高考数学立体几何2

立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1） 异面直线所成角 1.022.π⎧⎛⎤ ⎪⎥⎝⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法⎥⎦⎤⎝⎛20π，2） 直线与平面所成角 1.π⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围0，2定义2.求法向量法⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π nm nm⋅⋅=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α⊂a 若n m //则α⊥a3） 二面角[]1.0.2.π⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角)当θ为锐角时，nm nm⋅⋅=arccos θ当θ为锐角时，nm nm ⋅⋅-=arccos πθ二、例题讲解1.在正三棱柱111ABC A B C -中，若1,AB 求1AB 与B C 1所成的角的大小。

解：法一：如图一所示，设O 为C B 1、B C 1的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。

设1,BB a AB ==则，于是在DOB ∆中，122211,,21,,2OB BC BD OD AB BD OB OD =======+ 即90,DOB ∠=︒∴ ︒=∠90DOB法二：取11A B 的中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,xyz O -AB 21的长度单位，则由1AB =有((())((111111110,,,0,1,0,0,2,,,220,A B B C AB C B AB C B AB C B-∴==⋅=-=∴⊥2.如图二所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，90,//,,2,BAD AD BC AB BC a AD a ∠=︒===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30︒角。

⑴若,AE PD E ⊥为垂足，求证：BE PD ⊥； ⑵求异面直线,AE CD 所成角的大小。

解 ：⑴证明：PA ABCD ⊥ 底面，PA AB ∴⊥， 再由AB AD ⊥,得,,,AB PAD AB PDAE PD PD ABE BE PD⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥ 平面又平面故⑵如图三所示设,G H 分别为,ED AD 的中点，连结,,BH HG BG 。

DHCB 为平行四边形，//,,BH CD G H ∴ 分别为,ED AD 的中点，//,FG AE ∴则BHG ∠或它的补角就是异面直线,AE CD所成角，而11.22HG AE a BH ====。

2222222411a EG AE AB EG BE BG =++=+=在BHG ∆中，由余弦定理可得222cos arccos244BH HG BG BHG BHG BH HG π+-∠==-∴∠=-⋅ 422cos 222-=⋅-+=∠HG BH BG HG BH BHG 42arccos -=∠∴πBHG所以，异面直线,AE CD所成角的大小为。

法二：以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()0,,0,,0,0,2,0,0,,,,022a a E C a D a AE CD a a ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()(),0,2,0,0,,0,23,2,0a D a C a a E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(),0,,,23,2,0a a a a -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴cos ,4CD AE CD AE CD AE⋅∴==， 所以，异面直线,AE CD所成角的大小为arccos 4。

3.已知四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA ABCD ⊥平面，1,2,,AP AD AB E F ===分别是,AB PD 的中点。

⑴求证：//AF PEC 平面；⑵求PC 与平面ABCD 所成角的大小； ⑶求二面角P EC D --的大小。

解析：法一：⑴如图四所示，取PC 的中点O ，连接1,//,,//2OF OE FO DC FO DC FO AE ∴=∴ 又因为,E AB AB DC FO AE =∴=是的中点，且 所以四边形AEOF 是平行四边形， //AF OE ∴。

又,OE PEC AF PEC ⊂⊄平面平面，//AF PEC ∴平面。

⑵连结,,AC PA ABCD PCA PC ABCD ⊥∴∠ 平面是直线与平面所成的角。

在tanPARt PAC PACAC∆∠===中，5551tan,===∠∆ACPAPCAPACRt中即PC ABCD直线与平面所成角的大小为arctan5。

⑶作,AM CE CE⊥交延长线于,M PM连结。

由三垂线定理，得.PM CE PMA⊥∴∠是二面角P EC D--的平面角。

由,tan2AME CBE AM PMA∆∆=∴∠==可得2221tan,22,==∠∴=∆∝∆PMAAMCBEAME可得所以，二面角P EC D--的大小为。

法二：以A为原点，如图五所示，建立直角坐标系。

则()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,1,0,0,1,0,0,,,1,0,0,0,0,122A B C D F E P ⎛⎫⎪⎝⎭。

⑴取PC 的中点O ，连结111111,1,,,0,,,0,,,222222OE O AF EO ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭//AF EO ∴=∴又,OE PEC AF PEC ⊂⊄平面平面，//AF PEC ∴平面。

⑵由题意可得()2,1,1PC =- ，设平面ABCD 的一个法向量是()0,0,1PA =-。

cos ,PA PC PA PC PA PC⋅==即PC ABCD 直线与平面所成角的大小为arcsin6。

⑶设平面PEC 的一个法向量为()()(),,.1,0,1,1,1,0m x y z PE EC ==-=则()0,01,1,1,100.m PE x z z m x y m EC ⎧⋅=-=⎧⎪=-=--⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩可得令则 由⑵可得平面ABCD 的一个法向量是()0,0,1PA =-。

cos ,3mPA m PA m PA===。

所以，二面角P EC D --的大小为arccos3。

4.（07福建）如图六所示正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2， 1D CC 为的中点。

⑴求证：11AB A BD ⊥平面 ⑵求二面角1A A D B --的大小。

解析：⑴取BC 中点O ，连结AO 。

因为ABC ∆是正三角形，AO BC ∴⊥因为在正三棱柱111ABC A B C -，平面11ABC BCC B ⊥平面11AO BCC B ∴⊥平面。

连结O B 1在正方形C C BB 11中，O ，D 分别为1,CC BC 的中点。

BD O B ⊥∴1BD AO ⊥1AOB BD 平面⊥∴ BD AB ⊥∴1在正方形11A ABB 中， B A AB 11⊥∴11AB A BD ⊥平面取111B C O 的中点，以O 为原点，1,,OB OO OA的方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系。

则()()((()111,0,0,1,1,0,,,1,2,0B D A A B -(()(11111111111,2,,2,1,0,1,220,1430,,AB BD BA AB BD AB BA AB BD AB BA AB A BD∴==-=-=-+==-+-=∴⊥⊥∴⊥平面 ⑵ 设平面1A AD 的法向量为(),,n x y z =(()111,1,,0,2,0,,AD AA n AD n AA =-=⊥⊥ 。

100,0,200.y n AD x y y x n AA ⎧=⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⎪∴∴∴⎨⎨⎨==⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩令()1,z n =∴=为平面1A AD 的一个法向量。

由⑴知，1111AB ABD AB ABD ⊥∴ ，为平面的法向量111cos ,4n AB n AB n AB ⋅===-所以，二面角1A A D B --的大小arccos 4直接法设1AB 与B A 1交于G ，在平面BD A 1中，作D A GF 1⊥于F ，连结AF由（1）得11AB A BD ⊥平面D A AF 1⊥∴AFG ∠∴是二面角1A A D B --的平面角。

在D AA 1∆中由等面积可求得554=AF 又2211==AB AG 4105542sin ===∠∴AF AG AFG 所以，二面角1A A D B --的大小为410arcsin 。