的导数为0 或不存在，则该函数取得最值。
以f(x) = 2x^2 - 6x + 1为例，先求出导数f'(x) = 4x - 6，然后使导数为0，得到x=3/2。
将x=3/2 带入原函数f(x)，得到f(3/2)=-5/2，因此f(x) 在x=3/2 时取得其最小值-5/2。
二、根据函数图像求最值通过函数图像可以直观地观察函数的变化趋势和特点，从而判断函数的最值。
如果函数有封闭的定义域，那么最值很可能出现在定义域的端点处。
如果函数存在对称轴，则最大值可能就在对称轴上。
例如，y=x^3-3x^2-9x+15, 其图像如下：从图中可以看出，在x=-2 点上，y 取得最大值25.三、区间值判定法对于连续函数，在其定义域的任意相邻两点间所确定的函数值必在函数曲线所围成的区间内。
可以从给定区间段的端点开始判断并比较函数值，最后得出函数的最值。
例如，对于f(x) = x^3-3x^2，考虑该函数在[-1, 3] 区间上的取值。
在函数图像上可以看到，在x=3 时，函数的值最大达到0，因此该函数在[-1,3] 区间上的取值最大值为0。
四、极值法对于一个点，如果两边的值都小于这个点对应的值，那么该点就是这个函数的局部最大值。
反之，如果两边的值都大于这个点对应的值，那么该点就是这个函数的局部最小值。
这个点被称为极值点。
可根据函数的变化性质推导出其变化的极值点。
函数的增减性与最值问题
函数的增减性与最值问题函数是数学中的基本概念，描述了两个变量之间的关系。
在研究函数的性质时，其中一个重要问题就是函数的增减性与最值问题。
本文将探讨函数的增减性与最值问题，并介绍相关概念和解决方法。
一、函数的增减性函数的增减性是指函数随着自变量的增大或减小而改变的趋势。
具体来说，如果对于两个自变量的取值，当其中一个自变量大于另一个自变量时，函数值也相应地大于它们，那么这个函数就是增函数；反之，如果函数值在两个自变量之间是递减的，那么这个函数就是减函数。
判断函数的增减性有多种方法，其中一个常用的方法是求导。
若函数的导数在定义域上恒大于零，那么函数就是增函数；若导数恒小于零，则函数是减函数。
通过求导的方法，我们可以更加方便地判断函数的增减趋势。
二、最值问题在函数的研究中，最值问题是一个重要的方面。
最大值和最小值是函数曲线上的两个关键点，它们在函数图像上呈现出极值特征。
找到函数的最值可以帮助我们了解函数的性质和特点。
找到函数的最值通常需要用到导数。
我们可以通过求导函数并令导数等于零的方法来找到函数的临界点，然后通过比较临界点和函数的端点的函数值的大小来确定最值。
需要注意的是，找到函数的最值并不保证函数在该点处一定取得最值，它只是给出了可能的最值点。
我们还需要进一步验证该点是否确实是最值点，可以通过求二阶导数的方法来判断。
三、函数增减性与最值问题的综合应用函数的增减性与最值问题不仅仅在理论研究中有应用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们需要确定某个函数的最大值或最小值，以便优化资源分配和最大程度地满足需求；在物理学中，我们需要找到某个函数的最值来确定物体的运动状态和能量变化。
在解决实际问题时，我们需要结合具体情况来确定函数的增减性与最值问题的解决方法。
有时候，简单的求导并令导数等于零的方法无法满足要求，我们可能需要使用其他数学方法，如拉格朗日乘数法或数值计算等。
四、总结函数的增减性与最值问题是函数研究中的重要方面。
八年级数学下册知识点复习专题讲练解惑函数中的方案问题(含解析)
解惑函数中的方案问题方案设计根本类型1. 利用题目中的不等式，根据取值范围直接设计方案并利用函数性质求最大值：如：某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务。
要求在8天之内〔含8天〕生产A型和B型两种型号的口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：假设生产A型口罩每天能生产0.6万只，假设生产B型口罩每天能生产0.8万只，生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元。
在完成任务的前提下，你如何安排生产A型和B型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？答案：安排生产A型和B型口罩的只数分别为4.2万只和0.8万只，最大利润为2.34万元。
2. 题目中没有明显的不等式，利用所隐含条件求方案：如：某小型企业获得授权生产甲、乙两种奥运桔祥物，生产每种桔祥物所需材料及所获利润如下表：A种材料〔m2〕B种材料〔m2〕所获利润〔元〕每个甲种桔祥物10每个乙种桔祥物20 该企业现有A种材料900m2，B种材料850m2，用这两种材料生产甲、乙两种桔祥物共2000个。
设生产甲种桔祥物x个，生产这两种桔祥物所获总利润为y元。
该企业如何安排甲、乙两种桔祥物的生产数量，才能获得最大利润，最大利润是多少？生产甲种桔祥物1000个，乙种桔祥物1000个，所获利润最大，最大利润为30000元．总结：〔1〕利用不等式组求出取值范围，从中寻找整数值，从而设计出方案；〔2〕利用函数增减性求出函数最值，在方案再设计中，是利用二元一次方程重新找出符合条件的整数解。
例题为庆祝“六•一〞国际儿童节，鸡冠区某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，那么师生一次性全部到达公园的租车方案有〔〕A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种解析：可设租用A型号客车x辆，B型号客车y辆，根据共360人参加公园游园活动可列方程，再根据车辆数为非负整数求解即可。
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。
函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。
本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。
一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。
对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。
-首先，求出f(x)的导数f'(x)。
-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。
-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。
2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。
- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。
-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。
-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。
3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。
-首先，选择任意一个起始点x_0。
-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。
-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。
二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。
例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。
供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。
2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。
例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。
3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。
似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。
高中数学函数的求导与最值问题解析
高中数学函数的求导与最值问题解析在高中数学中，函数的求导与最值问题是一个重要的考点。
掌握了这个知识点，不仅可以解决一些实际问题，还可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
本文将从几个具体的题目入手，分析解题的思路和方法，并给出一些实用的技巧和指导。
首先，我们来看一个典型的求导问题。
假设有一个函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x- 1，我们需要求出它的导函数。
首先，我们可以按照求导的基本规则，将每一项按照幂次降低一次，并乘以原来的幂次，得到 f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
这个导函数告诉我们了函数 f(x) 的斜率变化规律，可以帮助我们判断函数在不同区间的增减性和凹凸性。
接下来，我们来看一个最值问题。
假设有一个函数 g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，我们需要求出它的最大值和最小值。
首先，我们可以通过求导的方法找出函数的驻点（即导函数为零的点）和拐点（即导函数的导数为零的点）。
将导函数 g'(x) =3x^2 - 6x + 2 置零，解方程得到 x = 1 或 x = 2/3。
然后，我们可以通过二阶导数的符号来判断这些点是极大值还是极小值。
计算二阶导数 g''(x) = 6x - 6，可以发现当x < 1 时，二阶导数为负，说明函数在这个区间内是凹的，即有极大值；当 1 < x <2/3 时，二阶导数为正，说明函数在这个区间内是凸的，即有极小值；当 x > 2/3 时，二阶导数又变为负，说明函数在这个区间内又是凹的，即有极大值。
通过计算可以得到 g(1) = 1 和 g(2/3) = 8/27，所以函数的最大值为 1，最小值为 8/27。
通过上面两个例子，我们可以看到函数的求导与最值问题的解题思路。
首先，我们需要求出函数的导函数，通过导函数可以判断函数的增减性和凹凸性。
其次，我们需要找出导函数为零的点，即驻点和拐点，通过二阶导数的符号来判断这些点的性质。
函数的方案最值型问题课件
优惠方案更加合算.
475200.
（2）当x＝16时， 方案一每套楼房总费用： w1＝120（50×16＋3600）×92%－a＝485760－a； 方案二每套楼房总费用： w当当2ww＝111＜＝2ww022（时 时5， ，0×即 即144688＋55773666000－－0）aa＜＝×44977055%2200＝004时时7， ，52aa0＞ ＝0.1100556600 当w1＞w2时，即485760－a＞475200时，a＜10560
◇方案设计与最值问题
例3．（2015•黄石）一食堂需要购买盒子存放食物，
盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如
表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，
由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以
上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少
费用为_______元．
解：设购买A种型号盒子x盒，则
乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利
润（元）如下表：
x 0
A型利润 B型利润
70 x 0
甲店 乙店
200 x 16040-x
170 150
70-x x-10
40 x 0 x 10 0
（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这
100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关
◇决策类问题
例1．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外
销售. 某楼盘共23层，销售价格如下：第八层
楼房售价为4000元／米2，从第八层起每上升一
层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每
下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该
楼盘每套楼房面积均为120米2.
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种 8
初中数学最值问题
初中数学最值问题
初中数学最值问题指的是在给定条件下，找出一个数学表达式的最大值或最小值的问题。
这类问题通常需要运用一些基本的数学知识和技巧，如函数的性质、图像特征、不等式、极值等。
以下是一些常见的初中数学最值问题的例子：
1. 求解一元一次方程的最值：已知一元一次方程 y = kx + b ，求 y 的最大值或最小值。
2. 求解二次函数的最值：已知二次函数 y = ax^2 + bx + c ，求 y 的最大值或最小值。
3. 求解三角函数的最值：已知三角函数 y = f(x) ，求 y 的最大值或最小值。
4. 求解含有绝对值的函数的最值：已知函数 y = |f(x)| ，求 y 的最大值或最小值。
5. 求解三角形的最值问题：已知一个三角形的一些属性（如边长、角度等），求其面积、周长的最大值或最小值。
解决这类问题通常需要分析函数的性质，找出函数的极值点，并证明其确实是最值点。
同时，还需要考虑给定条件下的约束条件，以确定最终的最值结果。
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=x+26
当 0 ≤x ＜ 3 时
15 2 x y 5x 6 3
当 x≥3时
y 5x 6 15 2 x 4 3
=x+30
∵ k =1＞0 ∴y随x 的增大而增大 ∴当x =0时， y取得最小值=30
=x+26 ∵ k =1＞0 ∴y随x 的增大而增大 ∴当x =3时， y取得最小值=29
∴所求函数关系式为
30 x 3760 （1≤x≤8，x为整数）， y 50 x 3600 （8＜x≤23，x为整数）.
◇决策类问题
例1．新农村社区改造中，有一部分楼盘 要对外销售. 某楼盘共23层，销售价格如 下：第八层楼房售价为4000元／米2，从 第八层起每上升一层，每平方米的售价提 高50元；反之，楼层每下降一层，每平方 米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房 面积均为120米2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有 两种优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元 装修基金； 方案二：降价10%， 没有其他赠送. （2）老王要购买第十六层的一套楼房， 若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种 优惠方案更加合算.
◇方案设计与最值问题
（2）若要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案， 并将各种方案设计出来； （3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件 让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的 每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润 不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？
解：设加工一般糕点x盒，则加工精制糕点（50-x）盒
0.3 x 0.1(50 x) 10.2 0.1x 0.3(50 x) 10.2
∴ 24≤x≤26
解：设获得的总利润为W元， W =1.5x+2（50-x） =-0.5x+100 (24≤x≤26) ∵ k =-0.5 ＜0 ∴ W随x 的增大而减小
W =20x+16800 W =20x+16800 ≥17560 ∴ x ≥ 38 ∵ 10≤x≤40 ∴ 38≤x≤40 ∴ x=38、39、40
◇方案设计与最值问题
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件 让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的 每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润 不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？
◇方案设计与最值问题
例2．小亮妈妈下岗后开了一家糕点店．现有10.2千 克面粉，10.2千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕 点两种产品共50盒．已知加工一盒一般糕点需0.3千 克面粉和0.1千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需0.1千克 面粉和0.3千克鸡蛋． （1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计 出来； （2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分 别为1.5元和2元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈 可获得最大利润？最大利润是多少？
8
7 6 x
4000
4000-30╳1 4000-30╳2 4000-30╳(8-x)
◇决策类问题
例1．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外 销售. 某楼盘共23层，销售价格如下：第八层 楼房售价为4000元／米2，从第八层起每上升一 层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每 下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该 楼盘每套楼房面积均为120米2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种 优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修 基金； 方案二：降价10%， 没有其他赠送. （1）请写出售价y（元／米2）与楼层x （1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；
◇方案设计与最值问题
例4．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给 下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给 乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利 润（元）如下表： x 0
A型利润 B型利润 甲店 200 x 170 70-x 乙店 16040-x 150 x-10
方法小结： 影响一次函数最值问题的因素有k的符号 和自变量的取值范围。 1. k的符号: 求函数关系式； 2.自变量的取值范围: 建立不等式（组）；
70 x 0 40 x 0 x 10 0
（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这 100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关 系式，并求出x的取值范围； W =200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10） ∴ 10≤x≤40 =20x+16800
函数的方案、最值型问题
◇决策类问题
例1．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外 销售. 某楼盘共23层，销售价格如下：第八层 楼房售价为4000元／米2，从第八层起每上升一 层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每 下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该 楼盘每套楼房面积均为120米2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种 优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修 基金； 方案二：降价10%， 没有其他赠送. （1）请写出售价y（元／米2）与楼层x （1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式； 当1≤x≤8时，y＝4000－30（8－x） ＝4000－240＋30x ＝30x＋3760
∴当x =24时， W取得最大值 W =-0.5╳24+100=88（元）
方法小结： 影响一次函数最值问题的因素有k的符号 和自变量的取值范围。 1. k的符号: 求函数关系式； 2.自变量的取值范围: 建立不等式（组）；
◇方案设计与最值问题
例3．（2015•黄石）一食堂需要购买盒子存放食物， 盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如 表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满， 由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以 上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少 费用为_______元．
x 10 9 8
4000+50╳(x-8) 4000+50╳2 4000+50╳1 4000
当8＜x≤23时，y＝4000＋50（x－8） ＝4000＋50x－400 ＝50x＋3600
当1≤x≤8时，y＝4000－30（8－x） ＝4000－240＋30x ＝30x＋3760 当8＜x≤23时，y＝4000＋50（x－8） ＝4000＋50x－400 ＝50x＋3600
解：设购买A种型号盒子x盒，则
购买B种型号盒子 购买盒子所需要费用为y元
15 2 x 3 __________ 盒，
型号 单个盒子容量 （升） 单价（元）
A 2 5
B 3 6
当 0 ≤x ＜ 3 时 =x+30
15 2 x y 5x 6 3
当 x≥3时
y 5x 6 15 2 x 4 3
A型利润 甲店 200 乙店 160 B型利润 170 150
200-a＞170 ∴0＜a＜30
W =20x+16800-ax =（20-a）x+16800
W = （20-a） x+16800 （ 38≤x＞0，即0＜a＜20时 ∴ W 随x 的增大而增大
∴当x =40时，y取得最大值 当 20-a=0，即a=20时 ∴ W =16800（定值） 当 20-a＜0，即20＜a＜30时 ∴ W 随x 的增大而减小 ∴当x =38时，y取得最大值
30 x 3760 y 50 x 3600
（2）当x＝16时， 方案一 每套楼房总费用： w1＝120（50×16＋ 3600）×92%－a＝ 485760－a； （2）当x＝16时， 方案二 每套楼房总费用： w2＝120（50×16＋ 3600）×90%＝ 475200.
（2）当x＝16时， 方案一每套楼房总费用： w1＝120（50×16＋3600）×92%－a＝485760－a； 方案二每套楼房总费用： w2＝120（50×16＋3600）×90%＝475200. a＞10560 当w1＜w2时，即485760－a＜475200时， a＝10560 当w1＝w2时，即485760－a＝475200时， a＜10560 当w1＞w2时，即485760－a＞475200时， 因此， 当每套 赠送装修基金多于10560元时，选择方案一合算； 当每套赠送装修基金等于10560元时，两种方案一样； 当每套赠送装修基金少于10560元时，选择方案二合算.