高一下学期期末考试数学试题(解析版)

考点：和差公式。
点评：此题主要考查两角和的正切公式的灵活应用，我们要注意“ ”的代换，也就是我们常说的1代换。
14．
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．
表示可行域内的点 与点 连线的斜率．
由 ，解得 ，故得 ；
由 ，解得 ，故得 .
因此可得 ，
结合图形可得 的取值范围为 ．
答案：
15．
14．若 满足约束条件 ，则 的取值范围为__________．
15．设数列 满足 ， ___________．
16．若函数 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长 都在函数 的定义域内，就有函数值 也是某个三角形的三边长.则称函数 为保三角形函数，下面四个函数：① ；② ；③ ；④ 为保三角形函数的序号为___________．
②若 是异面直线时，则直线 可能与 平行;
③若 是异面直线时，则不存在异于 的直线同时与直线 都相交；
④ 两点可能重合，但此时直线 与 不可能相交
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
12．已知等比数列 的各项均为正数，且 成等差数列，则 _________.
13． 的值为___________．
三、解答题
17．已知直线 恒过定点 .
（Ⅰ）若直线 经过点 且与直线 垂直，求直线 的方程；
（Ⅱ）若直线 经过点 且坐标原点到直线 的距离等于3，求直线 的方程.
18．如图，在三棱柱 中， 平面 ，底面三角形 是边长为2的等边三角形， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若直线 与平面 所成的角为 ，求三棱锥 的体积．
18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
连接 交 于 点，连接 ，由三角形中位线定理可得 ，再由线面平行的判定可得 平面
直接利用等积法求三棱锥 的体积
【详解】
（Ⅰ）连接 交 于 点，连接 ．
因为 分别为 的中点，所以 ，
又 平面 ， ，
所以 平面 ．
（Ⅱ）等边三角形 中， ，
平面 ， ，且 ， 平面 ．
7．D
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式表示出 ，再利用余弦定理表示出 ，变形后代入已知等式，进而求出 ，最后得出 的值
【详解】
，
，
代入已知等式 可得：
，
故选
【点睛】
本题主要考查了余弦定理和同角三角函数间的基本关系，运用三角形面积公式代入化简，属于基础题
8．D
【解析】如图所示，在长宽高分别为 的长方体中， ，
5．A
【解析】
试题分析：两条直线存在两种情况：一，两直线的斜率均不存在，且不重合，二，两直线的斜率均存在且相等但不重合．当两直线斜率均存在时，由题可知无解，当两直线斜率均存在时可知 ，可求得 ，当 时，两直线方程相同，即两直线重合，当 时，两直线方程为 ，两直线没有重合，所以本题的正确选项为A.
考点：两直线平行的性质.
（Ⅱ）①当直线 斜率不存在时，因为直线过点A，所以直线方程为 ，
符合原点到直线 的距离等于3.
②当直线 斜率不存在时，设直线 方程为 ，即
因为原点到直线的距离为3，所以 ，解得
所以直线 的方程为
综上所以直线 的方程为 或 .
【点睛】
本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法，点到直线的距离公式，主要分斜率存在和不存在两种情况讨论，属于基础题。
则
在 中由勾股定理可得：
解得
故选
【点睛】
本题考查了正四棱锥的外接球问题，关键是要找出球心所在位置，然后计算，在计算过程中注意图形的构造，由勾股定理求出结果，较为基础
10．A
【解析】
【分析】
化简 得 ，令 ， ，故 ，然后求出结果
【详解】
已知 均为正数，且 ，
则
令 ， ，即
则 的最大值为
故选
【点睛】
本题考查了多元的最值问题，在解答多元问题时将其转化，运用消元的思想，整体换元，然后再运用基本不等式求出结果，本题有一定难度
12．
【解析】
分析：根据等比数列的定义 ，只要计算出公比 即可.
详解：∵ 成等差数列，
∴ ，即 ，解得 （－1舍去），
∴ ，
故选D.
点睛：正整数 满足 ，若数列 是等差数列，则 ，若数列 是等比数列，则 ， 时也成立，此性质是等差数列（等比数列）的重要性质，解题时要注意应用.
13．
【解析】
试题分析： 。
高一下学期期末考试数学试题
数学答案
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先求出集合 ， ，然后根据交集的定义求出
【详解】
，
故选
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题
2．D
【解析】因为 ，所以当 时，选项A,B错误，对于选项C，当 时， ，所以选项C错误，对于选项D,函数 在R上为减函数，所以 ，选D.
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．已知直线 平行，则实数 的值为（）
A． B． C． 或 D．
6．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗 原料2千克， 原料3千克；生产乙产品1桶需耗 原料2千克， 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗 原料都不超过12千克的条件下，生产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为（）
19．如图，在 中，点 在 边上， ， .
．
（Ⅰ）求 的面积．
（Ⅱ）若 ，求 的长．
20．已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求 的值域；
（Ⅱ）若将函数 向右平移 个单位得到函数 ，且 为奇函数.
(ⅰ)求 的最小值；
(ⅱ)当 取最小值时，若 与函数 在 轴右侧的交点横坐标依次为 ，求 的值.
21．已知数列 满足 .
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
9．C
【解析】
【分析】
由题意作出图形，分别计算出棱锥的高、底面对角线长，然后构造直角三角形，求出结果
【详解】
如图，设正方形 的中点为 ，正四棱锥 的外接球心为
底面正方形的边长为 ，
正四棱锥的体积为
则题中三视图对应的几何体是一个由图中的三棱柱 和三棱锥 组成的组合体，
故其表面积为：
，
本题选择D选项.
点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
17．（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 .
【解析】
【分析】Байду номын сангаас
求出定点 的坐标，设要求直线的方程为 ，将点 的坐标代入方程可求得 的值，即可写出直线 的方程
分直线 斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案
【详解】
直线 可化为 ，
由 可得 ，所以点A的坐标为 .
（Ⅰ）设直线 的方程为 ，
将点A 代入方程可得 ，所以直线 的方程为 ,
在 中， ，则 或 ，故 错误，故选B.
点睛：本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
6．C
【解析】
设分别生产甲乙两种产品为 桶， 桶，利润为 元，则根据题意可得
， 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线 ，然后把直线向可行域平移，可得 ，此时 最大 ，故选C.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
A． B． C． D．
10．已知 均为正数，且 ，则 的最大值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，平面 与平面 交于直线 是平面 内不同的两点， 是平面 内不同的两点，且 不在直线 上， 分别是线段 的中点，下列命题中正确的个数为（）
①若 与 相交，且直线 平行于 时，则直线 与 也平行;
A．1800元B．2100元C．2400元D．2700元
7．在 中，内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
8．如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A． B． C． D．
9．已知正四棱锥 (底面四边形 是正方形，顶点 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 ，若该正四棱锥的体积为 ，则此球的体积为（）
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 为数列 的前 项和，解关于 的不等式 .
22．如图1，在长方形 中， 为 的中点， 为线段 上一动点．现将 沿 折起，形成四棱锥 .
图1图2图3
（Ⅰ）若 与 重合，且 (如图2).
(ⅰ)证明： 平面 ；
(ⅱ)求二面角 的余弦值.
（Ⅱ）若 不与 重合，且平面 平面 (如图3)，设 ，求 的取值范围
则 在平面 的射影为 ，
故 与平面 所成的角为 ．
在 中， ， ，算得 ，
，
.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查了计算能力和逻辑推理能力，注意等积法的应用。