10-2对坐标的曲线积分19245-PPT文档资料
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10-2对坐标的曲线积分19245共29页
一、问题的提出 y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
M
y
i
i
Mn1
L Mi1 xi
L:A B ,
M2
A M 1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A.B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M , n 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n , B .
Adr
Atds,
其 A 中 {P ,Q ,R } ， t { c ,c o , o c s } s o,s
上点 (x,y,z)处的单位切向 d r t d { d s,d x ,d y }有z 向曲线元；
A t为A 向 在量 t 向 上量 的 . 投影
例1 计算 xy,d 其 xL 中 为抛y物 2x上 线从 L A(1,1)到 B(1,1)的一. 段弧B(1,1)
解 (1)化为对 x的定积分y， x.
y2 x
xy dxxy dx xydx
L
AO
OB
0
1
1x(x)d x0xxdx
A(1,1)
2
13
x2dx
4.
0
5
(2)化为对 y的定积分， x y2, y从1到 1.
2.存在条件： 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲 L 线 上连续 , 第时 二类曲线. 积分存在
3.组合形式
LP(x, y)dxLQ(x, y)dy
LP(x, y)dxQ(x, y)dyLFds.
其 F P i Q j 中 ,d d i s d j x . y
4.推广
空间有向曲线弧PdxQdyRd. z
B
实例: 变力沿曲线所作的功
M
y
i
i
Mn1
L Mi1 xi
L:A B ,
M2
A M 1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A.B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M , n 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n , B .
Adr
Atds,
其 A 中 {P ,Q ,R } ， t { c ,c o , o c s } s o,s
上点 (x,y,z)处的单位切向 d r t d { d s,d x ,d y }有z 向曲线元；
A t为A 向 在量 t 向 上量 的 . 投影
例1 计算 xy,d 其 xL 中 为抛y物 2x上 线从 L A(1,1)到 B(1,1)的一. 段弧B(1,1)
解 (1)化为对 x的定积分y， x.
y2 x
xy dxxy dx xydx
L
AO
OB
0
1
1x(x)d x0xxdx
A(1,1)
2
13
x2dx
4.
0
5
(2)化为对 y的定积分， x y2, y从1到 1.
2.存在条件： 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲 L 线 上连续 , 第时 二类曲线. 积分存在
3.组合形式
LP(x, y)dxLQ(x, y)dy
LP(x, y)dxQ(x, y)dyLFds.
其 F P i Q j 中 ,d d i s d j x . y
4.推广
空间有向曲线弧PdxQdyRd. z
对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)PPT
L
AO
OB
0
1
1 x( x)dx 0 x 5
曲线积分与曲面积分
A(1,1) 12
(2) 化为对y的定积分，
x y2,
y从 1到1.
xydx xydx
L
AB
1 y2 y( y2 )dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
曲线积分与曲面积分
B(1,1)
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)] (t)}dt
曲线积分与曲面积分
11
例1 计算 xydx,其中L为抛物线 y2 x上从 L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
B(1,1)
解 (1) 化为对x的定积分，y x.
y2 x
xydx xydx xydx
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
则
d
Pdx Qdy {P[x( y), y]x( y) Q[x( y), y]}dy.
L
c
曲线积分与曲面积分
10
x (t)
(3) 推广
:
y
(t
),
t起点 ,终点 .
z (t)
Pdx Qdy Rdz
{
P[
(t
),
曲线积分与曲面积分
6
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
x,
y,
z)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
,
i
)xi
10-2对坐标的曲线积分19245
5.性质
(1)如果 L 分 把 L 1 成 和 L 2,则
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相反 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P(x, y),Q(x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为xy
(t), (t),
当参数t单调地由变
到时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
y2 x
xy dxxy dx xydx
L
AO
OB
0
1
1x(x)d x0xxdx
A(1,1)
2
13
x2dx
4.
0
5
(2)化为对 y的定积分， x y2, y从1到 1.
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
4.推广
空间有向曲线弧PdxQdyRd. z
n
P (x ,y,z)d x l i0im 1P (i,i, i) x i.
n
Q (x ,y,z)d y l i0im 1Q ( i, i, i) yi.
n
R (x ,y,z)d zl i0im 1R ( i, i, i) zi.
其中cos
高等数学B资料：10_2对坐标的曲线积分
W Wk
2)“常代变” k1
M k 1
A
y
有向小弧段
可用切线段
近似代替。在 则有
上任取一点
Wk F (k ,k , k ) sk Tk (k ,k , k )
其中，Tk (k ,k , k )为曲线C在点(k ,k , k )
处沿曲线方向的单位切向量。si为小弧段Ai1 A1
16
例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
B
A
a o a x
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2 dx a2 sin2 t (a sin t )d t
L
0
2a3 2 1 4 a3
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
AO : y x, x :1 0
y x
OB : y x, x : 0 1
o y x x
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为参数, 则
A(1,1)
2
1
x
3 2
dx
4
0
5
xydx 1 y2 y( y2 )dy
化为第一型曲线积分，其中 C 为沿抛物线 y x2
从点（0,0）到点（1,1）的弧线段。
解： y x2 ， ds 1[ y( x)]2 dx 14 x2 dx ，则
cos dx 1 ， ds 14x2
cossin
1cos2
1
1 1 4 x 2
2x ， 1 4 x 2
2)“常代变” k1
M k 1
A
y
有向小弧段
可用切线段
近似代替。在 则有
上任取一点
Wk F (k ,k , k ) sk Tk (k ,k , k )
其中，Tk (k ,k , k )为曲线C在点(k ,k , k )
处沿曲线方向的单位切向量。si为小弧段Ai1 A1
16
例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
B
A
a o a x
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2 dx a2 sin2 t (a sin t )d t
L
0
2a3 2 1 4 a3
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
AO : y x, x :1 0
y x
OB : y x, x : 0 1
o y x x
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为参数, 则
A(1,1)
2
1
x
3 2
dx
4
0
5
xydx 1 y2 y( y2 )dy
化为第一型曲线积分，其中 C 为沿抛物线 y x2
从点（0,0）到点（1,1）的弧线段。
解： y x2 ， ds 1[ y( x)]2 dx 14 x2 dx ，则
cos dx 1 ， ds 14x2
cossin
1cos2
1
1 1 4 x 2
2x ， 1 4 x 2
《对坐标的曲线积分》课件
理解坐标曲线积 分在物理、工程 等领域的应用
掌握坐标曲线积 分与微积分、线 性代数等课程的 联系
培养解决问题的 能力和创新思维
THANK YOU
汇报人：
曲线积分是微积分的一个重要分支，广泛应用于物理、工程等领域
曲线积分可以帮助我们理解和解决许多实际题，如流体力学、电磁学等
曲线积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用价值 曲线积分是微积分的一个重要工具，可以帮助我们理解和解决许多实际问 题
为后续学习打下基础
掌握坐标曲线积 分的概念、性质 和计算方法
例题解析与练习
典型例题解析
例题1：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^2 例题2：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^3 例题3：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^4 例题4：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^5
练习题及答案解析
曲线积分概念引入
曲线积分的定义：对曲线上的函数 进行积分
曲线积分的特点：与直线积分不同， 需要考虑曲线的弯曲程度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
曲线积分的应用：物理、工程、经 济等领域
曲线积分的分类：第一类曲线积分 和第二类曲线积分
本次PPT课件的目的和内容
目的：介绍坐 标的曲线积分 的概念、方法
对坐标的曲线积分的注意事项 及常见错误分析
参数方程和直角坐标系转换时的注意事项
转换时注意参数方程和直角坐标系的转换关系 转换过程中注意参数方程的取值范围 转换过程中注意参数方程的连续性和可微性 转换过程中注意参数方程的积分区间和积分限
计算曲线积分时的常见错误及解决方法
错误：积分区间错误 解决方法：正确选择积分区间， 确保积分区间包含曲线的全部长度 解决方法：正确选择积分区间，确保积分区间包含曲线的全部长 度
高等数学10-2
y
F (ξ k , η k ) M x−1 Δk k My k Δk
W = ∑ ΔWk
k =1
n
B
L A
x 有向小弧段 M k −1 M k 用有向线段 M k −1 M k = ( Δ xk , Δ yk ) 近似代替, 在 M k −1 M k 上任取一点 ( ξ k , ηk ), 则有
ΔWk ≈ F (ξk , ηk ) ⋅ M k −1 M k = P (ξk , ηk )Δ xk + Q (ξk , ηk )Δ yk
0 2π
( t : 2π → 0 ) z
+ ( −2 + 2 cos t − sin t ) cos t + (cos t − sin t )(cos t + sin t ) ]d t = ∫ (1 − 4 cos 2 t ) d t = −2π
0
机动
Γ
o x
目录 上页 下页
2π
y
返回 结束
【例6】设在力场 F = ( y , − x , z ) 作用下, 质点由 A(R, 0, 0) z 沿Γ移动到 B( R , 0 , 2π k ), 其中Γ为 B ( 1) x = R cos t , y = R sin t , z = k t ;
n
(其中λ 为 n 个小弧段的 最大长度)
y
F (ξ k , η k )
L A
Mx k−1 Δk
My k Δk
B
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 【定义】 设L为 xoy面内从点 A到点 B的一条有 向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q( x , y )在 L
10-2 对坐标的曲线积分-31页PPT资料
©
例5. 将积分
化为对弧长的积
分, 其中L 为
解： L：y x2 上的从A到B的切向量
T (1,2x)
其方向余弦分别为
cos 1 ,
4x2 1
cos 2x
4x2 1
LP (x,y)dxQ (x,y)dy
©
例+. 设
续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
在L上连
证:
LP c o s Q co d ss
L
0
2a3 2 1 4 a 3
3
3
(2) 取 L 的方程为 y 0 ,x :a a ,则
©
例2. 计算
其中L为 y
B(1, 2 )
(1) 抛物线 L:y2x2,x:0 1; x y2
(2) 抛物线
(3) 有向折线 OAB
解: (1) 原式
(2) 原式
1
( 2x2x)dx
第二节
第十章
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
©
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L
B
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y )) A x
L
1
©
例1. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
B a o
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
A ax
解: (1) 取L的参数方程为
例5. 将积分
化为对弧长的积
分, 其中L 为
解： L：y x2 上的从A到B的切向量
T (1,2x)
其方向余弦分别为
cos 1 ,
4x2 1
cos 2x
4x2 1
LP (x,y)dxQ (x,y)dy
©
例+. 设
续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
在L上连
证:
LP c o s Q co d ss
L
0
2a3 2 1 4 a 3
3
3
(2) 取 L 的方程为 y 0 ,x :a a ,则
©
例2. 计算
其中L为 y
B(1, 2 )
(1) 抛物线 L:y2x2,x:0 1; x y2
(2) 抛物线
(3) 有向折线 OAB
解: (1) 原式
(2) 原式
1
( 2x2x)dx
第二节
第十章
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
©
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L
B
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y )) A x
L
1
©
例1. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
B a o
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
A ax
解: (1) 取L的参数方程为
102对坐标的曲线积分
0
3
Ao
Bx（2） y2dxx2dy L
y2 d x x2 d yy2 d x x2 d y
AC
CB
0[(x1)2x2]dx 1[1(x)2x2]dx
1
0
0
2 3
2 3
例2 求 x2 ydx, 其中 L是抛物线 x y2 从点 A(1,1) L
到点 B(1,1) 的一段弧。
y
解 x2 ydx 1y4y2ydy
L
1
A
2 1 y6dy 1
o
x
4 1 y6dy 0
B
4
7
例3 求 xdy2yd,x其中 L是圆周 x2 y2 1, L
取逆时针方向。
解 L的方程为
y
x ct,o y sti( n t:0 2)
则 Lxdy2ydx
o
x 2[co 2t s2si2nt]dt 0
2[11co2st]dt3
（1）L是从点 A(1,0)到点 B(1, 0)的上半单位圆周； （2）L是从点 A(1,0)到点C(0,1)再到点 B(1, 0) 的
折线段。
解（1） L的方程为 y 1x2(x:11), 则
y
y2dxx2dy1[1(x2)x2 x ]dx
L
1
1x2
C
y 1x
y x1
2 1(1x2)dx 4
是定义在空间有向光滑曲线 C上的有界函数，则F(x, y, z) 在C上对坐标的曲线积分定义为
C F dl C P ( x ,y ,z ) d Q x ( x ,y ,z ) d R y ( x ,y ,z ) dz
n
l 0 ik 1 m [ P (k ,k ,k ) x k Q (k ,k ,k ) y k R (k ,k ,k ) z k ]
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d c
则 Pdx Qdy { P [ x ( y ), y ] x ( y ) Q [ x ( y ), y ]} d .
x ( t ) ( 3 ) 推广 : y ( t ) , t 起点 , 终点 . z ( t )
(t ), (t )在以及为端点的闭区间上具有 一阶连
续导数 , 且 2 (t ) 2 (t ) 0, 则曲线积分
L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
且 P(x, y)dxQ(x, y)dy
L
{P [(t), (t)] (t) Q [(t), (t)] (t)} dt
( 1 )如果把 L 分成 L 和 L ,则 1 2 Qdy Qdy Qdy . Pdx Pdx Pdx
L L 1 L 2
( 2 )设 L 是有向曲线弧 , L 是与 L 方向相反 有向曲线弧 ,则
L L
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P ( x , y ) dx Q ( x , y ) d
其中 F P i Q j , ds dx i dy j .
4.推广
Pdx Qdy Rdz . 空间有向曲线弧
P ( x , y , z ) dx lim P ( , , ) x .
0 i 1 i i i i n
L 0 i 1 i i i
n
Байду номын сангаас
. 其中 P ( x ,y ), Q ( x ,y ) 叫做被积函数 , L叫积分弧段
2.存在条件： 当 P ( x ,y ),Q ( x ,y ) 在光滑曲线 L
上连续时 , 第二类曲线积分存在 .
3.组合形式
Q (x , y)dy LP(x, y)dx L P (x , y)dx Q (x , y)dy F ds . L L
lim [ P ( ,i ) x Q ( ,i ) y ] . 取极限 W i i i i 0
i 1
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设 L 为 xoy 面内从点 A 到点 B 的一条有
向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q ( x , y )在 L 上有界 . 用 L 上的点 M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ), , M n 1 ( x n 1 , y n 1 )把 L 分成 n 个有向小弧段 M i 1 M i ( i 1, 2 , , n; M 0 A , M n B ). 设 x i x i x i 1 , y i y i y i 1 , 点 ( i , i )为 M i 1 M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 0时 ,
M M ( x ) i ( y ) j . i 1 i i i
y F ( ,) 取 F ( , ) P ( , ) i Q ( , ) j , i i i i i i M
i i
W F ( , ) M M , i i i i 1 i
Pdx Qdy Rdz
{ P[ (t ), (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t ), (t )] (t ) R[ (t ), (t ), (t )] (t )}dt
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P( x, y), Q( x, y)在曲线弧 L上有定义且连
x (t ), 续, L的参数方程为 当参数 t单调地由 变 y (t ), 到时, 点M ( x, y)从L的起点 A沿L运动到终点 B,
特殊情形
( 1 ) L : y y ( x )
L
x 起点为 a ，终点为 b .
b a
则 Pdx Qdy { P [ x , y ( x )] Q [ x , y ( x )] y ( x )} dx .
( 2 ) L : x x ( y )
L
y 起点为 c ，终点为 d .
一、问题的提出
L : A B ,
y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
LM
M2 M1
i 1
xi
yi
M i Mn1
A F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F AB .
分割 A M , M ( x , y ), , M ( x , y ), M B . 0 1 1 1 n 1 n 1 n 1n
, 则称此极限为函 P(i ,i )xi的极限存在
i 1
n
数P( x, y)在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线 积分 (或称第二类曲线积分） , 记作 P(i ,i )xi . L P( x, y)dx lim 0 i 1
类似地定义
n
Q ( x , y ) dy lim Q ( , ) y .
Q ( x , y , z ) dy lim Q ( , , ) y . i i i i 0 i 1
n
R ( x , y , z ) dz lim R ( , , ) z . i i i i 0 i 1
n
5.性质
n
n
B
i
L M xi
M2 M1
i 1
yi
Mn1
即 W P ( , ) x Q ( , ) y . i i i i i i i
A o
x
求和 W Wi
i 1
n i 1
近似值
[ P ( , ) x Q ( , ) y ] . i i i i i i
则 Pdx Qdy { P [ x ( y ), y ] x ( y ) Q [ x ( y ), y ]} d .
x ( t ) ( 3 ) 推广 : y ( t ) , t 起点 , 终点 . z ( t )
(t ), (t )在以及为端点的闭区间上具有 一阶连
续导数 , 且 2 (t ) 2 (t ) 0, 则曲线积分
L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
且 P(x, y)dxQ(x, y)dy
L
{P [(t), (t)] (t) Q [(t), (t)] (t)} dt
( 1 )如果把 L 分成 L 和 L ,则 1 2 Qdy Qdy Qdy . Pdx Pdx Pdx
L L 1 L 2
( 2 )设 L 是有向曲线弧 , L 是与 L 方向相反 有向曲线弧 ,则
L L
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy P ( x , y ) dx Q ( x , y ) d
其中 F P i Q j , ds dx i dy j .
4.推广
Pdx Qdy Rdz . 空间有向曲线弧
P ( x , y , z ) dx lim P ( , , ) x .
0 i 1 i i i i n
L 0 i 1 i i i
n
Байду номын сангаас
. 其中 P ( x ,y ), Q ( x ,y ) 叫做被积函数 , L叫积分弧段
2.存在条件： 当 P ( x ,y ),Q ( x ,y ) 在光滑曲线 L
上连续时 , 第二类曲线积分存在 .
3.组合形式
Q (x , y)dy LP(x, y)dx L P (x , y)dx Q (x , y)dy F ds . L L
lim [ P ( ,i ) x Q ( ,i ) y ] . 取极限 W i i i i 0
i 1
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设 L 为 xoy 面内从点 A 到点 B 的一条有
向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q ( x , y )在 L 上有界 . 用 L 上的点 M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ), , M n 1 ( x n 1 , y n 1 )把 L 分成 n 个有向小弧段 M i 1 M i ( i 1, 2 , , n; M 0 A , M n B ). 设 x i x i x i 1 , y i y i y i 1 , 点 ( i , i )为 M i 1 M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 0时 ,
M M ( x ) i ( y ) j . i 1 i i i
y F ( ,) 取 F ( , ) P ( , ) i Q ( , ) j , i i i i i i M
i i
W F ( , ) M M , i i i i 1 i
Pdx Qdy Rdz
{ P[ (t ), (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t ), (t )] (t ) R[ (t ), (t ), (t )] (t )}dt
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P( x, y), Q( x, y)在曲线弧 L上有定义且连
x (t ), 续, L的参数方程为 当参数 t单调地由 变 y (t ), 到时, 点M ( x, y)从L的起点 A沿L运动到终点 B,
特殊情形
( 1 ) L : y y ( x )
L
x 起点为 a ，终点为 b .
b a
则 Pdx Qdy { P [ x , y ( x )] Q [ x , y ( x )] y ( x )} dx .
( 2 ) L : x x ( y )
L
y 起点为 c ，终点为 d .
一、问题的提出
L : A B ,
y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
LM
M2 M1
i 1
xi
yi
M i Mn1
A F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F AB .
分割 A M , M ( x , y ), , M ( x , y ), M B . 0 1 1 1 n 1 n 1 n 1n
, 则称此极限为函 P(i ,i )xi的极限存在
i 1
n
数P( x, y)在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线 积分 (或称第二类曲线积分） , 记作 P(i ,i )xi . L P( x, y)dx lim 0 i 1
类似地定义
n
Q ( x , y ) dy lim Q ( , ) y .
Q ( x , y , z ) dy lim Q ( , , ) y . i i i i 0 i 1
n
R ( x , y , z ) dz lim R ( , , ) z . i i i i 0 i 1
n
5.性质
n
n
B
i
L M xi
M2 M1
i 1
yi
Mn1
即 W P ( , ) x Q ( , ) y . i i i i i i i
A o
x
求和 W Wi
i 1
n i 1
近似值
[ P ( , ) x Q ( , ) y ] . i i i i i i