初中数学一次函数的最值问题

初中数学一次函数的最值问题
一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。

但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。

一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。

图1
2、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当
时，；当时，。

图2
3、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当
时，；当，。

图3
4、如果，那么既没有最大值也没有最小值。

凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。

下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考：
某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：
方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；
方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。

（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？
（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？
（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。

解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。

①当时，
∴当x=40时，y的最小值为4400。

②当时，
，
此时y的值大于4400。

因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。

（2）设取奶站建在距A楼xm处。

①当时，
，
解得（舍去）。

②当时，
解得x=80，
因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。

（3）设A楼取奶人数增加a（）人，
①当时，
，
解得（舍去）。

②当时，
，
解得，当a增大时，x增大。

∴当A楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B、C两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远。