专题训练7：一次函数中的最值问题
专题：一次函数最值问题
专题：一次函数最值问题类型一：线段和例1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）求出△BCO的面积；（3）当P A+PC的值最小时，求此时点P的坐标．练习．已知，如图，直线y＝8﹣2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC：CO＝3：5（AO＞CO）（1）求点A、B的坐标；（2）求四边形COBP的面积S；（3）在y轴上找一点M，使得BM+PM的值最小，求出点M的坐标和BM+PM的最小值；类型二：多条线段和例2．已知直线l1：y＝﹣x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后过点C（4，0）得到直线l2，l2交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA＝EC．（1）求直线l2的解析式；（2）若点P为x轴上任一点，是否存在点P，使△DEP的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P的坐标；练习．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6，∠OMN ＝45°，点P从点O出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线ONM运动，设点P运动时间为t（s），△POM的面积S．（1）当S＝△OMN时，请直接写出点P的坐标；（2）当t＝6+5时，直线x＝上有一个动点C和y轴上有一动点D，当PD+DC+OC 值最小时，求C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；练习2．已知直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式；（2）过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时点P的坐标；练习3．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M 为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．例3．已知：在平面直角坐标系中，四边形OABC满足OA∥BC，OC∥AB，OA＝AB＝4，且∠OAB＝60°．（1）如图1．求直线AB的解析式；（2）如图2．将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，在x轴上找一点P，使|PB′﹣PC|最大，请求出|PB′﹣PC|的最大值；练习．如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x ＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）（1）求点O到直线AB的距离；（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；例4．如图1，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，且A、C的坐标分别为（﹣1，0）和（0，﹣3），点B在x轴正半轴上，△ABC的面积为，过点A的直线AD与y轴正半轴交于点D，∠DAB＝45°．（1）求直线AD和BC的解析式；（2）如图2，点E在直线x＝2上且在直线BC下方，当△BCE的面积为6时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AD上移动，求当四边形BEFG的周长最小时点F 的坐标；练习．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），与正比例函数y＝x的图象交于点C（4，c）（1）求k和b的值；（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求点P的坐标；（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE＝2，分别连接BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标并求出四边形周长的最小值．练习2．如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．（1）求出直线EF的解析式．（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x 轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．练习3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝3AO，过点A作BC的平行线l．（1）求直线BC的解析式；（2）作点A关于BC的对称点D，一动点P从C点出发按某一路径运动到直线l上的点M，再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N，再沿某一路径运动到D点，求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标；类型五：胡不归例5．已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．（1）如图1，求点C的坐标及k的值；（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为．点P为y轴上一个动点，Q 为x轴上一个动点；求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标，并求出此时PQ+QA的最小值；练习．如图，已知直线l AC：y＝﹣x﹣2交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B．将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）P是直线O′E上任意一点，①当|P A﹣PC|最大时，请求出P点的坐标；②在①的条件下，P、Q两点关于x轴对称，F是y轴上一点，求QF+FC的最小值．类型七：一定两动，线段和例6．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P（0，10）．（1）如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE 的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标．练习．如图①，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OCDE的边OC在x轴的正半轴，D、E在第一象限，直线AB经过点D与x轴、y轴分别交于点A、B，已知点E的坐标为（，），OC＝且OA＝2OC．（1）求直线AB的解析式；（2）如图②在直线AB上有一点P，在x轴上有一点F，当EF+PF最小时，求点P的坐标及EF+PF的最小值。
专题73 一次函数在实际应用中的最值问题(解析版)
专题73 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．解：(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.解：观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－425.∴直线的解析式为y＝－425x＋100.当y＝100时，x＝0；当y＝84时，x＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L 所行驶的路程为x km ，则500∶80＝x ∶16，解得x ＝100.∴A 型汽车1 h 行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．3、有A B 、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.（1）求焚烧1吨垃圾，A 和B 各发多少度电？（2）A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾，A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍，求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【答案】（1）焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度；（2）当60x =时，y 取最大值25800度.【详解】（1）设焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电a 度，B 发电厂发电b 度，则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得：300260a b =⎧⎨=⎩ 答：焚烧1吨垃圾，A 发电厂发电300度，B 发电厂发电260度.（2）设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧()90x -吨，总发电量为y 度，则300260(90)4023400y x x x =+-=+∵2(90)x x ≤-∵60x ≤∵y 随x 的增大而增大∵当60x =时，y 取最大值25800度.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）A 的单价30元，B 的单价15元（2）购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少【详解】解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩， 3015x y =⎧∴⎨=⎩， ∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1(30)3z z ≥-， 152z ∴≥， 3015(30)45015W z z z =+-=+，当=8z 时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少；5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【详解】解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：5 23110 x yx y-=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得：2520xy=⎧⎨=⎩，故该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，w 最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【答案】（1）W=8t+900；（2）有三种购买方案．为了使拍照的资金更充足，应选择方案：购买30件文化衫、15本相册．【详解】1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，∵有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．∵W=8t+900中W随x的增大而增大，∵当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，∵为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种方案，当大型收割机用8台时，总费用最低，最低费用为4800元．【详解】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∵，解得：5≤m≤7，∵有三种不同方案．∵w=200m+4000中，200＞0，∵w值随m值的增大而增大，∵当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．【详解】解：（1）设购进篮球m个，排球n个，根据题意得：6080504200m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：4020mn=⎧⎨=⎩．答：购进篮球40个，排球20个．（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：y=（105﹣80）x+（70﹣50）（60﹣x）=5x+1200，∵y与x之间的函数关系式为：y=5x+1200．（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据题意得：512001400 8050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩，解得：40≤x≤1303．∵x取整数，∵x=40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．∵在y=5x+1200中，k=5＞0，∵y随x的增大而增大，∵当x=43时，可获得最大利润，最大利润为5×43+1200=1415元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当x≤10时，y与x的关系式为：；∵当x＞10时，y与x的关系式为：；（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y=300x﹣600；∵y=﹣12x2+420x﹣600；（2）停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600；(2)依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20．故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；(3)、当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元）；当x＞10时，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075，∵当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，∵x取17或18．显然x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果，共花费450元；后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共18箱，要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍，但不超过A品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元；（2）购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；其中购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．【详解】解：（1）设A品种芒果箱x元，B品种芒果为箱y元，根据题意得：23450{2275x yx y+=+=，解得：75{100xy==.答：A品种芒果售价为每箱75元，B品种芒果售价为每箱100元．（2）设A品种芒果n箱，总费用为m元，则B品种芒果18﹣n箱，∵18﹣n≥2n且18﹣n≤4n，∵ 185≤n≤6，∵n非负整数，∵n=4，5，6，相应的18﹣n=14，13，12；∵购买方案有：A品种芒果4箱，B品种芒果14箱；A品种芒果5箱，B品种芒果13箱；A品种芒果6箱，B品种芒果12箱；∵所需费用m分别为：4×75+14×100=1700元；5×75+13×100=1675元；6×75+12×100=1650元，∵购进A品种芒果6箱，B品种芒果12箱总费用最少．11。
一次函数综合—线段和差、存在性问题解析
一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。
连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =， 即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：116144y x =-+， 当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解： （1）对于直线122y x =+， 令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =， 则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-， 此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾 股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+， 当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐 标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)． 【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题 属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。
2020-2021年中考数学专题复习7一次函数(含答案)
专题七一次函数学校:___________姓名：__________班级：___________考号：___________一、单选题1．一次函数y ax a =-与反比例函数(0)a y a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知在同一直角坐标系中二次函数2y ax bx =+和反比例函数c y x =的图象如图所示，则一次函数c y x b a=-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b ,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b 的解是（ ）A ．x=20B ．x=5C ．x=25D ．x=15 4．若定义一种新运算：(2)6(2)a ba b a b a b a b 例如：31312⊗=-=；545463⊗=+-=．则函数(2)(1)y x x =+⊗-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （1，﹣1），B （﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）6．点1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________．三、解答题7．如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =--与直线22y x =-+相交于点P ，并分别与x 轴相交于点A 、B ．（1）求交点P 的坐标；（2）求PAB 的面积；（3）请把图象中直线22y x =-+在直线112y x =--上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x 的取值范围．8．如图，在直角坐标系中，直线y 1＝ax+b 与双曲线y 2＝k x（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A （m ，4），B （6，n ）两点，与x 轴相交于C 点．已知OC ＝3，tan ∠ACO ＝23． （1）求y 1，y 2对应的函数表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＜0时，不等式ax+b ＞k x的解集．9．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象相交于()1,2A ，(),1B n -两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线AB 交x 轴于点C ，点P 是x 轴上的点，若ACP △的面积是4，求点P 的坐标．10．为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为3480m ，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量()3y m与注水时间()t h 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？11．小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y （单位：千克）与上市时间x （单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z （单位：元/千克）与上市时间x （单位：天）的函数关系式如图2所示．（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；（2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？12．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．13．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价）14．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A ，B 两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A ，B 两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B 型口罩的销售利润是A 型口罩的1.2倍．（1）求每只A 型口罩和B 型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B 型口罩的进货量不超过A 型口罩的1.5倍，设购进A 型口罩m 只，这10000只口罩的销售总利润为W 元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？15．今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A ，B 两种树苗，每捆A 种树苗比每捆B 种树苗多10棵，每捆A 种树苗和每捆B 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A 种树苗和每棵B 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A 种树苗和B 种树苗各多少棵？并求出最低费用．16．小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A 型画笔，第二次超市推荐了B 型画笔，但B 型画笔比A 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B 型画笔． （1）超市B 型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B 型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B 型画笔x 支，购买费用为y 元，请写出y 关于x 的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B 型画笔，则能购买多少支B 型画笔？17．为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?18．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ，垂足为点N ．设M 点的坐标为(,0)M m ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D2．B3．A4．A5．＜.6．m ＜n7．（1）()2,2-；（2）3；（3）2x <8．（1）y 1＝﹣23x+2，y 2＝﹣12x；（2）9；（3）x ＜﹣3 9．（1）一次函数的表达式为1y x =+，反比例函数的表达式为2y x=；（2）（3，0）或（-5，0）10．（1）y=140t+100，140m 3/h ；（2）8h11．解：（1）日销售量的最大值为120千克. （2）()()y 10x? 0x 12{y 15x 300? 12x 20=≤≤=-+<≤ （3）第10天的销售金额多.12．（1）甲、乙两种型号口罩的产量分别为15万只和5万只；（2）从而安排生产甲种型号的口罩17万只，乙种型号的口罩3万只时，获得最大利润，最大利润为108万元. 13．（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元．14．（1）每只A 型口罩和B 型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元；（2）药店购进A 型口罩4000只、B 型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600元15．（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进A 种树苗3500棵，B 种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．16．（1）超市B 型画笔单价为5元；（2） 4.5,120410,20x x y x x ⎧=⎨+>⎩，其中x 是正整数；（3）小刚能购买65支B 型画笔．17．（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.18．（1）211433y x x =-++；（2）2PN =，当2m =时，PN 有最大值，最大值为3． （3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，822Q ⎛- ⎝⎭．。
中考方程(组)不等式(组)一次函数求最值的综合应用
专题8 一次函数的应用（即方程（组）不等式（组）和一次函数的综合应用）一次函数求最值，不同于二次函数求最值，它一般分三步：1．根据题目中的等式条件，建立一次函数关系式，确定其增减性；2．根据题目中的不等式条件，列不等式（组），求出自变量的取值范围；3．根据一次函数的增减性，恰当选取自变量的值，求函数的最值。
1.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，设其中甲种商品购进x件（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．①求y与x的函数关系式；②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．2.某销售商准备采购A、B两种型号的空气净化器，经调查，采购2台A型净化器和3台B型净化器共需花费11500元，且采购5台A型净化器和购进4台B型净化器所需的费用相等.（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少？（2）若销售商购进A型、B型净化器共50台，其中A型的台数不大于B型的台数，且不少于15台，设购进A型净化器a台.①求a的的取值范围；②已知A型的售价是2600元/台，B型的售价是3200元/台，设销售商售完50台净化器获得的利润为w，求w的最大值.3.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台，已知购买3台空调和2台彩电花费2.32万元，购买2台空调和4台彩电需花费2.48万元。
（1）求每台空调与彩电的进价分别是多少元？（2）已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元，试求出y与x的函数关系式；（3）根据市场需要，这些空调、彩电很快全部售出，商场计划再次筹集资金12.8万元，一次性购买空调、彩电共30台，且可全部售出，在（2）的条件下，商场如何进货可获得最大利润，最大利润是多少元？4.某超市计划购进甲、乙两种玩具若干件，已知5件甲种玩具与3件乙种玩具的进价之和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价之和为141元.（1）求每件甲种玩具和每件乙种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x>0，且x为整数）件甲种玩具需花费y元，请求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，超市应选择购进哪种玩具最省钱.5.学校打算购进一批甲、乙两种办公桌若干张，若学校购进15张甲办公桌和10张乙办公桌共花费15500元，购进8张甲种办公桌的费用与购买5张乙办公桌的费用相等.（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？（2）若学校购进甲、乙两种办公桌共30张，且甲种办公桌不多于乙种办公桌数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用.6.某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？7.某地新建的一个企业，每月产生1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：已知商家售出的2台A型污水处理器和3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型污水处理器和4台B型污水处理器的总价为42万元.（1）求每台A型污水处理器和B型污水处理器的价格分别是多少万元？（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的两种污水处理器共10台，请你设计出最省钱的购买方案，请求出最低费用.答案自我诊断1.考点:一次函数的应用．分析:（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲单价×甲商品数量+乙单价×乙商品数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；（2）①根据利润=甲商品单件利润×数量+乙商品单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；②根据总价=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的增减性即可解决最值问题；（3）根据利润=甲单件利润×数量+乙单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．解：（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，解得：x=105，200﹣x=200﹣105=95（件）．答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，解得：x≥100，∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．故该商场获得的最大利润为22000元．（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值，即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，∴当x=120时，y有最大值，即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．点评:本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．4.考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时．由题意得：，解得：答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800，∴W=﹣8a+3200，又∵a≥，解得：a≥50，∵﹣8＜0，∴W随着a的增大则减小，∴当a=50时，W有最大值2800．∵2800＜3000，∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．。
【数学中考一轮复习】 一次函数的最值应用(含答案)
专项训练一次函数的最值应用一、一次函数最值问题的基本模型1.如果n≤x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值，当x＝m时，y有最大值.当x＝n时，y有最大值，当x＝m时，y有最小值.2.如果x≥n，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值；当x＝n时，y有最大值.3.如果x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝m时，y有最大值；当x＝n时，y有最小值.4.如果n＜x＜m，x取值不定，那么y＝kx＋b既没有最大值也没有最小值.但是，如果x 取特殊值（如x取整数值），可参照前述三条求最值.二、一次函数最值应用的步骤1.审题，求一次函数的解析式；3.根据题意确定自变量的取值范围；4.结合增减性和自变量的取值范围确定函数的最值.类型一实际应用中直接求最值1.为迎接国庆节的到来，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍各种奖品的单价如下表所示如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.（1）求与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少，最少是多少元？2.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其他原料充足.求该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题:（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.4.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如表所示:购买苹果数x（千克）不超过50千克的部分超过50千克的部分每千克价格（元）10 8（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？5.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？类型二方案设计中的最值6.煤炭是陕西省的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如表（表中运费栏“元/t·km”表示每吨煤炭运送一千米所需的费用）:（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费.7.某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回.经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.8.年初，武汉暴发新冠疫情，“一方有难，八方支援”，某地为助力武汉抗疫，紧急募集到一批物资运往武汉的A，B两县，用载重量为16吨的大货车8辆和载重量10吨的小货车10辆恰好一次性运完这批物资.运往A，B两县的运费标准如表:（1）如果安排到A，B两县的货车都是9辆，设前往A县的大货车为x辆，前往A，B两县的总运费为y元，求出y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，若运往A县的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.9.在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上的消毒液和防护口罩热销.某药店推出两种优惠方案，方案①:购买1瓶消毒液，赠送1个口罩，方案②:消毒液和口罩一律按9折优惠.消毒液每瓶定价40元，口罩每个定价5元小明需买4瓶消毒液和若干个口罩（不少于4个），设购买口罩x 个，用优惠方案①购买费用为y 1元，用优惠方案②购买费用为y 2元. （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； （2）什么情况下选择方案②更优惠？（3）若要买4瓶消毒液和12个口罩，请你设计怎样购买最便宜.参考答案1.解:（1）w ＝ 12x ＋10(2x-10)＋5［50-x-(2x-10)]＝ 17x ＋200.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯≤--->--->->)102(105.1)]102(50[50)]102(50[01020x x x x x x x ，得10≤x ＜20.∴自变量的取值范围是10≤x ＜20，且x 为整数；（2）w ＝17x ＋200，∵k ＝17＞0，∴w 随x 的增大而增大，减小而减小. ∵1≤0x ＜20，当x ＝10时，有w 最小值，最小值为w ＝17×10＋200＝370. 2.解: （1） y ＝0.3x ＋0.4（2500-x ）＝-0.1x ＋1000， 因此y 与x 之间的函数表达式为:y ＝-0.1x ＋1 000；⎧≤-+1000)2500(5.025.0x x又∵k ＝-0.1＜0，∴y 随x 的减小而增大. ∴当x ＝1000时， y 最大，此时2500-x ＝1500， 因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.3，解:（1）设y 甲＝k 1x ，根据题意得:5k 1＝100，解得:k 1＝20.∴у甲＝20x. 设y 乙＝k 2x ＋100，根据题意得:20k 2＋100＝300，解:k 2＝10. ∴y 乙＝ 10x ＋100；（2）①y 甲＜y 乙，即20x ＜10x-100，解得:x ＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲＝y 乙，即20x ＝10x-100，解得:x ＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即 20x ＞10x ＋100，解得:x ＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.4，解:（1）由表格可得，40×10＝400（元）， 答:小刚购买苹果40千克，应付400元； （2）由题意可得，当0≤x ≤50时， y 与x 的关系式是y ＝10x ，当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝10×50—8（x-50）＝8x ＋100， 即当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝8x ＋100；（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为:8×80-100＝740（元），分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为:40×10×2＝800（元），800—740＝60（元），答:小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40 千克）所付的费用少60元.5.解:（1）依题意得:y ＝4x ＋3（50-x ） ＝x ＋150；（2）依题意得:⎩⎨⎧≤-+≤-+，②，①17)50(4.03.019)50(2.05.0x x x x解不等式①得:x ≤30，解不等式②得:x ≥28， ∴不等式组的解集为28≤x ≤30.∵y ＝x ＋150， y 是随2的增大而增大，且28≤x ≤30，∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，y 最小＝28＋150＝1786，解:（1）若运往A 厂x 吨，则运往B 厂为（1000-x ）吨. 依题意得:y ＝200×0.45x ＋150×a ×（1000-x ）＝90x-150ax ＋ 150000a ＝（90-150a ）x ＋ 150000a ，依题意得⎩⎨⎧≤-≤8001000600x x ，解得200≤x ≤600.故函数关系式为y ＝（90-150a ）x ＋150000a ， （200≤x ≤600） ； （2）当0＜a ＜0.6时，90-150a ＞0，∴当x ＝200时，y 最小＝（90-150a ）×200＋150000a ＝120000a ＋18000. 此时，1000-x ＝1000-200＝800.当a ＞0.6时，90-150a ＜0，又因为运往A 厂总吨数不超过600吨， ∴当x ＝600时，y 最小＝（90-150a ）×600＋150000a ＝60000a ＋54000. 此时，1000-x ＝1000-600＝400.当a ＝0.6时，y ＝90000,答:当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨， B 厂800吨时，总运费最低，最低运费（120000a ＋18000）元.当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费（60000a ＋54000）元.当a ＝0.6时，运费90000元.7.解:（1）由题意可得，y ＝400x ＋320（8-x ）＝80x ＋2560. 即y 与x 的函数关系式为y ＝80x ＋2560；（2）由题意可得，45x ＋35（8-x ）≥340，解得，x ≥6， ∵y ＝80x ＋2560，∴k ＝80，y 随x 的增大而增大. ∴当x ＝6时， y 取得最小值，此时y ＝3040，8-x ＝2.答:最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元.8.解:（1）设前往A 县的大货车为z 辆，则前往A 县的小货车为（9-x ）辆；前往B 县的大货车为（8-x ）辆，前往B 县的小货车为（1＋x ）辆，根据题意得：y ＝1080x ＋750（9-x ）＋120（8-x ）＋950（1＋x ）＝80x ＋17300 （0≤x ≤8）； （2）由题意得，16x ＋10（9-x ）≥120，解得x ≥5. 又∵0≤x ≤8，∴5≤x ≤8且为整数.∵y ＝80x ＋17300，且80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝80×5＋17300＝17700.货车前往B县.最少运费为17700元.9.解:（1）由题意得:y1＝40×4＋5（x-4）＝5x＋140；y2＝40×0.9×4＋5×0.9x＝4.5x＋144；（2）当y1＞y2时，5x＋140＞4.5x＋144，解得x＞8，答:当x＞8时，选择方案②更优惠；（3）方案①:y1＝5×12＋140＝220（元）；方案②:y2＝4.5×12＋144＝198（元）；方案③:先按方案①买4瓶消毒液，送4个口罩，剩下8个口罩按方案②购买，总价为:40×4＋5×0.9×8＝196（元），∵200＞198＞196，∴方案③最省钱.答:购买4瓶消毒液和12个口罩用方案③最优惠.。
初中数学知识点各个击破专项练习：一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”(学生版)
一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”一、解答题1已知一次函数y=4kx+5k+132k≠0．(1)无论k为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；(2)如图1，当k=-12时，一次函数y=4kx+5k+132的图象交x轴，y轴于A、B两点，点Q是直线l2：y=x+1上一点，若S△ABQ=6，求Q点的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，直线l2：y=x+1交AB于点P，C点在x轴负半轴上，且S△ABC=203，动点M 的坐标为a,a，求CM+MP的最小值．2已知一次函数y=4kx+5k+132(k≠0)．(1)无论k为何值，函数图象必过定点，则该定点的坐标；(2)如图1，当k=-12时，该直线交x轴，y轴于A，B两点，直线l2:y=x+1交AB于点P，点T是l2上一点，若S△ABT=9，求T点的坐标；(3)如图2，在第2问的条件下，已知D点在该直线上，横坐标为1，C点在x轴负半轴，∠ABC=45°，点M 是x轴上一动点，连接BM，并将线段BM绕点M顺时针旋转90°得到MQ，①求点C的坐标；②CQ+QD的最小值为．3如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x2 2,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．4已知一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A(3,0)，且过点7,8，回答下列问题．(1)求该一次函数解析式；(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程，如解析式y=kx+b我们只需要将y向右移项就可以得到kx-y+b=0，将x前的系数k替代为未知数A，将y前的系数1替代为未知数B，将常数项b替代为未知数C，即可得到方程Ax+By+C=0，该二元一次方程也称为直线的一般方程(其中A一般为非负整数，且A、B不能同时为0)．一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：点P x0,y0到直线Ax+By+C=0的距离d 公式是：d=Ax0+By0+CA2+B2如：求：点P1,1到直线y=-13x+32的距离．5如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A，OA=4，与正比例函数y=3x的图象交于点B，B 点的横坐标为1．(1)求一次函数y=kx+b的解析式；(2)若点C在y轴上，且满足S△BOC=12S△AOB，求点C的坐标；(3)若点D4,-2，点P是y轴上的一个动点，连接BD，PB，PD，是否存在点P，使得△PBD的周长有最小值？若存在，请直接写出△PBD周长的最小值．6在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=34x+3的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴正半轴上的一个动点，设点C的横坐标为t．(1)求A、B两点的坐标；(2)点D为平面直角坐标系xoy中一点，且与点A、B、C构成平行四边形ABCD．①若平行四边形ABCD是矩形，求t的值；②在点C运动的过程中，点D的纵坐标是否发生变化，若不变，求出点D的纵坐标；若变化，说明理由；③当t为何值时，BC+BD的值最小，请直接写出此时t的值及BC+BD的最小值．7已知，一次函数y=(2-t)x+4与y=-(t+1)x-2的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，t≠2且t≠-1．(1)求线段AB的长；(2)试探索△ABP的面积是否是一个定值？若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由；(3)当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值．8如图1，已知一次函数y=x+3与x轴，y轴分别交于B点，A点，x正半轴上有一点C，∠ACO= 60°，以A，B，C为顶点作平行四边形ABCD．(1)求C点坐标．(2)如图2，将直线AB沿y轴翻折，翻折后的直线交CD于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当DP+PQ+QE取得最小值时，求此时(DP+PQ+QE)2的值．(3)如图3，将△AOC向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为A ，O的对应点为O ，将△A O O绕点O顺时针旋转，旋转角为α0°≤α≤180°，在旋转过程中，直线AB与直线A O 、A O交于M，G两点，在旋转过程中，△A MG能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的α，若不能，请说明理由．9(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=1x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，4以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，点A、B、C的坐标分别为、、．(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标(0，-6)，点B坐标(8，0)，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y=-2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．②如图2，在⑵的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+AN的最小值是．10已知一次函数y =kx +32的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点M 的坐标为0,m ，其中0<m <32．(1)若点A (-32,0)，过点O 作OP ⊥AM ，连接BP 并延长与x 轴交于点C ，①求k 的值；②求证：BP PC =OM OC ；(2)若点A -2,0 ，求2AM +BM 的最小值．11如图1，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．(1)则点A的坐标为，点B的坐标为；(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB=PE，求证：∠BPE=2∠OAB；(3)在(2)的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA=PQ，∠APQ=2∠OAB．连接OQ．①则图中(不添加其他辅助线)与∠EPA相等的角有；(都写出来)②试求线段OQ长的最小值．12如图一次函数y1=k1x+3的图象与坐标轴相交于点A-2,0和点B，与反比例函数y2=k2x (x>0)的图象相交于点C2,m．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD:CP=1:2时，求△COP的面积；(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q，使PQ+CQ的值最小，若存在请直接写出PQ+CQ的最小值，若不存在请说明理由．13【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，k即为该函数图象(直线)的斜率．当直线过点(x1，y1)、(x2，y2)时，斜率k=y2-y1x2-x1，特别的，若两条直线l1⊥l2，则它们的斜率之积k1•k2=-1，反过来，若两条直线的斜率之积k1•k2=-1，则直线l1⊥l2【运用】请根据以上材料解答下列问题：(1)已知平面直角坐标系中，点A(1，3)、B(m，-5)、C(3，n)在斜率为2的同一条直线上，求m、n的值；(2)在(1)的条件下，点P为y轴上一个动点，当∠APC为直角时，求点P的坐标；(3)在平面直角坐标系中另有两点D(3，2)、E(-1，-6)，连接DA并延长至点G，使DA=AG，连接GE交直线AB于点F，M为线段FA上的一个动点，求DM+55MF的最小值．14如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为(23,4)，一次函数y= -3x+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，∠DFO=30°，并且满足OD=BE，点M是线3段DF上的一个动点．(1)求b的值；(2)连接OM，若ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，求点M的坐标；(3)求OM+1MF的最小值．215如图1，一次函数y=34x-6的图象与坐标轴交于点A，B，BC平分∠OBA交x轴与点C，CD⊥AB，垂足为D．(1)求点A，B的坐标；(2)求CD所在直线的解析式；(3)如图2，点E是线段OB上的一点，点F是线段BC上的一点，求EF+OF的最小值．16如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B0,2，与正比例函数y=32x的图象交于点C4,c．(1)求k和b的值．(2)如图1，点P是y轴上一个动点，当PA-PC最大时，求点P的坐标．(3)如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE=2，分别连结BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标．17在平面直角坐标系中，一次函数y=-23x+4的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O即停止运动．其中A、Q两点关于点P对称，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为秒．如图①．(1)当t=2秒时，OQ的长度为；(2)设MN、PN分别与直线y=-23x+4交于点C、D，求证：MC=NC；(3)在运动过程中，设正方形PQMN的对角线交于点E，MP与QD交于点F，如图2，求OF+EN的最小值．18已知一次函数y=4kx+5k+132k≠0，(1)无论k为何值，函数图像必过定点，求该点的坐标；(2)如图1，当k=-12时，该直线交x轴，y轴于A，B两点，直线l2:y=x+1交AB于点P，点Q是l2上一点，若SDABQ=6，求Q点的坐标；(3)如图2，在第2问的条件下，已知D点在该直线上，横坐标为1，C点在x轴负半轴，ÐABC=45°，动点M的坐标为(a，a)，求CM+MD的最小值．19如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A(-2，0)，B(0，-23)、过D(1，0)作平行于y轴的直线l；(1)求一次函数y=kx+b的表达式；PB+PD的最小值为.(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12(3)M(s，t)为直线l上的一个动点，若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则求M，N点的坐标；+k(其中k·b≠0，且|k|≠|b|))为互助一次函数，例如：y=-2x+3和y=3x-2就是互助一次函数．如图1所示，一次函数y=kx+b和它的互助一次函数的图象l1，l2交于点P，l1，l2与x轴、y轴分别交于点A，B 和点C，D．(1)如图1所示，当k=-1，b=5时，直接写出点P的坐标是．(2)如图2所示，已知点M(-1，1.5)，N(-2，0)．试探究随着k，b值的变化，MP+NP的值是否发生变化，若不变，求出MP+NP的值；若变化，求出使MP+NP取最小值时点P的坐标．+k(其中k⋅b≠0，且|k|≠|b|)为互助一次函数，例如y=-23x+2和y=2x-23就是互助一次函数．如图，一次函数y=kx+b和它的互助一次函数的图象l1,l2交于P点，l1,l2，与x轴，y轴分别交于A,B点和C,D点．(1)如图(1)，当k=-1,b=3时，请回答下列问题：①直接写出P点坐标；②Q是射线CP上一点(与C点不重合)，其横坐标为m，求四边形OCQB的面积S与m之间的函数关系式，并求当△BCQ与△ACP面积相等时m的值；(2)如图(2)，已知点M(-1,2)，N(-2,0)．试探究随着k,b值的变化，MP+NP的值是否发生变化？若不变，求出MP+NP的值；若变化，求出使MP+NP取最小值时的P点坐标．22如图1,等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线DE经过点C，过A作AD ⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为 “K型全等”．(不需要证明)【模型应用】若一次函数y=kx+4(k≠0)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点．(1)如图2，当k=-1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；(2)如图3，当k=-43时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．。
专题训练7：一次函数中的最值问题
专题训练7：一次函数中的最值问题
问题1：在燃气管道l上修建泵站，分别向A、B两城镇供气。
要使所用的输气管线最短，泵站应该修建在什么地方？
问题2：已知点A（4，3）和点B（0，1）。
若点C是x 轴上的动点，当AC+BC的值最小时，求C点的坐标。
问题3：已知点A（4，3）和点B（0，-1）。
若点C是x 轴上的动点，当AC-BC的值最大时，求C点的坐标。
问题4：已知点A（4，3），点B在直线x=5上，点C在直线y=-x+4上。
当△ABC的周长最小时，求点B和点C的坐标。
问题5：已知点A（4，3）和点B（1，2）。
若点C在y 轴上，点D在x轴上，当四边形ABCD的周长最小时，求点C和点D的坐标。
问题6：已知点A（4，3）和点B（1，2）。
若点C、D 是x轴上的两点，且CD=1，当四边形ABCD的周长最小时，求点C和点D的坐标。
问题7：已知点A（4，3）和点B（-1，-2）。
若点C在直线y=2上，点D在x轴上，且CD⊥x轴，当四边形
AC+CD+BD最小时，求点C和点D的坐标。
一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练
一次函数综合题通用的解题思路：(1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．(2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．(3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．1(2024•鼓楼区一模)如图，直线y =-3x +6与⊙O 相切，切点为P ，与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点．⊙O 与x 轴负半轴交于点C ．(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【分析】(1)由OP =OA ⋅sin60°，即可求解；(2)由图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC ，即可求解．【解答】解：(1)对于直线y =-3x +6，令y =-3x +6=0，则x =23，即OA =23，由一次函数的表达式知，OB =6，则tan ∠BAC =OB AO =623=3，则∠BAC =60°连接OP ，则OP ⊥AB ，则OP =OA ⋅sin60°=23×32=3；(2)过点P 作PH ⊥AC 于点H ，∵∠POH =30°，则∠POC =150°，PH =12OP =32，则图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC =150°360°×π×32-12×3×32=15π-94．【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中．2(2023•宿豫区三模)如图①，在平面直角坐标系中，直线l 1:y =x +1与直线l 2:x =-2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0,3)，连接AC ，BC ．设点A 的纵坐标为t ，ΔABC 的面积为s ．(1)当t =2时，求点B 的坐标；(2)s 关于t 的函数解析式为s =14t 2+bt -54t -1或t 5 a t +1 t -5 (-1<t <5)，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出a 与b 的值；(3)在直线l 2上是否存在点A ，使得∠ACB =90°，若存在，请求出此时点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)解法一：先根据t =2可得点A (-2,2)，因为B 在直线l 1上，所以设B (x ,x +1)，利用y =0代入y =x +1可得G 点的坐标，在Rt ΔABG 中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；解法二：根据可以使用y =x +1与x 轴正半轴夹角为45度来解答；(2)先把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中计算得b 的值，计算在-1<t <5范围内图象上一个点的坐标值：当t =2时，根据(1)中的数据可计算此时s =94，可得坐标2,94，代入s =a (t +1)(t -5)中可得a 的值；(3)存在，设B (x ,x +1)，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．【解答】解：(1)解法一：如图1，连接AG ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，在y =x +1中，当x =0时，y =1，∴G (0,1)，∵AB ⊥l 1，∴∠ABG =90°，∴AB 2+BG 2=AG 2，即(x +2)2+(x +1-2)2+x 2+(x +1-1)2=(-2)2+(2-1)2，解得：x 1=0(舍)，x 2=-12，∴B -12，12；解法二：如图1-1，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过点A 作AH ⊥BE 于H ，当x =0时，y =1，当y =0时，x +1=0，则x =-1，∴OF =OG =1，∵∠GOF =90°，∴∠OGF =∠OFG =45°，∴BE =EF ，∵∠ABD =90°，∴∠ABH =∠BAH =45°，∴ΔABH 是等腰直角三角形，∴AH =BH ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，∴x +2=2-(x +1)，∴x =-12，∴B -12，12 ；(2)如图2可知：当t =7时，s =4，把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中得：494+7b -54=4，解得：b =-1，如图3，过B 作BH ⎳y 轴，交AC 于H ，由(1)知：当t =2时，A (-2,2)，B -12，12 ，∵C (0,3)，设AC 的解析式为：y =kx +n ，则-2k +n =2n =3 ，解得k =12n =3 ，∴AC 的解析式为：y =12x +3，∴H -12，114，∴BH =114-12=94，∴s=12BH⋅|x C-x A|=12×94×2=94，把2,9 4代入s=a(t+1)(t-5)得：a(2+1)(2-5)=94，解得：a=-1 4；(3)存在，设B(x,x+1)，当∠ACB=90°时，如图5，∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AB=BD，∵A(-2,t)，D(-2,-1)，∴(x+2)2+(x+1-t)2=(x+2)2+(x+1+1)2，(x+1-t)2=(x+2)2，x+1-t=x+2或x+1-t=-x-2，解得：t=-1(舍)或t=2x+3，RtΔACB中，AC2+BC2=AB2，即(-2)2+(t-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-t)2，把t=2x+3代入得：x2-3x=0，解得：x=0或3，当x=3时，如图5，则t=2×3+3=9，∴A(-2,9)；当x=0时，如图6，此时，A(-2,3)，综上，点A的坐标为：(-2,9)或(-2,3)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023•溧阳市一模)如图1，将矩形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为(0,4)，点B坐标为(5,0)，点P是x轴正半轴上的动点，连接AP，ΔAQP是由ΔAOP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在对角线OC上时，OP= 165 ；(2)当直线PQ经过点C时，求PQ所在的直线函数表达式；(3)如图2，点M是BC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为；②当ΔPMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)通过Q 点在OC 上，可以通过∠BOC 的三角函数和∠OAP 的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；(2)通过直角ΔAQC 中，得到QC 的长度，然后通过OP =PQ =x ，可以在Rt ΔBCP 中，得到对应的x 值然后求出结果；(3)通过QA =OA =4，可得出Q 点的运动轨迹，是以A 点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，MA 的连线上的Q 点为最短的MQ 长度，通过分类讨论，PM =PQ ，PM =QM ，PQ =QM 来求得对应的P 的坐标．【解答】解：(1)如图1，∵∠OAP +∠AOE =90°，∠BOC +∠AOE =90°，∴∠OAP =∠BOC ，又∵∠AOP =∠OBC =90°，∴ΔOAP ∽ΔBOC ，∴OP BC =OA OB ，即OP 4=45，∴OP =165，故答案为：165；(2)如图，∵AQ ⊥PQ ，∴∠AQC =90°，∴QC =AC 2-AQ 2=52-42=3，∵AQ =AO =4，设OP =PQ =x ，则CP =3+x ，PB =5-x ，∴CP 2=BP 2+BC 2，(3+x )2=(5-x )2+42，x =2，∴P 点的坐标为(2,0)，将P (2,0)和C (5,4)代入y =kx +b 中，0=2k +b 4=5k +b ，解得：k =43b =-83，∴PQ 所在直线的表达式为：y =43x -83；(3)如图，①∵AQ =AO =4，∴Q 点的运动轨迹，是以A 为圆心，4为半径的圆弧，∴MQ 的最小值在AM 的连线上，如图，MQ ′即为所求，∵M 是BC 中点，CM =12BC =2，∴AM =52+22=29，MQ ′=MA -AQ ′=29-4，故答案为：29-4；②如图，设OP =PQ =x ，BP =5-x ，∴PM 2=(5-x )2+22=x 2-10x +29，当PM =PQ 时，PM 2=PQ 2，∴x 2-10x +29=x 2，x =2910，∴P 2910，0，当MP =MQ 时，如图，若点Q 在AC 上，则AQ =OA =4，∵MP =MQ ，MB =MC ，∠PBM =∠QCM ，∴ΔPMB ≅ΔQMC (HL )，∴PB =QC ，QC =AC -AQ =5-4=1，∴PB =1，∴OP =BO -PB =5-1=4，∴P (4,0)；若点Q 在AC 上方时，由对称性可知OM =MQ ，∵MQ =MQ ，∴MO =MP ，∴P (10,0)；当MQ =PQ 时，不符合题意，不成立，故P 点坐标为P 2910，0或P (4,0)或(10,0)．【点评】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．4(2022•启东市模拟)我们知道一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)互为“M ”函数．(1)请直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)如果一对“M ”函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象交于点A ，且与x 轴交于B ，C 两点，如图所示，若∠BAC =90°，且ΔABC 的面积是8，求这对“M ”函数的解析式；(3)在(2)的条件下，若点D 是y 轴上的一个动点，当ΔABD 为等腰三角形时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)根据互为“M ”函数的定义，直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)现根据已知条件判断ΔABC 为等腰直角三角形，再根据互为“M ”函数的图象关于y 轴对称，得出OA =OB =OC ，再根据函数解析式求出点A 、B 、C 的坐标，再根据ΔABC 的面积是8求出m 、n 的值，从而求出函数解析式；(3)ΔABD 为等腰三角形，分以A 为顶点，以B 为顶点，以D 为顶点三种情况讨论即可．【解答】(1)解：根据互为“M ”函数的定义，∴函数y =2x +5的“M ”函数为y =-2x +5；(2)解：根据题意，y =mx +n 和y =-mx +n 为一对“M 函数”．∴AB =AC ，又∵∠BAC =90°，∴ΔABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =∠ACB =45°，∵OB =OC ，∴∠BAO =∠CAO =45°，∴OA =OB =OC ，又∵S ΔABC =12×BC ×AO =8且BC =2AO ，∴AO =22，∵A 、B 、C 是一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象于坐标轴的交点，∴A (0,n )，B -n m ，0 ，C n m ，0，∵OA =OB =n ，∴n m=22，∴m =1，∴y =x +22和y =-x +22；(3)解：根据等腰三角形的性质，分情况，∵AO =BO =22，∴AB =4，由(2)知，A (0，22)，B (-22，0)，C (22，0)，∴①以A 为顶点，则AB =AD ，当点D 在点A 上方时，AD =22+4，当点D 在点A 下方时，AD =22-4，∴D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，②以B 为顶点，则BA =BD ，此时点D 在y 轴负半轴，∴D 3(0,-22)，③以D 为顶点，则DA =DB ，此时D 为坐标原点，∴D 4(0,0)．∴D 点坐标为D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，D 3(0,-22)，∴D 4(0,0)．【点评】本题考查一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．5(2024•新北区校级模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =4，NH =1，点G 的坐标为(8,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 85 ；AB AD的值为；(2)如果OM =15．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得S ≥154？若存在，求出t 的取值范围：若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =15，AB =CD =53AD =10，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②设FG 所在的曲线的数解析式为S =a (t -6)2+k (a ≠0)，把F 5,154，G (8,0)代入解析式求得a ，k 值即可求解答；③利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =154时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =4，NH =1，G (8,0)，∴N (4,0)，H (5,0)，由图象可知：t =4时，Q 与E 重合，t =5时，P 与B 重合，t =8时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 5，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB5DE 4=AB 5⋅4DE =85，∵P 从A 到B 用了5秒，从B 到C 用了3秒，∴AB =5v 1，BC =3v 1，∴AB =53BC ，∴AB :AD 的值为53，故答案为：85，53；(2)①∵OM =15，∴M (0,15)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =15，∵AB :AD =53，DE =12AB ，∴DE =56AD ，∴12AD ⋅56AD =15，∴AD =BC =6(舍去负值)，∴AB =CD =53AD =10，∴v 2=DE 4=54，当t =5时，DQ =v 2t =54×5=254，∴QE =DQ -DE =254-5=54，此时P 与B重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×54×6=154，∴F 5,154 ，设直线NF 的解析式为S =kt +b (k ≠0)，将N (4,0)与F 5,154 代入得：4k +b =05k +b =154，∴k =154b =-15 ，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =154t -15(4<t ≤5)；②设FG所在的曲线的数解析式为S=1254t-5(16-2t)=-54t2+15t-40，∴FG所在的曲线的函数解析式为S=-54t2+15t-40(5≤t≤8)；③存在，分情况讨论如下：当Q在DE上，P在AB上时，∵直线MN经过点M(0,15)，N(4,0)，可求得直线MN的解析式为S=-54t+15(0≤t≤4)，当s=154时，-154t+15=154，∴x=3，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤3时，S≥154，当Q在CE上，P在BC上时，直线NF的解析式为S=154t-15(4<t≤5)；由F5,15 4知：当t=5时，S=154，当S=154时，-54t2+15t-40=154，∴t=7或5，由图象知：当5≤x≤7，x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．6(2024•梁溪区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =-ax 2+3ax +4a 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴交于点C ，直线y =12x 交于第一象限内的D 点，且ΔABC 的面积为10．(1)求二次函数的表达式；(2)点E 为x 轴上一点，过点E 作y 轴的平行线交线段OD 于点F ，交抛物线于点G ，当GF =5OF 时，求点G 的坐标；(3)已知点P (n ,0)是x 轴上的点，若点P 关于直线OD 的对称点Q 恰好落在二次函数的图象上，求n 的值．【分析】(1)在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得A (-1,0)，B (4,0)，根据ΔABC 的面积为10，即得OC =4，C (0,4)，用待定系数法即得二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，由GF =5OF ，可得-m 2+52m +4=5×52m ，即可解得G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，设Q (r ,s )，可得K n +r 2，s 2 ，即得s 2=12×n +r 2，n +r =2s ①，又r 2+s 2=n 2，(n +r )(n -r )=s 2②，可解得r =35n ，s =45n ，故Q 35n ，45n ，代入y =-x 2+3x +4得45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209．【解答】解：(1)如图：在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得-ax 2+3ax +4a =0，解得x =4或x =-1，∴A (-1,0)，B (4,0)，∴AB =5，∵ΔABC 的面积为10，∴12AB ⋅OC =10，即12×5⋅OC =10，∴OC =4，∴C (0,4)，把C (0,4)代入y =-ax 2+3ax +4a 得：4a =4，∴a =1，∴二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)如图：设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，∴OF =m 2+12m 2=52m ，GF =-m 2+3m +4-12m =-m 2+52m +4，∵GF =5OF ，∴-m 2+52m +4=5×52m ，解得m =2或m =-2(舍去)，∴G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，如图：∵P (n ,0)关于直线对称点为Q ，∴OQ =OP =|n |，K 是PQ 中点，设Q (r ,s )，∴K n +r 2，s 2，∵K 在直线y =12x 上，∴s 2=12×n +r 2，整理得：n +r =2s ①，∵OT 2+QT 2=OQ 2，∴r 2+s 2=n 2，变形得：(n +r )(n -r )=s 2②，把①代入②得：2s (n -r )=s 2，∵s ≠0，∴n -r =s2③，由①③可得r =35n ，s =45n ，∴Q 35n ，45n ，∵Q 在抛物线y =-x 2+3x +4上，∴45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209，答：n 的值为5或-209．【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含n 的代数式表示Q 的坐标．7(2023•邗江区校级一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线l :y =-33x +43分别与x 轴、y 轴交于点A 点和B 点，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，以OD 为边构造等边ΔEDF (F 点在x 轴的正半轴上)．(1)求A 、B 点的坐标，以及OD 的长；(2)将等边ΔEDF ，从图1的位置沿x 轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t (s )，同时点P 从E 出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED -DF 运动(如图2所示)，当P 点到F 点停止，ΔDEF 也随之停止．①t =3或6(s )时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点；②当点P 在线段DE 上运动，若DM =2PM ，求t 的值；③当点P 在线段DF 上运动时，若ΔPMN 的面积为3，求出t 的值．【分析】(1)把x =0，y =0分别代入y =-33x +43，即可求出点A 、B 的坐标，求出∠BAO =30°，根据直角三角形的性质，即可得出OD =12OA =6；(2)①当直线l 分别过DE 、DF 、EF 的中点，分三种情况进行讨论，得出t 的值，并注意点P 运动的最长时间；②分点P 在直线l 的下方和直线l 上方两种情况进行讨论，求出t 的值即可；③分点P 在DN 之间和点P 在NF 之间两种情况进行讨论，求出t 的值即可．【解答】解：(1)令x =0，则y =43，∴点B 的坐标为(0,43)，令y =0，则-33x +43=0，解得x =12，∴点A 的坐标为(12,0)，∵tan ∠BAO =OB OA=4312=33，∴∠BAO =30°，∵OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，∴ΔODA 为直角三角形，∴OD =12OA =6；(2)①当直线l 过DF 的中点G 时，∵ΔDEF 为等边三角形，∴∠DFE =60°，∵∠BAO =30°，∴∠FGA =60°-30°=30°，∴∠FGA =∠BAO ，∴FA =FG =12DF =3，∴OF =OA -FA =9，∴OE =OF -EF =9-6=3，∴t =3；当l 过DE 的中点时，∵DE ⊥l ，DG =EG ，∴直线l 为DE 的垂直平分线，∵ΔDEF 为等边三角形，∴此时点F 与点A 重合，∴t =12-61=6；当直线l 过EF 的中点时，运动时间为t =12-31=9；∵点P 从运动到停止用的时间为：6+62=6，∴此时不符合题意；综上所述，当t =3s 或6s 时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点，故答案为：3或6；②∵OE =t ，AE =12-t ，∠BAO =30°，∴ME =6-t2，∴DM =DE -EM =t2，∵EP =2t ，∴PD =6-2t ，当P 在直线l 的下方时，∵DM =23DP ，∴t 2=23(6-2t )，解得：t =2411；当P 在直线l 的上方时，∵DM =2DP ，∴t2=2(6-2t )，解得t =83；综上所述：t 的值为2411或83；③当3<t ≤6时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DN -DP =t -(2t -6)=6-t ，∵∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =3-12t ，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 3-12t =3，整理得：t 2-6t +8=0，解得t =2(舍)或t =4当点P 在NF 之间时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DP -DN =2t -6-t =t -6，∵∠DNM =30°，∴∠FNA =∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =12t -3，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 12t -3 =3，解得t =3+17(舍)或t =3-17(舍)，综上所述，t 的值为4s ．【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．8(2023•武进区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|；若|x 1-x 2|<|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|．例如：点P 1(1,2)，点P 2(3,5)，因为|1-3|<|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点)．(1)已知点A -12，0，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线y =34x +3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【分析】(1)①根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为(0,y )．由“非常距离”的定义可以确定|0-y |=2，据此可以求得y 的值；②设点B 的坐标为(0,y )．因为-12-0 ≥|0-y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为-12-0 =12；(2)①设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ．根据材料“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”知，C 、D 两点的“非常距离”的最小值为-x 0=34x 0+2，据此可以求得点C 的坐标；②根据“非常距离”的定义，点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且C 与E 的横纵坐标差相等时，点C 与点E 的“非常距离”取最小值，据此求出C 与E 的坐标及“非常距离”的最小值．【解答】解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0,y )．∵-12-0 =12≠2，∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2；∴点B 的坐标是(0,2)或(0,-2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．(2)①如图2，当点C 与点D 的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|．即AC =AD ，∵C 是直线y =34x +3上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，∴设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，∴-x 0=34x 0+2，此时，x 0=-87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=87，此时C -87，157；②如图3，当点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且CF =EF 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设E (x ,y )(点E 位于第二象限)．则y x=-43x 2+y 2=1 ，解得x =-35y =45，故E -35，45．设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，-35-x 0=34x 0+3-45，解得x0=-8 5，则点C的坐标为-8 5，95，点C与点E的“非常距离”的最小值为1．【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．9(2023•海安市一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d(P,W)，即d(P,W)=M-m，已知点A(2,1)，B(-2,1)(1)求d(O,AB)；(2)点C为直线y=-1上的一个动点，当d(C,AB)=1时，点C的横坐标是 (2-5)或(5-2，) ；(3)点D为函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，当d(D,AB)≤2时，直接写出b的取值范围．【分析】(1)画出图形，根据点P到图形W的“差距离”的定义即可解决问题．(2)如图2中，设C(m,-1)．由此构建方程即可解决问题．(3)如图3中，取特殊位置当b=6时，当b=-4时，分别求解即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵A(2,1)，B(-2,1)，∴AB⎳x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为5，∴d(O,AB)=5-1．(2)如图2中，设C(m,-1)．当点C在y轴的左侧时，由题意AC-2=1，∴AC=3，∴(2-m)2+22=9，∴m=2-5或2+5(舍弃)，∴C(2-5，-1)，当点C在y轴的右侧时，同法可得C(5-2，-1)，综上所述，满足条件的点C的坐标为(2-5，-1)或(5-2，-1)．故答案为：(2-5，-1)或(5-2，-1)．(3)如图3中，当b=6时，线段EF:y=x+6(-2≤x≤2)上任意一点D，满足d(D,AB)≤2，当b=-4时，线段E′F′:y=x-4(-2≤x≤2)上任意一点D′，满足d(D′,AB)≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤-4时，函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，满足d(D,AB)≤2．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点P到图形W的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．10(2022•姑苏区校级模拟)平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M(4,1)，N(-2,3)，点P(m,n)．(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为；②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；(2)若点P在直线y=-2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，-2≤m≤-1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【分析】(1)①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；(2)①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，5，点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【解答】解：(1)①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3=18，面积为3×6=18；故答案为：18，18．②∵M(4,1)，N(-2,3)，∴|x M-x N|=6，|y M-y N|=2．又∵m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n=-1或5．(2)如图，①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1≤m≤2；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4；∴点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点(-1,1)，(1,1)，(3,3)，∴a -b +c =1a +b +c =19a +3b +c =3，a =14b =0c =34，∴y =14x 2+34，同理抛物线经过点(-1,3)，(1,3)，(3,1)，可求得抛物线的解析式为y =-14x 2+134，∴抛物线的解析式y =14x 2+34或y =-14x 2+134．【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．11(2022•太仓市模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =3，NH =1，点G 的坐标为(6,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 32 ；AB :AD 的值为；(2)如果OM =2．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②是否存在某个时刻t ，使得S ≥23？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =23时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =3，NH =1，G (6,0)，∴N (3,0)，H (4,0)，由图象可知：t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB4DE 3=AB 4⋅3DE =AB 4⋅312AB =32，∵P 从A 到B 用了4秒，从B 到C 用了2秒，∴AB =4v 1，BC =2v 1，∴AB =2BC ，∴AB :AD 的值为2，故答案为：32,2；(2)①∵OM =2，∴M (0,2)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =2，∵AB :AD =2，∴AD =DE =12AB ，∴12AD 2=2，∴AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，∴v 2=DE 3=23，当t =4时，DQ =v 2t =23×4=83，∴QE =DQ -DE =83-2=23，此时P 与B 重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×23×2=33，∴F 4,23，设直线NF 的解析式为S =kx +b (k ≠0)，将N (3,0)与F 4,23 代入得：3k +b =04k +b =23 ，∴k =23b =-2，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =23x -2(3<x ≤4)；②存在，分情况讨论如下：当Q 在DE 上，P 在AB 上时，∵直线MN 经过点M (0,2)，N (3,0)，同理求得直线MN 的解析式为S =-23x +2(0≤x ≤3)，当s =23时，-23x +2=2，∴x =2，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤2时，S≥23，当Q在CE上，P在AB上时，直线NF的解析式为S=23x-2(3<x≤4)，由F4,2 3知：当x=4时，S=23，当Q在CE上，P在BC上时，SΔEPQ=12EQ⋅CP，∵DQ=v2t=23t，∴EQ=DQ-DE=23t-2，∵v1=AB4=44=1，∴AB+BP=v1t=t，∵AB+BC=4+2=6，∴CP=6-t，∴S=1223t-2(6-t)=-13t2+3t-6(4<x≤6)，当S=23时，-13t2+3t-6=23，∴t=4或5，由图象知：当4<x≤5时，S≥2 3，综上，S≥23时，x的取值范围为0≤x≤2或4≤x≤5．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．12(2022•邗江区校级一模)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k=PSST(PS<PT)PTST(PS≥PT) ．(1)已知点A(0,1)，B(1,0)．①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k= 22 ；②点C(0,c)关于线段AB的线段比k=2，求c的值．(2)已知点M(m,0)，点N(m+2,0)，直线y=x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤14，直接写出m的取值范围．【分析】(1)①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；②方法同①，分c>0和c≤0讨论；(2)分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M(N)为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．【解答】解：(1)①∵A(0,1)，B(1,0)，Q(2,0)，∴AB=2，QA=5，QB=1，根据线段比定义点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=QBAB=22；故答案为：22；②∵A (0,1)，B (1,0)，C (0,c )，∴AB =2，AC =|1-c |，BC =1+c 2，AC 2=1+c 2-2c ，BC 2=1+c 2，当c >0时，AC 2<BC 2，即AC <BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：|1-c |2=2，解得c =3或c =-1(舍去)，∴c =3，当c ≤0时，AC 2≥BC 2，即AC ≥BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：1+c 22=2，解得c =3(舍去)或c =-3，∴c =-3，综上所述，点C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2，c =3或c =-3；(2)∵直线y =x +2与坐标轴分别交于E ，F 两点，∴E (-2,0)，F (0,2)，∵点M (m ,0)，点N (m +2,0)，∴MN =2，N 在M 右边2个单位，当线段EF 上的点到N 距离较小时，分两种情况：①当M 、N 在点E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴NE MN≤14，即-2-(m +2)2≤14，解得：m ≥-92，②当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，过M 作MG ⊥EF 于G ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴GM MN ≤14，即GM 2≤14，∴GM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴GM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[(m +2)-(-2)]≤12，解得m ≤-4+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到N 距离较小时，-92≤m ≤-4+22，当线段EF 上的点到M 距离较小时，也分两种情况：①当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴ME MN≤14，即-2-m 2≤14，解得m ≥-52，②当M 、N 在点E 右侧时，过M 作MH ⊥EF 于H ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴HM MN ≤14，即HM 2≤14，∴HM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴HM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[m -(-2)]≤12，解得：m ≤-2+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到M 距离较小时，-52≤m ≤-2+22，综上所述，线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，则-92≤m ≤-4+22或-52≤m ≤-2+22．【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．13(2022•泰州)定义：对于一次函数y 1=ax +b 、y 2=cx +d ，我们称函数y =m (ax +b )+n (cx +d )(ma +nc ≠0)为函数y 1、y 2的“组合函数”．(1)若m =3，n =1，试判断函数y =5x +2是否为函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，并说明理由；(2)设函数y 1=x -p -2与y 2=-x +3p 的图像相交于点P ．①若m +n >1，点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数y 1、y 2的“组合函数”图像经过点P ．是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变？若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，可知函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得P (2p +1,p -1)，当x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p-1)(m +n )，根据点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，有p -1>(p -1)(m +n )，而m +n >1，可得p <1；②由函数y 1、y 2的“组合函数” y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，知p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，即(p -1)(1-m -n )=0，而p ≠1，即得n =1-m ，可得y =(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，即(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，即可得m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【解答】解：(1)函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，理由如下：∵3(x +1)+(2x -1)=3x +3+2x -1=5x +2，∴y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，∴函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得x =2p +1y =p -1 ，∴P (2p +1,p -1)，∵y 1、y 2的“组合函数”为y =m (x -p -2)+n (-x +3p )，∴x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p -1)(m +n )，∵点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，∴p -1>(p -1)(m +n )，∴(p -1)(1-m -n )>0，∵m +n >1，∴1-m -n <0，∴p -1<0，∴p <1；②存在m =34时，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)，理由如下：由①知，P (2p +1,p -1)，∵函数y 1、y 2的“组合函数”y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，∴p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，∴(p -1)(1-m -n )=0，∵p ≠1，∴1-m -n =0，有n =1-m ，∴y =m (x -p -2)+n (-x +3p )=m (x -p -2)+(1-m )(-x +3p )=(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，变形整理得：(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，∴当3-4m =0，即m =34时，12x -32=0，∴x =3，∴m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．14(2024•钟楼区校级模拟)在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．(1)下列图形中两个三角形不是“共边全等”是③；AB，点E、F分别在AC、BC边(2)如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD=13上，满足ΔBDF和ΔEDF为“共边全等”，求CF的长；(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12分别与直线y=x、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在ΔAOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与ΔPCB“共边全等”时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】(1)由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；(2)DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形(将图③的两条最长边重合形成)，分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到ΔADE为等边三角形，计算边长即可求得；(3)由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成ΔPCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．【解答】解：(1)①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，∴答案是③；(2)①如图1，当ΔBDF≅ΔEFD，且是共边全等时，∠BFD=∠EDF，∴DE⎳BC，∵ΔABC是等边三角形，∴ΔADE是等边三角形，AB=2，∵AD=13∴DE=AE=BF=2，∴CF=BC-BF=4，②如图2，当ΔBDF≅ΔEDF，且是共边全等时，BD=DE=6-AD=4，∠DEF=∠B=60°，EF=BF，∴∠AED+∠FEC=120°，又∠AED+∠EDA=120°，。
一次函数应用最值专题
利用一次函数求最值1.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克。
小强：如果以13元/千克的价格销售，每天可获取利润750元。
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系。
（1）求y （千克）与x （元）（x ＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W 元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×（销售单价－进价）】2.市阜城县西瓜产地组织20辆车装运完A 、B 、C 三种西瓜共120吨到外地销售，按计划，20辆汽车都装运，每辆汽车只能装运同（1） 设装运A 种西瓜的车辆数为x 辆，装运B 种西瓜的车辆数为y 辆，求y 与x 的函数关系式。
（2） 如果装运每种西瓜的车辆数都不少于三辆，车辆的安排方案有那几种，求出来。
（3） 要使此次利润最大，应采取哪套方案?并求出最大利润。
3. 种植草莓大户张华现有25吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查分受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必须在10日内售出．（１）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售25吨草莓所获纯利润y （元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x （吨）之间的函数关系式；（１） 怎样安排这25吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．一次函数方案设计问题1.某种子商店销售一种小麦种子，为促销，推出了两种销售方案供采购者选择。
方案一：小麦种子的价格为4元/千克，无论购买多少均不打折。
方案二：购买3kg 以内（含3kg ），价格为5元/千克；若一次性购买超过3kg ，则超过3kh 的部分价格打七折。
与一次函数有关的最值问题
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初中数学一次函数与二次函数最值问题专项
初中数学一次函数与二次函数最值问题专项2204442-,)04a ac b y b a x ac b a a a x <-=→=--∍>→=⎡⎢⎢⎣2一次函数的最值：局部定义区间：自变量的取值范围受到题意的限制，使自变量的取值范围缩小。
不连续函数最值：不连续函数的图像常表现为是一些孤立的点，自变量的取值范围是整数。
求最值，以题意确定自变量的值，从而得到最值。
最大值：即b 二次函数的最值：抛物线的顶点（2a 4ac-b 最小值：即y=4a 2b a-⎡⎢⎢⎢⎢⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎣⎣ 一次函数：例1 已知一次函数当自变量x 分别取3和4时，得函数值1和3 ，问当1≤x ≤5时，函数的最大之和最小值各是多少？分析：[从函数解析式的角度]：将两个点的坐标代入解析式，求一次函数的解析式。
[从自变量的取值范围角度]：由于自变量的取值受到限制，则函数值的取值范围受到限制。
因在自变量所涉及的范围内，求最值。
解：设一次函数的解析式为：)0(≠+=k b kx y有已知得：（3，1），（4，3）满足函数解析式。
⎩⎨⎧=+=+3413b k b k ⎩⎨⎧-==→52b k 所以：一次函数解析式为：52-=x y又因为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤≤≤≤5523,1022,51x x x所以最大值为5,最小值为-3例2：画出函数y=︱2x ︱+x-1的图像，利用图像回答：（1） x 取何值时，y 随x 的增大而减小？（2） 函数图像上最低点的坐标是多少？函数y 的最小值？分析：[从x 的取值范围角度]：写出函数的解析式[从增减性的角度]：根据图像，找到x 的取值范围，使y 随x 的增大而减小。
[从最值的角度]：根据图像，找最低点，则最低点的纵坐标所对的数值即为最小值。
二次函数：例3：炮弹从炮口射出后，飞行的高度h 米与飞行的时间t 秒之间的函数关系式20sin 5h v t t α=-,其中0v 是炮弹发射的初速度，α是炮弹的发射角。
中考数学：一次函数的性质与应用问题真题+模拟(原卷版北京专用)
中考数学一次函数的性质与应用问题【方法归纳】（1）一次函数与方程、不等式之间的关系：利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与x轴和y轴交点、不等式的解集、一次函数的平移、参数的确定等、（2）一次函数与几何图形的面积问题:首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（3）一次函数的优化问题:通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（4）用函数图象解决实际问题:从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．2.一次函数的应用（1）分段函数问题：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）函数的多变量问题：解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．（3）常见题型：行程问题、表格问题、图象问题、最大利润问题、方案问题常用的解题思路：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．(1)求该函数的解析式及点A的坐标；(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图x的图象向下平移1个单位长度得到．象由函数y=12（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2016·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(−6,0)的直线l1与直线l2:y= 2x相交于点B(m,4)．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值范围．2．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．3.（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=ax+b(a≠0)经过点A（1，2），与x轴交于点B（3，0）．(1)求该直线的解析式；(2)过动点P(0，n)且垂直于y轴的直线与直线l交于点C，若PC≥AB，直接写出n的取值范围．2．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到，且经过点（2，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．3．（2022·北京东城·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=k(k≠0)经过点xA(2,−1)，直线l：y=−2x+b经过点B(2,−2)．(1)求k,b的值；(2)过点P(n,0)(n>0)作垂直于x轴的直线，与双曲线y=k(k≠0)交于点C，与直线l交于点xD．①当n=2时，判断CD与CP的数量关系；②当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．4．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，且经过点(1,1)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．5．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移4个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A，函数y=mx(m<0)的图象与一次函数y= kx+b的图象的交点为B，记线段OA，AB，BO围成的区域（不含边界）为W，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若区域W内恰有2个整点，直接写出m的取值范围．6．（2022·北京密云·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,−3)和点B(5,2)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x≥2时，对于x的每一个值，函数y=mx+2(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b的图象与x轴交于点(4,0)，且与反比例函数y=m的图象在第四象限的交点为(n,−1)．x(1)求b，m的值；<y p<4，连接OP，结(2)点P(x p,y p)是一次函数y=−x+b图象上的一个动点，且满足mx p合函数图象，直接写出OP长的取值范围．8．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由x平移得到，且过点(0,−1)．函数y=12(1)求这个一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式；(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx+1的值大于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，求m的取值范围．9．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．10．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=x平行，且过点(2,1)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)直线y=kx+b(k≠0)分别交x，y轴于点A，点B，若点C为x轴上一点，且S△ABC=2，直接写出点C的坐标．11．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平x，且经过点A(2,2)．行于直线y=12(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=kx+b(k≠0)的值大于一次函数y=mx−1(m≠0)的值，直接写出m的取值范围．x+b与直线l2:y=2x 12．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:y=12交于点A(m,n)．(1)当m=2时，求n，b的值；(2)过动点P(t,0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别是C，D．当t≤1时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．13．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，Q(−2,2)，函．数y=mx(1)当函数y=m的图象经过点Q时，求m的值并画出直线y=－x－m．x(2)若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组{y>mxy<−x−m（m<0），求m的取值范围．14．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，1）．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．15．（2022·北京·东直门中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)，B(3,m)．(1)如果点A，B均在反比例函数y1=kx的图象上，求m的值；(2)如果点A，B均在一次函数y2=ax+b的图象上，①当m=2时，求该一次函数的表达式；②当x≥3时，如果不等式mx−1>ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．16．（2022·北京一七一中一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=kx(k≠0)的两个交点分别为A(−3,−1)，B(1,m).(1)求k和m的值；(2)求直线l的解析式；(3)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=k(k≠0)于点Q.当点Q位x于点P的左侧时，求点P的纵坐标n的取值范围.17．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0) x的图象向上平移3个单位长度得到．的图象由函数y=12(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．18．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．19．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是a的整数倍，那么点M就是点P的k倍关联点．(1)当点P1的坐标为(−1.5,0)时，①如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是；②如果点M(x，y)是点P1的k倍关联点，且满足x=−1.5，−3≤y≤5．那么k的最大值为________；(2)如果点P2的坐标为(1,0)，且在函数y=−x+b的图象上存在P2的2倍关联点，求b的取值范围．20．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:y≡kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1,b=1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；(2)点M的坐标为(1,0)，①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于4√5，求k的取值5范围；②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．21．（2022·北京房山·一模）如图1，一次函数y=kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y 轴交于点B，且经过点C（2，m）．(1)当m=9时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；2(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k（k≠0）的值，求k 的取值范围．22．（2022·北京房山·一模）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4，求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√3为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是6√6，直接写出直线l的函数解析式．23．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|；若|x1−x2|<|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1−y2|．(1)已知点A(−1,0)，B为y轴上的一个动点，2①若点A与点B的“非常距离”为4，直接写出点B的坐标：；②求点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)已知C是直线y=1x+2上的一个动点，2①若点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②若点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．24．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）已知一次函数y1=2x+m的图象与反比例函数y2=k(k>0)的x图象交于A，B两点．(1)当点A的坐标为(2,1)时．①求m，k的值；②当x>2时，y1______y2（填“>”“=”或“<”）．(2)将一次函数y1=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值26．（2022·北京西城·xOy中，直线l1:y=kx+b与坐标轴分别交于A(2,0)，B(0,4)两点．将直线l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线l2:y=m(x−4)(m≠0)分别交于点C，D．(1)求k，b的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．①当m=1时，区域W内有______个整点；②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．27．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．28．（2022·北京十一学校一分校一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y=k的图象与直线yx＝mx交于点A（2，2）．(1)求k，m的值；(2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交（x＞0）的图象于点N．函数y=kx①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．29．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x1+x2=y1+y2时，称点Q是点P的等和点．已知点P(2,0)．(1)在Q1(0,2)，Q2(−2,−1)，Q3(1,3)中，点P的等和点有______；(2)点A在直线y=−x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；(3)已知点B(b,0)和线段MN，对于所有满足BC=1的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．30．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝ax（a≠0）过点A（﹣2，1），直线l2：y＝mx+n过点B（﹣1，3）．(1)求直线l的解析式；(2)用含m的代数式表示n；(3)当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝ax的值小于函数y＝mx+n的值，求m的取值范围．。
一次函数的最值问题
一次函数的最值问题★最值型函数应用题在一次函数应用题中, 求最值应用题综合性较强，难度较大。
此类题要注意将复杂问题转化为几个简单问题，步步深入，由易到难地寻求解答，建立正确的函数解析式，并注意自变量的的范围，这是解题的关键。
1、某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（1）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；（2）如何配制这两种饮料，使成本最低？最低成本是多少？2、种植草莓大户张华现有22吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，经过调查分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所获纯利润见下表：草莓必须在10日内售出．（１）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售22吨草莓所获纯利润y（元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x（吨）之间的函数关系式；(2)怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．3、为实现沈阳市森林城市建设的目标，在今年春季的绿化工作中，绿化办计划为某住宅小区购买并种植400株树苗。
某树苗公司提供如下信息：信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等。
信息二：如下表设购买杨树、柳树分别为x株、y株。
（1）写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）：（2）当每株柳树的批发价P等于3元时，要使这400株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数不低于90，应该怎样安排这三种树苗的购买数量，才能使购买树苗的总费用最低？最低的总费用是多少元？（3）当每株柳树批发价P（元）与购买数量y（株）之间存在关系P＝3－0.005y时，求购买树苗的总费用w（元）与购买杨树数量x（株）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。
新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版(精品课件)专题7函数最值的应用
例2、如图一边靠学校院墙，其 他三边用40 m的预制篱笆围成 一个矩形花圃，由于实际需要 矩形的宽x只能在4 m和7 m之 间变化，设花圃面积为y。求y 与x之间的函数关系
式和y的最值 。
【分析】利用矩形的面积等于长乘以宽，列出二次函数关 系式，再利用取值范围及二次函数的性质即可求得.
解：由题意y=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200 (4≤x≤7) 从这个函数图象可以看出：由于x的取值范围的限 制，它仅仅是抛物线的一段，且不包括顶点，它 既有最大值，也有最小值，并且该段抛物线是y随 x的增大而增大的将x=4，x=7代入解析式得 128≤y≤182 ∴y与x之间的解析式为： y=-2x2+40x(4≤x≤7)， y的最大值为182，最小值为128.
例4、已知某服装厂现有A种布料70米，B 种布料52米，现计划用这两种布料生产M、 N两种型号的时装共80套. 做一套M型号的时装需用A种布料0.6米，B 种布料0.9米，可获利润45元； 做一套N型号的时装需用A种布料1.1米， B种布料0.4米，可获利50元， 若设生产N型号的时装套数为x，用这批布 料生产两型号的时装所获的总利润为y元 (1)求y(元)与x(套)的函数关系式，并求出自 变量x的取值范围；
函数最值的应用
1、能结合原题目中的已知条件揭示几 何图形的性质并能够借助这些性质来建 立几何图形中元素之间的函数关系式.
2、能运用数形结合的思想， 深刻理解函数性质和几何图形 的元素之间的关系，并能通过 函数的最值来探求几何图形中 某些元素的最值.
3.列函数的解析式解决实际 生活中常见的应用性问题.
例3、某商店以每件42元的价格购进一种 服装，根据试销得知，这种服装每天的销 售量t(件)与每件的销售价x(元)可看成一次 函数关系：t=-3x+204 (1)写出商店卖这种服装每天的销售利润y 与每件销售价x之间的函数关系式.(每天销 售利润指所卖服装的销售价与购进价的差)
一次函数经典试题及答案
—次函数经典试题及答案10.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程$看作时间，的函数，其图像可能是（）S【关键词】函数的意义【答案】A1、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线0-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间I（分钟）之间的函数关系，清根据图象回答下列问题：s（千米）,D小明第1题（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为分钟，小聪返回学校的速度为千米/分钟。
（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间I（分钟）之间的函数关系；（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？【关键词】函数与实际问题4【答案】解：（1）15,—15（2）由图像可知，s是，的正比例函数设所求函数的解析式为s=kt（kxO）代入（45,4）得：4=45k4解得：k=—454.・.s与，的函数关系式s=—t（0</<45）45（3）由图像可知，小聪在30<r<45的时段内s是f的一次函数，设函数解析式为s=〃”+〃（777=0）代入（30,4）,（45,0）f30w+rt =4[45〃?+〃=04m=——解得：15n=124.・.s=——f+12（30</<45）15令-£_‘+12=£f,解得t=—15454业135n.仁4135.当/=---时，S=——x---=34454答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米。
Ja+25.要使式子a有意义，a的取值范围是（）A. B.a>-2且a^Q C.a>-2或aHO D.珍一2且奸0【关键词】函数自变量的取值范围【答案】D11.函数y=-~的自变量x的取值范围是―A.x【关键词】自变量的取值范围【答案】E05.如图2,火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是【关键词】函数图像【答案】A20.A,3两城相距600千米，甲、乙两车同时从/城出发驶向3城，甲车到达3城后立即返回.如图是它们离/I城的距离*（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象.（1）求甲车行驶过程中*与X之间的函数解析式，并写出向变量X的取值范围:（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度.【关键词】一次函数、分类思想【答案】（1）①当0时，*=100x：②当6VxW14时,^y=kx+b,•・,图象过(6,600),(14,0)两点,6k+h=600,l4k+b=0.解得港.Ay=-75.r+1050.••y100x(0Wx<6)/c、、tz,',(2)当x=7时，y=-75x7+1050=525, -75x+1050(6<x<14).'525萼=75（千米/小时）.21、某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元.相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%.（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%,且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？【关键词】一元一次方程（组）、一元一次不等式（组）、一次函数型的最值问题【答案】解：（1）设购买甲种鱼苗x尾，则购买乙种鱼苗（6000-x）尾，山题意得:0.5a-+0.8(6000-.r)=3600（1分）解这个方程，得：x=4000/.6000-jr=2000答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾..............（2分）（2）由题意得:0.5^+0.8（6000-x）<4200.....................（3分）解这个不等式，得：X22000即购买甲种鱼苗应不少于2000尾........................（4分）（3）设购买鱼苗的总费用为y,则y=0.5x+0.8（6000-x）=-O.3x+4800（5分）an qi山题意，有—x+—（6000-x）>—X6000...............（6分）100100100解得：x<2400.......................................（7分）在,=-0.3x+4800中V-0.3<0,:.y随x的增大而减少..•当x=2400时，jx小=4080.即购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低......（9分）5.下列函数中，*随刀增大而增大的是（A.y=——B.y=-x+5C.y=^xD.y=—x2(x<0)x22【答案】C【关键词】一次函数、反比例函数、二次函数的增减性26.保护生态环境，建设绿色社会巳经从理念变为人们的行动.某化工厂2009年1月的利润为200万元.设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元.山于排污超标，该厂决定从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降，从1月到5月，*与刀成反比例.到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）.⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后*与x之间对应的函数关系式.⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？【答案】（1XD当l<x<5时，设y=把（1,200）代入，得左=200,即X顶=炎2：②当工=5时，y=40,所以当x>5时，j?=40+20(x-5)=2O.r—60:⑵当尸200时，20k60=200,x=13.所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元：⑶对于y=---,当尸100时，*=2：对于5=20/60,当尸100时，x=8,所以资x金紧张的时间为8-2=6个月.【关键词】反比例函数、一次函数的性质及应用1.一辆汽车和一辆摩托车分别从4方两地去同一城市，它们离/地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是()A.摩托车比汽车晚到1hB.4占两地的路程为20kmC.摩托车的速度为45km/hD.汽车的速度为60km/h【答案】C3.已知(1)若x-2y=6,则V的最小值是;(2).若x2+y2 =3,xy=\,则x-y=.【关键词】函数的值域、完全平方式【答案】(1)一3：(2)-1.710.如图.四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B,D(F),H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F-H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x,正方形ABCD与正方形EFGH7.下列四个函数图象中，当x>0时，*随》的增大而增大的是()答案：C23.小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55.为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步.(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？（2）下午4：00,小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的顷路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后,赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留.问:①小刚到家的时间是下午几时？②小刚回家过程中，离家的路程s（米）与时间"分）之间的函数关系如图,请写出点3的坐标，并求出线段⑦所在直线的函数解析式.（1）小刚铝分钟走12004-10=120（步），每步走1004-150=|（米）,所以小刚上学的步行速度是120X|=80（米/分）.2分小刚家和少年宫之间的路程是80X10=800（米）.1分少年宫和学校之间的路程是80X（25-10）=1200（米）.1分/c\61200-300小800+300«八七击\(2)①--------+30+--------=60(分钟)，45110所以小刚到家的时间是下午5：00.2分②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时竺=20分，此时小刚离家1100米，所以点8的坐标是45(20,1100).2分线段⑦表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s（米）与行走时间”分）之间的函数关系，山路程与时间的关系得$=1100-110（—50）,即线段6P所在直线的函数解析式是5=6600-110/.2分（线段⑦所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得:9点C的坐标是（50,1100），点〃的坐标是（60,0）设线段⑦所在直线的函数解析式是s=H+b,将点G〃的坐标代入，得（50k+h=\l00y朝应住=一】】0,[60k+h=0.（A=6600.所以线段⑦所在直线的函数解析式是5=-110/+6600）417.—次函数y=-x^A分别交x轴、y轴于力、8两点,在x轴上取一点，使△枷为等腰三角形，则这样的的点。
一次函数中的最值问题
学校北师大三附中教师习富云时间课题一次函数中的最值问题教学目标知识与技能由实际问题中的最值问题建立数学模型引入，然后利用图形变换和一次函数在直角坐标系中确定最值点，巩固一次函数的知识并进一步体会数形结合思想.过程与方法体会图形变换在解决问题中的转化作用，利用一次函数的解析式求直线的交点，增强数学的应用意识.情感价值观在解决问题的过程中，帮助学生认识数学，体验探索的快乐与成功的喜悦.教学重点图形变换和一次函数的应用.教学难点如何通过图形变换进行转化，确定对称点坐标然后求解析式进而求得最值点教学过程活动内容师生活动设计意图一、问题探究1.提出问题问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?2.实际问题数学化如图,已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P，使P A+PB最小.提问：1）.线段和的最小值的理论依据是什么2）.如何将两条线段的和转化到一条线段上3.几何问题代数化学生独立思考,教师巡视.观察学生是否作数学化,同时对转化正确的同学给予肯定,并指出实际问题转化为数学问题是解决实际问题的第一步...学生会回答：利用两点之间线段最短;利用图形变换实现问题的转化选用“西气东输”作为背景，引导学生了解数学来源于生活.让学生明确用数学方法解决实际问题，BAlBB C B'二、拓展问题2 如图，已知点A （4，3）。
若点C 是直线y=-x+4上一点，B 是直线x=5上一点，当△ABC 的周长最小时，求C 、B 两点的坐标.分析：先找点A 关于两条直线的对称点1A （1，0）、2A （6，3）,连接 1A 2A 分别较两条直线于B 、C从而将△ABC 的周长转化为线段1A 2A 的长设1A 2A 所在直线的解析式为y=kx+b ，将1A （1，0）、2A （6，3）两点坐标代入⎩⎨⎧=+=+360b k b k 求得，k=53，b=-53∴'AB 所在直线的解析式为y=53x-53∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=53534x y x y∴点C 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛89,823，B 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,5。
一次函数的最大值和最小值
P , Q 是小矩形纸片上的任意
min f ( x ) 分别表示 f ( x ) 在 [α,β] 上的最大值和最
小值 , 那么根据上面的讨论 , 我们可以得到以下结 论. ①若 a ≠ 0 ,则
α≤x ≤ β α≤x ≤ β
) , f (β )) , max f ( x) = max ( f (α ) , f (β )) , min f ( x) = min ( f (α
x n) ) .
我们考察由 ( 2 ) 中的不等 式所限定的区域 . 由 ( 2 ) 中前二 个不等式可以看出 , 满足 ( 2 ) 的 点 ( x , y ) 必须在直线 5 x + 2 y
= 2000 的 下 方 , 在 直 线 y = 1 . 5 x 的下方 , 在直线 y = x 的
同理 S ( 1 , x 2 , …, x n ) ≥ min ( S ( 1 , 1 , x 3 , …, x n ) , S
哪些点 , 三 角 形 PQ R 之 面 积 都 不 会 超 过 四 边 形
DD′ B′ C′ 的面积 . 而 S DD′ B′ C′= S △D′ B′ C′+ S △D′ C′ D
证 建立 x Oy 坐标系 , 使 B C 在 x 轴上 , B 即 O ( 0 , 0) , 线段 EF 在上半平面 ( 如图 1) , 又设 C ( l , 0) , E ( x 1 , y 1 ) , F ( x 2 , y 2 ) , 那么当 A 点在 EF 上变动 时 , △A B C 的高 h 等于 A 点的 y 坐标 . 因此 ,
1 1 λ μ ). ab (λ+ μ - λ ab < 2 2 当 P = A , Q = D′ 时,
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专题：一次函数中的最值问题
问题1 如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A ，B 两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?
问题2 如图，已知点A （4，3），点B （0，1）。
若点C 是x 轴上一动点，当BC AC +的值最小时，求C 点坐标.
问题3 如图，已知点A （4，3），点B （0，-1）。
若点C 是x 轴上一动点，
当BC AC -的值最大时，求C 点坐标.
问题4 如图，已知点A （4，3）。
若点C 是直线y=-x+4上一点，B 是直线x=5上一点，当△ABC 的周长最小时，求C 、B 两点的坐标.
C B'
问题5 如图，已知点A （4，3）,B （1，2）。
若点C 是y 轴上点，D 是x 轴上一点，当四边形ABCD 的周长最小时，求C 、D 两点的坐标.
问题6 如图，已知点A （4，3）,B （1，2）。
若点C 、D 是x 轴上两点，且CD=1当使四边形ABCD 的周长最小时，求C 、D 两点的坐标.
问题7 如图，已知点A （4，3）,B （-1，-2）。
若点C 是直线y=2上一点，D 是x 轴上一点，C D ⊥x 轴，当四边形AC+CD+BD 最小时，求C 、D 两点的坐标.
B。