第三章量子力学导论 15节薛定谔方程3

大学物理薛定谔方程(老师课件)

2 2 2 2 2 推广到三维： x 2 x 2 y 2 z 2
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观测固体表面的微观结构. 探针头还可吸附并搬动原子，形成人工微结构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电控制隧道电流
加电压反馈传感器参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶表面直接提走硅原子形成2 纳米的线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx

薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程一．定义及重要性薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验.是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验.二．表达式三．定态方程()()222V r E r m ηψψ+⎡⎤-∇=⎢⎥⎣⎦所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场,比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。

其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z ）是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2222222z y x ∂∂∂∂∂∂++=∇可化为d 0)(222=-+ψψv E h m dx薛定谔方程的解法一．初值解法；欧拉法，龙格库塔法二．边值解法；差分法，打靶法，有限元法龙格库塔法(对欧拉法的完善)给定初值问题).()()((3)),(),()( ,,(2))(),( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dyi i i i i i i i =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββαβα.))(,(,,(3) )()(2)()( ,))(,())(,())(,()( ))(,()( )()(2)()()( )( 3213211处的函数值分别表示相应函数在点其中得代入上式将处展成幂级数在首先将i i y t y t i i y t i i i i i i t y t f f f h O ff f h hf t y t y t y t f t y t f t y t f t y t y t f t y h O t y h t y h t y t y t t y '++++=+'=''='+''+'+=+++.)(21 1 ,,021,01 ),()()())(21()1()( ,)( 3221212213113222111的计算公式局部截断误差为可得到但只有两个方程，因此方程组有三个未知数，满足条件即常数当且仅当要使局部截断误差得下假设在局部截断误差的前提h O c c c c c c c c h O y t y h O ff f c h f c c h y t y t y y i i y t i i i i ==+=-=-+=-++-+-+-=-=++++ββββ有限元方法有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。

量子力学中的薛定谔方程及其求解

量子力学中的薛定谔方程及其求解量子力学是研究微观粒子行为的重要理论，其核心是薛定谔方程。

薛定谔方程描述了量子体系中粒子的波函数以及随时间演化的规律。

本文将介绍薛定谔方程的基本原理，并讨论一些常见的求解方法。

一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是波动方程，描述了量子体系中粒子的行为。

它的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是粒子的波函数，t 是时间，H是哈密顿算符。

薛定谔方程的左边代表了波函数随时间变化的导数，右边代表了粒子在量子力学描述下的总能量。

通过求解这个方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而揭示粒子的行为。

二、薛定谔方程的求解方法求解薛定谔方程是量子力学中的关键问题，涉及到很多数学方法和物理概念。

下面介绍几种常见的求解方法。

1. 一维自由粒子的求解方法对于一维自由粒子，其哈密顿算符可以简化为动能算符，即H = -ħ^2/2m * ∂^2/∂x^2。

将这个算符代入薛定谔方程，可以得到一维自由粒子的薛定谔方程为：iħ∂ψ/∂t = -ħ^2/2m * ∂^2ψ/∂x^2这是一个简单的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。

假设波函数可以分解为时间部分和空间部分的乘积，即ψ(x, t) = φ(x) * χ(t)，代入薛定谔方程后可以分离变量，得到两个独立的常微分方程。

分别求解这两个方程，再将它们的解合并，即可得到一维自由粒子的波函数。

2. 一维势阱的求解方法一维势阱是限制粒子运动在有限空间内的一种势场。

在势阱中，波函数的形式将受到势场的影响。

求解一维势阱的薛定谔方程需要考虑势场对波函数的贡献。

对于势阱中的波函数，只有在势阱内部才能存在。

在势阱内部，薛定谔方程的形式与自由粒子类似，但是边界条件会影响波函数的形式。

边界条件一般为波函数在势阱边界处连续且导数连续。

通过求解这个边界问题，可以得到一维势阱中的波函数。

3. 二维和三维量子体系的求解方法对于二维和三维的量子体系，薛定谔方程将变为偏微分方程。

薛定谔方程的含义和求解方法

薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。

本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。

一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。

该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。

薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。

Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。

薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。

通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。

二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。

但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。

1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。

例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。

对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。

然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。

因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。

2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。

变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。

微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。

3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。

这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。

数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。

但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。

总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。

通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。

薛定谔方程一般表达式

薛定谔方程一般表达式
一、薛定谔方程的定义与意义
薛定谔方程（Schrdinger Equation）是量子力学中描述粒子波函数随时间演化的基本方程。

由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1926年提出，标志着量子力学体系的建立。

薛定谔方程的提出，使得量子力学的研究从定性走向了定量，具有重要的理论意义。

二、薛定谔方程的一般表达式
薛定谔方程的一般表达式为：
i(Ψ/t)= HΨ
其中，i 是虚数单位，是约化普朗克常数，Ψ 是波函数，H 是哈密顿算子。

这个方程描述了粒子在势能场中的运动规律，是量子力学研究的基础。

三、薛定谔方程在量子力学中的应用
薛定谔方程在量子力学中有着广泛的应用，如：
1.求解粒子在有限势能阱中的能级和态。

2.描述粒子在势能场中的干涉现象。

3.解释原子光谱的线形和分裂。

4.描述分子轨道和化学键的形成。

四、薛定谔方程的拓展与改进
随着科学技术的发展，薛定谔方程不断地被拓展和改进，以适应更复杂物理体系的研究。

一些重要的拓展包括：
1.相对论性薛定谔方程：为了解释高速运动粒子的性质，将相对论效应纳
入薛定谔方程。

2.含时薛定谔方程：在一般薛定谔方程的基础上，引入含时势能项，用于描述粒子在时间演化过程中的性质。

3.多粒子薛定谔方程：将薛定谔方程扩展到多粒子体系，用于研究粒子间的相互作用和关联。

总之，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，在理论研究和实际应用中具有重要意义。

薛定谔方程

在1925年，瑞士苏黎世每两周会举办一场物理学术研讨会。有一次，主办者彼得·德拜邀请薛定谔讲述关于德布罗意的波粒二象性博士论文。那段时期，薛定谔正在研究气体理论，他从阅读爱因斯坦关于玻色-爱因斯坦统计的论述中，接触德布罗意的博士论文，在这方面有很精深的理解。在研讨会里，他将波粒二象性阐述的淋漓尽致，大家都听的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描述这种量子性质的波动方程。他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞，他开始寻找这波动方程。
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这种形式下的薛定谔方程为

高二物理竞赛课件：量子力学之薛定谔方程

薛定谔方程
薛定谔方程
是波函数所遵从的方程— 量子力学的基本方程,
是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。
1. 建立（简单→复杂，特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
( x, t )
e
i
(
E
t
p
x
x
)
0
e
i
px
x
0
e
i
Et(x) Nhomakorabeae
i
E
t
与驻波类比
式中：
(x)
d2(x) dx 2
px2 2
(x)
*
非相对论考虑
自由粒子：势函数 U 0
代入
E
Ek
1 2
mv
2 x
px2 2m
d2(x) dx 2
px2 2
(x)
*
p
2 x
2mE
得
d2(x) dx 2
2mE 2
(x)
0
即一维自由粒子的振幅方程
一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
Ek
3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。
4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。
5、薛定谔方程是非相对论的方程。
求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程
2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数
只有E取某些特定值时才有解
Ψ(r1,r2,…,t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程:
i
t
(

量子力学中的薛定谔方程解析

量子力学中的薛定谔方程解析量子力学是研究微观世界中的粒子行为和现象的重要分支学科。

其中，薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了粒子的波函数演化规律。

本文将介绍薛定谔方程的基本原理和解析方法。

一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的，用于描述微观粒子的行为。

薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是粒子的波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。

该方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的变化。

二、薛定谔方程的解析方法在实际应用中，我们通常采用特定形式的波函数来解析求解薛定谔方程。

下面介绍几种常见的薛定谔方程解析方法。

1. 分离变量法分离变量法是一种常用的薛定谔方程解析方法。

它的基本思想是将多变量波函数分解为若干个单变量的乘积形式，然后将其代入薛定谔方程进行求解。

2. 平面波方法平面波方法是一种常见的简化模型，适用于特定情况下的薛定谔方程。

该方法假设波函数可以用平面波的线性叠加表示，然后通过代入薛定谔方程得到对应的能量本征值和本征函数。

3. 变分法变分法是薛定谔方程求解的一种非常灵活的方法。

该方法通过引入一组试探波函数，利用变分原理寻找使波函数能量达到最小值的解。

4. 系统对称性方法系统对称性方法适用于具有特殊对称性的系统。

通过利用系统的对称性，可以简化薛定谔方程的求解过程，并得到更加精确的解析解。

三、薛定谔方程的应用与发展薛定谔方程不仅在量子力学的基础研究中发挥着重要作用，也广泛应用于各个实际领域。

在原子物理学中，薛定谔方程用于描述电子在原子中的运动轨迹和能级结构，揭示了量子力学的基本规律，对原子光谱和分子结构的解释有重要贡献。

在固体物理学中，薛定谔方程应用于研究电子在晶体中的行为，解释了导电性等晶体性质，为材料科学和电子器件的发展提供理论基础。

在量子信息科学中，薛定谔方程被用于研究量子态的演化和测量，为量子计算和量子通信等领域的发展带来了新的可能性。

量子力学中的薛定谔方程

量子力学中的薛定谔方程量子力学是研究微观世界的一门物理学科，它的理论基础就是薛定谔方程。

薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是量子力学的核心方程之一。

本文将介绍薛定谔方程的基本概念、数学表达及其在量子力学中的重要意义。

一、薛定谔方程的基本概念薛定谔方程描述的是微观粒子的运动状态和行为规律。

它是在三维空间中描述波函数（ψ）随时间演化的偏微分方程。

薛定谔方程的形式可以如下所示：Ĥψ = Eψ，其中，Ĥ是哈密顿算符，ψ是波函数，E是对应的能量本征值。

薛定谔方程中的哈密顿算符代表了粒子的总能量运算符。

它的形式为：Ĥ = -（h²/2m）∇² + V(x)，其中，h是普朗克常量，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V(x)是粒子所受势场的势能函数。

二、薛定谔方程的数学表达薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要使用数学上的一些工具和方法。

我们先来看一维情况下的薛定谔方程：-（h²/2m）d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)。

其中，x代表粒子的位置坐标。

要得到波函数ψ(x)的解，可以采用变分法、数值计算或者一些特殊情况下的解析求解方法。

对于多维情况，如三维空间中的薛定谔方程，形式如下：-（h²/2m）∇²ψ(x, y, z) + V(x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)。

解一维薛定谔方程可以得到单粒子的波函数，而解三维薛定谔方程则可以得到多粒子的复合波函数。

三、薛定谔方程的重要意义薛定谔方程是量子力学的基石，它揭示了微观粒子的波粒二象性和不确定性原理。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数，从而计算出粒子的能级、概率密度分布和运动轨迹等物理量。

薛定谔方程还能描述量子力学中的一些奇特现象，例如原子和分子的能级结构、粒子在势阱中的驻波现象、量子隧穿效应等。

量子力学课件-薛定谔方程

量子力学课件-薛定谔方程
量子力学课件-薛定谔方程
课程概述
量子力学简介
介绍量子力学的基本概念和原理，解释微观世界的行为。
薛定谔方程的意义
探究薛定谔方程在量子力学中的重要性和应用。
薛定谔方程的物理意义介绍
解释薛定谔方程在物理学中的具体含义和实际应用。
薛定谔方程的推导
1
经典力学中的哈密顿量
讨论经典力学中的哈密顿、算符和本征值问题
介绍量子力学中的态矢量、算符和本征值问题，探讨其在薛定谔方程中的应用。
3
薛定谔方程的推导
详细讲解薛定谔方程的数学推导过程和物理背景。
薛定谔方程的解与应用
1
时间无关薛定谔方程
讨论时间无关薛定谔方程及其解的特点和应用。
2
时间相关薛定谔方程
探究随时间演化的薛定谔方程和脉冲波包的描述。
发展案例介绍
介绍量子场论、矩阵力学和路径积分等薛定谔方程的发展方向。
总结
1. 量子世界的奇妙 2. 薛定谔方程的意义与缺陷 3. 量子力学的发展前景
3
应用案例介绍
以单电子的运动和氢原子的能级与波函数为例介绍薛定谔方程在不同领域的应用。
薛定谔方程的缺陷与发展
薛定谔方程的不足以及量子力学的发展历程
讨论薛定谔方程的局限性以及量子力学在科学发展中的演变历程。
薛定谔方程的问题：量子纠缠
解析薛定谔方程存在的问题，重点讨论量子纠缠的概念和影响。

薛定谔方程名词解释

薛定谔方程名词解释薛定谔方程，又称“薛定谔等式”，是量子力学中最重要的基本方程之一。

由俄国物理学家薛定谔于1925年创立，一直是量子力学理论的基础，被称为“量子力学的常律”，也是现代量子物理学理论最重要的基础方程之一。

薛定谔方程是一个展示量子物质的发展过程的有效的数学描述式。

它是对微观客观世界的细节描述，描述客观世界的力学原理以及微观系统的运行机制，它包括了量子力学重要的基本原理，如不确定性原理，相互作用原理和简并原理等，它也是物理学家理解量子物质及其运动的基础。

薛定谔方程的最多的格式有能量与动量的关系式，二阶偏微分方程，它可以用来描述量子系统的行为，如量子对的结构以及相互作用的结果。

因此，薛定谔方程在量子物理学的研究中起着非常重要的作用。

薛定谔方程以简洁的数学模型描述了量子物质的发展历程，主要由五个特征组成：首先，量子物质属于自身不可观测的状态，即量子力学中描述的状态称为量子态；其次，量子物质在空间中的分布的发展是随机的，因此，它的行为是概率的；第三，量子物质的发展过程受到它本身和外部环境的交互影响；第四，量子物质在空间中受物理场（如实验室电场、磁场、重力场等）的影响；第五，量子物质的发展过程由多个因素构成，其结果是态对态的转化，这也是薛定谔方程最重要的特点之一。

薛定谔方程由两个重要的部分组成：等号左边是波函数，它描述了物体的状态，而等号右边代表了物体的能量，以及外部环境对物体的影响。

由此可见，薛定谔方程展示了复杂的量子系统和它们之间的相互作用，有助于我们对量子物质的本质有更深入的理解。

薛定谔方程的建立不仅为物理学研究奠定了重要的理论基础，而且在应用领域也起着至关重要的作用。

目前，薛定谔方程已经广泛应用于电子显微镜量子计算、量子通信、量子计算机等领域，其结果也可以用于激光和太赫兹技术、核聚变、太空探测等。

总之，薛定谔方程是量子物理学和量子技术研究领域中最重要的基础方程之一。

它描述了不可观测的量子物质及其相互作用的动态发展，并为我们揭示了复杂的量子系统及其相互作用的本质。

量子力学——薛定谔方程

U（r）力F
• 初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时刻的状态，即“态的演化过程”是确定的。
t=0
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
非定域性：
整个体系的状态用3N个空间坐标和一个时间坐标描述。
2. 几率守恒定律与几率流密度
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定律，从而引入几率流密度概念。
该满足以下三个条件：
• (1)单值性；
• (2)有限性；
• (3)连续性。
• 连续性通常意味着
和
都连续，
但在势能有无穷大跳跃的地方，
允许不连续。
§2.3 一维运动问题的一般分析
1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质
二阶常微分方程，容易求解它的解有如下的规律
Wronskian定理
•若能量相同)，则
3. 一维束缚态的一般性质
• 先引入一个概念－简并与非简并 – 如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波函数存在（即只有一个状态），则称该能级是非简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。
线性独立的定义：对常数c1，c2
一维束缚态不简并定理
• 定理：一维束缚态必是非简并态（可以由Wronskian定理证明）。
都是方程的解(
( c 是与 x 无关的常数)，
称为Wronskian定理。
Wronskian定理的证明
证明：定态方程的两个解满足
另外两个定理
• 共轭定理：若的解，则
能量E相同)。
是定态行薛定谔程也是该方程的解(且
• 反射定理：对势)，那么若
(原点对称的是该方程的解，则
也是该方程的解(且能量E相同)。

薛定谔方程的基本概念

薛定谔方程的基本概念薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一，它的提出是量子力学的重要里程碑。

本文将介绍薛定谔方程的基本概念，包括方程的起源、数学形式以及其在量子力学中的应用。

1. 薛定谔方程的起源量子力学是研究微观世界的物理学分支，旨在解释微观粒子的行为和性质。

20世纪初，量子力学的奠基人之一薛定谔（ErwinSchrödinger）提出了薛定谔方程，以描述微观粒子的运动和状态演化。

2. 薛定谔方程的数学形式薛定谔方程是一个偏微分方程，它用于描述微观粒子的波函数随时间和空间的演化。

薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∇²ψ + Vψ其中，ψ是微观粒子的波函数，t代表时间，m代表粒子的质量，V代表势能。

方程右边第一项描述了粒子的动能，第二项描述了势能对波函数的影响。

3. 波函数和可观测量波函数是薛定谔方程的解，它包含了微观粒子的全部信息。

通过波函数，我们可以计算得到粒子的各种可观测量，如位置、动量、能量等。

这些可观测量是通过对波函数进行数学操作得到的。

4. 薛定谔方程的解和物理意义薛定谔方程的解即波函数可以用于描述微观粒子的各种性质和行为。

波函数的平方的模的绝对值的平方表示了粒子在不同位置出现的概率密度。

因此，薛定谔方程不仅提供了描述微观世界的工具，也提供了一种概率解释。

5. 应用举例：粒子在势阱中的行为薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。

一个典型的例子是研究粒子在势阱中的行为。

势阱是一个具有一定势能的区域，它可以代表原子、分子等微观体系。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱中的能级、波函数的形状等信息。

结语：薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观世界提供了重要的工具。

它的提出使得我们能够描述和预测微观粒子的行为，并且在研究原子、分子等微观体系时有着广泛的应用。

通过深入研究薛定谔方程，我们可以更好地理解和探索量子世界的奥秘。

（注：本文参考了量子力学和薛定谔方程的基本概念，并根据题目要求进行了适当的调整和结构化。

三分钟读懂量子力学：认识薛定谔方程

三分钟读懂量⼦⼒学：认识薛定谔⽅程假如粒⼦研究不能适合空间和时间，那么它整个⽬的就失败了，我们就不知道它的作⽤究竟是什么。

——薛定谔薛定谔⽅程在量⼦⼒学中的地位相当于⽜顿第⼆定律在经典⼒学中的地位，⼆者描述的都是事物的运动变化。

⽜顿第⼆定律是表述质点运动的微分⽅程F=m(d²x/dt²)，⽽薛定谔⽅程是描述波函数变化的偏微分⽅程，它最简单的形式是不含时势（时间和势能）的表达式（-ℏ²/2m）∂²ψ/∂x²=Eψ。

薛定谔⽅程的由来当位置波函数ψ(x)确定之后，根据其系数可以求出动量波函数ψ(p)，从⽽引出不确定性原理ΔxΔp≥ℏ/2（上⼀篇内容）。

在经典⼒学中，已知位置和动量，就可以计算⼀切运动变化，但对于量⼦⼒学，还剩下最重要的⼀个量——能量，它是质点运动唯⼀可以保持不变的量。

为了确定粒⼦能量的概率波函数ψₑ(x)，于是构造了薛定谔⽅程。

⽂章导图能量波函数在⽜顿⼒学体系中，已知x和p，则不⽤再单独进⾏能量的计算，因为有动量—能量公式E=p²/2m。

⽽微观粒⼦的能量必须具有概率诠释，根据求动量波函数的⽅法，可知能量的概率波函数需满⾜：ψ(x)=∑Aₑψₑ(x)Aₑ=∫ψₑ*(x)ψ(x) dx接下来最重要的⼀步就是合理的假设与猜测，为了求解能量波函数，薛定谔根据经典的关系式E=p²/2m，⼤胆地构建了⼀个⾃由粒⼦的⽅程：（-ℏ²/2m）d²ψ/dx²=Eψ通过解上述⽅程得到了能量的概率波函数：ψₑ(x)=Ae^-i(p/ℏ)x + Be^-i(p/ℏ)x，其中p=√2mE。

⽅程的解很好的符合了实验测量结果以及玻尔的能级理论，根据动量只能取离散值p=2nπℏ/L，便可得到能量也只能取分⽴值E=(2nπℏ/L)²/2m。

束缚于谐振⼦势阱的⼋个不同能级的能量本征波函数(n=0~7)薛定谔⽅程我们的任务不是去发现⼀些别⼈还没有发现的东西，⽽是针对所有⼈都看见的东西做⼀些从未有过的思考。

原子物理讲义第三章量子力学导论

第三章量子力学导论（YCS ）19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。

1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。

此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。

至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。

在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。

量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。

量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想；3)解决具体问题的方法。

§3-1玻尔理论的困难玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。

如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？）玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。

……§3-2波粒二象性1.经典物理中的波和粒子经典物理学中，波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。

粒子可视为质点，具有定域性，有确定的质量、动量、速度和电荷等，波可以在空间无限扩展，波有确定的波长和频率。

视为质点的粒子位置可无限精确地被测定，而在无限空间传播的波的波长和频率也能被精确地测定(因为波不能被约束)。

15 量子物理学的诞生薛定谔方程及应用

2 2
一维自由粒子的含时薛定谔方程
2、一维势场 U ( x , t ) 中运动粒子薛定谔方程
P E Ek U U 2m Ψ i EΨ t 2Ψ P2 2 Ψ 2 x
2
Ψ i P2 [ U ( x , t )]Ψ t 2m
Ψ ( x, t ) Ψ oe
x
E p0
A B
2 一维无限深势阱

0
0

a x
U (x)
0 0< x < a
x 0, x a
U 与t 无关，写出定态定谔方程

1
1= 0
d Φ UΦ EΦ 2 2m dx
2 2
0 2

3
3 = 0
1 势阱外
dΦ Φ EΦ 2 2m dx
2 2
x
0
a
x
讨论
1.能量只能取分立值是解薛定谔方程自然而然得到的结论。按经典理论……粒子的“能量连续”；但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）
2.当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续，量子经典。 3.最低能量不为零（称零点能） 2 2 E1 0 2 ———符合不确定关系。 2 ma
2 2 Φ UΦ EΦ 2m
定态薛定薛方程一维定态薛定谔方程
2m Φ 2 ( E U )Φ 0
2
d 2Φ( x ) 2m 2 (E U)Φ( x ) 0 2 dx
势阱中的粒子势垒谐振子
一、一维无限深势阱
1 势阱
U (x)
金属表面
金属中自由电子的势能曲线
推广到三维情况， 2 2Ψ Ψ U ( x , t )Ψ i 薛定谔方程可写为： 2

量子力学的核心——薛定谔方程

量子力学的核心——薛定谔方程在日常生活中，利用牛顿定律我们就可以描述各种运动。

但是，当物理学家想要探索微观世界，比如电子围绕着原子核运动，他们发现事情变得异常诡异，而牛顿定律也不再适用。

要想要描述微观世界就必须运用量子力学，该理论在20世纪初发展起来。

而量子力学的核心方程就是薛定谔方程，它就好比是牛顿第二定律在经典力学中的位置。

也许你没见过薛定谔方程，但是你或许听过他那只举世闻名的猫，因为薛定谔猫同时处于死和活的叠加态。

不过今天的主要目的是要让你们理解薛定谔方程，因此我首先要从波和粒子开始说起。

薛定谔（1887 - 1961）。

【波与粒子】在经典力学中，我们利用位置和动量来描述一个物理系统的状态。

举个例子，在一个桌上有许多的台球，如果你知道每个球在某个时刻 t 的位置和动量（即质量乘以速度），那么你就知道该系统在t 的一切：球的位置，以及它们移动的方向和速度。

因此我们可以问，如果我们知道一个系统的初始条件，即该系统在时间t₀的状态，那么这个系统的动态如何演化？利用牛顿第二定律我们就可以回答这个问题。

在量子力学中，我们问同样的问题，但是答案更加的巧妙，因为位置和动量已不再是描述该系统的合适变量。

爱因斯坦提出的光电效应。

举个例子，牛顿认为，光是由微粒构成的，但是，之后许多其它科学家的通过实验表明光的行为像波动。

但是，爱因斯坦在1905年发现，波动学说也并不是完全正确的。

为了解释所谓的光电效应，你需要把一束光想象成一束粒子流，爱因斯坦称之为光子。

光子的数量正比于光的强度，每个光子的能量 E 与它的频率 f 成正比：普朗克常数h = 6.626068×10⁻³⁴m²kg/s，这个非常小的数字是由普朗克在1900年对黑体辐射研究时提出来的。

现在我们面对的问题是有时光的行为像粒子，而有时它的性质像波。