北师大版初三数学上册二次函数.1.1
二次函数与一元二次方程_课件
=0
没有交点
没有实根
＜0
有交点
有实根
≥0
归纳
△＜0 △=0
△＞0
求抛物线与坐标轴的交点 如何求抛物线与坐标轴的交点？ 如何确定抛物线与x轴的交点个数？
例题 答案：
例题
答案：有(2.5,0),(-1,0) 归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题 不与x轴相交的抛物线是（ D ）
练习——求交点 （0，-5）
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第二步：取平均数 取2和3的平均数2.5， 当x=2.5，y=-0.75<0． 那根是在2与2.5之间， 还是2.5与3之间呢？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第三步：取异号缩小范围 一定得让相应的y值异号， 这样才能保证抛物线穿过x轴， 即根在该范围之间． 当x=2.5时，y<0， 当x=2时，y<0， 当x=3时，y>0， 所以根是在2.5与3之间
解：（3）当h = 20.5时，
因为
，所以方程无实根．
球的飞行高度达不到 20.5m .
思考 （4）球从飞出到落地要用多少时间? 解：（4）落地即h = 0，
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ， 即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面．
讨论
通过刚才的例子可以发现，
二次函数
何时为一元二次方程？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第四步：再取平均数 取2.5和3的平均数2.75， 当x=2.75，y=0.0625 > 0． 第五步：再取异号 所以根是在2.5与2.75之间
所以该抛物线与 x 轴有两个交点．
2一元二次方程根与系数的关系 教案 北师大版九年级数学上册
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计一、教学内容及内容解析1.教学内容知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表述方程的根，能用方程的根表示系数.2.内容解析本课是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的选学内容.我们知道在一元二次方程的求根公式和根的判别式已经揭示了一元二次方程的根与系数的关系，本节课将在求根公式的基础上进一步探究一元二次方程的两根与系数之间的关系.一元二次方程的根与系数的关系是今后继续研究一元二次方程根的情况的重要工具.利用根与系数的这模型关系可以解决和研究许多数学问题，对今后二次函数和高中解析几何的学习和研究意义重大.通过本节课，学生进一步感悟用数学符号表达对数学发展的作用，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验，也为今后学习高阶方程打下理论基础.基于以上分析，本节课的重点是：一元二次方程的根与系数的关系的发现和提出，以及简单的应用.二、目标和目标解析1.目标（1）通过复习一元二次方程的一般式和求根公式，在一般观念的引领下学生能发现和提出研究方程根与系数关系的问题.（2）了解一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.（3）感受由一元二次方程的系数能得到方程根的情况，而用方程的两根不能唯一确定系数这一关系.（4）通过一元二次方程的根与系数的关系的发现、推导和学习过程，培养学生观察、计算和分析能力，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验.2.目标解析达成目标（1）的标志是：通过加减乘除运算将两个根结合起来，研究根与系数的关系.达成目标（2）的标志是：通过对两根的和、差、积、商的分析，能得到用根的和、积与系数的关系作为根与系数的一般关系，并能完成练习1.达成目标（3）的标志是：经历练习2和练习3，总结得到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a、b、c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.达成目标（4）的标志是：在推导得出一元二次方程的根与系数的关系的过程中，学生能从观察、计算、分析等过程得到一元二次方程的根与系数的关系.三、学生学情分析本节课之前，初三学生已经学习了字母表示数，以及一元二次方程的一般式，根的判别式，求根公式和解法等知识，同时也具备一定的观察、计算和分析问题的能力，在一定程度上也已经感受到一元二次方程的根与系数之间有一定联系，但是在探索根与系数关系的更多形式和分析形成一般关系的过程中，对学生的逻辑推理和综合分析能力有很高的要求，同时学生在感受系数与根的相互确定关系时，有一定的困难.本节的难点是:一元二次方程的根与系数的关系的提出和整个代数推理过程，一元二次方程的系数与根的相互确定关系.四、教学策略分析苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者.”而在中小学生的精神世界中，这种需要尤为强烈.再结合以上学情，本节课在教学过程中，以问题为导向，启发、多媒体辅助等教学方法相结合，从学生所学知识出发，以问题解决为主线，以学生探究为主，步步有序，环环相扣，让学生通过操作、思考、交流、表达去实践，始终参与整个问题的发生和解决的过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，从而发展学生的数学思维和创新意识.五、教学过程设计1.复习回顾，引入新课问题 1 前面我们已经认识了一元二次方程，并学习了相关解法，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有实数根时系数要满足的条件是？师生活动：教师提出问题，学生齐答b2_4ac≥0.追问1 此时，方程的根就可以表示为？师生活动：教师提出问题，学生齐答x=.追问2 我们不妨把方程的两根记为x1和x2.通过观察，我们可以发现一元二次方程的根由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式，除此以外，它们之间还会有其他形式的关系吗？师生活动：教师由求根公式提问，老师引出本节课课题，并板书课题.设计意图：先温习旧知，复习引入既回顾了相关知识，又将学生的注意力直接引导到了研究一元二次方程的根与系数的关系上来，使学生目标明确，可谓开门见山．2.研究问题，探索新知问题2 目前，我们已经得到了两个独立的根与系数间的关系，为了探索出更多形式的关系，我们还可以把两个根做怎样的尝试呢？师生活动：教师始终手指求根公式，引导学生观察表示根的代数式，再回答问题.(预设学生会想到将两根进行加减.若学生无法回答，老师要提醒学生观察思考能不能把两个根结合起来研究，甚至是引导学生观察出表示根的代数式为分式，直至学生回答到将两根进行运算.)追问1 除了加减运算，还可以做什么运算？师生活动：学生回答做乘除运算后，教师把两根加减乘除的四个算式板书于黑板右侧，学生独立计算每个算式，教师巡视学生计算情况，给学生充分计算的时间，大约4分钟左右.学生独立运算后，教师再组织学生进行小组讨论，统一结果，给学生充分讨论的时间，大约2分钟左右.教师加入学生讨论，注意倾听学生的讨论情况并适当引导.追问2 哪个小组愿意和大家分享你们的结果？师生活动：学生分享小组讨论结果，教师板书结果，并关注其他小组的结果是否与之一致，教师要引导学生关注在得到12= cx xa的过程中是否可以运用平方差公式.(预设学生得到12x x的结果不一致，可能有12x x ，还可能有学生对结果进行分母有理化，教师引导学生思考，是否有必要对分母有理化.)设计意图：通过对求根公式的观察,让学生再次明确求根公式也是根与系数的一种关系；通过用加减乘除计算把两个根结合研究根与系数的关系，让学生感受到从单一到综合的研究方法，也锻炼了用数学符号进行代数推理的能力.问题3 通过合作探究，我们得到了4个结果，请同学们仔细观察，你觉得哪几个更适合作为一元二次方程的根与系数的一般关系?师生活动：学生容易选择12+=b x x a -和12=c x x a，并能从形式简单，运用方便等原因进行解释.教师点评时，要指出这其实就是从数学要简洁美的角度进行的选择，对学生的想法评价和赞扬.追问1 除此以外，还有其它原因吗？追问2 请同学们看到x 1-x 2，它的结果看起来比较复杂，那x 1-x 2能不能用x 1+x 2与x 1x 2来表示？师生活动：教师提出问题后，观察学生情况，引导学生回顾完全平方公式，(x 1+x 2)2=x 12+x 22+2x 1x 2，(x 1-x 2)2=x 12+x 22-2x 1x 2，对比可以发现(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2.既然x 1-x 2的结果能用x 1+x 2与x 1x 2来表示，那我们研究根与系数的一般关系时，就不用去关注两个根的差与系数的关系.追问3 请大家再看到两根之商，在做除法运算的时候，对根有什么要求？ 师生活动：学生知道两根做除法时，根不能为0.而对于任意的一元二次方程的根而言，根是可能等于0的，这就具有不确定性，所以两根之商与系数的关系就不具备一般性.综合以上原因，我们就可以得到，除求根公式以外，一元二次方程的根与系数的又一个关系:如果方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)有两个实根x 1，x 2，那么12+=b x x a-， 12=c x x a . 教师指出，早在16世纪，法国数学家韦达就发现了一元二次方程的根与系数之间有这种关系，为了纪念这位伟大的数学家，人们把这个关系称为韦达定理.然后请同学们打开课本，翻到50页，请勾画这个关系.教师板书韦达定理后，再对关键地方进行提醒.设计意图：经历从两根的和、差、积、商这四个与系数的关系中选择和与积与系数的关系作为根与系数的一般关系的过程，增强学生观察和分析问题的能力.经历了建立根与系数这个模型关系严谨的推理过程，引导和加强学生用数学符号进行代数推理的思想意识.练习1 方程2x 2−3x −2=0的两根分别是x 1，x 2，那么（ ）A .12123+=12x x x x =-，B .12123+=12x x x x -=-，C .12123+=12x x x x =，D .12123+=12x x x x -=， 师生活动：学生独立完成（预设1：学生根据一元二次方程的根与系数的关系，直接代入系数a ，b ，c 的值就可以得到结果；预设2：学生通过解方程，得到x 1=2，x 2=12-，再把两根相加和相乘，可以得到答案）.教师根据学生的回答，正向点评并板书过程.设计意图：通过练习1，巩固一元二次方程的根与系数的关系这一知识点，同时也起到验证这一知识点正确性的作用，同时可以再次感受到一元二次方程的系数可以确定方程根的情况.练习2 请用根与系数的关系，写出一个两根是−1和3的一元二次方程. 师生活动：学生独立完成，学生会想到用因式分解和待定系数法等解决此题，但教师巡查或点评时应该先肯定，再引导学生审题，用根与系数的关系解决问题.学生回答方程和思路后，教师引导其他学生进行验证，并将学生思路板书，注意提取关键信息（预设：根据韦达定理，我们可以得到12+2b x x a =-=，123c x x a ==-，也就有b =−2a ，c =−3a ，如果令a =1，那么b =-2，c =−3，所以方程就可以是x 2−2x −3=0）.追问1 大家都是写的这个方程吗？追问2 你是怎么得到这个方程的？师生活动：学生回答所写方程（预设：-x 2+2x+3=0，2x 2−4x −6=0...）后，教师马上问追问2.追问3 通过两位同学所分享的解题过程，你们有什么发现？师生活动：教师根据学生回答情况，引导学生发现归纳满足根是−1和3的一元二次方程并不唯一，给a 赋不同的值，就会得到不同的一元二次方程.同时，引导学生观察过程，根据韦达定理建立了一个关于系数a ，b ，c 的不定方程.追问4 除了对a 可以赋值以外，还可以？追问5 通过这个练习题，我们可以感受到，已知一元二次方程的两根，根所对应的方程并不唯一.如果一定要使得方程唯一，那就要在什么前提下？师生活动：学生独立思考，容易得到还可以对系数b ，c 中任意一个赋值.已知方程两根，在系数a ，b ，c 中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.设计意图：学生通过练习2，学生可以进一步感受一元二次方程的根与系数的关系，已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，与练习1也很强的关联性和对比性.练习3 我们在刚才练习2的基础上，增加二次项系数为1这个条件，此时,我们就很容易得到一元二次方程是?追问1 这个方程是唯一的吗？师生活动：教师肯定学生的回答，同时引导学生观察练习2中所写的方程，它们都可以在等号两边同时除以二次项系数，化为x 2−2x −3=0，所以这些方程的解都是−1和3.设计意图：通过练习2变式到练习3的对比，使学生再次感受到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a ，b ，c 中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.同时，通过教师的引导讲解，感受和回顾一元二次方程二次项系数化为1这一常态化变形方式.教师活动：我们在对一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)变形时，一般会把二次项系数a 化为1，原方程就会变形为2+0b c x x a a+= (a ≠0)，此时方程的两根之和依然是b a -，两根之积依然是c a .但2+0b c x x a a+= (a ≠0)的形式看起来却不够简单，恰好字母可以代表一切数或式，我们不妨令=b p a ，=c q a，此时一元二次方程就可写为x 2+px +q =0，一元二次方程的根与系数的关系就是1212+=x x p x x q -=，，根与系数的关系形式上会进一步简化.请同学们记录.设计意图：通过教师的讲解，使学生感受到一元二次方程二次项系数化为1后根与系数关系的形式，同时在面对此类问题时，可以首先把二次项系数化为1.这也体现了从一般到特殊的研究方法.练习4 已知方程5x 2+kx −6=0 的一个根是2，请求出此方程的另一根和k 的值（教材习题2.8的第3题）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，收集学生做题情况(预设1：通过根与系数的关系建立另一根和k 的方程组；预设2：把已知的根2代入方程中求出k 的值，再通过解方程或根与系数的关系得到另一根；预设3：先把二次项系数化为1后，再进行求解).教师板书以根与系数的关系为思路的解题过程.设计意图：巩固本节课所学知识，同时感受多种方法解题的过程.3.回顾课堂，小结升华师生活动：教师引导学生回顾本堂课的探究和学习过程，总结知识，学习过程，数学思想等：（1）知识层面上，学习了一元二次方程的根与系数的一般关系，12+=b x x a -，12=c x x a，感受到了由方程的系数可以确定根，由根不能唯一确定方程的系数这一关系.（2）探究过程上，复习了一元二次方程的求根公式，经历了观察根的表示形式，计算两根的和、差、积、商，并分析了计算的结果，得出了韦达定理.（3）思想方法上，体现了从单一到综合的研究方法，感受了用数学符号进行代数推理的思想方法，最终建立了根与系数的模型.设计意图：通过小结，回顾探索新知的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想和方法，引发学生更深层次的思考，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思习惯，促进学生认知结构与思维品质的优化.4.布置作业，课后巩固必做：教材51页习题2.8，第1题，第2题和第4题；选做：拓展思考题，已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −3=0的根，请求出1211x x +与12x x -的值.设计意图：根据学生情况，分层布置作业，必做作业用以巩固本堂课所学知识和方法，选做作业引导学生还可以探究根与系数关系的更多形式. 六、课堂教学目标检测1．若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n与mn的值分别为（）A．1，﹣3B．﹣1，3C．﹣3，1 D．3，﹣1设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用.2．已知关于x方程2x2﹣3x+a＝0有一个根为4，则方程的另一个根为b，则a b＝．设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系和应用.3．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式11的值为．a b设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用,以及其它形式的探究.4．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根互为相反数，求m的值．设计意图：考查一元二次方程的概念，根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系的应用.。
22.1.1二次函数
的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2、下列函数关系式中,是二次函数的是( D )
A. y = 2x B. y = mx2
C.
y
1 x2
D.
y = (a2+1)x2-ax+a （a是常数）
4、若函数 y (m 1)xm23m2 为二次
函数，求m的值。
(7) y (x 1)2 x2 不是
(8) y x2 2 不是 x
(9)y = mx2 不是
(10)y = (a2+1)x2-ax+a（a是常数）是
2、把函数 y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一
般形式，并写出各项系数。
3、指出下列函数的二次项系数,一次项系数, 常数项分别是多少?
（1）自变量的最高指数是2；
（2）解析式为整式；
（3）一次项、常数项可以为0，但二次项绝对不 能为0，即a≠0
1、下列函数中,哪些是二次函数?是二次函数的
请指出各项系数。
(1) y x2 是
（2）
y 1 x 2
不是
(3) y 1 不是 x2
(4) y 4 不是 x
(5) y x(1 x) 是 （6） y 5x 1不是
6、已知函数 y (a 2 4)x2 (a 2)x 3 （1）当a为何值时，此函数是二次函数？ （2）当a为何值时，此函数是一次函数？
课后练习
1、写出下列函数的表达式,
（1）圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之 间的关系__S_=_π_r2
专题07 二次函数 (7大考点)九年级数学上学期期末考点(北师大版)
2a
2a
y最小值
4ac b2 4a
最大值，
y最大值
4ac 4a
b2
期末复习
【典例 1】（2022•绍兴）已知函数 y＝﹣x2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求 b，c 的值．
（2）当﹣4≤x≤0 时，求 y 的最大值．
（3）当 m≤x≤0 时，若 y 的最大值与最小值之和为 2，求 m 的值．
变式 3：（2023•神木市一模）把抛物线 y＝x2+bx+c 向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到抛物 线 y＝x2﹣4x+3，则 b、c 的值分别为 （ ） A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6
【解答】解：将抛物线 y＝x2﹣4x+3 化成顶点式为 y＝（x﹣2）2﹣1， 将抛物线 y＝x2﹣4x+3 向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位得新抛物线解析式为 y＝（x﹣2+4）2 ﹣1+3，即 y＝x2+4x+6，即抛物线 y＝x2+bx+c 的解析式为 y＝x2+4x+6，∴b＝4，c＝6，故选：D．
∴﹣ ＝1，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方，
∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵x＝﹣1 时，y＞0，∴a﹣b+c＞0， ∵a＞0，∴2a﹣b+c＞0，故②错误；∵b＝﹣2a，∴a＝﹣ ，
由图象可得 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＝﹣ b+c＞0，∴3b﹣2c＜0，故③正确；
由 x＝1 时函数取最小值可得 am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b， ∵a＝﹣ ，∴am2+bm≥ ，∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确．故选：D．
九年级数学二次函数北师大版
初三数学二次函数北师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 二次函数［知识体系］1. 二次函数的概念：一般地，如果两个变量x ，y 满足y ＝ax 2＋bx ＋c 的形式，那么称y 是x 的二次函数。
在二次函数的定义中要注意的问题是：（1）y ＝ax 2＋bx ＋c 中a 是不为0的常数。
（2）最高次项的次数是2。
2. 函数的图象：是一条抛物线。
3. 二次函数图象的性质：分五种情况。
（1）表达式为y ＝ax 2的函数：①顶点坐标（0，0）；②对称轴y 轴；③当a ＞0时图象开口向上，顶点是最低点，x ＝0时y 有最小值为0，x ＞0时y 随x 的增大而增大，x ＜0时y 随x 的增大而减小；④当a ＜0时图象开口向下，顶点是最高点，x ＝0时y 有最大值为0，x ＜0时y 随x 的增大而增大，x ＞0时y 随x 的增大而减小。
（2）表达式为y ＝ax 2＋c 的函数：①顶点坐标（0，c ）；②对称轴y 轴；③当a ＞0时图象开口向上，顶点是最低点，x ＝0时y 有最小值为c ，x ＞0时y 随x 的增大而增大，x ＜0时y 随x 的增大而减小；④当a ＜0时图象开口向下，顶点是最高点，x ＝0时y 有最大值为c ，x ＜0时y 随x 的增大而增大，x ＞0时y 随x 的增大而减小。
（3）表达式为y ＝a （x －h ）2的函数：①顶点坐标（h ，0）；②对称轴x ＝h ；③当a ＞0时图象开口向上，顶点是最低点，x ＝h 时y 有最小值为0，x ＞0时y 随x 的增大而增大，x ＜0时y 随x 的增大而减小；④当a ＜0时图象开口向下，顶点是最高点，x ＝h 时y 有最大值为0，x ＜0时y 随x 的增大而增大，x ＞0时y 随x 的增大而减小。
（4）表达式为y ＝a （x －h ）2＋k 的函数：①顶点坐标（h ，k ）；②对称轴x ＝h ；③当a ＞0时图象开口向上，顶点是最低点，x ＝h 时y 有最小值为k ，x ＞0时y 随x 的增大而增大，x ＜0时y 随x 的增大而减小；④当a ＜0时图象开口向下，顶点是最高点，x ＝h 时y 有最大值为k ，x ＜0时y 随x 的增大而增大，x ＞0时y 随x 的增大而减小。
新版北师大初中数学教材目录
新版北师大初中数学教材目录七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形 2．展开与折叠3．截一个几何体 4．从三个不同方向看物体的形状第二章有理数及其运算1．有理数 2．数轴 3．绝对值4．有理数的加法 5．有理数的减法6．有理数的加减混合运算 7．有理数的乘法8．有理数的除法 9．有理数的乘方 10．科学计数法11．有理数的混合运算 12．用计算器进行运算第三章整式及其加减1．字母表示数 2．代数式 3．整式4．整式的加减 5．探索与表达规律第四章基本平面图形1．线段、射线、直线 2．比较线段的长短3．角 4．角的比较 5．多边形和圆的初步认识第五章一元一次方程1．认识一元一次方程 2．求解一元一次方程3．应用一元一次方程——水箱变高了4．应用一元一次方程——打折销售5．应用一元一次方程——“希望工程”义演6．应用一元一次方程——追赶小明第六章数据的收集与整理1．数据的收集 2．普查和抽样调查3．数据的表示 4．统计图的选择七年级下册第一章整式的乘除1．同底数幂的乘法 2．幂的乘方与积的乘方3．同底数幂的除法 4．整式的乘法5．平方差公式 6．完全平方公式 7．整式的除法第二章相交线与平行线1．两条直线的位置关系 2．探索直线平行的条件3．平行线的性质 4．用尺规作角第三章三角形1．认识三角形 2．图形的全等 3．探索三角形全等的条件4．用尺规作三角形 5．利用三角形全等测距离第四章变量之间的关系1．用表格表示的变量间关系 2．用关系式表示的变量间关系3．用图像表示的变量间关系第五章生活中的轴对称1．轴对称现象 2．探索轴对称的性质3．简单轴对称图形 4．利用轴对称进行设计第六章频率与概率1．感受可能性 2．频率的稳定性 3．等可能事件的概率八年级上册第一章勾股定理1．探索勾股定理 2．一定是直角三角形吗 3．勾股定理的应用第二章实数1．认识无理数 2．平方根 3．立方根 4．估算5．用计算器开方 6．实数 7．二次根式第三章位置与坐标1．确定位置 2．平面直角坐标系 3．轴对称与坐标变化第四章一次函数1．函数 2．一次函数与正比例函数 3．一次函数的图象4．一次函数的应用第五章二元一次方程组1．认识二元一次方程组 2．求解二元一次方程组3．应用二元一次方程组——鸡兔同笼4．应用二元一次方程组——增收节支5．应用二元一次方程组——里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数7．用二元一次方程组确定一次函数表达式8．三元一次方程组第六章数据的分析1．平均数 2．中位数与众数3．从统计图分析数据的集中趋势 4．数据的离散程度第七章平行线的证明1．为什么要证明 2．定义与命题 3．平行线的判定4．平行线的性质 5．三角形内角和定理八年级下册第一章证明（二）1．等腰三角形 2．直角三角形 3．线段的垂直平分线 4．角平分线第二章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系 2．不等式的基本性质3．不等式的解集 4．一元一次不等式5．一元一次不等式与一次函数 6．一元一次不等式组第三章图形的平移与旋转1．图形的平移 2．图形的旋转 3．中心对称 4．简单的图案设计第四章因式分解1．因式分解 2．提公因式法 3．运用公式法第五章分式1．认识分式 2．分式的乘除法 3．分式的加减法 4．分式方程第六章平行四边形1．平行四边形的性质 2．平行四边形的判别3．三角形的中位线 4．多边形的内角和与外角和九年级上册第一章特殊的平行四边形1．菱形的性质与判定 2．矩形的性质与判定 3．正方形的的性质与判定第二章一元二次方程1．认识一元二次方程 2．配方法 3．公式法4．因式分解法 5．一元二次方程的应用第三章相似图形1．成比例线段 2．平行线分线段成比例 3．相似多边形4．相似三角形的判定 5．黄金分割 6．测量旗杆的高度7．相似三角形的性质 8．图形的放大与缩小第四章视图与投影1．投影 2．视图第五章反比例函数1．反比例函数 2．反比例函数的图象与性质 3．反比例函数的应用第六章对概率的进一步研究1．游戏公平吗 2．投针试验 3．生日相同的概率九年级下册第一章直角三角形的边角关系1．从梯子的倾斜程度谈起 2．特殊角的三角函数值3．三角函数的有关计算 4．船有触礁的危险吗 5．测量物体的高度第二章二次函数1．二次函数所描述的关系 2．二次函数的图像与性质 3．确定二次函数的表达式4．最大面积是多少 5．何时获得最大利润 6．二次函数与一元二次方程第三章圆1．圆 2．圆的对称性 3．垂径定理 4．圆周角与圆心角的关系5．确定圆的条件 6．直线和圆的位置关系 7．切线长定理8．圆内接正多边形 9．弧长及扇形的面积第四章统计与概率1．视力的变化 2．生活中的概率 3．统计与概率的应用。
初中数学九年级上册22.1.1《二次函数》PPT课件
问题2：
多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相 邻的各顶d点= 1，n2可 3作n ＿（＿n＿-3＿）条对角线.因此，n边形的对角
22
线此总式数表＿示＿了＿多＿边＿形的对角线总数d与边数n之间的关系，
对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
为什么a≠0呢?
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之
间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数
关系；
【（解3析）】菱（形1的）两由题条意对得角线S 的 和6a为2 (，a26其cm中0，)S是写a出的菱二形次的函面数；积S（cm2）
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值 一定是___0___.
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种解函析数：？S=a( 620-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
与（一2对）角由线题长意得x（cym）4x之2 间(，x的其0函中) 数y是关x系的二．次函数；
（3）由题意得
S
1 2
x(26
x)
Байду номын сангаас
1 2
x2
，1其3x中(0
x
26)
S是x的二次函数.
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？ 2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米， 宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关 系【式解．析】 (1)y=x2
人教版初三数学上册二次函数的定义.1.1二次函数的定义
(3)y(x2)x (3)
( 是)
(4)y x22x3
(否)
(5 )y (x 2 )x ( 2 ) (x 1 )2 ( 否 )
展示才智
3、若函数 y(m21)m x2m为二次
函数，求m的值。
解：因为该函数为二次函数，
则
m2 m 2(1) m2 1 0(2)
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数， k≠０）的函数，叫做一次函数.
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( cm 2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2
是
(2) y
1 x2
(3 ) y x (1 x )
不是 是
(4) y (x 1)2 x 2
不是
先化简后判断
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y3x22
(是 )
(2)y x2 1 x
( 否)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得：m1且m1
所以m=2
yax2bxc(其中 a,b,c是常)， 数
当a,b,c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解： 1） （ a0
(2)a0,b0
(3)a0,b0,c0
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的 函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（ cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之 间的函数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S （cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
(完整版)新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果y =ax +bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 的性质（1）抛物线y =ax 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax （a ≠0）.3.二次函数y =ax +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax +bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )22222222b 4ac -b 2+k 的形式，其中h =-，k =.2a 4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax ；②y =ax +k ；③y =a (x -h )；④y =a (x -h )+k ；2⑤y =ax +bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x =0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4ac -b 2b b ⎫4ac -b 2⎛2（-，）（1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，对称轴是直线x =-.⎪+2a 4a 2a 2a 4a ⎝⎭（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线22x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax +bx +c 中，a ,b ,c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线222x =-b b b ，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③<0（即a 、2a a a b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置.当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①c =0，抛物线经过原点;②c >0,与y 轴交于正半轴；③c <0,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a >0时开口向上对称轴顶点坐标（0,0）(0,k )(h ,0)(h ,k )22b <0.ay =ax 2y =ax +k y =a (x -h )2x =0（y 轴）x =0（y 轴）x =h x =hx =-b 2a 22y =a (x -h )+k 当a <0时开口向下y =ax +bx +c 2b 4ac -b 2，(-)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y =ax +bx +c .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y =a (x -h )+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2).12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0,c ).2（2）与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax +bx +c 有且只有一个交点(h ,ah +bh +c ).22（3）抛物线与x 轴的交点2二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax +bx +c =0的两2个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔∆<0⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程组22y =kx +ny =ax +bx +c 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，2方程ax +bx +c =0的两个根，故2b c x 1+x 2=-,x 1⋅x 2=a aAB =x 1-x 2=(x 1-x 2)2=(x 1-x 2)24c b 2-4ac ∆⎛b ⎫-4x 1x 2= -⎪-==a a a ⎝a ⎭2。
初三数学,二次函数(图像、性质、规律、实际问题)
y=ax^2 (0，0) x=0
y=ax^2+K (0，K) x=0
y=a(x-h)^2 (h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。
4。联系实际对函数图像的理解。
5。计算时，看图像时切记取值范围。
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
九年及数学中考专题(数与代数)-第十九讲《二次函数(1)》课件(北师大版)
四.典型例题
解：(1)配方，y=－0.25(x2－4x+4－4)+2
=－0.25(x－2)2+3
∴图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，3）.
(2)把这个函数的图象向左、向下平移2个单位，顶点
成为(0，1)，形状不变，得到函数y=－0.25x2+1的图象.
∵△=12－4(－)·2=3＞0，
∴图象与x轴交于两点，解方程－0.25x2+x+2=0
第十九讲 二次函数的图象与性质 （1）
一.课标链接
二次函数的图象与性质 二次函数是中学数学中的第三类基本函数， 是数形结合的典型之一，是中学数学的知识 重点，它与一元二次方程和一元二次不等式 联系紧密，掌握二次函数的基本概念和图象 性质，能够解决相关问题是中考的测试要点 之一.题型有填空、选择与解答题，其中以 计算型综合解答题居多.
得
，
所以a 1
.
3 y 1 x 42 3 1 x2 8 x 7
3
3 33
四.典型例题
方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为
x1=1，x2=7． 可设两根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7， 即有y=a(x-1)(x-7)，
把点（4，－3）代入上式得 -3=a(4-1)(4-7)-3 ，
此题可用以下四种方法 求出解析式. 知识考查：求解二次函数的 解析式的的方法.
四.典型例题
解： 方法一： 设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c， 根据题意以及对称性，可得，抛物线通过(4，-3)、 (1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的
三元一次方程组 16a 4b c 3 ，解得
九年级数学反比例函数三角函数二次函数北师大版知识精讲
初三数学反比例函数、三角函数、二次函数北师大版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：反比例函数、三角函数、二次函数 二. 重点、难点：这三部分涉及的知识非常灵活，学生掌握起来特别困难。
在这里建议大家在复习中注意以下几点：1. 深入理解概念。
反比例函数和二次函数都有自己的一般形式。
它们都有较灵活的变形。
如反比例函数y kx=可写成y ＝kx －1的形式，二次函数除了一般形式y=ax 2+bx+c 外，还可有顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，在具体的题目中，应用起来也很方便。
研究三角函数的前提是在直角三角形中，正弦、余弦、正切的概念必须记牢，才能在计算中灵活应用。
2. 注意数形结合，函数之所以被大部分同学认为较难，是函数可以从“数”和“形”两个方面进行研究，有的题目给出的“数”的形式，让你找到“形”的变化。
当然，有的题目反之，如果同学们不能使“数”和“形”两方面顺利地相互转化，自然驾驭不了知识。
在后面的讲解中，我将结合例题具体讲解。
【例题分析】例1. 小山上有一电视塔CD ，由地面一点A ，测得塔顶C 的仰角为30°，由A 向小山前进100米，到B 点，由塔顶C 测得B 的俯角为60°，已知CD=20米，求小山的高度DE 。
分析：解决本题的关键只要分清仰角和俯角的概念，仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的叫仰角，视线与水平线下方的叫俯角，然后用转化的数学思想，将解：︒=∠∴︒=∠12060ABC CBE ，︒=∠∴︒=∠3030ACB A ，又米即100==∴∠=∠AB BC ACBA ︒=∠∴︒=∠∆3060BCE CBE BEC Rt ，中，在 （米）501002121=⨯==∴BC BE 在中，，即Rt BCE CBE CE BE DE∆ tan tan ∠=+=︒=2050603 3500=+2∴DE 米)20350(-=∴DE答：米为小山的高度)20350(-DE例2. 已知，如图，二次函数y ＝ax 2－5x ＋c 的图象如下：（1）求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标。
新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结
九年级数学中的二次函数是一个非常重要的内容，主要包括函数定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系、应用等方面的知识。
下面对这些知识点进行归纳总结。
1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
2.二次函数的图像和性质：-当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在最低点；当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，顶点在最高点。
-顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。
-当函数的a值较大时，抛物线开口越大，图像越扁平；当a值较小时，抛物线开口越小，图像越瘦高。
-当函数的c值为正时，图像在y轴上方；当c值为负时，图像在y轴下方。
-二次函数的对称轴与x轴交点为顶点坐标的x坐标。
-二次函数的图像关于对称轴对称。
3. 二次函数的解析式：二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以用来表示二次函数的解析式。
4.根与系数之间的关系：- 二次函数的根是函数f(x) = ax^2 + bx + c的解，即使得f(x) = 0的x值。
二次函数的根可能有两个、一个或没有。
-当二次函数有两个根时，即存在两个解x1和x2，那么二次函数可以表示为f(x)=a(x-x1)(x-x2)。
-二次函数的根与系数之间的关系可由韦达定理得到。
设二次函数的两个根为x1和x2，则有以下关系：-x1+x2=-b/a-x1*x2=c/a5.二次函数的应用：-二次函数可以应用于描述各类抛物线问题，如求抛物线的顶点、根、对称轴等。
-二次函数可以用来表示抛物线轨迹的运动问题，如抛物线运动的高度、时间等。
总结：二次函数是九年级数学中的重要内容，掌握二次函数的定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系以及应用可以帮助我们更好地理解和解决与抛物线相关的问题。
4.1 二次函数的图像(北师大版)
[思路点拨]
对每个函数列表、描点、连线作出相应
的图像，然后利用图像分析y＝x2与y＝2x2－4x的关系．
[精解详析]
(1)列表：
－2 4 2 16 －1 1 －1 6 0 0 －2 0 1 1 －1 2 4 2 0 3 9 7 6
x y＝x2 y＝x2－2 y＝2x2－
一般式y＝ax2＋bx＋c，a、b、c为常数，a≠0的形式．
(2)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与
最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k
(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为 (x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式y＝a(x－x1) (x－x2)(a为常数，且a≠0)．
给定下面几个函数
f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2(x－1)2＋1
问题1：由f(x)＝x2的图像如何得到f(x)＝2x2的图像？
提示：f(x)＝x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变
为原来的2倍即可得到f(x)＝2x2的图像．
问题2：由f(x)＝2x2的图像如何得到f(x)＝2(x－1)2＋1的
[一点通]
任意抛物线y＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图像经过适当的平移得
到，具体平移方法，如图所示．
即上述平移规律“h值正、负，左、右移”，亦即“加时
左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，
减时下移”．
1．如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝x2的图像？
a－b－6＝－4， 故 a＋b－6＝－6，
① ②
由①②可得 a＝1，b＝－1， 故该函数的解析式为 y＝x2－x－6.
初三数学上册的知识点
初三数学上册的知识点初三年级数学知识点归纳1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，那么向左平行移动|h|个单位得到.当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，假设a>0，当x≤-b/2a 时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.假设a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，那么当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为图象经过三个点或x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).九年级数学上学期知识点一1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。
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第22章二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
学习目标
1. 结合具体情境分析确定函数表达式，体会二次函数的意义和相关概念.
2. 在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究得到发现的乐趣，同时进一步体会建立函数模
型的思想.
3. 能利用二次函数解决简单的实际问题
学习过程
、设计问题，创设情境
（一）学生观看图片
雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都会形成一条曲线
问题1:这些曲线能否用函数关系式表示
问题2:如何画出这样的函数图象？
（二）列出下列问题中两个变量之间的关系式
（1）圆的面积S与圆的半径r的关系;
(2) 多边形的对角线线数d 与边数n 的关系;
(3) 某公司的生产利润原来是100 万元,经过连续两年的增长达到了y 万元,如果每年增长的百分数都是x,那么y与x的关系式是怎样的？
二、信息交流,揭示规律
问题1:回忆一次函数的定义:
学生活动:以小组为单位,讨论交流一次函数的特征.
问题2:判断在前面问题中写出的三个函数式是什么类型的函数.
问题3:类比一次函数的特征,小组讨论得出二次函数的定义.
问题4:类比一元二次方程的知识,得出各部分的名称和意义.
三、运用规律,解决问题下列函数中哪些是二次函数,哪些不是?若是二次函数,指出相应的
a,b,c.
2 2 4 2 2
(1)y=- 3x2+7;(2)y=x(x- 5);(3)y=3x(2-x )+3x2;( 4)y=(x+2)(2-x );(5)y=x4+2x2+1;(6)y=ax2+bx+c.
四、变式训练,深化提高
1. ____________________________________________ 把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项
为_____________________________________________________ ，一次项系数为_________ ,常数项为________ .
2. ______________________________________________________ 关于x的函数
y=(m£)x2+(m3)x+m当m=0时,它是___________________________________ 函数；当m=2时，它是函数•
3. _______________________ 已知函数y=,当m 时,它是二次函数.
变形：已知函数y=(m+),当m _______ 时,它是二次函数.
4. 九年级(2)班有x名学生，每2名学生之间握手1次，总握手次数y与人数x有什么关系？判断它是什么类型的函数.
5. 举出二次函数的例子.
6. 编一个实际问题，使得列出的式子是二次函数
五、反思小结，观点提炼
1. 这节课你最大的收获是什么？
2. 这节课你最大的困难是什么？
3. 你还有什么疑问？
参考答案
一、设计问题，创设情境
(二)(1)s=n r2
2
(2)d=n -n
2
⑶ y=100x +200x+100
二、信息交流，揭示规律
问题1:一般地，形如y=kx+b(k,b都是常数,k用)的函数叫做一次函数.
学生活动：一次函数的特征如下：
(1) 自变量的指数为1;
(2) 常数项可以为0；
(3) 一次项不能为0,其系数是不为0的任意实数；
(4) 解析式为整式.
问题2:二次函数.
问题3:一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a^0)的函数，叫做二次函数问题4:a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.特别强调二次项系数a老.
三、运用规律，解决问题
(1)(2)(4)是二次函数.
(1) a=-3,b=0,c=7;
(2) a=1,b=-5,c=0;
(4) a=-1 ,b=0,c=4.
四、变式训练，深化提高
2
1. -3X -16 12
2. 二次一次
3.1 或-1 1
4.y=x (x-1) 二次函数
五、反思小结,观点提炼略。