习题新教材高考数学模拟题精编详解试题(第7套)

新教材高考数学模拟题精编详解第七套试题
说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．两个非零向量e 1，e 2不共线，若（k e 1＋e 2）∥（e 1＋k e 2），则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．0 2．有以下四个命题，其中真命题为（ ）
A ．原点与点（2，3）在直线2x ＋y -3＝0的同侧
B ．点（2，3）与点（3，1）在直线x -y ＝0的同侧
C ．原点与点（2，1）在直线2y -6x ＋1＝0的异侧
D ．原点与点（2，1）在直线2y -6x ＋1＝0的同侧 3．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．
I ．随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．
上述两问题和两方法配对正确的是（ ）
A ．①配I ，②配Ⅱ
B ．①配Ⅱ，②配Ⅰ
C ．①配I ，②配I
D ．①配Ⅱ，②配Ⅱ
4．已知函数x
x f )2
1()( ，其反函数为)(x g ，则2
)(x g 是（ ）
A ．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减
B ．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增
C ．奇函数且在（-∞，0）上单调递减
D ．偶函数且在（-∞，0）上单调递增
5．以下四个命题：
①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线． 其中正确的命题是（ ）
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
6．从单词“education ”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at ”（“at ”相连且顺序不变）的概率为（ ） A ．
181 B ．3781 C ．4321 D ．756
1 7．已知正二十面体的各面都是正三角形，那么它的顶点数为（ ）
A ．30
B ．12
C ．32
D ．10
8．已知26)1()1(-+ax x 的展开式中，3
x 系数为56，则实数a 的值为（ ）
A ．6或5
B ．-1或4
C ．6或-1
D ．4或5
9．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是（ ）
A ．（1），（2），（3）
B ．（1），（3），（4）
C ．（2），（4）
D ．（2），（3）
10．（文）函数12
cos
2
-=x
y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．π
2
1 （理）函数)4
π
(cos )4π(cos 22
--+
=x x y 是（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数
C ．周期为2π的偶函数
D ．周期为2π的奇函数 11．（文）如图，正四面体ABCD 中，
E 为AB 中点，
F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
（理）如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB ＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（ ）
A ．
22 B ．515 C ．46 D ．3
6
12．（文）抛物线)2(2)2(2
+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（ ）
A ．0
B ．23
C ．2
D ．3 （理）已知椭圆2
222
1a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公
共点，则a 的取值范围是（ ）
A ．2230<
<a B ．2230<<a 或2
82
>a C ．223<a 或282>a D ．2
82
223<<a
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上 13．已知a ＝（3，4），|a -b |＝1，则|b |的范围是________．
14．已知直线y ＝x ＋1与椭圆122=+ny mx （m ＞n ＞0）相交于A ，B 两点，若弦AB
的中点的横坐标等于31-，则双曲线122
22=-n
y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于
________．
15．某县农民均收入服从μ＝500元，σ＝20元的正态分布，则此县农民年均收入在500元到520元间人数的百分比为________．
16．1
lim 21--+++→x n
x x x n x ＝________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知a ＝（αcos ，αsin ），b ＝（βcos ，βsin ），a 与b 之间有关系式|k a +b |=3|a -k b |，其中k ＞0．
（1）用k 表示a 、b ；
（2）求a ²b 的最小值，并求此时，a 与b 的夹角θ的大小．
18．（12分）已知a 、b 、m 、+∈N n ，}{n a 是首项为a ，公差为b 的等差数列；}{n b 是首项为b ，公比为a 的等比数列，且满足32211a b a b a <<<<． （1）求a 的值；
（2）数列}1{m a +与数列}{n b 的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列
}{n c ，求}{n c 的前n 项之和n S ．
19．已知：)lg()(x
x
b a x f -=（a ＞1＞b ＞0）． （1）求)(x f 的定义域；
（2）判断)(x f 在其定义域内的单调性；
（3）若)(x f 在（1，＋∞）内恒为正，试比较a -b 与1的大小．
20．如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面α内作菱形ABCD ，边长为1，∠BAD ＝60°，再在α的上侧，分别以△ABD 与△CBD 为底面安装上相同的正棱锥P -ABD 与Q -CBD ，∠APB ＝90°．
（1）求证：PQ ⊥BD ；
（2）求二面角P -BD -Q 的余弦值；
（3）求点P 到平面QBD 的距离；
21．（12分）在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝2
2
，一曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且保持||||PB PA +的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；
（2）直线l ：t x y +=与曲线E 交于M ，N 两点，求四边形MANB 的面积的最大值．
22．（14分）（理）已知函数2
55)(x x x f -=，记函数)()(1x f x f =，)]([)(12x f f x f =，)]([)(23x f f x f =，
…，)]([)(1x f f x f n n -=，…，考察区间A ＝（-∞，0），对任意实数A x ∈，有0)()(1<==a x f x f ，0)()]([)(12<==a f x f f x f ，且n ≥2时，0)(<x f n ，问：是否还有其它区间，对于该区间的任意实数x ，只要n ≥2，都有0)(<x f n ？
（文）已知二次函数)(x f 的二次项系数为负，对任意实数x 都有)2()2(x f x f +=-，问当)21(2x f -与)21(2x x f -+满足什么条件时才有-2＜x ＜0？
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A 7．B 8．C 9．D 10．（文）B （理）B 11．（文）C （理）C 12．（文）B （理）B 13．[4，6] 14．
34 15．34.15％ 16．2
)
1(+n n 17．解析：由已知1||||==b a ．∵ ||3||b a b a k k -=+，∴ 22
2
||3||b a b a k k -=
+．
∴ )1(41k k +=
⋅b a ． ∵ k ＞0， ∴ 2
1
1241==⋅⋅⋅k k b a ． 此时2
1
=
⋅b a ∴ 21||||2
1cos ==
⋅b a θ． ∴ θ＝60°． 18．解析：（1）∵ b m a a m )1(-+=，1-⋅=n n a b b ，
由已知a ＜b ＜a ＋b ＜ab ＜a ＋2b ，∴ 由a ＋2b ＜ab ，a 、+∈N b 得b
a
a +>1． ∵ 10<<
b a
， ∴ a ≥2． 又得a b b +>1，而1>a
b
， ∴ b ≥3．
再由ab ＜a ＋2b ，b ≥3，得3)1
1
1(212≤-+=-<
b b b a ．∴ 2≤a ＜3 ∴ a ＝2． （2）设n m b a =+1，即1
)1(1-⋅=-++n a b b m a ．
∴ 1
2
)1(3-⋅=-+n b b m ，+-∈--=
N )
1(23
1m b n ．
∵ b ≥3， ∴ 1)1(2
1
=---m n ． ∴ m n =-12．∴ 123-⋅==n n n b c ．
故)12(3)2
21(31
-=+++=-n n n S ．
19．解析：（1）由0>-x
x b a ， ∴ 1)(>x
b
a ，
1>b
a
． ∴ x ＞0．∴ 定义域为
（0，＋∞）．
（2）设012>>x x ， a ＞1＞b ＞0 ∴ 12
x x a a > 21x x b b > 12x x b b ->-
∴ 01
1
2
2
>->-x x x x b a a
a
∴ 11
1
2
2>--x x x x b
a b a ． ∴ 0)()(12>-x f x f ． ∴ )(x f 在（0，＋∞）是增函数．
（3）当1(∈x ，＋∞)时，)1()(f x f >，要使0)(>x f ，须0)1(≥f ， ∴ a -b ≥1． 20．解析：（1）由P -ABD ，Q -CBD 是相同正三棱锥，可知△PBD 与△QBD 是全等等腰△．取BD 中点E ，连结PE 、QE ，则BD ⊥PE ，BD ⊥QE ．故BD ⊥平面PQE ，从而BD ⊥PQ ．
（2）由（1）知∠PEQ 是二面角P -BD -Q 的平面角，作PM ⊥平面α，垂足为M ，作QN ⊥平面α，垂足为N ，则PM ∥QN ，M 、N 分别是正△ABD 与正△BCD 的中心，从而点A 、M 、E 、N 、C 共线，PM 与QN 确定平面P ACQ ，且PMNQ 为矩形．可得ME ＝NE ＝
6
3，PE ＝QE ＝21，PQ ＝MN ＝33，∴ cos ∠PEQ ＝3
1
2222=-+⋅QE PE PQ QE PE ，即二面角平面
角为3
1arccos
． （3）由（1）知BD ⊥平面PEQ ．设点P 到平面QBD 的距离为h ，则
h h S V QBD QBD P 12
131
==
⋅⋅∆- ∴ 36
2)31(1241sin 241312=
-=∠==
∆-PEQ BD S V PED QBD P ．∴ 362
121=h ． ∴ 3
2
=
h ． 21．解析：（1）以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系． ∵ 22)2
2
(222||||||||22=++=
+=+CB CA PB PA ， ∴ 动点轨迹为椭圆，且2=a ，c ＝1，从而b ＝1．∴ 方程为 1222
=+y x ． （2）将y ＝x ＋t 代入12
22
=+y x ，得0224322=-++t tx x ． 设M （1x ，1y ）、N （2x ，2y ），
∴ ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=
-=+>--=∆⋅⋅③
②①322340)22(34162212122t x x t x x t t ，
， 由①得2
t ＜3．∴ 2212121263
2||||||||21t x x y y y y AB S MANB -=-=-=-=
． ∴ t ＝0时，3
62=
大S ． 22．解析：（理）0)(<x f ，即0552
>-x x ，故x ＜0或x ＞1． ∴ 0)(0)]([0)(11<⇔<⇔<--x f x f f x f n n n 或1)(1>-x f n ．
要使一切+∈N n ，n ≥2，都有0)(<x f n ，必须使0)(1<x f 或1)(1>x f ， ∴ 0)(<x f 或1)(>x f ，即0552
<-x x 或1552
>-x x ．
解得x ＜0或x ＞1或
1055-10
5
5+<
<x ． ∴ 还有区间（
1055-，10
55+）和（1，＋∞）使得对于这些区间内的任意实数x ，只要n ≥2，都有0)(<x f n ．
（文）由已知h x a y +--=2
)2(，)0(>a ． ∴ )(x f 在（-∞，]2上单增，在（2，＋∞）上单调．
又∵1212
≤-x ，22)1(212
2≤+--=-+x x x ．
∴ 需讨论221x -与2
21x x -+的大小． 由)2()21(212
2+=---+x x x x x 知
当0)2(<+x x ，即02<<-x 时，2
22121x x x -<-+．
故)21()21(2
2x f x x f -<-+时，应有02<<-x ．
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