第七章关系命题及其推理
7形式逻辑-第七章 模态命题及其推理
d.根据模态命题的差等关系的直接推理
□p→◇p； ﹁◇p→﹁□p；
□﹁p→◇﹁p； ﹁◇﹁p→﹁□﹁p。
⑵根据“实然”和“必然”、“可能”的关系进行推 演的模态推理。
□p→p；p→◇p；□﹁p→﹁p；﹁p→◇﹁p。 ⑶模态三段论
模态三段论就是在三段论中引入模态词而进行的 推理。
模态三段论推理要遵循“结论从弱”的原则∶从较 强前提可以推出较弱的结论，但不能由较弱前提可以 推出较强的结论。（必然命题最强，实然命题次之， 可能命题最弱）
模态三段论又有两种形式： A.纯模态三段论，即其前提全都是模态命题的模态推 理。它们或是由同一种模态命题构成，或是由不同种 的模态命题构成。具体地说有纯必然模态三段论、纯 可能模态三段论和必然与可能结合的模态三段论等。 当前提是由不同种的模态命题组成时，推理的结论应 该同前提中那个确然程度较低的模态命题相一致。
根据对当关系，同样可以由一个模态命题的真或假， 来确定与其同素材的另外几个模态命题的真或假。
必然p
必然非p
可能p
可能非p
□p、□﹁p、◇p、◇﹁p之间在真假值上有以下四 种关系情况∶
⑴反对关系∶ □p与□﹁p
⑵矛盾关系∶ □p与◇﹁p；□﹁p与◇p
⑶差等关系∶ □p与◇p；□﹁p与◇﹁p ⑷下反对关系∶ ◇p与◇﹁p
第七章 模态命题及其推理
一、模态命题
1.狭义模态命题及其结构
模态命题就是断定思维对象不同确然程度的命题。
模态命题在结构上的特点是：它总是包含有“可能” 或“必然”之类的模态词。
例如：今天晚上他一定不会来。
这部小说可能畅销。
我们主要讨论逻辑上的“必然”和“可能”两种模 态，即真值模态命题及其推理。所以真值模态命题又 称断定思维对象之可能性或必然性的命题。在现代逻 辑中，用“□”表示“必然”，用符号“◇”表示 “可能”,用p,q,r,…表示命题。它的公式为：
《逻辑学》教学大纲
大理大学政法与经管学院《逻辑学》教学大纲施福昆编写2015年月25日《逻辑学》教学大纲一、课程基本信息课程名称：逻辑学（英文） Logic课程编码：13111A08课程类别：学科基础必修课适用专业：思想政治教育专业开课学期：5课程学时：总学时 48 学时（其中理论课 48 学时，实验课 0 学时）课程学分：3先修课程：无并修课程：无要求课程简介：本课程是公共关系学专业本科的专业必修课，是一门智慧之学。
本课程要求学生掌握逻辑学的基础理论知识，具有正确思维、科学认知和准确表达思想、揭露驳斥诡辩及谬误的能力。
课程系统讲授逻辑学的基本概念、基础理论等。
主要教学内容：逻辑学简史、概念、判断、推理、思维规律、论证、反驳等。
课程教学过程包括理论讲授、作业训练、课堂提问等。
期末考试。
二、课程教育目标1、使学生比较系统地学习和掌握普通逻辑的基本知识、基本理论和基本方法。
2、通过训练使学生自觉地进行逻辑思维和表述论证的训练，提高思维的准确性和敏捷性，增强论证的逻辑能力。
3、为进一步学习和理解其它各门具体科学知识提供必要的逻辑分析工具。
三、课程教学内容、要求及学时安排章节章节名称学时安排第一章绪论 2 第二章概念 4第三章命题与推理概述 2第四章简单命题及其推理 6第五章复合命题及其推理 6第六章模态命题及其推理 4第七章逻辑基本规律 6第八章归纳推理 4第九章普通逻辑的基本规律 4第十章假说 4第十一章论证 6第一章【教学内容】1. 逻辑学的对象和性质2.学习逻辑学的意义和方法【教学要求】1、掌握：普通逻辑的研究对象、普通逻辑的性质学习普通逻辑的意义和方法2、熟悉：思维及其特征、逻辑常项和逻辑变项3、了解：普通逻辑和语法、修辞的关系；逻辑学的产生及发展【教学方法】PPT教学并结合实例讲授【学时】2学时第二章概念【教学内容】1．概念的概述2．概念的分类类3．概念外延间的关系4. 概念的限制和概括5. 概念的定义法6. 概念的划分法【教学要求】1、掌握：（1）概念的定义(2)概念的基本特征(3)概念的种类2、熟悉：概念和语词的关系、属加种差法、概念的限制和概括、概念的划分、概念外延间的关系3、了解：概念的作用、概念的限制和概括与定语的关系、划分和分解的区别【教学方法】讲授法、讨论法【学时】4学时第三章命题与推理概述【教学内容】1．命题概述2．推理概述【教学要求】1、掌握：命题的定义、命题的逻辑特征、推理及其结构、推理的正确性与有效性及其判定2、熟悉：命题的真假、命题的逻辑特征、推理及其结构3、了解：命题与语句的关系；命题的分类、推理的种类、推理的作用【教学方法】讲授法、讨论法【学时】2学时第四章简单命题及其推理【教学内容】1、性质命题2、性质命题的直接推理3、三段论4、关系命题及其推理【教学要求】1、掌握：性质命题及其逻辑结构、主谓项周延性问题、对当关系及其推理、直言三段论及其结构、三段论的一般规则、三段论的格与式、关系命题及其逻辑结构2、熟悉：逻辑方阵图、三段论的公理、关系命题的逻辑性质、关系推理3、了解：三段论省略式及其恢复、混合关系推理【教学方法】讲授法【学时】6学时第五章复合命题及其推理【教学内容】1.复合命题概述2.联言命题及其推理3、选言命题及其推理4.假言命题及其推理5.假言选言命题6.负命题及其推理【教学要求】1、掌握：联言命题及其构成、联言命题的逻辑值、选言命题的种类及其逻辑特性、假言命题及其构成、负命题及其构成2、熟悉：联言推理、选言推理、假言推理、负命题的种类及其等值式3、了解：运用选言命题应注意的问题、如何正确运用假言推理、二难推理、负命题的逻辑性质【教学方法】讲授法、讨论法【学时】6学时第六章模态命题及其推理【教学内容】1．模态命题2．模态推理【教学要求】1、掌握：真值模态命题、规范模态命题、模态推理、2、熟悉：真值模态命题的种类及其相互关系、四种基本规范命题之间的关系3、了解：事物的模态与认识的模态、模态推理的种类【教学方法】讲授法、讨论法【学时】4学时第七章逻辑的基本规律【教学内容】1．逻辑基本规律概述2．同一律3．不矛盾律4.排中律5.充足理由律【教学要求】1、掌握：同一律的基本内容、不矛盾律的基本内容、排中律的基本内容、充足理由律的基本内容2、熟悉：同一律的逻辑要求与违反要求所犯的错误、不矛盾律的逻辑要求与违反要求所犯的错误、排中律的逻辑要求与违反要求所犯的逻辑错误、充足理由律的逻辑要求与违反充足理由律的逻辑错误3、了解：正确运用同一律、正确运用不矛盾律、正确运用排中律、正确运用充足理由律、逻辑基本规律之间的联系与区别【教学方法】讲授法、讨论法【学时】6学时第八章归纳推理【教学内容】1．归纳推理的概述2．完全归纳推理3．简单枚举归纳推理4.科学归纳推理5.探求因果联系的逻辑方法【教学要求】1、掌握：归纳推理的定义、完全归纳推理的定义、完全归纳推理的类型、简单枚举归纳推理的定义、科学归纳推理的定义探求因果联系的五种逻辑方法；探求因果联系的五种逻辑方法的逻辑结构。
逻辑学课件第七章模态命题及其推理
二、模态命题的种类
• 所以，模态命题共有四种： • 1、必然肯定命题 必然p • 2、必然否定命题 必然非p • 3、可能肯定命题 可能p • 4、可能否定命题 可能非p
□p
□¬p
◇p
◇¬p
三、模态命题之间的关系
• 以上四种模态命题之间，也可用逻辑方阵表示 它们之间的真假关系。
该”）、“允许”、“禁止”这些规范 模态词的命题。
• 例如：1、公民必须遵守宪法和法律。
•
2、允许开办私营企业。
• 这些都是规范命题。前者表示公民遵守 宪法和法律是必须的；后者表示开办私
营企业是允许的。
二、规范命题的种类
• 在现代规范逻辑中，作为逻辑常项的规 范模态词有三个：
• （1）“必须”（用“O”表示）。现代汉 语中表示这一规范词的还有“应当”、 “应该”、“有义务”等等。
二、根据“必须”与“禁止” 之间的等值关系进行的推理
• 有效式：
• 1、必须p →禁止非p • 2、必须非p →禁止p • 3、禁止p →必须非p • 4、禁止非p →必须p
三、规范三段论
• 规范三段论就是在三段论中引入规范词 的三段论。其大前提是规范命题，小前
提是性质命题，结论是规范命题。
• 常见的规范三段论有三种：
第七章 模态命题及其推理
第一节 模态命题
• 一、什么是模态命题？ • 模态命题是反映事物可能性或必然性
的命题。 • 例1：共产主义必然胜利。 • 例2：明天可能不下雨。 • 这些都是模态命题。前者反映了共产主
义胜利具有必然性。后者反映了明天不 下雨具有可能性。
二、模态命题的种类
《逻辑学》PPT全套课件
第一章 引 论
第一节 传统逻辑与现代逻辑
一
释 “ 逻 辑 ”
()
一
λóyos(逻各斯) → Logic →逻辑
亚里士多德 彼得《逻辑大全》
逻 名学 辩学 论理学 理则学
辑 严复 穆勒名学 （Mill 逻辑
一
学体系）
词 章士钊 逻辑指要
的 由 来
()
希腊文中的λóyos是个多义词，指
第四节 假言命题及其推理
一、假言命题
定义：假言命题是反映某一事物情况是 另一事物情况存在条件的命题。
种类：（一）充分条件假言命题 （二）必要条件假言命题 （三）充分必要条件假言命题
（一）充分条件假言命题
1、什么是充分条件：如果有p就一定有q， 没有p不一定没有q，这样p就是q的充分 条件。（有之必然，无之未必不然）
2、什么是充分条件假言命题：反映前件 是后件的充分条件的假言命题。
例：如果天下雨，那么地上湿。
倘若一个整数的末尾数是0，则这个 数就能被5整除。
（一）充分条件假言命题
3、充分条件假言命题的公式： 如果p，那么q p → q (“→”是蕴涵符号，表示现代
汉语中的“如果……那么……”) 4、充分条件假言命题的语言表达形式：
相容选言命题就是选言肢可以同真的选言命题。
公式 p或者q p∨q （“P”和“q”表示肢命 题，“或者”表示联结词。也可以用“∨”析 取符号表示“或者” ）
在现代汉语中相容选言命题的联结词还可表达 为：“可能……也可能……”，“也许……也 许……”
相容选言命题的逻辑值
1、相容选言命题的真值表
p
q
真
不相容选言命题的逻辑值
1、不相容选言命题的真值表
199管理类联考综合能力考试内容--资料
199管理类联考综合能力考试内容数学部分第一章实数的概念与运算一、实数的概念二、实数的运算第二章整式、分式及其运算一、整式二、分式第三章方程一、一元一次方程的解法二、二元一次方程组的解法三、一元一次方程、二元一?方程组的应用举例四、一元二次方程及其解第四章不等式和不等式组一、一元一次不等式(组)及其解法二、一元二次不等式及其解法三、绝对值不等式的解法及其应用第五章函数一、集合二、函数三、几个重要函数第六章数列一、数列的基本概念二、等差数列三、等比数列第七章计数原理，排列与组合一、两个基本原理二、排列的定义、公式及原理三、组合的定义、公式及原理第八章概率初步一、随机现象与随机事件二、随机事件的关系与运算三、事件的概率与性质四、条件概率与乘法定理五、独立试验序列概型(贝努里定理)第九章常见平面图形和空间几何体一、常见平面图形二、常见空间几何体第十章平面解析几何初步一、平面直角坐标系二、直线方程三、圆的方程逻辑部分第一章推理和论证第一节推理的概念及推理形式第二节对推理或论证的评价尺度第二章逻辑基本规律第一节同一律第二节矛盾律第三节排中律第四节同一律、矛盾律、排中律的相互关系第三章直言命题及其推理第一节概念第二节直言命题与对当关系第三节直言命题的变形推理第四章三段论第一节三段论的结构第二节三段论的格与式第三节三段论有效形式的一般规则第五章关系命题及其推理第一节关系命题第二节关系的性质第三节关系推理第六章模态命题及其推理第一节模态命题第二节模态推理第七章复合命题及其推理第一节负命题第二节联言命题及其推理第三节选言命题及其推理第四节假言命题及其推理第五节多重复合推理第八章归纳推理与类比推理第一节归纳推理第二节类比推理第九章求因果关系的方法第一节因果关系的特点第二节求因果五法第三节因果推理第十章预设第一节预设及其逻辑特征第二节预设的共知性第三节复杂问语的回答第十一章应试指导第一节逻辑试题的特点第二节逻辑推理试题的类型第三节逻辑推理试题的答题技巧写作部分第一章论证有效性分析第一节什么是论证有效性分析第二节论证有效性分析写作的基本要求第三节问题考卷解读第四节审题技巧第五节结构技巧第六节真题解析第二章论说文第一节试题汇总与解题思路第二节心理的准备与知识的准备第三节临场操作的着力点第四节克服一般化的方法(范文点评)第五节论据精品屋——感受震撼第三章写作热点第一节盘点2010年社会热点话题第二节热点话题集中爆发的七个方面第三节热点话题代表性范文点评相关参考书目199管理类联考综合能力，属于全国统一命题，因此不存在各高校指定用书。
第七章 形式逻辑的基本规律
•排中律是指在同一思维过程中，矛盾命题不能 同时为假，必有一真。它要求不能同时否定两 个矛盾命题，必须肯定其中之一。违反这一要 求的逻辑错误，成为“矛盾两不可”。依据上 述定义，下列命题违反了排中律的是（ ） A.上面不是老说领导要多听群众意见，我是群 众，可领导总是不听我的意见。 B. 景阳冈原是一片古木参天、沙丘起伏、莽草 无涯的山岗。 C. 既不能说这筒胶卷每张照片都照得很好，也 不能说这简胶卷每张相片都照的不好。 D. 这次的预测，是一次例行的科学预测，既不 成功，也不失败。
同一律的逻辑要求
1.在同一思维过程中，概念必须始终保持同一，同一个概念在同一命 题、推理过程中可能出现多次，但应该保持自身同一，不能任意变更。
2.论题也必须保持同一，不能随便转移。论题也叫论点，用命题的形 式表达，一个论题在同一论证、表达过程中多次出现，应该保持同一。
违反同一律出现的逻辑错误
混淆概念 或偷换概念
自相矛盾
1. 巍巍长城，逶迄万峰，气势磅礴，雄伟 壮观。她是我国劳动人民智慧的结晶， 是伟大祖国的天然屏障。
2. 罗亭。“照你说来，就没有什么信念之 类的东西了”，皮卡索夫：“没有，根 本没有”!罗亭：“你就是这样确信吗”? 皮卡索夫；“对”。
3. 那个青年将近20多岁。 4. 一个月来，这个问题时时刻刻缠绕着我，
不矛盾律的基本内容
不矛盾律的逻辑要求
在同一思维过程中，不能用两个互相矛盾的概念或互相反对的概念指 称同一个对象；同时，对两个互相矛盾的命题或互相反对的命题，不 能都肯定。否则，会出现逻辑矛盾。
①这本书是逻辑学。/这本书是现代汉语。 ②只有清闲，才是幸福。/尽管不清闲，却幸福。
违反不矛盾律出现的逻辑错误
而在非常繁忙或心情非常好的时候，又 暂时抛开了这个问题，顾不上去想它了。
能力型考试专项训练之第7章、第9章简单判断及其推理(零基础速成)解析
【例1.01】（考点一、直言命题确定真假）
已知“有的同学不是足球迷”为真，判断以下命题中有 多少个不能确定真假？
(1)所有同学都是足球迷。 (2)所有同学都不是足球迷。 (3)有的同学是足球迷。 (4)张三不是足球迷。 (5)张三是足球迷。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 E．5个
【例1.01】（考点一、直言命题确定真假）
能力型考试专项训练
（第七、第九章简单判断及其推理）
——整理于2013-05-30
专项训练说明
本练习是关于简单命题及其推理这一知识模块的能力型 考试专项训练，知识内容相应于课本的第七章和第九章。选 自《2012年MBA、MPA、MPAcc联考逻辑零基础速成》（主 编：华杰MBA考前培训史先进张凯）。
矛盾关系：(1)全肯与特否；(2)全否与特肯；(3)单肯与 单否。
下反对关系：特肯与特否。
直言真假话题目解题步骤：
(1)首先寻找题干中有无矛盾关系和下反对关系。 (2)找到矛盾关系或下反对关系后，判断其他命题的真假， 再往下推理。
【例1.03】（考点二、直言真假话推理）
某班有一位同学做了好事没留下姓名，他是甲、乙、丙、 丁四人中的一个。当老师问他们时，他们分别这样说：甲： “这件好事不是我做的。”乙：“这件好事是丁做的。”丙： “这件好事是乙做的。”丁：“这件好事不是我做的。”
甲、乙、丙和丁是同班同学。 甲说：“我班同学都是团员。” 乙说：“丁不是团员。” 丙说：“我班有人不是团员。” 丁说：“乙也不是团员。” 已知他们中只有一人说假话，则以下哪项断定是真的？ A．说假话的是甲，乙不是团员 B．说假话的是乙，丙不是团员 C．说假话的是丙，丁不是团员 D．说假话的是丁，乙是团员 E．说假话的是甲，丙不是团员
命题及其关系充分条件必要条件简单的逻
逻辑推理的规则
演绎推理
01
演绎推理是从一般到特殊的推理，即从一般原理出发，推导出
个别事物的特殊性质或结论。
归纳推理
02
归纳推理是从特殊到一般的推理，即从个别事物的特殊性质出
发，推导出一般原理或结论。
类比推理
03
类比推理是根据两个或多个事物的某些属性相似，推导出它们
在其他属性上也可能相似的推理方式。
盾。
03
实例3
如果一种动物是哺乳动物，则它的体温恒定。已知一种动物是哺乳动物，
但它的体温不恒定，根据排中律，可以得出这种动物不是哺乳动物，与
前提矛盾。
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3
在决策制定中的应用
比如，如果有足够的资源（条件A），那么项目 就可以实施（结果B）。
03
必要条件
必要条件的定义
必要条件是指为了使某一结果发生所 必须满足的条件。如果没有这个条件， 结果将无法发生。
必要条件通常用于逻辑推理和条件判 断中，是逻辑学中的重要概念之一。
必要条件的判定
判断一个条件是否为必要条件，可以 通过逆否推理来实现。如果一个结果 没有发生，那么可以推断出相应的必 要条件也没有满足。
命题的分类
简单命题
不包含其他命题作为其组成部分的命 题。例如：“小明是男孩。”
复合命题
由其他命题组成的命题。例如：“如 果小明是男孩，那么他会喜欢踢足球 。”
命题的关系
等价命题
两个命题的真假值相同，即一个为真，另一 个也为真，反之亦然。
矛盾命题
两个命题的真假值相反，即一个为真，另一 个必为假，反之亦然。
命题及其关系、充分 条件、必要条件、简 单的逻辑推理
199管理类联考综合能力考试内容
199管理类联考综合能力考试内容数学部分第一章实数的概念与运算一、实数的概念二、实数的运算第二章整式、分式及其运算一、整式二、分式第三章方程一、一元一次方程的解法二、二元一次方程组的解法三、一元一次方程、二元一?方程组的应用举例四、一元二次方程及其解第四章不等式和不等式组一、一元一次不等式(组)及其解法二、一元二次不等式及其解法三、绝对值不等式的解法及其应用第五章函数一、集合二、函数三、几个重要函数第六章数列一、数列的基本概念二、等差数列三、等比数列第七章计数原理，排列与组合一、两个基本原理二、排列的定义、公式及原理三、组合的定义、公式及原理第八章概率初步一、随机现象与随机事件二、随机事件的关系与运算三、事件的概率与性质四、条件概率与乘法定理五、独立试验序列概型(贝努里定理)第九章常见平面图形和空间几何体一、常见平面图形二、常见空间几何体第十章平面解析几何初步一、平面直角坐标系二、直线方程三、圆的方程逻辑部分第一章推理和论证第一节推理的概念及推理形式第二节对推理或论证的评价尺度第二章逻辑基本规律第一节同一律第二节矛盾律第三节排中律第四节同一律、矛盾律、排中律的相互关系第三章直言命题及其推理第一节概念第二节直言命题与对当关系第三节直言命题的变形推理第四章三段论第一节三段论的结构第二节三段论的格与式第三节三段论有效形式的一般规则第五章关系命题及其推理第一节关系命题第二节关系的性质第三节关系推理第六章模态命题及其推理第一节模态命题第二节模态推理第七章复合命题及其推理第一节负命题第二节联言命题及其推理第三节选言命题及其推理第四节假言命题及其推理第五节多重复合推理第八章归纳推理与类比推理第一节归纳推理第二节类比推理第九章求因果关系的方法第一节因果关系的特点第二节求因果五法第三节因果推理第十章预设第一节预设及其逻辑特征第二节预设的共知性第三节复杂问语的回答第十一章应试指导第一节逻辑试题的特点第二节逻辑推理试题的类型第三节逻辑推理试题的答题技巧写作部分第一章论证有效性分析第一节什么是论证有效性分析第二节论证有效性分析写作的基本要求第三节问题考卷解读第四节审题技巧第五节结构技巧第六节真题解析第二章论说文第一节试题汇总与解题思路第二节心理的准备与知识的准备第三节临场操作的着力点第四节克服一般化的方法(范文点评)第五节论据精品屋——感受震撼第三章写作热点第一节盘点2010年社会热点话题第二节热点话题集中爆发的七个方面第三节热点话题代表性范文点评相关参考书目199管理类联考综合能力，属于全国统一命题，因此不存在各高校指定用书。
2024年北师大版八年级上册教学设计第七章7.2 定义与命题
第1课时定义与命题课时目标1.掌握定义、命题的含义,并感受其在数学和生活中的广泛应用.2.理解命题的结构,会将命题写成“如果……那么……”的形式,会区分命题的条件和结论,并判断其真假.3.通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识,关注现实,培养学生进行思考的能力和质疑精神.学习重点掌握定义、命题的含义,并感受其在数学和生活中的广泛应用.学习难点理解命题的结构,会将命题写成“如果……那么……”的形式,会区分命题的条件和结论,并判断其真假.课时活动设计情境引入通过多媒体播放图片,创设小华和小刚对话的场景,让学生发现有关的数学问题.小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.小华:哈!这个黑客终于被逮住了.小刚:是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但……小华:这个黑客是个小偷吧?小刚:可能是个喜欢穿黑衣服的贼.设计意图:创设这个情境,激发和引导学生更主动地参与课堂交流,感受到为了进行有效交流必须引入定义和命题.用这种形式引入,让学生及早融入课堂,积极思考,也作为本节课的一个贯穿的背景.更重要的是,希望学生初步感受定义的重要性.探究新知教师引导学生回答下面问题.1.阅读下面的内容,并填一填.(1)“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义;(2)“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义;(3)“无限不循环小数被称为无理数”是“无理数”的定义;(4)“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形”是“多边形”的定义;(5)“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.教师通过上述例子,引出定义的含义.证明时,为了交流的方便,必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.2.从本册数学课本中找找有哪些定义?设计意图:这里的例子,既有几何概念方面的定义,也有代数方面的定义,还有生活中的定义,力图让学生认识到定义在工作、学习、生活中的广泛应用,达成定义的必要性以及科学性、准确性、简洁性、唯一性的共识;然后通过在教材上找定义,体验定义的无所不在,突显教材在学习中的指导作用.鼓励学生自己动脑思考并与小组的其他同学相互讨论,对学生的答案给予肯定,激发他们学习数学的兴趣.探究新知下列各语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有?(1)任何一个三角形一定有一个角是直角;(2)对顶角相等;(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(5)你喜欢数学吗?(6)作线段AB=CD.学生组内合作,互相交流讨论.教师引导,通过上述例子引出命题的概念.解:(1)(2)(3)(4)作出了判断,(5)(6)没有作出判断.教师总结:判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.命题是一个陈述句.设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上道出对命题的认识和理解,表示判断的句子都是命题,而不管判断是否正确.不表示判断的句子就不是命题,在此过程中培养学生的表达能力和总结能力.探究新知观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征?(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;(2)如果a=b,那么a2=b2;(3)如果两个三角形中有两边和一个角分别相等,那么这两个三角形全等.学生组内合作,互相交流讨论.教师引导,总结交流结果.教师总结:一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成,条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.设计意图:这些命题都是“如果…那么……”的形式,让学生进一步体会命题的含义,并概括出命题的结构特征:有“如果……那么……”的结构,进而明晰命题的条件和结论,使学生更好地认识命题及其结构.典例精讲例指出下列命题的条件和结论,其中哪些命题是错误的?你是如何判断的?(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;(2)如果a≠b,b≠c,那么a≠c;(3)全等三角形的面积相等;(4)如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.学生分组进行讨论交流,教师展示答案.解:(1)条件:两个角相等;结论:它们是对顶角.例:等腰三角形的两个底角相等,但它们不是对顶角,所以命题不正确.(2)条件:a≠b,b≠c;结论:a≠c.例:a=c=3,b=1,同样满足条件a≠b,b≠c.所以命题不正确.(3)条件:两个三角形全等;结论:这两个三角形的面积相等.命题正确.(4)条件:室外气温低于0℃;结论:地面上的水一定会结冰.例:结冰需要一个过程,在室外温度低于0℃时才刚刚开始结冰.所以命题不正确.教师总结:正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.设计意图:明晰了命题的结构之后,自然应让学生结合实例分析命题的条件和结论.在这样的分析过程中,必然会思考这些命题的真假.巩固学生分析命题的条件和结论,进一步引导学生体会:要说明一个命题是假命题,通常举出一个反例就可以了.同时,与前面内容相呼应:要说明一个命题是正确的,无论验证多少个特殊的例子,也无法保证命题的正确性.巩固训练1.指出下列命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题.(1)互为补角的两个角相等;(2)如果a=b,那么a+c=b+c;(3)如果两个长方形的周长相等,那么这两个长方形的面积相等.解:(1)条件:两个角互为补角;结论:这两个角相等.假命题.(2)条件:a=b;结论:a+c=b+c.真命题.(3)条件:两个长方形的周长相等;结论:这两个长方形的面积相等.假命题.2.分别把下列命题写成“如果……,那么……”的形式.(1)两点确定一条直线;(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;(3)内错角相等.解:(1)如果经过两点画直线,那么只能画出一条直线.(2)在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.(3)如果两个角是内错角,那么这两个角相等.设计意图:旧知识和新知识的结合体,巩固真命题与假命题的概念,学会用举反例来证明假命题,体会命题的完备性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,同时也加深对“如果……,那么……”形式的理解与掌握,培养学生的核心素养.课堂小结1.定义和命题的概念.2.命题的条件和结论.3.判断真假命题.设计意图:通过回顾本节所学的知识,加深学生对本节所学内容的理解,培养学生善于反思的习惯.课堂8分钟.1.教材第167页习题7.2第2,3题.2.七彩作业.教学反思第2课时公理、定理和证明课时目标1.了解真命题的证明,通过实例感受证明的过程与格式.2.初步感受公理化思想,并了解本套教科书所采用的基本事实.3.阅读有关《原本》和公理化的资料,感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.学习重点了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的基本事实.学习难点体会命题证明的必要性,体验数学思维的严谨性.课时活动设计复习回顾1.回忆我们上次学习到了哪些知识?对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.判断一件事情的句子,叫做命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.2.举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢?设计意图:开门见山,引导学生回忆命题引出下面活动.情境引入公元前3世纪,人们已经积累了大量的数学知识,在此基础上,古希腊数学家欧几里得(公元前300年前后)编写了一本书,书名叫做《原本》.为了说明每一结论的正确性,他在编写这本书时进行了大胆创造:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据,其中的数学名词称为原名,公认的真命题称为公理.除了公理外,其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理.每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.已学的八条基本事实有:1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行(简述为:同位角相等,两直线平行).5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8.三边分别相等的两个三角形全等.此外,数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质,以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据,称为“等量代换”.又如,如果a>b,b>c,那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.设计意图:经历实际情境,初步体会公理化思想和方法,了解本教材所采用的基本事实,让学生对真假命题有一个清楚的认识,从而进一步了解定理、公理的概念.培养学生的语言表达能力.探究新知定理证明学生组内合作,互相交流完成下面问题,教师及时指导,规范学生证明过程的书写.1.定理:同角的补角相等.已知:℃B和℃C是℃A的补角,求证:℃B=℃C.证明:℃℃B和℃C是℃A的补角,℃℃B=180°-℃A,℃C=180°-℃A.℃℃B=℃C(等量代换).℃同角的补角相等.2.定理:同角的余角相等.已知:℃B和℃C是℃A的余角,求证:℃B=℃C.证明:℃℃B和℃C是℃A的余角,℃℃B=90°-℃A,℃C=90°-℃A.℃℃B=℃C(等量代换).℃同角的余角相等.设计意图:通过学生合作交流,培养了学生互助交流的意识;让学生初步感受证明推理的过程,体会证明的思路,体验书写的过程以及数学的严谨性.典例精讲例已知:如图,直线AB与直线CD相交于点O,℃AOC与℃BOD是对顶角.求证:℃AOC=℃BOD.证明:℃直线AB与直线CD相交于点O,℃℃AOB与℃COD都是平角(平角的定义).℃℃AOC=℃BOD都是℃AOD的补角(补角的定义).℃℃AOC=℃BOD(同角的补角相等).由例题得到定理:对顶角相等.设计意图:让学生进一步体会证明的思路与书写的过程.巩固训练已知:如图,℃ABC.求证:AB+BC>AC,BC+CA>AB,CA+AB>BC.证明:℃AC是以点A,点C为端点的线段,℃AB+BC>AC(两点之间线段最短).同理BC+CA>AB,CA+AB>BC.设计意图:让学生进一步感受证明推理的过程,体会证明思路,体验书写的过程以及数学的严谨性.课堂小结1.公理:公认的真命题.2.定理:经过证明的真命题.3.证明:演绎推理的过程.设计意图:通过回顾本节课所学的内容,加深学生对本节所学内容的理解,掌握证明推理的过程,体验数学的严谨性,培养学生反思的习惯.课堂8分钟.1.教材第171页习题7.3第3,4题.2.七彩作业.第2课时公理、定理和证明1.公理:公认的真命题.2.定理:经过证明的真命题.3.证明:演绎推理的过程.教学反思。
高中数学高考42第七章 不等式、推理与证明 7 6 直接证明与间接证明
跟踪训练 2 已知 a>0，证明： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
师生共研
题型三 反证法的应用
例 3 设 a>0，b>0，且 a＋b＝1a＋1b.证明： (1)a＋b≥2；
证明 由 a＋b＝1a＋1b＝aa＋bb，a>0，b>0，得 ab＝1.
由基本不等式及ab＝1，
有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2，当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立.
7.如果 a a＋b b>a b＋b a成立，则 a，b 应满足的条件是_a_≥__0_，__b_≥__0_且__a_≠__b_. 解析 ∵a a＋b b－(a b＋b a) ＝ a(a－b)＋ b(b－a) ＝( a－ b)(a－b) ＝( a－ b)2( a＋ b). ∴当 a≥0，b≥0 且 a≠b 时，( a－ b)2( a＋ b)>0. ∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是 a≥0，b≥0 且 a≠b.
(1)证明：数列T1n是等差数列； 证明 ∵an＋1＝TTn＋n 1＝11－－aan＋n 1 ⇒ an＋1 ＝ 1 ⇒ 1 － 1 ＝1，
1－an＋1 1－an 1－an＋1 1－an
∴Tn1＋1－T1n＝1，
又∵T1＝1－a1＝a1， ∴a1＝12，∴T11＝1－1 a1＝2， ∴数列T1n是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列.
师生共研
题型一 综合法的应用
例1 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证： (1) a＋ b＋ c≤ 3； 证明 ∵( a＋ b＋ c)2＝(a＋b＋c)＋2 ab＋2 bc＋2 ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)
＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，
∴ a＋ b＋ c≤ 3(当且仅当 a＝b＝c 时取等号).
第7章、第9章简单判断及其推理(逻辑高分指南)
【例1.06】（考点一、直言真假话推理）
【解析】答案是A。
题干中的“有人是广东人”和“有人不是广东人”为下 反对关系，根据对当关系，两者不能都假，必有一真。再根 据题意，题干中三个断定只有一个是真的，于是唯一真的命 题只能在(1)和(2)这两个命题之中，所以“主任不是广东人” 必假。既然“主任不是广东人”为假，所以“主任是广东人” 为真。根据对当关系中的从属关系，由“主任是广东人”为 真，可以推出“有人是广东人”为真。再根据题意，题干中 三个断定只有一个为真，既然“有人是广东人”是真的，所 以，“有人不是广东人”就是假的。再根据对当关系的矛盾 关系，由“有人不是广东人”为假，可以推出“所有人是广 东人”为真。所以，答案是A。
【例1.09】（考点二、对当关系推理）
【解析】答案是B。
题干断定“所有三星级饭店都被搜查过了”为SAP命题， 根据题干为真可以推出：选项I为SEP命题(与题干为反对关系) 是假的，选项Ⅱ为SIP命题(与题干为从属关系)是真的，选项 Ⅲ为SOP命题(与题干为矛盾关系)是假的，选项Ⅳ为SAP’命 题(与题干为从属关系)是真的。所以，仅仅I和Ⅲ是假的，即 答案B正确。
【例1.10】（考点二、对当关系推理）
在中唐公司的中层干部中，王宜获得了由董事会颁发的 特别奖。
如果上述断定为真，则以下哪项断定不能确定真假？ I．中唐公司的中层干部都获得了特别奖。 Ⅱ．中唐公司的中层干部都没有获得特别奖。 Ⅲ．中唐公司的中层干部中，有人获得了特别奖。 Ⅳ．中唐公司的中层干部中，有人没获得特别奖。 A．只有I。 B．只有Ⅲ和Ⅳ。 C．只有Ⅱ和Ⅲ。 D．只有I和Ⅳ。 E．I、Ⅱ和Ⅲ。
小东在玩“勇士大战”游戏，进入第二关时，界面出现 四个选项。第一个选项是“选择任意选项都需支付游戏币”， 第二个选项是“选择本项后可以得到额外游戏奖励”，第三 个选项是“选择本项游戏后游戏不会进行下去”，第四个选 项是“选择某个选项不需支付游戏币”。
命题及其关系、充分条件与必要条件
目
CONTENCT
录
• 命题及其关系 • 充分条件 • 必要条件 • 充分条件与必要条件的联系与区别 • 命题逻辑在现实生活中的应用
01
命题及其关系
命题的定义与分类
总结词
命题是陈述句，分为简单命题和复合命题。
详细描述
简单命题是只包含一个主语和谓语的命题，例如“小明是医生”。复合命题由多个简单命题通过逻辑联结词（如 “且”、“或”、“非”）组合而成，例如“小明是医生且小李是律师”。
03
必要条件
必要条件的定义
必要条件是指为了使某一结果发生所必须满足的条件。如果没有 这个条件，该结果就不会发生。
必要条件通常用于逻辑推理和数学证明中，以确定某个结论是否 成立。
必要条件的判定
02
01
03
判断一个条件是否是必要条件，可以通过逻辑推理和 反证法来进行。
如果一个条件是某个结论的必要条件，那么当这个条 件不满足时，该结论一定不会成立。
THANK YOU
感谢聆听
在法律和伦理领域，必要条件 的概念也经常被用来判断某个 行为是否合法或道德。
04
充分条件与必要条件的联系与区别
联系
充分条件与必要条件都是描述命题之间的逻辑关系。
在某些情况下，一个充分条件可能也是另一个命题的必要条件，反之亦然。 充分条件与必要条件在逻辑上具有对称性，即如果P是Q的充分条件，则Q 是P的必要条件。
02
充分条件
充分条件的定义
充分条件的定义
如果条件A存在，则会导致结果B发生，那么我们说A是B的充分条 件。
例子
如果下雨（条件A），则地面会湿（结果B）。在这个例子中，“下 雨”是“地面湿”的充分条件。
第7章、第9章简单判断及其推理(逻辑高分指南)
【例1.11】（考点二、对当关系推理）
【解析】答案是E。 题干的意思就是“所有个体商贩都有偷税、逃税行为” 为假，可以推出“有的个体商贩没有偷税、逃税行为”。
考点三、运用对当关系进行反驳
反驳就是要使得一个命题为假，既然矛盾关系的命题之 间必有一个假，反对关系的命题之间也必有一个假，所以， 反驳就是要用具有矛盾关系或反对关系的命题来进行。
【例1.08】（考点二、对当关系推理）
【解析】答案是A。
题干为特称肯定命题SIP。I为全称肯定命题SAP，即 “这个单位所有育龄职工都违纪超生”，Ⅱ为特称否定命题 SOP，Ⅲ为全称否定命题SEP。根据直言命题之间的真假对 当关系，当题干SIP为真时，I为SAP、Ⅱ为SOP的真假都不 能确定，只有Ⅲ为SEP必为假。
【例1.06】（考点一、直言真假话推理）
【解析】答案是A。
题干中的“有人是广东人”和“有人不是广东人”为下 反对关系，根据对当关系，两者不能都假，必有一真。再根 据题意，题干中三个断定只有一个是真的，于是唯一真的命 题只能在(1)和(2)这两个命题之中，所以“主任不是广东人” 必假。既然“主任不是广东人”为假，所以“主任是广东人” 为真。根据对当关系中的从属关系，由“主任是广东人”为 真，可以推出“有人是广东人”为真。再根据题意，题干中 三个断定只有一个为真，既然“有人是广东人”是真的，所 以，“有人不是广东人”就是假的。再根据对当关系的矛盾 关系，由“有人不是广东人”为假，可以推出“所有人是广 东人”为真。所以，答案是A。
【解析】答案是E。
要反驳某一个命题，也就是要确定某一个命题是假的。 题干中是一个全称肯定命题，根据对当关系，当一个特称否 定命题为真时，相对应的全称肯定命题一定为假，所以，需 要寻找一个特称否定命题来反驳题干。如果选项E为真，那么 可以推出一个特称否定命题：有些哺乳动物不是胎生的。选 项C和D都支持题干，A对题干没有提出质疑，B项虽能削弱 题干(只是“可能”)，但是远不如E项有力。所以，答案是E。
关系命题及其推理
简化： aRb c是a
∴aRc
涉及三个概念：前提中重复出现的概念，即媒概念（媒项），类似于三段 论，因此也叫混合关系三段论。
推理规则（判定混合关系推理有效性的充分且必要条件）： 1）媒概念至少周延一次； 2）周延性不能扩大； 3）性质命题应是肯定的； 4）结论中的关系是否定的，当且仅当前提中的关系是否定的； 5）关系的性质不是对称的，则关系者项的顺序不能改变。
所以，R（b ,a）
R为对称关系≡R（a ,b）→R（b ,a）
R（a ,b） 所以，R（b ,a）
可以看出关系的性质是推理的关键
例：美国与加拿大相邻； 所以，加拿大与美国相邻。
2）反对称关系推理 R为反对称关系 R（a ,b） 所以， ¬ R（b ,a） 例：春秋在战国之前； 所以，战国不在春秋之前。
三．传递关系推理
R为传递关 所以，R（a ,c） ○ 例：黑龙江在黄河以北； ○ 黄河在长江以上； ○ 所以，黑龙江在长江以北。
4）反传递关系推理 R为反传递关系 R（a ,b） R（b ,c） 所以， ¬ R（a ,c） 例：比利时比荷兰小一万平方公里； 荷兰比哥斯达黎加小一万平方公里； 所以，比利时不比哥斯达黎加约小一万平方公里。
3）非对称性 在x中，若R（a ，b）成立时，R（b ，a）可成立，也可不成立。
如：认识、敬佩、爱、信任、喜欢、帮助等；张三认识李四。
当关系中涉及到两个以上关系者项时，关系就成为传递方面的。
传递性方面 涉及三个或三 个以上关系者
项
4）传递性
在x中，若R （a ,b）且R （b ,c）成立时， R（a ,c）也必定 成立。
命题关系及其推理
● 命题关系及其推理所谓关系命题是断定事物与事物之间关系的命题关系命题是由关系。
关系项和量项三个部分组成的。
关系项是关系命题所陈述的对象。
关系项可以是两个，也可以是三个，甚至是三个以上。
关系项有几个，就称为几项关系命题。
两项关系命题由两个关系项和一个关系组成，其逻辑形式如下： a R b ，（读作“a 与b 有关系R ”） 两种关系：对称性关系、传递关系1.对称性关系： 对称性关系包括三种：对称关系、非对称关系和反对称关系。
① 当事物a 与事物b 有关系R 时，并且b 与a 之间也有关系R ，则R 是对称关系。
当a 是b 的亲戚邻居时，b 也是a 的亲戚邻居。
公式：a R b 真，b R a 也真。
对称性关系的表现为：对立关系、矛盾关系、交叉关系、相等关系、朋友关系、同乡关系等。
②当事物a 与事物b 有关系R ，但b 与a 是否有关系R 不定；即b 与a 既可能有关系R ，也可能没有关系R 是，关系R 就是非对称关系。
如：a 喜欢b ，b 可能喜欢a 也可能不喜欢a 。
公式：a R b 真，则b R a 真假不定。
非对称性关系的表现：如批评、信任、尊敬、想念、认识、喜欢等。
③对事物a 与事物b 有关系R ，但b 与a 肯定没有关系R 时，关系R 就是反对 称关系。
如：甲是乙的父亲，乙一定不是甲的父亲。
公式：a R b 真，则b R a 不定。
反对称关系具体表现：如小于、多于、重于、轻于、压迫于等。
⑵ 传递关系 三种：传递关系、反传递关系和非传递关系。
①当事物a 与事物b 有关系R ，事物b 与事物c 有关系R ，且事物a 与事物c 也有关系R 时，关系R 就是传递关系。
如：a 是b 的祖先，b 是c 的祖先，a 一定是c 的祖先。
公式：a R b ，并且b R c ，则a R b 。
传递关系的具体表现：如先于、早于、晚于、相等、平均、大于、小雨等。
②当事物a 与事物b 有关系R ，事物b 与事物c 有关系R ，而事物a 与事物c 没有关系R 时，关系R 就是反对称关系。
关系命题及其推理
9.0关系命题及其推理练习题1．某学术会议正在举行分组会议。
某一组有8人出席。
分组会议主席问大家原来各自认识与否。
结果是全组中仅有一个人认识小组中的三个人，有三个人认识小组中的两个人，有四个人认识小组中的一个人。
若以上统计是真实的，则最能得出以下哪项结论？A．会议主席认识小组的人最多，其他人相互认识的少。
B．此类学术会议是第一次召开，大家都是生面孔。
C．有些成员所说的认识可能仅是在电视上或报告会上见过面而已。
D．虽然会议成员原来的熟人不多，但原来认识的都是至交。
E．通过这次会议，小组成员都相互认识了，以后见面就能直呼其名了。
2．中华腾飞，系于企业；企业腾飞，系于企业家。
因此，中国经济的起飞迫切需要大批优秀的企业家。
下面哪一种逻辑推理方法与上述推理方法相同？A．红盒中装蓝球，蓝盒中装绿球。
因此，红盒中不可能装绿球。
B．新技术增加产品的科技含量，科技含量增加产品的价值，技术含量低的产品价值低。
C．生产力决定生产关系，生产关系决定上层建筑，上层建筑又反作用于生产关系。
D．优秀的学习成绩来自于勤奋，勤奋需要意志支撑。
因此，要取得好的成绩必须具有坚韧的意志。
E．王军霞的优异成绩来自于她个人的努力，也来自于教练对她的培养。
3．几乎所有大型发电形式都会污染环境，所以，耗电越少，污染越小。
普通冰箱的耗电量占普通美国家庭年耗电量的15%～25%，而节能冰箱比普通冰箱耗电少20%～30%。
如果以上信息正确，将最能支持以下哪个结论？A．节能冰箱日益广泛的应用将保证20年后的污染没有目前的污染严重。
B．如果所有美国家庭都用节能冰箱代替普通冰箱，则美国家庭耗电量将减少20%~ 30%。
C．将来人们将买小型冰箱，而且所冷冻的食物的比例也会减少。
D．用节能冰箱替代普通冰箱有助于减少新产生的污染的量。
E．节能冰箱要比普通冰箱贵许多。
4．在黑、蓝、黄、白四种由深至浅排列的涂料中，一种涂料只能被它自身或者比它颜色更深的涂料所覆盖。
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一、关系命题的定义与结构
关系命题就是断定对象与对象之间关系的命题。 量项 关系项 量项
所有选民拥护有些候选人
关系者项
李白与杜甫生于同一时代
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一般形式：
R＝关系项
a,b,c＝关系者项
R(a，b，c) ¬R(a，b，c) 关系是序偶，即关系者变项的顺序是本质的。关系命题不 同于性质命题，因为SEP→PES，但R(a ,b)推不出R(b ,a)
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• 三、间接关系推理 • 间接关系推理是以两个以上判断，其中 至少有一个是关系判断为前提推出一个新 的关系判断的推理。间接关系推理可分为 纯关系推理和混合关系推理两类。这里仅 介绍两种纯关系推理。
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• 1、传递关系推理 • 传递关系推理是根据关系的传递性进行推演的 关系推理。 • 韩愈与柳宗元同时代， • 柳宗元一刘禹锡同时代； • 所以，韩愈与刘禹锡同时代。 hmj • 其逻辑形式为： • •
• 2、反传递关系推理 • 反传递关系推理是根据关系的反传递性 推演的关系推理。例如： • 甲比乙大两岁， • 乙比丙大两岁， • 所以，甲不是比丙大两岁。
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R为反对称关系≡R(a ,b)→ ¬R(b ,a) R(a ,b) 所以，¬ ,a) R(b
3)传递关系推理 R为传递关系 R(a ,b) R(b ,c) 所以，R(a ,c) R为传递关系≡R(a ,b)∧R(b ,c)→ R(a ,c) R(a ,b)∧R(b ,c) 所以，R(a ,c)
4)反传递关系推理
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一、纯关系推理
——推理中只包括关系命题。 将关系的定义倒过来就可构成关系推理。 1)对称关系推理 例题见课本P198 R为对称关系 R(a ,b) 所以，R(b ,a) R为对称关系≡R(a ,b)→R(b ,a)
R(a ,b) 所以，R(b ,a)
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可以看出关系的性质是推理的关键 2)反对称关系推理 R为反对称关系 R(a ,b) 所以， ¬R(b ,a)
3)非对称性 在x中，若R(a ,b)成立时，R(b ,a)可成立，也可不成立，则R为非 对称性关系。如，认识、敬佩、爱 当关系中涉及到两个以上关系者项时，关系就成为传递方面的。2.传递性源自面涉及三个或三个以上关系者项
4)传递性
在x中，若R(a ,b)且R(b ,c)成立时，R(a ,c)也必定成立，则R为 传递性关系。如，相等，大于， …在…以南(以北) 5)反传递性 在x中，若R(a ,b)且R(b ,c)成立时，R(a ,c)必定不成立
• 1、对称关系推理 • 对称关系推理是根据关系的对称性进行 推演的关系推理。 • 一公顷等于十五市亩。 • 所以，十五市亩等于一公顷。 • 对称关系推理的逻辑形式为：
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• 2、反对称关系推理 • 反对称关系推理是根据关系的反对称性 进行推演的关系推理。例如： • 泰山高于崂山， 所以，崂山不高于泰山。 •
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R为反传递关系 R(a ,b) R(b ,c) 所以， ¬R(a ,c)
R为反传递关系≡R(a ,b)∧R(b ,c)→ ¬ ,c) R(a R(a ,b)∧R(b ,c) 所以，¬ ,c) R(a
二、混合关系推理
推理中有关系命题也有性质命题。
甲组人＝a
所有甲组人拥护王小红当班长， 李杏是甲组人， 所以，李杏拥护王小红当班长 王小红＝b 李杏＝c 拥护…当班长＝R
1)对称性 x为域，R为关系，a,b等为对象(关系者项) 在x中，若R(a ,b)成立时，R(b ,a)也必定成立，则R为对称性关系。 如，同学、朋友、同乡 2)反对称性
在x中，若R(a ,b)成立时，R(b ,a)必定不成立( ¬R(b ,a)必定成立) ， hmj 则R为反对称性关系。如，大于、父子、…在…以南(以北)
关系：又称关系命题的谓项，是关系命题中反映对象之 间关系的词项。通常用“R”表示。 关系项：又称关系命题的主项，是关系命题中反映具有 某种关系的对象的词项。通常用a，b，c，……来表示， 关系项有关系前项和关系后项之分。 量项：是反映关系数量的词项。
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二、关系的性质
1. 对称性方面 涉及两个关系者项
组
李杏
拥护…当班长 王小红
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涉及三个概念：前提中重复出现的概念， 即媒概念，类似于三段论，因此也叫关 系三段论。
推理规则
判定混合关系推理有效性的充分且必要条件： 1)媒概念至少周延一次； 2)周延性不能扩大； 3)性质命题应是肯定的； 4)结论中的关系是否定的，当且仅当前提中的关 系是否定的； hmj 5)关系的性质不是对称的，则关系者项的顺序不 能改变。
( ¬R(a ,c)必定成立)，则R为反传递性关系。 如，父子， …大于… 几倍
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6)非传递性
在x中，若R(a ,b)且R(b ,c)成立时，R(a ,c)可成立，也可不成立， 则R为非传递性关系。如，同学、朋友、同乡
任何一种关系都可从对称和传递两方面进行分析，只不过看它 涉及的是几个关系者项
第二节 关系推理