三角形的证明_练习题
七年级下册数学全等三角形证明题
七年级下册数学全等三角形证明题
1. 给定三角形ABC，其中∠BAC=90度，AD是BC上的中线。
证明：△ABD≌△ACD。
证明：
因为∠BAD=∠CAD，而又AD=AD（公共边），所以△ABD≌△ACD （SAS）。
2. 给定四边形ABCD，其中AB=BC，CD=DA，BD是AC的中线。
证明：△ABD≌△CBD，△BCD≌△DAB。
证明：
因为BD是AC的中线，所以BD=1/2AC。
又因为AB=BC，CD=DA，所以△ABD≌△CBD（SAS），△BCD≌△DAB（SAS）。
3. 给定三角形ABC和点D，使得∠BAD=∠ACD。
证明：
△ABD≌△ACD。
证明：
因为∠BAD=∠ACD，而又共有一边AD，所以△ABD≌△ACD（AAS）。
4. 给定三角形ABC和点D，使得AC=CD，∠ACB=∠ADB。
证明：△ACB≌△ADB。
证明：
由AC=CD可知∠ADC=∠ACD。
所以
∠ADB=∠ACB+∠ACD=∠ADB+∠ADC，即∠ADC=0。
因此，D与B重合，且AB=AB，AC=AD，所以△ACB≌△ADB（SSS）。
5. 给定三角形ABC和点D，使得AB=BD，CD是BC的中线。
证明：△ABD≌△ACD。
证明：
因为CD是BC的中线，所以CD=1/2BC。
又因为AB=BD，所以
∠ABD=∠ADB。
因此，△ABD≌△ACD（SAS）。
(完整版)三角形的证明测试题(最新版含答案)
第一章三角形的证明检测题（本试卷满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD 的长为（）A.157B.125C.207D.2153. 如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且，则△A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°4.（2015•湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10B.8C.10D.6或125.如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④△≌△．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6. 在△ABC中，△A△△B△△C=1△2△3，最短边cm，则最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（）A. B.C. D.三个答案都是8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ） A.5 B.2C.45D.110.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，如果cm ，那么△的周长是（ ）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图所示，在等腰△ABC 中，AB =AC , ∠BAC =50°, ∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点 C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是 .12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是________三角形.13.（2015•四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝________°. 14.如图，在△ABC 中，，AM 平分△，cm ，则点M 到AB 的距离是_________.15.如图，在等边△ABC 中，F 是AB 的中点， FE △AC 于E ，若△ABC 的边长为10，则_________，_________.16.(2015•江苏连云港中考)在△ABC 中，AB ＝4,AC ＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是 . 17.如图，已知的垂直平分线交于点，则.18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上,BC 与DE 交于点M ,如果∠ADF =100°,那么∠BMD 为 度.三、解答题（共46分）19.（6分）如图，在△ABC中，，是上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分线于点D，求证：.20.（6分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若P A＝PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数.探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探P A 的长.21.（6分）如图所示，在四边形中，平分∠.求证：.22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若2，求BE的长.23.（6分）如图所示，在Rt△ABC中，，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．24.（8分）（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.第24题图25.（8分）已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：△是等腰三角形．第一章三角形的证明检测题参考答案1.B 解析：只有②②正确.2.A 解析：②②BAC =90°，AB =3，AC =4，②5BC ===， ② BC 边上的高=123455⨯÷=. ② AD 平分②BAC ，②点D 到AB ，AC 的距离相等，设为h ， 则111123452225ABC S h h ∆=⨯+⨯=⨯⨯，解得127h =，1121123 2725ABD S BD ∆=⨯⨯=⨯，解得157BD =．故选A ． 3.B 解析：因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以所以4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.5.C 解析：因为，所以②②②（），所以，所以 ，即故②正确.又因为 ，所以②②②（ASA ）， 所以 ，故②正确. 由②②②，知，又因为，所以②②②，故②正确.由于条件不足，无法证得②故正确的结论有：②②②.6.D 解析：因为②A ②②B ②②C =1②2②3， 所以②ABC 为直角三角形，且②C 为直角. 又因为最短边cm ，则最长边cm.7.D 解析：添加A 选项中条件可用“AAS”判定两个三角形全等； 添加B 选项中条件可用“SAS”判定两个三角形全等； 添加C 选项中条件可用“HL”判定两个三角形全等.故选D ． 8.D 解析：在②ABC 中，② ②A =36°，AB =AC ， ② ②ABC 是等腰三角形，②ABC =②C =72°. ② BD 平分②ABC ，② ②ABD =②CBD =36°， ② ②A =②ABD ，②CDB =②A +②ABD ＝36°+36°=72°， ② ②C ＝②CDB ，② ②ABD ，②CBD 都是等腰三角形. ② BC =BD .② BE =BC ，② BD =BE ， ② ②EBD 是等腰三角形， ② ②BED ＝=＝72°.在②AED 中，② ②A =36°，②BED ＝②A +②ADE ，② ②ADE ＝②BED -②A ＝72°-36°＝36°，② ②ADE =②A =36°，② ②AED 是等腰三角形. ② 图中共有5个等腰三角形.9.B 解析：设此直角三角形为②ABC ，其中因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以又因为直角三角形的周长是624+，所以62=+b a . 两边平方，得24)(2=+b a ，即24222=++ab b a . 由勾股定理知16222==+c b a ， 所以4=ab ，所以221=ab . 10.D 解析：因为垂直平分，所以.所以②的周长（cm ）.11.100° 解析:如图所示，由AB =AC ，AO 平分∠BAC ，得AO 所在直线是线段BC 的垂直平分线，连接OB ，则OB=OA=OC ， 所以②OAB =②OBA =×50°=25°，得②BOA=②COA=1802525130,︒-︒-︒=︒②BOC=360°-②BOA -②COA =100°. 所以②OBC=②OCB=1801002︒-︒=40°.由于EO=EC ，故②OEC =180°-2×40°=100°.12.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.13.15 解析：在Rt②AED 中，②ADE ＝40°，所以②A ＝50°. 因为AB ＝AC ，所以②ABC ＝（180°－50°）÷2＝65°. 因为DE 垂直平分AB ，所以DA ＝DB ， 所以②DBE ＝②A ＝50°. 所以②DBC ＝65°－50°＝15°.14.20 cm 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案. 15.251②3 解析：因为，F 是AB 的中点，所以.在Rt②中，因为，所以.又，所.16.4②3 解析：如图所示，过点D 作DM ②AB ，DN ②AC ， 垂足分别为点M 和点N . ② AD 平分②BAC ，② DM ＝DN . ②AB ×DM ，AC ×DN ，② . 第16题答图17.60︒ 解析:② ②BAC=120︒，AB=AC ， ② ②B=②C=180********.22BAC ︒-∠︒-︒==︒② AC 的垂直平分线交BC 于点D ，② AD=CD . ② 30,C DAC ∠=∠=︒② 303060.ADB C DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒18. 85 解析:② ②BDM =180°-②ADF -②FDE =180°-100°-30°=50°，② ②BMD=180°-②BDM-②B =180°-50°-45°=85°.19.证明：②，② ②，② .又② 为②的平分线，② ，② ，② .20. 解：应用：若PB＝PC，连接PB，则②PCB＝②PBC.② CD为等边三角形的高，② AD＝BD，②PCB＝30°，② ②PBD＝②PBC＝30°，②②②与已知PD＝AB矛盾，② PB≠PC.若P A＝PC，连接P A，同理，可得P A≠PC.若P A＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，② ②BPD＝45°，②②APB＝90°.探究：若PB＝PC，设P A＝x，则x2+32=(4-x)2，② x ＝，即P A＝.若P A＝PC，则P A＝2.若P A＝PB，由图（2）知，在Rt②P AB中，这种情况不可能.故P A＝2或.21.证明：如图，过点D作DE②AB交BA的延长线于点E，过点D作于点F.因为BD平分②ABC，所以.在Rt②EAD和Rt②FCD中，所以Rt②EAD②Rt②FCD（HL）.所以②=②.因为②②80°，所以②.22.解：因为②ABD和②CDE都是等边三角形，所以，②②60°.所以②②②②，即②②.在②和②中，因为所以②②②，所以.又，所以.在等腰直角②中，2，故.23.解：，BE②EC.证明：② ，点D是AC的中点，② .② ②②45°，② ②②135°.② ，② ②EAB②②EDC.② ②②.② ②②90°.② ②.24.证明：② AE②BD，② ②EAC＝②ACB.② AB＝AC，② ②B＝②ACB.② ②EAC＝②B.又② ②BAD＝②ACE＝90°，② ②ABD②②CAE（ASA）.② AD＝CE.25.证明：② ，② ②②．②于点，② ②②．② ②②②②．② ②②．② ②②，② ②②．② ②是等腰三角形.。
全等三角形证明经典100题
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACADBCBA CDF2 1 E5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12CD ABADB CCDBA9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠210. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEBA CDF2 1 ECDB A12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CDCBAFEAB CD15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBAP DACBFAEDCB20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．P EDCB A D CBA（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
全等三角形证明经典40题(含答案)
1.已知：AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 的长.解：延伸AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22.已知：BC=ED,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是CD 中点,求证：∠1=∠2证实：衔接BF 和EFADBC∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 衔接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF. ∵∠ABC=∠AED. ∴∠ABE=∠AEB. ∴ AB=AE.在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF和三角形AEF全等.∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).3.已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延伸线于点G CG∥EF,可得,∠EFD＝CGD DE ＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）BA CDF2 1 E∴△EFD≌△CGDEF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又,EF∥AB ∴,∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形, AC＝CG 又EF＝CG ∴EF＝AC4.已知：AD等分∠BAC,AC=AB+BD,求证：∠B=2∠CA证实：延伸AB取点E,使AE＝AC,衔接DE∵AD等分∠BAC∴∠EAD＝∠C AD∵AE＝AC,AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5.已知：AC等分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE证实：在AE上取F,使EF＝EB,衔接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF,CE＝CE,∴△CEB≌△CEF(SAS)∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC等分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE.CE分离等分∠ABC.∠BCD,且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.在BC上截取BF=AB,衔接EF∵BE等分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE , CE等分∠BCD ,CE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD7.已知：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C证实：设线段AB,CD地点的直线交于E,则：△AED是等腰三角形.∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.8.P是∠BAC等分线AD上一点,AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB在AC上取点E, 使AE＝AB. ∵A E＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE,∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB. PC＜EC＋PE ∴PC＜（AC－AE）＋PB ∴PC－PB＜AC－AB.9.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证：AC-AB=2BE证实：延伸BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE∴AC –AB =FC,FB=2BE∵∠ABC=3∠C∴∠ABE+∠FBC=3∠C∴∠AFB+∠FBC=3∠C∵∠AFB=∠C+∠FBC∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C∴∠FBC=2∠C即∠FBC=∠C∴FB=FC∴AC-AB=FB=2BE10．如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证：AD⊥BC．解：延伸AD至BC于点E, ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC在△ABD和△ACD中｛AB=AC ∠1=∠2BD=DC∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC11．如图,OM等分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A.B为垂足,AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA证实：∵OM等分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB12.如图,已知AD∥BC,∠PAB的等分线与∠CBA的等分线订交于E,CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．做BE的延伸线,与AP订交于F点,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角等分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角等分线∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC13.如图,△ABC中,AD是∠CAB的等分线,且AB=AC+CD,求证：∠C=2∠B延伸AC到 E 使AE=AC 衔接 ED∵ AB=AC+CD∴ CD=CE 可得∠B=∠E△CDE为等腰∠ACB=2∠B14．已知：如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,（1）求证：△AED≌△EBC．（2）不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出成果,不请求证实）：证实：∵DC∥AB∴∠CDE＝∠AED∵DE＝DE,DC＝AE∴△AED≌△EDC∵E为AB中点∴AE＝BE∴BE＝DC∵DC∥AB∴∠DCE＝∠BEC∵CE＝CE∴△EBC≌△EDC∴△AED≌△EBC15.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的等分线,BD 的延伸线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延伸线于F．求证：BD=2CE．证实：∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE四点共元∵∠ABE=∠CBE∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G,衔接AG,则：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE16.如图：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证：△AED≌△BFC.证实：∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在△AED和△BFC中,∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）17.如图：AE.BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF.求证：AM是△ABC的中线.证实：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴AM是△ABC的中线.18.如图：在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点.求证：BD⊥AC.∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC19.AB=AC,DB=DC,F是AD的延伸线上的一点.求证：BF=CF在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC20.如图：AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证：AF=DE.AE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DC BF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,个中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE＝CF,M在BC的中点,试解释三只石凳E,F,M正好在一条直线上.证实：衔接EF ∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS）22．已知：点 A.F.E.C 在统一条直线上, AF ＝CE,BE∥DF,BE＝DF ．求证：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行,内错角相等）∵BE=DF∴：△ABE≌△CDF（SAS ）23.已知：如图所示,AB ＝AD,BC ＝DC,E.F 分离是DC.BC 的中点,求证： AE ＝AF.衔接BD;∵AB=ADBC=D∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;∵BC=DCE \F 是中点∴DE=BF; ∵AB=ADDE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF.24．如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．证实：在△ADC,△ABC 中∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边） ∵AB=AD,BC=CD 在△DEC 与△BEC 中∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD ∴△DEC≌△BEC（双方夹一角） ∴∠DEC=∠BEC25．已知AB∥DE,BC∥EF,D,C 在AF 上,且AD ＝CF,求证：△ABC≌△DEF． ∵AD=DF ∴AC =DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF∴∠F=∠BCA∴△ABC≌△DEF（ASA ）26．已知：如图,AB=AC,BD AC,CE AB,垂足分离为D.E,BD.CE 订交于点F,求证：BE=CD ．证实：ACDEF∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS) ∴BE=CD27.如图,在△AB C中,AD为∠BAC的等分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证：DE=DF．证实：∵AD是∠BAC的等分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED与∠AFD=90°在△AED与△AFD中∠EAD=∠FAD AD=AD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD（AAS ） ∴AE=AF在△AEO 与△AFO 中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF∴△AEO≌△AFO （SAS ）∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF28.已知：如图, AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC=AE ．若AB=5 ,求AD 的长？∵AD⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵AC⊥BC 于C,DE⊥AC 于 E 依据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAED CBAE∵BC=AE,△ABC≌△DAE（ASA）∴AD=AB=529．如图：AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分离为 E.F,ME=MF.求证：MB=MC证实：∵AB=AC∴∠B=∠C∵ME⊥AB,MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF∴△BME≌△CMF（AAS）∴MB=MC．30．在△ABC中,,,直线经由点,且于,于.(1)当直线绕点扭转到图1的地位时,求证：①≌;②;(2)当直线绕点扭转到图2的地位时,（1）中的结论还成立吗？若成立,请给出证实;若不成立,解释来由.（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB． ②∵△ADC≌△CEB, ∴CE=AD,CD=BE． ∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠CBE． 又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE． ∴CE=AD,CD=BE． ∴DE=CE﹣CD=AD ﹣BE31．如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证：（1）EC=BF;（2）EC⊥BF（1）∵AE⊥AB,AF⊥AC, ∴∠BAE=∠CAF=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC, 即∠EAC=∠BAF,AE BM CF在△ABF和△AEC中,∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,∴△ABF≌△AEC（SAS）,∴EC=BF;（2）如图,依据（1）,△ABF≌△AEC,∴∠AEC=∠ABF,∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°,∴∠AEC+∠ADE=90°,∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）,∴∠ABF+∠BDM=90°,在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,∴EC⊥BF．32．如图：BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证：（1）AM=AN;（2）AM⊥AN.证实：（1）∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN33．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF在△ABF和△CDE中,AB=DE∠A=∠DAF=CD∴△ABF≡△CDE（边角边）∴FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF∴四边形BCEF是平行四边形∴BC‖EF34．如图,已知AC∥BD,EA.EB分离等分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？请解释来由在AB上取点N ,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN∴AE为公共, ∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE为公共边∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD35.如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．证实：∵AD是△ABC的中线BD=CD ∵DF=DE（已知）∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF（内错角相等,两直线平行）.36.已知：如图,AB＝CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,．求证：．证实：∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠CED=∠AFB=90º又∵AB=CD,BF=DE∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL ）∴AF=CE∠BAF=∠DCE∴AB//CD37.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AB=CD ∵,∠3=∠4∴OB=OC在△AOB 和△DOC 中∠1=∠2OB=OC∠AOB=∠DOC△AOB≌△DOC∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB在△ACB 和△DBC 中AC=DB A D ECBF,∠3=∠4BC=CB△ACB≌△DBC∴AB=CD38.如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC ＝BE,AE ＝BD,试猜测线段CE 与DE 的大小与地位关系,并证实你的结论.CE>DE.当∠AEB 越小,则DE 越小.证实：过D 作AE 平行线与AC 交于F,衔接FB由已知前提知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形.RT△BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT△AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF <45°∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CE AF=DE∴CE>DE 39.(10分)如图,已知AB ＝DC,AC ＝DB,BE ＝CE,求证：AE ＝DE. ∵AB=DC,AC=DB,BC=BC∴△ABC≌△DCB,A CE D B A B E CD∴∠ABC=∠DCB又∵BE=CE,AB=DC∴△ABE≌△DCE∴AE=DE40．如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC＝∠BDE．作CG ⊥AB,交AD 于H, 则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB∴△CFD≌△BED∴∠ADC=∠BDE AB CD E F图9。
三角形全等的判定证明题-(含答案)
三角形全等的判定一、(SSS)1．如图，AD=AC ，BD=BC ，QA 求证：△ABC≌△ABD .证明：在△ABC 和ABD 中，⎩⎨⎧ AD ＝ACBD ＝BCAB ＝AB ，∴△ABC≌△ABD（SSS ）2．如图，AB=AD ，CB=CD ，求证：△ABC≌△AD C ．证明：∵在△ABC 和△ADC 中⎩⎨⎧ AB ＝ADBC ＝CDAC ＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS ）．3．如图，A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC=EF ，AD=BE ，BC=DF ，求证：∠C=∠F．证明：∵AD=BE∴AD+DB=BE+DB，即：AB=DE ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧ AC ＝EFAB ＝DEBC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF（SSS ），∴∠C=∠F．4．如图,已知线段AB 、CD 相交于点O,AD 、CB 的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.解:连结OE 在△EAC 和△EBC 中OA OC EA EC OE OE ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝（已知）（已知）（公共边）∴△EAC ≌△EBC （SSS ）∴∠A ＝∠C （全等三角形的对应角相等）二、（SAS ）5．已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC ．求证：∠ACE =∠DBF ．证明：∵AB =DC∴AC =DB∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD∴∠A =∠D =90°在△EAC 与△FDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DBAC D A FDEA∴△EAC ≌△FDB （SAS ）∴∠ACE =∠DBF ．6．如图CE=CB ，CD=CA ，∠DCA=∠ECB ，求证：DE=AB ．证明：∵∠DCA=∠ECB ，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE ，∴∠DCE=∠ACB ，∵在△DCE 和△ACB 中，∴△DCE ≌△ACB （SAS ）∴DE=AB ．7． 已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC ．求证：∠ACE =∠DBF ．证明：∵AB =DC∴AC =DB∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD∴∠A =∠D =90°在△EAC 与△FDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DBAC D A FDEA∴△EAC ≌△FDB （SAS ）∴∠ACE =∠DBF ．8． 如图CE=CB ，CD=CA ，∠DCA=∠ECB ，求证：DE=AB ．证明：∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB，∵在△DCE和△ACB中，∴△DCE≌△ACB（SAS）∴DE=AB．三、（ASA）(AAS)9.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AC＝DF.证明：∵FB＝CE，∴BC＝EF.∵AB∥ED，∴∠B＝∠E∵AC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE.在△ABC和△DEF中{∠B＝∠EBC＝EF∠ACB＝∠DFE∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AC＝DF.10. 如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A，B，C，D在同一直线上，AE∥DF，AB=CD，求证：CE=BF。
完整版)全等三角形基础练习证明题
完整版)全等三角形基础练习证明题1.已知三角形ABC中，AD为中线，BE⊥AD，CF⊥AD，证明BE=CF。
2.已知四边形ACBD中，AC=BD，AE=CF，BE=DF，证明AE∥CF。
3.已知四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE=CF，证明AB∥CD。
4.已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，证明AB∥CD。
5.已知两个三角形中，∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，证明三角形ABD≌三角形ACE。
6.已知四边形ABED中，CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，证明AF=CE。
7.已知四边形BEFC中，BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，证明AF=DE。
8.已知四边形ABED中，AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，证明EB∥DF。
9.已知三角形ABC中，M为AB的中点，∠1=∠2，MC=MD，证明∠C=∠D。
10.已知四边形ABFE和CDFE中，AE=DF，BF=CE，AE∥DF，证明AB=CD。
11.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，证明AC=AD。
12.已知四边形ABCD中，∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，证明AE=DF。
13.已知四边形ABCDEF中，ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，证明BM=ME。
14.已知三角形ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，证明三角形BHD≌三角形ACD。
15.已知四边形ABCDE中，∠A=∠D，AC∥FD，AC=FD，证明AB∥DE。
16.已知三角形ABC和三角形ADE中，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2，证明∠3=∠4.17.已知三角形ABC和三角形DEF中，EF∥BC，AF=CD，AB⊥BC，DE⊥EF，证明三角形ABC≌三角形DEF。
18.已知四边形ABED中，AD=AE，∠B=∠C，证明AC=AB。
19.已知三角形ABC中，AD⊥BC，BD=CD，证明AB=AC。
20.已知三角形ABC和三角形BAD中，∠1=∠2，BC=AD，证明三角形ABC≌三角形BAD。
三角形全等证明题60道
FEBD 1. 如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：△ABC ≌△DEF变式训练1: 已知点B 、C 、E 、D 在同一条直线上，AB ＝DF ，AC ＝EF ，BE= CD ， 求证：AC ∥EF变式训练2: 已知AB ＝AD ，AC ＝A E ，BC ＝D E 求证：∠B AD ＝∠CAE变式训练3: 已知AD ＝BC ，AB ＝CD ，求证：∠A ＝∠C2.点A 、D 、F 、B 在同一直线上，BF AD =，AE=BC 且BC AE //．求证：⑴AEF ∆≌BCD ∆ ⑵CD EF //D3．如图，DE CD ⊥于D ，DB AB ⊥于B ，BE CD =，DE AB =． 求证：AE CE ⊥4.如图，AB=CB, ∠ABD=∠CBD, △ABD 与△CBD 全等吗,说明理由？变式1如上图，AB=CB,BD 平分∠ADC, △ABD 与△CBD 全等吗,说明理由？变式2如上图，AD=CD .BD 平分∠ADC, ∠A=∠C 吗,说明理由？5.已知：如图AB =AC ,AD =AE ,∠BAC =∠DAE 求证：（1） △ABD ≌△ACE （2） ∠ADB= ∠AEC6．已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上， BE ⊥AC, CD ⊥AB,AB=AC ，求证：BD=CEDECBA7.如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+CE8.如图，已知21∠=∠，43∠=∠，求证：BE BD =9．如图，AE AC =，E C ∠=∠，21∠=∠．求证：ABC ∆≌ADE ∆．10.如图，已知∠BAD=∠CAE ，∠ADE=∠AED ，BD=CE 求证：AB=AC11.如图，OA PC ⊥于C ，OB PD ⊥于D ，且PD PC =，求证：DPO CPO ∠=∠．12．如图，AC AB =，AF AE =，EC AE ⊥于E ，FB AF ⊥于F ．求证：21∠=∠．13．如图，BD AE ⊥于E ，BD CF ⊥于F ，CD AB =，CF AE =． 求证：CD AB //14．如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，CD AB =，AD EB ⊥，AD FC ⊥，且DF AE =，求证：DE AF =15．如图，A 、E 、F 、B 在同一条直线上，CE AC ⊥于C ，DF BD ⊥于D ，AF=BE ，BD AC =． 探究CF 与DE 的关系，并说明理由．16.如图，OB OA =，OD OC =，︒=∠=∠90COD AOB ． 猜想线段AC 、BD 的大小关系，并说明理由．17．如图，给出五个等量关系：①BC AD =；②BD AC =；③DE CE =；④C D ∠=∠；⑤CBA DAB ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明．18．如图，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形，连接BE ，AD 交于O ． 求证：⑴BE AD =； ⑵︒=∠60AOB19.两组邻边分别相等的四边形叫筝形，如图在筝形ABCD 中，AB=AD BC=DC ，AC BD 相交与点O 求证（1）△ABC ≌△ADC（2）OB=OD AC ⊥BD（1） AC=6 BD=4 求：筝形ABCD 的面积20.如图，OP 平分AOB ∠，OA PD ⊥于D ，OB PE ⊥于E ，F 为OP 上一点， 连接DF 、EF ．求证：⑴EPO DPO ∠=∠⑵DF =EFDC21．如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，且CD BD =，那么BE 与CF 相等吗？为什么？22.如图，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥交AB 延长线于E ，AC DF ⊥于F ，且DC DB =．求证：CF BE =23．如图，OC 平分AOB ∠，OA CA ⊥于A ，OB CB ⊥于B ，连接AB 交OC 于D ． 求证：AB OD ⊥24．已知，如图BD 为ABC ∠的平分线，BC AB =，点P 在BD 上，AD PE ⊥于E ，CD PF ⊥于F ．求证：PF PE =25．如图，已知，P 为∠ABC 平分线上的一点，且PE=PF ，结合所 学知识，你认为∠1，∠2有什么关系？并证明．DCBA26.如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，EC 平分BCD ∠交AB 于E ，且BE AE =，求证：DE 平分CDA ∠27．如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE ＝2cm ，AB ＝9cm ，BC ＝6cm ，求△ABC 的面积．28.如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°29．如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，点O 为三条角平分线的交点，BC OD ⊥于D ，AC OE ⊥于E ，AB OF ⊥于F ，且cm AB 10=，cm CB 8=，cm CA 6=，求OD 的长．30．如图，B 是CAF ∠内一点，D 在AC 上，E 在AF 上，且EF DC =，BCD ∆与BEF ∆的面积相等．求证：AB 平分CAF ∠31．如图，CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E ． ⑴求证：D 在BAC ∠的平分线上；⑵若将⑴的条件“CD BD =”和结论“D 在BAC ∠的平分线上”互换，成立吗？说明理由．32、D 是△ABC 外角∠ACE 的角平分线上一点，DF ⊥AC 与E ，DE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，求证：CE=CF33.已知：∠C=∠D=90°。
(完整版)全等三角形证明经典50题(含答案)
全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CDAB B A CDF2 1 EAC D E F 21 A D BC A6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB15. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BED C B A FE PD A CB16. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．F AEDCB P E D CB A DC B A23．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．证明：25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
八年级三角形的证明题
八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。
求证：AD⊥BC。
- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。
- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。
- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。
- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。
2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。
- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。
- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。
- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。
3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。
求∠A的度数。
- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。
- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。
- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。
- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。
- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。
- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。
三角形全等证明题20道
三角形全等证明题20道1、已知△ABC平行于平面Π，交Π于D、E、F，写出AD∥BC：证明：由于△ABC平行于Π，所以可以得到平面Π两侧的两个等边三角形△ABD和△BEC，其中AB=BE。
同时三角形△ABC△ABD△BEC都是等腰三角形，所以三个角A、B、C相等，所以三角形△ABC和三角形△ABD△BEC相等。
综上，对于△ABC平行于平面Π，交Π于D、E、F的情况，可以得出结论：AD∥BC。
2、已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，写出a∥c：证明：由三角形的定理可知，三角形ABC的内角A、B、C共线，于是可以得到AB∥BC。
而AB=a，BC=c，所以a∥c。
3、已知△ABC形AB=AC，写出2A=B+C：证明：由已知可得AB=AC，即对边相等，所以∠B=∠C。
又因为三角形ABC的三个内角A、B、C相加恒为180°，于是可以得到2A=B+C。
4、已知△ABC的AB=AC，BC∥AB，EF为BC的中线，写出AD∥EF：证明：由已知三角形ABC的AB=AC，BC∥AB，可以得到三角形ABC的EF 是BC的中线。
而AB∥EF，由此可以得出AD∥EF。
5、已知△ABC的AB=AC，BC∥AB，AB=DE，写出DE∥BC：证明：由已知三角形ABC的AB=AC，BC∥AB，AB=DE，由此可以得出DE ∥BC。
6、已知△ABC，AB=AD，写出AD=BC：证明：由已知三角形ABC的AB=AD，可以得到三角形ABC的AD=BC。
7、已知△ABC的AB=AC，B=C，写出AB=BC：证明：由已知三角形ABC的AB=AC，B=C，可以得到AB=BC。
8、已知△ABC的AB∥AC，写出A=180°-B-C：证明：由已知三角形ABC的AB∥AC，可以得到三角形ABC的A=180°-B-C。
9、已知△ABC的AB=BC，AC=BC，写出A=B：证明：由已知三角形ABC的AB=BC，AC=BC，可以得到A=B。
全等三角形证明经典100题
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACADBCBA CDF2 1 E5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD ABADB CCDB A9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠210. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEBA CDF2 1 ECDB A12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠CDCBAFEAB C D15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBAP D ACBFAED C B20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．P E DCB A D CBA（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
全等三角形证明经典50题(含答案)
1、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE2、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC3、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD⊥BC ．4．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 5．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．6．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：8．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ． 25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
证明：∵DF=CE ，∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中，∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF∴△AED ≌△BFC （SAS ）26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
全等三角形证明经典50题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEAD B CB ACDF21 E5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BECDB PD A CB A17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F，F AEDC B P E DCB A DC B A若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．23．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．O ED C B A F EDCB A25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
全等三角形证明经典40题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
AD B C3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE ＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF ＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG又 EF ＝CG∴EF ＝AC4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE ＝AC ，AD ＝AD∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C∵AC ＝AB+BD∴AE ＝AB+BD∵AE ＝AB+BE∴BD ＝BE∴∠BDE ＝∠EBACDF21 E A∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF(SAS)∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
难点突破——三角形全等证明题练习50道(含详细解析)
难点突破——三角形全等证明题练习50道（含详细解析）1．如图所示，90A D ∠=∠=︒，AB DC =，AC ，BD 相交于点M ，求证：（1）ABC DCB ∠=∠；（2）AM DM =．2．如图，点C ，F ，B ，E 在同一条直线上，AC CE ⊥，DF CE ⊥，垂足分别为C ，F ，且AB DE =，CF BE =．求证：A D ∠=∠．3．如图，ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且//BE CF ．（1）求证：DE DF =；（2）若在原有条件基础上再添加AB AC =，你还能得出什么结论．（不用证明）（写2个）4．如图，AB AC =，//CD AB ，点E 是AC 上一点，且ABE CAD ∠=∠，延长BE 交AD 于点F ．（1）求证：ABE CAD ∆≅∆；（2）如果65ABC ∠=︒，25ABE ∠=︒，求D ∠的度数．5．如图，已知D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，点E 、F 为垂足，且BE CF =．求证：ABC ∆是等腰三角形．6．已知：如图，AB AE =，C F ∠=∠，EAC BAF ∠=∠．求证：AC AF =．7．如图所示，AB AD =，12∠=∠，添加一个适当的条件，使ABC ADE ∆≅∆（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母）．8．如图，BE ，AD 是ABC ∆的高且相交于点P ，点Q 是BE 延长线上的一点．（1）试说明：12∠=∠；（2）若AP BC =，BQ AC =，线段CP 与CQ 会相等吗？请说明理由．9．如图，AB CD =，DE AC ⊥，BF AC ⊥，点E ，F 是垂足，AE CF =，求证：（1）ABF CDE ∆≅∆；（2）//AB CD ．10．如图，点C 在线段AB 上，//AD EB ，AC BE =，AD BC =，CF 平分DCE ∠． 求证：CF DE ⊥于点F ．11．如图：已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，点D 是AB 上任意一点，AE AB ⊥，且AE BD =，DE 与AC 相交于点F ．（1）试判断CDE ∆的形状，并说明理由．（2）是否存在点D ，使AE AF =？如果存在，求出此时AD 的长，如果不存在，请说明理由．12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥⊥于D ，CE AB ⊥于E ．求证：AD AE =．13．如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，且AC BD =，若12∠=∠，EC FB =． 求证：ACE DBF ∆≅∆．证明：14．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC + A B A C+（填“>”、“ <”或“=” ) （2）证明（1）中的结论．15．如图，在ABC ∆中，BD 是边AC 上的中线，BD BC ⊥于点B ，AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，30ABD ∠=︒，求证：2AB BC =．16．如图所示，两个形状相同，大小不同的等腰三角形ABC 与ADE 如图放置，A 为它们共同的顶角顶点，B 、C 、D 在同一条直线上，连接CE ．（1）你能在图中找到一对全等三角形吗？证明你的结论；（2）若35BAC ∠=︒，求ECD ∠的度数．17．已知，如图，直线AB BC ⊥，线段AB BC <，点D 在直线AB 上，且AD BC =，AE AB ⊥，且AE BD =，连接DE 、DC ，ADE α∠=．（1）请在下图中补全图形，并写出CDE ∠的度数 （用含α的代数式表示）；（2）如图，当点D 在点B 下方，点F 在线段BC 的延长线上，且BD CF =，直线AF 与DC交于点P，试问APD∠的度数是否是定值？若是定值，求出并说明理由．18．已知等腰三角形ABC中，点D为BC中点，点E是BA延长线上一动点，点F是AC延长线上一动点连接DE、DF，且180∠+∠=︒．EDF BAC（1）如图1，若90+=；BAC∠=︒，求证：AE AC AF（2）如图2，若120∠=︒，AE、AC、AF三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，BAC则直接证明；若不满足，请写出结论并证明．19．已知D为ABC⊥，垂足分别为点∆所在平面内一点，且DB DC=，DE AB⊥，DF ACE、F，DE DF=．（1）如图1，当点D在BC边上时，判断ABC∆的形状；并证明你的结论；（2）如图2，当点D在ABC∆内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请举出反例（画图说明，不需证明）．20．如图，在Rt ABC∠=︒，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD APC∆中，90=，当AD AB⊥于E．⊥时，过点D作DE AC（1）求证：CBP ABP∠=∠；（2）若4AB BC -=，8AC =．求AB 的长度和DE 的长度．21．如图（1），8A B c m =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，6AC BD cm ==．点P 在线段AB 上以2/m s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为()t s（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，判断线段PC 与PQ 满足的关系，并说明理由．（2）如图（2），将图（1）中的AC AB ⊥，BD AB ⊥为改“CAB DBA a ∠=∠=︒”，其它条件不变．设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．22．如图，AD AC =，1239∠=∠=︒，C D ∠=∠，点E 在线段BC 上．（1）求证：ABC AED ∆≅∆．（2）求AEC ∠的度数．23．已知：如图，点A 、D 、C 、B 在同一条直线上，AD BC =，AE BF =，//AE FB ，求证：//CE DF ．24．如图，点D 在ABC ∆外部，点C 在DE 边上，BC 与AD 交于点O ，若123∠=∠=∠，AC AE =．求证：（1）B D ∠=∠；（2）ABC ADE ∆≅∆．25．已知：如图，AB AC =，AE AF =，连结BF ，CE ，交于O ，连结AO ．求证：（1）B C ∠=∠；（2）AO 平分BAC ∠．26．如图所示，已知ABC ∆中AB AC =，E 、D 、F 分别在AB ，BC 和AC 边上，且BE CD =，BD CF =，过D 作DG EF ⊥于G ． 求证：12EG EF =．27．已知在ABC ∆中，AC BC =，分别过A ，B 两点作互相平行的直线AM ，BN ，过点C 的直线分别交直线AM ，BN 于点D ，E ．（1）如图1，若AM AB ⊥，求证：CD CE =；（2）如图2，60ABC DEB ∠=∠=︒，判断线段AD ，DC 与BE 之间的关系，并说明理由．28．阅读下列材料，并完成任务．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB AD=．对角线AC，BD相交于点O，=，BC CD过点O作0M AB⊥，垂足分别为M，N．⊥，ON AD求证：四边形AMON是筝形．29．如图，在ABC∠=∠，AC与BD交于点=，AED∆中AB AC∆中AE AD=，EAD BACO．（1）试确定ADC∠与AEB∠间的数量关系，并说明理由；（2）若65∠的度数．ACB∠=︒，求BDC30．如图，AD为ABC=．求=，FD CD ∆的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF AC证：（1）BFD ACD ∆≅∆；（2）BE AC ⊥．31．在等腰OAB ∆和等腰OCD ∆中，OA OB =，OC OD =，连接AC 、BD 交于点M ．（1）如图1，若40:AOB COD ∠=∠=︒①AC 与BD 的数量关系为 ；②AMB ∠的度数为 ．（2）如图2，若90:AOB COD ∠=∠=︒①判断AC 与BD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由； ②求AMB ∠的度数．32．如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB BE ⊥，垂足为B ，DE BE ⊥，垂足为E ，且AC DF =，BF CE =．（1）求证：ABC DEF ∆≅∆；（2）若65A ∠=︒，求AGF ∠的度数．33．如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，AD EC AB +=．（1）求证：DE EF =．（2）当36A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．34．在ABC ∆中，45ACB ∠=︒，AD BC ⊥垂足为D ，点E 在AD 上，ED BD =，连接CE 并延长交AB 于点F ，连接DF ．（1）求证：BAD ECD ∠=∠．（2）求证：45DFE ∠=︒．35．如图，在ABC ∆和BAD ∆中，AC 与BD 相交于点E ，AD BC =，DAB CBA ∠=∠，求证：12∠=∠．36．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，122∠=︒，228∠=︒， 求3∠的度数．37．如图，在直角坐标系中有一点(5,5)P ，(0,)M m 为y 轴上任意一点，N 为x 轴上任意一点，且90MPN ∠=︒．（1）当5m =时，OM ON +的值为 ；（2）当05m <<时，OM ON +的值是否改变？说明你的理由；（3）探索：当0m <时，OM 与ON 的数量关系为 ．38．已知，如图，射线BD 平分锐角ABC ∠，且平分钝角ADC ∠，求证：CD AD =．39．如图所示，BF AC ⊥于点F ，CE AB ⊥于点E ，BF 与CE 交于D ，且BD CD =． 求证：D 在BAC ∠的平分线上．40．如图（1），7A B c m =，AC AB ⊥，BD AB ⊥垂足分别为A 、B ，5AC cm =．点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为()t s （当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠=︒”，点Q 的运动速度为/xcm s ，其他条件不变，当点P 、Q 运动到某处时，有ACP ∆与BPQ ∆全等，求出相应的x 、t 的值．41．如图，在ABC∠，CE平分BCA∠，AD、CE交于点F，B∆中，60∠=︒，AD平分BAC=，连结FG．CD CG（1）求证：FD FG=；（2）线段FG与FE之间有怎样的数量关系，请说明理由；（3）若60B∠≠︒，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由．42．已知BF平分ABC∆的外角ABE∠，D为射线BF上一动点．（1）如图所示，若DA DC∠=∠；=，求证：ABC ADC（2）在D点运动的过程中，试比较BA BC+的大小，并说明你的理由．+与DC DA43．如图，在ABC=，∠=︒，BD AC⊥于点D，点E在DB的延长线上，DE BCABC∆中，90=．12∠=∠，求证：DF AB44．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，点E 在BC 边上，BAC DAE ∠=∠，B D ∠=∠，AB AD =．求证：AEC C ∠=∠．45．如图，AB AC =，E 、D 分别是AB 、AC 的中点，AF BD ⊥，垂足为点F ，AG CE ⊥，垂足为点G ，试判断AF 与AG 的数量关系，并说明理由．46．如图，90ACB ∠=，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）求证：ACD CBE ∆≅∆；（2）已知5AD =，3DE =，求BE 的长．47．如图，AE 、BD 是ABM ∆的高，AE ，BD 交于点C ，且A E B E =，BD 平分ABM ∠．（1）求证：2BC AD =；（2）求M DE ∠的度数．48．在ABC∠交AB于D，E，F在AC，BC∠=︒，CD平分ACBA∆中，AB AC=，36上，且108∠=︒．EDF（1）求ADC∠的度数；（2）求证：AE BF BC+=．49．已知：如图，90∠的角平分线上，且点A到点⊥于点E，点A在FOCF∠=︒，AE OC=．B、点C的距离相等．求证：BF EC50．已知：如图，点C、D、B、F在一条直线上，且AB BD=，⊥，AB CD⊥，DE BD =．CE AF求证：（1）ABF CDE∆≅∆；（2）CE AF⊥．难点突破——三角形全等证明题练习50道（含详细解析）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图所示，90A D ∠=∠=︒，AB DC =，AC ，BD 相交于点M ，求证：（1）ABC DCB ∠=∠；（2）AM DM =．【解答】证明：（1）90A D ∠=∠=︒，ABC ∴∆和DCB ∆都是直角三角形．在Rt ABC ∆和Rt DCB ∆中，BC CB AB DC =⎧⎨=⎩， Rt ABC Rt DCB(HL)∴∆≅∆，ABC DCB ∴∠=∠；（2）Rt ABC Rt DCB ∆≅∆，AC DB ∴=，ACB DBC ∠=∠，MC MB ∴=，AM DM ∴=．2．如图，点C ，F ，B ，E 在同一条直线上，AC CE ⊥，DF CE ⊥，垂足分别为C ，F ，且AB DE =，CF BE =．求证：A D ∠=∠．【解答】证明：AC CE ⊥，DF CE ⊥，90C DFE ∴∠=∠=︒，CF BE =，CB FE ∴=，AB DE =，Rt ACB Rt DFE(HL)∴∆≅∆，A D ∴∠=∠．3．如图，ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且//BE CF ．（1）求证：DE DF =；（2）若在原有条件基础上再添加AB AC =，你还能得出什么结论．（不用证明）（写2个）【解答】（1）证明：AD 是ABC ∆的中线， BD CD ∴=，//BE CF ，FCD EBD ∴∠=∠，DFC DEB ∠=∠，在CDE ∆和BDF ∆中，FCD EBD DFC DEB CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDF BDE AAS ∴∆≅∆，DE DF ∴=（2）可以得出AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠．（理由等腰三角形三线合一）．4．如图，AB AC =，//CD AB ，点E 是AC 上一点，且ABE CAD ∠=∠，延长BE 交AD 于点F ．（1）求证：ABE CAD ∆≅∆；（2）如果65ABC ∠=︒，25ABE ∠=︒，求D ∠的度数．【解答】（1）证明：//CD AB ，BAE ACD ∴∠=∠，ABE CAD ∠=∠，AB AC =，()ABE CAD ASA ∴∆≅∆；（2）解：AB AC =，65ABC ACB ∴∠=∠=︒，180180656550BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 又25ABE CAD ∠=∠=︒，502575BAD BAC CAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， //AB CD ，180********D BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．5．如图，已知D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，点E 、F 为垂足，且BE CF =．求证：ABC ∆是等腰三角形．【解答】证明：D 为BC 的中点，BD CD ∴=，DE AB ⊥，DF AC ⊥，90BED CFD ∴∠=∠=︒，在Rt BED ∆和Rt CFD ∆中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，。
关于三角形的证明题
1、在三角形ABC中，若AB = AC，且∠B = 70°，则∠A的大小为：A. 40°B. 55°C. 70°D. 20°（答案）A2、三角形DEF中，DE = EF，若∠D = 50°，则∠E的大小为：A. 65°B. 80°C. 50°D. 130°（答案）A3、在三角形GHI中，若∠G = ∠H，且∠I = 90°，则三角形GHI是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（答案）D4、三角形JKL中，若JK = JL，且∠K = 85°，则∠J的大小为：A. 5°B. 85°C. 95°D. 170°（答案）B5、三角形MNO中，MN = NO，且∠MNO = 45°，则∠N的大小为：A. 45°B. 67.5°C. 90°D. 135°（答案）C6、三角形PQR中，若PQ = QR，且∠PQR = 60°，则三角形PQR为：A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形（答案）C7、三角形STU中，ST = TU，若∠S = 72°，则∠T的大小为：A. 72°B. 54°C. 108°D. 36°（答案）A8、三角形VWX中，VW = WX，且∠VWX = ∠WVX，则∠X的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°（答案）C9、三角形YZA中，若YZ = ZA，且∠YZA = 50°，则∠Y的大小为：A. 65°B. 50°C. 80°D. 130°（答案）A10、三角形BCD中，BC = BD，且∠BCD = ∠BDC，若∠D = 75°，则∠C的大小为：A. 75°B. 55°C. 105°D. 30°（答案）A。
第一章三角形的证明练习(课本习题)
19.已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5,求 这个等腰三角形的面积.
提示:如图所示,AB=AC=5,BC=6. 过A作AD⊥BC于点D,利用三线合一 得到D为BC中点， 即BD=CD=3. 在Rt△ABD中, 根据勾股定理得： AD2=AB2-BD2=52-32=16, ∴AD=4. ∴S△ABC=12.
BC 4 3. 3
SRtABC
1 2
4 3
34 8 3. 3
13.如图,已知∠ACB=∠BDA=900,要使△ACB≌△BDA, 还需要添加什么条件？请你选择其中一个加以证 明.
提示： ∵∠ACB=∠BDA=900, AB=BA， ∴可以添加AC=BD 或BC=AD利用HL判定； 添加∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA 利用AAS判定． 证明过程略.
8.如图,已知线段a,利用尺规求作以a为底边、以 2a为高的等腰三角形.
提示:(1)作线段BC=a. (2)再作线段BC的垂直平分线交 BC于D. (3)在BC的垂直平分线上截取 DA=2a. (4)连接AB、AC(如图所示). △ABC即为所求作的等腰三角形.
9.如图,在△ABC中,∠BAC=900,AB=AC=a,AD是△ABC 的高,求AD的长.
第一章
三角形的证明
练习(课本习题)
1.请将下面证明中每一步的理由填在括号内. 已知:如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的 点,DE∥BA,DF∥CA． 求证：∠FDE=∠A． 证明：∵DE∥BA( 已知 )， ∴∠FDE=∠BFD( 两直线平行,内错角相等 )． ∵DF∥CA( 已 )， ∴∠BFD=∠A(知 两直线平行,同位角相等 )． ∴∠FDE=∠A(等量代换 ). ．
(2)求证：△BDF≌△ADC.
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八年级下册数学第一章提高训练
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝
∠C；④BD＝CE 请以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的判断（⊙⊙⊙→⊙的形式写出来）．
2．如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°则∠DEC
＝．
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC＋CD，则∠B与∠C的关系
是．
（2题图）（3题图）（4题图）
4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD
＝．
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数
为度．
6．已知：如图，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE＝ cm．
7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C/的位置，如果BC=2，则BC′=．
8．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABC的三条线的交点最适当．
9．等腰三角形的周长是2＋
，腰长为1，则其底边上的高为__________．
10．以长为1、
、2 、
、3，中的三条线段为边长可以构成个直角三角形．
（11题图）
（7题图）
（6题图）
二计算题
11．如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（）Ａ．10ｃ
ｍＢ．8ｃｍＣ．5ｃｍＤ．2．5ｃｍ
12．已知：如图，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝36°，ＡＢ的垂直平分线交ＡＣ于Ｄ，则下列结论：①∠Ｃ＝72°；②ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线；③△ＡＢＤ是等腰三角形；④△ＢＣＤ是等腰三角形，其中正确的有（）
Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个
13．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC的长等于（）
Ａ．
ｃｍＢ．
ｃｍＣ．
ｃｍＤ．
ｃｍ
（14题图）
（12题图）
（13题图）
14.如图 ,加条件能满足AAS来判断⊿ACD≌⊿ABE的条件是（）
A．∠AEB = ∠ADC∠C = ∠D B．∠AEB = ∠ADC CD = BE
C．AC = AB AD = AE D．AC = AB ∠C =∠B
15．正三角形ABD和正三角形CBD的边长均为1，现把它们拼合起来如图，E 是AD上异于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=1，当E，F移动时，三角形BEF的形状为（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形 C．等腰三角形非正三角形 D．正三角形
16．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点，ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＢＤ，那么∠ＥＤＦ等于（）
Ａ．90°－∠ＡＢ．90°－
∠ＡＣ．45°－
∠ＡＤ．180°－∠Ａ
17．如图，H是△ABC的高AD、BE的交点，且DH=DC，则下列结论：
①BD=AD②BC=AC③BH=AC④CE=CD中，一定成立的有( )个．A．1 B．
2 C．
3 D．4
(16题图)
(17题图)
（第15题）
18．一个正方形和一个等腰三角形有相等的周长，已知等腰三角形有两边长分别为5.6ｃｍ和13.2ｃｍ，则这个正方形的面积为（）Ａ．64ｃｍ2 Ｂ．48ｃｍ2 Ｃ．36ｃｍ2 Ｄ．24ｃｍ2
19．已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是( )
A．9㎝ B．12㎝ C．12㎝或者15㎝ D．15㎝
20．如果一个三角形三条中线的交点恰在它的一条高上，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
三、解答题（每小题10分，共50分）
21.如图，A,B为一公司的两个分部，为了方便A,B两分部的联系和沟通，现准备在距离2km的A,B两部分之间修筑一条笔直的公路（如图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（15分）
C
60°45°
A B
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，
CE⊥AD，垂足为点E，BF//AC交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．
23．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，其中∠BCA＝∠DCE＝90°．请问BE与AD是否垂直？如果成立请证明，不成立说明理由．
23题图
24．在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE．求证：DM＝EM． 24题图
25．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交∠BAC的平分线AD于D，过D作
DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N 。
试证明：BM＝CN．。