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二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式 二、三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
2 2
下页
a11 a1 =a11a22 -a12a21 a2 2 1 a2 2 例1 求解二元线性方程组 3x1 - 2x2 =12 2x + x =1 1 2 解 由于
D = 3 - 2 = 3- (-4) = 7 0 2 1 D1 = 12 - 2 =12 - (-2) =14 1 1 D2 = 3 12 = 3- 24 = -21 2 1 因此 D1 14 D2 - 21 x1 = = = 2 x2 = = = -3 D 7 D 7
a11 a12 a13 为了便于记忆和计算 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
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二、三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
1 例2 计算三阶行列式 D= -2 -3 解 按对角线法则 有
2 2 4
D =12(-2)+21(-3)+(-4)(-2)4 -114 -2(-2)(-2) -(-4)2(-3)
第一节 二阶与三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D
1
1
0 2 1 0,
第一节 二阶与三阶行列式讲 解课件
8.有限个向量的向量组与矩阵一一对应
列向量组
行向量组
9、向量的运算
（特殊矩阵）
转置、相等、加法、数乘、乘法；运算律
T T T （ 1 ， 1 ， 1 ） , （ 0 ， 1 ， 2 ） , （ 1 ， 0 ， 1 ） 例：设
求 解
.
T T T
7.向量组：
若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组.
行向量组 列向量组
有限个向量 无限个向量
本课程默认为列向量组 先讨论有限个向量
m个n维列向量构成向量组 称为向量组 a1 , a2 ,, am ，或者称为向量组A
A : a1 , a2 ,, am
,或者称为向量组 A :
a1 , a2 ,, am .
T T T
T
等表示，如：
a T (a1 , a 2 ,, a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
1 2 3 1 2 1 5 3 6 r ~ 0 1 2 2 8 0 5 4 5 7 0
7 0 0 0 5 4 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 1
R( A) 3 R( B) 4
因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
a1 , a2 ,, an , b
线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对 应
二、 线性组合与线性表示
一二阶与三阶行列式-PPT精品文档
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13
a a a a a a a a a a 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32
a 33
a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a 11 A a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a11a22a33 a12a23a31a13a21a32 a 33 a13a22a31a12a21a33a11a23a32
例：
2 1 1
0 4 8
1 1 3
118 0(1 ) (1 ) 4 )3 2(
a b b a 1 a 11 11 2 1 21 x 2 a a a a A a 21 11 22 12 21
a 12 a 22
b1 b2
2.
a11x1 a12x2 a13x3 b 1 类似地，为讨论三元线性方程组 a21x a22x2 a23x3 b 1 2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
a 13 a 23 a 33
a 14 a 24 a 34
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 a41 a43 a44
1 2 M A 1 M 12 12 12
a 43 aa444 4
a11 a12 a13 M44 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a 12 a 22
算出来是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积
A
§1二阶与三阶行列式
性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
二阶和三阶行列式
a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D
二阶与三阶行列式分析
二阶与三阶行列式分析二阶行列式分析：二阶行列式是由两行两列元素组成的方阵。
例如，一个二阶行列式可以表示为：abcd其中a、b、c、d是实数。
二阶行列式的计算方法是将对角线上的元素相乘，然后减去另一条对角线上的元素相乘。
根据这个定义，二阶行列式的值可以表示为：abc d ， = ad - bc其中ad表示a和d的乘积，bc表示b和c的乘积。
三阶行列式分析：三阶行列式是由三行三列元素组成的方阵。
例如，一个三阶行列式可以表示为：abcdefghi其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是实数。
三阶行列式的计算方法可以通过展开定理来计算。
展开定理指出，三阶行列式可以按照第一行或第一列展开为两个二阶行列式的乘积。
根据展开定理，三阶行列式的值可以表示为：abcdefg h i ， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh其中aei、bfg、cdh分别表示第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积，ceg、bdi、afh分别表示第一列的元素与其对应的代数余子式的乘积。
行列式的应用：行列式在线性代数中起着重要的作用，具有广泛的应用。
以下是几个行列式的应用示例：1.解线性方程组：通过求解行列式的值，可以确定线性方程组的解的排列情况和数量。
2.计算面积和体积：通过行列式的计算，可以求得平面上一组向量所围成的面积，或者三维空间中一组向量所围成的体积。
3.判断向量的线性相关性：使用行列式可以判断一组向量是否线性相关，通过计算行列式的值，若行列式为0则表示向量线性相关，否则线性无关。
4.矩阵的逆、行列式的转置：行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
总结：二阶行列式可以通过对角线元素的乘积减去反对角线元素的乘积来计算。
三阶行列式可以通过展开定理，将其展开为两个二阶行列式的乘积。
行列式在线性代数中有广泛的应用，包括解线性方程组、计算面积和体积、判断向量的线性相关性等。
行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
线性代数§1.1二阶、三阶行列式
线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。
在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。
本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。
计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。
常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。
⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。
本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。
本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。
==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。
因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。
设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。
即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。
这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。
由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。
1.1二阶三阶行列式
在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面比5大的数0个,故逆序数为0; 1的前面比它大的数有3个,故逆序数均为3.
4的前面比它大的数有1个,故逆序数均为1. 3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列32514的逆序数为
N (32514) 0 1 0 3 1 5.
nn 1 , 2 当 n 4k ,4k 1
12 (n 1) n
时为偶排列； 时为奇排列.
当 n 4k 2,4k 3
方法2 分别计算出排在1,2 , , n 1, n 前面比它大的数 n 码之和即分别算出 1,2 , , n 1, n 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
设排列为 2）
欲 a1 al a b1 bm b c1 cn 即 a1 al a b1 bm b c1 cn 对换 a , b
a1 al b b1 bm a c1 cn
m 次相邻对换
a1 al b b1 bm a c1 cn a1 al ab1 bm bc1 cn ,
（6）式称为数表（5）所确定称为三阶行列式. a11 a12 a13 记为 a a a
21 22 23
a31
a32
a33
2、计算
1)对角线法则 a11 a12 a13
a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11 D a21
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
第一节二阶及三阶行列式空间直角坐标系
向量代数
空间解析几何
第一节
二阶及三阶行列式 空间直角坐标系
一、二阶及三阶行列式 二、空间直角坐标系
一、二阶及三阶行列式
1.二阶行列式 我们从解二元一次方程组入手，设二元一次方 程为
a1 x b1 y c1 , a 2 x b2 y c 2 .
①
当 a1b2 a2b1 0 时， 方程组的解为
a2
换成方程组右端的常数项 c1，c2 而成的
行列式，记为 Dx .
a1 行列式 a2
c1 是把系数行列式中 y 的系数 c2
b1，b2 换成常数项 c1，c2 而成的行列式 ，记为 Dy .
所以，二元一次方程组的解又可表示为:
Dy Dx x ,y (其 中D 0) D D
例1
解方程组
2 x 3 y 7 0 5 x 4 y 6 0
c1 c2 b1 b2
.
c1b2 c 2 b1 x , a1b2 a 2 b1 a1c 2 a 2 c1 y . a1b2 a 2 b1
分母中的行列式
a1 a2
b1 b2
是由方程组 ① 中 x、
y 的系数按原来次序排列成的，称为方程组的系 数行列式，记为 D.
c1 行列式 c2 b2 是把系数行列式中 x 的系数 a1 ， b2
右手法则
让右手的四指从 x 轴的正向，以 2 的角度转向 y 轴的
正向， 这时大拇指所指的方向就是 z 轴的正向. 法则叫做右手法则.
这个
这样就组成了空间直角坐标系. O 称为坐标原 每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面， 简称为 点， 坐标面. x 轴与 y 轴所确定的坐标面称为 x y 坐表 面， 类似地有 y z 坐标面，z x 坐标面. Ⅲ 这些坐标面把空间分成 八个部分，每一个称为一个
第一讲 二阶、三阶、N阶行列式
第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式； 掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义 难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。
线性代数1-1 二、三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
注 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式的计算
a 11 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
(1)沙路法 D a 21
a 31
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
(2)对角线法则
x 2 3,
有否统一的公式？
用消元法解二元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 .
1
2
1 a 22 : 2 a 12 :
a 11 a 22 x 1 a 12 a 22 x 2 b1 a 22 , a 12 a 21 x 1 a 12 a 22 x 2 b 2 a 12 ,
(6)
a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a 11 D a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
.列标 行标
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
1.定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
第一章 行列式
第一章行列式第一节二阶与三阶行列式1．二阶行列式：我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。
在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1）用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当时，有（2）这就是二元方程组的解的公式。
但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。
我们称记号为二阶行列式，它表示两项的代数和：即定义（3）二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，从右上角到左下角两个元素相乘取负号，即－＋由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D表示，即有如果将D中第一列的元素a11，a21换成常数项b1，b2，则可得到另一个行列式，用字母D1表示，于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x1的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a12，a22换成常数项b1，b2，可得到另一个行列式，用字母D2表示，于是有按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：a11b2-b1a21，这就是公式（2）中x2的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为其中D≠02. 三阶行列式含有三个未知量三个方程式的线性方程组的一般形式为（1）还是用加减消元法，即可求得方程组（1）的解的公式，当时，有（2）这就是三元方程组的解的公式。
这个公式更不好记，为了便于记它，于是引进三阶行列式的概念。
我们称记号为三阶行列式。
三阶行列式所表示的6项的代数和，也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号，从右上角到左下角三个元素取负号，即（3）由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程组中未知量的系数，所以称它为三元方程组的系数行列式，也用字母D来表示，即有同理将D中第一列、第二列、第三列的元素分别换成常数项就可以得到另外三个三阶行列式，分别记为于是有按照三阶行列式的定义，它们都表示6项的代数和；并且分别是公式（2）中x1，x2，x3的表达式的分子，而系数行列式D是它们的分母。
1-1 二阶与三阶行列式
ai j
行标
即元素 aij 位于第 i 行第 j 列.
列标
二阶行列式的计算 —— 对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
例1 计算行列式 D
5 10
29 8
.
解 D 5 8 29 ( 10) 330 例2 当 a 为何值时，行列式 解 因为
三阶行列式的计算 —— 对角线法则
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号, 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a2 3 a 1 a
2
a 1
3
的值不为 0？
a 3a a(a 3),
2
要使行列式的值不为 0，必有 a 0 且 a 3.
二、三阶行列式
定义2 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 , a31 a32 a33 记 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 , 称为该数表所确定的三阶行列式.
注意 对角线法则仅适用于二阶与三阶行列式的计算，但 对于三阶以上的行列式则不适用.
1
2 4
例3 计算行列式 D 2 2 1 . 3 4 2
行列式1-(2 3).
第一章 行列式
定义1.1.4： 在一个排列中，若某两个数中较大的数排在较小的数 前面，则称这两个数构成一个逆序。 一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的 逆序数 通常记作
( p1 , p2 ,, pn )
奇排列： 逆序数为奇数的排列。 偶排列： 逆序数为偶数的排列。
第一章 行列式
计算排列的逆序数的方法：
定理1.1.1 n阶行列式可表示为如下的形式
a11 a21 an1
a12 a1 n a22 a2 n an 2 ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j a2 j anj
1 2
n
关于公式的说明：
定理1.1.1说明n阶行列式是n!项的代数和，每一项是位 于不同行、不同列的n个元素的乘积，行标按从小到大 的自然次序排列，若列标构成的排列为偶排列，该项前 面取正号；若列标构成的排列为奇排列，该项前面取负 号。
第一章 行列式
a11 a12 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (1 4) a21 a22 a23 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a31 a32 a33
三阶行列式的计算
a11 a12 a13 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
推论 如果n阶行列式中的i行所有元素除 aij 外都为 零，那么行列式就等于 aij 与其对应的代数余子式 的乘积，即
D aij Aij
第一章 行列式
设n阶行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D
an1 an 2 ann
§1 二阶与三阶行列式
说明: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． (2) 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负.
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 a33
2. 二阶行列式的计算 二阶行列式的计算——对角线法则 对角线法则 主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
= a 1 1a 2 2 − a 1 2 a 2 1 .
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 . a11 a12 D= , 称为其系数行列式 称为其系数行列式 a21 a22
称为其系数行列式 称为其系数行列式
D = a21 a22 a31 a32
例1 解
x1 − 2 x2 + x3 = −2, 解线性方程组 2 x1 + x2 − 3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
1
−2 1 D= 2 1 − 3 = −1 − 6 + 2 − ( −1) − 4 − ( −3) = −5 ≠ 0 , −1 1 −1
第一章行列式
课 题第一章行列式 §1.1二阶与三阶行列式-§1.3 n 阶行列式的定义教学内容二阶与三阶行列式，全排列与逆序数，n 阶行列式的定义教学目标 理解n 阶行列式的定义；掌握几个特殊行列式的求法。
教学重点 n 阶行列式的定义教学难点 n 阶行列式的定义双语教学内容、安排 行列式：determinant ；对角线法则：diagonal rule ；全排列：total permutation教学手段、措施行列式是研究方程组解的问题的重要工具之一。
本次课主要介绍行列式的定义。
教学过程及教学设计备注 第一章 行列式（determinant ）§1.1二阶与三阶行列式一、 二阶行列式（determinants of order two ） 引例 解二元线性方程组1112121222(1)(2)a x a yb a x a y b +=⎧⎨+=⎩解：利用消元法解得122122*********b a a b x a a a a -=-，112211211221221a b a b x a a a a -=-于是得定义：规定11222112a a a a -为二阶行列式，并记为22211211a a a a 。
注意：①元素ij a )2,1;2,1(==j i ，i 称行标，j 称列标。
（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）本节要求掌握二、三阶行列式定义，及对角线法则。
②对角线法则求2112221122211211a a a a a a a a -=。
③D a a a a a a a a =-=2112221122211211，1222121212221D a b a b b a a b ==-，2221111211211D b a b a a b b a ==- 。
例1 解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=-1212232121x x x x 解：由于2412123,1411212,07122321-===-=≠=-=D D D 故3,22211-====DDx D D x 。
1_1_二阶三阶行列式
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
二元线性方程组 { a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2 (1) (2)
用消元法解： (1) × a22 − (2) × a12 得： x= b1 a22 − a12 b2 a11 a22 − a12 a21 a11 b2 − b1 a21 a11 a22 − a12 a21
§1.1 二阶三阶行列式 6/12 ▹ ◃ △ ▽
三元线性方程组 a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a x + a y + a z = b 31 32 33 3 用消元法解： (2) × a13 − (1) × a23 得： (a21 a13 − a11 a23 )x + (a22 a13 − a12 a23 )y = b2 a13 − b1 a23 (3) × a13 − (1) × a33 得： (a31 a13 − a11 a33 )x + (a32 a13 − a12 a33 )y = b3 a13 − b1 a33
4/12 ▹ ◃ △ ▽
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
定义二阶行列式： a11 a12 = a11 a21 − a12 a22 a21 a22 则方程的解可简单地表示为： b1 b2 x= a11 a21 a12 a22 , a12 a22 a11 a21 y= a11 a21 b1 b2 a12 a22
3/12 ▹ ◃ △ ▽
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1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审容膝之易安。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
§1_二阶与三阶行列式
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联