第三章 量子力学导论
原子物理第三章-量子力学导论
Ψ(r,t)
u(r)f
t
u(r)e
i
Et
定态波函数
21
说明： • E是粒子的总能量，定态下与时间t无关 • 定态下的概率密度为：
ΨΨ uu
与时间无关即定态时粒子在空间的概率 分布不随时间变化
22
§3-5 算符与力学量 一、算符 (运算符号) 量子力学中每一个力学量对应一个算符
R2 (r)4 r 2dr r / a1
给定 n , l 值可求出R 2 r
40
例：相对概率 R2r2 随 r 的变化
n 1 l 0
R2r2
n 2 l 1 R2r2
123
r / a1
r a1 出现的概率最大
246
r / a1
r 4a1 出现的概率最大
41
四、氢原子问题上量子力学和玻尔理论的比较 ⒈ 理论的出发点
可解决一般结构与精细结构 可以给出谱线强度大小
准确结果
44
4. 主要结论的区别和联系
① 能量
两种理论采用不同途径得到的原子内部 的总能量是完全相同：
En
mee4
(40 )2 22
1 n2
n 1、2、3
45
②角动量
玻尔理论： P n n 1,2,3n
量子力学： Pl l(l 1) l 0, 1, 2(n 1)
d) ( d
m2
sin2
) 0
②
d 2
d 2
m2
0
③
28
二、方程的解 利用标准化条件和归一化条件得到三个方程 的解分别如下：
量子力学导论
量子力学的建立
➢ 1900年，普朗克能量量子化 ➢ 1905年，爱因斯坦光量子说 ➢ 1913年，玻尔提出原子结构模型 ➢ 1924年，德布罗意提出物质波概念 ➢ 1925-1928年，海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克 等人建立了完整的量子力学理论
量子力学的内容
1、产生新概念的一些重要实验。 2、不同于经典理论的新思想。 3、解决具体问题的方法。
§3.1、玻尔理论的困难
原因：将微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学 规律应用于微观粒子。
➢ 卢瑟福的质疑。 逻辑上的恶性循环
➢ 薛定谔的非难。
E2
h
E1
“遭透的跃迁”
玻尔理论不仅对这些逻辑上的矛盾和困难束手 无策，而且，当人们用这一理论去解释周期表中第 二号元素氦时，也遇到了无法克服的困难。
电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉
量子力学是关于微观世界的基本理论，它能够正确地描 述微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反映了实物粒子 波粒二象性的客观事实。它与某些经典物理概念是不相容的， 也突破了玻尔理论的局限性。
今天量子力学的发展不仅仅在基础科学方面，在其他 领域也有广阔的应用前景。
➢ “光电技术”领域 ➢“纳米物理与纳米技术”领域 ➢“分子器件” 小尺度发展领域 ➢“量子生物”、“量子化学”交叉学科 等等无一不是立足于量子力学的概念与方法。也可以说， 量子物理的科学已与我们今天的生活息息相关。
海森堡
玻恩 M.Born (1882-1970) 薛定谔
狄拉克 PAUL DIRAC (1902-1984)
WERNER HEISENBERG ERWIN SCHRODINGER
(1901-1976)
(1887-1961)
5
第三章：量子力学导论
1926 年夏天，戴维逊出席了在牛津大学召开的不列颠协会的科学进展 会议。在那里，他同玻恩、弗兰克以及其他人讨论了他的电子散射的研究。 他详细地听取了关于电子具有波动性的德布罗意假设，通过牛津大学会议 的讨论使戴维逊相信他的实验结果是由于晶格的电子衍射造成的，这就证 实了德德布罗意的假设，所以戴维逊对电子束衍射所作的真正有价值的探 讨是从牛津会议开始的。翌年初，戴维逊与革谋 (Germer) 一起，进行镍单 晶的电子衍射实验，从实验中所得到的数据表明，德布罗意公式入=h/mv在 测量准确度范围内是正确的。同年3月，他们便提出了一个研究结果的初步 摘要，不久又提出全文报告，第一次确定了运动电子的波动性，跟德布罗 意的理论相一致。获得了1937年的诺贝尔物理奖。
物质波的实验验证：戴维逊－革末实验
戴维逊（左）手持电子衍射管，右为他的助手革末
1923年Clnton Davisson 发表了电子从镍片反射的角分 布实验情况，他发现弹性反射电子束强度在某些角度 出现了极大值。玻恩（ Born ）认为是一种干涉现象， 可能与德布罗意波有关，这引起了戴维逊和革末 （ Lester Germer）继续对电子在镍单晶表面散射进行 研究。
物质波的实验验证——原子尺度上的物质波
Realization of quantum Wheeler's delayed-choice experiment
A Quantum Delayed-Choice Experiment
Entanglement-enabled delayed choice experiment
人：
4
m= 50Kg， v =15 m/s
o h h 8.81027 A p m
Why Study Ultra-Cold Gases?
第三章量子力学导论教材
五 应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人宾尼格和瑞士人罗雷尔制成了扫 描隧道显微镜。 他们三人获1986年诺贝尔物理 奖。
第三节 不确定关系
海森堡（W.K.Heisenberg， 1901--1976）德国理论物理学家。 他在1925年为量子力学的创立作 出了最早的贡献，于26岁时提出 的不确定关系和物质波的概率解 释，奠定了量子力学的基础。为 此，他于1932年获诺贝尔物理学 奖。
4 德布罗意波的实验证明
（1） 戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
U
K
电子束
M
电子枪 检测器
G
散 射 线
电子被镍晶体衍射实验
将54eV电子束（λ ＝0.167nm）直射在镍单晶上，按
布喇格衍射公式， 2d sin n, d a sin,
取a=0.215nm （镍晶格常数）,算得 50.9 0 ,
玻尔曾用过的角动量 量子化条件。
mvr n h n
2
（2）把
p
nh
2r
n r
代入氢原子总能量表达式
E
p2 2m
e2
4 r
n22 2mr 2
e2
4 r
由dE / dr 0 给出
rn
2 m
4
e2
n2
a1n2
0.053 n2nm
这正是玻尔的量子化的轨道半径。
经典力学中，物体位置、动量确定后，物体以后 的运动位置就可确定。但微观粒子，具有显著的 波动性，不能同时确定坐标和动量。实物粒子波 粒二象性包含更深层的物理含义。
chap3 量子力学导论1.0
薛定谔方程为
(6.2.1)
在Ⅱ，Ⅲ区，只能有ψ =0.因为从物 理上考虑，粒子不能存在于势能为 无限大的地区，在Ⅰ区，方程简化 为
图3.2.1
无限深势阱
6.2.2
6.2.3)
6.2.4) 式中，A，δ 为待定常数，为确定A与δ 之值，利用ψ 的边界条件及归一化条件。从物理上考虑，粒子不能 透过势阱，要求在阱壁及阱外波函数为零，即
（7）
（8）
（9）
薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 --量子力学基本假设 地位同经典物理的牛顿定律
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖
一维无限深势阱中的粒子 一个粒子在两个无限高势垒之间的运动，实际上与一 个粒子在无限深势阱中的运动属于同一类问题。设势 阱位于x=0及x=a处。势阱之间(图3.2.1中Ⅰ区)，V=0， 势阱本身(图3.2.1中Ⅱ，Ⅲ区)，V=∞，求粒子在势阱 间的运动情况。
ll
（1）
对（1）x,y,z取二阶偏微商得到 （2） 等式相边相加， 即有
（3） 为拉普拉斯算符
把(1)对t取一阶偏微商
（4）
..
如果自由粒子的速度较光速 小得多，它的能量公式是 p2/2m=E，两边乘以ψ ，即得 （5）
把(3)和(4)代入(5)
（6）
得到一个自由粒子的薛定 谔方程。
对于一个处在力场中的非自由粒子，它的总能量等 于动能加势能 两边乘以ψ 自由粒子的薛定 谔方程可以按此 式推广成
图6.3.2势垒贯穿时波函数 利用量子隧道效应，可以解释许多现象，放射性原子 核的α粒子衰变现象就是一种隧道效应. 热核反应所释放的核能是两个带正电的核，如2H和3H， 聚合时产生的. 隧道效应在高新技术也有着广泛的重要应用。例如， 隧道二极管就是通过控制势垒高度，利用电子的隧道效 应制成的微电子器件，它具有极快(5ps以内)的开关速度， 被广泛地用于需要快速响应过程。
量子力学导论
（2）单电子双缝实验
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
7个电子在观 察屏上的图像
100个电子在 屏上的图像
屏上出现的电子说明了电子的粒子性
3000
20000
70000
随着电子数目的增多，在屏上逐渐形 成了衍射图样
说明 “一个电子”就具有的波动性
（3）正确理解微观粒子的波粒二象性 1) 粒子性
2）物质世界的层次与量子力学 ①宏观、低速物体（>10-6m，布朗颗粒 ） ----牛顿力学
②微观物体（原子尺度~10-10m=1Å ） ----量子力学 ③介观物体（分子团簇~10-7~10-9m ） ----量子力学效应明显 纳米技术 ④标志量子效应的特征量 h~Planck常数 量纲=[能量]· [时间] =[动量]· [长度] =[角动量]
量子力学原子、分子、原子核、固体
量子电动力学(QED)电磁场
量子场论原子核和粒子
进一步认识的问题．．．．
交叉学科：量子化学、量子光学、量子计算、量子信息、量 子统计力学、磁性量子理论……
§11 经典物理学的困难
一. 经典物理学的成功 19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相 当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
基本 数据
a 0.3μ m V 50kV
dபைடு நூலகம் 1μ m
0.05 A
o
质子、中子、原子、分子„也有波动性
德布罗意获1929年 诺贝尔物理奖 戴维逊、汤姆逊 共同获1937年 诺贝尔物理奖
▲如何理解宏观粒子也具有波动性？ 对非相对论情况
m 2mE
按麦氏分布，最大能量（最可几）概率正 比于 kT 能量写为 E ckT h h 最大能量对应的波长 m m cmT 波粒二象性是普遍的结论 宏观粒子也具有波动性，m大时， 0
量子力学导论第3章答案
第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(by a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为m E y x n n 222π =)(2222bn an y x +,2,1, ,sinsin2==y x y x nn n n byn axn abyx ππψ若b a =，则 )(222222y x n nn n ma E yx +=πayn axn ay x nn yx ππψsinsin2=这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(cz b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn bn an mnn n Ez y x zyx++=π ,,3,2,1,, ,sinsinsin8==z y x z y x n n n czn byn axn abcn n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n mann n Ezyx++=πayn ayn axn a n n n z y x zy x πππψsinsinsin223⎪⎭⎫⎝⎛=z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
z y x n n n ,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如 ⎩⎨⎧→++=++→++=++)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(10438652222222222223.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，⎩⎨⎧><∞<<=ax 0, ,0 ,0),(x ax y x V 证明处于定态)(x n ψ的粒子)61(12)x -(x ,22222πn aa x -==讨论∞→ n 的情况，并于经典力学计算结果相比较。
原子物理学 第三章量子力学导论
光既可以显示波的特性， 又能显示粒子的特性
第三章：量子力学导论
第二节：波粒两象性
1、德布罗意假说 (L.De Broglie)
德布罗意
“整个世纪以来，在光学上比起波动的研究方 法，是过于忽略了粒子的研究方法，在实物理论 上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把粒 子的图象想的太多，而过分忽略了波的图象？” “所有的物质粒子（mo不等于零）都具有波粒二 象性，任何物质粒子都伴随着波，而且不可能将 物体的运动和波的传播分开。
第三章：量子力学导论
任何表达式中，只要有普朗克常量的出 现，就必然意味着这一表达式的量子 力学特征
第三章：量子力学导论
德布罗意关系式的实验验证—戴维孙－革末实验
德布罗意指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电 子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925年戴维孙－ 革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观 察到电子的衍射图象（如图）
粒子的特性：
定域性，占据一定的空间， 有确定的质量、动量和电荷 粒子和粒子之间是分离的。 粒子的运动有确定的轨道。 波的特性：
广延性，周期性,迭加性，能 产生干涉、衍射、偏振等现 象。
第三章：量子力学导论
第二节：波粒两象性
特征量 质量 动量 电荷
粒子 完全定域性
特征量
波
波长 频率
1、粒子总可以看 成是质点 2、根据牛顿力学 ，有严格的因果 律
第三章：量子力学导论
de Broglie将Einstein的光量子概念推 广，提出了物质波的概念(1924年) 所有的波都具有粒子性 所有的粒子都具有波动性 不能将物质的运动和波的传播分开。
德布罗意关系式：
第三章量子力学导论
闽江学院教案课程名称：原子物理课程代码： 21100430授课专业班级： 2010级物理学（师范类）授课教师：翁铭华系别：电子系2012年8 月30 日第三章量子力学导论教学目的和要求：1．了解量子化物质波粒二象性的概念。
2．理解测不准原理；3．掌握波函数及物理意义；4．了解薛定谔方程；了解量子力学问题的几个简例；5．了解氢原子的薛定谔方程；了解量子力学对氢原子的描述。
教学重点和难点:1. 教学重点：波函数及统计解释2．教学难点：波函数及统计解释教学内容：1. 玻尔理论的困难2. 波粒二象性3. 不确定关系4. 波函数及其统计解释5. 薛定谔方程及应用19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。
1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。
此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。
至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。
在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。
量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。
量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想；3)解决具体问题的方法。
§3-1玻尔理论的困难玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。
如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？）玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。
第三章量子力学导论二
二、薛定谔方程的建立：类比方法 薛定谔创建量子力学波动方程的过程：
Ann. Phys.(Berlin) 384(1926),361-376.
基于经典力学的哈密顿—雅 克比方程和变分方法，建立了氢 原子的定态薛定谔方程，并求出 此方程的解，给出了能级公式。
从数学角度出发，提出了物 理上的量子化问题在数学上是一 个本征值问题的结论，取代了原 来波尔—索末菲的量子化条件。
这是与他在大学期间深入研 究的连续介质本征值问题是分不 开的。
Ann. Phys.(Berlin) 384(1926),489-527.
从含时哈密顿—雅克比 方程出发，建立了一般的薛 定谔方程，讨论了该方程的 求解，并从经典力学和几何 光学的类比以及波动光学到 几何光学过渡的角度，阐述 了他建立波动力学的思想并 解释了波函数的物理意义。
势能为常数的情形
粒子的能量
德布罗意关系
自由粒子的波函数
一般情形：
假设成立
一维薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立：教材标准版 小结： 一维薛定谔方程
三维薛定谔方程：
说明：
薛定谔方程只是量子力学的一个基本假设！
一、薛定谔方程的建立：教材标准版 2.定态薛定谔方程
定态： 势场V(r)不显含时间t
求解：
方法：分离变量法
考虑最简单情形：
一个质量为m,动量为p,在势场V(x)中运动的非相对论粒子
哈密顿-雅克比方 程和哈密顿原理 粒子波粒二象性
定态薛定谔方程 量子力学的一个基本假设
三、薛定谔方程的建立：算符方法
引入算符的必要性：
量子力学导论
量子力学导论量子力学导论量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学理论，是现代物理学中最重要和基础的学科之一。
它的诞生标志着经典物理学的破产，为我们对微观世界的认知提供了全新的视角。
量子力学最早的经典实验基础是黑体辐射实验，通过对物体发出的光的颜色和强度的研究，揭示了微观世界的奇特规律。
但在传统的经典物理学中，光被认为是一种波动现象，与物质之间没有直接的关联。
然而，20世纪初，物理学家们提出了量子力学的基本原理：波粒二象性和不确定性原理。
波粒二象性指的是微观粒子既可呈现波动性，又可表现出粒子性。
不确定性原理则表明，在测量微观粒子属性时，无法同时准确地确定位置和动量等参数。
量子力学进一步发展出薛定谔方程，该方程描述微观粒子在空间中的行为。
薛定谔方程的解即波函数，通过波函数可得到粒子的概率分布和运动规律。
量子力学的理论得到了广泛的应用，例如在固体物理、原子物理和分子物理等领域有着重要的作用。
其中，量子力学在原子核物理研究中发挥了巨大的作用，成功解释了核衰变、核物理束缚等现象。
此外，在材料科学研究中，量子力学也能够解释材料的电子结构与性质。
尽管量子力学为我们揭示了微观世界的奥秘，但它也存在一些挑战和争议。
例如，波函数坍缩问题。
在量子力学中，当观测到微观粒子时，波函数会从一个波束坍缩为一个确切的位置，这引出了一些哲学上的问题。
此外，量子力学与相对论的统一也是物理学家们长久以来的追求。
两者之间存在的矛盾和问题，尚待进一步的研究和探索。
总之，量子力学是一门令人着迷和深奥的学科，它向我们展示了微观世界的奇妙规律，也为人类在科学研究和技术应用方面带来了巨大的进步。
随着科学技术的不断发展，相信量子力学会继续为我们揭示更多微观粒子行为的奥秘。
量子力学导论
量子力学导论量子力学导论量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支，它描述了微观世界中粒子的运动和相互作用。
量子力学的发展源于20世纪初研究原子光谱的尝试，后来被证明是一种革命性的理论，对科学和技术领域产生了广泛的影响。
量子力学的核心概念之一是波粒二象性。
根据量子力学的理论，微观粒子既可以表现出粒子的特性，比如位置和动量，又可以表现出波动的特性，比如干涉和衍射。
这种二象性的存在使得量子力学与经典物理学有着根本的区别。
量子力学中另一个重要的概念是量子态和量子态的演化。
量子态可以用波函数表示，它是描述微观粒子状态的数学对象。
根据薛定谔方程，波函数会随着时间的推移而演化。
根据波函数的幅度和相位不同，粒子将表现出不同的行为，比如束缚态和散射态。
量子力学中还有一些基本原理，比如不确定性原理和测量理论。
不确定性原理指出，对于一些共轭变量，比如位置和动量，我们无法同时准确地知道它们的值。
测量理论则是描述了量子系统在测量过程中的行为，并给出了测量结果的概率统计。
量子力学在理论和实验上的发展取得了巨大的成就。
它不仅成功解释了原子光谱和化学键的形成，还推动了现代技术的发展，比如原子钟、激光和量子计算等。
同时，量子力学也带来了一些哲学上的思考，比如物理现实的本质和测量过程的角色等。
尽管量子力学在解释微观世界中的现象方面非常成功，但它与经典物理学之间的矛盾依然存在。
目前，物理学家们致力于发展量子力学的新理论，希望能够统一量子力学和相对论，并解决一些悬而未决的问题，比如量子重力和黑洞信息悖论等。
总结起来，量子力学是一门关于微观粒子行为的理论，它具有波粒二象性、量子态和量子态演化、不确定性原理和测量理论等基本概念。
量子力学对科学和技术领域产生了深远的影响，并且仍然是物理学研究的重要领域。
第三章量子力学导论1
第三章量⼦⼒学导论1第三章：量⼦⼒学导论§1 玻尔理论的困难 §2 波粒⼆象性 §3 不确定关系 §4 波函数及其统计解释 §5 薛定谔⽅程 §6 平均值与算符 §7 量⼦⼒学对氢原⼦的处理1. 玻尔氢原⼦理论的成绩第⼀节玻尔理论的困难成功地解释了原⼦的稳定性、⼤⼩及氢原⼦光谱的规律性。
从理论上计算了⾥德伯常量；解决了近30年之久的巴⽿末公式之迷，打开了⼈们认识原⼦结构的⼤门，⽽且玻尔提出的⼀些概念，如能量量⼦化、量⼦跃迁及频率条件等，⾄今仍然是正确的。
能对类氢原⼦的光谱给予说明。
冲破了经典物理的束缚，提供了描述微观体系的新⽅法，为⼈们认识微观世界以及对量⼦理论的建⽴打下了基础。
22. 玻尔氢原⼦理论的困难不能解释多电⼦原⼦的光谱；不能解释谱线的强度和宽度；玻尔理论的⾓动量 L＝nh/2π，与实验结果不符，按量⼦⼒学，⾓动量⼤⼩ L = l (l + 1) h ；不能说明原⼦是如何组成分⼦、构成液体和固体的；在逻辑上也存在⽭盾：把微观粒⼦看成是遵守经典⼒学规律的质点，⼜赋予它们量⼦化的特征。
3第⼆节波粒⼆象性1.经典物理中的波和粒⼦在经典波中有两个结论：要⽆限精确地测准频率，就需要花费⽆限长的时间t v ≥ 1要⽆限精确地测准波长，就必须在⽆限扩展的空间中进⾏观察。
xλ ≥ λ242. 光的波粒⼆象性 2. 光的波粒⼆象性ε = hν相对论质能关系：ε = h ν = mc2光⼦的质量：hν = h m = 2 λc cm = m0 1? v2因为：/c25光⼦的动量：p = mcλh p=数联系在⼀起的。
ε = hν光的波动性（λ）和粒⼦性（p）是通过普朗克常光在传播时显⽰出波动性，在转移能量时显⽰出粒⼦性。
光既具有粒⼦性，⼜具有波动性，即具有波粒⼆象性63.德布罗意假设—微粒的波动性 3.德布罗意假设—微粒的波动性德布罗意关系式德布罗意指出任何物体都伴随以波，不可能将物体的运动和波的传播分拆开来。
第三章 量子力学导论
Δx
2φ
单缝
幕
电子双缝干涉实验
电子束
d 双缝
电子干涉、衍射 可以是单电子行为.
屏 电子波与一般的机 械波有本质的不同.
电子的干涉是自己 幕 与自己的干涉.光的
行为与电子的行为
类似！
(5) 德布罗意波和量子态
• 在此之前，玻尔用定态条件、频率条件和相应原理得到 角动量的量子化条件L=nh/2，并据此导出氢原子的第一 玻尔半径、能量和动量的量子化结果。以下介绍德布罗 意将原子中的定态和驻波联系起来，自然地得到角动量 的量子化条件。
若一个粒子的能量状态是完全确定的即e0则粒子停留在该态的时间为无限长t若粒子在能量状态e只能停留t时间则这段时间内粒子的能量状态并非完全确定它有一个弥散eht能量和时间角动量和角位移的测不准关系宏观例子
第三章 量子力学导论
19世纪末的三大发现(1895年X射线，1896年发现放射性， 1897年发现电子)为近代物理学的序幕。1900年普朗克 提出量子化概念，1905年爱因斯坦在解释光电效应时提 出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念 用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光 谱。此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌 仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释 元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。至此形成的 量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。
x 0, x d
必为驻波的波节。其波长必满足
n d, n 1,2,
2
，即盒子的宽度至少为半波长。代上式至德布罗意关系式
p h
和非相对论动能公式
Ek
p2 2m
得到：
p
nh 2d
Ek
n2h2 8m d2
量子力学导论
量子力学导论量子力学是现代物理学的一个基础理论，以揭示微观世界的规律和特性而闻名。
它涉及到粒子的波粒二象性，量子态的叠加与坍缩，不确定性原理等概念。
本文将介绍量子力学的基本原理、数学表述以及一些重要的应用。
一、量子力学的基本原理量子力学的基本原理包括：波粒二象性、量子态与测量、不确定性原理等。
1.1 波粒二象性波粒二象性是指微观粒子既可以表现出波动性质，又可以表现出粒子性质。
例如，光既可以被看作是粒子（光子），也可以被看作是波动的电磁波。
这个概念对于理解量子力学的基本原理至关重要。
1.2 量子态与测量在量子力学中，一个粒子的状态由一个称为量子态的数学对象描述。
量子态可以通过波函数表示，波函数的平方表示了找到粒子的可能性。
测量是量子力学中的重要概念，它将量子态的叠加态坍缩为一个确定态。
1.3 不确定性原理不确定性原理是由海森堡提出的，它指出在同一个时间点上，无法同时确定粒子的位置和动量。
这个原理揭示了微观世界的固有不确定性。
二、量子力学的数学表述量子力学的数学表述采用了复数形式的波函数和算符的概念。
2.1 波函数波函数是描写粒子状态的数学对象，它通常用希腊字母ψ表示。
波函数的平方给出了找到粒子的概率分布。
2.2 算符算符是量子力学中用于描述物理量的数学对象，例如位置算符、动量算符、能量算符等。
算符作用在波函数上，可以得到相应物理量的期望值。
三、量子力学的应用量子力学在许多领域都有重要的应用，包括粒子物理学、材料科学、量子计算等。
3.1 粒子物理学量子力学为研究基本粒子提供了重要的理论基础。
著名的标准模型就是基于量子力学构建的，它成功地描述了基本粒子之间的相互作用。
3.2 材料科学量子力学在材料科学中的应用非常广泛。
例如，量子力学可以解释物质的电子结构、磁性、光学性质等。
这些理论基础为材料设计和功能实现提供了重要指导。
3.3 量子计算量子计算是一种基于量子力学原理的新型计算方法。
与经典计算相比，量子计算具有更强大的计算能力和更高的计算速度。
量子力学导论
量子力学导论
量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子（如原子和分子）的行为和相互作用。
量子力学起源于20
世纪初对原子和分子行为的研究，最初是为了解释波动性较强的光的性质。
量子力学具有一些与经典物理学不同的基本原理和概念。
其中最基本的原理是量子叠加原理，它表明微观粒子不只存在于一种状态中，而是可以同时存在于多种可能的状态中。
另一个重要的原理是量子测量原理，它指出测量微观粒子时，其状态会坍缩到一个确定的值，这个值是以一定概率决定的。
量子力学还提供了一种描述微观粒子行为的数学框架，即量子力学的数学形式和方程。
其中最著名的是薛定谔方程，它描述了微观粒子的波函数随时间的演化。
量子力学在科学和技术的许多领域都起着重要的作用，包括量子力学的基础研究、量子计算、量子通信和量子力学图像等。
尽管量子力学的概念和数学形式对于非专家来说可能很难理解，但它已经被广泛验证，并在许多实验中得到了验证。
量子力学导论
量子力学导论引言量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观粒子的行为并对其进行解释。
本文将介绍量子力学的基本概念、历史背景以及一些重要的应用领域。
历史背景量子力学的发展始于20世纪初。
在19世纪末，经典物理学已经建立了牛顿力学和电磁学，但无法解释一些微观现象，例如黑体辐射和光电效应。
这导致了对物质和能量如何与光相互作用的研究。
在这个过程中，一些科学家如普朗克、爱因斯坦和德布罗意提出了一些基本的概念，为量子力学的发展奠定了基础。
量子力学的基本概念量子力学的基本概念包括量子态、波函数、测量和算符等。
量子态是描述一个系统的状态的数学表示。
波函数是量子体系的数学表示，它包含了关于一个粒子的所有可能性的信息。
测量是量子力学中的一个重要概念，通过测量可以得到关于一个量子体系的信息。
算符是用来描述量子系统的数学运算符，它对波函数进行操作。
薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，它描述了量子体系的演化。
薛定谔方程是一个偏微分方程，它通过求解波函数的时间演化来得到系统的状态。
薛定谔方程的解可以得到粒子的能量、波函数的形状等信息。
干涉和量子纠缠量子力学中存在一些奇特的现象，例如干涉和量子纠缠。
干涉是指波函数的叠加效应，当两个波函数叠加时，会出现干涉现象，这在实验中可以观察到。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的相互关联关系，无论它们之间的距离有多远，它们的状态仍然是相互关联的。
应用领域量子力学在众多领域中有广泛的应用，包括量子计算、量子通信和量子测量等。
量子计算利用量子力学的特性来进行更高效的计算，它有潜力解决一些现有计算机无法解决的问题。
量子通信利用量子力学的特性来实现更安全的通信方式，例如量子密钥分发。
量子测量在精密测量领域有广泛的应用，例如原子钟。
总结本文介绍了量子力学的基本概念、历史背景以及一些重要的应用领域。
量子力学是现代物理学的重要分支，它在解释微观世界的行为和研发新的技术中起着关键作用。
Chap03-量子力学导论
mv r n
？ h
2
r
（n=1,2,……）
驻波： 2r n n h
mv 朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，爱因 斯坦说：“揭开了自然界巨大帷幕的一角” “瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚啊”
2017/4/13 23
h mvr n 2
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。
2017/4/13
8
1928年，革命结束，量子力学的基础本质上已 经建立好了。 量子理论的主要创立者都是年轻人。1925年， 泡利25岁，海森堡和恩里克· 费米（Enrico Fermi） 24岁，狄拉克和约当23岁。薛定谔是一个大器 晚成者，36岁． 创立量子力学需要新一代物理学家并不令人惊 讶，开尔文认为基本的新物理学必将出自无拘 无束的头脑。
24
四、戴维逊—革末实验
德布罗意指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电 子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925年戴维孙－ 革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观 察到电子的衍射图象（如图）
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25
实验结果 (1)当U不的上将出现极值。 (2)当不变时，I与U的 关系如图 当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
15
我去过 吗？？
E2
E1
2017/4/13
玻尔
这一理论是十分初步的，许多问题还没有解决
玻尔理论困难的根源
把微观粒子看做经 典力学中的质点
把经典力学的规律用于 微观粒子
根本解决途径：用全量子的观点看世界！
2017/4/13 16
§3.2
波粒二象性
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§３.2 波粒二象性
（1）经典物理中的波和粒子
（2）光的波粒二象性 （3）德布罗意假设 （4）戴维孙－革末实验 （5）德布罗意波和量子态
（1）经典物理中的波和粒子
• 在经典物理学中波和粒子是两种仅有的、又完全 不同的能量传递的方式； • 并且不能同时用波和粒子这两个概念去描写同一 现象。
粒子的特性
• 具有完全的定域性，原则上可无限精确的确定它的质量、 动量和电荷； • 粒子可视为一质点，只要其初始的位置和速度已知，原 则上可用牛顿力学完全描述它未来的位置和速度。
波的特性
• 广延性，周期性，迭加性，能产生干涉、衍射、偏振等现 象。
（2）光的波粒二象性
关于光的本性的争论……
爱因斯坦的光量子理论（1905年、1917年）
卢瑟福的质疑……
“当电子从一个能态跳到另一能态时，您必须假设电 子事先就知道它要往那里跳！”
薛定谔的非难…… 电子从一个轨道跃迁到另一轨道，速度不能超光速， 即时间有限，则在此时间段内电子处于何种状态？ (3)对一些实际问题无能为力
如：氦原子光谱、氢原子光谱精细结构及谱线 自然宽度、原子如何组成分子及构成液体和固体。
E E0 sin 2 ( t )
x
则对于在x方向以恒定线动量运动的粒子，其德 布罗意波可相应的写为：
0 sin 2 ( t )
或者，
x
0e
i ( k r t )
k 2 / , 2
称之为波函数（振幅）。
波函数的概率解释：
p h / x 6.6 1025 p p
（2）不确定关系的简单导出 考虑电子的单缝衍射：
p
d
当入射电子波的波长 与狭缝的宽度d相近时，就 会出现衍射现象。如图，衍射主极大的位置决定于：
h p
d sin
x方向上，粒子坐标的不确定度为
x d
粒子动量的不确定度为
各种粒子对应的德布罗意波长为0.1nm时的动能…… （见课本p82）
（5）德布罗意波和量子态 氢原子中绕核运动的电子若能稳定存在，则与这 个电子相应的波就必须是一个驻波，即电子绕核运 动的周长必须是与其相应的波长的整数倍：
h h 2 r n n n p mv
h mvr L n 2
h p
德布罗意关系式
与实物粒子相联系的波，称为德布罗意波。 比较
E mc
2
质能关系
普朗克常量的意义：
1900年普朗克引入这一常量时，它的意义是量 子化的量度。经过爱因斯坦和德布罗意的努力，物 质粒子的波粒二象性的观念出现了，而在物质波动 性和粒子性之间起桥梁作用的，又是普朗克常量。
量子化和波粒二象性，是量子力学中最基本的两 个概念，而同一个常量 h 在其中都起着关键的作用， 这一事实本身就说明了，这两个概念有着深刻的内 在联系。 在任何表达式中，只要有普朗克常量h的出现， 就必然意味着这一表达式的量子力学特征。
§3.4 波函数及其统计解释
（1）波粒二象性及概率概念 经典物理中的决定论 微观粒子（波 粒二象性） 适用于宏观世界 概率性的观点
不确定关系
对于光波，爱因斯坦在1917年引入了统计性的概念。 对于物质波，玻恩在1926年提出了德布罗意波的概 率解释。
波长为 、频率为 、在x方向运动的正弦电磁 波的电场强度可写作：
（2）双缝干涉实验 光的双缝干涉实验（ 1801年，英国杨氏）
x
探测器
x
I1 ( x)
S
1
x
I12 ( x)
光源
2
I 2 ( x)
经典粒子的双缝实验
x
探测器
x
n1 ( x)
S
1
x
n12 ( x)
机枪
2
n2 ( x)
无干涉现象:
n12 ( x) n1 ( x) n2 ( x)
电子的双缝实验（1961年，约恩孙）
1925年，泡利提出不相容原理，同年乌伦贝克和 古兹米特提出电子自旋假设；
1925——1928年期间，量子力学由海森伯、玻恩、 薛定谔和狄拉克等人建立起来。 近代物理学的两大理论支柱 量子力学
相对论
一是介绍新概念产生的一些重要 实验；
量子力学的主要内容
二是提出一系列不同于经典物理 的新思想；
三是给出解决具体问题的方法；
观察效应使干涉消失
D1
x
S
1
2
P 1 P 2
D2
（3）态的叠加原理 微观世界中，一事件发生的概率 P 也可表示为： wif f i
2
2
f i
概率幅
表示从i态到f态跃迁的概率幅，相当于。
f i 服从的规则：
规则一（概率幅叠加原理）
i
f
f i f i
n
n
规则二
f1
i
f2
f3
f i
（4）电子波动性的实验验证——戴维孙－革末实验 （1925年）
实验装置
实验结果
当不变时， I 随U改变，当 U=54V时，在 500角方向探 测到的反射束 强度出现一个 明显的极大。
实验解释
晶体结构
入射电子束在一系列晶面上产生布拉格衍射
d a sin
d
a
a
如图，强波束射出的条件是：
x
探测器
x
n1 ( x)
S
1
x
n12 ( x)
电子枪
2
n2 ( x)
出现干涉图像:
n12 ( x) n1 ( x) n2 ( x)
28只电子
1000只电子
干涉现象不是由 微观粒子相互之 间作用产生的， 而是独立的微观 粒子属性的集体 贡献。
1万只电子
几百万只电子
电子每次只能从 一个缝通过，但 结果是两个缝都 对它起作用。
由
px p sin
sin d
即
h h px p x x x
xpx h
严格的证明给出：
xpx 2 t E 2
（3）应用举例 【例1】束缚粒子的最小平均动能。 若粒子被束缚在限度为r的范围内，即 x r
则粒子的动量的不确定度 p x
玻恩把 中发现一个粒子的概率。
2
解释为在给定时间、在 r 处单位体积
•波函数的概率解释是量子力学的基本原理之一； •经典波与量子波的不同： 经典波 经典波振幅可测量 量子波 波函数只可测量其
2
，
即概率。
经典波的波幅不同对 应不同的波动状态 波函数所代表的是概率 分布，其值只具有相对 意义。
，则要用相对论公式
总能量 且
E Ek m0c2 E 2 p2c2 m02c4
1 p Ek ( Ek 2m0c 2 ) c
可得
实验的意义 戴—革的电子衍射实验有力地证明了电子的 波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。三十 年代以后，实验进一步发现了中子、质子，中性 原子的衍射现象，证明了一切微观粒子都具有波 动性。它们本身又是粒子，因而具有波粒二象性。 且波长都由 =h/p 确定，进一步证实了德布罗 意假设的真实性。 因为 h 很小， 当 p = mv 很大时，， 宏观物体显示不出波动性，并不是德布罗意关系 式不适用。
第三章
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7
量子力学导论
玻尔理论的困难 波粒二象性 不确定关系 波函数及其统计解释 薛定谔方程 平均值与算符 氢原子的薛定谔方程解
§３.1 玻尔理论的困难
(1) 玻尔在1913年提出的氢原子理论获得了很大的 成功：成功解释了氢光谱之谜，从理论上算出了里德 伯经验常量；量子态的概念得到弗兰克－赫兹实验的 直接验证；解,从某种意义上说,就是对 “惊奇”的不断摆脱。 ——爱因斯坦
19世纪末的三大发 现揭开了近代物理 发展的序幕
1895年的X射线
1896年的放射性
1897年的电子
1900年，普朗克为解决黑体辐射问题，提出辐射 源能量量子化的概念； 旧 量 子 论 1905年，爱因斯坦为解决光电效应问题，提出光 量子的概念； 1913年，玻尔把量子化的概念应用于氢原子问题， 成功的解释了氢光谱；
2
f i
n
2 n
规则三
i
v
f
f i f v vi
规则四
i
f
f
ff ii f i f i
i
（4）干涉实验的解释 只开缝1
x S 1 x1 1S
I1 ( x) x S
2 1 2 2
x1 1S x2 2S
2
只开缝2 双缝齐开
I 2 ( x) x S
2
x S x1 1S x 2 2 S
h
p h
或
p k
光的粒子性：
• 光电效应和康普顿效应等 证明光的粒子性。 • 光在与物质作用，转移能 量时显示粒子性。
光是粒子性和波动性的矛盾统一体 光的波动性:
• 光是一种电磁波，并被干涉、 衍射、偏振等实验和麦克斯 韦理论完全证明。 • 光在传播时显示波动性。
（3）德布罗意假设 1924年，德布罗意在其博士论文中提出所有的物质 粒子都具有波粒二象性的假设，并认为动量为 p 的粒 子，伴随的波的波长为：
c E 3.3 10 8 eV 2t 2tc
此即与该激发态相应的谱线的自然宽度，由能级 的固有寿命决定的。
（4）互补原理 玻尔对互补原理概括的叙述是：“一些经典概念的应 用不可避免地将排除另一些经典概念的同时应用，而 这‘另一些经典概念’在另一些条件下又是描述现象 所不可缺少的；必须而且只需将所有这些既互斥、又 互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成对现象的 详尽无遗的描述”。 如果说，海森堡的不确定关系从数学上表达了物质 的波粒二象性，那么玻尔的互补原理则从哲学的角度 概括了波粒二象性。