二阶与三阶行列式
二阶三阶行列式的几何意义
二阶三阶行列式的几何意义在数学中，行列式是一种用于表示矩阵的数学工具。
本文将探讨二阶和三阶行列式的几何意义，帮助读者更好地理解这一概念。
二阶行列式二阶行列式通常表示一个2x2矩阵的代数表达式。
在几何上，它可以被解释为平行四边形的面积或两点之间的距离。
具体来说，对于一个2x2矩阵A，其行列式可以表示为：| A | = | a11 a12 || :--: | :--: || A | = | a21 a22 |这个行列式的几何意义取决于矩阵A中的元素。
如果a11和a22为正，a12和a21为负，那么这个行列式表示的平行四边形面积就是正的；如果a11和a22为负，a12和a21为正，那么这个行列式表示的平行四边形面积就是负的。
如果a11和a22以及a12和a21的符号相同，那么这个行列式表示的平行四边形面积就是0。
此外，如果A表示一个向量，那么行列式|A|也可以被解释为该向量与其在原点处的反射之间的距离的平方。
三阶行列式三阶行列式通常表示一个3x3矩阵的代数表达式。
在几何上，它可以被解释为三维空间中一个平行六面体的体积或者一个三角形的面积。
具体来说，对于一个3x3矩阵A，其行列式可以表示为：A=a11 a12 a13A=a21 a22 a23A=a31 a32 a33这个行列式的几何意义取决于矩阵A中的元素。
如果a11、a22和a33均为正数，且a12、a13、a21、a23、a31和a32均为负数，那么这个行列式表示的平行六面体的体积就是正的。
如果这些元素的符号不完全相同，那么这个行列式表示的平行六面体的体积就是0。
如果元素的符号出现四种或更多种不同的情况，那么这个行列式表示的平行六面体的体积是负数。
二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式 二、三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
2 2
下页
a11 a1 =a11a22 -a12a21 a2 2 1 a2 2 例1 求解二元线性方程组 3x1 - 2x2 =12 2x + x =1 1 2 解 由于
D = 3 - 2 = 3- (-4) = 7 0 2 1 D1 = 12 - 2 =12 - (-2) =14 1 1 D2 = 3 12 = 3- 24 = -21 2 1 因此 D1 14 D2 - 21 x1 = = = 2 x2 = = = -3 D 7 D 7
a11 a12 a13 为了便于记忆和计算 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
下页
二、三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
1 例2 计算三阶行列式 D= -2 -3 解 按对角线法则 有
2 2 4
D =12(-2)+21(-3)+(-4)(-2)4 -114 -2(-2)(-2) -(-4)2(-3)
二阶和三阶行列式
二阶和三阶行列式
（1-5） 为二阶矩阵A的行列式，简称二阶行列式．其中aij（i，j=1， 2）的第一个下标i表示元素所在行，称为行标，第二个下标j表示 元素所在列，称为列标，则aij就是位于构成行列式的数表第i行与 第j列交叉位置的数，称为行列式的元素．
二阶和三阶行列式
从式（1-5）可以看出，二阶行列 式实际上是一个算式，即从左上角到右 下角的对角线（主对角线）上两个元素 相乘以后减去从右上角到左下角的对角 线（副对角线）上两个元素的乘积，这 就是计算二阶行列式的对角线法则．
谢谢聆听
二阶和三阶行列式
【例1-2】
求下列各二阶行列式的值.
二阶和三阶行列式
二阶和三阶行列式
二阶和，简称三阶行列 式．三阶行列式的展开式 也可以用对角线法则得到， 三阶行列式的对角线法则 如图1-3所示．
图1-3 三阶行列式的对角线法则
二阶和三阶行列式
其中每条实线上三个元素的乘积带 正号，每条虚线上三个元素的乘积带负 号，所得六项的代数和就是三阶行列式 的展开式．
二阶和三阶行列式
二阶和三阶行列式
在中学时已通过求解二元、三元一次线性方程组 的问题引出了二阶、三阶行列式的定义.在此，再进行 简单的复习．
设有二元一次线性方程组
该方程组用矩阵形式可表示为AX=b，其中
二阶和三阶行列式
当a11a22－a12a21≠0时，方程组有唯一解：
上述结论可作为公式使用，但这种公式解的表达式比较 复杂，应用起来也不方便，为方便记忆，我们引进新的记号 来表示这个结果，就是行列式的概念．
二阶三阶行列式对角线法则-概述说明以及解释
二阶三阶行列式对角线法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学工具，用于描述线性方程组的性质和解的情况。
二阶和三阶行列式是行列式理论中的基础，它们具有重要的数学意义和广泛的应用。
在本文中，我们将重点讨论二阶和三阶行列式的性质和计算方法，特别是介绍对角线法则在求解行列式值时的应用。
通过学习二阶和三阶行列式，可以深入理解行列式的概念和性质，为进一步学习多阶行列式奠定基础。
同时，对角线法则作为一种简便的计算方法，可以帮助我们更快速地求解行列式的值，提高解题效率。
因此，本文的目的是帮助读者全面了解二阶和三阶行列式，并掌握对角线法则的运用，为深入学习行列式理论打下坚实的基础。
1.2 文章结构文章结构部分：本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。
引言部分主要包括对二阶和三阶行列式的简要概述，介绍了行列式在数学和工程中的重要性和应用，并说明了文章的目的和意义。
正文部分分为二阶行列式、三阶行列式和对角线法则三个小节，将详细介绍二阶和三阶行列式的定义、性质和计算方法，以及介绍对角线法则在计算行列式时的应用和意义。
结论部分将对二阶和三阶行列式进行总结，展示其重要性和应用，并展望未来在更高阶行列式及其在数学和工程中的进一步研究和应用。
1.3 目的目的部分的内容应该概括文章的主要目标和意义。
例如：目的：本文旨在介绍二阶、三阶行列式以及它们的性质，并重点讲解对角线法则在计算行列式时的应用。
通过本文的阐述，读者可以深入了解行列式的计算方法，并且掌握对角线法则在简化计算过程中的重要作用。
同时，我们也希望读者能够进一步应用这些知识，解决实际问题和拓展数学思维。
2.正文2.1 二阶行列式二阶行列式是指一个2x2矩阵的行列式，通常表示为：a bc d其中，a、b、c、d分别为矩阵中的元素。
二阶行列式的计算公式为ad - bc。
这个公式也被称为“交叉相乘减交叉相乘”的方法。
举个例子，对于矩阵2 34 1其二阶行列式的计算过程为：2*1 - 3*4 = 2 - 12 = -10。
§1二阶与三阶行列式
性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
二阶和三阶行列式
a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D
二阶与三阶行列式分析
二阶与三阶行列式分析二阶行列式分析：二阶行列式是由两行两列元素组成的方阵。
例如，一个二阶行列式可以表示为：abcd其中a、b、c、d是实数。
二阶行列式的计算方法是将对角线上的元素相乘，然后减去另一条对角线上的元素相乘。
根据这个定义，二阶行列式的值可以表示为：abc d ， = ad - bc其中ad表示a和d的乘积，bc表示b和c的乘积。
三阶行列式分析：三阶行列式是由三行三列元素组成的方阵。
例如，一个三阶行列式可以表示为：abcdefghi其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是实数。
三阶行列式的计算方法可以通过展开定理来计算。
展开定理指出，三阶行列式可以按照第一行或第一列展开为两个二阶行列式的乘积。
根据展开定理，三阶行列式的值可以表示为：abcdefg h i ， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh其中aei、bfg、cdh分别表示第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积，ceg、bdi、afh分别表示第一列的元素与其对应的代数余子式的乘积。
行列式的应用：行列式在线性代数中起着重要的作用，具有广泛的应用。
以下是几个行列式的应用示例：1.解线性方程组：通过求解行列式的值，可以确定线性方程组的解的排列情况和数量。
2.计算面积和体积：通过行列式的计算，可以求得平面上一组向量所围成的面积，或者三维空间中一组向量所围成的体积。
3.判断向量的线性相关性：使用行列式可以判断一组向量是否线性相关，通过计算行列式的值，若行列式为0则表示向量线性相关，否则线性无关。
4.矩阵的逆、行列式的转置：行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
总结：二阶行列式可以通过对角线元素的乘积减去反对角线元素的乘积来计算。
三阶行列式可以通过展开定理，将其展开为两个二阶行列式的乘积。
行列式在线性代数中有广泛的应用，包括解线性方程组、计算面积和体积、判断向量的线性相关性等。
行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
线性代数§1.1二阶、三阶行列式
线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。
在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。
本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。
计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。
常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。
⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。
本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。
本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。
==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。
因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。
设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。
即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。
这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。
由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。
二阶、三阶行列式
1 − 2 =
例5用三阶行列式解线性方程组ቐ2 − 3 = 的值。
1 + 3 =
解
由于
1
= 0
1
−1 0
1 −1 =1+1=2≠ 0
0
1
1
2 = 0
1
0
−1 =b−a+c
1
1 =
−1
1
0
1 −1
3 = 0 1
1 0
0
−1 =a+b+c
1
=c−b−a
定行列式等于零。
线 性 代 数
31 32 33
−1322131 −122133 −112332
11 12 13
= 21 22 23 称为三阶行列式，它由三行、三列共9个元素组成，
31 32 33
是6项的代数和，每一项都是三个元素的乘积并适当附上正号或负号，而且
这三个元素必须来自不同的行和不同的列。如图1-2所示，可用对角线法则
2
(1)当λ 为何值时，D=0;
解
λ
1
，问：
(2)当λ 为何值时，D≠0。
λ2 λ
因为 =
= λ2 − λ = λ(λ − 2)，所以
2 1
(1)当λ=0或λ=2时，D=0；
(2)当λ≠0且λ≠2时，D≠0。
3 − 42 = 2
例3用二阶行列式解线性方程组ቊ 1
1 + 22 = 4
解
=
表示a11a22-a12a21，称为
21 22
二阶行列式，即
a11
a12
D
a11a22 - a12 a21
二阶三阶行列式
二阶三阶行列式1.引言1.1 概述二阶行列式和三阶行列式是线性代数中常见的概念。
行列式是一个整数或实数的方阵，它具有很多重要的性质和应用。
二阶行列式是一个2×2的方阵，而三阶行列式是一个3×3的方阵。
在本文中，我们将介绍二阶行列式和三阶行列式的定义以及计算方法，并总结它们的特点和重要性。
在二阶行列式部分，我们将详细介绍二阶行列式的定义和计算方法。
二阶行列式的定义是由其中的四个元素按一定的规则相乘再相减得到的一个数值。
计算二阶行列式可以使用简单的公式，即将对角线上的两个元素相乘再相减。
我们将提供详细的计算示例，并讨论二阶行列式在几何学和线性方程组中的应用。
在三阶行列式部分，我们将进一步介绍三阶行列式的定义和计算方法。
三阶行列式的计算比较复杂，需要按一定的规则进行乘法和加减运算。
我们将解释这些规则，并提供实际的计算例子。
此外，我们还将探讨三阶行列式在向量空间和线性方程组中的应用，以及它们与二阶行列式之间的关系。
通过本文的学习，读者将能够理解二阶行列式和三阶行列式的概念和计算方法。
同时，他们还将认识到行列式在数学和实际应用中的重要性。
了解行列式可以帮助我们解决各种问题，包括求解线性方程组、计算向量的正交性和计算面积和体积等。
行列式是线性代数中的基础知识，对于进一步学习和应用线性代数的内容具有重要的意义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍二阶行列式的概念和定义，详细阐述其计算方法。
然后，我们将进一步探讨三阶行列式的定义和计算方法。
在分析和比较二阶行列式与三阶行列式的异同之后，我们将总结这两者的特点和应用。
本文的主要目的是通过对二阶和三阶行列式的研究，帮助读者更好地理解和应用行列式的相关概念和计算方法。
具体来说，本文的内容安排如下：2. 正文2.1 二阶行列式2.1.1 定义在这一部分中，我们将引入二阶行列式的概念，并详细解释其定义。
通过具体的例子，我们将展示如何构建并计算二阶行列式。
线性代数二阶与三阶行列式
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
副对角线
a21
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
a12
a11a22 a12a21.
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
1-1 二阶与三阶行列式
ai j
行标
即元素 aij 位于第 i 行第 j 列.
列标
二阶行列式的计算 —— 对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
例1 计算行列式 D
5 10
29 8
.
解 D 5 8 29 ( 10) 330 例2 当 a 为何值时，行列式 解 因为
三阶行列式的计算 —— 对角线法则
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号, 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a2 3 a 1 a
2
a 1
3
的值不为 0？
a 3a a(a 3),
2
要使行列式的值不为 0，必有 a 0 且 a 3.
二、三阶行列式
定义2 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 , a31 a32 a33 记 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 , 称为该数表所确定的三阶行列式.
注意 对角线法则仅适用于二阶与三阶行列式的计算，但 对于三阶以上的行列式则不适用.
1
2 4
例3 计算行列式 D 2 2 1 . 3 4 2
二阶与三阶行列式
二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
(2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得，其中分母
是由方程组(1)的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组(1)中的位置，排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表。
表达式称为数表(3) 所确定的二阶行列式，并记作
数a
ij （i=1,2;j=1,2）称为行列式(4)的元素或元。
元素a
ij
的第一个下标i称为
行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j 列。
位于第i行第j 列的元素称为行列式(4)的（i，j）元。
上述二阶行列式的定义，可用对角法到来记忆。
参看图l.1，把a11到a11的实联线称为主对角线，a12到a21的虚联线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
利用二阶行列式的概念，(2)式中的分子也可写成二阶行列式，即
那么(2) 式可写成
二、三阶行列式
(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式.
上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循图1.2所示的对角线法则:图中有三条实线看做是平行于主对角线的联线，三条虚线看做是平行于副对角线的联线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.
例2 计算三阶行列式
解按对角线法则，有
例3 求解方程
解方程左端的三阶行列式
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下面先介绍有关全排列的知识，然后引出n 阶行列式的概念.。
§1 二阶与三阶行列式
说明: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． (2) 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负.
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 a33
2. 二阶行列式的计算 二阶行列式的计算——对角线法则 对角线法则 主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
= a 1 1a 2 2 − a 1 2 a 2 1 .
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 . a11 a12 D= , 称为其系数行列式 称为其系数行列式 a21 a22
称为其系数行列式 称为其系数行列式
D = a21 a22 a31 a32
例1 解
x1 − 2 x2 + x3 = −2, 解线性方程组 2 x1 + x2 − 3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
1
−2 1 D= 2 1 − 3 = −1 − 6 + 2 − ( −1) − 4 − ( −3) = −5 ≠ 0 , −1 1 −1
二三阶行列式的计算公式
二三阶行列式的计算公式行列式是线性代数中的一种基本概念，它是一个方阵的一个标量值，用于表示线性变换对体积的影响。
在实际应用中，求解行列式是非常重要的，因此，对于二三阶行列式的计算公式的掌握显得尤为重要。
一、二阶行列式的计算公式二阶行列式是一种特殊的行列式，它由一个2×2的方阵构成。
其计算公式为：$$begin{vmatrix}a & bc & dend{vmatrix} = ad-bc$$其中，a、b、c、d均为实数。
二阶行列式的计算公式非常简单，只需要将主对角线上的元素乘起来，再将副对角线上的元素乘起来，最后将两个积相减即可。
例如，求解以下二阶行列式：$$begin{vmatrix}1 & 23 & 4end{vmatrix}$$根据公式可得：$$begin{vmatrix}1 & 23 & 4end{vmatrix} = (1times4)-(2times3)=-2$$因此，二阶行列式的计算非常简单，只需要掌握公式即可。
二、三阶行列式的计算公式三阶行列式是一种比较常见的行列式，它由一个3×3的方阵构成。
其计算公式为：$$begin{vmatrix}a &b & cd &e & fg & h & iend{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i均为实数。
三阶行列式的计算公式比较复杂，需要掌握一定的技巧。
一种常用的计算方法是“按行展开法”，即按照第一行的元素展开，将行列式转化为二阶行列式的形式，然后再利用二阶行列式的计算公式进行求解。
例如，求解以下三阶行列式：$$begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix}$$按照第一行的元素展开，有：$$begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix} = 1begin{vmatrix}5 & 68 & 9end{vmatrix} - 2begin{vmatrix}4 & 67 & 9end{vmatrix} + 3begin{vmatrix}4 & 57 & 8end{vmatrix}$$利用二阶行列式的计算公式，可得：$$begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix} =1times(5times9-6times8)-2times(4times9-6times7)+3times(4tim es8-5times7)=-6$$因此，掌握了行列式的计算公式和计算方法，就可以轻松求解二三阶行列式了。
高等数学附录1二阶三阶行列式简介
当主对角线元素相等且副对角线元素 也相等时，二阶行列式的值为零。
对于二阶行列式，主对角线元素之积 减去副对角线元素之积等于行列式的 值。
典型例题分析与解答
例题1
计算二阶行列式 |3 1|，|2 4| 的值。
解答
根据二阶行列式的定义，该行列式的值为 3*4 - 1*2 = 10 。
例题2
已知二阶行列式 |a 4|，|2 b| 的值为 -6，求a和b的值。
工程领域
在工程中，线性方程组常用于描述物理系统的状态或行为，如电路中的电流电压关系、力学中的力平衡等。 通过求解线性方程组，可以得到系统的稳定状态或行为规律。
计算机科学领域
在计算机科学中，线性方程组常用于图像处理、机器学习等领域。通过求解线性方程组，可以实现图像的变 换、数据的拟合等任务。
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念引入及基本运算回顾
矩阵定义与表示方法
由数字组成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B等。
矩阵基本运算
包括加法、减法、数乘和乘法等，需满足相应运算规则。
矩阵转置
将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记为$A^T$。
矩阵秩、逆矩阵与行列式关系
矩阵秩
矩阵中非零子式的最高阶数，反映了矩阵的行或列向量组的线性 无关性。
关键知识点总结回顾
二阶行列式的定义
由2x2矩阵通过特定运算得到的数值，表示两个向量在二 维空间中的相对位置关系。
二阶、三阶行列式的计算方法
通过展开式或对角线法则进行计算。
ABCD
三阶行列式的定义
由3x3矩阵通过特定运算得到的数值，表示三个向量在三 维空间中的相对位置关系。
行列式的性质
包括行列式与矩阵转置的关系、行列式的乘法性质、行 列式的加法性质等。
二阶行列式与三阶行列式的关系
二阶行列式与三阶行列式的关系二阶行列式与三阶行列式是线性代数中的两个基本概念，它们之间存在着重要的联系和关系。
首先，我们知道一个二阶行列式可以表示为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
$$
而一个三阶行列式可以表示为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-
a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-
a_{22}a_{31})
$$
可以发现，三阶行列式中的每个元素是由二阶行列式推导而来的，即三阶行列式可以通过对二阶行列式的逐项展开得到，而每一项的系
数正负号是有规律的（著名的莱布尼茨公式）。
因此，我们可以说：二阶行列式是三阶行列式中的一部分，从二
阶行列式可以推出三阶行列式。
同时，由于三阶行列式具有更高的维度和更多的元素，它的推导
和计算更加繁琐和复杂，因此在实际应用中，我们常常可以通过对三
阶行列式的展开和简化，来得到更简单的二阶行列式。
综上所述，二阶行列式与三阶行列式是密切相关的概念，它们之
间的关系有助于我们更好地理解和应用行列式的相关知识。
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a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
解 从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后 一行上去.
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
得 D D1 O
注意：
* D2 D1 D2 .
O D
D2
D1 * * D2
D1 O
(1)mn
| D1 || D2
|.
以上的几个式子可作rmonde）行列式
11
1
x1 x2 Dn x12 x22
xn
xn2
(xj xi ), (1)
0 x2n2 x2 x1 x3n2 x3 x1 xnn2 xn x1
1 11
x2 x1x3 x1xn x1
x2
x3 xn
(x2 x1)(x3 x1)
xi xj . ni j1
ab
c
d
0 a ab abc
0 a 2a b 3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
同理，可得
ab c
d
0 a ab abc
00 a
2a b
00 a
3a b
ab c
d
0
a
ab
a b c a4.
00 a
2a b
00 0
a
例5.4 计算 1234 2341 . 3412 4123
解 把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提 取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行.
1 2 3 4 10 2 3 4 2 3 4 1 10 3 4 1
3 4 1 2 10 4 1 2 4 1 2 3 10 1 2 3
12 3 4
解 显然当x=0或y=0时，D＝0，当x≠0和y ≠ 0时，
利用展开定理，
1 1 1 1 1 11 1 1 1
0 1+x 1 1 1 -1 x 0 0 0
D 0 1 1-x 1 1 -1 0 x 0 0
0 1 1 1+y 1 -1 0 0 y 0
x3
x x n2 2
n2 3
xn
(xi x j ).
2i jn
x n2 n
我们来证明对n阶Vandermonde行列式也成立.
11
11
0
Dn 0
x2 x1
x2x2 x1
x3 x1 xn x1
x3x3 x1 xnxn x1
式
p11
0
D1
p11 p22 pmm.
pm1
pmm
对D2作运算kci+cj,也可把D2化为下三角行列式，设为
q11
0
D2
q11q22 qnn.
qn1
qnn
于是，对D的前m行作运算krj+ri,对D的后n列作运算 kci+cj，把D化成下三角行列式
p11
00
0
D pm1
pmm 0
0 ,
b1n
cn1 a11 D1 am1
试证D=D1D2.
cnm bn1
a1m
b11
, D2
amm
bn1
bnn b1n . bnn
证明 对D1作运算krj+ri,可把D1化为下三角行列式,即设
amm≠0,作运算
aim amm
rm
ri (i
1,
m), 将D中第m列前m-1
个元素全化为0，如此继续下去就可以将其化为下三角行列
a2n
an1
bnj cnj
ann
a11 b1 j a1n a11
c1 j
a21 =
b2 j
a2n
a21
c2 j
an1 bnj ann an1
cnj
a1n a2n .
ann
5 行列式的某行(列)的各元素乘以同一数k加到另一 行(列)对应的元素上去，不改变行列式的值.即
12 3 4
1 10
3
4
1
0
10
1
1
3
14 1 2
0 2 2 2
11 23
0 1 1 1
12 3 4 2r2 r3 0 1 1 3
10 120. r1 r4 0 0 3 1
0 0 0 4
例5.5 设
a11
a1m 0
0
D am1 c11
amm 0 c1m b11
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 D
a j1 a j2
ain
ai1
a jn a j1 kai1
ai 2 a j2 kai2
ain .
a jn kain
an1 an2
ann
an1
an 2
ann
例5.3 计算
ab
c
d
a ab abc abcd
D
.
a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d
§3.3 行列式的性质
1 行列式与其转置行列式的值相等. 即D=DT. 2 交换行列式的两行（或两列）元素，行列式的 值仅改变符号. 3 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子 可以提到行列式的外面.
4 行列式具有分行（列）可加性.即
a11
b1 j c1 j
a1n
D= a21
b2 j c2 j
1i jn
x x n1
n1
1
2
x n1 n
其中记号“Π”表示全体同类因子的乘积.
证 用数学归纳法.因为
11
D2 x1
x2
x2
x1
(xj 1i j2
xi ),
所以当n=2时(1)成立.
现在假设(1)对于n－1阶Vandermonde行列式，即
11
1
Dn1 x2
0 ,
c11
c1m q11
0
cn1
cnm qn1
qnn
故D＝p11p22···pmmq11q22 ···qnn=D1D2.
例5.5可简记为
D D1 *
O D2 D1 D2 .
其中D1是m2个元素aij排成m行m列； D2是n2个元素bij排 成n行n列；*是任意n×m个元素cij排成n行m列;O是 m×n个数0排成m行n列.利用性质3.1与例5.5的结果可
例5.7 计算
x2n2 x3n2 xnn2
(xn x1) (xi xj ) ni j2
1111 2345 D 22 32 42 52 12. 23 33 43 53
例5.8 计算4阶行列式
1+x 1 1 1
1 1 x 1 1
D
,
1 1 1+y 1
1 1 1 1 y