高一下学期期末模块模拟测试(数学试卷)
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.，则（ ）A. B. C. D. 2. 一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示，四边形为等腰梯形，，则平面图形的面积为（ ）A. B. C. D. 3. 在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（ ）A.B. C. D. 4. 已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（ ）15ii z -+=z =5i+5i-5i--5i-+OACB O A C B ''''3,O A O B ''''==OACB PABC Q 1134PQ xPA PB PC =++Q A B C 512x =712x =12x =18x =1e 2e 1212,3AB e e BC e e =-=+ 123CD e e =--A. A 、B 、C 三点共线B. A 、C 、D 三点共线C. A 、B 、D 三点共线D. B 、C 、D 三点共线5. 经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（ ）A. 35种B. 126种C. 495种D. 1001种6. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 三棱锥的侧棱是它的外接球的直径，且的体积为（ ）AB.C.D.8. 在中，，I 是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x 的取值范围是（ ）A. B.C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设m，n 是不同的直线，是不同的平面，则下列命题错误的是（ ）A. 若，则 B. 若，则n 平行于内的无数条直线C. 若，则 D. 若，则10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（ ）.ABC V 2a b =3c =·BA BC(3,9)(6,18)189,52⎛⎫⎪⎝⎭36,95⎛⎫⎪⎝⎭S ABC -SA 8,1,3,SA AB BC AC ====S ABC -ABC V π6,8,3AB AC BAC ==∠=BAC ∠AI =ABC V 12ID xAB AC =+ 15,624⎛⎤- ⎥⎝⎦15,624⎛⎫- ⎪⎝⎭15,68⎛⎫- ⎪⎝⎭15,68⎛⎤- ⎥⎝⎦,αβ//,//m αβα//m β//,m n m α⊂α,m m n α⊥⊥//n α,m αβα⊥⊥//m βA. 第n 行的第个位置的数是B.C. 第2024行的第1012个数最大D. 第28行中第5个数与第6个数的比值为11. 已知正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A. 平面被正方体内切球所截，则截面面积为B. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为C. 若点P 在线段上运动，则D. 以D第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 正四棱锥的所有棱长均为4，M 为棱PC 的中点，则异面直线BM 与PA 所成角的余弦值为______．13. 已知，则______．14. 现用种不同的颜色对四棱台的个顶点涂色，要求同一条棱的两个端点不同色，且上底面个顶点颜色都不同，则不同的涂色方法种数为______．（用具体数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 的展开式中所有项的二项式系数之和为32，前3项的系数之和为31．的()r r n ≤1C r n -444556781C C C C +++=4251111ABCD A B C D -1ACD π121A ABCD -1B ABCD -5241B C 1π2BPD ∠≥P ABCD -823801238(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =+++++++++ 6a =41111ABCD A B C D -842(0)na x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭（1）求实数n 和a 的值；（2）求的展开式中的系数．16. 已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，，．（1）求；（2）从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使存在且唯一确定，求S ．条件①；条件②；条件③BC 边上中线长为17. 在直三棱柱中，D 、E 分别是棱的中点，F 为线段上的点．（1）证明：平面；（2）若，当与平面的值．18. 在锐角中，内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，已知（1）求B ；（2）求取值范围：（3）若的外接圆半径为内切圆半径的最大值．19. “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面.的的的()2413na x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭2x ABC V 4a =2cos cos 3a Bb Ac b -=-cos A ABC V 2224S a c b =+-c =111ABC A B C -11,AC A C 1B E //CF 1A BD 12AB BC CA BB ====DF 1A BD 1EF FB ABC V tan tan A B +=222a c b+ABC V ABC V 4PA =PAB ⊥ABCD PAD ⊥ABCD（1）求证：四棱锥是“阳马”；（2）点M 在正方形内（包括边界）．平面平面且，（i ）求M 点轨迹长度；（ii ）是否存在M 点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．P ABCD -ABCD PAM ⊥PDM ππ,43ADM ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦BPM ⊥CPM A PD M --哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷答案第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】BCD第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【13题答案】【答案】112【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）， （2）【16题答案】【答案】（1） （2）答案略【17题答案】【答案】（1）证明略（2）【18题答案】【答案】（1） （2）的取值范围为 （3【19题答案】【答案】（1）证明略 （2）（i ）；（ii ）存在，该点为与交点，二面角的余弦值6965n =2a =160-1cos 3A =12EFFB =π3B =222a c b+5,23⎛⎤ ⎥⎝⎦π6AC BD A PD M --23。
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A. B. C. D.2．设复数z 满足( )A. B. C. D.3．设,,A. B. C. D.4．已知( )5．平面与平面平行的充分条件可以是( )A.内有无穷多条直线都与平行B.直线,,且,C.直线,直线,且,D.内的任何一条直线都与平行6．如图,为直角三角形,,,C 为斜边的中点,P 为线段的中点,则( )7．若圆台侧面展开图扇环的圆心角为,其母线长为2,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,则该圆台的高为( ){}25A x x =∈-<<Z {}24B x x x =<A B = (0,4){1,2,3}{}1-(2,4)-(1i)3i z -=-=2i+2i-12i -12i+0.48a = 1.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭c =a c b <<a b c<<c b a <<c a b<<tan α=α=αβαβm ⊄m β⊄//m α//m βm α⊂n β⊂//m β//n ααβAOB △1OA =2OB =AB OC AP OP ⋅=12180︒A.8．已知函数,若方程有4个不同的根,,,,且,则的值为( )A.3B.0C.2D.6二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A.任意向量,与同向,则B.若向量,且,则A,B,C 三点共线C.若,则与的夹角是锐角,,则在上的投影向量为10．已知函数,满足,且,则( )A.的图象关于C.在上单调递减D.的图象关于点对称11．正方体的棱长为2,已知平面,则关于平面截正方体所得截面的判断正确的是( )A.截面形状可能为正三角形B.平面与平面ABCD 所成二面角的正弦值为C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为三、填空题12．已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数,当时,,则的值为____________．__________.41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x k =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<3412x x x x --a b ba b> PA PB PC λμ=+ 1(01)λμλ+=<<0a b ⋅>a b 6b 3,π4b = a b -()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()f x x 1φ2=-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 13π,012⎛⎫⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1AC α⊥αα()f x 01x <<()2xf x =72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=14．已知三棱锥底面是边长为3的等边三角形,且,当该三棱锥的体积取得最大值时,其外接球的表面积为____________．四、解答题15．已知向量,且．（1）求向量与的夹角．（2）若向量与互相垂直,求k 的值．16．已知函数的部分图象如下图所示．（1）求函数的解析式．（2）若将函数的图象,求不等式的解集．17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,已知．（1）求B ;（2）若．18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,E ,F 分别为,的中点,G 为线段上一动点,平面．（1）证明：平面平面;（2）当时,证明：平面;（3）若,四面体的体积等于四棱锥的S ABC -SA AB SB ==(1,1a =-()3a b b +⋅= a bka b + a kb -π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x (f x ()g x ()1g x >ABC △2cos 2b C a c =+b =sin A C =c +P ABCD -ABCD PB PC AC PD ⊥ABCD ⊥BDF A E G 3CG AG =//EG BDF 2AD PD =BGEF P ABCD -．19．对于三个实数a,b,k ,若（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”,并说明理由;（2）若,具有“性质k ”,求实数k 的最大值．()()()(22111a b k a b --≥--22x --x ≤≤x cos x参考答案1．答案：B解析：,,所以.故选：B.2．答案：C,.故选：C.3．答案：D解析：因为函数在R 上单调递增,所以,又因为函数在上单调递增,所以,所以.故选：D.4．答案：B解析：依题意,故选：B.5．答案：D解析：对于A,若内有无穷多条直线都与平行,则,平行或相交,故充分性不成立,故A 错误;对于B,如图,在正方体中,平面,平面,{}{}251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-Z {}{}2404B x x x x x =<=<<{1,2,3}A B = ()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+2x y =. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭lg y x =(0,)+∞1lg lg103c =<=c a b <<2222222211cos sin 1tan 2cos2cos sin 1cos sin 1tan 12ααααααααα---=-=====+++αβαβ1111ABCD A B C D -11//C D ABCD 11//C D 11ABB A而平面平面,故充分性不成立,故B 错误;对于C,如图,在正方体中,平面,平面,而平面平面,故充分性不成立,故C 错误;对于D,由面面平行的定义知能推出平面与平面平行,故充分性成立,故D 正确.故选：D.6．答案：B解析：因为,取中点Q ,连接,故选：B.7．答案：C解析：设圆台的上底面的圆心为H ,下底面的圆心为O ,设圆台的母线交于点S ,11ABB A ABCD AB =1111ABCD A B C D -11//A B ABCD //CD 11ABB A 11ABB A ABCD AB =αβ()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14BA ==AO PQ 144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221514164PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-=⎢⎥⎣⎦为圆台的母线,且,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,,所以,由圆台侧面展开图扇环的圆心角为,所以下底面圆的周长为,所以,所以,,在直角梯形中,易求得故选：C.8．答案：A解析：作出函数的图象如下由对称性可知,由图可知,所以,则,,,故选：A.9．答案：BD解析：对于A,向量不能比较大小,故A 错误,对于B,向量且时,由向量共线定理的推论,知A,B,C 三AB 2AB =HA OB ==2=4SB =180︒4π2π4πOB ⋅=2OB =1HA =HABO OH ==41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x +=-434log x =3401x x <<<43log 0x <444344log 0log log x x x ⇒-=>434log 0x x =341x x ∴=34121(2)3x x x x ---=-=PA PB PC λμ=+1(01)λμλ+=<<点共线,故B 正确,对于C,当,同向共线时,,此时夹角不是锐角,故C 错误,,故D 正确.故选：BD 10．答案：BD解析：因为函数函数,满足,所以的图象关于所以,所以,,因为,,即,所以,,所以则,由,可得,所以在上不单调,故C 错误;由,所以的图象关于点对称,故D 正确．故选：BD ．11．答案：ACD解析：如图,在正方体中,连接,,,,a b 0a b a b ⋅=⋅>3π4=-()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin(2)f x x ϕ=+x =πsin(2)3ϕ⨯+=±πk ϕ+=+∈Z ππ6k ϕ=-k ∈Z ()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()sin πsin 2πϕϕ+>+sin 0ϕ<2k n =n ∈Z sin ϕ=π()sin(26f x x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π11π(,)2666x ∈-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-()f x 13π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1A B 1A D BD AC因为平面,平面,则,因为四边形为正方形,则,又因为,,平面,所以,平面,因为平面,则,同理可证,因为,,平面,则平面,所以平面与平面平行或重合,所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形,故A 正确;平面与平面所成二面角正弦值为即为平面与平面所成的角,设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,又平面,又平面,所以,又,,平面,又平面,所以,所以是平面平面与平面所成二面角的平面角,由题意可得,进而可得所以所以平面与平面的1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥ABCD BD AC ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11AA C C BD ⊥11AA C C 1AC ⊂11AA C C 1BD AC ⊥11A B AC ⊥1A B BD B = 1A B BD ⊂1A BD 1AC ⊥1A BD α1A BD 1A BD αABCD 1A BD ABCD AC BD 1OA ABCD AC BD ⊥1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂1AA O 1AO ⊂1AA O 1BD AA ⊥1AOA ∠1A BD ABCD 12A A =12AO AC ==1AO ==111sin AA AOA A O ∠===α当E,F,N,,M,G,H 分别为对应棱的中点时,截面为正六边形,因为E ,H 分别为,的中点,则,因为平面,平面,则平面,同理可得平面,又因为,,平面,则平面平面,所以,平面,此时截面为正六边形,故C 正确;如图设截面为多边形,设,则,则,所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和,所以,因为EFNMGH 1BB 11A B 1//EH A B EH ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD //EH 1A BD //EF 1A BD EH EF E =I EH EF ⊂EFNMGH //EFNMGH 1A BD 1AC ⊥EFNMGH GMEFNH 1A G x =02x ≤≤,)GH ME NF MG HN EF x ======-MN =GMEFNH 1211()()22S GH MN h MN EF h =+⋅++⋅1h ==所以=时,故选：ACD.12．答案：解析：根据题意,是定义在R上周期为2的奇函数,所以故答案为：13．答案：414．答案：解析：依题意,三棱锥的底面面积是个定值,侧面是等边三角形,顶点S到边的距离也是一个定值,所以当该三棱锥的体积取得最大值时,平面平面,取的中点,连接,,N,M分别为正三角形,的中心,所以,,所以为二面角平面角,可得,过N,M分别作平面,平面的垂线,,两垂线交于O,的2h==11)22S x=+-11)22S x=+++-221)x=++=-+1x=maxS=()f x127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2sin301041sin202︒-︒==︒15πS ABC-ABC△SAB ABSAB⊥ABCAB SH CH SAB ABCSH AB⊥CH AB⊥SHC∠S AB C--SH CH⊥SAB ABC NO MO则O 为外接球的球心,由正三角形的性质可求得进而可得易得四边形是正方形,所以由勾股定理可得其外接球的表面积为.故答案为：.（2）或解析：（1）由,得设向量与的夹角为,由,,所以,所以,解得所以向量与（2）由向量向量与互相垂直,得,所以,即,解得或．16．答案：（1）（2）,解析：（1）由图象知,即,又,,所以SH CH ==NH HM ==CM ==OMHN OM =OC ==24π15π=15π1k =1k =-()1,1a =-||a == a b[0,π]θ∈()3a b b +⋅= 2a b b ⋅+= 1a b ⋅= ||||cos 1a b θ⋅= cos θ=a b ka b + a kb -()()·0ka b a kb +-= 2220ka k a b a b kb -⋅+⋅-= 22120k k k -+-=1k =1k =-1π()2sin()26f x x =+ππ(π,π)66k k -+k ∈ZA =8π2π2π33=-=4πT =0ω>4π=ω=1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点,所以,所以,,解得,.又．（2）将函数可得函数,的图象,所以,由,可得,所以所以,,所以,所以不等式的解集为,．（2）2解析：（1）因为余弦定理可得,所以,因为,所以,,2π(,2)32π12π(2sin()2323f ϕ=⨯+=πsin()3ϕ+=π2π2k ϕ+=+k ∈Z 2ππ6k ϕ=+k ∈Z ||ϕ=1π()2sin(26f x x =+(f x ()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+()g x ()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=()1g x >2cos 21x >cos 2x >ππ2π22π33k x k -<<+k ∈Z πππ6k x k -<<+∈Z ()1g x >ππ(π,π66k k -+k ∈Z 222222a b c b a c ab+-⨯=+222a b c ac -+=-2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈B =2sin sin b c B C====sin =sin C =又,由余弦定理得,即,因为,所以.18．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,且O 为的中点,又平面,又平面,所以,因为E 是的中点,所以,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;（2）连接交于点M ,连接,连接,则O 为的中点,因为,的中点,所以M 为所以,又平面,平面,所以平面;（3）由平面,可得,因为E,F 分别为,的中点,sin sin A C =2c =1=2222cos b a c ac B =+-221322a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+,0a c >2a c +=AC BD OE ABCD AC BD ⊥BD PD ⊥ABCD BD ⊂ABCD PD BD ⊥PB //PD OE OE BD ⊥OE AC O = OE AC ⊂A E G BD ⊥A E G BD ⊂BDF ⊥BDF A E G CE BF EF OM AC 3CG ==PB PC PBC △==//OM GE OM ⊂BDF EG ⊄BDF //EG BDF PD ⊥ABCD 22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==PB PC所以,所以,所以又四面体的体积等于四棱锥,所以点G ,A平面.19．答案：（1）（答案不唯一）,理由见解析.（2）（3）0解析：（1）与2具有“性质1”.当时,即,则2与2具有“性质1”（2）若所以,即,令,,所以,所以,解得即所以因此x 的取值范围,具有“性质k ”,14BEF PEF PBC S S S ==△△△4A PBC A BEF V V --=228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===BGEF P ABCD -A BEF G BEF V --=BEF 34=2a =4{|log x x ≤4log x ≥2a =2a =()()()(22212112212--≥⨯--⨯90>22x x --()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦()22210442104430xxx x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥4xt =0t >2131300t t t t t-++-≥⇒≥2310t t -+≥0t <≤≥04x <≤x ≥4log x ≤4log x ≥4{|log x x ≤4log x ≥x ≤≤x cos x所以,,化简得令,,两边平方得令求导得令,求导得令,解得,当,,在上单调递减;当,,在上单调递增;又因为,所以,因此,即y 在单调递减,当时,y 取最小值为0,进而得到,实数k 的最大值为0.()()()(22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x --≥--x ≤≤x >cos x cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->()()22cos sin sin cos 1sin cos x x k x x xx k ≥--⇒≤sin cos t x x =-[]0,1t ∈sin cos x x =2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭43212,22t t y t t++-=()()()()()33242234422122622t t t t t t t y t t -++--++='=+462551()h t t t t =+--534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-()0h t '=0,1t t ==<t =()0h t '<()h t t =()0h t '>()h t (0)1h =-(1)0h =()0h t <0'<y []0,11t =0k ≤。
苏教版高一数学下学期期末考试模拟试卷(二)
高一数学下学期期末考试模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．在等比数列}{n a 中，121=+a a ，943=+a a ，则=+54a a ____27±____.2.如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数分别是,a b ，则a b += 57.5 ．3．若执行如图所示的算法流程图，输出的结果是17，则其判断框中的横线上可以填入的最大整数为 644．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 6 5. 将一枚硬币连续抛掷3次，则有且只有2次出现正面向上的概率为 386．已知等比数列的前n 项和为S n ，若S 3 :S 2=3:2，则公比q = 112-或 . 7．已知变量,x y 满足⎧⎪⎨⎪⎩224y x x y y x ≤+≥≥-，则3z x y =+的最大值是 16 ．8. 有一组统计资料，数据如下（不完全依大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为 69．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗Y (则刻画y 关于x 的线性回归方程y bxa =+是 y=x+1 10．已知递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且3242,a a a +是的等差中项，若21log n n b a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S =(3)2n n + . 11．设关于x 的不等式ax b +>0的解集为(,)1+∞，则关于x 的不等式ax bx x +-->2560的解集为 {|11x x -<<或x>6} 12.如图，△12OA A 是等腰直角三角形，1121AO A A ==,以2OA 为直角边作等腰直角三角形△23OA A ，再以3OA 为直角边作等腰直角三角形△34OA A ，如此继续下去得等腰直角三角形 △45OA A ……．则△910OA A 的面积为 128 13.在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin 2sin()sin 0A A C B +--=，则△ABC 的面积为．14．对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 [)+∞-,2 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．已知集合{}2230,A x xx x R =--≤∈，{}22240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈.（Ⅰ）若[]0,3A B =，求实数m 的值；（Ⅱ）若B C A R ⊆，求实数m 的取值范围.16. 如图所示的茎叶图是青年歌手电 甲 乙 视大奖赛中7位评委给参加最后决赛的两位选手 8 5 7 9甲、乙评定的成绩，程序框图用来编写程序统计 8 5 5 4 8 4 4 4 6 7 每位选手的成绩（各评委所给有效分数的平均值）， 2 9 3试根据下面条件回答下列问题：（1）根据茎叶图，乙选手的成绩中，中位数和众数分别是多少？（2）在程序框图中，用k 表示评委人数，用a 表示选手的最后成绩（各评委所给有效分数的平均值）．那么图中①②处应填什么？“S 1=S -max-min ”的含义是什么？（3）根据程序框图，甲、乙的最后成绩分别是多少？15. （1）;84;84 （2） 1S 表示总分S 减去最高分和最低分17．甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹.（1）求空弹出现在第一枪的概率；（2）求空弹出现在前三枪的概率;（3）如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔,,P Q R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击,第四个弹孔落在三角形PQR 内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）. 15. 解：设四发子弹编号为0（空弹），1，2，3，（1）设第一枪出现“哑弹”的事件为A ，有4个基本事件,则：（2分）1()4P A =（4分）(2) 法一:前三枪出现“哑弹”的事件为B,则第四枪出现“哑弹”的事件为B ,那么()()P A P B =，（6分）13()1()1()1.44P B P B P A =-=-=-=（9分）法二:前三枪共有4个基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},满足条件的有三个,（7分）则3().4P B =（9分）(3) RT PQR ∆的面积为6，（10分）分别以,,P Q R 为圆心、1为半径的三个扇形的面积和11442πππ=+=,（12分）设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C,162()1612P C ππ-==-.（14分） 18. 假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么到哪一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 参考数据：41.08 1.360=，51.08 1.469=，61.08 1.587=，71.08 1.714=，81.08 1.851=19．在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6，D 为△ABC 内（不含边界）任一点，点D 到三边距离之和为d 。
高一下学期期末模块模拟考试(数学)
高一第二学期数学模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的。
1、从2004名学生中选取50名组成观光团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004名人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率A、不全相等B、均不相等C、都相等且为{ EMBED Equation.KSEE3 \*MERGEFORMAT |251002D、都相等且为2、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为A、65辆B、76辆C、88辆D、95辆3、在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25与49之间的概率为A、B、C、 D 、4、已知非空集合A、B满足,给出以下四个命题若任取，则是必然事件若任取，则是不可能事件若任取，则是随机事件若任取，则是必然事件其中正确的个数是A、1B、2C、3D、45、某高校研究小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制定了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭A、82万盒B、83万盒C、84万盒D、85万盒6、某校有学生4500人，其中高三1500人。
为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为A、50B、100C、150D、207、甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一个人及格的概率为A、B、C、 D 、8、如图：矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，从此实验数据为依据可以估计椭圆的面积约为A、7.68B、16.32C、17.32D、8.689、已知样本容量为30，在样本频率直方图1中，各小长方形的高的比从左到右依次为2：4：3：1，则第2组的频率和频数分别为A、0.4，12B、0.6,16C、0.4,16D、0.6，1210、方程有实根的概率A、B、C、 D 、11、连掷两次骰子得到点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是A、B、C、 D 、12、为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题。
福建省三明市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷
福建省三明市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷一、单选题1．已知复数 21iz =+，则（ ） A ．z 的实部为 1- B ．z 的虚部为 iC．z =D ．1i z =- 2．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 345：：，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为96的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）A ．32B ．40C ．64D ．723．如图，ABC '''V 是水平放置的 ABC V 在斜二测画法下的直观图. 若 1BO OC ='='，OA ''则 ABC V 的面积为（ ）A ．2 B．C ．4 D．4．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（ ）A ．都是蓝球B ．都是黄球C ．恰有一个蓝球D ．至少有一个蓝球 5．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则（ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 6．福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 6m 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．27．如图，在直三棱柱 111ABC A B C -中，13AA AC BC ===，90ACB ∠=o ，点 D 是线段 1AA 上靠近 1A 的三等分点，则直线 1C D 与 1B C 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．CD 8．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（ ） A ．6% B ．12% C ．14% D ．28%二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．已知向量 a b c r r r ，，，若 a b b c r r r r //，//，则 //a c r rB ．已知非零向量a b r r ，，“a b ⊥r r ”是“ 0a b ⋅=r r ”的充要条件C ．若 A B P ，，是直线 l 上不同的三点，点O 在直线 l 外，()()2R OP mAP m OB m =+-∈u u u r u u u r u u u r ，那么 32m = D ．已知非零向量a b r r ，，“0a b ⋅>r r ”是“a b r r ，夹角为锐角”的必要不充分条件10．如图，在棱长为4的正方体 1111ABCD A B C D -中，E 为 1AA 的中点，F 为 AE 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线 CE 与 11AC 为异面直线B ．//CE 平面 BDFC ．三棱锥 E ABD -外接球的体积为 36π D ．二面角 F BDE --的余弦值为 11．如图，在ABC V 中，已知4,10,60AB AC BAC ∠===o ，BC 边上的中点为M AC ，边上的中点为,N AM 、BN 相交于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．BC =B ．ABC VC ． AM u u u u r 与BN u u u rD ．过点P 作直线交线段AB 和BC 于点EF ，则BE BF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是162,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知 (4,3),||8a b ==r r ，且 a r 与 12a b -r r 互相垂直. 则向量b r 在向量a r 上的投影向量的坐标为.13．从长度为1，3，6，9，10的线段中任取一条，能与长度分别为7和8的两条线段构成锐角三角形的概率为.14．某校高一年段成立了A B ，两个数学培优班，A 班10人，B 班30人，经过一段时间的强化训练后进行了一次测试，在该测试中，A 班的平均成绩为135分，方差为105，B 班的平均成绩为115分，方差为225. 则在这次测试中两个培优班全体学生方差为.四、解答题15．已知向量a b r r , .(1)若,,(11)(12),a b ==r r ，求(2)()a b a b -⋅+r r r r ；(2)若 a b r r , 为单位向量，对任意实数||x a xb +≥r r ，求向量a b r r , 的夹角的取值范围. 16．5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理. 现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组 [)45,55，第二组 [)55,65，第三组 [)65,75，第四组[)75,85，第五组 [)85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求 a 和 b 的值；(2)估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(3)根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为 7%，请估算被录取至少需要多少分.17．在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且向量)()sin sin sin //m b a c n A C B m n =--=+r r r r ，，，，. (1)求角 C ；(2)若 ABC V sin 1cos B A =+，点D 为边AC 的中点，求BD 的长.18．目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 P ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为()q p q >，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 310，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为1120. (1)求 p 和 q 的值；(2)三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率.19．阅读数学材料：“设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为 ()12233411112πk k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ --∠+∠+∠++∠+∠L ，其中 ()123i Q i k k =≥L ，，，，为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面 23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体M 的所有以P 为公共点的面. ”已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形.1AA AB =. （角的运算均采用弧度制）(1)若AC BD =，求四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率；(2)若四棱柱1111ABCD A B C D -在顶点A 处的离散曲率为13，求1BC 与平面1ACC 的夹角的正弦值；(3)截取四面体1A ABD -，若该四面体在点1A 处的离散曲率为1712AC ，与平面1A BD 交于点G ，证明：113AG AC =.。
甘肃省2023-2024学年高一下学期期末学业水平质量测试数学试卷
甘肃省2023-2024学年高一下学期期末学业水平质量测试数学试卷一、单选题1．已知D ，E 分别为ABC V 的边AB ，AC 的中点，若()12,16BC =u u u r ，()2,3D --，则点E 的坐标为（ ） A ．()4,5B ．()1,1C ．()5,7--D ．()8,11--2．盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．563．设sin cos θθ-=sin2θ=（ ） A ．45-B ．35- C ．35D ．454．若复数z 满足1z =，则1z -的最大值为（ ）A ．1B C ．2D ．35．从1，2，3，4中任取2个数，设事件A =“2个数都为偶数”，B =“2个数都为奇数”，C =“至少1个数为奇数”，D =“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A ．A 与B 是互斥事件 B ．A 与C 是互斥但不对立事件 C ．C 与D 是互斥事件D ．A 与D 是对立事件6．在ABC V 中，点P 是线段BC 上一点，若13AP AB xAC =+u u u r u u u r u u u r，则x =（ ）A ．16B ．13C ．23D ．567．已知三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，30CBD ︒∠=，4AB =，2CD =，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．32π3B ．16πCD ．32π8．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M 是ABC V 内一点，BMC △，AMC V ，AMB V 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u u r .若M 为ABC V 的垂心，3450MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r，则cos AMB ∠=（ ）A ．B ．C D二、多选题9．已知复数13i z =-+，则（ ）A ．z 的虚部是3iB ．z =C ．z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．3i z -是纯虚数 10．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin870︒B ．sin15cos15︒︒C ．cos40cos20sin40sin20︒︒︒︒-D ．2tan22.51tan 22.5︒-︒11．如图所示，在正方体ABCD A B C D -''''中，M ，N 分别是B C ''，C D ''的中点，E 是线段B D ''上的动点，则下列判断正确的是（ ）A ．三棱锥N MAE -的体积是定值B ．过A ，M ，N 三点的平面截正方体所得的截面是六边形C ．存在唯一的点E ，使得AE MN ⊥D ．AE 与平面AMN 所成的角为定值三、填空题12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为.13．在ABC V 中，点D 为线段BC 的中点，若AB 4=，6AC =，8BC =，则AD =. 14．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH 和圆O （图2），其中正八边形的中心是点O ，鱼眼（黑、白两点）P ，Q 是圆O 半径的中点，且关于点O 对称.若OA =圆O 的半径为3，当太极图转动（即圆面O 及其内部点绕点O 转动）时，PA QC ⋅u u u r u u u r的最大值为.四、解答题 15．已知π0π2αβ<<<<，4sin 5α=，12sin 13β=.(1)求()cos βα-的值；(2)求2sin2cos 1cos2ααα-+的值.16．兰州机场停车场小型机动车收费标准为：30分钟内免费.停车时长在30分钟至1小时之间的，收费为5元/辆.超过1小时后，超出部分每小时收费5元，不足1小时按1小时计费24小时内最高收费50元.现有甲、乙二人在该机场临时停小型机动车，两人停车时间均大于半小时且不超过4小时.(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为12，停车付费多于10元的概率为16.求甲停车付费恰为5元的概率；(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为25元的概率. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD .4AB PA ==，F 是PB 中点.(1)求证：PD ∥平面ACF ； (2)求点P 到平面ACF 的距离.18．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2222222b b c a c b a c b +-=-+-. (1)求A ；(2)若D 是线段BC 上的一点，:1:2BD DC =，2AD =，且内角A B ≤，求a 的最小值. 19．定义：如果在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么称()1212,d A B x x y y =-+-为A ，B 两点间的曼哈顿距离.(1)已知A ，B 两个点的坐标为(),2A x ，()1,B x ，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么x 的取值范围是多少？(2)已知A ，B 两个点的坐标为(),A a x ，(),3B x -，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么a 的取值范围是多少？(3)若点(),A x y 在函数2x y =图象上且x ∈Z ，点B 的坐标为()1,16，求(),d A B 的最小值并说明理由.。
北京市第九中学2022-2023学年高一下学期数学期末模拟试题(1)
=
11 14
.
故选：C 10．B
【分析】以
O
为原点建立的直角坐标系，设
P
( 4cosq，4s，inq
)
æçq è
Î éêë0
p 2
ùö
úû
÷ ø
，设
( ) E (t，0)，(t Î[0 2]) ，可得 F 0，4 - t2 ，
( ) uuur
uuur
PE = (t - 4cosq，-，4s，inq ) PF = -4cosq
-
1 4
9．已知
cos
æçèa
+
π1ö 6 ÷ø
=
7
，
0π<
a
<
，则 sina 的值为（
）
A． 3 3 14
B． 5 3 14
C．
11 14
D． 13 14
10．如图，已知 AOB 是半径为 4 ，圆心角为 π 的扇形，点 E，F 分别是 OA，OB 上的两 2
动点，且
EF
=
2
，点
P
在圆弧
»AB
上，则
，解得
l
=
4 3
,
m
=
1 3
，
l
+
m
=
5 3
所以
l
+
m
的值为
5 3
.
故选：B 8．A 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】因为 2sin C = 3sin B ，
由正弦定理可得
2c
=
3b
Þ
b
=
2 3
c
，
又
人教版_新课标_高一下学期期末考试模块考试_数学试卷_(精选四)【含答案与评分标准】
人教版新课标 高一第二学期期末考试 模块考试数学试卷本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。
考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分 基础检测(共100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}n a 为等比数列，16991=⋅a a ，则8020a a ⋅=（ ）A ．16B ．16-C ．4D ．4- 2．在ABC ∆中，4=a ，24=b ，︒=30A ，则B 的值为（ ）A.︒45B.︒135C. ︒45或︒135D. 不存在 3．已知向量)1,3(-=，)cos ,(sin x x =，其中R x ∈，函数x f ⋅=)(的最大值为（ ）A. 2-B.13+ C. 3 D. 24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．275．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若C b a cos 2=，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形 6．已知54sin =α，παπ<<2，则2tan α的值为（ ） A. 21- B. 2- C. 2 D. 217．数列)23()1(,,10,7,4,1----n n的前n 项和为n S ，则=+2011S S （ ）A ．16-B ．30C ．28D ．148．tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是（ ）A ．33B ．3C ．1D ．3- 9．在数列{}n a 中，11=a ，)1(11-=--n n a a n n ，则n a ＝（ ）A ．n 12-B ．n 11-C ．n 1D ．112--n10．对于非零向量,，下列运算中正确的有（ ）个. ①00,0===⋅b a b a 或则 ②()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅= ④b a c b c a =⋅=⋅则,A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知数列{}n a 为等差数列，且115=a ，58=a ，则=n a _____________. 11．已知21cos sin =+αα，则cos4α=________. 13．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边. 若bc c b a ++=222，3=a ，则ABC ∆的外接圆半径等于_____________.14．等差数列与等比数列之间是存在某种结构的类比关系的，例如从定义看，或者从通项公式看，都可以发现这种类比的原则. 按照此思想，请把下面等差数列的性质，类比到等比数列，写出相应的性质：若{}n a 为等差数列，)(,n m b a a a n m <==，则公差mn ab d --=；若}{n b 是各项均为正数．．的等比数列，)(,n m b b a b n m <==，则公比=q _________________.三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分9分）设1e ，2e 是两个相互垂直．．．．的单位．．向量，且212e e a +=，12b e e λ=- （1）若a b ⊥，求λ的值；（2）当0=λ时，求,夹角的余弦值.16．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，273=S ，2636=S ， （1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）令n n a n b 2log 616+-=，证明数列{}n b 为等差数列；（3）对（2）中的数列{}n b ，前n 项和为n T ，求使n T 最小时的n 的值.17．（本题满分9分）已知31tan -=α,),2(ππα∈. （1）化简ααα2cos 1cos 2sin 2+-，并求值.（2）若),2(ππβ∈，且1312)cos(-=+βα，求)sin(βα+及βcos 的值.第二部分 能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．若数列{}n a 满足11=a ，且nn n a a 241+=+，则通项=n a ________________.19．课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：⋅等于的在><,的乘积. 运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路. 例如：边长为1的正六边形ABCDEF 中，点P 是正六边形内的一点（含边界），则AB AP ⋅的取值范围是_____________.五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3π=A .（1）若1=a ，面积43=∆ABC S ，求b+c 的值； （2）求)3sin(C c b a -⋅-π的值（注意，此问只能使用题干的条件，不能用（1）问的条件）.21．（本题满分14分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若n n b nc ⋅=2，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求n T ；（3）是否存在自然数m ，使得442mT m n <<-对一切*N n ∈恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.22．（本题满分14分）将一块圆心角为3π半径为a 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有两种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA 上（图1）或让矩形一边与弦AB 平行（图2）（1）在图1中，设矩形一边PM 的长为x ，试把矩形PQRM 的面积表示成关于x 的函数； （2）在图2中，设∠AOM =θ，试把矩形PQRM 的面积表示成关于θ的函数； （3）已知按图1的方案截得的矩形面积最大为263a ，那么请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？说明理由.图2图1ROOA参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1、已知{}n a 为等比数列，16991=⋅a a ，则8020a a ⋅=（ A ）A ．16B ．16-C ．4D ．4- 2、在ABC ∆中，4=a ，24=b ，︒=30A ，则B 的值为（ C ）A.︒45B.︒135C. ︒45或︒135D. 不存在 3、已知向量)1,3(-=，)cos ,(sin x x =，其中R x ∈，函数x f ⋅=)(的最大值为（ D ）A. 2-B. 13+C. 3D. 24、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ B ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．275、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若C b a cos 2=，则ABC ∆的形状是（ A ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形6、已知54sin =α，παπ<<2，则2tan α的值为（ C ） A. 21- B. 2- C. 2 D. 217、数列)23()1(,,10,7,4,1----n n的前n 项和为n S ，则=+2011S S （ D ） A ．16- B ．30 C ．28 D ．14 8、tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是（ B ）A ．33B ．3C ．1D ．3- 9、在数列{}n a 中，11=a ，)1(11-=--n n a a n n ，则n a ＝（ A ）A ．n 12-B ．n 11-C ．n 1D ．112--n10、对于非零向量,，下列运算中正确的有（ D ）个. ①00,0===⋅或则 ②()()⋅⋅=⋅⋅= ④b a c b c a =⋅=⋅则,A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11、已知数列{}n a 为等差数列，且115=a ，58=a ，则=n a _____________. 212+-n11、已知21cos sin =+αα，则cos4α=________. 81- 13、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边. 若bc c b a ++=222，3=a ，则ABC ∆的外接圆半径等于_____________. 114、等差数列与等比数列之间是存在某种结构的类比关系的，例如从定义看，或者从通项公式看，都可以发现这种类比的原则. 按照此思想，请把下面等差数列的性质，类比到等比数列，写出相应的性质：若{}n a 为等差数列，)(,n m b a a a n m <==，则公差mn ab d --=；若}{n b 是各项均为正．数．的等比数列，)(,n m b b a b n m <==，则公比=q _________________. mn ab -三、解答题：本大题共3小题，共30分．15、（本题满分9分）设1e ，2e 是两个相互垂直．．．．的单位．．向量，且212e e +=，12b e e λ=- （1）若a b ⊥，求λ的值；（2）当0=λ时，求,夹角的余弦值.解：（1） a b ⊥，0=⋅∴b a ，即0)()2(2121=-⋅+e e e e λ ……1分 化简得0)21(2222121=--+e e e e λλ ……2分又1e ，2e 是两个相互垂直的单位向量，∴12221==e e ，021=e e ……3分02=-∴λ，2λ=. ……4分 （2）当0=λ时，1b e eλ=- 22)2(21121==⋅+=⋅e e e eb a ……5分544)2(2221212212=+⋅+=+==ee e e e e ，5= ……7分55252,cos ==>=<∴ ……9分16、（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，273=S ，2636=S ， （1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）令n n a n b 2log 616+-=，证明数列{}n b 为等差数列；（3）对（2）中的数列{}n b ，前n 项和为n T ，求使n T 最小时的n 的值.解：（1）362S S ≠ ，1≠∴q ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--∴2631)1(271)1(6131qq a qq a ，……2分两式子相除得 913=+q ，2=∴q ……3分 代入解得211=a ，……4分2112--=⋅=∴n n n q a a . ……5分（2）6372log 616log 616222-=+-=+-=-n n a n b n n n ……6分 763763)1(71=+--+=-+n n b b n n ，{}n b ∴为等差数列. ……8分（3）方法一：令⎩⎨⎧≥≤+001n n b b ，得⎩⎨⎧≥-≤-05670637n n ， ……10分解得98≤≤n ，……11分 ∴当8=n 或9=n 时，前n 项和为n T 最小. ……12分方法二：561-=b ，n n n n b b n T n n 2119272)1197(2)(21-=-=+= ……10分 对称轴方程为5.8217==n ，……11分 ∴当8=n 或9=n 时，前n 项和为n T 最小. ……12分17、（本题满分9分）已知31tan -=α,),2(ππα∈. （1）化简ααα2cos 1cos 2sin 2+-，并求值.（2）若),2(ππβ∈，且1312)cos(-=+βα，求)sin(βα+及βcos 的值.解：（1） 6521tan cos 2cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-=-=-=+-αααααααα ……2分 6521tan cos 2cos cos sin 2s 222-=-=-=ααααααα ……3分 （2）),2(ππα∈ ，),2(ππβ∈，)2,(ππβα∈+∴ 又1312)cos(-=+βα，)23,(ππβα∈+∴ 135)(cos 1)sin(2-=+--=+∴βαβα ……5分 由31tan -=α，),2(ππα∈，得1010sin =α，10103cos -=α ……6分 ])cos[(cos αβαβ-+= ……7分αβααβαs i n )s i n (c o s )c o s(+++= 13010311010135)10103)(1312(=⋅---= ……9分四、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18、若数列{}n a 满足11=a ，且nn n a a 241+=+，则通项=n a ________________.11222---=n n n a19、课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义：b a ⋅等于a与b 在a ><b a ,cos 的乘积. 运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路. 例如：边长为1的正六边形ABCDEF 中，点P 是正六边形内的一点（含边界），则⋅的取值范围是_____________.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20、（本题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3π=A .（1）若1=a ，面积43=∆ABC S ，求b+c 的值； （2）求)3sin(C c b a -⋅-π的值（注意，此问只能使用题干的条件，不能用（1）问的条件）. 解：（1）4343sin 21====∆bc A bc S ABC ，……1分 1=∴bc ……2分由余弦定理212cos 2122222-+=-+==c b bc a c b A ……4分得222=+c b ……5分42)(222=++=+bc c b c b ，2=+∴c b ……6分（2）由正弦定理知)3sin(sin sin sin )3sin(C C B A C c b a -⋅-=-⋅-ππ ……8分CC C sin )32sin()3sin(23---=ππ……10分 23)3sin()3sin(23sin 21cos 23)3sin(23=--=--=C C CC C πππ ……12分21、（本题满分14分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若n n b nc ⋅=2，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求n T ； （3）是否存在自然数m ，使得442mT m n <<-对一切*N n ∈恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.解：（1）由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以123b =. ……1分 当2≥n 时，由22n n b S =－， ……2分 可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---. 即113n n b b －＝. ……3分 所以{}n b 是以123b =为首项，31为公比的等比数列，于是n n b 312⋅=. ……4分（2）n n n nb nc 32=⋅= ……5分∴n n n T 313133123132⋅++⋅+⋅+=1323131)1(31231131+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n T ……6分 ∴132313131313132+⋅-++++=n n n n T . ……7分1331121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n， ……8分从而n n n T 3143243⋅+-=.（写成nn n nT 32314343⋅-⋅-=也可） ……9分 （3）=-+n n T T 103111>+=++n n n c ，故{}n T 单调递增3111==≥∴c T T n ，又433143243<⋅+-=n n n T ，4331<≤∴n T ……11分要442m T m n <<-恒成立，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤3142443m m ， ……12分 解得3103<≤m ，……13分 又*N m ∈，故3=m . ……14分22、（本题满分14分）将一块圆心角为3π半径为a 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有两种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA 上（图1）或让矩形一边与弦AB 平行（图2）（1）在图1中，设矩形一边PM 的长为x ，试把矩形PQRM 的面积表示成关于x 的函数； （2）在图2中，设∠AOM =θ，试把矩形PQRM 的面积表示成关于θ的函数； （3）已知按图1的方案截得的矩形面积最大为263a ，那么请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？说明理由. 解：（1）PM=QR=x ， 在RT △QRO 中，OR=3x在RT △PMO 中，OM=22x a -∴RM=OM-OR=22xa -33x-……2分 22233x x a x RM PM S --=⋅=∴，)23,0(a x ∈ ……3分 （2）∠MRA =21×3π=6π，∠MRO =65π，在△OMR 中，由正弦定理，得：θsin RM=65sin πa ，即RM = 2a ·sin θ， ……6分又)6sin(θπ-OR =65sinπa ，∴OR = 2a ·sin(6π－θ)， ……8分图2图1ROOA又正△ORQ 中，QR=OR=2a ·sin(6π－θ) ∴矩形的MPQR 的面积为S = MR·PQ = 4a 2·sin θ·sin(6π－θ) )3,0(πθ∈ ……9分（3）对于（2）中的函数)sin 23cos sin 21(4)sin 23cos 21(sin 4222θθθθθθ-=-=a a S ]23)32[sin(2)]2cos 1(432sin 41[422-+=--=πθθθa a ……11分当232ππθ=+，即12πθ=时，2max )32(a S -= ……13分2)32(a -263a <，故按图1的方案能得到最大面积的矩形. ……14分。
广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高一下学期期末模拟数学试卷(含解析)
深圳市盐田高级中学2023-2024学年第二学期高一下期末考试数学模拟试卷一、单选题（每题5分，共40分）1．设全集，集合M 满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，满足“”的单调递增函数是A ．B ．C ．D ．3．若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量，则在方向上的投影向量为（ ）A．B ．C ．D ．5．设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：①若，则或 ②若，则③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④6．函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）A ．B ．C ．1D ．28．一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ）{1,2,3,4,5}U ={1,3}U M =ð2M ∈3M ∈4M ∉5M∉()()()f x y f x f y +=()12f x x =()3f x x=()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3x f x ={}Ω1,2,3,4={}1,2A =A B B {}1,3{}1,2,3{}3,4{}2,3,4(2,a b =-= b a 14a 14a - b - bαβ、m n 、m αβ= //m n //n α//n βm n ⊥,n n αβ⊥⊥//n α//n β//m n n αβm n⊥()y f x =πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6()y f x =1122y x =-2()(1)1f x a x =+-()cos 2g x x ax =+(1,1)x ∈-()y f x =()y g x ==a 1-12ABC DEF -AD BE CF ∥∥123AD BE CF ===，，ABB ．CD二、多选题（每题6分，共18分）9．复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）A ．对应的点在复平面的第四象限B ．是一个纯虚数C ．D ．10．下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．的最小值为2C ．D的最小值为211．已知函数，则下列说法正确的有（）A ．若，则在上的最小值为0B ．若，则点是函数的图象的一个对称中心C ．若函数在上单调递减，则满足条件的值有3个D ．若对任意实数，方程在区间内的解的个数恒大于4且小于10，则满足条件的值有11个三、填空题（每题5分，共15分）12．已知向量与的夹角为，且，.13．已知，则 ．14．如图所示，由到的电路中有4个元件，分别为，，，．若，，，能正常工作的概率都是，记事件“到的电路是通路”，则 ．四、解答题15．（13分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知．12+12-1i z =-z z z 2z z ⋅=i z z =-22ac bc >a b>b a a b +,0,b b m a b m a a m +∀>><+()2()cos cos f x nx nx nx n ++∈N 1n =()f x π[0,]22n =5π(,0)24()f x ()f x ππ[,]43n 0x 3()4f x =00π(,6x x +n a b 60 ()2,6a =-- b = ⋅= a b 2log 5,85b a ==ab =X Y A B C D A B C D 23N =X Y ()P N =ABC ()()sin sin sin sin C A B B C A -=-(1)若，求C ；(2)证明：16．（15分）如图，在四棱锥中，，，，E 为棱的中点，平面.(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.17．（15分）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．(1)设第一次接球人为，第二次接球人为，通过次传接球后，列举出的所有可能的结果；(2)完成第三次传接球后，计算球正好在乙处的概率．18．（17分）已知函数．(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若，且，求的值；(3)若函数在区间上恰有4个不同的零点，求的取值范围．2A B =2222a b c =+P ABCD -//AD BC AD DC ⊥112BC CD AD ===AD PA ⊥ABCD PAB ⊥PBD P CD A --45︒PA PBD x y2(),x y ()π4sin cos 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭122f α⎛⎫= ⎪⎝⎭cos α()()()π2236g x f x a f x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦a19．（17分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e 是自然对数的底数，）.(1)计算的值；(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.深圳市盐田高级中学2023-2024学年第二学期高一下期末考试数学模拟试卷参考答案1．A2．D3．A【分析】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案.【详解】由题意得，A 选项，，，故，所以，故事件相互独立，A 正确；4．A 【详解】由，得，所以在方向上的投影向量为.5．A6．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特()e e sinh 2x x x --=()e e cosh 2x xx -+=e 2.71828= ()()2cosh 22cosh 1-()cosh x y +=[]0,ln 2t ∈x ()()sinh cosh t x a +=a ()P A B ⋂()()P A P B ()2142P A ==()2142P B =={}1A B ⋂=()14P A B = ()()()P A B P A P B ⋂=,A B (2,a b =-= ||4,214a a b ==⋅=-⨯+= b a 224144||a b a a a a ⋅== ()sin 2f x x =-()f x 1122y x =-殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.7．D 【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，()f x 1122y x =-πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 2f x x =-1122y x =-10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0()f x 1122y x =-3π3π7π2,2,2222x x x =-==3π3π7π,,444x x x =-==()f x 1122y x =-3π4x =-3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭3π4x =3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭13π13π412428y -=⨯-=<7π4x =7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭17π17π412428y -=⨯-=>()f x 1122y x =-3()()f x g x =2(1)1cos 2a x x ax +-=+21cos a x ax -=+()()21,cos F x ax a G x x =+-=(1,1)x ∈-()y F x =()y G x =()(),F x G x ()()00F G =11a -=2a =2a =()()F x G x =221cos 0x x +-=()1,1x ∈-220,1cos 0x x ≥-≥0x =221cos 0x x +-≥0x =221cos 0x x +-=()y F x =()y G x =所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；8．C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，因为，且两两之间距离为1．，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.故选：C.9．BC10．AD2a =2a =()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-()h x ()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=()h x ()h x ()020h a =-=2a =2a =()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-220,1cos 0x x ≥-≥0x =()0h x ≥0x =()h x 2a =HIJ LMN -ABC DEF -,D N ,E M ,F L AD BE CF ∥∥1,2,3AD BE CF ===1322314+=+=+=212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯=【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.【详解】对于A ，若，则，A 正确;对于B，或，因为不知道和的大小关系，B 错误；对于C ，若，则，而，但是与的大小不能确定，故C 错误；对于D，即取等号，11．ACD【详解】，对于A ，当时，，A 正确；对于B ，函数图象的对称中心的纵坐标应为，B 错误；对于C ，，由，，解得，因此，C 正确；对于D ，方程等价于，函数的图象和直线的交点，如图，函数的最小正周期，设，（其中)，显然，由下图可知，因为在区间内的解的个数，所以区间长度应满足：22ac bc >a b >2b a a b +≥2b a a b+≤-b a 0,0a b m >>()()()()()b a m a b m m b a b b m a a m a a m a a m +-+-+-==+++()0m b a -<()a a m +02≥=sin 0x =211π1()cos cos 2cos 2sin(2)2262f x nx nx nx nx nx nx =+=++=++π[0,]2x ∈min ππ7ππ12[,)[,1],()066662x x f x +∈+∈-=()f x 12πππ2ππ2[,]62636n n nx +∈++πππ2π2262ππ3π2π362n k n k ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩Z k ∈214[,2][,5]33n ∈ 1,2,5n =3()4f x =π1sin(2)64nx +=π()sin(2)6g x nx =+14y =()g x 13||T A A =1223,A A dT A A DT ==1D d =-1π0sin 46<<112,26364323d D d D <<<<<<<<00π(,6x x +[5,9]m ∈π6，由，则，化简得，所以，正整数的值有11个，故选：ACD12．1013．3【详解】由，得，所以.14．【详解】设“正常工作”，“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”由于“到的电路是通路”等价于“正常工作”或“没有正常工作，正常工作，且中至少有一个正常工作”，即，由于事件互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得.故答案为：15．(1)；(2)证明见解析．【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．16．(1)证明见解析【详解】（1）由平面，平面，得，连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，所以平行四边形为正方形，所以，又由且，所以四边形为平行四边形，π(2)(4)6D T d T +<≤+πT n =πππ(2)(4)6D d n n+<≤+126246D n d +<≤+[16,26]n ∈n 85b =5log 8b =2525log 5log 83log 5log 23ab =⋅=⋅=70811N =D 2N =D A ,B C X Y D D A ,B C 12N N N =⋃()123P N =()222111611333381P N ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,N N ()()121670381812P N P N N =⋃=+=70815π82A B =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()sin sin sin sin C B B C A =-π02B <<()sin 0,1B ∈()sin sin 0C C A =->0π,0πC C A <<<-<C C A ≠-πC C A +-=2A B =πA B C ++=5π8C =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-2222a b c =+PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥BE //BC DE BC DE =BCDE ,1DE CD BC CD ⊥==BCDE BD EC ⊥//BC AE BC AE =BCEA则，所以， 又 平面，所以平面，由平面，所以平面平面；（2）由平面，平面，所以，又， 平面，所以平面，又平面，所以，故为二面角的平面角，即，在中，，作，垂足为M ，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，在中，在中，与平面17．(1)答案见解析(2)【详解】（1）通过次传接球后，的结果：（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙）；（2）三次传接球，接球的结果：（乙，甲，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，甲，丙），（丙，乙，甲），（丙，乙，丙），共8种，它们是等可能的，其中球正好在乙处的结果有：（乙，甲，乙），（乙，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种，所以第3次传接球后，球正好在乙处的概率为//AB EC BD AB ⊥,PA AB A ⋂=,PA AB ⊂PAB BD ⊥PAB BD ⊂PBD PBD ⊥PAB PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥CD AD ⊥,PA AD A = ,PA AD ⊂PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD PD ⊥PDA ∠P CD A --45PDA ︒∠=Rt PAD △2PA AD ==AM PB ⊥PBD ⊥PAB PBD PAB PB =AM ⊂PAB AM ⊥PBD PM AP PBD APM ∠AP PBD Rt PAB 2,AB CE PA PB ====PA AB AM PB ⋅===Rt AMP sin AM APM AP ∠===AP PBD 382(),x y 3818．(1)，(3)【详解】（1），所以的最小正周期．令，解得，所以的单调递增区间为．（2）由题意知，所以，又．所以，则故（3），所以，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，要使函数在区间上恰有4个不同的零点，令，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根均在内，因为，所以．解得，即的取值范围是．19．(1)(2)，证明见解析πT =()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()π14sin cos 14cos cos 162f x x x x x x ⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2cos 1cos22sin 26x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z ()f x ()πππ,π36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z π12sin 262f αα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ,636α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭πcos 6α⎛⎫+== ⎪⎝⎭ππππππ11cos cos cos cos sin sin 66666642αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ22sin 222sin 46666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()22ππππ2sin 222cos 224sin 2226266x x x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()()()2π223216g x f x a f x f x a f x ⎛⎫=-+-+=+-+ ⎪⎝⎭π11π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π11π,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()π2236g x f x a f x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x t =t ()2210t a t +-+=(]2,0-()202010a +-⨯+>22Δ(2)402202(2)2(2)10a a a ⎧=-->⎪-⎪-<-<⎨⎪---+>⎪⎩102a -<<a 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1-()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y +(3)【详解】（1）由已知可得，，，所以，，所以，.（2）.证明如下：左边，右边.所以，左边=右边，所以，.（3）原题可转化为方程有解，即有解.令，，，因为在上单调递增，，，所以，.又，当且仅当，即时等号成立，所以，即有最大值，又当，则要使有解，应有，即，所以.【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，74a ≥()22e e cosh 22-+=()1e e cosh 12-+=()21222e e e e cosh 1242--⎛⎫++==⎪⎝+ ⎭()()2cosh 22cosh 1-2222e e e e 21224--⎛⎫++=-⨯=- ⎪⎝⎭+()cosh x y +=()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y +()()e e cosh 2x y x y x y -+++=+=()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y =+e e e e e e e e 2222y y y x x x x y ----++--=⋅+⋅e e e e e e e e 44x y x y x y x y x y x y x y x y +--+--+--+--+++--+=+()e e 2x y x y -+++=()cosh x y +=()()()()cosh cosh sinh sinh x y x y +()()sinh cosh t a x =-e e e e 22+x t xt a ---=-()e e 2t t f t --=[]0,ln 2t ∈()e 2+e x xg x a -=-()e e 2t t f t --=[]0,ln 2()00f =()ln 2ln 2e e 3ln 224f --==()304f t ≤≤e e 12+x x -≥=e e =x x -0x =()e e 1+2xx g x a a -=-≤-()g x ()max 1g x a =-(),x g x →+∞→-∞()()f t g x =()()max max 34g x f t ≥=314a -≥74a ≥e e e e 22+x t x t a ---=-()e e 2tt f t --=[]0,ln 2t ∈，然后分别求出的值域，即可得出关系式.()e 2+e x xg x a -=-()(),f t g x。
2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解
【详解】设 xOA ,则
sin
1 1
48
1 7
, cos
4 3 4 3. 1 48 7
将 OA 绕原点 O 逆时针旋转
至 OB
,则 OB 的倾斜角为
.
3
3
则 OB OA 1 48 7 .
∴点
B
的纵坐标为
OB
sin
3
7
sin
cos
3
cos
sin
3
13 2
.
故答案为 13 2
km ．（结果精确到 0.1km ）
9．若
tan
tan
1 2
,则
cos( cos(
) )
．
10．已知点 A(4 3,1) ,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ,则点 B 的纵坐标为
11．i 为虚数单位,若复数 z1 和复数 z2 满足 z1 1 i 1, z2 z1i ,则 z2 的最大值为
,则
cos(
)
．
4．在梯形
ABCD 中,
AD
1 2
BC
,设
AC
a, BD
b
,若用
a,
b
的线性组合表示
AB
,则
AB
．
5．若 sin cos 3 ,则 sin 2
2
6．若向量
a
(3,
4), b
(1,
2)
,则
a,b
． ．
7．设 0
π
,若函数
y
tan( x
)
的.定义域为 x
x
14.6km .
故答案为：14.6.
9．3
河北省优质高中2024年高一下学期期末质量检测数学试卷(解析版)
2023-2024学年河北省优质高中高一下学期期末质量检测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{}2,4UM = ，则（）A.1M ⊆B.4M⊆ C.5M∈ D.3M∉【答案】C 【解析】【分析】由补集运算得出集合M ，再由元素与集合的关系判断．【详解】因为全集{}{}1,2,3,4,5,2,4U U M == ，所以{1,3,5}M =， 根据元素与集合的关系可知，ABD 错误，C 正确． 故选：C ．2.已知0,R a b >∈，则“||||a b >”是“a b >”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】因为0a >，所以||a a =，所以||||||a b a b >⇔>，而||b b ≥， 当||||a b >，则a b >；当a b >时，若1,2a b ==−，则||||a b >不成立， 故“||||a b >”是“a b >”的充分而不必要条件． 故选：A ．3.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是9:5，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是（ ） A.28 B.42C.56D.70【答案】A 【解析】【分析】根据分层抽样的要求计算即可．【详解】设被抽取参与调研的乙村村民有x 人，则根据分层抽样按两村人口比例，甲村被抽取参与调研的有9x 人，乙村为5x ，所以958x x −=，即2x =，所以参加调研的总人数9528x x += 故选：A ．4. 已知21,e e 是夹角为34π的单位向量，则1e 在2e 方向上的投影向量为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 1e【答案】B 【解析】【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可．【详解】因为21221122222cos ,e e e e e e e e e e ⋅⋅=⋅=． 故选：B ．5. 下列结论正确的是（ ） A. 空间三点可以唯一确定一个平面B. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行C. 若平面α⊥平面β，且l αβ= ，则平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 D 已知平面α和直线m ，则α内至少有一条直线与m 垂直 【答案】D 【解析】【分析】根据空间中的共面问题、空间中直线与平面的位置关系和空间中平面与平面的位置关系逐一判定即可．【详解】解：对于A ，要求三点不共线才可以唯一确定一个平面，故A 错误; 对于B ，显然对于两个相交平面，其中一个平面内有无数条直线与交线平行， 则由线面平行的判定定理易知该平面内有无数条直线与另一个平面平行， 但这两个平面不平行，故B 错误;对于C ，在平面α内取平行于交线的直线时，该直线不满足C 选项的说法，故C 错误;对于D ，已知平面α和直线m ，无论m 与α是何种位置关系，α内都有无数条直线与m 垂直，故D 正确． 故选：D.6. 已知π35π12π3ππcos ,sin ,,,0,45413444αβαβ−=+=−∈∈，则cos()αβ+=（ ）A 3365−B.3365C. 6365−D.6365【答案】A 【解析】【分析】先求出πsin 4α −和5πcos 4+ β的值，利用cos()cos()+=−++αβπαβ5ππcos 44=−+−− βα，即可求出cos()αβ+的值．【详解】π35π12π3ππcos ,sin ,,,0,45413444−=+=−∈∈αβαβππ5π5π3π0,24442∴−<−<<+<αβ， π45π5sin ,cos 45413 ∴−=−+=−αβ，5ππcos()cos(π)cos 44∴+=−++=−+−− αβαββα5ππ5ππcos cos sin sin 4444=−+−−+−βαβα531243313513565=−−×−−×−=−故选：A.7. 下列说法正确的是（ ）A. 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件 C. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D. 事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大 【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．.【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件， 举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的， 设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误; 对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误; 对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确． 故选：D.8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120 角;当三角形有一内角大于或等于120 时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且22()6,sin sin 2B Ca b c b a B +−−==，若P 为ABC 的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A. 3− B. 2−C. 6−D. 32−【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理求出A ，结合题设易知点P 一定在ABC 的内部，再利用余弦定理、向量的数量积求出结果． 【详解】由sinsin 2B C b a B +=，及正弦定理得sin sin sin sin 2B CB A B +=，因为0πB <<，所以sin 0B >，消去sin B 得sinsin 2B CA +=． 因为0π,0π2+<<<<B C A ，故2B CA +=或π2BC A ++=， 而根据题意πA B C ++=，故π2B C A ++=不成立， 所以2B C A +=，又因为πA B C ++=，代入得3πA =，所以π3A =． 由三角形内角和性质可知，ABC 的三个内角均小于120 ， 结合题设易知点P 一定在ABC 的内部．由余弦定理可得22222()22(1cos )6a b c a b c bc bc A bc −−=−−+=−==，解得12π12π12π||||sin ||||sin ||||sin 232323△=⋅+⋅+⋅⋅ ABC S PA PB PB PC PA PC1sin 2bc A=， 所以||||||||||||6PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=，所以PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅2π2π2π||||cos ||||cos ||||cos 333=⋅+⋅+⋅ PA PB PB PC PA PC(2πcos 33PA PB PB PC PA PC =⋅+⋅+⋅=− ．故选：A .【点睛】思路点睛：解题的思路是由正弦定理求出A ，结合题设易知点P 一定在ABC 的内部，再利用余弦定理、向量的数量积求出答案．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若复数z 满足(2i)43i z +=−（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A. z 在复平面内对应的点位于第四象限B. 5z z ⋅=（z 是z 的共轭复数）C. 254i z =−D. 若12z =，则1z z −的最大值为2+ 【答案】ABD 【解析】【分析】先化简得出z ，再逐一判断选项即可． 【详解】43i (43i)(2i)510i12i 2i (2i)(2i)5z −−−−====−++−， 在复平面内所z 对应的点坐标为(1,2)−，在第四象限，故A 正确；(12i)(12i)145z z ⋅=−⋅+=+=，故B 正确；22(12i)144i 34i z =−=−−=−−，故C 错误；对于D ，12z =，则表示复数1z 的点P 的集合是以(0,0)为圆心，2为半径的圆， 而11(12i)z z z −=−−，即为点P 到点(1,2)M −之间的距离， 所以1z z −的最大值为22+=，故D 正确．故选：ABD .10. 如图，在ABC 中，,30,4AB AC C AB ⊥∠=°=，D 为线段AC 的中点，DM BC ⊥，F 为线段AB 的中点，E 为线段DM 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 若E 为线段DM 的中点，则1122EF DA MB =+B. 若E 为线段DM 的中点，则9||2EF =C. 16FM FD ⋅=D. EF AB ⋅取值范围为[2,8] 【答案】ACD 【解析】【分析】结合向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算等知识，逐一分析可得出结果． 【详解】对于A，由题易知：8,BC AD CD ===的所以3,CM DM ==则5,,30,,150BM BC CM DA MB ED AB =−=<>=°<°>= ．EF ED DA AF=++ ，且EF EM MB BF =++， 因为F 为线段AB 的中点，所以两式相加得1122EF DA MB =+，故A 正确． 对于B ，由题意可知DM BC ⊥，则CD CM CB CA =，解得：3CD CA CM CB ⋅==，所以5BM =，所以由A可知：||EF =B 错误； 对于C ，设G 为线段DM的中点，则12GMDM ==， 则()()()()FM FD FG GM FG GD FG GM FG GM ⋅=+⋅+=+⋅−222216FG GM =−=−= ，故C 正确; 对于D ，()EF AB ED DA AF AB ED AB DA AB AF AB ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅210||4cos150088||2ED AB AB ED ED =⋅++=⋅°++=−，又||ED ∈，所以[2,8]EF AB ⋅∈，故D 正确．【点睛】本题考查了向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．11. 六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体E ABCD F −−的棱长为a ，则下列说法中正确的是（ ）A. 此八面体的表面积为2B. 异面直线AE 与BF 所成的角为45C. 若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +D. 此八面体的外接球与内切球的体积之比为【答案】ACD 【解析】【分析】求解此八面体的表面积可判断A ；根据异面直线所成的角可判断B ；展开平面BEC 与平面ABE 在一个平面上时，再连接AC 可判断C ；分别求得外接球与内切球体积判断D ． 【详解】对于A ，由正八面体，则EF 与AC 垂直相交，且长度相等，设交点为O ， 则O 即为正方形ABCD 的中心，由正八面体棱长为a a 的正三角形，则此八面体的表面积为2182a ××，故A 正确； 对于B ，由EF 与AC 垂直相交，且长度相等，则四边形AECF 为正方形，//AE FC ， 则直线AE 与BF 所成的角，即为BF 与CF 所成的角，正BCF △中60BFC ∠= ，故异面直线AE 与BF 所成的角为60 ，故B 错误；对于C ，展开平面BEC 与平面ABE 在一个平面上时，再连接AC ，此时点P 为EB 中点时，AP CP +取得最小值为2，故C 正确；对于D ，由O，则O 为外接球球心，外接球半径为R =，则外接球体积为34π3 ×， 由题意可知O 到各面的距离相等，设为h ， 由E ABCD O ABE O BCE O CDE O ADE V V V V V −−−−−=+++，可得2211433a h ×=×，解得h =， 则O为内切球球心，内切球半径为r =，则内切球体积为34π3×，=，故D 正确；故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：展开平面BEC 与平面ABE 在一个平面上时，再连接AC 是解答C 选项的关键点．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数0,()ln(),0,x f x x x ≥=−<则()()2e f f −=__________．【解析】【分析】利用分段函数0x <的解析式求出()2e 2f −=，所以()()()2e 2f f f −==【详解】因为函数0,()ln(),0,x f x x x ≥=−< ，则()22e ln e 2f −==，所以()()2e (2)f f f −==.13. 已知0,0a b >>，且9a b ab +=，则4a b +的最小值为__________． 【答案】49 【解析】【分析】由9a b ab +=可得191a b +=，即有1949(4)37b a a b a b a b++=++，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件.【详解】因为0,0a b >>且9a b ab +=，所以191a b+=，所以19494(4)136********b a a b a b a b a b+=++=+++≥+=+=，当且仅当49b aa b=即217,2a b ==时取等号，所以4a b +最小值为49. 故答案为：49．14. 我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是“函数()y f x a b =+−为奇函数”．易知21()21x x f x -=+为奇函数，则12()221x g x −=−+的图象的对称中心为__________；()2(2)2g xg x +−<的解集为__________．【答案】 ①. (1,1) ②. {01}xx <<∣ 【解析】【分析】由题意，可得()(1)1f x g x =+−为奇函数，进一步即可求出()g x 的图象的对称中心；()2(2)2g x g x +−<可化为()22(2)g x g x <−−即()2()g x g x <，从而求解可得．【详解】因为212()12121x x xf x −==−++为奇函数，而12()221x g x −=−+，即()(1)1f x g x =+−为奇函数，由题意知，()g x 的图象的对称中心是(1,1)； 所以2()(2)g x g x =+−，从而()2(2)2g x g x +−<可化为()22(2)g x g x <−−，即()2()g x g x <，由1221x y −=+为R 上单调递减函数，所以为R 上单调递增函数，所以2x x <，即01x <<． 故()2(2)2g xg x +−<的解集为{01}xx <<∣． 故答案为：①(1,1)；②{01}xx <<∣. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =−−． （1）求()f x 的最小正周期;（2）当π0,2x∈时，求()f x 的值域．【答案】（1）πT =（2）[ 【解析】【分析】（1）利用平方差公式、倍角公式的逆用、辅助角公式将()f x 化成单角单函数，再利用2πTω=得到()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x∈ 时，ππ5π2,444x +∈，利用余弦函数的图象，求得函数()f x 的值域．【小问1详解】()()422224cos sin 2sin s ()cos sin co sin 2sin cos cos f xx x x x x x x x x x −+−−=−=πcos 2sin 224x x x=−=+，所以2ππ2T ==． 【小问2详解】π0,2x∈ ，所以ππ5π2,444x +∈，所以πcos 24x +∈− ，所以()[f x ∈.所以函数()f x的值域为[．16.已知向量3(2,0),2ab = ．（1）若()()a b a b λ+⊥−，求实数λ的值;（2）若ka b + 与2a b −的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．【答案】（1）76λ= （2）{35k k <−且2k ≠−} 【解析】【分析】（1）由已知()()0a b a b λ+⋅−=，代入坐标表示，可得所求；（2）由已知可得()(2)0ka b a b +⋅−< ，且ka b + 与2a b −不共线，代入坐标表示，可得所求．【小问1详解】因为()()a b a b λ+⊥−，所以()()0a b a b λ+⋅−= ．因为3(2,0),2ab =，所以73,2,22a b a b λλ +=−=−， 所以()()760a b a b λλ+⋅−=−= ，解得76λ=．【小问2详解】由已知可得()(2)0ka b a b +⋅−< ，且ka b + 与2a b −不共线，因为352,2,22ka b k a b +=+−=， 由()(2)0ka b a b +⋅−<，可得352022k+×+< ，解得35k <−． 若ka b + 与2a b −共线，则可得35222k+×=，解得2k =−，所以由ka b + 与2a b −不共线可得2k ≠−，所以k 的取值范围为35k k <−且}2k ≠−． 17. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中4b a =．（1）求图中a 的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗?（3）河北文旅6知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】（1）0.01a =，79.5（2）合格 （3）总样本平均值为86，总样本方差为96 【解析】【分析】（1）利用频率和为1，即可求出a 值，再求平均值即可；（2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75，求估计40%分位数为540757>，即可判断；（3）根据题意结合总样本的平均数、方差公式，即可求出． 【小问1详解】由题意知40.050.1a a ++=，解得0.01a =． 估计满意度得分的平均值为650.15750.35850.4950.179.5x=×+×+×+×=．的【小问2详解】超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75，以为满意度在[60,70)的频率为0.150.4<，满意度在[60,80)的频率为0.50.4>， 可知40%分位数位于[70,80)． 则0.40.1554070100.50.157−+×=−，可以估计40%分位数为540757>，所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． 【小问3详解】把6月1日-6月15日的样本记为1240000,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ， 把6月16日-6月30日的样本记为1260000,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ， 则总样本平均数464680908610101010z x y =×+×=×+×=， 则总样本方差()()()(){}4000060000222222211114610000010i i x y i i s x z y z s x z s y z == =−+−=×+−++−∑∑ {}221475(8086)670(9086)9610=××+−+×+−= ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96．18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD −中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD ==，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体E BCD −是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由;（3）若二面角E BD C −−为π3，求点A 到平面EBD 的的距离 【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析 （3）1． 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理，即可得； （2）证明BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体E BCD −的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（3）取DC 的中点F ，连接EF ，过F 作FG BD ⊥，连接EG ．然后通过线面垂直可得点A 到平面EBD 的距离=点C 到平面EBD 的距离=点F 到平面EBD 的距离的2倍，进而求出结果． 【小问1详解】如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 为AC 的中点，又因为E 为PC 的中点，所以PA OE ∥， 又PA ⊂平面,BDE OE ⊂平面BDE ， 所以//PA 平面BDE【小问2详解】因为PD ⊥底面ABCD ， 所以PD BC ⊥， 因为ABCD 为长方形， 所以BC CD ⊥， 因为PD CD D ∩=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC⊥平面PCD ，因为DE ⊂平面PCD ， 所以BC DE ⊥，因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥， 因为PC BC C ∩=， 故可得,PC BC ⊂平面PBC ， 所以DE ⊥平面PBC ， 由BC⊥平面,PCD DE ⊥平面PBC ，可知四面体E BCD −的四个面都是直角三角形，即四面体E BCD −是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠； 【小问3详解】如图，取DC 的中点F ，连接EF ，过F 作FG BD ⊥，连接EG ． 因为,E F 分别是,PC DC 的中点，所以EF PD ， 所以EF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以EF BD ⊥，又因为,,,FG BD EF FG F EF FG ⊥=⊂ 平面EFG ， 所以BD ⊥平面EFG ，所以EGF ∠就是二面角E BD C −−的平面角，即π3EGF ∠=，所以tan EGF ∠1EF =，得FG =过F 作FH EG ⊥，因为BD ⊥平面,EFG FH ⊂平面EFG ，所以BD FH ⊥，又因,,BD EG G BD EG =⊂ 平面EBD ，所以FH ⊥平面EBD ， 在Rt EFG △中，1,EF FG==12FH =．因为,AC BD 互相平分，F 是DC 的中点，所以点A 到平面EBD 的距离=点C 到平面EBD 的距离=点F 到平面EBD 的距离的2倍1=， 即点A 到平面EBD 的距离为1．为19. 定义：双曲余弦函数e e cosh()2x x x −+=，双曲正弦函数e e sinh()2x xx −−=．（1）求函数cosh(2)sinh()yx x +的最小值;（2）若关于x 的不等式()()22222(1)ln cosh sinh x a xa x −>+ 的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围; （3）若3π,42πx∈，试比较cosh(sin )x 与sinh(cos )x 的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）78（2）3423a −<≤−或4332a ≤<（3）cosh(sin )sinh(cos )x x >，证明见解析 【解析】【分析】（1）利用新定义得出()()211cosh(2)sinh()e e e e 122x x x xy x x −−=+=−+−+，令e e x x t −=−，得出2211117122228y t t t =++=++ ，结合二次函数的性质，即可求出结果；（2）根据新定义，不等式化为222(1)x a x −>，根据题意，结合零点存在定理得出2(3)010,(2)0h a h −≤ −<−>，由此即可求出结果； （3）得出结论：π3π,,cosh(sin )sinh(cos )42x x x ∀∈> ，利用作差法，分π5π,44x ∈和5π3π,42x∈讨论，即可证出结果． 【小问1详解】依题意有()()222e e e e 11cosh(2)sinh()e e e e 12222x x x x x x x xy x x −−−−+−=+=+=−+−+，令e e x x t −=−，则2211117122228y t t t =++=++ ，因为函数e ,e x x y y −==−在R 上单调递增， 所以e e x x t −=−在R 上单调递增， 因为x ∈R ，所以R t ∈， 所以当12t =−，即e x =x =时， 函数cosh(2)sinh()yx x +有最小值78；【小问2详解】 因为()()22222222ln cosh sinh ln e a x a xa x a x +==， 所以原不等式可化为222(1)x a x −> 即()221210ax x −−+>，为满足题意，必有210a −<，即1a <−或1a >①， 令()22()121h x axx =−−+，由于2(0)10,(1)h h a =>=−，结合①可得(1)0 h <，所以()h x 的一个零点在区间()0,1上，另一个零点在区间[3,2)−−上，从而(3)0(2)0h h −≤ −> ，即()()22221(3)2(3)101(2)2(2)10a a −×−−×−+≤ −×−−×−+> ，② 由①②可得3423a −<≤−或4332a ≤<； 【小问3详解】π3π,,cosh(sin )sinh(cos )42x x x∀∈>，依题意，sin sin cos cos π3πe e e e ,,cosh(sin )sinh(cos )4222x x x x x x x −−+−∈−=− ()sin cos sin cos 1e e e e 2x x x x−−=−++，当π5π,44x∈时，[]ππ0,π,sin cos 044x x x x−∈−=−≥，即sin cos x x ≥，于是sin cos 0e e x x −≥， 而sin cos 0e e x x −−+>，因此cosh(sin )sinh(cos )0x x −>， 当5π3π,42x∈时，cos 0x ≤，则cos cos x x −≥， 所以cos cos e e x x −≥，即cos cos e e 0x x −−≥， 而sin sin 0e e x x −+>，因此cosh(sin )sinh(cos )0x x −>， 于是π3π,,cosh(sin )sinh(cos )042x x x∀∈−>， 所以cosh(sin )sinh(cos )x x >．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题
福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,则下列命题正确的是（ ）A ．若sin sin a A b B =,则ABC V 一定为等腰三角形B ．若A B >,则cos cos A B>C ．若::3:5:7a b c =,则ABC V 的最大内角为120o D ．若ABC V 为锐角三角形,则sin cos A B>10．在图示正方体中，O 为BD 中点，直线1A C I 平面1C BD M =，下列说法正确的是（ ）．A ．A ，C ，1C ，1A 四点共面B ．1C ，M ，O 三点共线C ．M Î平面11BBD DD ．1AC 与BD 异面11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AD ，1DD ，CD 的中点，则下列说法正确的有（ ）14．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条111ABC A B C -中，AA 积之比是 .四、解答题15．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为(1)求A ；(2)若ABC V 的面积为3,BC 边上的高为16．如图1，在边长为4的正方形球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C -的高．【详解】由正方体性质，11//AA CC ，所以A ，C ，1C ，1A 四点共面，A 正确；直线1AC 交平面1C BD 于点M ，M \Î平面1C BD ，M Î直线1AC ，又1AC Ì平面11ACC A ，M \Î平面11ACC A ，O Q 为DB 的中点，BD Ì平面1C BD ，底面ABCD 为正方形，所以O 为AC 的中点，O \Î平面1C BD ，且O Î平面11ACC A ，又1C Î平面1C BD ，且1C Î平面11ACC A ，面1C BD 与面11ACC A 相交，则1C ，M ，O 在交线上，即三点共线，故选项B 正确；平面11BB D D Ç平面1C BD BD =，M Î平面1C BD ，但M BD Ï，所以M Ï平面11BB D D ，C 错误；1A C I 平面ABCD C =，BD Ì面ABCD ，C BD Ï，所以1AC 与BD 为异面直线，D 正确.故选：ABD 11．ABC【分析】对于A 项，通过证明11EG A C ∥,说明直线11,AG C E共面；对于B 项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C ：作出二面角11D AC B --的平面角，计算其余弦值，可判断C ；对于D 项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可.【详解】。
安徽省安庆市怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷(含答案)
2023--2024高一第二学期期末质量检测试卷试题范围： 高中数学必修一、二 册 （侧重第二册）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．己知，则在上的投影向量的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数是关于的一元二次方程（，）的一个根，则（ ）A ．B ．C ．19D ．313．已知，，且，则（ ）A ．或B ．或C ．D ．4．若，，，则事件与的关系是（ ）A ．事件与互斥但不对立B ．事件与对立C ．事件与相互独立D ．事件与既互斥又相互独立5．已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ）A ．18.2B ．19.6C ．19.8D ．21.76．已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（ ）A ．B ．C ．2D7．如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．(2,2,1)(1,1,0)a b ==，a b (1,1,0)(1,2,0)(2,2,0)(1,1,1)34i +x 20x mx n ++=m n ∈R m n +=13-1-α()0,πβ∈cos α=()1tan 3αβ-=2αβ-=π4-3π43π4-π4π4-3π4-1()18P AB =1()3P A =1()12P B =A B A B A B A B A B 129,,,x x x ⋅⋅⋅10x O O O ABC M AB 3AM MB =N AC AN NC =CM BN P AP AB AC λμ=+ λμ+=122334458．在中，，是的中点，的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．连续地掷一枚质地均匀的股子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9"，则下列说法正确的是（ ）A ．与不是互斥事件B．与相互独立C ．与相互独立D ．与相互独立10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．是偶函数B ．的图象关于点中心对称C ．方程在上的所有解的和是D ．若，对任意的，，，恒成立，则的最大值是11．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，，点C 是圆周上异于A ，B 的任意一点，D ，E 分别是PA 、PC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．平面DEBC ．三棱锥外接球的表面积是D ．若，则直线BD 与平面PAC ABC π3B =D AB CD =2AB BC +(((0,A B C D A B B D A B A C ()2π2π2cos cos 2123f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x 7π,024⎛⎫⎪⎝⎭()13π124f x x -=[]π,2π-13π4[][],0,πm n ⊆1x []2,x m n ∈12x x <()()12f x f x <n m -11π246PA AB ==PB DE ⊥//AC -P ABC 72π5AC =三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．已知，则 .13．如图，D 为的边AC 上一点，，，，则的最小值为 .14．如图，正方体的棱长为2， E 是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为，若F 是侧面上的动点，且满足平面，则点F 的轨迹长度为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数.(1)若，求的最大值及对应的的取值集合；(2)若对任意的，，恒成立，求的取值范围.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c，且，D 为BC 边上的动点．(1)若D 为BC 的中点，，求边BC ；(2)若AD 平分∠BAC ，，，求△ABC 的面积．17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的π3sin 37α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ABC ||2||AD DC =60ABC ∠=︒||2||4AB BC +=BD 1111ABCD A B C D -1DD 1A BE 1111ABCD A B C D -11CDD C 1//B F 1A BE ()sin 2sin 2cos 1f x a x x a x =--+0a =()f x x 1x 2x ∈R ()()129f x f x -≤a 2AC AB =AD =cos 2A A +=3BC =AD AB =最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数：(2)在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？(3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．18．如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点．(1)证明：平面；(2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．19．如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，.10010040[)[)[]40,50,50,60,,90,100 a [)[)[]70,80,80,90,90,100[)80,90[)50,60617[)60,70704z 2s S ABCD -2SA =AB =P SD 3SP PD =Q SD //BQ PAC SC E //BE PAC SEECS ABCD -SA ⊥ABCD //AB CD 60CDA ∠= P SA 22244AB AD CD AP PS =====(1)证明：平面；(2)求二面角的大小；(3)求点到平面的距离.//SC PBD S DC A --A PBD参考答案：1．C 2．C 3．D 4．C5．C 由题意可知：，可得，且，解得，所以新样本数据的方差为.6．B 7．D设，由，又由，所以，解得，可得，因为，所以，所以.8．C 因为，中，由正弦定理可得，则，且是的中点，则，()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑9921181,837i i i i x x ====∑∑()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑1019x =()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑,,R,R BP xBN CP yCM x y ==∈∈11()()22AP AB BP AB xBN AB x BC BA AB x AC AB AB =+=+=++=+-- 1(1)2x AB x AC =-+3()(1)4AP AC CP AC yCM AC y AM AC y AC y AB =+=+=+-=-+ 314112x y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩24,55x y ==3155AP AB AC =+ AP AB AC λμ=+ 31,55λμ==314555λμ=+=+π3B =CD =BCD △2sin sin sin BD BC CD BCD BDC B====∠∠∠2sin ,2sin BD BCD BC BDC =∠=∠D AB 2224sin 4sin AB BC BD BC BCD BDC +=+=∠+∠又，则，则，又，则，所以，则，即的取值范围为.9．ACD 10．ACD对于A ，由题意可得，则，，从而是偶函数，故A 正确；对于B，由（），得（），则图象的对称中心为（），故B 错误；对于C ，由，得，，所以的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，如图，π3B =2π3BCD BDC ∠=-∠224sin π4sin 3AB BC BDC BDC ⎛⎫+=-∠+∠ ⎪⎝⎭14sin sin 2BCD BCD BCD ⎫=∠+∠+∠⎪⎪⎭34sin 2BCD BCD ⎛⎫=∠∠ ⎪ ⎪⎝⎭π6BCD ⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭20π3BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，ππ5π666BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭，π1sin 162BCD ⎛⎫⎛⎤∠+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，(π6BCD ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭2AB BC +(()π2πcos 21cos 263f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππcos 21cos 2cos 2sin 2166266x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5π2112x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ5π2121242412f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2121x x -+=+π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5π2π12x k +=k ∈Z π5π224k x =-k ∈Z ()f x π5π,1224k ⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z ()13π124f x x -=()113π24f x x =-13π13π5π211242412f ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 13π24x =113π24y x =-13π24x =在上有6个解，且在直线两侧各有3个解，则它们所有解的和是，故C 正确；对于D ，由对任意的，，且，恒成立，得在上单调递增，令（），得（），因为，所以当时，，此时的最大值是；当时，，此时的最大值是，故D 正确.11．BC对于选项A ：因为平面，平面，则，又因为D ，E 分别是PA 、PC 的中点，则∥，假设，则，且，平面，可知平面，由平面，可得，这与题意不符，故A 错误；对于选项B ：因为∥，平面DEB ，平面DEB ，所以平面DEB ，故B 正确；对于选项C ：因为平面，平面，则，由题意可知：，且，平面，可知平面，由平面，可得，由可知：三棱锥外接球的球心为的中点，则三棱锥外接球的半径为所以三棱锥外接球的表面积为，故C 正确；[]π,2π-13π24x =13π13π6244⨯=1x []2,x m n ∈12x x <()()12f x f x <()f x [],m n π5ππ2π22π2122k x k -≤+≤+k ∈Z 11ππππ2424k x k -≤≤+k ∈Z [][],0,πm n ⊆0k =π024x ≤≤n m -π241k =13ππ24x ≤≤n m -11π24PA ⊥ABC AC ⊂ABC PA AC ⊥DE AC PB DE ⊥PB AC ⊥PB PA P = ,PB PA ⊂PAB AC ⊥PAB AB ⊂PAB AC AB ⊥DE AC DE ⊂AC ⊄//AC PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA BC ⊥AC BC ⊥PA AC A = ,PA AC ⊂PAC BC ⊥PAC PC ⊂PAC BC PC ⊥Rt ,Rt PAB PBC △△-P ABC PB -P ABC 12PB =-P ABC (24π72π=对于选项D ：连接，因为平面，且可知直线BD 与平面PAC 所成角为，其余弦值为D 错误；12．1314．取CD 中点G ，连接BG 、EG，正方体中，，，四边形为平行四边形，则，E 是中点，G 是CD 中点，，则等腰梯形为截面，而，故梯形的周长为；取中点M ，中点N ，连接，则，故四边形为平行四边形，则得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴点F 的运动轨迹为线段MN.CD BC ⊥PAC CD DB ====BDC ∠CD BD ==11//BC A D 11BC A D =11BCD A 11//BA CD 1DD 11////GE CD BA 1A EGB 1A E GB ==1A B EG ==1A EGB +11C D 1CC 11,,,,B M B N MN NE MG 1111//,=NE A B NE A B 11A B NE 11//B N A E 1B N ⊄1A BE 1A E ⊂1A BE 1B N //1A BE 1//B M 1A BE 111=B N B M B 11,B N B M ⊂1B MN 1//B MN 1A BE故答案为：.15．（1）解：当时，，当时，即函数取得最大值，最大值为，所以的最大值为3，此时的取值集合为.（2）解：设，则，故，对任意的，恒成立，等价于对任意的，不等式恒成立，即对任意的，，恒成立，①当在上单调递增，则，，故.由，可得，解得则②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则，，故.由，得，解得因为③当时，在上单调递减，在上单调递增，则，，0a =()2sin 21f x x =-+π22π,Z 2x k k =-∈ππ,Z 4xk k =-∈()max 3f x =()f x x ππ,4x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭21sin cos 2t x x -=()221,y g t t at t ==+-≤12,x x ∈R ()()129f x f x -≤t ⎡∈⎣()()129g t g t -≤1t 2t ⎡∈⎣()()max min 09g t g t <-≤4a-≤a ≥()g t ⎡⎣()max 3g t g==+()(min 3g t g ==()()max min g t g t -=()()max min 09g t g t <-≤09<≤0a <≤a ≥04a <-≤0a ≤<()g t 4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4a ⎛- ⎝()max 3g t g==+()2min 1148a g t g a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()()2max min 148g t g t a -=+()()max min 09g t g t <-≤210498a <+≤a -≤<-a -<≤0a ≤<0a ≤≤04a <-≤0a -≤<()g t 4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4a ⎛- ⎝()(max 3g t g ==()2min 1148a g t g a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭故，由.得，解得，因为，所以，符合题意；④当时，在上单调递减，则，.所以.由，得，解得，则，不符合题意.综上可得，实数的取值范围是.16．（1，所以，所以，，所以，所以，∵为的中点，∴，平方得又，，，由余弦定理得：，∴（2）设，∵平分，∴，又，得，∵平分，则，()()2max min 148g t g t a -=+()()max min 09g t g t <-≤210498a <+≤a -≤≤a ≠0a -≤<0a -≤<4a ->a <-()g t ⎡⎣()min 3g t g ==()(max 3g t g ==()()max min g t g t -=-()()max min 09g t g t <-≤09<-≤0a ≤<a <-a ⎡-⎣cos 2A A +=1cos )22A A +=πsin()16A +=0πA <<ππ62A +=π3A =D BC ()12AD AB AC =+ ()()22222112·|2·cos |344AD AB AB AC AC AB AB AC A AC =++=++= 2,AC AB =22|||||cos ||122|AB AB AC A AC ++= 222|2|4||12AB AB AB ∴++= 212||7AB ∴=222362cos 7BC AB AC AB AC A =+-= BC =222AC AB AD t ===AD BAC ∠12AB BD AC DC ==3BC =1,2BD DC ==AD BAC ∠cos cos BAC CAD ∠=∠所以，解得，则在中，，则，所以．17．(1)；第75百分位数为84．(2)5个(3)总平均数，总方差．（1）（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，所以．成绩落在内的频率为，落在内的频率为，显然第百分位数，由，解得，所以第百分位数为．（2）由频率分布直方图知，样本成绩为的三组答卷的市民有个样本，成绩在的市民人数为，所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为的中抽取市民人数为个.（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以总平均数，由样本方差计算总体方差公式，得总方差为．18．（1）设，连接，22222214124t t t t t t +-+-=t =AB =AC =ABC 2221cos 28AB AC BC BAC AB AC +-∠== sin BAC ∠==11sin 22ABC S AB AC BAC =∠=⨯= 0.030a =67z =223s =0.050.10.2100.250.11a +++++=0.030a =[40,80)0.050.10.20.30.65+++=[40,90)0.050.10.20.30.250.9++++=75()80,90m ∈0.65(80)0.0250.75m +-⨯=84m =7584[70,80)[80,90)[90,100]，，10010(0.030.0250.01)65⨯⨯++=80,90［）10010002525⨯⨯=．80,90［）2513565⨯=0,60)［51000.110⨯=0,70［6）1000220⨯=．10612070671020z ⨯+⨯==+()(){}222110761672047067231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+AC BD O = OP因为分别为的中点，则，且平面，平面，所以平面.（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下：因数中点为，，则，过作的平行线交于，连接．由于，即．则，且平面，平面，所以平面，由（1）可知：平面，因为，平面，可得平面平面，且平面，所以平面.19．（1）连接交于点，连接.在底面中，因为，且，由，可得，因为，即，所以在中，，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）设的中点为，连接、，因为，，所以为等边三角形，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，,O P ,BD QD //OP BQ OP ⊂PAC ⊄BQ PAC //BQ PAC SC E //BE PAC 2SE EC =SD Q 3SP PD =PQ PD =Q PC SC E BE 2SQ QP =2SE SQ EC QP==//QE PC PC ⊂PAC QE ⊄PAC //QE PAC //BQ PAC BQ QE Q = ,BQ QE ⊂BEQ //BEQ PAC BE ⊂BEQ //BE PAC AC DB O OP ABCD //AB CD 2AB CD =ABO CDO ∽2AO AB CO CD ==2AP PS =2AP PS =CAS △2AO AP OC PS==//OP CS OP ⊂PBD SC ⊂/PBD //SC PBD CD M AM SM 60CDA ∠= 2AD CD ==CDA AM CD ⊥SA ⊥ABCD CD ⊂ABCD SA CD ⊥SA AM A = ,SA AM ⊂SAM CD ⊥SAM SM ⊂SAM CD SM ⊥所以为二面角的平面角，平面，平面，所以，在中，所以，即二面角的大小为；（3）因为，，所以，所以在中，，所以，即，所以，设点到平面的距离为，则，即，即，即点到平面SMA ∠S DC A --SA ⊥ABCD AM ⊂ABCD SA AM ⊥Rt SMA 3SA SP AP =+=AM =tan SA SMA AM∠==60SMA ∠=︒S DC A --60︒//AB CD 60CDA ∠=︒120DAB ∠=︒11sin 2422ABD S AD AB DAB =⨯∠=⨯⨯= PBD △PD ===PB ===BD ==222PD PB BD +=PD PB ⊥1122PBD S PB PD =⨯=⨯= A PBD d A PBD P ABD V V --=1133PBD ABD S d S PA ⋅=⨯ ABD PBD S PA d S ⨯=== A PBD。
福建省福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题(含部分答案)
福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学学科试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．答题前、考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将答题卡交回．第I 卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A. B. 2 C.D. 12. 下列命题一定正确的是（ ）A. 一条直线和一个点确定一个平面B. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行D. 若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点3. 数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（ ）A. 6B. 7C. 12D. 364. 某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（ ）A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）2i z=+i z =l αl α1x 2x 3x n x 2x =24s =131x +231x +331x +31n x +108,9,7,7,8,9,10,9,10,68088.599.5ABC V A B C a b c 2c =π6C =cos B =b =A. B. C. 2 D. 16.甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）A. 5 B. C. D. 7. 如图所示，圆锥底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（ ）A. 圆锥的轴截面为直角三角形B. 圆锥的表面积大于球的表面积的一半C. 圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为πD. 圆锥的体积与球的体积之比为8. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A 到平面的距离为（ ）A. 1B.C.D. 2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是（ ）A. “至少有一个黑球”与''都是黑球”B 至少有一个黑球''与“至少有一个红球”C. 恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球”10. 已知，，均为非零向量，则下列结论中正确有（ ）的.的1372729191:41111ABCD A B C D ABCD 1A BC V 1A BC a b cA. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若非零向量，满足，则与的夹角是11. 在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则（ ）A. 直线与是异面直线B. 直线与所成的角是C. 直线平面D. 平面截正方体所得的截面面积为.第II 卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12. 已知平面平面，直线，下列说法正确的是________（填序号）①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行；③与内任一直线不垂直；④与无公共点．13. 已知，，，则________.14. 瑞云塔是福清市古街打卡景点．某同学为了测量瑞云塔ED 的高，他在山下A 处测得塔尖D 的仰角为，再沿AC 方向前进15米到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为，塔底点E 的仰角为，那么瑞云塔高为________米．（答案保留根号形式）的0a b a c ⋅-⋅=r r r r b c= ||||a b > ()()0a b a b +⋅-> ||||a c b c -=- a b= a b ||||||a b a b ==- a a b + 30︒1111ABCD A B C D -M N ，111,C D C C BN 1MB MN AC 3πMN ⊥ADNBMN 98//αβm α⊂m βm βm βm β60ABC ∠=︒2AB =BC =AB BC ⋅= 45︒60︒30︒四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知O 为坐标原点，向量，，，若A 、B 、C 三点共线，且，求实数的值．16. 正方体中，，分别是，中点.（1）求异面直线与所成角；（2）求证：平面17. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在名读书者中年龄分布在的人数；（2）求名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄恰有1人在的概率．18. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．的(,2)OA m =- (1,)OB n = (1,5)OC =- 2m n =,m n 1111ABCD A B C D -M N 1BC 1CD 1CD 1BC //MN ABCD406[)[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,8040[)30,6040[)20,40[)20,30ABC V sin 0A A =a =1b =（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且，求的面积．19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，．（1）证明：平面平面；（2）若，且与平面的夹角为（i ）证明；（ii ）求二面角的正弦值．AD AC ⊥ACD V P ABCD -2PB PD =PBD ⊥PAC 1PA =PA ABCD π4π4PAC ∠=P BC A --福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学学科试卷答案第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABD第II卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．【12题答案】【答案】②④【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】或．【16题答案】【答案】（1）（2）证明略【17题答案】【答案】（1）24（2）平均数54，中位数为55． （3）．【18题答案】【答案】（1）（2【19题答案】【答案】（1）证明略（2）（i ）证明略；（ii 15+63m n =⎧⎨=⎩332m n =⎧⎪⎨=⎪⎩60︒8152c =。
河南省信阳市高级中学新校(贤岭校区)、北湖校区2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题
河南省信阳市高级中学新校（贤岭校区）、北湖校区2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()20243i 3i z +=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A ．2i 5-B ．25-C ．2i5D ．252．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,m n αα⊂，则//m n B ．若//,//m ααβ ，则//m β C ．若,m m n α⊥⊥，则//?n αD ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥3．某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．454．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知4,45c A ==o ，若角B 有两解，则a 的值可以是（ ）A ．2B ．C ．D ．45．如图，锐二面角α-l-β的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝BD ＝6，CD ＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余弦值是（ ）A ．14B ．13C ．23D ．346．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则（ ） A ．甲乙互斥B ．乙丙互为对立C ．甲乙相互独立D ．甲丙互斥7．已知正四棱台的体积为143则该球的表面积为（ ） A ．20πB ．25πC ．36πD ．50π8．如图，在扇形AOB 中，扇形的半径为2π1,3AOB ∠=，点P 在弧»AB 上移动，OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ．当π2AOP ∠=时，a b +=（ ）A ．32B C ．2 D二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是265C ．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D ．若样本数据1210,,,x x x L 的标准差为8，则数据121021,21,,21x x x ---L 的标准差为32 10．已知点(2,3,3)A --，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ）A ．线段AB 的长为36 B ．点(1,2,1)P -在平面α内C ．线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)-D ．直线CD 与平面α 11．已知复数121223i,34i,,z z z z =+=-在复平面内对应的点分别为12,Z Z ，则（ ）A ．1212z z z z +=+B ．12Z Z =C ．满足2z z =的复数z 对应的点Z 形成的图形的周长是5πD ．满足12z z z <<的复数z 对应的点Z 形成的图形的面积是12π三、填空题12．已知平面向量,,3a b b =r r r ，向量a r 在向量b r 上的投影向量为16b r ，则a b ⋅r r =.13．已知事件A 与B 相互独立，()0.6P A =，()0.42P AB =，则()P A B +=．14．已知四面体A BCD -中，棱BC ，AD 所在直线所成的角为60︒，且4BC =，3AD =，120ACD ∠=︒，则四面体A BCD -体积的最大值是．四、解答题15．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,65，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值并估算样本平均年龄（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）及第78百分位数；(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在[)25,35和[)45,55内抽取6位市民做问卷调查，现从这6位中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[)25,35内的概率. 16．如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面.90ADC BAD ∠∠==o ，F 是线段PA 的中点，PD 112AB AD CD ===.(1)求证：//AC 平面DEF ； (2)求点F 到平面BCP 的距离.17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足1+=--b cc a b a. (1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆的面积为7π3，sin sin +=B C A ，求△ABC 的面积. 18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知棱长为4，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，111A E D F ==.(1)求异面直线AE 和1B C 所成角的余弦值; (2)求直线AE 和平面ABF 所成角的正弦值； (3)求平面ABF 和平面ABCD 所成角的余弦值.19．在Rt ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos cos cos A B Ca b c+=+. (1)求角A ；(2)已知2c b ≠，a =，点P ，Q 是边AC 上的两个动点（P ，Q 不重合），记PBQ θ∠=. ①当π6θ=时，设PBQ V 的面积为S ，求S 的最小值： ②记BPQ α∠=，BQP β∠=.问：是否存在实常数θ和k ，对于所有满足题意的α，β，都有sin 2sin 24sin sin k k αβαβ++=成立?若存在，求出θ和k 的值；若不存在，说明理由.。
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高一期末模块模拟考试数学试题2013年6月22日本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：用最小二乘法求线性回归直线方程 y bx a =+中的系数． 第I 卷（共60分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的，请将正确的选项涂写在答题卡上。
1、把十进制数389化成四进制数的末位是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、函数2()sin f x x =是 A 、最小正周期为2π的奇函数 B 、最小正周期为2π的偶函数 C 、最小正周期为π的奇函数D 、最小正周期为π的偶函数3、设12,e e 是互相垂直的单位向量，且1223a e e =+ ，124b ke e =- ，若a b ⊥，实数k 的值为A 、6B 、-6C 、3D 、-34、将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8 | 7 79 | 4 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为A 、1169B 、367C 、36D 、6775、将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 A 、34π B 、4πC 、0D 、4π-6、.若1tan()44πβ-=，则tan β等于 A 、53B 、35C 、43D 、347、某客运公司为了了解客车的耗油情况，现采用系统抽样方法按1:10的比例抽取一个样本进行检测，将所有200辆客车依次编号为1，2，…，200，则其中抽取的4辆客车的编号可能是 A 、3，23，63，102 B 、31，61，87，127 C 、103，133，153，193 D 、57，68，98，1088、在下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是A 、1(0,1)e = ，2(1,6)e =- B.1(1,2)e =- ， 2(5,1)e =-C 、1(3,5)e =-，2(6,10)e = D 、1(2,3)e =- ， 213(,)24e =- 9、如果α是第二象限角，那么2α是A 、第一或第三象限角B 、第三或第四象限角C 、第一象限角D 、第二象限角10、如图，矩形ABCD 中，点E 是CD 边的中点，若在矩形ABCD 内部随即取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A 、14B 、13C 、12D 、2311、一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是 A ．9991 B ．10001 C ．1000999D ．21 12、已知函数23()sin cos 3cos 2f x x x x =+-的最大值为a ，最小值为b ，若向量(,)a b 与向量(cos ,sin )θθ垂直，则锐角θ的值为 A 、6πB 、3πC 、4πD 、8πDE C AB1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。
共16分。
13、执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为 。
14、在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =- ，(2,2)OB = 。
若90ABO ∠=,则实数t 的值为 。
15、已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||3AB = ，||2AC = ，若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为 。
16、函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C ，则①图象C 关于直线1112x π=对称；②图象C 关于点2(,0)3π对称；③函数()f x 在区间5(,)312ππ-内是增函数；④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个长度单位可得到图象C 。
其中正确命题的序号是 （请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17、（12分）某小组共有A,B,C,D ，E 五位同学，他们的身高（单位：米）及体重指标（单位：千克/米2），如下表所示：A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.225.118.523.320.9(I)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； （II ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率；18、（12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40, 50)，[50, 60)，…，[90, 100] 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （I ）求分数在 [70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计本次考试的平均分；（Ⅲ） 根据频率分布直方图估计这次高一年级期中考试的学生成绩的中位数(保留整数)。
19、（12分）已知(1,2)a = ,(3,2)b =-,分别求当k 为何值时（I ）ka b + 与3a b -垂直？（II ）ka b + 与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？20、（12分）某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系。
x （百万元） 24 5 6 8 y （百万元）30 40605070(I)画出数据的散点图；(II)用最小二乘法估计求回归直线方程，并估计当广告费为7百万元时的销售额。
21、（13分）设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π.(I)求ω的值；(II)求()f x 在区间3[,]2ππ的最大值和最小值。
(III ）为了得到()f x 的图像，只要把sin y x =上的所以点如何变换即可？22、（13分）已知x R ∈，R a ∈且0≠a ，向量2(cos ,1),(2,3sin 2)OA a x OB a x a ==-，()f x OA OB =⋅ 。
(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式，并求当a >0时，)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)当]2,0[π∈x 时,)(x f 的最大值为5，求a 的值。
（Ⅲ）当1=a 时，若不等式()2f x m -<在]2,0[π∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围．高一期末模块模拟考试数学试题参考答案2013年6月22日一、BDABB ACDAC DC二、13、3 14、5 15、71216. ①② 三、17. 解析：（1）身高低于1.80的同学有A 、B 、C 、D ，从中任取2人，所有可能的结果为： （A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），共有6种；…………………………2分 2人的身高都在1.78以下的可能结果是：（A ，B ），（A ，C ），（B ，C ），共有3种；…………4分 记：2人身高都在1.78以下为事件A ，所以，由古典概型的概率计算公式可得：。
……………………………………6分 （2）从该小组任选2人，所以可能的结果为： （A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 共有10种；…………………………………………………………………………………………8分 2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的可能结果为：（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ），共有3种，…………………………………………………………10分 记：选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中为事件B ， 所以，由古典概型的概率计算公式可得：3()10P B =。
………………………………………12分18、解析：（1）记直方图中各小长方形的面积依次为1S ,2S ,3S ,4S ,5S ,6S ；10.01100.1S =⨯=，230.015100.15S S ==⨯=，50.025100.25S =⨯=，60.005100.05S =⨯=；…………………………………………………………………………1分由1234561S S S S S S +++++=可得40.3S =………………………………………………3分 所以，在[70,80)内的频率为0.3………………………………………………………………4分 （2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和，所以………………………………………………………………………6分12345645556575859571X S S S S S S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………8分（3）中位数左边和右边的直方图的面积应该相等……………………………………9分1230.10.150.150.4S S S ++=++=∴中位数一定位于4S 中，并且4S 中应分割出面积为0.1的小矩形……………………11分设小矩形的宽为x ，则0.030.1x =，103x ∴=，所以，中位数为 1070733+≈。
…………………………………………………………12分19、解析：因为(1,2)a = ，(3,2)b =-，所以(3,32)ka b k k +=-+ ，3(10,4)a b -=-。
……………………………………4分（1）若ka b + 与3a b -垂直，则()(3)0ka b a b +⋅-= ；………………………6分 即(3)10(22)(4)0k k -⨯++⋅-=，解得19k =。
………………………………8分（2）若ka b + 与3a b -平行，则(3)(4)10(22)0k k -⋅--+=，解得13k =-；………………………………10分此时104(,)33ka b +=- ，与3a b - 的方向相反。