1-1二阶与三阶行列式
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b3 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a11 b1 D2 a21 b2
a31 b3
a13 a23 , a33
则三元线性方程组的解为:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
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1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
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2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
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例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
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例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
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aa2111xx11
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故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
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-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
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11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
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则二元线性方程组的解为
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b1
x1
D1 D
b2 a11
来自百度文库
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
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a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 a12 a13
记
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
b1 a12 a13
即
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
解 由于方程组的系数行列式
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
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同理可得
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2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
b1 , b2 ,
D3
a11 a21
a12 a22
b1 b2 .
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a31 a32 b3
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
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思考题
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求一个二次多项式f x,使 f 1 0, f 2 3, f 3 28.
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
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三、小结
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二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
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定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
Made by CQR
a11 b1 a13
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
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aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 a21 a22
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aa1211
x1 x1
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
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二阶行列式的计算
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对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12
a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
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(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
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a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
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二、三阶行列式
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定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
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aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
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6，会运用行列式按行（列）展开法则，并 结合行列式的性质，简化行列式的计算。 7，运用Cramer 法则求解线性方程组的解 8，学会简单判断线性方程组解的情况。
二、教学重点： 1，理解n阶行列式的概念，并能利用定义确 定行列式某一项的符号。 2，理解和熟悉行列式的几种重要性质； 3，运用Cramer 法则判断线性方程组的解； 4，学会求行列式的方法。
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思考题解答
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解 设所求的二次多项式为
f x ax2 bx c, 由题意得 f 1 a b c 0, f 2 4a 2b c 3, f 3 9a 3b c 28,
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
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第一章 行列式
一，教学目标： 1，理解行列式的定义； 2，会求一个排列的逆序数，会判断行列式 的某一项的符号； 3，了解矩阵的对换及对换与排列的奇偶的 关系； 4，理解行列式的几种性质，并运用性质计 算行列式的值； 5，理解元素余子式和代数余子式的概念， 并会求解。
两式相减消去 x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a11 b1 D2 a21 b2
a31 b3
a13 a23 , a33
则三元线性方程组的解为:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
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1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
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2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
利用三阶行列式求解三元线性方程组
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
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例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
若记 或
b1 b2 b1
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
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例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
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aa2111xx11
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故所求多项式为
f x 2x2 3x 1.
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-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
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11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
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则二元线性方程组的解为
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b1
x1
D1 D
b2 a11
来自百度文库
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
Made by CQR
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 a12 a13
记
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
b1 a12 a13
即
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
解 由于方程组的系数行列式
1 2 1
D 2 1 3 11 1 2 3 1
1 1 1
1 2 1 11 1 2 2 1 1 31
5 0,
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同理可得
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2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
b1 , b2 ,
D3
a11 a21
a12 a22
b1 b2 .
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a31 a32 b3
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a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
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思考题
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求一个二次多项式f x,使 f 1 0, f 2 3, f 3 28.
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
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三、小结
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二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
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定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
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aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
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a11 b1 a13
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
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aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 a21 a22
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aa1211
x1 x1
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第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
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二阶行列式的计算
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对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12
a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
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(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
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a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
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二、三阶行列式
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定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
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aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
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6，会运用行列式按行（列）展开法则，并 结合行列式的性质，简化行列式的计算。 7，运用Cramer 法则求解线性方程组的解 8，学会简单判断线性方程组解的情况。
二、教学重点： 1，理解n阶行列式的概念，并能利用定义确 定行列式某一项的符号。 2，理解和熟悉行列式的几种重要性质； 3，运用Cramer 法则判断线性方程组的解； 4，学会求行列式的方法。
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思考题解答
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解 设所求的二次多项式为
f x ax2 bx c, 由题意得 f 1 a b c 0, f 2 4a 2b c 3, f 3 9a 3b c 28,
得一个关于未知数 a, b, c 的线性方程组, 又 D 20 0, D1 40, D2 60, D3 20. 得 a D1 D 2, b D2 D 3, c D3 D 1
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第一章 行列式
一，教学目标： 1，理解行列式的定义； 2，会求一个排列的逆序数，会判断行列式 的某一项的符号； 3，了解矩阵的对换及对换与排列的奇偶的 关系； 4，理解行列式的几种性质，并运用性质计 算行列式的值； 5，理解元素余子式和代数余子式的概念， 并会求解。
两式相减消去 x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22