余弦函数的留数型逼近

关键词：余弦函数，预解式，Laplace 逆变换，留数 中图分类号： O177
0. 引言
一般我们所讨论算子半群的逼近 [1−5] ，如概率型逼近，是在 t 取相对较小值的情况下研
究的，但从应用的观点 [6]（如抽象 Cauchy 问题）看，还需关注当 t → ∞ 时余弦函数{C(t)}t≥0
的渐近性态，而对此起决定作用的是 A 的谱分布情况，从这个角度，在适当限制预解式的
∫ ∫ t (t − s)C(s)xds = 1
0
2π i
e γ +i∞ λt
γ −i∞
R(λ 2 , λ n+1
A)
Cxd
λ
，
(γ
> ω)
(5)
且右端积分在 t 的任何有限区间上是一致收敛的．
证明:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t (t − s)C(s)xds = 1
0
2π i
γ +i∞ γ −i∞
t 0
tL
则对 ∀x ∈ D( A) ，有
∫ C(t)x = 1 γ +i∞ eλtλR(λ 2 , A)xdλ ，
2π i γ −i∞
(9)
且右端积分在 t 的任何有限区间上是一致收敛的.
定理 5 设 A 强连续余弦函数{C(t)}t≥0 的无穷小生成元， C(t) ≤ Meωt ，在复平面上有一直
线 Re λ = β 0 ，在其右侧除可数个谱点外均为 A 的预解集，且这些谱点可按实部从大到小依 次排序为 λ1 , λ2 ,L, ∀x ∈ D( A) 和任意实数δ ≥ β 0 关于 δ 一致地有，
定理 4 [7]（柯西留数定理） f (z) 在围线或复围线 C 所围的区域 D 内，除 a1, a2,L, an 外解
析，在闭域 D = D + C 上除 a1, a2,L, an 外连续，则
n
∫ ∑ f (z)dz = 2π i Re s f (z) .
C
k =1 z=ak
引理4 设 A 是强连续余弦函数{C(t)}t≥0 的无穷小生成元， C(t) ≤ Meωt ，γ > max{0,ω} ，
γ −i∞
R(λ 2 , A) ACx λ n+1
dλ ，
已知
从而
(λ 2 − A)−1 = I + (λ 2 − A)−1 A
λ2
λ2
-3-

∫ ∫ C(t)x − tn Cx = 1
n! 2π i
e γ +i∞ λt
γ −i∞
(λ 2
− A)−1Cx λ n−1
定理1 设 A 是强连续余弦函数{C(t)}t≥0 的无穷小生成元, C(t) ≤ Meωt ,
γ > max{0,ω} ,则对 ∀x ∈ D( A) ,有
∫ C(t)x = 1 γ +i∞ eλtλ R(λ 2 , A)xdλ ，
2π i γ −i∞ 且右端积分在 t 的任何有限区间上是一致收敛的．
0
λ
2π i
γ +i∞ (eλt
γ −i∞
−1)
R(λ 2 , λ2
A)
Cxd λ
且
∫ 1
2π i
γ +i∞ γ −i∞
R(λ 2 , λn
A)Cxd λ
=
0
，
将上式依次代入式（6），得
n = 1, 2,3,L
∫ ∫ ( ) t
t − s C(s)xds =
1
0
2π i
e γ +i∞ λt
γ −i∞
∫ ∫ t (t − s) C(s)xds = 1 γ +i∞ eλt R(λ 2, A)Cx dλ ，
0
2π i γ −i∞
λ
(4)
且右端积分在 t 的任何有限区间上是一致收敛的．
下面在原有结果的基础上进一步推出较为简洁的 n 次积分 C 半群的 Laplace 逆变换形
式．
定理 3 设 A 是 n 次积分 C 余弦函数{C(t)}t≥0 的无穷小生成元,且 A 是 X 上的闭线性 算子, C(t) ≤ Meωt (ω ≥ 0) , λ ∈ ρc ( A) ,则对 ∀x ∈ X ,有

余弦函数的留数型逼近
周玮，李晓敏，刘敬怀
中国矿业大学理学院，江苏徐州（221008）
E-mail: raincumt@
摘 要：本文通过强连续余弦函数、C 余弦函数、n 次积分 C 余弦函数的 Laplace 逆变换形 式,然后从 A 的谱分布情况的角度，在适当限制预解式的条件下，用留数来逼近余弦函数， 给出了强连续余弦函数、 C 余弦函数、 n 次积分 C 余弦函数的留数型逼近形式。
引理1[1] 设 A 是 C0 半群{h(t)}t≥0 的无穷小生成元, h(t) ≤ Meωt , γ > max {0,ω} ,则对 ∀x ∈ D( A2 ) ,有
∫ ∫ t
h(s)xds =
1
γ +i∞ eλt R(λ, A)xdλ ，
0
2π i γ −i∞
且右端积分在 t 的任何有限区间上是一致收敛的．
∫ C(t)x = 1
2π i
e γ +i∞ λt
γ −i∞
R(λλn2−,1A)Cxdλ ， (γ
> ω)
(8)
且右端积分在 t 的任何有限区间上是一致收敛的．
证明：对式（5）两端同时作用以 A ,对 ∀x ∈ D( A) ,有
∫ ∫ A
t
(t − s)C(s)xds =
1
0
2π i
e γ +i∞ λt
证明：由引理 1,对 ∀x ∈ D( A) 有
C(t)x = h (t ) x + h (−t ) x
2
∫ ∫ =
1 2
⎛ ⎜⎝
1 2π
i
γ +i∞ eλt R(λ,
γ −i∞
A ) xd λ
+
1 2π
i
γ +i∞ eλt R(λ, −
γ −i∞
A ) xd
λ
⎞ ⎟⎠
∫ = 1 e γ +i∞ λt R(λ, A)x + R(λ, −
0
teλs R(λ 2 , A) Cxdλ (ds)n
0
λ
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) = 1
2π i
t 0
L t
t γ +i∞
0
0 γ −i∞
teλs R(λ 2 , A) Cxdλ ds n
0
λ
(6)
由于
∫ ∫ ∫ 1
2π i
γ +i∞ γ −i∞
t eλs R(λ 2 , A)Cxdsdλ = 1
t,h ≥ 0 , 则
（7）
∫ 证明：由 C(t) ≤ Meωt (ω ≥ 0) ，故可令α (t) =
t
(t − s)C(s)xds ，
0
F (λ )
=
(λ 2
− A)−1Cx λn
理 3 的条件，又有
F
(λ)
=
(λ
2
− A)−1Cx λn
∫= +∞ e−λtC(t)xdt 0
∫ ∫ =
+∞ e−λt xd
t
C(s)ds
0
0
∫ ∫ = λ +∞ e−λt ( t C(s)xds)dt ， Re λ > ω ，
0
0
也满足引理 3 的条件. 将α (t) 及 F (λ) 代入式（7）得，
∫ ∫ t
(t − s)C(s)xds =
1
0
2π i
e γ +i∞ λt
γ −i∞
(λ 2 − A)−1Cx λn
(λ 2 − A)−1 λ n+1
Cxd λ
从而式（5）得证．
证毕．
-2-

下面给出 n 次积分 C 余弦函数 Laplace 逆变换的另一种求法.
引 理 3 [8] 令 ω ≥ 0 ， F (λ) : (ω,∞) → X . 设 F (λ) 满 足 Laplace 型 表 达 式 ：
∫ ∫ t (t − s) C(s)xds = 1 γ +i∞ eλt R(λ 2, A)x dλ ，
0
2π i γ −i∞
λ
(2)
且右端积分在 t 的任何有限区间上是一致收敛的．
定理2 设 A 是指数有界 C 余弦函数{C(t)}t≥0 的无穷小生成元, C(t) ≤ Meωt ,γ > max{0,ω} ,则对 ∀x ∈ D( A) ,有
dλ λ,
(γ
> ω)
即式（5）得证，且右端积分在 t 的任何有限区间上是一致收敛的.
证毕.
此种证法也适用于求强连续余弦函数和 C 余弦函数的 Laplace 逆变换，类似于强连续
余弦函数和 C 余弦函数的的结论，可以得到以下推论：
推论 3 设 A 是 n 次积分 C 余弦函数{C(t)}t≥0 的无穷小生成元,且 C(t) ≤ Meωt (ω ≥ 0) ,则对 ∀x ∈ D( A) , λ ∈ ρc ( A) ,有
2π i γ −i∞
2
∫ = 1 γ +i∞ eλtλ R(λ 2 , A)xdλ
2π i γ −i∞
A)x dλ
(1) 证毕.
-1-

推论1 设 A 是强连续余弦函数{C(t)}t≥0 的无穷小生成元, C(t) ≤ Meωt ,
γ > max{0,ω} ,则对 ∀x ∈ X ,有
dλ
−
1 2π i
e γ +i∞ λt