坐标系与参数方程 配套资料教师用书 课后限时自测67

课后限时自测（六十七）[A 级 基础达标练]1．用几何变换的方法求A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°的逆矩阵． [解] A 表示绕原点逆时针旋转60°变换矩阵，故A 存在逆矩阵，A 的逆矩阵应表示绕原点顺时针旋转60°变换矩阵．所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos (－60°) －sin (－60°)sin (－60°) cos (－60°) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12. 2．已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－4 3，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 －1－3 1，求二阶矩阵X ，使MX ＝N .[解] 因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32 122 1. ∴X ＝M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32 1221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤92 －15 －1. 3．(2014·苏州四市模拟)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2的特征值及对应的特征向量．[解] 特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3， 由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.将λ1＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －y ＝0，－x ＋(λ－2)y ＝0，得x ＋y ＝0，令x ＝1，y ＝－1，则特征值λ1＝1对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ2＝3时，得x －y ＝0，特征值λ2＝3对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.4．(2014·南京质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 56 6不存在逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M 的特征值．[解] 由题意，矩阵M 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 56 6＝0，解得x ＝5， 所以矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 56 6的特征多项式为： f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－5 －5 －6 λ－6＝(λ－5)(λ－6)－(－5)×(－6)， 令f (λ)＝0，解得λ＝0或λ＝11， 所以矩阵M 的特征值为0和11.5．(2014·盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．[解] 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－1)(λ－x )－4. 因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一个根， 所以(3－1)(3－x )－4＝0，解得x ＝1.由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，从而y ＝－x . 取x ＝1得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 6．(2014·江苏联考)设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1. [解] ∵B ＝BAA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4， ∴B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 132 －12. 7．(2014·南通市调研)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31.求矩阵M .[解] 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，c －d ＝－1. 再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝1. 联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1. 8．(2014·南京盐城高三数学二模数学试卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 b的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x ，y 的值．[解] (1)由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a＝2，b ＝4.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. (2)解法一：A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.解法二：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －1316 16. 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－131616⎣⎢⎡⎦⎥⎤24 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.9．(2014·泰州模拟)设矩阵M 是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．[解] (1)由条件得矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2. (2)因为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 00 λ－2＝(λ－1)(λ－2)，令f (λ)＝0，解得特征值为λ1＝1，λ2＝2，设属于特征值λ1的矩阵M 的一个特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得y ＝0，取x ＝1，得e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10； 同理，对于特征值λ2，解得x ＝0，取y ＝1，得e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.10．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 50 －2. (1)求矩阵A 的特征值和特征向量；(2)设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，求A 5β.[解] (1)矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －50 λ＋2＝(λ－3)(λ＋2)． 令f (λ)＝0得λ＝3或λ＝－2.将λ＝3代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧0·x －5y ＝0，0·x ＋5y ＝0，解得y ＝0.所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.将λ＝－2代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧－5x －5y ＝0，0·x ＋0·y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1.所以矩阵A 的属于特征值－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(2)由(1)可知向量β是矩阵A 的属于特征值－2的一个特征向量，所以A 5β＝λ5β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32 32. [B 级 能力提升练]1．(2014·镇江模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 有一个属于特征值1的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1.(1)求矩阵A ；(2)矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，点O (0,0)，M (2，－1)，N (0,2)，求△OMN 在矩阵AB 的对应变换作用下所得到的△O ′M ′N ′的面积．[解] (1)由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝2，2－b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3. (2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2， 所以(AB )⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， (AB )⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤40，(AB )⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04， 即点O ，M ，N 变成点O ′(0,0)，M ′(4,0)，N ′(0,4)， △O ′M ′N ′的面积为12×4×4＝8.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 3将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′. (1)求直线l ′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由．[解] (1)在直线l 上任取一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 3对应的变换作用下变为Q (x ，y )．∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0＋y 0，y ＝－x 0＋3y 0即⎩⎨⎧x 0＝3x －y 7，y 0＝x ＋2y 7.又∵点P (x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0，∴3x －y 7＋x ＋2y7－1＝0， 即直线l ′的方程为4x ＋y －7＝0.(2)∵|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 1－1 3＝7≠0，∴矩阵A 可逆． 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，2c ＋d ＝0，－a ＋3b ＝0，－c ＋3d ＝1解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝37，b ＝17，c ＝－17，d ＝27，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27. 3．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 56 1及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9. (1)求M 的特征值及对应的特征向量e 1，e 2；(2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a e 1＋b e 2； (3)利用(2)中的表达式计算M 3α，M n α.[解] (1)矩阵特征多项式f (λ)＝(λ－2)(λ－1)－30＝λ2－3λ－28. 令f (λ)＝0得M 的特征值为λ1＝－4，λ2＝7，属于特征值λ1＝－4的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6，属于特征值λ1＝7的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9，解得a ＝1，b ＝3，所以α＝e 1＋3e 2.(3)M 3α＝M 3(e 1＋3e 2)＝M 3e 1＋3M3e 2＝λ31e 1＋3λ32e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1349645. 同理，M n α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5×(－4)n ＋3×7n 6×(－4)n ＋3×7n .。