信号与系统第三讲
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信号与系统第三章PPT课件
③ 在任何单个周期内，只有有限个第一类间断点， 且在间断点上的函数值为有限值。
.
它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的 信号都能满足Dirichlet条件，因而用傅里叶级数表 示周期信号具有相当的普遍适用性。
几个不满足Dirichlet条件的信号
.
三.Gibbs现象 满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
.
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运
动
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示
1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
.
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ) ,若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
利用齐次性与可加性，有
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
.
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
.
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
第k次谐波 e jk 0t 的周期为
.
它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的 信号都能满足Dirichlet条件，因而用傅里叶级数表 示周期信号具有相当的普遍适用性。
几个不满足Dirichlet条件的信号
.
三.Gibbs现象 满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
.
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运
动
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示
1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
.
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ) ,若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
利用齐次性与可加性，有
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
.
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
.
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
第k次谐波 e jk 0t 的周期为
信号与系统张晔版第三章ppt
特别强调频谱的概念。 哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
Signals and Systems
Fourier是法国大革命时期的数学家，他在频谱分析领域做有卓越的 贡献。
在当时，拿破仑时代，科学界流行一种哲学：世界是由“基元”组 成的，任何一种物质只是基元的加权代数和。基元是什么？
运动是物质的一种存在形态，也应该具有一种相同的特性，即运动
/
2
sin(n1t
)dt
T1 T1 /
2
sin(n1t
)dt
4
n
0
n为奇数 n为偶数
信号分解为：
f
(t)
4
sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
n分别取1、3、5、7、9、…→
结论：项数越多(加入了高频信息)， 近似误差越小，边沿更陡峭(边沿有丰富 高频信息)。
选多少项取决于应用要求！
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
Signals and Systems
3.1.1 三角形式的傅立叶级数
分解线性组合形式：
f
(t)
a0 2
[an
n1
cos(n1t) bn
sin(n1t)]
下面转到如何计算傅立叶级数的系数？
a0
2 T1
t0 T1 f (t)dt
t0
2
an T1
t0 T1 t0
想象脉宽趋于零？ 哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
Signals and Systems
3.2.2 周期锯齿脉冲信号
因为是奇函数，可求得： a0 0
an 0
(1)n1 E bn n
Signals and Systems
Fourier是法国大革命时期的数学家，他在频谱分析领域做有卓越的 贡献。
在当时，拿破仑时代，科学界流行一种哲学：世界是由“基元”组 成的，任何一种物质只是基元的加权代数和。基元是什么？
运动是物质的一种存在形态，也应该具有一种相同的特性，即运动
/
2
sin(n1t
)dt
T1 T1 /
2
sin(n1t
)dt
4
n
0
n为奇数 n为偶数
信号分解为：
f
(t)
4
sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
n分别取1、3、5、7、9、…→
结论：项数越多(加入了高频信息)， 近似误差越小，边沿更陡峭(边沿有丰富 高频信息)。
选多少项取决于应用要求！
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
Signals and Systems
3.1.1 三角形式的傅立叶级数
分解线性组合形式：
f
(t)
a0 2
[an
n1
cos(n1t) bn
sin(n1t)]
下面转到如何计算傅立叶级数的系数？
a0
2 T1
t0 T1 f (t)dt
t0
2
an T1
t0 T1 t0
想象脉宽趋于零？ 哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
Signals and Systems
3.2.2 周期锯齿脉冲信号
因为是奇函数，可求得： a0 0
an 0
(1)n1 E bn n
信号与系统第三章课件
(n 0)
1 1 Fn An an 2 bn 2 2 2 bn n n arctg a ( n 0) n F0 a0 A0 (n 0)
f (t )
Fn
n T 1 2
Fn e jn 0t
f (t )e jn0t dt
n 1,2,
2 bn f (t ) sin n 0 tdt n 1,2, 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS T T
ZB
2 0 为基波频率，n0为谐波频率，an和bn为傅里叶系数， T
[]dt表示从任意起始点 开始，取一个周期 为积分区间。 T
f (t )
...
0
T 4 T 2
...
T
t
4. 奇谐函数： f (t ) f (t T ) ，则 只含奇次谐波。
2
f (t )
...
T 2
T
...
0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
T 2
t
ZB
3.1.2 指数型傅里叶级数
由欧拉公式
sin n0t 1 jn0t 1 e e jn0t , cosn0t e jn0t e jn0t 2j 2
3.3.1 周期信号的单边频谱和双边频谱
单边幅度频谱（ n ~ n0 ) A 单边频谱 单边相位频谱（ n ~ n0 ) 双边幅度频谱（Fn ~ n0 ) 双边频谱 双边相位频谱（ n ~ n0 )
jn0t
抽样函数
sin x Sa ( x ) x
1. 偶函数
理学]清华大学信号与系统课件第三章泛函分析初步
![理学]清华大学信号与系统课件第三章泛函分析初步](https://img.taocdn.com/s3/m/b081a06fc77da26924c5b012.png)
1
p
n
i1
xi
pp
,1
p
特别的：p , max xi ,i
1
p2,
, 2 欧式范数
2
h
17
§3.4.1 赋范线性空间
• （广义）长度的推广：
– 例2：l p
xn
n1
xi
p
,1
p
i 1
1
p
n
i1
xi
pp
,1
p
特别的：p , sup xi ,i
h
18
T
– 连续线性算子T
X
Y
x0
Tx0
– 线性算子：有界连续 – 内积为连续线性泛函
xn
Txn
xn x0 0, n Txn Tx0 0, n
– 积分算子 T :L 2a ,b L 2a ,b
T xt a bh t,xd h t,在 a ,b a ,b 上 连 续
h
34
§3.6 完备规范正交集上广义傅 里叶展开
, 22
• 注：
– 1.在Hölder不等式中，取 p q 2，就成为 Cauchy-Schwarz不等式。
– 2.在U n 空间中，有Cauchy不等式：
1
1
H
H2 H2
– 3.在L2 a, b空间中，有Schwarz不等式：
1
1
bxty*td tb h xt2d t2 byt2d t2 31
h
37
§3.6.1 正交
• 定理：Hilbert空间存在规范正交完备集。
• 定理：W是Hilbert空间，WVV， V是W的 正交子集。
h
38
信号与系统 第二章 第3讲
第二节 起始点的跳变
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
0
T1 2
L
t
偶函数的傅里叶级数展开式的系数为：
4 an = T1
bn = 0
∫ f (t )cos(nω t )dt
1
T1 2 0
Fn =
an ，ϕn = 0 2
偶函数的 Fn 为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含 有直流项和余弦项。 2、奇函数 若信号波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f (t ) = − f (− t ) ，此时 f (t ) 是奇 函数。
f (t ) = a0 + ∑ ⎡ ⎣ an cos ( nω1t ) + bn sin ( nω1t ) ⎤ ⎦
n =1 ∞
∫
t0 +T1
t0
⎧0 ∗ e jmω1t e jnω1t dt = ⎨ ⎩T1
(
)
m≠n m=n
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
0
T1 2
L
t
偶函数的傅里叶级数展开式的系数为：
4 an = T1
bn = 0
∫ f (t )cos(nω t )dt
1
T1 2 0
Fn =
an ，ϕn = 0 2
偶函数的 Fn 为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含 有直流项和余弦项。 2、奇函数 若信号波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f (t ) = − f (− t ) ，此时 f (t ) 是奇 函数。
f (t ) = a0 + ∑ ⎡ ⎣ an cos ( nω1t ) + bn sin ( nω1t ) ⎤ ⎦
n =1 ∞
∫
t0 +T1
t0
⎧0 ∗ e jmω1t e jnω1t dt = ⎨ ⎩T1
(
)
m≠n m=n
《信号与系统》第三章讲稿
第三章信号与系统的频域分析3.1 引言 一． 信号与系统的时域分析1． 信号的大小是时间的函数f ( t )2． 任何一个信号都可分解为位于不同时刻、具有不同冲激强度的冲激信号的时间连续的叠加，具体表达式：⎰∞--⋅=t d t f t f ττδτ)()()(3． 系统的数学模型：微分方程4． 系统分析：（1） 输入和输出信号都是时间函数。
（2） 求系统的响应就是将信号分解为冲激信号的叠加，并利用系统的时不变性和线性等性质来求得。
具体的数学工具——卷积积分。
二． 信号与系统的频域分析1． 信号可以表示为频率的函数F( ω ).2． 任何一个信号都可分解为不同频率、不同振幅、不同初相角的正弦信号的叠加。
具体的数学工具——傅里叶级数和傅里叶变换。
3． 系统的数学模型：频率响应——代数方程4． 系统分析：分析同一个系统对不同频率的正弦信号的叠加（加权）作用。
3.2 周期性信号的频域分析一． 傅里叶级数：任何一个周期为T 1的周期性函数f( t )，即：)()(1t f T t f =±如果满足“狄利克雷（Dirichlet ）条件”：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即∞<⎰+100)(T t t dt t f （等于有限值，T 1 为周期）就可分解为正弦信号的叠加： 次谐波倍频三次谐波三倍频二次谐波二倍频基波（一次谐波）基频次谐波正弦分量的振幅次谐波余弦分量的振幅直流分量n t Sinn t Cosn n n t Sin t Cos t Sin t Cos t Sin t Cos T n tdt Sinn t f T b n tdt Cosn t f T a dt t f T a t Sinn b t Cosn a a t f T t t n T t t n T t t n n n n ⎭⎬⎫⎭⎬⎫⎭⎬⎫⎭⎬⎫====++=⎰⎰⎰∑∑+++∞=∞=1111111111111111110111103332222)4()(2)3()(2)2()(12)1(2)(100100100ωωωωωωωωωωωπωωωωω二． 纯余弦形式的傅里叶级数次谐波的初相角或次谐波的初相角n b a tg b a d a d t n Sin d d t f n a b tg b a c a c t n Cos c c t f n nn nn n n n n nn n nn n n n n 12200110122001102)8()()()7()6(2)5()()(-∞=-∞==+==++=-=+==++=∑∑θθωϕϕω 三． 频谱的概念f ( t )为时间函数，而c 0、c n 、ϕn 为频率函数。
信号与系统课件第三章2
1
π
∫
ωc ( t −t0 )
−∞
ω ( t −t ) sin x 1 0 sin x sin x = ∫ dx + ∫ dx dx 0 π −∞ x x x
c 0
上式第一项积分
∫
0 −∞
s in x π dx = x 2
第二项积分是正弦积分函数
S i( y ) =
基波 二次谐波
为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间， 为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生 相位失真， 相位失真，应有
ϕ1 ϕ 2 = = t = 常数 ω1 2ω1 0
3.8 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 一、理想低通滤波器的频域特性
H ( jω ) =| H ( jω ) | e − jϕ (ω ) 1 | H ( jω ) |= 0
1 dω = 2π
∫
∞
−∞
E( jω) H ( jω)e jωt dω
将无穷多项e jωt 信号分量作用于系统 所得的响应取和（叠加） 所得的响应取和（叠加）
频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、 频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性 基础上， 基础上，与时域分析法不同之处在于信号分解的单元函 数不同。 数不同。 总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、 总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的 方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。 方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。
r1 ( t )
0
t
例： e ( t ) = E1 sin ω 1 t + E 2 sin( 2ω 1 t )
r ( t ) = kE1 sin(ω1 t − ϕ 1 ) + kE 2 sin( 2ω1 t − ϕ 2 )
刘泉《信号与系统》 第三章
15:46:31
WHUT
5
本章讨论的路线： 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号频谱的概 念； 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里 叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里 叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形 式。 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽 样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。
n 1
15:46:31
c0 d 0 a0 2 2 其中 cn d n a n bn bn an , n arctg n arctg an bn WHUT
10
3、傅里叶级数展开的充分条件
傅里叶级数存在的充分条件： 周期信号f(t)须满足“狄利克雷”(Dirichlet)条件，即
20
例如：奇谐函数 f (t )
E 2
T1 2 T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
0
E 2
t
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
f (t )
T 1 2
0
E 2
t
T1 2
0
E 2
T1 2
t
cos( w1t )
WHUT
sin( 2w1t )
f (t )
E
其傅里叶级数三角展开式中 仅含直流项和余弦项， 其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为实函数。
T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
信号与系统第三章(2)
F n ⋅ 2 πδ (ω − n ω
) )
= 2π
n = −∞
∑
∞
F n ⋅ δ (ω − n ω
0
即周期信号的傅里叶变换为
F (ω ) = 2π ∑ Fn ⋅ δ (ω − nω 0 )
−∞
∞
上式表明：周期信号的频谱函数，是由无限多个冲激组 上式表明：周期信号的频谱函数， 成，这些冲激位于基频整数倍的频率 nω0处，每一冲激的 强度即为 2π Fn 。
3.5.1 单位冲激 δ (t )
由根据傅里叶变换的定义式， 由根据傅里叶变换的定义式，并且考虑到冲激函 数的抽（取）样性质，得 数的抽（ 样性质，
F (ω ) = ∫ δ (t )e
−∞
∞
− jωt
dt = ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
结论:
1、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 恒定的 谱函数,为常数1,即冲激信号包含相对幅度相等的所 谱函数 为常数 即冲激信号包含相对幅度相等的所 有频率分量,相位都为 相位都为0. 有频率分量 相位都为 2、信号的持续时间与其频带宽度成反比。 反比。 、信号的持续时间与其频带宽度成反比
−∞ ∞ − jωt
dt = ∫ τ e
2 − 2
− jωt
dt =
e
−e − jω
j
ωτ
2
3.5.7 虚指数函数
利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质， 利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质，可得
1 F [δ (ω − ω 0 )] = 2π
−1
∫ δ (ω − ω )e
−∞ 0
∞
信号与系统第三章
T
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
信号与系统课件(郑君里版)第3章
1，带宽与脉宽成反比。
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
语音信号 频率大约为 300~3400Hz，
音乐信号
50~15,000Hz，
扩音器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。
29
第三章 傅里叶变换
§3.4 傅里叶变换
•傅里叶变换 •傅里叶变换的表示 •傅里叶变换的物理意义 •傅里叶变换存在的条件
26
第三章 傅里叶变换
4．总结
T1
谱
线
幅度
间隔
1
2π T1
当T1
，时，1
0，E
T1
为无限小，
f t 由周期信号 非周期信号。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性。
27
第三章 傅里叶变换
二．频带宽度 1.问题提出
E F (n1 )
18
第三章 傅里叶变换
五．周期信号的功率
P 1 T
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2
n1
an2
bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;
表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量
有效值的平方和；
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
12
第三章 傅里叶变换
频谱图
幅度频谱
cn
c1
cn ~
或
c0
c3
信号与系统III
n1
bn2 )
A02
1 2
n1
An2
Fn
n
2
说明:
An an2 bn2
Fn
1 2 (an
jbn )
Fn
1 2
an2 bn2
Fn
2
1 4
(an2
bn2 )
2
Fn
2
1 2
(an2
bn2 )
Fn
2
Fn
2
1 2
(an2
bn2 )
周期信号的定义：
f(t)=f(t±nT) T = 周期（Sec）
n = 1, 2, 3, …… t ∈(-∞,+∞)
一、傅里叶级数的三角形式
若 f ( t ) 满足狄里赫利条件，则
f (t) a0 (an cos nt bn sin nt) n1
2F 2π Τ
例1：周期性锯齿波如图所示，试展开为傅里叶级数，并作出
频谱。
E
解：f (t)为奇函数，f (-t) = - f (t)
2
an
2 T
T 0
f (t)cos ntdt
n 0, 1, 2, ......
T
2
T
0
t
bn
2 T
T
f (t)sinntdt
0
n 0, 1, 2, ......
f (t) E Sa( n )e jn
T n
2
n
4
能量（或功率）主要
集中在包络线第一个
bn2 )
A02
1 2
n1
An2
Fn
n
2
说明:
An an2 bn2
Fn
1 2 (an
jbn )
Fn
1 2
an2 bn2
Fn
2
1 4
(an2
bn2 )
2
Fn
2
1 2
(an2
bn2 )
Fn
2
Fn
2
1 2
(an2
bn2 )
周期信号的定义：
f(t)=f(t±nT) T = 周期（Sec）
n = 1, 2, 3, …… t ∈(-∞,+∞)
一、傅里叶级数的三角形式
若 f ( t ) 满足狄里赫利条件，则
f (t) a0 (an cos nt bn sin nt) n1
2F 2π Τ
例1：周期性锯齿波如图所示，试展开为傅里叶级数，并作出
频谱。
E
解：f (t)为奇函数，f (-t) = - f (t)
2
an
2 T
T 0
f (t)cos ntdt
n 0, 1, 2, ......
T
2
T
0
t
bn
2 T
T
f (t)sinntdt
0
n 0, 1, 2, ......
f (t) E Sa( n )e jn
T n
2
n
4
能量（或功率）主要
集中在包络线第一个
信号与系统3-3
例:
虚指数函数与冲激函数
j 0 t
已知：12() , 利用频移特性： e
第3章第3讲
2(- 0)
1
Signals And systems
对偶性
门函数与抽样函数
已知
根据对偶性
G (t ) Sa (
2
)
Sa( ) 2G ( )
2
Sa( 0 t ) G2
f (t )dt f (t )
f () f ()
Y ( j ) y(t )dt j [ f () f ()] ( )
因为
t
y (t )dt
t
f (t )dt f (t ) f () F ( j ) 2 f () ( )
第3章第3讲
11
Signals And systems
频域微分性质
公式推导： F ( j ) F ( j ) ( ) F ( j ) ( )
已知
(t ) j ，根据对偶性，有 jt 2 ( ) 2 ( )
jt ( ) 2 jt 1 1 f (t ) F ( j ) F ( j ) ( ) 2 2 2
第3章第3讲
16
Signals And systems
课堂练习题
已知 f (t)F(j)，求信号 t f (3t ) 的傅里叶变换。 解：方法1
由尺度变换 由频域微分 故 f (3t ) 1 F ( j ) 3 3 jt f (3t ) 1 dd F ( j ) 3 3 t f (3t ) j 1 dd F ( j ) 3 3 t f (t ) j dd F ( j )
虚指数函数与冲激函数
j 0 t
已知：12() , 利用频移特性： e
第3章第3讲
2(- 0)
1
Signals And systems
对偶性
门函数与抽样函数
已知
根据对偶性
G (t ) Sa (
2
)
Sa( ) 2G ( )
2
Sa( 0 t ) G2
f (t )dt f (t )
f () f ()
Y ( j ) y(t )dt j [ f () f ()] ( )
因为
t
y (t )dt
t
f (t )dt f (t ) f () F ( j ) 2 f () ( )
第3章第3讲
11
Signals And systems
频域微分性质
公式推导： F ( j ) F ( j ) ( ) F ( j ) ( )
已知
(t ) j ，根据对偶性，有 jt 2 ( ) 2 ( )
jt ( ) 2 jt 1 1 f (t ) F ( j ) F ( j ) ( ) 2 2 2
第3章第3讲
16
Signals And systems
课堂练习题
已知 f (t)F(j)，求信号 t f (3t ) 的傅里叶变换。 解：方法1
由尺度变换 由频域微分 故 f (3t ) 1 F ( j ) 3 3 jt f (3t ) 1 dd F ( j ) 3 3 t f (3t ) j 1 dd F ( j ) 3 3 t f (t ) j dd F ( j )
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直流分量和交流分量之和. 2、信号可分解为偶分量和奇分量之和 . 3、任意信号可分解为在不同时刻出现的具有 不同强度的无穷多个冲激函数的连续和. 4.任意信号可分解为在不同时刻阶跃的具有 不同阶跃幅度的无穷多个阶跃函数的连续 和.
五、系统的概念 • 1.定义： • “系统”是由若干个相互作用和相互依来 的事物组合而成的具有特定功能的整体 . • 2、系统模型 • 所谓系统模型是系统物理特性的数学抽象， 以数学表达式或具有理想特性的符号组合 图形来表征系统特征。 • 具体而言，电路、数学方程和方框图都是 系统模型的表达形式。
• 3、系统分类 • 系统的分类错综复杂，主要考虑其数学模型的差 异，可以分为： • （1）连续时间系统和离散时间系统； • （2）即时系统与动态系统； • （3）集中参数系统和分布参数系统； • （4）线性系统与非线性系统； • （5）时变系统与时不变系统； • （6）可逆系统与不可逆系统； • 除此之外，还可按照系统的性质划分为： • （7）因果系统与非因果系统； • （8）稳定系统与不稳定系统。
习题
• 例1:图示系统，求f1(t)、 f2(t)和y(t)的波形。
• 解:
x(t ) = U (t ) − U (t − π )
f1 (t ) = sin t[U (t ) − U (t − π )]
d 2 f1 (t ) d f 2 (t ) = = {cost[U (t ) − U (t − π )]} 2 dt dt
• • • • • • •
六、线性时不变因果系统的性质 （1）齐次性 （2）叠加性 （3）线性 （4）时不变性 （5）微分性 （6）积分性 （7）因果性 七、系统分析法 系统分析的中心任务是：已知激励信号和 系统，求其响应。具体来说就是要建立系 统的数学模型并求其解答。
• 1、建立系统模型的方法 • （1）输入—输出法：直接建立响应与激励之间的 关系，适合于单输入—单输出系统。 • （2）状态变量法：不仅给出系统的响应，还可提 供系统内部各变量的情况，适合于多输入—多输 出系统的分析。 • 2、系统数学模型求解方法 • （1）时间域方法：包侨经典法求解系统常系数微 分方程或差分方程；求解状态变量矩阵方程；卷 积积分和卷积和求解系统响应；计算机数值求解 方法等。 • （2）变换域方法：利用傅里叶变换分析系统频率 特性；利用拉普拉斯变换和z变换分析系统的零极 点特性；根据卷积定理，把卷积运算变成乘法运 算等。
3、基本特性 信号的基本特性是指时间特性和频率特性。 时间特性：信号随时间变化快慢的特性，体 现为信号的周期T和信号中单个脉冲的持续 时间及上升时间和下降时间的不同。 频率特性：信号的频率特性可由频谱来描述。 • 二、信号的运算 • 1、时移 • 2、反褶 • 3、尺度变换
三、奇异信号 本身或其导数与积分有不连续点（跳变点） 的信号称为奇异信号。 1.单位斜变信号 2.单位阶跃信号 3.单位冲激信号 4、冲激偶信号
信号与系统第三讲
绪论(三)
第一章学习要点
一、信号的概念 1、定义 信号是带有信息的随时间变化的物理量或物理现像，其图像 你为信号的波形。 2、分类 信号可从不同的角度进行分类： （1）按函数值的确定性可分为确定性信号和随机信号； （2）确定性信号按函数值的重复性可以分为周期信号和非 周期信号； （3）确定性信号按时间是否连续分为连续时间信号和离散 时间信号； （4）根据能量特性，信号还可分为能量信号和功率信号。
= −sint[U(t) −U(t −π)]+δ (t) +δ (t −π)
t<0 0<t <π t >π
0 t t y(t) = f1(τ)dτ = ∫ sin τ dτ = 1 − cos t − ∞ −∞ π ∫ sin τ dτ = 2 −∞
∫
• 例2:已知f(t)如右图所示，求其一次微分后 的波形y(t)
五、系统的概念 • 1.定义： • “系统”是由若干个相互作用和相互依来 的事物组合而成的具有特定功能的整体 . • 2、系统模型 • 所谓系统模型是系统物理特性的数学抽象， 以数学表达式或具有理想特性的符号组合 图形来表征系统特征。 • 具体而言，电路、数学方程和方框图都是 系统模型的表达形式。
• 3、系统分类 • 系统的分类错综复杂，主要考虑其数学模型的差 异，可以分为： • （1）连续时间系统和离散时间系统； • （2）即时系统与动态系统； • （3）集中参数系统和分布参数系统； • （4）线性系统与非线性系统； • （5）时变系统与时不变系统； • （6）可逆系统与不可逆系统； • 除此之外，还可按照系统的性质划分为： • （7）因果系统与非因果系统； • （8）稳定系统与不稳定系统。
习题
• 例1:图示系统，求f1(t)、 f2(t)和y(t)的波形。
• 解:
x(t ) = U (t ) − U (t − π )
f1 (t ) = sin t[U (t ) − U (t − π )]
d 2 f1 (t ) d f 2 (t ) = = {cost[U (t ) − U (t − π )]} 2 dt dt
• • • • • • •
六、线性时不变因果系统的性质 （1）齐次性 （2）叠加性 （3）线性 （4）时不变性 （5）微分性 （6）积分性 （7）因果性 七、系统分析法 系统分析的中心任务是：已知激励信号和 系统，求其响应。具体来说就是要建立系 统的数学模型并求其解答。
• 1、建立系统模型的方法 • （1）输入—输出法：直接建立响应与激励之间的 关系，适合于单输入—单输出系统。 • （2）状态变量法：不仅给出系统的响应，还可提 供系统内部各变量的情况，适合于多输入—多输 出系统的分析。 • 2、系统数学模型求解方法 • （1）时间域方法：包侨经典法求解系统常系数微 分方程或差分方程；求解状态变量矩阵方程；卷 积积分和卷积和求解系统响应；计算机数值求解 方法等。 • （2）变换域方法：利用傅里叶变换分析系统频率 特性；利用拉普拉斯变换和z变换分析系统的零极 点特性；根据卷积定理，把卷积运算变成乘法运 算等。
3、基本特性 信号的基本特性是指时间特性和频率特性。 时间特性：信号随时间变化快慢的特性，体 现为信号的周期T和信号中单个脉冲的持续 时间及上升时间和下降时间的不同。 频率特性：信号的频率特性可由频谱来描述。 • 二、信号的运算 • 1、时移 • 2、反褶 • 3、尺度变换
三、奇异信号 本身或其导数与积分有不连续点（跳变点） 的信号称为奇异信号。 1.单位斜变信号 2.单位阶跃信号 3.单位冲激信号 4、冲激偶信号
信号与系统第三讲
绪论(三)
第一章学习要点
一、信号的概念 1、定义 信号是带有信息的随时间变化的物理量或物理现像，其图像 你为信号的波形。 2、分类 信号可从不同的角度进行分类： （1）按函数值的确定性可分为确定性信号和随机信号； （2）确定性信号按函数值的重复性可以分为周期信号和非 周期信号； （3）确定性信号按时间是否连续分为连续时间信号和离散 时间信号； （4）根据能量特性，信号还可分为能量信号和功率信号。
= −sint[U(t) −U(t −π)]+δ (t) +δ (t −π)
t<0 0<t <π t >π
0 t t y(t) = f1(τ)dτ = ∫ sin τ dτ = 1 − cos t − ∞ −∞ π ∫ sin τ dτ = 2 −∞
∫
• 例2:已知f(t)如右图所示，求其一次微分后 的波形y(t)