2017-2018学年上海市长宁区高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)

2017-2018学年上海市长宁区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，答案填在答题纸相应位置1．已知数列{a n}是等差数列，若a1＝5，a2＝2，则a5＝．2．已知角α的终边经过点（﹣1，2），则tanα＝．3．半径为2的圆上，弧长为π2的弧所对圆心角的弧度数为．4．函数y＝2sin（2x−π4）的最小正周期是．5．2与8的等比中项是．6．函数y＝arccos x，x∈[−12，1]的值域是．7．函数y＝sin x+√3cos x在[0，2π]上的递减区间为．8．若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5＝0，则S6S3=．9．若x=π6是方程2cos（x+α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝．10．数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*），则a4＝．11．已知数列{a n}、{b n}都是公差为1的等差数列，且a1+b1＝5，b n∈Z+，设∁n=a bn，则数列{∁n}的前n项和S n＝．12．如图所示为函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中M、N分别是函数图象的最高点和最低点，且|MN|＝5，那么f（﹣3）＝．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．终边在y轴上的角的集合可表示为（）A．{α|α=2kπ+π2，k∈Z}B．{α|α=2kπ−π2，k∈Z}C．{α|α＝kπ+π，k∈Z}D．{α|α=kπ+π2，k∈Z}14．在△ABC中，a＝2，B＝60°，S△ABC=√32，则b＝（）A．1B．2C．√3D．2√315．要得到函数y ＝sin （2x −π3）的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象（ ）A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π316．数列{a n }满足“对任意正整数n ，都有a n +a n +3＝a n +1+a n +2“的充要条件是（ ） A ．{a n }是等差数列B ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列C ．{a 2n }是等差数列D ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知sin x =45，x ∈（π2，π）．（1）求tan （π﹣x ）的值；（2）求sin （2x +π3）−√3cos （2x +π3）的值．18．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且b 1＝a 1＝2，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ． （1）若S 3＝15，a n ＝56，求n ；（2）若数列{a n }的公差d ＝2，b 2＝a 3，求数列{b n }的公比q 及T n ．19．已知海岛B 在海岛A 北偏东45°，且与A 相距20海里，物体甲从海盗B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时物体乙从海岛A 以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动．（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B 到达海岛A 的过程中，甲乙两物体的最短距离．20．已知函数f （x ）＝2sin 2（π4+x ）−√3cos2x（1）求函数f （x ）的最大值，以及取到最大值时所对应的x 的集合； （2）|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数f n （x ）＝a 1sin （ωx +φ1）+a 2sin （ωx +φ2）+…+a n sin （ωx +φn ）（ω＞0），其中数列{a n }是公比为2的等比数列，数列{φn }是公差为π2的等差数列．（1）若a 1＝1，φ1=π2，分别写出数列{a n }和数列{φn }的通项公式； （2）若f 2（x ）是奇函数，且φ1∈（0，π），求φ1；（3）若函数f n （x ）的图象关于点（π2，0）对称，且当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，求ω的最小值．2017-2018学年上海市长宁区高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，答案填在答题纸相应位置 1．已知数列{a n }是等差数列，若a 1＝5，a 2＝2，则a 5＝ ﹣7 ．【分析】由数列{a n }是等差数列，结合等差数列的性质可求d ，然后代入a 5＝a 1+4d 即可求解．解：∵数列{a n }是等差数列， 若a 1＝5，a 2＝2， ∴d ＝a 2﹣a 1＝﹣3，则a 5＝a 1+4d ＝5﹣4×3＝﹣7． 故答案为：﹣72．已知角α的终边经过点（﹣1，2），则tan α＝ ﹣2 ． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值． 解：∵角α的终边经过点（﹣1，2），则tan α=2−1=−2， 故答案为：﹣2．3．半径为2的圆上，弧长为π2的弧所对圆心角的弧度数为π4．【分析】由弧长公式L ＝R θ直接可以算出． 解：由题意可得：L =π2，R ＝2 ∵L ＝R θ， ∴θ=L R =π4． 故答案为：π4．4．函数y ＝2sin （2x −π4）的最小正周期是 π ．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T =2π|ω|，即可求出函数的最小正周期． 解：y ＝2sin （2x −π4）， ∵ω＝2，∴T =2π2=π，∴函数的最小正周期为π． 故答案为：π．5．2与8的等比中项是 ±4 ． 【分析】利用等比中项公式求解． 解：2与8的等比中项是： G =±√2×8=±4． 故答案为：±4．6．函数y ＝arccos x ，x ∈[−12，1]的值域是 [0，2π3] ．【分析】根据余弦函数的图象与性质，可得y ＝cos x 在[0，2π3]上的值域为[−12，1]，结合反函数的定义域就是原函数的值域，可得本题函数的值域． 解：∵函数y ＝cos x ，当x ∈[0，π]时是单调减函数 当x ＝0时y ＝1，当x =2π3时，y =−12∴y ＝cos x 在[0，2π3]上的值域为[−12，1] 根据反函数的定义域就是原函数的值域， 可得函数y ＝arccos x ，x ∈[−12，1]的值域是[0，2π3] 故答案为：[0，2π3] 7．函数y ＝sin x +√3cos x 在[0，2π]上的递减区间为 [π6，7π6] ．【分析】利用正弦函数的单调递减区间可得． 解：∵y ＝2sin （x +π3）， 由π2+2k π≤x +π3≤3π2+2k π，k ∈Z ． 得π6+2k π≤x ≤7π6+2k π，k ∈Z ， 又x ∈[0，2π]，∴x ∈[π6，7π6]，故答案为：[π6，7π6]．8．若S n 为等比数列{a n }的前n 项的和，8a 2+a 5＝0，则S 6S 3= ﹣7 ．【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q 3的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n 项和公式，即可求出结果． 解：由8a 2+a 5＝0，得到a 5a 2=q 3＝﹣8S 6S 3=a 1(1−q 6)1−q a 1(1−q 3)1−q=1−q 61−q =−7故答案为：﹣7．9．若x =π6是方程2cos （x +α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝π6或3π2．【分析】利用三角函数方程求出α的表达式，再根据α∈（0，2π）写出满足条件的α的值． 解：x =π6是方程2cos （x +α）＝1的解， ∴2cos （π6+α）＝1，∴cos （π6+α）=12，∴π6+α＝2k π±π3，∴α＝2k π+π6，α＝2k π−π2，k ∈Z ； 又α∈（0，2π）， ∴α=π6或3π2．故答案为：π6或3π2．10．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n （n ∈N *），则a 4＝ 18 ． 【分析】运用数列的递推公式计算可得结果． 解：根据题意，a n +1＝2S n ① 当n ≥2时，a n ＝2S n ﹣1② ①﹣②得，a n +1﹣a n ＝2a n ， ∴a n +1＝3a n （n ≥2） ∴a 1＝1，a 2＝2S 1＝2， a 3＝6，a 4＝18， 故答案为：18．11．已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，且a 1+b 1＝5，b n ∈Z +，设∁n =a b n ，则数列{∁n }的前n 项和S n ＝12n （n +7） ．【分析】根据等差数列的通项公式把ab n 转化到a 1+（b n ﹣1），再把b n 转化b 1+n ﹣1，然后由已知和等差数列的前n 项和可求结果． 解：S n ＝ab 1+ab 2+ab 3+⋯+ab n＝[a 1+（b 1﹣1）]+[a 1+（b 2﹣1）]+[a 1+（b 3﹣1）]+…+[a 1+（b n ﹣1）]＝[a 1+（b 1﹣1）]+[a 1+（b 1+1）﹣1]+[a 1+（b 1+2）﹣1]+…+[a 1+（b 1+n ﹣1）﹣1]＝na 1+nb 1﹣n +1+2+…+（n ﹣1）＝n （a 1+b 1 ）﹣n +n(n−1)2＝4n +n(n−1)2=12n （n +7）．故答案为：12n （n +7）．12．如图所示为函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中M 、N 分别是函数图象的最高点和最低点，且|MN |＝5，那么f （﹣3）＝ ﹣1 ．【分析】由图可知：A ＝2，因为T2=√|MN|2−42=√25−16=3，∴T ═6，∴ω=2π6=π3，再令x ＝0得sin φ=12，最后令x ＝﹣3及诱导公式可得． 解：由图可知：A ＝2，因为T2=√|MN|2−42=√25−16=3，∴T ═6，∴ω=2π6=π3，∴f （x ）＝2sin （π3x +φ），依题意令x ＝0，得f （0）＝1，即sin φ=12，∴f （﹣3）＝2sin （π3×（﹣3）+φ）＝2sin （﹣π+φ）＝﹣2sin φ＝﹣2×12=−1 故答案为：﹣1二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．终边在y 轴上的角的集合可表示为（ ） A ．{α|α=2kπ+π2，k ∈Z} B ．{α|α=2kπ−π2，k ∈Z} C ．{α|α＝k π+π，k ∈Z }D ．{α|α=kπ+π2，k ∈Z}【分析】直接利用象限角、周线角的定义，弦长终边在y 轴上的角的集合，即可得到选项．解：由象限角、周线角的定义可知终边在y 轴上的角的集合可表示为：{α|α=kπ+π2，k ∈Z}． 故选：D ．14．在△ABC 中，a ＝2，B ＝60°，S △ABC =√32，则b ＝（ ）A ．1B ．2C ．√3D ．2√3【分析】由三角形面积公式12acsinB =12×2c ×√32=√32，可求c ，然后由余弦定理cos B =a 2+c 2−b 22ac，可求 解：∵a ＝2，B ＝60°，S △ABC =√32，∴12acsinB =12×2c ×√32=√32， ∴c ＝1，则由余弦定理可得，cos B =a 2+c 2−b 22ac，∴12=4+1−b 24，解可得，b =√3 故选：C ．15．要得到函数y ＝sin （2x −π3）的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象（ ） A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π3【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．解：将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位，可得函数y ＝sin （2x −π3）的图象，故选：B ．16．数列{a n }满足“对任意正整数n ，都有a n +a n +3＝a n +1+a n +2“的充要条件是（ ） A ．{a n }是等差数列B ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列C ．{a 2n }是等差数列D ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等【分析】根据题意，由a n +a n +3＝a n +1+a n +2变形可得a n +3﹣a n +1＝a n +2﹣a n ，即可得{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等，即可得a n +a n +3＝a n +1+a n +2是{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等的充分条件；反之验证即可得答案．解：根据题意，数列{a n}满足对任意正整数n，对任意正整数n，都有a n+a n+3＝a n+1+a n+2，则有a n+3﹣a n+1＝a n+2﹣a n，则有{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等，故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的充分条件；反之，{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等，必有a n+3﹣a n+1＝a n+2﹣a n，变形可得a n+a n+3＝a n+1+a n+2，故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的必要条件；故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的充分必要条件；故选：D．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知sin x=45，x∈（π2，π）．（1）求tan（π﹣x）的值；（2）求sin（2x+π3）−√3cos（2x+π3）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，求得cos x的值，再利用诱导公式求得tan（π﹣x）的值．（2）利用两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式，求得sin（2x+π3）−√3cos（2x+π3）的值．解：（1）∵sin x=45，x∈（π2，π），∴cos x=−√1−sin2x=−35，∴tan（π﹣x）＝﹣tan x=−sinxcosx=43．（2）sin（2x+π3）−√3cos（2x+π3）＝2sin（2x+π3−π3）＝2sin2x＝4sin x cos x=−4825．18．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1＝2，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（1）若S3＝15，a n＝56，求n；（2）若数列{a n}的公差d＝2，b2＝a3，求数列{b n}的公比q及T n．【分析】（1）根据题意，分析可得S3＝a1+a2+a3＝3a2＝15，则a2＝5，进而可得d＝a2﹣a1＝5﹣2＝3，又由a n＝56，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）根据题意，分析可得b2＝a3＝a1+2d＝6，进而可得公比q，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，若S3＝15，则S3＝a1+a2+a3＝3a2＝15，则a2＝5，则d ＝a 2﹣a 1＝5﹣2＝3，又由a n ＝56，则有a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝3n ﹣1＝56， 解可得：n ＝19；（2）根据题意，b 2＝a 3＝a 1+2d ＝6， 则q =b2b 1=3，则T n =b 1(1−q n )1−q =2×(1−3n )1−3=3n ﹣1． 19．已知海岛B 在海岛A 北偏东45°，且与A 相距20海里，物体甲从海盗B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时物体乙从海岛A 以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动．（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B 到达海岛A 的过程中，甲乙两物体的最短距离．【分析】（1）由正弦定理可解得； （2）由余弦定理及配方法可求得最小值．解：（1）设经过t （0＜t ＜10）小时，物体甲移动到E 的位置，物体乙移动到F 的位置， 物体甲与海岛A 的距离为AE ＝20﹣2t 海里，物体乙与海岛A 距离为AF ＝4t 海里， 当甲在乙正东方时，∠AFE ＝75°，∠AEF ＝45°， 在△AEF 中，由正弦定理得：AE sin∠AFE=AF sin∠AEF，即20−2tsin75°=4t sin45°，则t ＝20﹣10√3，所以，经过20﹣10√3小时，物体甲在物体乙的正东方向． （2）由（1）题设，AE ＝20﹣2t ，AF ＝4t ， 由余弦定理得：EF 2＝AE 2+AF 2﹣2AE •AF cos ∠EAF＝（20﹣2t ）2+（4t ）2﹣2×（20﹣2t ）×4t ×12=28（t −207）2+12007，由0＜t ＜5，得当t =207时，EF min =20√217海里 所以，甲乙两物体之间的距离最短为20√217海里．20．已知函数f （x ）＝2sin 2（π4+x ）−√3cos2x （1）求函数f （x ）的最大值，以及取到最大值时所对应的x 的集合；（2）|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f （x ）＝1+2sin （2x −π3），利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的最大值，以及取到最大值时所对应的x 的集合；（2）由x ∈[π4，π2]，可求f （x ）max ＝3，f （x ）min ＝2．由题意可得m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2，即可解得实数m 的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵f （x ）＝[1﹣cos （π2+2x ）]−√3cos2x ＝1+sin2x −√3cos2x＝1+2sin （2x −π3），∴f （x ）max ＝3，…此时，∵2x −π3=2k π+π2，k ∈Z ，∴解得x =5π12+kπ(k ∈Z)⋯ （2）∵x ∈[π4，π2]，∴π6≤2x −π3≤2π3， 即2≤1+2sin （2x −π3）≤3，∴f （x ）max ＝3，f （x ）min ＝2．∵|f （x ）﹣m |＜2⇔f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，x ∈[π4，π2]， ∴m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2，∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．…21．已知函数f n （x ）＝a 1sin （ωx +φ1）+a 2sin （ωx +φ2）+…+a n sin （ωx +φn ）（ω＞0），其中数列{a n }是公比为2的等比数列，数列{φn }是公差为π2的等差数列． （1）若a 1＝1，φ1=π2，分别写出数列{a n }和数列{φn }的通项公式；（2）若f 2（x ）是奇函数，且φ1∈（0，π），求φ1；（3）若函数f n （x ）的图象关于点（π2，0）对称，且当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，求ω的最小值．【分析】（1）根据等比数列、等差数列的通项公式a n ＝a 1q n ﹣1，b n ＝b 1+（n ﹣1）d 可得；（2）根据f 2（x ）为奇函数，所以f 2（﹣x ）＝﹣f 2（x ）恒成立，所以a 1sin φ1+a 2sin φ2＝0，解方程可得φ1＝π﹣arctan2；（3）将f n （x ）化成f n （x ）＝m sin ωx +n cos ωx =√m 2+n 2sin （ωx +φ）的形式，依题意有f n （π2）＝0，从而π2ω+φ＝k 1π，k 1∈Z ①，因为当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，所以πω+φ＝2k 2π+3π2，k 2∈Z ②，两式相减得ω＝4k 2﹣2k 1+3，∴当k 2＝0，k 1＝1时，ω取得最小值为1 解：（1）a n ＝2n ﹣1，φn =nπ2； （2）f 2（x ）＝（a 1cos φ1+a 2cos φ2）sin ωx +（a 1sin φ1+a 2sin φ2）cos ωx因为f 2（﹣x ）+f 2（x ）＝0，所以a 1sin φ1+a 2sin φ2＝0即a 1sin φ1+2a 1cos φ1＝0，所以tan φ1＝﹣2，又由φ1∈（0，π），得φ1＝π﹣arctan2（3）f n （x ）＝a 1sin （ωx +φ1）+a 2sin （ωx +φ2）+…+a n sin （ωx +φn ）＝（a 1cos φ1+a 2cos φ2+…+a n cos φn ）sin ωx +（a 1sin φ1+a 2sin φ2+…+a n sin φn ）cos ωx 记a 1cos φ1+a 2cos φ2+…+a n cos φn ＝m ，a 1sin φ1+a 2sin φ2+…+a n sin φ＝n则f n （x ）＝m sin ωx +n cos ωx =√m 2+n 2sin （ωx +φ），其中m 2+n 2≠0； 因为f n （x ）的图象关于点（π2，0）对称，所以π2ω+φ＝k 1π，k 1∈Z ① 因为当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，所以πω+φ＝2k 2π+3π2，k 2∈Z ② ②﹣①得ω＝4k 2﹣2k 1+3，因为k 1，k 2∈Z ，ω＞0，∴当k 2＝0，k 1＝1时，ω取得最小值为1。