高二下文科数学期末复习卷

高二下文科数学期末复习卷班级姓名一．选择题（共12小题）1．如果x﹣1+yi与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），则x+y=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣2．若a∈R，复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i是纯虚数，则（）A．a≠2且a≠﹣1 B．a=0 C．a=2 D．a=0或a=23．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，则曲线C的方程为（）A．B．C．D．4x2+9y2=14．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ，yi）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg5．给出下列一段推理：若一条直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线．已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α，所以a∥b．上述推理的结论不一定是正确的，其原因是（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误D．非以上错误6．将正整数排成下表：则在表中数字2015出现在（）A．第44行第78列B．第45行第79列C．第44行第77列D．第45行第77列7．下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法．A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．139．直线（t是参数）被圆x2+y2=9截得的弦长等于（）A．B．C．D．10．曲线ρ=4sin（x+）与曲线的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交C．相切D．相离11．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．12．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60°二．填空题（共4小题）13．观察式子，…，则可归纳出．14．为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50则有以上的把握认为”15．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为ρ2=；则若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值。

16．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为．三．解答题（共6小题）17．已知数列{an }中，a1=1，an+1=（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式；（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{}是等差数列时的大前提、小前提和结论．18．设z=．①求|z|；②若i，m∈R，求实数m的值．19．已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．20．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．21．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．22．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l 交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．高二下文科数学期末复习卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2017•重庆模拟）如果x﹣1+yi与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），则x+y=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【分析】利用共轭复数的定义可得关于x，y的方程，即可得出．【解答】解：∵x﹣1+yi与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），∴x﹣1=﹣3x，y=﹣1，解得x=，y=﹣1．则x+y=﹣．故选：D．【点评】本题考查了共轭复数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2017•六安模拟）若a∈R，复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i是纯虚数，则（）A．a≠2且a≠﹣1 B．a=0 C．a=2 D．a=0或a=2【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵a∈R，复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i是纯虚数，∴a2﹣2a=0，a2﹣a﹣2≠0，解得a=0．故选：B．【点评】本题考查了纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（2014秋•花垣县校级期中）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，则曲线C的方程为（）A．B．C．D．4x2+9y2=1【分析】直角坐标系中的伸缩变换只要是利用变换前的关系式，变换关系，变换后的关系式，只要知道其中的两个变量就可以求出点三个变量．本题知道第二、第三个变量求第一个变量．【解答】解：曲线C经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x′2+y′2=1②，把①代入②得到：故选：A【点评】本题考查的知识要点：直角坐标系中的函数关系式的伸缩变换，属于基础题型．4．（2017•南昌一模）设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ，yi）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．故选：D．【点评】本题考查了回归分析与线性回归方程的应用问题，是基础题目．5．（2017•泉州模拟）给出下列一段推理：若一条直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线．已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α，所以a ∥b．上述推理的结论不一定是正确的，其原因是（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误D．非以上错误【分析】分析该演绎推理的三段论，即可得出错误的原因是什么．【解答】解：该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；小前提是：已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α；结论是：a∥b；该结论是错误的，因为大前提是错误的，正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．故选：A．【点评】本题通过演绎推理的三段论叙述，考查了空间中线面垂直的性质定理的应用问题，是基础题．6．（2017春•和平区校级期中）将正整数排成下表：则在表中数字2015出现在（）A．第44行第78列B．第45行第79列C．第44行第77列D．第45行第77列【分析】根据每一行最后一个数的规律得到第n行的最后一个数为n2，然后解n2与2015的关系，确定2015的位置．【解答】解：因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n行的最后一个数为n2．因为442=1936，452=2025，所以2015出现在第45行上．又由2015﹣1936=79，故2015出现在第79列，故选：B【点评】本题主要考查了归纳推理的应用，通过每一行的最后一个数得到数值的规律是解决本题的关键．7．（2017春•应县校级期中）下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法．A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②【分析】根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确；对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确；对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误；则正确的是①②；故选：D．【点评】本题考查推理的基本定义，注意掌握合情推理与演绎推理的定义以及特点即可．8．（2016•河南模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=254，k=8，不满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=510，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=1022，k=10，不满足退出循环的条件，第10次执行循环体后，S=2046，k=11，满足退出循环的条件，故输出的k值为11，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．（2017春•麦积区校级期中）（普通班做）直线（t是参数）被圆x2+y2=9截得的弦长等于（）A．B．C．D．【分析】直线（t是参数），消去参数化为普通方程．利用点到直线的距离公式可得：圆心O（0，0）到直线的距离d，即可得出直线被圆x2+y2=9截得的弦长=2．【解答】解：直线（t是参数），消去参数化为普通方程：x﹣2y+3=0．圆心O（0，0）到直线的距离d=，∴直线被圆x2+y2=9截得的弦长=2=2=．故选：D．【点评】本题考查了参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（2017春•阿拉善左旗校级期中）曲线ρ=4sin（x+）与曲线的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交C．相切D．相离【分析】先应用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将曲线ρ=4sin（θ+）化为直角坐标方程，轨迹为圆，再化简曲线为直线x+y﹣1=0，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系．【解答】解：曲线ρ=4sin（θ+）=2（sinθ+cosθ），∴ρ=2（sinθ+cosθ），化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2x﹣2y=0即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，圆心为（1，1），半径为，曲线化为普通方程为直线x+y﹣1=0，则圆心到直线的距离为=，故直线与圆相交且不过圆心．故选：B．【点评】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，及直线与圆的位置关系，属于基础题．11．（2016春•阳高县校级期末）若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】把直线l的参数方程化为普通方程，利用斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：由题意得，设直线l倾斜角为θ，直线l的参数方程为（t 为参数），可化为，则，∵θ∈（0，π），∴，故选：B．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2016秋•孝感期末）用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：B．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．二．填空题（共4小题）13．（2016•潍坊一模）观察式子，…，则可归纳出（n≥1）．【分析】根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果．【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是n+1．不等号右边的分子是2n+1，∴1+…+＜（n≥1）．故答案为：（n≥1）．【点评】本题考查归纳推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．（2015•龙岩模拟）为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：附表：（参考公式k 2=，（n=a+b+c+d ）则有 99.5% 以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．【分析】根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据8.333＞7.879，即可得到有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”． 【解答】解：∵根据表中数据，得到k 2的观测值≈8.333＞7.879，由于P （k 2≥7.879）≈0.005，∴有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”． 故答案为：99.5%．【点评】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．15．（2017•红桥区一模）已知曲C 的极坐标方程ρ=2sin θ，设直线L 的参数方程，（t 为参数）设直线L 与x 轴的交点M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN|的最大值 ．【分析】首先将曲线C化成普通方程，得出它是以P（0，1）为圆心半径为1的圆，然后将直线L化成普通方程，得出它与x轴的交点M的坐标，最后用两个点之间的距离公式得出PM的距离，从而得出曲C上一动点N到M的最大距离．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程ρ=2sinθ，化成普通方程：x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1∴曲线C表示以点P（0，1）为圆心，半径为1的圆∵直L的参数方程是：∴直L的普通方程是：4x+3y﹣8=0∴可得L与x轴的交点M坐标为（2，0）∴由此可得曲C上一动点N到M的最大距离等于故答案为：【点评】本题考查了简单的曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程、以及圆上动点到圆外一个定点的距离最值的知识点，属于中档题．16．（2017•南京一模）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 4 ．【分析】化简复数为a+bi（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．【解答】解：=．∵复数是纯虚数∴，解得：a=4．故答案为：4．【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．三．解答题（共6小题）17．（2016春•咸阳期末）已知数列{an }中，a1=1，an+1=（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式；（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{}是等差数列时的大前提、小前提和结论．【分析】（Ⅰ）由数列{an }的递推公式可得a2，a3，a4，进而可猜想通项公式；（Ⅱ）由三段论的模式和等差数列的定义可证．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an }中，a1=1，an+1=，a 2=，a3=，a4=猜想：an=；（Ⅱ）∵通项公式为an 的数列{an}，若an+1﹣an=d，d是常数，则{an}是等差数列，…大前提又∵﹣=，为常数；…小前提∴数列{}是等差数列．…结论【点评】本题考查简单的逻辑推理和数列的递推公式，属基础题．18．（2017春•涵江区校级期中）设z=．①求|z|；②若i，m∈R，求实数m的值．【分析】①根据复数的四则运算进行化简，结合复数的模长公式进行计算即可．②根据复数相等的条件建立方程即可求出m的值．【解答】解：①z======1﹣i，则|z|=；②若i，m∈R，则||+mi=i（1﹣i）=i+，即+mi=i+，即m=．【点评】本题主要考查复数的化简和模长的计算，根据复数的运算法则将复数进行化简是解决本题的关键．19．（2015•柳州一模）已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】本题考查直线与圆的位置关系问题，直线被圆所截得的弦长可用代数法和几何法来加以求解【解答】解：（1）由曲线C：ρ2cos2θ=ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，得ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=1，化成普通方程x2﹣y2=1．①（5分）（2）（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程，②把②代入①，整理，得t2﹣4t﹣6=0，设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1•t2=﹣6，．（8分）从而弦长为．（10分）（方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为，代入x2﹣y2=1，得2x2﹣12x+13=0，．（6分）设l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，．（8分）∴．（10分）【点评】方法一：利用了直线参数方程中参数的几何意义方法二：利用了直线被圆所截得的弦长公式20．（2015•红河州一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|=•|t1﹣t2|=5 ，运算求得结果．（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，设A，B对应的参数分别为 t1和t2，则 t1+t2=，t1•t2=﹣．所以|AB|=•|t1﹣t2|=5 =．（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=．所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=．【点评】本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．21．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（2016•白银模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l 交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．。