专题12 多次使用基本不等式-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练
2021版江苏高考数学复习课后限时集训：基本不等式含解析
教课资料范本2021版江苏高考数学复习课后限时集训：基本不等式含解析编辑： __________________时间： __________________建议用时： 45 分钟一、选择题1．(多项选择题 )以下不等式证明过程正确的选项是()b a b aA．若 a，b∈R，则a＋b≥2a·b＝2B．若 x＞1， y＞1，则 lg x＋ lg y≥2lg x · lg y44C．若 x＜0，则 x＋x≥2x·x＝－ 4D．若 x＜0，则 2x＋2－x＞22x· 2 －x＝ 2BD [A 错误，∵ a 、b 不知足同号，故不可以用基本不等式；B 正确，∵ lg x4和 lg y 必定是正实数，故可用基本不等式；C 错误，∵ x 和x 不是正实数，故不x－x都是正实数，故 x－ x能直接利用基本不等式； D 正确，∵ 2 和 22＋2 ＞2 2x · 2－ x ＝2 成立，当且仅当 2x＝2－x相等时 (即 x ＝0 时)，等号成立，应选BD.]1 92．正数 a ， b 知足 a ＋ b＝ 1，若不等式 a ＋b ≥－ x 2＋4x ＋18－ m 对随意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A ．[3，＋∞ )B ．(－∞， 3]C ．(－∞， 6]D ．[6，＋∞ )1 9D [ 因为 a>0，b>0，a ＋b ＝1，1 9b 9a所以 a ＋b ＝ (a ＋b) a ＋ b ＝10＋a ＋ b ≥16，b 9a当且仅当 a ＝ b ，即 a ＝4，b ＝12 时取等号．依题意， 16≥－ x 2＋4x ＋18－ m ，即 x 2－ 4x －2≥－ m 对随意实数 x 恒成立．又 x 2－4x －2＝(x － 2)2－ 6，所以 x 2－4x － 2 的最小值为－ 6，所以－ 6≥－ m ，即 m ≥6.]1 1)＋ 的最小值为 (3．若正数 m ，n 知足 2m ＋n ＝1，则mnA ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3A[ 因为 2m ＋n ＝1，1 1 1 1n 2mn2m 2，当且仅所以＋＝＋· ＋ n)＝ ＋ ＋≥3＋2·＝3＋2 m n m n (2m3 mn m n3/14即 n＝ 2m 时等号成立，所以1＋1的最小值为 3＋2 2，应选 A.] m n4．(20xx ·长沙模拟 )若a>0， b>0，a＋b＝ab，则 a＋b的最小值为 ()A．2B．4C．6D．8B[ 法一： (直接法 )因为 a＋b＝ab≤错误 ! ，所以 a＋b≥4，当且仅当 a＝ b ＝2 时取等号，应选 B.1 1 1 1a法二： (常数代换法 )由题意，得a＋b＝ 1，所以 a＋ b＝ (a＋b) a＋b＝2＋b b＋a≥ 2＋ 2＝ 4，当且仅当 a＝b＝2 时取等号，应选 B.]5.《几何本来》卷 2的几何代数法 (以几何方法研究代数问题 )成了后代西方数学家办理问题的重要依照，经过这一原理，好多的代数的公义或定理都能够经过图形实现证明，也称之为无字证明．现犹如下图图形，点F在半圆 O上，点 C在直径 AB上，且 OF⊥AB，设 AC＝a，BC＝b，则该图形能够达成的无字证明为()a＋bA.2≥ab(a>0，b>0)B．a2＋ b2≥2ab(a>0， b>0)2abC.≤ab(a>0，b>0)a＋b a2＋b2D.2≤2(a>0，b>0)a＋bD[ 由 AC＝a，BC＝b，可得圆 O 的半径 r＝2，又 OC＝OB－BC＝a＋b a－b2－b＝2，则 FC2＝OC2＋OF2＝错误 ! ＋错误 ! ＝错误 ! ，a＋b a2＋b2再依据题图知 FO≤FC，即2≤2，当且仅当 a＝b 时取等号．应选 D.]二、填空题．若对随意＞，x ≤a恒成立，则 a的取值范围是________．6x 0x2＋3x＋11，＋∞[∵对随意 x＞ 0，x≤a 恒成立，5x2＋3x＋1x∴对 x∈ (0，＋∞ )， a≥x2＋3x＋1max，而对 x∈ (0，＋∞ )，x1≤11＝11＝，x2＋3x＋125x＋＋3x·＋3x x1当且仅当 x＝x时等号成立，1∴a≥5.]7．如图，已知正方形 OABC，此中 OA＝ a(a＞ 1)，函数 y＝ 3x2交 BC于点 P，1函数 y＝ x－2交 AB于点 Q，当 |AQ|＋ |CP|最小时，则 a的值为 ________．3 [由题意得： P 点坐标为a ，Q 点坐标为 ， 1， |AQ|＋|CP|3，aaa＝a ＋ 1≥ 21 ，3a3当且仅当 a ＝ 3时，取最小值． ]8．(20xx ·天津高考 )设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则错误 !的最小值为 ________．9 [错误 ! ＝错误 ! ＝错误! ＝2＋错误 ! .2因为 x ＞ 0， y ＞ 0， x ＋2y ＝4， 所以 x ＋ 2y ＝4≥2 x ·2y ，即 2xy ≤ 2,0＜xy ≤2，当且仅当 x ＝2y ＝2 时等号成立．5 1 9所以 2＋xy ≥2＋5×2＝2，所以错误 ! 的最小值为 错误 ! .]三、解答题9．已知 x>0，y>0，且 2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．8 2[解 ](1)由 2x ＋8y －xy ＝0，得 x ＋y ＝1，又 x>0，y>0，8 28 28则 1＝x＋y≥2x·y＝xy，得xy≥64，当且仅当 x＝4y，即 x＝16，y＝4 时等号成立．故 xy 的最小值为 64.8y(2)法一：(消元法 )由 2x＋8y－xy＝0，得 x＝，y－2因为 x＞ 0， y＞ 0，所以 y＞2，8y16则 x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，y－2y－216当且仅当 y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．y－2故 x＋y 的最小值为 18.8 2法二： (常数代换法 )由 2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝ 1，8 2则 x＋y＝x＋y·(x＋ y)2x 8y＝10＋y＋x2x8y≥10＋2y·x＝18，当且仅当 y＝6，x＝12 时等号成立，故 x＋y 的最小值为 18.10．某厂家拟在 2020年举行促销活动，经检查测算，该产品的年销售量(即k该厂的年产量 )x万件与年促销花费 m万元 (m≥ 0)知足 x＝ 3－m＋1(k为常数 )，假如不搞促销活动，则该产品的年销售量只好是1万件．已知 2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产 1万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品年均匀成本的 1.5倍(产品成本包含固定投入和再投入两部分资本 )．(1)将 2020年该产品的收益 y万元表示为年促销花费 m万元的函数；(2)该厂家 2020年的促销花费投入多少万元时，厂家的收益最大？[解 ](1)由题意知，当 m＝0 时， x＝1，∴1＝3－k ，k ＝2，∴ x ＝3－ 2 ，m ＋1每万件产品的销售价钱为 1.5× 8＋16x(万元 ，x)8＋16x∴2020 年的收益 y ＝ 1.5x ×－8－16x － m ＝ 4＋ 8x －m ＝ 4＋x28 3－m ＋1－m ＝－错误 ! ＋29(m ≥0)．1616＝8，＋(m ＋1)≥ 2 (2)∵ m ≥0 时， m ＋1∴y ≤－ 8＋29＝21，当且仅当 16 ＝m ＋1，即 m ＝3(万元 )时， y max ＝ 21( 万元 )．m ＋1故该厂家 2020 年的促销花费投入 3 万元时，厂家的收益最大为 21 万元．1．已知函数 f(x)＝ax 2＋ bx(a>0，b>0)的图象在点 (1， f(1))处的切线的斜率为8a ＋b2，则 ab 的最小值是 ()A ．10B ．9C ．8D ．3 2B [ 由函数 f(x)＝ax 2＋bx ，得 f ′ (x)＝ 2ax ＋ b ， 由函数 f(x)的图象在点 (1，f(1))处的切线斜率为 2，所以 f ′ (1)＝2a ＋b ＝2，8a ＋b 1 8 11 8所以 ab ＝a ＋b ＝2a ＋b (2a ＋b)1b 16a1b 16a 1 ＝2 10＋a ＋ b ≥ 2 10＋ 2a ·b ＝2(10＋ 8)＝9，当且仅当 b ＝16a，即 a ＝1，b ＝4时等号成立，ab338a ＋b所以 ab 的最小值为 9，应选 B.]2．(20xx ·湖南师大附中模拟 )已知△ ABC 的面积为 1，内切圆半径也为 1，若△ ABC 的三边长分别为 a ，b ，c4a ＋b ，则＋的最小值为 ( )a ＋b cA.2B.2＋ 2C ．4D. 2＋2 2D [ 因为△ ABC 的面积为 1，内切圆半径也为 1,1所以 2(a ＋ b ＋ c)×1＝1，所以 a ＋ b ＋ c ＝ 2，4 a ＋b所以 ＋ ＝错误 ! ＋错误 ! ＝2＋错误! ＋错误 ! ≥2＋2错误 ! ，a ＋bc当且仅当 a ＋b ＝ 2c ，即 c ＝ 2 2－2 时，等号成立，4a ＋b 所以＋的最小值为 2＋2 2.]a ＋bc3.(20xx 江·苏高考 )在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，∠ ABC ＝120°，∠ ABC 的均分线交 AC 于点 D ，且 BD ＝1，则 4a ＋c 的最小值为 ________．9 [法一：依题意画出图形，如下图．易知 S △ABD ＋S △BCD ＝ S △ABC ，1 1 1即 csin 60 ＋° asin 60 ＝° acsin 120 ，° 2 2 21 1∴a ＋c ＝ac ，∴ a ＋c ＝1，∴4a ＋c ＝ (4a ＋ c) 1＋ 1 c 4a c ＝5＋ ＋≥9，a a c c 4a3 当且仅当 a ＝ c ，即 a ＝2，c ＝3 时取“＝”．法二：以 B 为原点， BD 所在直线为 x 轴成立如下图的平面直角坐标系，则 D(1,0)，∵ AB ＝ c ，BC ＝a ，c3a3∴A2，2 c ， C2，－2 a .→→∵A，D， C 三点共线，∴ AD∥DC.c33a∴ 1－2－2 a ＋2 c 2－1＝0，1 1∴ac＝ a＋ c，∴a＋c＝1，1 1c4a∴4a＋c＝ (4a＋ c) a＋c＝ 5＋a＋c≥9，c 4a3当且仅当a＝c，即 a＝2， c＝3 时取“＝”． ]4．某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚四周均是宽为1米的小道 (如下图 )，大棚占地面积为 S平方米，此中 a∶b＝1∶2.(1)试用 x，y表示 S；(2)若要使 S的值最大，则 x，y的值各为多少？[解 ](1)由题意可得 xy＝1 800，b＝2a，则 y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以 S＝(x－2)a＋(x－ 3)b＝ (3x－ 8)ay－38＝(3x－8)3＝1 808－3x－3y(x>3，y>3)．8 1 800 (2)S＝1 808－ 3x－3×x＝－ 3x＋4 800≤－2×4 8001 808x 1 8083x x ＝1 808－240＝ 1 568，当且仅当 3x＝4 800，即 x＝ 40 时等号成立， S 获得最大值，此时 y＝1 800 x x＝ 45，所以当 x＝40， y＝ 45 时， S获得最大值．→1．在△ ABC中，点 P知足 BP→→→→＝ 2PC，过点 P的直线与 AB，AC所在直线分别交于点 M，N，若 AM＝mAB，AN →＝ nAC(m>0， n>0)，则 m＋2n的最小值为 ()810A．3B．4 C.3 D. 3→→→A [ ∵AP＝ AB＋BP→2 → →＝AB＋3(AC－ AB)→2→1→2→＝AB＋ AC＝ AM＋ AN，333m3n112∵M，P，N 三点共线，∴＋＝1，3m 3n1 ＋2∴m＋2n＝(m＋ 2n) 3m3n142n2m52n2m54＝＋＋＋≥＋2×＝＋＝3，333m3n33m3n33当且仅当 m＝ n＝ 1 时等号成立． ]2．(20xx ·定州期中 )已知函数 f(x)＝log2 ( x2＋13 1－ x)，若对随意的正数 a，b，知足 f(a)＋f(3b－1)＝ 0，则a＋b的最小值为 () A．6B．8C．12D．24C [ 易知函数 f(x)＝log2(x2＋ 1－x)的定义域为 R，又 f(x)＝ log2(x2＋－＝log12，1 x)x2＋1＋x所以 f(x)为 R 上的减函数．又 f(－ x)＝log2( x2＋ 1＋x)，所以 f(x)＝－ f(－x)，即 f(x)为奇函数，因为 f(a)＋f(3b－1)＝0，所以 f(a)＝f(1－ 3b)，所以 a＝1－ 3b，即 a＋3b＝ 1，3 1 3 19b a所以a＋b＝a＋b (a＋3b)＝a＋b＋6，9b a9b a因为a＋b≥2 a ×b＝6，3 13 1 9b a 1 1 所以 a ＋ b ＝ a ＋b (a ＋3b)＝ a ＋b ＋6≥ 12(当且仅当 a ＝2，b ＝6时，等号成立 )，应选 C.]。
2021年高考数学二轮复习 不等式专题训练(含解析)
2021年高考数学二轮复习 不等式专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·四川卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1}D ．{－1,0}解析 A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1,2}，选A. 答案 A2．已知a <b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a >1bB ．a 2>b 2C ．2－a >2－bD ．2a>2b解析 ∵a <b ，∴－a >－b ，∴2－a >2－b . 答案 C3．(xx·皖南八校联考)若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析 依题意0<x <1⇒a ≤x ≤a ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1.∴－1≤a ≤0. 答案 A4．(xx·山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析 由a x<a y(0<a <1)，知x >y ，所以x 3>y 3，选D. 答案 D5．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.答案 D6．(xx·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5D ．2解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取最小值时，最优解为(2,1)．所以2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20＝5⎝⎛⎭⎪⎫a －4552＋4，即当a ＝455，b ＝255时，a 2＋b 2有最小值4. 答案 B 二、填空题7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x ≥0，－x 2＋x x <0，则不等式f (x 2－x ＋1)<12的解集是________．解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x ≥0－x 2＋x x <0的图象，可知该函数是奇函数，且在R 上单调递增，所以由f (x 2－x ＋1)<12＝f (3)可得x 2－x ＋1<3，解得－1<x <2，故不等式f (x 2－x ＋1)<12的解集是(－1,2)．答案 (－1,2)8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋4≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．解析 画出可行域，如图所示，目标函数变形为y ＝－ab x ＋z b ，由已知得－a b<0，且纵截距最大时，z 取到最大值，故当直线l 过点B (2,4)时，目标函数取到最大值，即2a ＋4b ＝8，因a >0，b >0，由基本不等式，得2a ＋4b ＝8≥42ab ，即ab ≤2(当且仅当2a ＝4b ＝4，即a ＝2，b ＝1时取“＝”)，故ab 的最大值为2.答案 29．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 解析 因为x ＋2y ＋2xy ＝8，所以y ＝8－x2x ＋2>0， 所以－1<x <8，所以x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2x ＋1·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＝2时取等号．答案 4 三、解答题10．设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋3>1. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值． 解 A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋3>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3<0＝{x |－3<x <1}， (1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}，所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1，b2＝－3×1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.11．(xx·课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立，故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.B 级——能力提高组1．(xx·课标全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1，其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3解析 画出可行域如图阴影部分所示．作直线l 0：y ＝－12x ，平移l 0，当直线经过A (2，－1)时，x ＋2y 取最小值，此时(x ＋2y )min ＝0.故p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2为真．p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2为真．故选B.答案 B2．(xx·辽宁卷)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a－4b ＋5c的最小值为________．解析 要求|2a ＋b |最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值．∵4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab －3b 2.∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab －3b 2＋4ab ＝c ＋6ab －3b 2＝c ＋3b (2a －b )＝c ＋32·2b (2a －b )≤c ＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2a －b 22＝c ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22，即(2a ＋b )2≤85c ，当且仅当2b ＝2a －b ，即3b ＝2a 时取到等号，即(2a ＋b )2取到最大值．故3b ＝2a 时，|2a ＋b |取到最大值．把3b ＝2a ，即b ＝2a 3代入4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，可得c ＝409a 2. ∴3a －4b ＋5c ＝3a －423a ＋5409a 2＝3a －6a ＋98a 2＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－83a ＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －432－2.∴当1a ＝43时，3a －4b ＋5c取到最小值－2.答案 －23．已知函数f (x )＝13x 3＋a －22x 2－2ax －3，g (a )＝16a 3＋5a －7.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上不单调，且x ∈[－2，0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－12x 2－2x －3，定义域为R ，f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )>0，得x <－1或x >2.∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－a . ∵函数f (x )在区间[－2,0]上不单调， ∴－a ∈(－2,0)，即0<a <2.又∵函数在(－2，－a )上，f ′(x )>0，在(－a,0)上，f ′(x )<0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x －2 (－2，－a )－a (－a,0) 0 f ′(x ) ＋0 －f (x )f (－2)极大值↘f (0)∴f∴f (x )在[－2,0]上的最大值为f (－a )．∵当x ∈[－2,0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，等价于f (－a )<g (a )， ∴－13a 3＋a －22·a 2＋2a 2－3<16a 3＋5a －7.∴16a 3＋a 2－3<16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4<0，解得1<a <4.综上所述，a 的取值范围是(1,2)．24228 5EA4 庤38601 96C9 雉34051 8503 蔃^29586 7392 玒29671 73E7 珧Zh34944 8880 袀20741 5105 儅23866 5D3A 崺31095 7977 祷40302 9D6E 鵮H36899 9023 連。
高考数学利用基本不等式求最值8大题型(解析版)
利用基本不等式求最值8大题型命题趋势基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法1.直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2.配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3.代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a +4b 与a +3b ，分子为a +2b ，设a +2b =λ3a +4b +μa +3b =3λ+μ a +4λ+3μ b∴3λ+μ=14λ+3μ=2 ，解得：λ=15μ=254.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5.构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
热点题型解读【题型1直接法求最值】【例1】(2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =12，则xy 的最大值为()A.16B.25C.36D.49【答案】C【解析】因为x >0,y >0，x +y =12≥2xy ，即xy ≤36，当且仅当x =y =6时取到等号，故xy的最大值为36.故选：C【变式1-1】(2022·四川广安·广安二中校考模拟预测)已知3x+9y=18，当x+2y取最大值时，则xy的值为( )A.2B.2C.3D.4【答案】B【解析】由已知3x+9y=18可得3x+32y=18，则18=3x+32y≥23x×32y=23x+2y，即3x+2y≤81，所以x+2y≤4，当且仅当x=2y=2时取等号，即x=2，y=1，此时xy=2.故选：B．【变式1-2】(2023·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a2+2b2=1,则ab2的最大值是()A.13B.33C.39D.19【答案】C【解析】解:由题知1=a2+2b2=a2+b2+b2≥33a2b2b2,∴3a2b4≤1 3,当且仅当a=b=33时取等号，所以ab2≤39．故选:C．【变式1-3】(2022·上海·高三统考学业考试)已知x>1，y>1且lg x+lg y=4，那么lg x·lg y的最大值是( )A.2B.12C.14D.4【答案】D【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴lg x⋅lg y≤lg x+lg y22=42 2=4，当且仅当lg x=lg y=2，即x=y=100时等号成立．故选：D.【变式1-4】(2022春·云南·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a+5b2a+b=36，则a+2b的最小值为()A.16B.12C.8D.4【答案】D【解析】因为a+5b2a+b≤a+5b+2a+b22，所以9(a+2b)24≥36.又a>0,b>0.所以a+2b≥4，当且仅当a=83,b=23时，等号成立.故选：D【题型2配凑法求最值】【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知-3<x<0，则f x =x9-x2的最小值为________．【答案】-9 2【解析】因为-3<x<0，所以f x =x9-x2=-9-x2⋅x2≥-9-x2+x22=-92，当且仅当9-x 2=x 2，即x =-322时取等，所以f x =x 9-x 2的最小值为-92.【变式2-1】(2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中)函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为______.【答案】7,+∞【解析】由题知，x >1，所以x -1>0，所以f (x )=x -1 +9x -1+1≥2x -1 ⋅9x -1+1=7，当且仅当x -1=9x -1，即x =4时取等号，所以函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为7,+∞ .【变式2-2】(2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =7，则1+x 2+y 的最大值为()A.36B.25C.16D.9【答案】B【解析】由x +y =7，得x +1 +y +2 =10，则1+x 2+y ≤1+x +2+y 2 2=25，当且仅当1+x =2+y ，即x =4,y =3时，取等号，所以1+x 2+y 的最大值为25.故选：B .【变式2-3】(2022春·山东济宁·高三统考期中)已知向量m =a -5,1 ,n =1,b +1 ，若a >0,b >0，且m⊥n ，则13a +2b +12a +3b 的最小值为()A.15B.110C.115D.120【答案】A【解析】根据题意，m ⋅n =a -5+b +1=0，即a +b =4，则3a +2b +2a +3b =20，又a >0,b >0，故13a +2b +12a +3b =12013a +2b +12a +3b 3a +2b +2a +3b =1202+2a +3b 3a +2b +3a +2b 2a +3b≥120×2+22a +3b 3a +2b ×3a +2b 2a +3b =15，当且仅当2a +3b 3a +2b =3a +2b2a +3b，且a +b =4，即a =b =2时取得等号.故选：A .【题型3消元法求最值】【例3】(2022春·湖南永州·高三校考阶段练习)设x ≥0,y ≥0,x 2+y 22=1，则x 1+y 2的最大值为()A.1B.22C.324D.2【答案】C【解析】因为x 2+y 22=1，所以y 2=2-2x 2≥0，解得：x ∈0,1 ，故x 1+y 2=x 1+2-2x 2=x 3-2x 2=222x 23-2x 2 ≤22×2x 2+3-2x 22=324，当且仅当2x 2=3-2x 2，即x =32时，等号成立，故x 1+y 2的最大值为324.【变式3-1】(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足a 2-2ab +4=0，则b-a4的最小值为()A.1 B.2C.2D.22【答案】B【解析】∵a ,b >0,a 2-2ab +4=0，则有b =a 2+2a，∴b -a 4=a 2+2a -a 4=a 4+2a≥2a 4⋅2a =2，当且仅当a 4=2a ，即a =22时等号成立，此时b =322，故选：B .【变式3-2】(2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xy z的最大值为()A.0B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x-3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，则当xyz取得最大值时，2x +1y -2z 的最大值为()A.0B.3C.94D.1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，∴z =x 2-3xy +4y 2．∴xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4y x -3≤12x y ⋅4y x-3=1，当且仅当x =2y >0时取等号，此时z =2y 2．∴2x +1y -2z =22y +1y -22y2=-1y -1 2+1≤1，当且仅当y =1时取等号，即2x +1y -2z的最大值是1．故选：D 【变式3-4】(2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)(多选)已知a ，b ，c 均为正实数，ab +ac=2，则1a +1b +c +8a +b +c的取值不可能是()A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由ab +ac =2得：a b +c =2，即b +c =2a，所以1a +1b +c +8a +b +c =1a +a 2+8a +2a=2+a 22a +8a a 2+2，由基本不等式得：1a +1b +c +8a +b +c =2+a 22a +8a a 2+2≥22+a 22a ⋅8a a 2+2=4，当且仅当2+a 22a =8aa 2+2，即a =2±2时，等号成立.故选：ABC【变式3-5】(2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习)若x 21+y 21=4,x 22+y 22=4,x 1⋅y 2=-2，则x 2⋅y 1的最大值为___________．【答案】2【解析】x 2⋅y 1 2=4-y 22 4-x 21 =4-4x 214-x 21 =20-44x 21+x 21，由y 2=-2x 1，所以y 2 =-2x 1=2x 1≤2，所以1≤x 1 ≤2，所以x 2⋅y 1 2=20-44x 21+x 21≤20-4×24x 21⋅x 21=4，当且仅当|x 1|=2时，等号成立，所以x 2⋅y 1≤2，当且仅当x 2=2,y 1=2或x 2=-2,y 1=-2时取等号，所以x 2⋅y 1的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】(2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且4x +y =1，则1x +9y的最小值是_____．【答案】25【解析】因为x >0,y >0，且4x +y =1，所以1x +9y =4x +y 1x +9y =4+36xy +y x+9≥13+236x y ⋅y x=25，当且仅当36x y =y x ，即x =110,y =35时，等号成立.【变式4-1】(2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习)已知a >0，b >0，a +b =2，则b a +4b的最小值为_______.【答案】22+2【解析】因为a >0，b >0，且a +b =2，所以b a +4b =b a +4b a +b 2 =b a +2a b +2≥2b a ×2a b+2=22+2，当且仅当b 2=2a 2时取等号故b a +4b 的最小值为22+2【变式4-2】(2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习)若正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则x +2y 的最小值为______．【答案】9【解析】由2x +y =xy 得2y +1x=1，又因为x >0，y >0，所以x +2y =x +2y 2y +1x =2xy +2y x +5≥22x y ⋅2y x +5=9，当且仅当x =y =3时等号成立，故x +2y 的最小值为9．【变式4-3】(2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习)已知x >-2，y >0，2x +y =3，则x +2y +2x +2+7y的最小值为()A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】因为x >-2，y >0，2x +y =3，所以2x +2 +y =7，x +2>0，所以x +2y +2x +2+7y =x +2y +2x +2+2x +2 +y y =2+2y x +2+2x +2 y≥2+22yx +2⋅2x +2 y=6，当且仅当x +2=y ，即x =13，y =73时等号成立，即x +2y +2x +2+7y 的最小值为6，故选：B .【变式4-4】(2022·广西·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为()A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则AM =12AB +12AC又AG =2GM ，所以AM =32AG ，又AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)所以32AG=x 2AP +y 2AQ ，则AG =x 3AP +y 3AQ因为G ,P ,Q 三点共线，则x3+y 3=1，化得x +y +1 =4由1x +1y +1=14x +y +1 1x +1y +1 =14x y +1+y +1x+2 ≥142x y +1⋅y +1x+2=1当且仅当x y +1=y +1x 时，即x =2,y =1时，等号成立，1x +1y +1的最小值为1故选：B 【题型5双换元法求最值】【例5】(2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习)设x >-1,y >-2，且x +y =4，则x 2x +1+y 2y +2的最小值是__________.【答案】167【解析】令x +1=a (a >0)，y +2=b (b >0)，则x =a -1，y =b -2，因为x +y =4，则有a +b =7，所以x 2x +1+y 2y +2=(a -1)2a +(b -2)2b =a +1a -2+b +4b -4=7-2-4+1a +4b=1+17(a +b )1a +4b =1+171+4+b a +4a b≥1+17×5+2b a ×4a b =167当且仅当b =2a ，即a =73,b =143时取等号，则x ,y 分别等于43,83时，x 2x +1+y 2y +2的最小值是167.【变式5-1】(2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习)已知正数x ，y 满足3x +2y y +83x +2y x=1，则xy 的最小值是()A.54B.83C.43D.52【答案】D 【解析】xy =xy 3x +2y y +83x +2y x=3x x +2y +8y 3x +2y ，令x +2y =m ，3x +2y =n ，则x =n -m 2，y =3m -n4，xy =3x x +2y +8y 3x +2y =3n 2m +6m n -72≥23n 2m ⋅6m n -72=52，当且仅当3n 2m =6m n 且3x +2y y +83x +2y x =1，即x =5，y =52时，等号成立，所以xy ≥52，故xy 有最小值52.故选：D .【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)设正实数x ,y 满足x >12,y >1，不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立，则m 的最大值为()A.8 B.16C.22D.42【答案】A【解析】设y -1=b ,2x -1=a ，则y =b +1b >0 ,x =12a +1 a >0 所以4x 2y -1+y 22x -1=a +1 2b +b +1 2a ≥2a +1b +1 ab =2ab +a +b +1ab=2ab +1ab +a +b ab ≥22ab ⋅1ab +2ab ab=2⋅2+2 =8当且仅当a =b =1即x =2,y =1时取等号所以4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】(2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中)已知x >0,y >0，若x +y =1，则33x +2y+11+3y的最小值是___________.【答案】85【解析】设x +y +k =λ3x +2y +μ1+3y ，由对应系数相等得1=3λ1=2λ+3μk =μ，得λ=13k =μ=19所以x +y +19=133x +2y +191+3y整理得1=3103x +2y +1101+3y 即1=1109x +6y +1+3y所以33x +2y +11+3y =1109x +6y +1+3y 33x +2y +11+3y=1+11031+3y 3x +2y +9x +6y 1+3y≥85.经验证当x =y =12时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】(2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知a ,b 都是负实数，则a a +2b +ba +b的最小值是____________ .【答案】22-2【解析】a a +2b +b a +b =a 2+2ab +2b 2a 2+3ab +2b 2=1-ab a 2+3ab +2b2=1-1a b+2b a +3，因为a ,b 都是负实数，所以a b>0,2ba >0，所以a b +2b a ≥2a b ×2b a =22(当且仅当a b=2b a 时等号成立).所以a b +2b a +3≥22+3，所以1a b+2b a +3≤122+3，所以-1a b +2b a +3≥-122+3=22-3，所以1-1a b+2b a +3≥1+22-3=22-2.即a a +2b +b a +b的最小值是22-2.【变式6-1】(2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知对任意正实数x ，y ，恒有x 2+y 2≤a x 2-xy +y 2 ，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为x >0,y >0，则x 2-xy +y 2=x -y 2+xy >0，则x2+y2≤a x2-xy+y2，即x2+y2x2-xy+y2≤a，又x2+y2x2-xy+y2=11-xyx2+y2，因为x2+y2≥2xy，所以1-xyx2+y2≥12，所以11-xyx2+y2≤2，即x2+y2x2-xy+y2≤2，当且仅当x=y时，取等号，所以x2+y2x2-xy+y2max=2，所以a≥2，即实数a的最小值是2.【变式6-2】(2022·全国·高三专题练习)已知x>0，y>0，则x2+3y2xy+y2的最小值为____．【答案】2【解析】∵x，y>0，则x2+3y2xy+y2=x2y2+3xy+1，设xy=t，t>0，则x2+3y2xy+y2=t2+3t+1=t+12-2t+1+4t+1=(t+1)+4t+1-2≥2t+1×4t+1-2=4-2=2，当且仅当t+1=4t+1，即t=1时取等号，此时x=y，故x2+3y2xy+y2的最小值为2.【题型7构造不等式法求最值】【例7】(2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习)已知正实数a，b满足2ab=a+b+12，则ab的最小值是_____ ______.【答案】9【解析】由2ab=a+b+12得，2ab≥2ab+12，化简得ab-3ab+2≥0，解得ab≥9，所以ab的最小值是9.【变式7-1】已知x>0，y>0，2xy=x+y+4，则x+y的最小值为______．【答案】4【解析】由题知x>0,y>0,由基本不等式得xy≤x+y22，即x+y+4≤2×x+y22，令t=x+y，t>0，则有t+4≤2×t22，整理得t2-2t-8≥0，解得t≤-2(舍去)或t≥4，即x+y≥4，当且仅当x=y=2时等号成立，所以x+y的最小值为4.【变式7-2】(2022·全国·高三专题练习)若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．【答案】2105【解析】∵4x 2+y 2+xy =1，∴(2x +y )2-3xy =1≥(2x +y )2-322x +y 2 2=58(2x +y )2，当且仅当2x =y 时，等号成立，此时(2x +y )2≤85，所以2x +y ≤2105，即2x +y 的最大值是2105.【变式7-3】(2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)若x >0，y >0，y +1x+4x +2y =5，则2x +y 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为x >0，y >0，所以2x +y >0由y +1x +4x +2y=5两边同时乘xy ，得y 2+y +4x 2+2x =5xy ，即4x 2+y 2+4xy +2x +y =5xy +4xy ，则2x +y 2+2x +y =9xy ，因为2xy ≤2x +y 2 2=2x +y 24，所以9xy =92×2xy ≤92×2x +y 24=982x +y2，故2x +y 2+2x +y ≤982x +y 2，整理得2x +y 2-82x +y ≥0，即2x +y 2x +y -8 ≥0，所以2x +y ≥8或2x +y ≤0(舍去)，故2x +y 的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知a >0,b >0，则4b +ba2+2a 的最小值为()A.22 B.42C.42+1D.22+1【答案】B【解析】因为a >0,b >0，所以4b +ba2+2a ≥24b ⋅b a 2+2a =4a+2a ≥24a⋅2a =42，当且仅当4b =b a2且4a =2a ，即a =2,b =22时取等号，即4b +ba2+2a 的最小值为4 2.故选：B .【变式8-1】(2022春·江苏淮安·高三校联考期中)当0<x <2a ,不等式1x 2+12a -x2≥1恒成立，则实数a 的取值范围是()A.2,+∞B.0，2C.0,2D.2,+∞【答案】B【解析】1x 2+12a -x 2≥1恒成立，即1x 2+12a -x 2 min≥1∵0<x <2a ,∴2a -x >0，又1x 2+1(2a -x )2≥21x 2(2a -x )2=2x (2a -x )≥2x +2a -x 22=2a 2，上述两个不等式中，等号均在x =2a -x 时取到，∴1x 2+12a -x 2min=2a 2，∴2a2≥1，解得-2≤a ≤2且a ≠0，又a >0，实数a 的取值范围是0，2 .故选：B .【变式8-2】(2022·全国·模拟预测)已知a >0，b >0，c >1，a +2b =2，则1a +2bc +2c -1的最小值为()A.92B.2C.6D.212【答案】D【解析】1a +2b =121a +2b a +2b =125+2b a +2a b≥125+4 =92，当且仅当a =b =23时等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件)所以1a +2bc +2c -1≥92c -1 +2c -1+92≥29c -1 2⋅2c -1+92=212，当且仅当9c -1 2=2c -1，即c =53且a =b =23时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)已知a ,b ,c ∈R +，θ∈-π2,π2，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，则θ的取值范围是()A.-π2,π2B.-π3,π3C.-π4,π4D.-π6,π6【答案】C【解析】因为a ,b ,c ∈R +,θ∈-π2,π2 ，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c 2 max≤cos θ，因为a ,b ,c ∈R +，所以2ab =12×2a 2b ≤12a 2+2b 2 =12a 2+2b 2，当且仅当a =2b 时等号成立；2bc =12×2c 2b ≤12c 2+2b 2 =12c 2+2b 2，当且仅当c =2b 时等号成立.所以2b a +c a 2+4b 2+c 2=2ab +2bc a 2+4b 2+c 2≤12a 2+2b 2 +12c 2+2b 2a 2+4b 2+c 2=22，当且仅当a =2b =c 时等号成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c2的最大值为22，所以cos θ≥22，又因为θ∈-π2,π2，所以θ∈-π4,π4.故选：C.【变式8-4】(2023·全国·高三专题练习)若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为()A.12B.14C.22D.32【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤a+c2a2+c2b×2b=a+c22a2+c2=12a2+2ac+c22a2+c2=1212+aca2+c2≤1212+ac2a2×c2=12，当且仅当a2+c2b=2b，且a=c，即a=b=c时取等号，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12．故选：A．限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022春·江苏徐州·高三学业考试)若正实数x，y满足1x+2y=1，则x+2y的最小值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】因为x，y是正数，所以有1x+2yx+2y=5+2yx+2xy≥5+22yx∙2xy=9，当且仅当2yx=2xy时取等号，即当且仅当x=y=3时取等号，故选：C2.(2022春·广东湛江·高三校考阶段练习)已知x>2,y=x+1x-2，则y的最小值为()A.2B.1C.4D.3【答案】C【解析】因为x>2，所以x-2>0,1x-2>0，由基本不等式得y=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2x-2⋅1x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时，等号成立，则y的最小值为4.故选：C3.(2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习)已知a>1，b>1，且aln+4bln=2，则a elog+b e4log的最小值为()A.92lg B.212 C.252 D.12【答案】C【解析】a e log =1a ln ，b e 4log =4b ln ，因为a >1，b >1，故a >0ln ,b ln >0，a e log +b e 4log =1a ln +4b ln =12×a ln +4b ln 1a ln +4bln=12×17+4b ln a ln +4a ln bln≥12×17+24b ln a ln ⋅4a ln bln=252，当且仅当a ln =b ln 时，即a =b =e 25时等号成立．所以a e log +b e 4log 的最小值为252．故选：C4.(2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足4a +9b =4，则ab 的最大值为()A.19B.16C.13D.12【答案】A【解析】正数a ,b 满足4a +9b =4，由基本不等式得：4a +9b =4≥24a ⋅9b ，解得：ab ≤19，当且仅当4a =9b ，即a =12,b =29时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A 5.(2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末)已知a >0,b >0，9是3a 与27b 的等比中项，则a 2+2a +3b 2+1b 的最小值为()A.9+26 B.21+264C.7D.14+263【答案】B【解析】由等比中项定义知：3a ⋅27b =3a +3b =92，∴a +3b =4，∴a 2+2a +3b 2+1b =a +3b +2a +1b =4+142a +1b a +3b =4+145+6b a +a b≥4+145+26b a ⋅a b =4+5+264=21+264(当且仅当6b a =ab，即a =46-8，b =43-6 3时取等号)，即a 2+2a +3b 2+1b的最小值为21+264.故选：B .6.(2022春·河南南阳·高三校考阶段练习)在△ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，则4x +y 的最小值是()A.43B.103C.3D.2【答案】C【解析】在△ABC 中，E 为重心，所以AE =23⋅12AB +AC =13AB +AC ，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，所以AB =1x AM ,AC =1y AN ，所以AE =13⋅1x AM +13⋅1yAN .因为M 、E 、N 三点共线，所以13x +13y=1，所以4x +y 13x +13y=43+13+y 3x +4x 3y ≥53+2y 3x ⋅4x 3y =3(当且仅当y 3x =4x 3y ，即x =12，y =1时取等号)．故4x +y 的最小值是3．故选：C ．7.(2022春·四川德阳·高三阶段练习)已知实数a 、b >0，且函数f x =x 2-2a +b x +2a +b -1的定义域为R ，则a 2b +2a 的最小值是()A.4B.6C.22D.2【答案】A【解析】∵f x =x 2-2a +b x +2a +b -1定义域为R ，∴x 2-2a +b x +2a +b -1≥0在R 上恒成立，∴△=-2a +b 2-4×2a +b -1 ≤0，即：a +b 2-2a +b +1≤0∴a +b -1 2≤0，解得：a +b =1又∵a >0,b >0∴a 2b +2a =1-b 2b +2a =12b +2a -12=12b +2a a +b -12=a 2b +2ba +2≥2a 2b ⋅2b a+2=4当且仅当a 2b =2b a ，即a =23,b =13时取等号.故选：A .8.(2022春·江西宜春·高三校考阶段练习)设x >y >z ，且1x -y +1y -z ≥nx -zn ∈N 恒成立，则n 的最大值为()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】因为x >y >z ，所以x -y >0，y -z >0，x -z >0，所以不等式1x -y +1y -z ≥n x -z 恒成立等价于n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立.因为x -z =x -y +y -z ≥2x -y y -z ，1x -y +1y -z≥21x -y ⋅1y -z ，所以x -z ⋅1x -y +1y -z≥4x -y y -z⋅1x -y ⋅1y -z =4(当且仅当x -y =y -z 时等号成立)，则要使n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立，只需使n ≤4n ∈N ，故n 的最大值为4.故选：C 9.(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)(多选)已知实数a ，b 满足4a 2-ab +b 2=1，以下说法正确的是()A.a ≤21515B.a +b <1C.45≤4a 2+b 2≤43D.2a -b ≤2105【答案】ACD【解析】由4a 2-ab +b 2=1，可得b 2-ab +4a 2-1=0，关于b 的方程有解，所以△=-a 2-44a 2-1 ≥0，所以a 2≤415，即a ≤21515，故A 正确；取a =0,b =1，4a 2-ab +b 2=1，则a +b =1，故B 错误；由4a 2-ab +b 2=1，可得4a 2+b 2=ab +1=1+12⋅2ab ，又-4a 2+b 22≤2ab ≤4a 2+b 22，令t=4a 2+b 2，则-t 2≤2t -1 ≤t 2，所以45≤t ≤43，即45≤4a 2+b 2≤43，故C 正确；由4a 2-ab +b 2=1，可得2a -b 2+3ab =1，所以2a -b 2=1-3ab =1+32⋅2a ⋅-b ，令u =2a -b ，由2a ⋅-b ≤2a -b 22，可得u 2≤1+38u 2，所以u 2≤85，即2a -b ≤2105，故D 正确.故选：ACD .10.(2022·浙江·模拟预测)(多选)已知a ，b 为正数，且2a +b -2=0，则()A.a 2+16>8a B.2a +1b≥9 C.a 2+b 2≥255D.32<a +b -5a -2<4【答案】ACD【解析】对于A 选项，a 2+16-8a =a -4 2≥0，当且仅当a =4时等号成立，当a =4时，由于2a +b -2=0，得b =2-2a =2-8=-6，与b 为正数矛盾，故a ≠4，即得a 2+16>8a ，故A 选项正确；对于B 选项，∵2a +b -2=0，∴a +b2=1.又∵a >0,b >0∴2a +1b =2a +1b a +b 2 =2+b a +a b+12≥52+2b a ⋅a b =92，当且仅当b a =a b，即a =b =23时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∵a 2+b 2=a 2+2-2a 2=5a 2-8a +4=5a -45 2+45，∴a 2+b 2≥45，当且仅当a =45时等号成立，∴a 2+b 2≥255，故C 选项正确；对于D 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∴a +b -5a -2=a +2-2a -5a -2=-a -3a -2=-a -2 -5a -2=-1-5a -20<a <1 ，当0<a <1时，-2<a -2<-1，∴-5<5a -2<-52，得32<-1-5a -2<4，即32<a +b -5a -2<4，故D 选项正确.故选：ACD11.(2022春·山西·高三校联考阶段练习)(多选)若a >b >1，且a +3b =5，则()A.1a -b +4b -1的最小值为24 B.1a -b +4b -1的最小值为25C.ab -b 2-a +b 的最大值为14 D.ab -b 2-a +b 的最大值为116【答案】BD【解析】由a >b >1，可知a -b >0，b -1>0，a -b +4b -1 =a +3b -4=5-4=1，1a -b +4b -1=a -b +4b -1 a -b +4a -b +4b -1 b -1=17+4b -1 a -b +4a -b b -1≥17+24b -1 a -b ⋅4a -b b -1=25当且仅当a -b =b -1=15 时，等号成立，1a -b +4b -1的最小值为25．又1=a -b +4b -1 ≥2a -b ⋅4b -1 =4a -b ⋅b -1 ．当且仅当a -b =4b -1 =12时，等号成立，所以ab -b 2-a +b =a -b ⋅b -1 ≤116，故ab -b 2-a +b 的最大值为116．故选：BD .12.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)(多选)在下列函数中，最小值是4的是()A.y =x +4xB.y =x +5x +1x >0 C.y =x sin +4xsin ，x ∈0,π2D.y =4x +41-x【答案】BD【解析】对于A ，当x >0时，y =x +4x ≥2x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x =2时取等号；当x <0时，y =x +4x =--x +-4x ≤-2x ⋅4x =-4，当且仅当-x =-4x ，即x =-2时取等号，所以y ∈-∞,-4 ⋃4,+∞ ，A 错误；对于B ，y =x +5x +1=x +1+4x +1=x +1+4x +1，因为x >0，所以x +1>1，x +1+4x +1≥2x +1⋅4x +1=4，当且仅当x +1=4x +1，即x =3时取等号，所以y =x +5x +1x >0 的最小值为4，B 正确；对于C ，因为x ∈0,π2，所以x sin ∈0,1 ，由对勾函数性质可知：y =x sin +4x sin ,x ∈5,+∞ ，C 错误；对于D ，4x >0，y =4x +41-x =4x +44x ≥24x ×44x =4，当且仅当4x =44x ，即x =12时取等号，所以y =4x +41-x 的最小值为4，D 正确.故选：BD13.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)已知正实数x ，y 满足4x +7y =4，则2x +3y+12x +y的最小值为______.【答案】94【解析】因为4x +7y =4，所以2x +3y +12x +y =142x +3y +2x +y 2x +3y +12x +y ，所以2x +3y +12x +y =144+2x +3y 2x +y +22x +y x +3y +1，因为x ,y 为正实数，所以2x +3y 2x +y >0,22x +yx +3y>0，所以2x +3y 2x +y +22x +y x +3y≥22x +3y 2x +y ⋅22x +yx +3y =4，当且仅当x +3y =2x +y 4x +7y =4时等号成立，即x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y ≥144+4+1 =94，当且仅当x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y 的最小值为94.14.(2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习)若a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，则a +b2-a 2b的最大值为___________.【答案】2【解析】由题知，a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，即b 2=a 2+1，所以a +b2-a 2b =a +1b ，当a =0时，b 2=1，即b =±1，此时a +1b =±1，所以a +b 2-a 2b的最大值为1，当a ≠0时，a +1b2=a 2+2a +1b 2=1+2a a 2+1≤1+2a 2a =2，当且仅当a =1时取等号，此时-2≤a +1b ≤2；所以a +a 2-b 2b 的最大值为2.综上，a +a 2-b 2b的最大值为2.15.(2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)已知正数x ，y 满足83x 2+2xy +3xy +2y 2=1，则xy的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由83x 2+2xy +3xy +2y 2=1可得8xy +2y 2 +33x 2+2xy 3x 2+2xy xy +2y 2=1，即16y 2+9x 2+14xy =3x 3y +8x 2y 2+4xy 3=xy 4y 2+3x 2+8xy所以16y 2+9x 2+14xy 4y 2+3x 2+8xy =xy =16y 2x2+9+14y x 4y 2x2+3+8y x ；又因为x ，y 均是正数，令y x =t ∈0,+∞ ，则xy =f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3所以， f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3=4-18t +34t 2+8t +3=4-14t 2+8t +318t +3令 g t =4t 2+8t +318t +3，则g t =29t +1127+16918t +3=29t +16 +16918t +3+1027≥229t +16 ×16918t +3+1027=1827当且仅当29t +16 =16918t +3，即t =12时，等号成立；所以f t =4-14t 2+8t +318t +3≥4-11827=4518=52所以f t 的最小值为f t min =52;即当t =y x =12,x =2y =5时，即x =5,y =52时，等号成立.16.(2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习)已知正实数a ,b ,c 满足a 2+ab +b 2-12c 2=0，则当a +bx取得最大值时，a -b 2+c 的最大值为______.【答案】916【解析】由a 2+ab +b 2-12c 2=0，可得12c 2=a +b 2-ab ≥a +b 2-a +b 22=34a +b 2，即a +bc≤4，当且仅当a =b 时，等号成立，所以当a +b c 取得最大值时，a =b ，c =a +b 4=a 2，所以a -b 2+c =32a -a 2=-a -342+916，故当a =34,b =34,c =38时，a -b 2+c 取最大值916.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》技巧及练习题附答案
新高中数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.4．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得()22m n m nm n m +--≤=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.5．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B 45C 5D 25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）A 85B ．8C 165D ．163【答案】D 【解析】 【分析】222424512x y x y ----=+222412x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】因为222424512x y x y ----=+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y --=5点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+， 所以24x y --1653d =. 故选：D. 【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.8．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ． 6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ()122152522333n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.12．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．13．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ）A ．B ．(4,C ．4+D ．(4+【答案】C 【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.15．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】 【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）A．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．[)1,+∞ C．)+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OMy k k k x k k +∴===+≥=k =时取等号）， 即直线OM斜率的取值范围为)+∞. 故选：C . 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.17．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.18．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b > B ．336a b +> C ．133ab a b ++> D ．b a a b >【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立. 【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以23323323236a b a b a b ab++>=>>，综上选B. 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.19．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.20．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。
2021年高考数学高分套路 基本不等式(解析版)
mn
2
3．已知
a
1, b
0, a
b
2
，则
a
1 1
1 2b
的最小值为（
）
A． 3 2 2
B． 3 2 42
C． 3 2 2
D． 1 2 23
【答案】A
【解析】由题意知 a 1,b 0, a b 2 ，可得： (a 1) b 1, a 1 0 ，
则
a
1 1
1 2b
[(a
1)
b](
∴ ＋ ＝ [(x＋2)＋(y＋1)] x＋2 y＋1 ＝ y＋1 x＋2 ≥
x＋2 y＋1 4
4
4
x＋2 4y＋1
·
9
y＋1 x＋2 ＝ ，
4
41
2
＋
9
当且仅当 x＝2y＝ 时， x＋2 y＋1 ＝ min .
3
4
【套路总结】 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，或构造不等式 求解．
2 的最大值为 .
4
2
1
(2)因为 x<5，所以 5－4x>0，则 f(x)＝4x－2＋
1
5－4x＋
＝－
5－4x ＋3
4
4x－5
1
1
≤－2 （5－4x）· ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，等号成立.
5－4x
5－4x
1 故 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为 1.
4x－5 x2＋2
1
1
【解析】 x(4－3x)＝ ·(3x)(4－3x)≤ ·
2
2＝4，
3
3
3
2021届高考数学复习压轴题训练基本不等式含解析
基本不等式一、单选题解：（法一）11112x x y +=++可变形为311332x x y+=++， 所以11313132(42)[(33)(2)][(33)(2)]()22223322x y x y x x y x x y x x y +=+=+++-=++++-++ 13(2)333131[4](4223322222x y x x x y ++=++-+-=++，当且仅当233x y x +=+即x =，12y =- （法二）原式可得212x x y x+-=，则2131131122222222222x x x y x x x x x +-+=+=++⨯=，当且仅当3122x x=，即x ==”故选：C ．解：a ，b R ∈，2a b +=． 则2222222112111()a b a b a b ab +++=+++++ 22222()226242(1)1()2()52()(1)4a b ab ab ab a b ab ab ab ab ab +-+---===++-+-+-+，令21(2)1(1)0t ab a a a =-=--=--， 则2242(1)42(1)44ab tab t ---=-++，令42(4)t s s -=，即42st -=， 可得2242432(4)4844ts s t s s -==-++-+， 由3232282s s s s+=当且仅当s =2t =-可得44328288s s-+- 则221111a b +++， 故选：C ．解：设2x s +=，4y t +=，则67s t x y +=++=，即7s t +=，且1x y +=． 则222222(2)(4)448164164824x y s t s s t t s t x y s t s t s t---+-++=+=+=+-++-++ 41641641641612127125s t s t s t s t s t s t=+++-=+++-=++-=+- (7s t +=41611641164151164151)5(416)5()2777777s t s t s t s t t s t s t s +-=+++-=+--=， 当且仅当164s t t s =时，即73s =，143t =时，等号成立， 故选：B ．解：2m n +=，0m >，0n >， (1)(2)5m n ∴+++=，即(1)(2)15m n +++=，∴23(1)1(2)11111121212m n m n m n m n m n +++++++=+=+++++++++ 11(1)(2)2()125m n m n +++=++⨯++ 21212()5512n m m n++=+++++ 1212112112214()551255555n m m n ++=+++⨯=+=++， 当且仅当2112n m m n ++=++，即3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立， ∴当3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2312m n m n +++++取得最小值145． 故选：B ．的最小值为( ) 解：224240a ab b c -+-=， ∴2215()4416c b a b =-+，由柯西不等式得，222222156[()][2][2()]|2|416415b ba b a b a b-++-=+故当|2|a b+最大时，有4462ba-=，32a b∴=，210c b=，∴22234534511211()(2)2310222a b c b b b b bb-+=-+=-=--，12b=时，取得最小值为2-．故选：C．A．2 B．4 C．6 D．16 解：令2x b=-，2y a=-，则原式2222(2)(2)(2)(2)2y x y xxy x y++++=+=(2xy+(22216xy=．当且仅当2x y==时取等号．故选：D．的最小值为()解：直线l 的方程为235x y +=，点(,)P a b 在l 上位于第一象限内的点， 可得235a b +=，a ，0b >，可得4106a b =-，(35)b <， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 116[(116)(96)]()2011696b b b b =-+++-+ 1966(116)726(7)201169620b b b b +-+=++-+，当且仅当966(116)11696b b b b+-=-+时，即b =，a =， 故选：C ．解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121x xx y x y +=+++， 122242x x x xx x x x +-=+=+--， 12115()2442424x x x x -=+++⨯=-， 当且仅当242x xx x-=-即23x =时取等号； ②当0x <时，1||1()2||121x xx y x y +=-+++， 121213()()1224244244x x x x x x x x x x x x -+---=-+=+=-++-+=-----，当且仅当242x xx x--=--即2x =-时取等号． 综上可得，最小值34故选：C ．最大值为( )解：由22290a b b c -+-=，可得2229c a ab b =-+， ∴222211119922949222ab ab a b a b ab c a ab ba bb a abb a====+--++--， 当且仅当9a bb a=时，即当3a b =时，等号成立， 此时2222229(3)23912c a ab b b b b b b =-+=-⨯⨯+=，所以，22231123112121(1)11312a b c b b b b b b+-=+-=-+=--+， 当且仅当1b =时，等号成立，所以，3112a b c+-的最大值为1． 故选：C ．10．若0a >，0b >，1ab a b =++，则2a b +的最小值为( )解：由1ab a b =++，可得(1)1a b b -=+，得11b a b +=-，由于0a >，0b >，则1b >， 所以，1(1)2222222212(1)322(3711111b b a b b b b b b b b b b +-++=+=+=++=+-+=-----，当且仅当22(1)11b b b ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩时，即当2b =时，等号成立，因此，2a b +的最小值为7，故选：D ．解法一：0a >，1b >-，且1a b +=，∴2221a b a b +++ 22111b a a b -+=+++ 2111a b a b =++-++ 212f a a=+=-（a ），02a <<， f ∴（a ）121142[(2)]()(21)2222a aa a a a a a -=+-+=+++--142(3)22a aa a -=++- 14(23)2a -=． 当且仅当422a aa a-=-时取等号， 故2221a b a b +++． 故选：A ．解法二：0a >，1b >-，且1a b +=，∴2221a b a b +++ 22111b a a b -+=+++ 2111a b a b =++-++ 212f a a=+=-（a ），02a <<，f ∴'（a ）2221(2)a a =-+=-令f '（a ）0>，得42a -<，f （a ）单调递增，令f '（a ）0<，得04a <<-f （a ）单调递减，∴当且仅当4a =-f （a ）取得极小值即最小值，(4f -==．ξ 故选：A ．解：根据题意，148x y x y +=++，则2144()(8)()58()x y x y x y x y x y y x+=+++=++++， 变形可得：24()8()5x yx y x y y x+-+-=+， 又由4424x y x y y x y x+⨯，则有：2()8()90x y x y +-+-，设t x y =+，又由x ，0y >，则0t >，则有2890t t --， 解可得9t 或1t -， 又由0t >，则9t ， 则x y +的最小值为9； 故选：B ．)A ．2B ．4C ．6D ．8解：m ，(0,)n ∈+∞．若2m m n =+．则201n m n =>-，解得1n >． 则22222224222(1)242222()2(1)(1)m n n n n n n f n m n n n n n --+--=+--=+=--． 322334(332)4(2)(1)()(1)(1)n n n n n n n n f n n n -+---+'==--，令()0f n '，解得2n ，可得2n =，4m =时，()f n 取得最小值时，6m n +=． 故选：C ．14．已知a ，(0,1)b ∈，不等式20ax x b ++对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使解：由题意，不等式20ax x b ++对于一切实数x 恒成立，可得△0，即140ab -；存在0x R ∈，使2000bx x a ++=成立，则△0，即140ab -，41ab ∴=，消去b ，即1218422111414441a y ab a a a a =+=+=++------ 4121(4441)(4144)2443413a a a a a a =-+-⨯+-+-⨯+-- 14(41)2(44)142(6)242843444133a a a a --=++++⨯=+--． 当且仅当4(41)2(44)4441a a a a --=--取等号． 故选：B ．15．设0a b c >>>，则2244269()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是( ) A ．4 B ．5C ．25D ．8解：2244269()a ac c ab a a b ++-+- 2244(3)()a c a ab ab ab a a b =-+-+++- 244(3)()()a c ab a a b ab a a b =-+++-+- 0448++=，当且仅当30a c -=，2ab =，()2a a b -=时等号成立， 故选：D ．16．已知实数a ，b ，c 满足222231a b c ++=，则2a b +的最大值是( )A ．3B ．2C ．5D ．3解：实数a ，b ，c 满足222231a b c ++=，22021a b ∴+，令cos a r θ=，sin b θ=，[0θ∈，2)π，01r ．则2cos sin )sin()3a b r θθθθθϕ+=+=++，∴故选：A ． 二、多选题17．在ABC ∆中，三边长分别为a ，b ，c ，且4abc =，则下列结论正确的是( ) A ．224a b ab <+B ．4ab a b ++>C ．224a b c ++>D ．4a b c ++<解：对于A ，224a b ab <+，即224a b ab -<，也就是()4ab a b abc -<=，ABC ∆中，0ab >，a b c -<，则()ab a b abc -<成立，故A 正确；对于B ，2221)11)1ab a b ab ab+++-=+-，当a b =时，不等式取“=”，此时244c ab a ==，a b c +>，即242a a>，得a >，22222ab a b ab a a a ++=+=++>+3232)(1.25) 2.5 4.06254>+=+=>，故B 正确；对于C ，222224a b c a bc abc +++=>，故C 正确；对于D ，边长为1，2，2的三角形，满足4abc =，当54a b c ++=>，故D 错误． 故选：ABC ．A ．7B ．8C ．9D ．10解：因为a ，0b >且21a b +=， 所以193a b a b +++29(2)3a b a b a b a b ++=+++6(3)33a b a a b ba b a b++++=+++ 3163a b a b a b =+++++373a ba b a b =++++2222343734a ab b a ab b ++=+++ 22222342734a ab b b a ab b +++=+++2222834b a ab b =+++ 因为0a >，0b >，所以2222034b a ab b >++，所以22228834b a ab b +>++，因为2222222222222(34)6868881010343434b a ab b a ab a aba ab b a ab b a ab b++--++=+=-<++++++， 综上，198103a b a b<+<++， 所以193a b a b+++的值不可能是7，8，10． 故选：ABD ．19．已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则下列结论正确的是( ) A ．1a b c ++= B ．1ab bc ca ++< C ．c 的最大值为1D ．a 的最小值为1-解：由2221a b c ++=，可得：2221b c a +=-， 即22()21b c bc a +-=-．由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得(1)(1)a bc b c abc ---+=， 化为：1a b c ab ac bc ++=+++，(1)(1)bc a b c ∴=-+-，代入22()2(1)(1)1b c a b c a +--+-=-，即22()2(1)()2(1)10b c a b c a a +--++--+=即22()2(1)()(1)0b c a b c a ++-++-=2(1)0b c a ∴++-=，1a b c ∴++=，1b c a ∴+=-，222()2b c b c+∴+， 22(1)12a a-∴-化为：23210a a --，解得113a -．a ∴的最小值为13-，同理可得c 的最大值为1，1a b c ++=，1a b c ab ac bc ++=+++，0ab ac bc ∴++=，故选项ABC 正确，D 错误， 故选：ABC ．20．已知a ，b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有( )14ab 2ab32ab2b解：对于A ，a ，b R +∈且1a b +=，2()144a b ab +∴=，当且仅当12a b ==时，等号成立，即选项A 正确；对于B ，令t ab =，则104t<， 11y ab t ab t ∴=+=+在(0，1]4上单调递减， 111721444y∴+=>，即选项B 错误； 对于C ，1a b +=，∴111212122()()21323a b b a b a b a ab a ab a b a b a b a ++=+=+=+⋅+=+++++当且仅当2b aa b=，即a 时，等号成立， ∴11322a ab++，即选项C 错误；对于D ，21(11224a b a b ab +=++=++⨯=，∴2b ，即选项D 正确．故选：AD ． 三、填空题解：2=，0a b ∴+>且22()a b +=，即0a b +>且2()84()11a b a b b +=++++，211112a b a b a b +++++=++，当且仅当a b =时取“= “，2()84()4(2)a b a b a b ∴++++++，当且仅当a b =时取“= “，即2()8()160a b a b +-+-，解得：442a b ++，当且仅当2a b ==+= “，又8110a b ++，2()84()11a b a b b +=++++，2()84()a b a b ∴+++，当11a b =-⎧⎨>⎩或11b a =-⎧⎨>⎩时取“= “，解得：223a b ++，当且仅当13a b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩13b a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩= “，()4max a b ∴+=+()2min a b +=+故答案为：4+2+解：2bca b c a++=， 22a ab ac bc ∴++=，22a abc b a+∴=-， 0c >，20b a ∴->，解法一：设2b a t -=，则0t >，2b t a =+；∴23939393939333(2)32373373(2)27aa t a a a t ab ct at a a t ta t====+++⨯++++++，当且仅当t a =时成立； ∴393ab c+的最大值为3． 解法二：由20b a ->，得2ba>， ∴393939393331232a b c b a b b b c b a a a b a ab a a===+++++-+-；设bx a=，则2x >， 所以1333()3313(2)723(2)767132222x f x x x x x x x x x +=+=++=-++-+=+=----， 当且仅当3x =时取等号，∴39393313a b c =+，即393ab c+的最大值为3． 故答案为：3．0)a b ，则a 解：若2312(0)ab a b +=，则0a ，0b ，有基本不等式1223223a b a b =+，（当且仅当3a =，2b =时“=”成立），得06ab ， 又由22(23)12a b +=，得224914412a b ab +=-，令229494y a b =+++， 则222222222229(4)4(9)497212(18)(9)(4)4936(18)24(18)288b a a b ab y a b a b a b ab ab +++++-===+++++---+， 令18t ab =-，则，121818ab -，21224288ty t t =-+，(1218)t ，则22212(288)(24288)t y t t -'=-+，令0y '=，得t =t =-（舍去），∴当[12t ∈，时，0y '>，当t ∈18]，0y '<∴函数21224288ty t t =-+，在区间当[12，上单调递增，在区间当，18]上单调递减，∴当t =y ， 又因为，当12t =时，1y =，当18t =时，65y =，615<， 所以，y 的最小值为：1故答案为：1．13b a，则解：由13b ，13a ，可得13ab ，由13b，13a ，b a ，11a ，1b a ，1ba， 则2211211a b a b a bab b a ab b a+-=+--=，当且仅当1a b ==取得最小值1；设f （a ）221a b =+-，13b a，可得f （a ）的对称轴为a =，b <，f （a ）在3b a 递增，1时，可得f 取得最大值；当13a ，且1<时，由f （1）22(32)(3220f b b b b -=---+=-<-<，则f 取得最大值232b b -+，由13b a ，可得1b =时，g （b ）取得最大值0，则f （a ）0，所以2213a b ab+-，综上可得，221a b ab+-的取值范围是[1．故答案为：[1．解：0x >，0y >，则3322224224628249109xy xy x y xy x y x y x x y y ++=++++22222338()8()39()410x y x y y x y x x y x y y x y x++==++++，可令3x yt y x=+，可得23t ， 则222226288494xy xy t x y x y t t t+==++++，由4y t t=+在23t 递增，可得44232t t ++=， 可得838483t t⨯=+当且仅当x =时，上式取得等号， 则2222629xy xyx y x y +++解：令3b c x +=，84c a y +=，32a b z +=，则111386a x y z =-++，1312164b x y z =-+，11161612c x y z =+-，所以代数式961936113147()()()222384324882164264848248a b c y x y z x z b c c a a b x y z y z x ++=-++++++-+⨯+⨯+⨯=+++．当且仅当::1:2:3x y z =，即::10:21:1a b c =时，等号成立．故答案为：4748．解：根据题意，21(2)(2)55x x y x y =-++，21(2)(2)55y x y x y =+--，则222222212111[(2)(2)][(2)(2)](2)(2)555555x y x y x y x y x y x y x y +=-++++--=-++，又由221691(2)(2)x y x y +=-+，则22222222221169116(2)9(2)149[(2)(2)]()[25](255(2)(2)5(2)(2)55x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+=-++⨯+=⨯++⨯+=-+-+，当且仅当222216(2)9(2)(2)(2)x y x y x y x y +-=-+时等号成立，即22x y +的最小值为495； 故答案为：495．。
2021版江苏高考数学复习讲义：基本不等式含答案
25[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤错误!错误!＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y max＝25.]考点1利用基本不等式求最值配凑法求最值若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________． 4 [因为ab ＞0，所以a4＋4b4＋1ab ≥24a4b4＋1ab ＝4a2b2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎨⎧a2＝2b2，ab ＝12时取等号，故a4＋4b4＋1ab的最小值是4.]考点2 利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．T(300)＝60×300＋15 000 000300＝68 000.(2)因为年存储成本费T(x)＝60x＋15 000 000x，x＞0，所以T(x)＝60x＋15 000 000x≥260×15 000 000＝60 000，当且仅当60x＝15 000 000x，即x＝500时，取等号．所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元．考点3基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用的2类问题(1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为解题工具，求解最值或取值范围．(2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．。
专题12多次使用基本不等式(压轴题解法分析与强化训练)
专题12 多次使用基本不等式[真题]例1 （2020·江苏考试研究会·14）设41(0,0)x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++- 的最小值为 . 【分析】所求22221x s ys xy st t ++-变形为2221x y s xy st t ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭.三次使用基本不等式，第一次，在条件41(0,0)x y x y +=>>下，求2x y xy+最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件0s t >>下，求2st t -最小值，为达到消t 的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式()()222+==24t s t s st t t s t -⎡⎤--≤⎢⎥⎣⎦；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得.【解析】由题x +4y =1(x ＞0，y ＞0)，x 2+y xy =x 2+(x +4y )y xy =x y +1+4y x ≥4+1=5，当且仅当x =13，y =16时，“=”成立． 因为0＜t ＜s ，则1ts －t 2=4s 2－(s －2t )2≥4s 2，当且仅当s =2t 时，“=”成立． 于是x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2≥5s 2+4s 2≥45， 当且仅当x =13，y =16，s =255，t =55时，“=”成立．所以x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2的最小值为45． 点评:多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.例2 （2020·徐州打靶卷·14）已知正数a ,b 满足ab a+2b ≥1，则(a +1)2+(b +2)2的最小值是 ． 【答案】22+12√2【解析】由平方均值不等式得√(a+1)2+(b+2)22≥(a+1)+(b+2)2，当且仅当a =b +1时，“=”成立由ab a+2b ≥1变形得2a +1b ≤1所以a +b ≥(a +b )(2a +1b )=3+(2b a +ab )≥3+2√2 ，当且仅当a =√2b ，即a =2+√2 ，b =1+√2时，“=”成立将a =2+√2 ，b =1+√2代入得(a +1)2+(b +2)2=22+12√2.所以(a +1)2+(b +2)2的最小值是22+12√2．例3 已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，那么ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________． 【答案】10＋5【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋1ab －12＝a b ＋(a ＋b )24ab －12＝a b ＋a 2＋2ab ＋b 24ab －12＝5a 4b ＋b 4a ≥52，当且仅当b ＝5a 时等号成立．又因为c ＞2，由不等式的性质可得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2≥52c ＋5c －2. 又因为52c ＋5c －2＝52(c －2)＋5c －2＋5≥10＋5，当且仅当c ＝2＋2时等号成立， 所以ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为10＋ 5. 点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.[强化训练]1.（2020·扬州五月调研·12）已知x ＞0，y ＞0，则16y x x xy++的最小值为 ． 2.已知0a b >>，则264()a b a b +-的最小值为 ．3.（2019·苏北三市第一学期期末联考·14）已知0x >，0y >，0z >，且6x z ++=，则323x y z ++的最小值为 ．4. （2020·海安中学12月考·11） 设正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 5.（2020·镇江八校第二次联考·13） 已知正数,a b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为 ．6. 若0x y >>323xy y +-的最小值为 ▲ ． 【答案或提示】1.【答案】【解析】所求变形为16116=()y x x y x xy x y++++ ∵y ＞0∴168y y +≥=，当且仅当4y =时，等号成立， ∵x ＞0，168y y+≥∴168y x x x xy x ++≥+≥=x = ∴16y x x xy ++的最小值为，当且仅当x =，4y =成立． 2.【答案】32【解析】∵22()()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时，等号成立，∴222646432()4a a ab a b +≥+≥=-，当且仅当4a =时，等号成立， ∴264()a b a b +-的最小值为32，当且仅当4a =，2b =成立． 3. 【答案】374【解析】先减元323x y z ++＝323(6)x y x ++-＝32453()24x x y -+-+ 令3()3f x x x =-，245()(4g y y =+， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，0x >，()f x 在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，所以，min ()f x ＝f （1）＝－2当y时，()g y 有最小值：min 45()4g y = 所以323x y z ++的最小值为－2＋454＝374.4.1．【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，化为11x y x y xy y x +-==+， 为求x 的最小值，将含“x ”项用“y ”的函数表示得：11x y x y x xy y +-==+∵1y y +≥（当且仅当1y =，“=”成立） ∴12x x -≥，解得21x +．∴实数x 1．5.【答案】2【解析】将已知条件2(2)4a b a b +=视为关于b 的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.由2(2)4a b a b +=解得=b a -+∴2a b +=，当且仅当a =. 6. 【答案】10【提示】4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x ≥+，再利用导数知识解决.。
专题12 多次使用基本不等式-2021年高考数学复习压轴题解法分析与强化训练附真题及解析
专题12 多次使用基本不等式[真题再现]例1 （2020·江苏考试研究会·14）设41(0,0)x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++- 的最小值为 .【答案】【分析】所求22221x s ys xy st t ++-变形为2221x y s xy st t ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭.三次使用基本不等式，第一次，在条件41(0,0)x y x y +=>>下，求2x yxy+最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件0s t >>下，求2st t -最小值，为达到消t 的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式()()222+==24t s t s st t t s t -⎡⎤--≤⎢⎥⎣⎦；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得. 【解析】由题x +4y =1(x ＞0，y ＞0)，x 2+y xy =x 2+(x +4y )y xy =x y +1+4y x ≥4+1=5，当且仅当x =13，y =16时，“=”成立． 因为0＜t ＜s ，则1ts －t 2=4s 2－(s －2t )2≥4s 2，当且仅当s =2t 时，“=”成立．于是x 2s 2+ys 2xy +1ts －t2≥5s 2+4s 2≥45， 当且仅当x =13，y =16，s =255，t =55时，“=”成立．所以x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2的最小值为45．点评:多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.例2 （2020·徐州打靶卷·14）已知正数a ,b 满足ab a+2b≥1，则(a +1)2+(b +2)2的最小值是 ． 【答案】22+12√2【解析】由平方均值不等式得√(a+1)2+(b+2)22≥(a+1)+(b+2)2，当且仅当a =b +1时，“=”成立由aba+2b ≥1变形得2a +1b ≤1所以a +b ≥(a +b )(2a +1b )=3+(2ba +ab )≥3+2√2 ，当且仅当a =√2b ，即 a =2+√2 ，b =1+√2时，“=”成立将a =2+√2 ，b =1+√2代入得(a +1)2+(b +2)2=22+12√2. 所以(a +1)2+(b +2)2的最小值是22+12√2． 例3已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，那么ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．【答案】10＋5【分析】a 、b 间有制约条件“a ＋b ＝2”，“c ”为独立变量，故将所求变形为ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2，先求出a b ＋1ab的最小值即可. 【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋1ab －12＝a b ＋(a ＋b )24ab －12＝a b ＋a 2＋2ab ＋b 24ab －12＝5a 4b ＋b 4a ≥52，当且仅当b ＝5a 时等号成立．又因为c ＞2，由不等式的性质可得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2≥52c ＋5c －2.又因为52c ＋5c －2＝52(c －2)＋5c －2＋5≥10＋5，当且仅当c ＝2＋2时等号成立， 所以ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为10＋ 5.点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.[强化训练]1.（2020·扬州五月调研·12）已知x ＞0，y ＞0，则16y x x xy++的最小值为 ． 2.已知0a b >>，则264()a b a b +-的最小值为 ．3.（2019·苏北三市第一学期期末联考·14）已知0x >，0y >，0z >，且6x z ++=，则323x y z ++的最小值为 ．4. （2020·海安中学12月考·11） 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 5.（2020·镇江八校第二次联考·13） 已知正数,a b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为 ． 6. 若0x y >>323xy y +-的最小值为 ▲ ．【答案或提示】1.【答案】【解析】所求变形为16116=()y x x y x xy x y++++ ∵y ＞0∴168y y +≥=，当且仅当4y =时，等号成立， ∵x ＞0，168y y+≥∴168y x x x xy x ++≥+≥=x = ∴16y x x xy++的最小值为，当且仅当x =，4y =成立． 2.【答案】32【解析】∵22()()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时，等号成立，∴222646432()4a a a b a b +≥+≥=-，当且仅当4a =时，等号成立，∴264()a b a b +-的最小值为32，当且仅当4a =，2b =成立．3. 【答案】374【解析】先减元323x y z ++＝323(6)x y x ++-＝32453(4x x y -+-+令3()3f x x x =-，245()(4g y y =+， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，所以，min ()f x ＝f （1）＝－2当y 时，()g y 有最小值：min 45()4g y = 所以323x y z ++的最小值为－2＋454＝374.4.1．【解析】由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，化为11x y x y xy y x +-==+，为求x 的最小值，将含“x ”项用“y ”的函数表示得：11x y x y x xy y+-==+∵1y y +≥（当且仅当1y =，“=”成立） ∴12x x-≥，解得21x +．∴实数x 1． 5.【答案】2【解析】将已知条件2(2)4a b a b +=视为关于b 的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.由2(2)4a b a b +=解得=b a -+∴2a b +=，当且仅当a =.6. 【答案】10【提示】4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x≥+，再利用导数知识解决.。
基本不等式强化练习50练(答案)
基本不等式（答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ．【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______.【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 .【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ．【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________ 【答案】8【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 . 【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 . 【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______. 【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221ab a +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ． 【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________.【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________．【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______. 【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________.【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 .【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ） A. 47B. 2233C. 2D.32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22ba ba +-的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________.【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯babbaa， 则ba 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练 利用同构解决双参数恒成立问题(含答案与解析)
专题09 利用同构解决双参数恒成立问题[高考真题]例1 （2020·山东·21）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+，若()1f x ≥，求a 的取值范围.【解析】将()1f x ≥按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形： 由1()e ln ln 1x f x a x a -=-+≥移项得：1e ln ln 1x a a x -+≥⇔+即ln 1e ln ln 1a x a x +-+≥+，两边同时加（1x -）得ln 1e ln 1ln a x x a x x +-++-≥+ 即()ln 1ln e ln 1ln a x x x a x e +-++-≥+设()e x g x x =+，则()1e 0x g x '=+>，所以()g x 单增所以ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 10x x a -+-≥设()ln ln 1h x x x a =-+-，则1()1h x x'=-，所以()h x 在(0,1)单减，在(1,)+∞单增， 所以min ()(1)ln 10h x h a ==-≥，所以1a ≥.点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．例2 对于任意实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a -+≥恒成立，求a 的取值范围.解法一：将22ln ln 0x ae x a -+≥变形为22ln x x ae a ≥，212ln x x e a a≥（说明：将参数移至一边）两边同时乘x 得22ln x x x xe a a≥（说明：目的是凑右边的结构） 即ln 22ln ln x xa x x x xe e a a a ≥=（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#） 设()x g x xe =，则()()10x g x x e '=+>，()g x 单增故由（#）得2ln x x a≥，ln ln 2a x x ≥- 再令()ln 2h x x x =-，则1()2h x x '=-，易知当max 1()()ln 212h x h ==-- 所以ln ln21a ≥--，即12a e≥. 解法二：将22ln ln 0x ae x a -+≥变形为ln 22ln ln 0a x e x a +-+≥，即ln 22ln 2ln 2a x e a x ++≥ ln 22ln 22ln 22ln 2ln 2a x x e x a x x e x +++≥+=+设()x g x e x =+，易知()g x 单增故2ln2ln2x a x +≥（以下同解法一，从略）.点评：（1） 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：ln x x e =、ln x x x xe e +=、22ln x x x x e e +=、ln x x x e e x -+=、ln ln ln x a ax +=、ln 1ln x x e-=，有时也需要对两边同时加、乘某式等.（2） ln x x 与x xe 为常见同构式：ln ln ln x x x xe =，ln x x x xe e e =；ln x x +与x x e +为常见同构式：ln ln ln x x x x e +=+，ln x x x x e e e +=+.[强化训练]1. 对于任意实数0x >，不等式ln 0xe x λλ-≥恒成立，则λ的最大值是_____.【答案】e2. 关于x 的不等式1ln (1)x xe k x k x +≥++对任意0x >（其中0k >）恒成立，则k 的取值范围是_____.【答案】(]0,e3. 关于x 的不等式23(3)2ln 1x x e k x x ≥+++对任意0x >恒成立，则k 的取值范围是_____.【答案】(],0-∞。
专题12 多次使用基本不等式-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题12 多次使用基本不等式[真题再现]例1 （2020·江苏考试研究会·14）设41(0,0)x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++- 的最小值为 . 【答案】45【分析】所求22221x s ys xy st t ++-变形为2221x y s xy st t ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭.三次使用基本不等式，第一次，在条件41(0,0)x y x y +=>>下，求2x yxy+最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件0s t >>下，求2st t -最小值，为达到消t 的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式()()222+==24t s t s st t t s t -⎡⎤--≤⎢⎥⎣⎦；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得. 【解析】由题x +4y =1(x ＞0，y ＞0)，x 2+y xy =x 2+(x +4y )y xy =x y +1+4y x ≥4+1=5，当且仅当x =13，y =16时，“=”成立． 因为0＜t ＜s ，则1ts －t 2=4s 2－(s －2t )2≥4s 2，当且仅当s =2t 时，“=”成立． 于是x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2≥5s 2+4s 2≥45， 当且仅当x =13，y =16，s =255，t =55时，“=”成立．所以x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2的最小值为45．点评:多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.例2 （2020·徐州打靶卷·14）已知正数a ,b 满足aba+2b ≥1，则(a +1)2+(b +2)2的最小值是 ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2【答案】22+12√2【解析】由平方均值不等式得√(a+1)2+(b+2)22≥(a+1)+(b+2)2，当且仅当a =b +1时，“=”成立由aba+2b ≥1变形得2a +1b ≤1所以a +b ≥(a +b )(2a +1b )=3+(2ba +ab )≥3+2√2 ，当且仅当a =√2b ，即a =2+√2 ，b =1+√2时，“=”成立将a =2+√2 ，b =1+√2代入得(a +1)2+(b +2)2=22+12√2. 所以(a +1)2+(b +2)2的最小值是22+12√2． 例3已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，那么ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．【答案】10＋5【分析】a 、b 间有制约条件“a ＋b ＝2”，“c ”为独立变量，故将所求变形为ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2，先求出a b ＋1ab的最小值即可. 【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋1ab －12＝a b ＋(a ＋b )24ab －12＝a b ＋a 2＋2ab ＋b 24ab －12＝5a 4b ＋b 4a ≥52，当且仅当b ＝5a 时等号成立．又因为c ＞2，由不等式的性质可得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2≥52c ＋5c －2.又因为52c ＋5c －2＝52(c －2)＋5c －2＋5≥10＋5，当且仅当c ＝2＋2时等号成立， 所以ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为10＋ 5.点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.[强化训练]1.（2020·扬州五月调研·12）已知x ＞0，y ＞0，则16y x x xy++的最小值为 ． 2.已知0a b >>，则264()a b a b +-的最小值为 ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33.（2019·苏北三市第一学期期末联考·14）已知0x >，0y >，0z >，且36x z ++=，则323x y z ++的最小值为 ．4. （2020·海安中学12月考·11） 设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 5.（2020·镇江八校第二次联考·13） 已知正数,a b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为 ． 6. 若0x y >>3232x xy y +-的最小值为 ▲ ．【答案或提示】1.【答案】2【解析】所求变形为16116=()y x x y x xy x y++++ ∵y ＞0 ∴161628y y y y+≥⋅=，当且仅当4y =时，等号成立， ∵x ＞0，168y y+≥ ∴1688242y x x x x xy x x++≥+≥⋅=22x = ∴16y x x xy++的最小值为2，当且仅当22x =，4y =成立． 2.【答案】32【解析】∵22()()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时，等号成立，∴22222646446432()4a a a ab a b a ⨯+≥+≥⋅=-，当且仅当4a =时，等号成立，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4∴264()a b a b +-的最小值为32，当且仅当4a =，2b =成立．3. 【答案】374【解析】先减元323x y z ++＝323(63)x y x ++-＝3233453()4x x y -+-+令3()3f x x x =-，23345()(4g y y =+， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，所以，min ()f x ＝f （1）＝－2 当y ＝332时，()g y 有最小值：min 45()4g y = 所以323x y z ++的最小值为－2＋454＝374.4.21．【解析】由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，化为11x y x y xy y x +-==+，为求x 的最小值，将含“x ”项用“y ”的函数表示得：11x y x y x xy y+-==+ ∵112y y y y+≥⋅（当且仅当1y =，“=”成立） ∴12x x-≥，解得21x +．∴实数x 21． 5.【答案】2【解析】将已知条件2(2)4a b a b +=视为关于b 的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.由2(2)4a b a b +=解得24=a b a a+-+∴22244=2a a b a a a++=+，当且仅当2a =.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！56. 【答案】10【提示】4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()2f x x x≥+，再利用导数知识解决.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6。
第03讲-基本不等式-2021年新高考数学一轮专题训练含真题及解析
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔ a＝b＝0，或 a>0，
c>0
Δ<0.
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔ a＝b＝0，或 a<0，
c<0
Δ<0.
三、 经典例题
考点一 不等式的性质
【例 1】 (1)已知 a，b，c 满足 c<b<a，且 ac<0，那么下列选项中一定成立的是( )
a＋b 2 (2)ab≤ 2 (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号.
4.利用均值不等式求最值 已知 x≥0，y≥0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：积定和最小).
(2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是s2(简记：和定积最大). 4
5.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且ຫໍສະໝຸດ 知数的最高次数为 2 的整式不等式叫作一元二次不等式.
6.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根 x1， 有两相等实根 x1＝
x2(x1＜x2)
1.有关分数的性质
(1)若 a>b>0，m>0，则b<b＋m；b>b－m(b－m>0). a a＋m a a－m
(2)若 ab>0，且 a>b⇔1<1. ab
2.b＋a≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号. ab
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》全集汇编附答案
新高考数学《不等式》练习题一、选择题1.已知实数x 0,y 0，则’2x2y4”是xy 1 ”的（）A.充要条件B.必要不充分条件c.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】c【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断【详解】Q2x2y 2、2xy且2x2y4 ,2.2xy4 2x y 2x y 2 ,等号成立的条件是x y,又Q x y 2 xy , x 0,y 02 xy 2 xy 1 ,等号成立的条件是x y,2x 2y 4 xy1,反过来，当x 2,y 1-时，3此时xy1,但2x2y4，不成立,2x2y4 ”是“xy 1 ”的充分不必要条件•故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型x 3y 6 2.若x, y满足约束条件x y 6y 1, A. 4 B. 0【答案】D【解析】0,0,则z x y的最小值为（）C. 2D. 4【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解. 【详解】x 3y 6 0由题意，画出约束条件x y 6 0所表示的可行域，如图所示,y 1目标函数z x y，可化为直线y x z当直线y x z经过A时，z取得最小值,x 3y 6 0 ..-..又由，解得A( 3,1),y 1所以目标函数的最小值为z min 3 1 4.本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力.3.关于x的不等式ax b0的解集是(1,)，则关于x的不等式(ax b)(x 3)0的解集是( )A.(,1)U(3,)B. ( 1,3)C. (1,3)D. ( ,1)U(3,)【答案】A【解析】【分析】由ax b0的解集，可知a 0及-a1，进而可求出方程ax b x 3 0的解, 从而可求出ax b x30的解集•【详解】由ax b 0的解集为(1, +?)，可知a 0且b1,令ax b x 3 0，解得为 1 , X2 3,因为a 0，所以ax b x 3 0的解集为，1 U 3,故选：A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题•x 2y 3 04.已知x, y 满足约束条件 2x 3y 4 0，若目标函数z mx ny 2的最大值为1y 01 1（其中m 0,n 0），则的最小值为（）2m n3A . 3B . 1C. 2D .2【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数 z 的最大值求得 m, n 的关系式m 2n 3，再利用基本不等式1 1求得的最小值.2m n【详解】m 0,n 0,所以基准直线mx ny 0的斜率为负数，故本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数 学思想方法，属于中档题•5.已知点p , Q 分别是抛物线x 2 8y 和圆x 2 （y 2）2 1上的动点，点A （0,4），则画出可行域如下图所示，由于m 2n 21，所以 m 2n 3.1 1 1 1 1c 1 m 2n —35 n m 1 5 m n32n m2m n3 2m n2 1 m n ，当且仅当n m,m n 1时等号成立，所以1 1 的最小值为3m n2m n219 3 3 2 2目标函数在点A 1,2处取得最大值，即业的最小值为()|PQ|【答案】B 【解析】 【分析】当且仅当y o| PA |2所以的最小值为4.|PQ|故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不 等式求最值，属综合中档题•6.已知函数f x log 2x 2 1 x ，若对任意的正数 a,b ，满足3 1f a f 3b 10，则 的最小值为()a bA . 6B . 8C. 12D . 24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得 a 3b 1，最后根据基本不等式求最值•A . 10B . 4c. 2、、3 2D . 4.2 1，用y o 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值 【详解】设出点P 的坐标x o , y o设点P x o ,y o ，因为点P 在抛物线上，所以 2 Xo8y o y oPQ因为点A (o,4)，则|PA |2x o y o 4 28y oy o2y o 16.又知点Q 在圆x 2 (y 2)2 1上，圆心为抛物线的焦点F(0,2),的值最小，则|PQ |的值应最大，即PQmaxPF 1 y o 3.所以| PA||PQ|y 16y o32y o 3 6 y o 325yo3y o 3^6y oy o 253 6 42时等号成立.0,所以定义域为R ,7 .已知 ， 均为锐角，且满足 sin2cos ，则的最大值为（） A .B.-c.—D.—12643【答案】B【解析】【分析】利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan3tan ， 由，均为锐角，则—— -,，要求出 的最大值， 只需求出tan(）的最大值，利用两角差2 2的正切公式，将t a n （ ）表示为t a n 的关系式，结合基本不等式，即可求解【详解】sin由2cos 整理得 sin 2cos sinsin即 sin cos cos sin 2cos sin , 化简得sin cos3cos sin ，贝U tan 3ta n ，tan所以tan tan 2ta n 21 tan tan21 3ta n3ta n ，tanf xf x ，f x 为奇函数， 因为 faf 3b 10，所以f a f 13b ， a 所以3 13 19b aa 3b—6，a b a bab因为 9b a 2、 9b a Q —6，a b * ■ a b所以 3 1 12 （当且仅当a 丄，b 1时,等号成立）a b26log 2、x 2 11 3b ，即 a 3b 1 ,【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题 ，选 C.1也丁二， 【详解】 因为因为flog L X 2「一x ，所以 x 为减函数因为fx ，所以又因为 为锐角，所以tan 0 ,2根据基本不等式 —13tan tan当且仅当tan3时等号成立,3因为，，且函数y tanx 在区间，一 上单调递增,2 2 2 2则 的最大值为-.6故选B【点睛】本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基 本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题&已知不等式 x ax 4 > 0对于任意的x ［1,3］恒成立，则实数a 的取值范围是（）A .( ,5]B . [5,) c.( ,4] D . [4,)【答案】 C【解析】若不等式2 xax 4 > 0对于任意的x［1,3］恒成立,则a4 x对于任意的xx [1,3]恒 成立，T 当x4 [1,3]时，x[4,5] x，二 a 4,即实数 a 的取值范围是（,4］，故选C .【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题•不 等式恒成立问题常见方法：①分离参数a f x 恒成立（a f X max 即可）或a f x恒成立（a f x min 即可）；②数形结合（y f x 图象在y g x 上方即可）；③ 讨论最值f x min 0或f X max 0恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得a 的取值范围的•x y 4 0,9 •若x , y 满足约束条件x 2 0, 且z ax y 的最大值为2a 6，则a 的取值范x y 2 0,围是（）A . [ 1,)B .(71]C.(1,) D . ( , 1)【答案】A 【解析】2 2,3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断 a 的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示•因为z ax y 的最大值为2a 6，所以z ax y 在点A(2,6)处取得最大值，则a 1，即a 1.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.F ，准线为I , A , B 是抛物线上的两个动点，且满ABF 中考点：抛物线的性质. 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物io .抛物线―於筲二①的焦点为足AFB —，设线段AB 的中点3M 在I 上的投影为N ，则MNAR 的最大值是()24【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】B .C.2试题分析：设A,B 在直线I 上的投影分别是A’B ,，则 AF AA , BF BB i ，又 M 是AB 中点，所以MN匚(AA iAB (AF (|AF |ABAFBF )2BF )22BFAF AF BF cosBF (AFAFBFAF BFBF )2AFBF)2BF )2，所以2 3—，所以3MN AB，故选B .BB i )，则，在43，即线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的 转化•象本题弦 AB 的中点M 到准线的距离首先等于 A, B 两点到准线距离之和的一半,然后转化为代B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长 AB 之间可通过余弦定理建立关系.11 •在三角形ABC 中，给出命题P ：ab c 2”命题q ： C — ”则p 是q 的（）3A .充分不必要条件 C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将c 2化为a 2 b 2 2abcosC ，整理后利用基本不等式求得1 2cosC2 ,求出C 范围，即可判断充分性，取 a 4, b 7 , c 6，则可判断必要性不成立，两者 当且仅当a b 时等号成立,1 此时，1 2cos C 2，即 cosC ，解得 C —,23充分性得证;必要性：取a 4 , b 7 , c 6，则cosC 故C ，但ab 28 c 2，故C 推不出ab c 2. 3 3故必要性不成立；故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A【点睛】 本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析 转化能力，属于中档题•B .必要不充分条件 【详解】充分性： 由余弦定理， 2 c2 2a b 2abcosC ,所以ab c 2，即 ab 2a b 2 2abcosC ,整理得， 1 2cosC2a b 2ab 由基本不等式,a 2b 2 2 a 2b 2 abab16 49 36 29 1 2 4 756 2，结合可得正确的选项x y 2,12.若变量x, y满足｛2x 3y 9,则x2+y2的最大值是x 0,A. 4B. 9C. 10D. 12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点 A (3, 1)到原点距离最大，所以2 2(x y )max 10，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目•从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.13.已知函数f(x)1mcos2x (m 2)sin x，其中1 m 2，若函数f x的最大值2记为g m，则g m的最小值为()1A. —4【答案】D【解析】【分析】B. 1C. .3D.、一3 1 f(x) 2ms in x (m 2)sin x m，令sinx2t [ 1,1]，则2mmt (m 2)t m，结合1m 2可得【详解】y t丄丄m 22m2 (m 2)24m-m - 1，再利用基本不等式即可得到答案4 mm 乙3时，等号成立.3故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用, 考查学生的数学运算能力，是一道中档题•若a > b>0 ,则a b >0,则可得出ab a b >0 ； 故“ab a b >0 ”是“a > b >0 ”的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决.15.若均不为1的实数a 、b 满足a b 0,且ab 1，则（） A . log a 3 log b 3B .3a 3b 6C.3ab 1 3a b D . a b b a【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明 B 成立•【详解】由已知，f （x ）12m (12sin 2x)2 m(m 2)sin x msin x (m 2)sin x —,令 sin x t1,1]，则mt 2（m 2）ti ，因为 1 m 2，所以对称轴为2 m 2m 1[0,2，所以g m y t2m 2(m4m2)2 1 2 3m 11 ..3 1，当且仅当V4 m14.若a 、b 均为实数，则 ab a b 0”是 a b 0”的()A .充分不必要条件 c.充分必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性【详解】B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件若 ab a b >0 中，取 a = 1, b =2，则推不出a > b >0 ;本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题值范围是（【答案】 【解析】 【分析】2 4k 2k 1 6k 1 2k 1故选：D . 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征.y x17.若实数x , y 满足不等式组 x y 1，则2x y的最小值是（）y 1当 a 9,b 3时 log a 3 log b 3 ；当 a 2,b1 时 3ab 1 3a b ;当 a 4,b2 时 a bb a ;因为a b 0, ab 1，所以3a 3b 综上选B.【点睛】2.3a 3b 2.厂 2 32 ab 6，16.已知直线ykx 2k 1与直线y 2的交点位于第一象限，则实数 k 的取B .c.D .y 联立ykx 2k1x 2，可解得交点坐标（x,y ），由于直线y kx 2k1与直线2的交点位于第一象限,可得，解得即可.【详解】解：联立kx 2k 1，解得22 4k 2k 1 6k 1 2k 1Q 直线ykx 2k 1与直线1x 2的交点位于第一象限, 2，解得:【答案】D 【解析】【分析】 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数y 2x z ，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求 Z 的最小值.【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的 ABC ,由z 2x y 可得y 2x z ，则z 为直线在y 轴上的截距y x把直线l : y2x 向上平移到 A 时，z 最小，此时由' 可得A( 1, 1)y 1此时z 3 , 故选：D .本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的 z 的意义是关键，属于中档题.18.设集合Mx—0 ,N x 2小x 2x0，则M N 为()x 1A . x0 x 1B . x0 x 1C.x 0 x 2D .x 0 x 2【答案】B【解析】 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合M {x0 x 1}, N {x|0 x 2}，再结合集合交集的运算，即可求解【详解】A . 33 B.-2C. 0D .3z 2x y 可得X2由题意，集合 MX —- 0 {xO x 1}, N x x 2x 0 {x|0 x 2},所以 M N xO x 1 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式 的解法，准确求解集合 A,B 是解答的关键，着重考查了计算能力•的公差d 0，且a 1,a 3,a 13成等比数列，若 & 1, S n 为数列 昂n(1 2n 1)故选：D . 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档 题.2 21120.已知直线2mx ny 2 m 0,n 0过圆x 1 y 2 5的圆心，则 一一19.已知等差数列 a n 2S 的前n 项和，贝U —nA . 4B . 3【答案】D【解析】【分析】由题意得（12d ）2 1 12d ，求出公差d2S n 从而可得 -6，换元，利用基本不等式,a n 3【详解】解：Qa 11 ,a 1、a 3、a 13成等比数列，2(1 2d) 1 12d .得d 2或d 0 （舍去），D . 2的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和, 2n 1 ,2S n a n6 32nf 6 2n2S n a n6 3当且仅当t 2，即 n 1时,2Sn 卫的最小值为2.3a n即可求出函数的最小值.a n a nm n 的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】圆心坐标为（1,2），代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值.【详解】2)25的圆心为(1,2),圆(X 1)2(y由题意可得2m2n 2，即m n 1, m , n 0,1 111n m n m, 1则一(—)(m n) 2—一…4 , 当且仅当且m n 1 即m n —m n m n m n m n2时取等号，故选：D .【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：- -正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题.。
专题2021届高考数学基本不等式突破性讲练(解析版)
2021届高考数学基本不等式突破性讲练一、 考点传真：1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、知识点梳理 1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).三、例题：例1．（2019天津卷）设0,0,25x y x y >>+=，则的最小值为 .【答案】【解析】 0x >，0y >，25x y +=，===由基本不等式，=…=时，即3xy =，且25x y +=时，即31x y =⎧⎨=⎩或x y =⎧⎪⎨=⎪⎩例2. (2018天津卷)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 ． 【答案】14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥， 当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立． 例3．(2017北京卷)已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是_______．【答案】1[,1]2【解析】由题意，22222211(1)2212()22u x y x x x x x =+=+-=-+=-+，且[0,1]x ∈，又0x =时，221u x y =+=，12x =时，22min 12u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1[,1]2．例4．（2017天津卷）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥ ， 当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =时取等号．例5. （2017江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是 ．【答案】30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．例6. （2017浙江卷）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ． 【答案】9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=， 解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．例7. （2013山东卷）设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为 A ．0 B ．1 C ． D ．3【答案】C【解析】由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥=-=，600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯900x x=30x =,,x y z 22340x xy y z -+-=xyz212x y z+-94当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，zxy有最小值1， 将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C. 四、巩固练习：1.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81【答案】A【解析】 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.2.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x ≥2B.1x 2＋1<1(x ∈R) C.当x >0时，x ＋1x≥2 D.当0<x ≤2时，x －1x 无最大值【答案】C【解析】 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立； 对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立； 对于C ，当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立； 对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.3．设a >0，则9a ＋1a的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】 因为a >0，所以9a ＋1a ≥29a ×1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，9a ＋1a取得最小值6.故选C.4．若x >0，y >0，且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( )C ．36D ．81【答案】A【解析】由2(x ＋y )＝36，得x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．5.已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，则xy ( )A ．有最大值为1B ．有最小值为1C ．有最大值为12D ．有最小值为12【答案】C【解析】因为x >0，y >0，x ＋2y ＝2，所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12.6.设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A.16 B.9C.4D.2【答案】C【解析】 在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1 ≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4.7.若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14【答案】B【解析】因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)．又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12.故选B. 8．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )C ．2 2D ．4【答案】C【解析】 因为1a ＋2b＝ab ，所以a >0，b >0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ·2b＝2 2ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.9．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故m ＋n 的最小值为4.10.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件D.120件 【答案】B【解析】 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝⎛⎭⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x8≥2800x ＋x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号.11.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4【答案】C【解析】 依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为2 2. 12.设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 a 2＋1ab ＋1a a －b＝(a 2－ab )＋1a 2－ab＋1ab＋ab ≥2a 2－ab ·1a 2－ab＋21ab ×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 13.已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.【答案】1【解析】因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.14.在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________. 【答案】4【解析】∵{a n }为等比数列，∴a 2 017·a 2 019＝a 22 018＝12. ∴1a 2 017＋2a 2 019≥22a 2 017·a 2 019＝24＝4.当且仅当1a 2 017＝2a 2 019，即a 2 019＝2a 2 017时，取得等号.∴1a 2 017＋2a 2 019的最小值为4. 15.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元. 【答案】 37.5 【解析】由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 【解析】 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1 ≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 17.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.18.某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．。
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[真题再现]
例 1 （2020·江苏考试研究会·14）设 x 4y 1(x 0, y 0) ， s t 0 ，
则 x2s2 ys2 1 的最小值为
xy
st t2
.
【答案】 4 5
【分析】所求
x2s2 xy
ys2
st
1 t2
变形为x2 ຫໍສະໝຸດ yys23. 【答案】 37
4
【解析】先减元 x3 y2 3z ＝ x3 y2 3(6 x 3y) ＝ x3 3x ( y 3 3 )2 45
2
4
令 f (x) x3 3x ， g( y) ( y 3 3 )2 45 ，
2
4
f '(x) 3x2 3 3(x 1)(x 1) ， x 0 ，
t
t
≤ ht
ൌ3t h t
3 t h h ，当且仅
当 ൌ h ，即
ൌ h t h ， ൌ t h时，“=”成立 将 ൌ h t h ， ൌ t h代入得 t h t t h h ൌ hh t
h h. 所以 t h t t h h的最小值是 hh t h h．
例 3 已知 a＞0，b＞0，c＞2，且 a＋b＝2，那么ac＋ c －c＋ 5 的 b ab 2 c－2
y
x y xy
1 y
x xy
值为
．
2.已知 a b 0 ，则 a2 64 的最小值为
．
b(a b)
3.（2019·苏北三市第一学期期末联考·14）已知 x 0 ， y 0 ， z 0 ，
且 x 3y z 6 ，则 x3 y2 3z 的最小值为
．
4.
（2020·海安中学 12 月考·11）
设正实数
x
最小值为________． 【答案】 10＋ 5 【分析】a、b 间有制约条件“a＋b＝2”，“c”为独立变量，故将所
2021 高考数学
求变形为ac＋ c －c＋
5
＝c
a＋ 1 －1 b ab 2
＋
5 ，先求出a＋ 1 的
b ab 2 c－2
c－2
b ab
最小值即可.
【解析】因为 a＞0，b＞0，所以a＋ 1 －1＝a＋a＋b2－1＝a＋ b ab 2 b 4ab 2 b
f (x) 在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，
所以， f (x)min ＝f（1）＝－2
当
y＝
33 2
时，
g( y)
有最小值：
g( y)min
45 4
所以 x3 y2 3z 的最小值为－2＋ 45 ＝ 37 .
44
4.【答案】 2 1．
【解析】由正实数
x
，
y
满足
xy
x x
y y
，化为
x
间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.
例 2 （2020·徐州打靶卷·14）已知正数 a,b 满足 b
th
h t t h h的最小值是
．
，则 t
【答案】hh t h h
【解析】由平方均值不等式得 t ht th h
h
t t th ，当且仅当
h
ൌ t 时，“=”成立
由b
th
所以
变形得h t
t
t+s t2
2
=
s2 4
；第三次，直接运用互倒型，使用
基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值
能够取得.
【解析】由题 x+4y=1(x＞0，y＞0)，
x2+y=x2+(x+4y)y=x+1+4y≥4+1=5，当且仅当 x=1，y=1时，“=”成
xy
xy y x
36
立．
因为 0＜t＜s，则ts－1 t2=s2－(s4－2t)2≥s42，当且仅当 s=2t 时，“=”
，
y
满足
xy
x x
y y
，则
2021 高考数学
实数 x 的最小值为 ．
5.（2020·镇江八校第二次联考·13） 已知正数 a,b 满足 a2b(2a b) 4 ，
则 a b 的最小值为
．
6.
若 x y 0 ，则
2x3
xy
3
y2
的最小值为
▲
．
【答案或提示】
1.【答案】 4 2
【解析】所求变形为 x y 16 =x 1 (y 16)
x xy x y
∵y＞0
∴ y 16 2 y 16 8 ，当且仅当 y 4 时，等号成立，
y
y
∵x＞0， y 16 8
y
∴ x y 16 x 8 2 x 8 4 2 ，当且仅当 x 2 2 时，等号成立，
x xy
x
x
∴ x y 16 的最小值为 4 2 ，当且仅当 x 2 2 ， y 4 成立．
a2＋2ab＋b2－1＝5a＋ b ≥ 5，当且仅当 b＝ 5a 时等号成立．
4ab
2 4b 4a 2
又 因 为 c ＞ 2 ， 由 不 等 式 的 性 质 可 得 ac ＋ c － c ＋ 5 ＝ b ab 2 c－2
c
a＋ 1 －1 b ab 2
＋ 5≥ c－2
25c＋c－52.
又因为 25c＋c－52＝ 25(c－2)＋c－52＋ 5≥ 10＋ 5，当且仅当 c
st
1 t2
.三次使用基本不等
式，第一次，在条件 x 4y 1(x 0, y 0) 下，求 x2 y 最小值，需使用
xy
“1”的代换化齐次；第二次，在条件 s t 0 下，求 st t2 最小值，
为达到消 t 的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本
不等式
st
t 2 =t s
＝2＋ 2时等号成立，
所以ac＋ c －c＋ 5 的最小值为 10＋ 5. b ab 2 c－2
点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，
然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.
[强化训练]
1.（2020·扬州五月调研·12）已知 x＞0，y＞0，则 x y 16 的最小
成立．
于是x2s2x+yys2+ts－1 t2≥5s2+s42≥4 5，
当且仅当 x=13，y=16，s=255，t= 55时，“=”成立．
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所以x2s2x+yys2+ts－1 t2的最小值为 4 5． 点评:
多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，
其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互
x xy
2.【答案】 32
【解析】∵ b(a
b)
b
(a 2
b)
2
a2 4
，当且仅当 a
2b 时，等号成立，
∴
a2
64 b(a
b)
a2
64 a2
2
a2
4 64 a2
32
，当且仅当
a
4
时，等号成
4
立，
∴ a2 64 的最小值为 32 ，当且仅当 a 4 ， b 2 成立．
b(a b)
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