2014-2015学年高三寒假作业 数学(五)Word版含答案

高三数学寒假作业（五）
一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.命题“对任意x R ∈都有2
1x ≥”的否定是 A.对任意x R ∈，都有2
1x <
B.不存在x R ∈，使得2
1x <
C.存在0x R ∈，使得
2
01x ≥
D.存在0x R ∈，使得
2
01x < 2. 设集合{}{}{}
1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()
U C A B ⋂等于
A.{}23，
B.{}145，，
C.
{}45， D.
{}15，
3.
已知
()
f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+（m 为常数），则
()3log 5f -的值为 A.4
B.4-
C.6
D.6-
4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )
5.已知2
sin 3
α=
，则()=-απ2cos （ ）
A 、
B 、19-
C 、1
9
D 6.
已知非零向量=a ，=b ，且BC OA ，c 为垂足，若，则等于
7.已知(,)P x y 为区域220
0y x x a
⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为4时，2z x y =-的最
大值是（ ）
A ．6
B ．0
C ．2 D
．8.
已知F 是椭圆22
221+=x y a b （0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x
轴.若
14=
PF AF ，则该椭圆的离心率是（ ）
（A ）14 （B ）34 （C ）1
2 （D
）
9. 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)(/x f ，0)0(/
>f ，对于任意的实数x 都有
0)(≥x f ，则)0()
1(/f f 的最小值为（ ） A ．23 B ． 2 C ．25
D ． 3
二、填空题
10：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果.（用数值作答）
11.若复数z 满足：i iz 42+=，则在复平面内，复数z 对应的点坐标是________. 12.某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布2
(70,)N σ，
(0)σ>，参赛学生共600名.若ξ在()70,90内的取值概率为0.48，那么90分以上（含
90分）的学生人数为 .
13.命题：“2
,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是 ．
三、计算题
14.（本题满分12分）
如图，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B ，
且|||AB BF =
. （1）求椭圆C 的离心率；
（2）若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P 、Q 两点，OP OQ ⊥.求直线l 的方程及椭圆C 的方程
.
15.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足21n n S a +=,数列{}n b 中，
1211,2b b ==
,()12
211*n n n n N b b b ++=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）数列{}n c 满足n n n
a c
b =
，求证： 12334n c c c c +++⋅⋅⋅+<.
16.
（本小题满分12分）
在ABC ∆中, 0
90=∠ABC ，3=AB ,1=BC ，P 为ABC ∆内一点,90BPC ∠=︒.
(1)
若
PC =
,求PA ；
(2)若0
120=∠APB ,求ABP ∆的面积S .
【原创】高三数学寒假作业（五）参考答案
一、选择题
1~5DBBCV 6~9 BABB 二、填空题 10.45 11.(4，－2) 12.
13.2
,20x R x x m ∀∈++>
三、计算题 40.
（1）由已知|||AB BF =，
，222445a b a +=，
222244()5a a c a +-=，∴ c e a ==
.…………………………………………4分 （2）由（Ⅰ）知2
2
4a b =，∴ 椭圆C ：22
2214x y b b
+=.
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
直线l 的方程为22(0)y x -=-，即220x y -+=.
由22222
222204(22)401
4x y x x b x y b
b -+=⎧⎪
⇒++-=⎨+=⎪⎩， 即2217321640x x b ++-=
.
2
2
321617(4)0b b ∆=+⨯->⇔.1232
17
x x +=-，21216417b x x -=.……8分
∵ OP OQ ⊥，∴ 0OP OQ ⋅=，
即12120x x y y +=，1212(22)(22)0x x x x +++=，121254()40x x x x +++=.
从而
25(164)128
401717
b --+=，解得1b =， ∴ 椭圆C 的方程为2
214
x y +=.…………………………………………………12分 41.
（Ⅰ）由
21n n S a +=，得()112
n
n S a =-
当2n ≥时，()()1111111112222
n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-+ 即111
23
n n n n n a a a a a --=-+∴
=（由题意可知10n a -≠） {}n a 是公比为1
3的等比数列，而()1111
12S a a ==-
113a ∴=，1
111333n n
n a -⎛⎫⎛⎫
∴=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
由
12211n n n b b b ++=+，得1221111111
1,2,1,,n n d n b b b b b b n
===-=∴=∴=
（2）13n
n n n a c n b ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，设12n n T c c c =++
+，则
()123
23
1
11111233333111111213
3333n
n n n n T n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+
+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
由错位相减，化简得：3311132313
.44
3234434
n n
n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
42.
【知识点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．C8
(1)
2PA =
; (2) 38.
解析：（1）∵在ABC ∆中, 0
90=∠ABC ，3=AB ,1=BC ，
∴sin ∠PBC
2PC BC =
=，可得∠PBC=60°，BP=BCcos60°=12．
∵∠PBA=90°﹣∠PBC=30°，
∴△APB 中，由余弦定理PA2=PB2+AB2﹣2PB•AB•cos∠PBA ，
得
PA2= 117324
24+-创
，
解得
PA （舍负）．
（2）设∠PBA=α，可得∠PBC=90°﹣α，∠PAB=180°﹣∠PBA ﹣∠APB=30°﹣α， 在Rt△BPC 中，PB=BCcos ∠PBC=cos （90°﹣α）=sin α，
△ABP 中，由正弦定理得
()00sin150sin 30AB PB
a
=
-，
∴sin α（30°﹣α）12cos α﹣2sin α），
化简得4sinα
α，
∴结合α是锐角，解得sinα
=19，
∴PB=sinα
=，
∴△ABP的面积S=1
2AB•PB•sin∠
PBA=．
【思路点拨】（1）在Rt△BPC中利用三角函数的定义，算出sin∠
PBC=，可得∠PBC=60°，
从而BP=BCcos60°=1
2．然后在△APB中算出∠PBA=30°，利用余弦定理即可算出PA的大
小．（2）设∠PBA=α，从而算出PB=sinα，∠PAB=30°﹣α．在△APB中根据正弦定理建立关于α的等式，解出sinα的值，得到PB长．再利用三角形面积公式加以计算，即可得出△ABP的面积S．。