电磁场理论课程主要内容与问题解读

第1章主要内容与问题1． 正交曲线坐标系及其变换1) 正交曲线坐标系及其变换关系:()()()()()()111232212333123 q q x,y,x x x q ,q ,q q q x,y,x y y q ,q ,q q q x,y,x z z q ,q ,q =⎧⎧⎪⎪=↔=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩＝ 2）正交曲线坐标系坐标轴方向矢量：()()()()()()321222,,i z x ,y ,x q y x ,y ,x q x x ,y ,x q zx ,y ,x q e ˆy x ,y ,x q e ˆx x ,y ,x q eˆeˆi i i i z i y i x q i =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=3)正交曲线坐标系中空间曲线元的弧长()()()233222211232221d d d d d d d q h q h q h s s s s ++=++=其中i h 称为Lame 系数：123i h i ,,,=2． 矢量及其代数运算 （1） 矢量与标量有数值有方向的量为矢量，有数值无方向的量为标量。

（2） 两矢量Ａ与Ｂ的标积和叉积标量积：∑∑===⋅=⋅3131i i i i i i A B B A A B B A ＝叉积： nAB ˆsin θB A B A C =⨯= 其中()123i i A ,B i ,,=分别是矢量Ａ和Ｂ在x 、y 、z 坐标轴上的分量或投影，AB θ为矢量Ａ与Ｂ的夹角。

（3） 三矢量的混合积和叉积三矢量的混合积：()()123123123A A AB B BC C C =⨯⋅A,B,C A B C ＝三矢量的叉积：()()()233112233112123x y z ˆˆˆe e eA A A A A AB B B B B BC C C ⨯⨯⨯⨯=A B C =B A C A B C －其中()123i i i A ,B ,C i ,,=分别表示矢量A B C 、、在x 、y 、z 坐标轴上的分量。

3． 场论基础 （1） 场的概念空间区域内的每一点有确定的物理量与之对应，称在该空间区域定义了一个物理量的场。

如果物理量为标量，则是标量场，如果物理量为矢量，则是矢量场。

（2） 标量场的梯度标量场的梯度定义为场在空间变化最快的方向及数值，记为max grad |x y z u u u uˆˆˆˆu ne e e u l x y z∂∂∂∂==++=∇∂∂∂∂ （3） 矢量场的散度包含()z ,y ,x M 点的任意闭合曲面矢量场()x,y,z F 的通量与该闭合曲面体积之比的极限，记为()()0d div lim y sx zV x,y,z F F F x,y,z Vx y z∆→⋅∂∂∂==∇⋅=++∆∂∂∂⎰⎰F SF F （4）矢量场的旋度包含()z ,y ,x M 点的任意面元边界矢量场的环量与面元比值之极限的最大值及最大值时面元的法向（边界的绕行方向与面元法矢为右手螺旋关系），记为0Maxd rot lim x y z ls xyz ˆˆˆe e e ˆn s x y z F F F ∆→⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅∂∂∂⎪ ⎪==∇⨯= ⎪∆∂∂∂ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎰F l F F 4． 矢量场的基本性质（1） 亥姆霍兹定理空间区域V 上的任意矢量场()r F ，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即：()()()r F r F r F l e +=其中()r F e 为无散矢量场，即()0≡⋅∇r F e ；()r F l 为无旋矢量场，即()0≡⨯∇r F l 。

（2） 矢量场与激励源关系通量源激发有散矢量场，矢量场的散度与激发该矢量场的通量源密度成正比。

旋涡源激发有旋矢量场，矢量场的旋度与激发该矢量场的旋涡源源密度成正比。

（3） 矢量场的有关性质无旋的矢量场可以表示为某个标量场的梯度，无散的矢量场可以表示为某个矢量场的旋度，即：()()()() l e φ=-∇=∇⨯F r r F r A r第2章主要内容与问题1. 宏观电磁场的基本定理和定律1）电荷守恒定律。

一个封闭系统内电荷总量保持不变，其数学表达式为：dd d d sVV t ρ-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰J S （积分形式），0=∂∂+⋅∇t ρJ （微分形式） 2）库仑定律。

真空中两个静止点电荷q 1 和q 2之间作用力的大小与两点电荷的电荷量成正比，与两点电荷距离的平方成反比；作用力的方向沿q 1 和q 2连线方向，同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引；数学上表述为：12121230124πq q R ε=R F3）电场与电场强度。

电荷及变化磁场在周围空间激发出的一种特殊物质任何电荷在其所处的空间中将激发出对置于其中的电荷有力作用的特殊物质，称其为电场，用电场强度()r E 描述。

电荷激发的电场为：'30()()d 4πVV R ρε'=⎰⎰⎰r RE r 4）电场的高斯定理。

任意闭合曲面电位移矢量的通量，等于闭合曲面内电荷的代数和，即：()()()()d d SVS V ρρ⋅=∇⋅=⎰⎰⎰⎰⎰D r r D r r5）安培定律。

空间任意两电流元1122d d I I l l 、之间存在力的作用，作用力的大小与两电流元的大小成正比，与两电流元之间距离的平方成反比；与两电流元取向的夹角有关；其方向则由两电流元的取向决定，电流元11d I l 对22d I l 的作用力为：()221112012312d d 4πI I Rμ⨯⨯=l l R F6）毕奥-萨伐尔定律。

电流（或运动电荷）在其周围空间激发出对另一电流元（或磁铁）具有力作用的特殊物质，称为磁场。

描述磁场的大小和方向的量称之为磁感应强度，电流密度()'J r 产生的 磁感应强度为：()()V RV '⨯=⎰⎰⎰d π430Rr J r B 'μ 7）磁场的高斯定理。

任意闭合曲面磁感应强度矢量的通量恒为零，即：()()d 0 0S⋅=∇⋅=⎰⎰B r S B r8）法拉第电磁感应定律。

闭合回路感应电动势与通过该闭合回路内磁通量变化率成正比，其数学表达式为：dd d d lst ⋅=-⋅⎰⎰⎰E l B S 9）洛伦兹力公式。

[]q =+⨯F E v B10）叠加原理。

电磁场满足叠加原理，即空间任意点的电磁场2．麦克斯韦方程组与边界条件1）宏观电磁场的基本特性电场为有散有旋矢量场，电荷是其通量源，变化的磁场为其涡旋源；磁感应强度为无散有旋矢量场，电流和变化的电场是其涡旋源。

如果电磁场与时间无关，则电场变为有散无旋矢量场，电荷是其通量源；磁感应强度为无散有旋矢量场，恒定电流是其涡旋源。

2）麦克斯韦方程组()()()()()()()()d d 0d 0 dd d d d ()d s Vs l s ls V ,t ,t ,t ,t ,t tt ,t ,t ,t t t ρρ⎧⋅=⎪∇⋅=⎧⎪⎪∇⋅=⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂⎨⎨∇⨯=-⋅=-⋅⎪⎪∂⎪⎪∂⎪⎪∇⨯=+∂⎪⋅=+⋅⎪∂⎩∂⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D s D r r B r B s B r E r E l B s D r H r J r DH l J s 3）电磁场在不同介质的分界面上满足的条件()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯=-⨯=-⋅=-⋅s s nˆn ˆnˆn ˆJ H H E E B B D D 1212121200)()(ρ 3．介质的电磁特性1）介质的极化与束缚电荷。

介质在外电场作用下产生宏观不为零的电偶极矩的现象称为介质的极化。

极化与电场、极化与束缚电荷的关系为：P E D +=0ε ，⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅SVpV d d ρs P ，P ⋅-∇=p ρ2）介质的磁化与磁化电流。

介质在外磁场作用下表现出磁性称为磁化。

磁化与磁感应强度、磁化与磁化电流的关系为：M H B +=0μ ，MSLd d ⋅=⋅⎰⎰⎰JS M L ， M J⨯∇=M3）介质的传导与传导电流。

导电介质在外加电磁场力的作用下，定向的运动形成传导电流，即欧姆定律，其表达式为E J σ=。

第3章主要内容与问题5． 静电场性质与定解问题（1) 静电场为无旋矢量场，引用电位函数()r φ的梯度表示。

满足如下方程：()0=⨯∇r E ， ()()r r E φ-∇=， ()()ερφr r -=∇2（2）静电场的定解问题为()()()()2222s S SS S |n n |||ρφεφφεερφφ⎧∇=-⎪⎪⎨∂∂⎪-==⎪∂∂⎩r r r r 或 。

6． 静电场的能量与静电作用力 （1） 能量与能量密度()()()()()()()111d d , 222e e V V W V V w ρφ==⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r D r E r r E r D r 能量密度： （2）静电力一般表达式为：e e z e y e x W z W e ˆy W e ˆx W e ˆ-∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-=F 3． 静电磁场中的导体系（1）静电场中导体内部电场和表面切向电场分量为零，导体为等电势体。

导体内部电荷体密度为零，所带电荷只分布在导体的表面。

（2）导体系的电容：导体或导体系容纳电荷量性能的电路参量。

（3）静电场中导体系能量基于电位系数可以表示为：∑∑∑==i ji j ij ii e q q p q W 2121φ基于电容系数可以表示为：∑∑∑==i ji j ij i ii e q W φφβφ2121 4．导体中的恒定电场的性质及定解问题 （1）导体中恒定电场的性质()()() 0 , =0σ∇⨯=∇⋅=∇⋅E r J r E r ， ()()r r E φ-=（2），导体中电位函数满足的定解问题为：()21212120S S S S n n ||||φφφσσφφ⎧⎧⎪∇=⎪⎨∇⋅⎪⎪⎩⎨∂∂⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎩r K （源外部）（源部部）或 5．恒定电流磁场的性质及其定解问题 （1）恒定电流磁场为有旋无散矢量场，()()()0∇⨯=∇⋅=H r J r B r ， 。

（2）引入磁矢位()r A ，()()r A r B ⨯∇=，磁矢势的定解问题为：()()()221212111ˆ0 |sn μμμ⎧∇=-⎪⎛⎫⎨-=⨯∇⨯-∇⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩A r J r A A A A J 界面或6．载流线圈的电感与静磁场的能量（1）描述载流线圈上单位电流强度在空间某一回路为边界的曲面上产生磁通量的能力的电路参量，计算电感的诺依曼公式为2101212d d π421l l ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰C C R I M μψ （2）磁场的能量与能量密度计算公式()()1d 2m VW V =⋅⎰⎰⎰H r B r ，能量密度：7．载流体系受磁场作用力m m m m x y z m W W W ˆˆˆe e e W x y z ⎡⎤∂∂∂=-++=-∇⎢⎥∂∂∂⎣⎦F 第4章主要内容与问题1. 静态电磁场的定解问题与惟一性定理静态电磁场满足泊松方程与相应边界条件组成的定解问题。