第10章 静电场10.1-10.3
新教材 人教版高中物理必修第三册 第10章 静电场中的能量 知识点考点重点难点提炼汇总
第10章静电场中的能量1.电势能和电势 (1)2.电势差 (5)3.电势差与电场强度的关系 (11)4.电容器的电容 (14)5.带电粒子在电场中的运动 (21)1.电势能和电势一、静电力做功的特点1．特点：静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。
2．在匀强电场中静电力做功：W AB ＝qE ·L AB cos θ，其中θ为静电力与位移间的夹角。
二、电势能1．概念：电荷在静电场中具有的势能。
用E p 表示。
2．静电力做功与电势能变化的关系静电力做的功等于电势能的减少量，W AB ＝E p A －E p B 。
⎩⎨⎧ 电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
3．电势能的大小：电荷在某点的电势能，等于静电力把它从该点移到零势能位置时所做的功。
4．零势能点：电场中规定的电势能为零的位置，通常把离场源电荷无限远处或大地处的电势能规定为零。
三、电势1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值。
2．定义式：φ＝E p q。
3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V,1 V ＝1 J/C 。
4．特点(1)相对性：电场中各点电势的大小，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取离场源电荷无限远或大地为零电势位置。
(2)标矢性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。
5．与电场线关系：沿电场线方向电势逐渐降低。
考点1：静电力做功和电势能的变化1．电场力做功正、负的判定(1)若电场力是恒力，当电场力方向与电荷位移方向夹角为锐角时，电场力做正功；夹角为钝角时，电场力做负功；夹角为直角时，电场力不做功。
(2)根据电场力和瞬时速度方向的夹角判断。
此法常用于判断曲线运动中变化电场力的做功情况。
夹角是锐角时，电场力做正功；夹角是钝角时，电场力做负功；电场力和瞬时速度方向垂直时，电场力不做功。
(3)若物体只受电场力作用，可根据动能的变化情况判断。
根据动能定理，若物体的动能增加，则电场力做正功；若物体的动能减少，则电场力做负功。
第一次课-静电场10.1-10.2
1 dE
4 0
drq2 eˆr
例2 求均匀带电直线中垂面上一点的场强。
设棒长为 l , 带电量 q ，电荷线密度为
解：由对称性可知，中垂面上一点的场强只有Y 方向的分量，
在Z和X方向无分量。
dq dz
dz
E point
q
4 0r 2
dE 4 0r 2 dE y dE cos
+q2
F12
r12 e12
F21
库仑力的方向？ e
r 12
+q1
12
r
F12
F21
12
k
q1q2 r122
e12
k
q1q2 r221
e21
-q2
F12
e12
q 、q 自带正负
1
2
+q1
如何解决多个点电荷同时作用于一个点电荷的力的问题？
库仑力的叠加原理
1986年的推荐值 e 1.602177331019库仑（C）
带电体的电荷： Q ne (n ...,1,0,1,...)
电荷守恒定律
在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任 何物理过程中保持不变。
不管在宏观领域还是在微观领域，电荷守恒定律都成立。
实验发现两个带电体之间有相互作用力。 如何探索带电体之间相互作用力规律？
O
L
X
a dE
dE
4
0
(
dq La
x
)2
E
L
0
4
0
(
dx
《新编基础物理学》_第10章
第10章 导体和电介质中的静电场10-1 如题图10-1所示，三块平行的金属板A ，B 和C ，面积均为2cm 200, A 与B 相距mm 4，A 与C 相距mm 2，B 和C 两板均接地，若A 板所带电量C 100.37-⨯=Q ，忽略边缘效应,求：（1）B 和C 上的感应电荷；（2）A 板的电势（设地面电势为零）。
分析：当导体处于静电平衡时，根据静电平衡条件和电荷守恒定律，可以求得导体的电荷分布，又因为B 、C 两板都接地，所以有AC AB U U =.解：（1）设B 、C 板上的电荷分别为B q 、C q 。
因3块导体板靠的较近，可将6个导体面视为6个无限大带电平面。
导体表面电荷分布均匀，且其间的场强方向垂直于导体表面。
作解图10-1中虚线所示的圆柱形高斯面。
因导体达到静电平衡后，内部场强为零，故由高斯定理得：1A C q q =-2A B q q =-即()A B C q q q =-+ ①又因为AC AB U U =即2AC AB dE E d ⋅=⋅所以2A C A B E E =可得002C B q qS Sεε =⋅ 即 2C B q q = ② 联立①②求得题图10-1解图10-1d7210C C q -=-⨯7110C B q -=-⨯(2) A 板的电势00222C C A AC AC q d d d U U E S σεε ==⋅=⋅=⋅ 733412210210 2.2610(V)200108.8510----⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 10-2 如题图10-2所示，平行板电容器充电后，A 和B 极板上的面电荷密度分别为σ+和σ-，设P 为两极板间任意一点，略去边缘效应，求：（1）A ,B 板上的电荷分别在P 点产生的场强A E ，B E；（2）A ,B 板上的电荷在P 点产生的合场强E；(3) 拿走B 板后P 点处的场强E '。
分析：运用无限大均匀带电平板在空间产生的场强表达式及场强叠加原理求解。
第10章 静电场中的电介质
R2
解：1.场的分布 R1
r <R 0
导体内部
E1 ? 0
P? 0
?0
?r1
?r2
R0
? ? R0< r< R1
?r1 内
? E2 ?
Q
4??0?r1r 2
r^
? P2 ?
?0
?r1 ? 1
Q
4??0?r1r 2
^r
R1< r< R2
?r2 内
? E3
?
Q
4??0?r2r 2
^r
? P3 ?
?0
??r
分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内部 几乎没有自由电荷。
电介质对电场的影响
实验表明 ,当在真空电场中放入电介质时 ,电场将 会发生变化 .
例: 在已达到静电平衡的两平行带电金属板引 入电介质
?Q
? Q 相对介电常数 ? Q
?Q
U ? U0 /?r ,?r ? 1 E ? E0 / ?r
10.2 电介质及其极化
极化电荷带负电
电极化强度通过任意封闭曲面的通量：
??
?SP ?d S ? ?SP cos? d S ? ?S? ??d S
??
? ? P S
?d
S
?
? qi?
（S内）
例1. 平行板电容器自由电荷面密度为 ó0
? 充满相对介电常数为 r 的均匀各向同
性线性电介质 , 求:板内的电场强度。
解：介质将均匀极化 ,其表面出现束缚电荷
-+
Eo
? p
+
F
F
-
Eo
?
外电场： E0
?
第10章 真空中的静电场
尚未找到自由状态的夸克。但无论今后实验上是否能发现自由夸克，均不改变电荷的量 子性这一基本性质。
10.1.2 电荷守恒定律
大量实验证明，在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论其内部发生怎样的物理过 程，系统内正负电荷量的代数和保持不变，即孤立系统内的电荷是守恒的。电荷守恒定律 说明，电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从 物体的一个部分转移到另一个部分。
3
Fi F1i F2i
Fni
n
F ji
j 1
n j 1
qiq j 4π 0 rj2i
r joi
ji
ji
式中 F ji 是第 j 个点电荷 q j 对 qi 的静电力， Fi 是点电荷 qi 受到的总静电力。
（10.4）
§10.2 电场 电场强度
10.2.1 电场
实验指出，电荷与电荷之间存在相互作用力。那么这种作用力是通过什么途径传递 的呢？历史上关于这个问题曾长期有两种不同的观点。一种观点认为：电荷与电荷之间 的相互作用不需要任何中间物质来传递，也不需要时间，这称为“超距作用”观点。另一 种观点认为：电荷与电荷之间的相互作用是通过一种特殊的物质----电场（electric field） 来传递的。根据这种观点，任何电荷的周围都存在着电场，当一个电荷处于另一个电荷 产生的电场中时，它就会受到另一个电荷通过电场对它的作用力。因此这种观点可形象 地表示为
(dipole moment)。 电偶极子是一个重要的物理模型。电介质中的原子或分子都有正、负电荷中心，如
§10.1 库仑定律
10.1.1 电荷的量子性
人类认识电现象，是从摩擦起电开始的，比如，毛皮摩擦过的橡胶棒（或梳子）、 丝绸摩擦过的玻璃棒，可以吸引纸屑、羽毛等轻小物体，这是因为橡胶棒、玻璃棒带上 了电荷。这一现象至今仍在催生一些新奇的应用，如在静电复印机和激光打印机中，带 上静电荷的纸张可以吸附细微的墨粉。带有较强静电的陶瓷片还能用作静电吸盘，吸住 大面积的晶圆（硅片）。
第10章静止电荷的电场
6、电磁感应现象的发现，是电磁学领域中最重大的 成就之一。电场和磁场的互相联系和转化体现了电场 和磁场两者之间存在着互相既是原因又是结果的新型 逻辑关系，这是一种区别于经典力学的完全确定论 “因果观”的更高层次上的新的“因果观”思想。从 经典力学中单一指向的二元因果逻辑关系发展为多元 因果逻辑关系。
由电势梯度求电场强度的关系式所体现的描述静电 场的非定域思想
5、类比的思想是物理学中的一个重要思想。在刚体力 学中从质点的“线量”到刚体转动的“角量” 就体现 了力学量的类比思想，主要体现的一种“异中求同”的 思想；电磁场类比的目的是在提出磁场与电场存在许多 相似之处的同时更多地揭示“磁量”和“电量” 的相 异，以体现一种“同中求异”的思想。（这种不同之处 来自于电场与磁场不同的性质。）
绪言
19世纪中期，法拉第和麦克斯韦发现，“电磁力”不 同于万有引力，对电磁力的研究需要开辟新的完全不同 于对万有引力研究的道路。爱因斯坦敏锐地洞见了物理 学发展史上这一重大转折，他曾明确指出，牛顿的公理 式方法已经不适用了，并进一步指出 “在研究电和光的 规律时，第一次产生建立新的基本概念的必要性”。
E
F q0
仍然成立。
② 受力电荷不静止的情况下，F qE 仍然成立。
③ 即场静 源电 电场 荷、对受电力荷电的荷作都用不力静与止该时电，荷F的 速q度E无 q关v。 B
（洛仑磁力力）。
说明2：
研究静电场时，电场的引入可以使讨论形象化； 研究运动电荷时，电磁场的重要性就突出地显示
出来了。（此时库仑定律不适用，而高斯定律仍 然适应----从场的整体讨论场源电荷与场的关系）
3q0 …..
3F0 …...
第10章 静电场-1作业答案
§10.2 电场 电场强度一．选择题和填空题1. 下列几个说法中哪一个是正确的？（A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向.（B ）在以点电荷为中心的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同．(C) 场强可由q F E / =定出，其中q 为试验电荷，q 可正、可负，F为 试验电荷所受的电场力．(D) 以上说法都不正确． [ C ]2. 如图所示，在坐标(a ，0)处放置一点电荷+q ，在坐标(-a ，0)处放置另一点电荷－q ．P 点是x 轴上的一点，坐标为(x ，0)．当x >>a 时，该点场强的大小为： (A)x q 04επ． (B) 30xqaεπ． (C) 302x qa επ． (D) 204x q επ． [ B ]3. 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分别为＋σ和＋2 σ，如图所示，则A 、B 、C 三个区域的电场强度分别为：E A ＝－3σ / (2ε0)_，E B ＝_－σ / (2ε0) ，E C ＝_3σ / (2ε0)_ (设方向向右为正)．4. d (d<<R)q ，如图所示．则圆心O 处的场强大小E ＝()30220824R qdd R R qd εεπ≈-ππ，场强方向为_____从O 点指向缺口中心点_________________．二．计算题1. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P 点的电场强度．１、解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q =λd x = q d x / L ，它在P 点的场强： ()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L xq -+π=ε 总场强为 ⎰+π=Lx d L xL q E 020)(d 4－ε()d L d q +π=04ε 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．+σ +2σA B CLO2．一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R ，内半径为R /2，并有电荷Q 均匀分布在环面上．细绳长3R ，也有电荷Q 均匀分布在绳上，如图所示,试求圆环中心O 处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上)．解：先计算细绳上的电荷在O 点产生的场强．选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴向下为正．在x 处取一电荷元d q = λd x = Q d x /(3R ) 它在环心处的场强为 ()20144d d x R qE -π=ε ()20412d x R R xQ -π=ε 整个细绳上的电荷在环心处的场强()203020116412R Qx R dx R Q E R εεπ=-π=⎰圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强E 2=0由此，合场强 i R Qi E E20116επ==方向竖直向下．三．理论推导与证明题一半径为R 的均匀带电圆环，总电荷为Q . 选x 轴沿圆环轴线, 原点在环心. 证明其轴线上任一点的场强为:()2/32204xR QxE +=πε 并说明在什么条件下, 带电圆环可作为点电荷处理.证：选环心作原点，x 轴沿圆环轴线方向，y 、z 轴如图所示．在环上任取一电荷元d q =(Q d θ) / (2π)，设P 点位于x 处，从电荷元d q 到P 点的矢径为r，它在P 点产生的场强为r r Q r r q E ˆ8d ˆ4d d 20220εθεπ=π=r ˆ为矢径r 方向上的单位矢量．d E 沿x 轴的分量为 d E x =d E cos φ (φ为矢径r 与x 轴正向夹角) 由对称性容易证明 E y =0 E z =0 因而有 E =E x 20202024cos d 8cos r Q r Q εφθεθππ=π=⎰()2/32204x R Qx+π=ε 当x >>R 时，可得 E ≈Q / (4πε0x 2)这相当于一个位于原点O 的带电量为Q 的点电荷在P 点产生的场强．R3x x§10.3 电通量 高斯定理一. 选择题和填空题1.一电场强度为E 的均匀电场，E的方向与沿x 轴正向，如图所示．则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为(A) πR 2E ． (B) πR 2E / 2． (C) 2πR 2E ． (D) 0． [ D ]2. 两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b (R a ＜R b ), 所带电荷分别为Q a 和Q b ．设某点与球心相距r ，当R a ＜r ＜R b 时，该点的电场强度的大小为： (A) 2041r Q Q b a +⋅πε． (B) 2041r Q Q ba -⋅πε． (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅π22041b b a R Q r Q ε． (D) 2041r Q a⋅πε． [ D ] 3. 根据高斯定理的数学表达式⎰∑⋅=Sq S E 0/d ε可知下述各种说法中，正确的是：(A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零． (B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零． (C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零．(D) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷． [ C ]4. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E ～r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的． (A) 半径为R 的均匀带电球面． (B) 半径为R 的均匀带电球体． (C) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A r (A 为常数)的非均匀带电球体． (D) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A/r (A 为常数)的非均匀带电球体 ． [ B ]5. 如图所示，在边长为a 的正方形平面的中垂线上，距中心O点a /2处，有一电荷为q 的正点电荷，则通过该平面的电场强度通量为 q/(6ε0) ．6. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布为(r表示从球心引出的矢径)：()r E ＝ 0 (r <R )， ()r E ＝0202302ˆr rR r r R εσεσ= (r >R )． 7. 有一个球形的橡皮膜气球，电荷q 均匀地分布在表面上，在此气球被吹大的过程中，被气球表面掠过的点(该点与球中心距离为r )，其电场强度的大小将由204r q επ变为__0．xOEO R rE E ∝1/r 2a q a/2O二. 计算题1.一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布．解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为r r Ar V q d 4d d 2π⋅==ρ在半径为r 的球面内包含的总电荷为403d 4Ar r Ar dV q rVπ=π==⎰⎰ρ (r ≤R)以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π⋅ 得到()0214/εAr E =， (r ≤R )方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里．在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有 0422/4εAR r E π=π⋅ 得到 ()20424/r AR E ε=， (r >R ) 方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里．2. 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为1R 和2R （21R R <），单位长度上的电荷为λ。
第10章静电场中的能量(单元知识清单)高二物理(人教版2019)
第10章必备知识清单§1电势能和电势1、在匀强电场中移动电荷时，静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与电荷经过的路径无关。
计算式：W电＝qEd，其中d为带电体在沿电场方向的位移。
2、电势能（符号E P）：电荷在电场中具有的势能，是标量3、静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即W AB=−∆E p=−(E pB−E pA)=E pA−E pB。
●当W AB＞0，则E pA＞E pB，表明电场力做正功，电势能减小；●当W AB＜0，则E pA＜E pB，表明电场力做负功，电势能增加。
4、电势能是相对的，具体数值与零势能面的选取有关。
通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为0，或把电荷在大地表面的电势能规定为0。
5、电势能具有系统性，为电荷和对它作用的电场组成的系统共有。
●电荷在某点的电势能，等于把它从该点移动到零势能面时静电力所做的功。
●选择不同的零势能面，对于同一个带电体在同一点来说电势能大小是不相同的。
6、电势（符号 φ）：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。
●定义式：φ=E pq●单位：伏特（V），1V＝1J/C。
●电势是标量，有正负，负电势表示该处的电势比零电势低。
7、电势具有相对性，确定某点的电势，应先规定电场中某处电势为零，通常取大地或无穷远处的电势为零。
8、沿电场线方向，电势降低最快。
判断电势高低的基本方法：①沿电场线方向，电势越来越低。
②正电荷在电势能大的地方电势高，负电荷相反。
③静电力对正电荷做正功，则电势降低。
④离带正电的场源电荷越近的点，电势越高。
9、在等量异种点电荷的电场中，①沿点电荷的连线由正电荷到负电荷，电势逐渐降低。
②两点电荷连线中垂线上，电势均相等（若取无穷远处电势为0，则中垂线上电势处处为0）。
10、在等量同种正点电荷的电场中，①两电荷连线上，由正电荷到连线中点O电势逐渐降低，且关于O点对称。
②两电荷连线中垂线上，由中点O向两侧电势到无限远电势逐渐降低，且关于O点对称。
大学物理下册第10章课后题答案
习题10-3图第10章 静电场中的导体和电介质习 题一 选择题10-1当一个带电导体达到静电平衡时，[ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面的电势相等。
10-2将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将[ ](A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定 答案：A解析：不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
10-3将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。
若将导体N 的左端接地（如图10-3所示），则[ ](A) N 上的负电荷入地 (B) N 上的正电荷入地 (C) N 上的所有电荷入地 (D) N 上所有的感应电荷入地 答案：A解析：带负电的带电体M移到不带电的导体N附近的近端感应正电荷；在远端感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体N的电势小于0，即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体N，或导体N的负电荷入地。
故正确答案为（A）。
10-4 如图10-4所示，将一个电荷量为q电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O点有[ ](A)0E，4πε=qVd(B)24πε=qEd，4πε=qVd(C) 0E，0V(D)24πε=qEd，4πε=qVR答案：A解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此0E。
导体球球心O点的电势为点电荷q及感应电荷所产生的电势叠加。
感应电荷分布于导体球表面，至球心O的距离皆为半径R，并且感应电荷量代数和q∑为0，因此4qVRπε==∑感应电荷。
大学物理答案第10章
第十章 静电场中的导体与电介质10－1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）.10－2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地题 10-2 图分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）.10－3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0== （B ）dεqV d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）RεqV d εq E 020π4,π4==题 10-3 图分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A ）.10－4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( )（A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E ）. 10－5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ）（A ） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍（B ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍（C ） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍（D ） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有()∑⎰⎰=⋅=⋅+ii S S εχq 01d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）.10－6 不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.题 10-6 图分析与解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A 外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷q d 的作用力.()20π4rεq q q F dc bd +=点电荷q d 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电荷q b 、q c 处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷q b 、q c 受到的作用力为零.10－7 一真空二极管，其主要构件是一个半径R １＝5.0×10－4m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外、半径R ２＝4.5×10－3m 的同轴圆筒形阳极．阳极电势比阴极电势高300 V ，阴极与阳极的长度均为L ＝2.5×10－２ m ．假设电子从阴极射出时的速度为零．求：（１） 该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（２）电子刚从阳极射出时所受的力．题 10-7 图分析 （1） 由于半径R １＜＜L ，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性．从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少．由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率． （2） 计算阳极表面附近的电场强度，由F ＝q E 求出电子在阴极表面所受的电场力． 解 （1） 电子到达阳极时，势能的减少量为J 108.4Δ17ep -⨯-=-=eV E由于电子的初始速度为零，故J 108.4ΔΔ17ep ek ek -⨯-=-==E E E因此电子到达阳极的速率为1-7ek s m 1003.122⋅⨯===meVm E v （2） 两极间的电场强度为r rελe E 0π2-= 两极间的电势差1200ln π2d π2d 2121R R r r V R R R R ελελ-=-=⋅=⎰⎰r E负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度r r R R R V R ελe e E 12110ln π2=-=电子在阴极表面受力r e e E F N)1037.414-⨯=-=（这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１×10－3１kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5×10１5倍．10－8 一导体球半径为R １ ，外罩一半径为R 2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V ０ ．求此系统的电势和电场的分布． 分析 若200π4R εQV =，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电．若200π4R εQV ≠，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由⎰∞⋅=pp V l E d 或电势叠加求出电势的分布．最后将电场强度和电势用已知量V 0、Q 、R １、R 2表示．题 10-8 图解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理()()∑⎰⋅=⋅=⋅02/π4d εq r E r r E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为 r ＜R １时， ()01=r E R １＜r ＜R 2 时，()202π4r εqr E =r ＞R 2 时， ()202π4r εqQ r E +=由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布． r ＜R １时，20103211π4π4d d d d 2211R Q R q V R R R R r r εε+=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞lE l E l E l ER １＜r ＜R 2 时，200322π4π4d d d 22R Q r q V R R r r εε+=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞lE l E l Er ＞R 2 时，rqQ V r 03π4d ε+=⋅=⎰∞l E 3也可以从球面电势的叠加求电势的分布：在导体球内（r ＜R １）20101π4π4R εQR εq V +=在导体球和球壳之间（R １＜r ＜R 2 ）2002π4π4R εQr εq V +=在球壳外（r ＞R 2）为rqQ V 03π4ε+=由题意102001π4π4R εQR εq V V +==得Q R R V R q 21010π4==ε 于是可求得各处的电场强度和电势的分布： r ＜R １时，01=E ；01V V =R １＜r ＜R 2 时，22012012π4r R εQR r V R E -=；rR Q R r r V R V 201012π4)(ε-+= r ＞R 2 时，220122013π4)(r R Q R R r V R E ε-+=；rR QR R r V R V 2012013π4)(ε-+= 10－9 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km ，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．解 由于地球半径R 1＝6.37×106m ；电离层半径R 2＝1.00×105m ＋R 1 ＝6.47×106m ，根据球形电容器的电容公式，可得F 1058.4π4212210-⨯=-=R R R RεC10－10 两线输电线，其导线半径为3.26 mm ，两线中心相距0.50 m ，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容．分析 假设两根导线带等量异号电荷，电荷在导线上均匀分布，则由长直带电线的电场叠加，可以求出两根带电导线间的电场分布,-++=E E E再由电势差的定义求出两根导线之间的电势差，就可根据电容器电容的定义，求出两线输电线单位长度的电容解 建立如图坐标，带等量异号电荷的两根导线在P 点激发的电场强度方向如图，由上述分析可得P 点电场强度的大小为)11(π20xd x E --=ελ 电场强度的方向沿x 轴，电线自身为等势体，依照定义两导线之间的电势差为x xd x l E U lRd Rd )11(π2d 0--=⋅=⎰⎰-ελ 上式积分得RR d ελU -=ln π0 因此，输电线单位长度的电容Rd εR R d εU λC ln /πln /π00≈-==代入数据 F 1052.512-⨯=C题 10-10 图10－11 电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0 mm 2，两金属片之间的距离是0.600 mm .如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF ，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？题 10-11 图分析 按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：解 按下按键时电容的变化量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011Δd d S εC按键按下的最小距离为mm 152.0ΔΔΔ00200min =+=-=SC d Cd d d d ε10－12 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm 2，厚度为0.10 mm ．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V 电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度．解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容F 1053.190-⨯==dSεεC r （2） 电容器加上U ＝12V 的电压时，极板上的电荷C 1084.18-⨯==CU Q极板上自由电荷面密度为2-80m C 1084.1⋅⨯==-SQσ 晶片表面极化电荷密度2-400m C 1083.111⋅⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-σεσr （3） 晶片内的电场强度为1-5m V 102.1⋅⨯==dUE 10－13 如图所示，半径R ＝0.10 m 的导体球带有电荷Q ＝1.0 ×10－８C ，导体外有两层均匀介质，一层介质的εr ＝5.0，厚度d ＝0.10 m ，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1） 离球心为r ＝5cm 、15 cm 、25 cm 处的D 和E ；（2） 离球心为r ＝5 cm 、15 cm 、25 cm 处的V ；（3） 极化电荷面密度σ′．题 10-13 图分析 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 呈均匀对称分布，由高斯定理⎰∑=⋅0d qS D 可得D （r ）．再由r εε0/D E =可得E （r ）．介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系⎰∞⋅=rV l E d 求得，或者由电势叠加原理求得．极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度n P ='σ．解 （1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得 r ＜R 0π421=⋅r D01=D ；01=ER ＜r ＜R ＋d Q r D =⋅22π422π4r QD =；202π4r εεQ E r = r ＞R ＋d Q r D =⋅23π423π4r QD =；203π4rQ E ε= 将不同的r 值代入上述关系式，可得r ＝5 cm 、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外． r 1 ＝5 cm ，该点在导体球内，则01=r D ；01=r Er 2 ＝15 cm ，该点在介质层内，εｒ ＝5.0，则2822m C 105.3π42--⋅⨯==r Q D r 12220m V 100.8π42-⋅⨯==r εεQE r r r 3 ＝25 cm ，该点在空气层内，空气中ε≈ε0 ，则2823m C 103.1π43--⋅⨯==r QD r ； 13220m V 104.1π43-⋅⨯==r Q E r ε （2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 r 3 ＝25 cm ，V 360π4d 0r 331==⋅=⎰∞rεQV r Er 2 ＝15 cm ，()()V480π4π4π4d d 0020r3222=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+dR Qd R Q r Q V r r dR d R εεεεεrE r E r 1 ＝5 cm ，()()V540π4π4π4d d 000321=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+d R εQd R εεQ R εεQ V r r dR RdR rE r E（3） 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε＝ε0 ，极化电荷可忽略．故在介质外表面；()()()20π411d R εQ εE εεP r r n r n +-=-=()()282m C 106.1π41--⋅⨯=+-==d R εQεP σr r n在介质内表面：()()20π411R εQ εE εεP r r n r n -=-=()282m C 104.6π41--⋅⨯-=-=-='R εQ εP σr r n介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号． 10－14 人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷.设某细胞壁厚为5.2 ×10－9m ，两表面所带面电荷密度为±5.2 ×10 －3C ／m 2，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度V /m 108.960⨯==rεεσE ；方向指向细胞外． （2） 细胞壁两表面间的电势差V 101.52-⨯==Ed U ．10－15 如图（a ）所示，有两块相距为0.50 的薄金属板A 、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ 内，金属盒上、下两壁与A 、B 分别相距0.25 mm ，金属板面积为30 mm ×40 mm .求（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？题 10-15 图分析 薄金属板A 、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A 、B 间的电容.解 （1） 由等效电路图可知13232123C C C C C C C C ++⋅=+=由于电容器可以视作平板电容器，且32122d d d ==，故1322C C C == ，因此A 、B 间的总电容12C C =（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于2C （或者3C ）极板短接，其电容为零，则总电容13C C =10－16 在A 点和B 点之间有5 个电容器，其连接如图所示．（1） 求A 、B 两点之间的等效电容；（2） 若A 、B 之间的电势差为12 V ，求U A C 、U CD 和U D B ．题 10-16 图解 （1） 由电容器的串、并联，有μF 1221=+=C C C AC μF 843=+=C C C CD51111C C C C CD AC AB ++= 求得等效电容C AB ＝4 μF ．（2） 由于AB DB CD AC Q Q Q Q ===，得V 4==AB ACABAC U C C U V 6==AB CDABCD U C C U V 2==AB DBABDB U C C U 10－17 如图，有一个空气平板电容器，极板面积为S ，间距为d ．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1） 充足电后；（2） 然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ ＜d ）、相对电容率为εｒ 的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C ，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E ．题 10-17 图分析 电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U ．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有()δSεεQ δd S εQU r 00+-=相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有()δd SεQU -=0 综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷 均会增加，而电势差保持不变． 解 （1） 空气平板电容器的电容dSεC 00=充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为U dS εQ 00=d U E /0=（2） 插入电介质后，电容器的电容C 1 为()()δd εδS εεδS εεQ δd SεQ Q C r r r -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=0001/ 故有()δd εδSUεεU C C r r -+==011介质内电场强度()δd εδUS εεQ E r r -+=='011 空气中电场强度()δd εδU εS εQ E r r -+==011 （3） 插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为δd SεC -=02 U δd S εQ -=02导体中电场强度 02='E 空气中电场强度δd UE -=2 无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E 0/εｒ．10－18 为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为εｒ 的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A ，B 为平板电容器的导体极板，d 0 为两极板间的距离．试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d 之间的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？题 10-18 图分析 导体极板A 、B 和待测物体构成一有介质的平板电容器，关于电容C 与材料的厚度的关系，可参见题10－17 的分析． 解 由分析可知，该装置的电容为()d d d SC r r -+=00εεε则介质的厚度为()()C εSεεd εεC εS εεC d εd r r r r r r r 1110000---=--=如果待测材料是金属导体，其等效电容为dd SεC -=00导体材料的厚度CSεd d 00=-= 实时地测量A 、B 间的电容量C ，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度．10－19 有一电容为0.50 μF 的平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01 mm 的聚四氟乙烯薄膜所隔开，（1） 求该电容器的额定电压；（2） 求电容器存贮的最大能量． 分析 通过查表可知聚四氟乙烯的击穿电场强度E b ＝1.9 ×107 V ／m ，电容器中的电场强度E ≤E b ，由此可以求得电容器的最大电势差和电容器存贮的最大能量． 解 （1） 电容器两极板间的电势差V 190b max ==d E U（2） 电容器存贮的最大能量J 1003.92132max e -⨯=CU W10－20 半径为0.10 cm 的长直导线，外面套有内半径为1.0 cm 的共轴导体圆筒，导线与圆筒间为空气．略去边缘效应，求：（1） 导线表面最大电荷面密度；（2） 沿轴线单位长度的最大电场能量．分析 如果设长直导线上单位长度所带电荷为λ，导线表面附近的电场强度0π2εσR ελE ==查表可以得知空气的击穿电场强度E b ＝3.0 ×106（V ／m ），只有当空气中的电场强度E ≤E b 空气才不会被击穿，由于在导线表面附近电场强度最大，因而可以求出σ的极限值．再求得电场能量密度，并通过同轴圆柱形体元内电场能量的积分求得单位长度的最大电场强度．解 （1） 导线表面最大电荷面密度250max m C 1066.2--⋅⨯==b E εσ显然导线表面最大电荷面密度与导线半径无关．（2） 由上述分析得b E R ελ10max π2=，此时导线与圆筒之间各点的电场强度为()1210m π2R r R rR r E <<==ελ0=E (其他)222102m 0m 2121rE R E w b εε==沿轴线单位长度的最大电场能量r rER r r w W R Rb d 1πd π2212210m ⎰⎰⎰⎰Ω=⋅=ε 14122210mm J 1076.5lnπ--⋅⨯==R R E R W b ε 10－21 一空气平板电容器，空气层厚1.5 cm ，两极间电压为40 k V ，该电容器会被击穿吗？ 现将一厚度为0.30 cm 的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为7.0，击穿电场强度为10 ＭV· m －1．则此时电容器会被击穿吗？分析 在未插入玻璃板时，不难求出空气中的电场强度小于空气的击穿电场强度，电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题10－17 可知，若电容器与电源相连，则极板间的电势差维持不变，电容器将会从电源获取电荷．此时空气间隙中的电场强度将会增大．若它大于空气的击穿电场强度，则电容器的空气层将首先被击穿．此时40 k V 电压全部加在玻璃板两侧，玻璃内的电场强度如也大于玻璃击穿电场强度的值，则玻璃也将被击穿．整个电容器被击穿．解 未插入玻璃时，电容器内的电场强度为16m V 107.2/-⋅⨯==d U E因空气的击穿电场强度16m V 100.3-⋅⨯=b E ，b E E <，故电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题6 －26 可知，空气间隙中的电场强度()16m V 102.3-⋅⨯=+-=δδd εVεE r r此时，因b E E > ，空气层被击穿，击穿后40 k V 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度17m V 103.1/-⋅⨯==δV E由于玻璃的击穿电场强度1bm MV 10-⋅='E ，b E E '> ，故玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击穿．10－22 某介质的相对电容率 2.8r ε=，击穿电场强度为611810V m -⨯⋅ ，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 μF ，而耐压为4.0 k V 的电容器，它的极板面积至少要多大． 解 介质内电场强度16m V 1018-⋅⨯=≤b E E电容耐压U m ＝4.0 k V ，因而电容器极板间最小距离m 1022.2/4-⨯==b m E U d要制作电容为0.047 μF 的平板电容器，其极板面积210m 42.0==εεCdS 显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装． 10－23 一平行板空气电容器，极板面积为S ，极板间距为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d ．求：（1） 电容器能量的改变；（2） 此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系．分析 在将电容器两极板拉开的过程中，由于导体极板上的电荷保持不变，极板间的电场强度亦不变，但电场所占有的空间增大，系统总的电场能量增加了．根据功能原理，所增加的能量应该等于拉开过程中外力克服两极板间的静电引力所作的功． 解 （1） 极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为20220221SεQ E εw e == 在外力作用下极板间距从d 被拉开到2d ，电场占有空间的体积，也由V 增加到2V ，此时电场能量增加SεdQ V w W e e 022ΔΔ== （2） 两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开时，应有F ＝－F e ，则外力所作的功为SεdQ QEd 02e 2ΔA ==⋅-=r F 外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加．。
静电场1 西工大附中物理竞赛孙卫卫
（2）导体处在静电平衡时，电荷只能分布在导体表面，导体内部各处净电荷为零。这
2这里讲的导体是均匀导体，整块导体性质各处一样。对于不均匀导体，例如铜棒和铝棒焊接而成的导体， 由于存在接触电势差，在静电平衡下，铜棒和铝棒的电势并不相等。
2
也可以由高斯定理和导体静电平衡条件得到证明。
如图 10.3 所示，在导体内部任取一点，围绕该点作一个很小的高斯面 S ，高斯面 S 可
方程段 10 部分 10
第 10 章 有导体和介质时的静电场
第 9 章讨论了真空中的静电场的基本概念和一般规律。在实际使用上，常常用导体带 电形成电场，而且还使用导体和介质来改变电场和电荷分布。本章讨论有导体和介质存在时 静电场的规律。
介质在电场和磁场中都会发生某种变化，因而具有某种电性质和磁性质。当我们只研 究介质的电性质时，常常就称之为电介质。同样，只研究介质的磁性质时，就称之为磁介质。 电介质和磁介质并不是对介质种类的划分，而只是研究其性质时的通俗说法。本章只讨论均 匀且各向同性的线性介质。
第10章静电场习题解(2)
根据高斯定理 ，有
所以
(2)同理 时，有
即
所以
(3) 时，有
所以
由上述结果可知，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面所形成的电场只存在于两柱面之间。
10.12 如题图10.12所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆柱体，电荷体密度为+ ，求带电圆柱体内、外的电场分布。
10.16 两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+和-2，求图示中3个区域的场强。
题图10.16
解：对左极板作水平高斯柱面，且该高斯面相对于左极板对称，高斯面的两底面面积均为S，其上场强 的大小相等，方向均与两 相同，由高斯定理，并注意高斯面的侧表面无电场强度通量。有 ，即左极板在空间产生的场强为 ，其方向为：在该极板左边，方向水平向左；在该极板右边，方向水平向右。同理，对右极板作相似处理，可得，右极板在空间产生的场强为 ，其方向为：在该极板左边，方向水平向右；在该极板左边，方向水平向左。因此，根据场强迭加原理，可得上图中各个区域中的场强分别为：
选无穷远处电势为零，由于不同区域电场强度的数值不同，于是有
解法二：利用典型带电体的电势公式直接叠加
我们已知，一均匀带电为Q的球面内任一点的电势就等于球面上的电势，即
球面外任一点的电势，就等于球面上的电量全部集中在球心时，一个点电荷产生的电场在该点的电势，即
由叠加原理：
在 区域任一点的电势，是两带电球面各自在该点电势的叠加，即
所以，通过半球面S的电场强度通量为
10.11 两个带有等量异号的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R1<R2）,单位长度上的带电量为 ，求离轴线为r处的电场强度：（1）r<R1；(2)R1<r<R2；(3)r>R2。
第10章 静电学 - 3 - 静电场环路定理
由此可见, 在点电荷q的电场中, 电场力的功只与路径的起 点和终点位置有关, 而与路径形状无关。 此结论可通过场强叠加原理推广到任意点电荷系(包括带电 体)的电场。
2
即：电场力做功只与路径的起点和终点位置有关, 而与所经
过的路径无关——电场力是保守力。
A F dl q0 E dl 0 E dl 0
R2 ln 1 R1
dV R2 E0 ln E0 0 令 dR1 R1
A
R2 e R1
B
R1
Vmax
R2 E0 =33kV e
R2
22
例10-19一半径为R的均匀带电球面，带电量为q；球面外有一 均匀带电细线，电荷线密度为 , 长为l, 细线近端离球心距离 为ro, 求细线受的力和细线在球面电场中的电势能。
A
A e(U A U B ) eV
B
1 eV m 2 , =1.03107(m/s) 2
21
(4)若击穿场强Eo=200kV/cm, R1可调整, 能承受的最大电压是 多少?
E
V R2 r ln R1
显然r=R1处的场强最强，最先击穿，令E=E0
R2 得： V E0 R1 ln R1
§10. 4 1.电场的环量
静电场环路定理 l
dl
----场强沿闭合路径的线积分。即
E dl E cos dl
l l
E
设想将试验电荷q0沿闭合路径移动一周，则电场力作功
A l F dl l q0 E dl q0 l E cos dl
n
n
4 o ri
qi
式中: Ui代表第i个点电荷qi单独存在时在a点产生的电势。
静电平衡条件电介质中的高斯定理
-q
H+
= +
H+
H2O
+q
2. 电介质在外电场中的极化现象
电结构特点: 分子中的正负电荷 束缚的很紧, 介质内部几乎没有 自由电荷.
电介质极化: 在外电场的作用下, 介质表面产生电荷的现象.
极化电荷或束缚电荷
1) 非极性分子的位移极化 无外电场时
±±±±± ±±±±± ±±±±±
在外电场作用下
- + - F+ -
的电荷密度与其邻近处场强的大 象, 称为尖端放电.
小成正比.
2) 静电平衡时, 导体表面曲率越
大, 面电荷密度越大, 电场也越强.
尖端放电演示
+ +
- - ++++++
+ +
+
静电吹烛
避雷针
10.1.3 空腔导体和静电屏蔽 1. 空腔导体 • 腔内没有电荷: 屏蔽外电场
E0 E'
0
• 腔内存在电荷: 间断内外电
同理, B板中一点b : Eb=0.
Eb
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
(4)
q1
q2 解: 设四板面密
度如图示.
1 2 3 4
E4 E3 E2
. E1
a
. b
由电荷守恒得:
1S 2S q1 (1)
联立(1) (2) (3) (4)解得:
1
4
q1 q2 2S
2
3
q1 q2 2S
q1
q2
A
B 3S 4S q2 (2)
第10章静电场
电荷q1
电场E
电荷q2
强调： 1）任何电荷在空间中都要激发电场 2）电场是电荷周围存在的一种特殊物质。
电场的物质性体现在： • 对电场中的带电体施以力的作用。
• 当带电体在电场中移动时，电场力作功。 表明 电场具有能量。
7
出发点:从电场的电荷受力出发， 引入一描述电场的物理量。
电场 q0 F E
n
E E1 E2 En Ei q1 i 1
证明：检验电荷受力
qi q2
F F1 F2 Fn
p
两边除q0
F F1 F2 Fn
q0
F2
q0 q0 q0
q0
E E1 E2 En
n
Ei
证毕
F1 Fi
i 1
9
电场强度的计算
一.
静止E 的 q点F0 电 4荷πq的q00电r2 场er
解： E E E ,由对称性分析Ey=0
E
x
Ex
Ex
E
x
E
x
2 E x
2E
cos
E
y
Ey
P
Ey
cos l / 2
r
Ex
2
1
4 0
ql
r2
/2 r
q
场强的大小为：E
写成矢量式：
E
1
4 0
1
4 0
ql r3
p r3
p4 0r3o源自p qllr
x q
14
例2：电荷均匀分布在一根长直细棒上，此棒电荷线密度
1 q0
q
4 π 0r 2
er
场强与试验电荷q0无关, 确实反映电场本身的性质。
第十章 静电场的能量
2019版必修3第十章电场的能量一个质量为m的物体在地面某位置所受的重力是一定的，不管它怎样运动，其所受重力的大小都等于mg，方向竖直向下（图10.1-1甲）；一个带正电的电荷量为q的试探电荷在匀强电场中某位置所受的静电力也是一定的，不管它怎样运动，其所受静电力的大小都等于qE，方向跟电场强度E的方向相同（图10.1-1乙）。
重力做功具有跟路径无关的特点，静电力做功是否也具有这一特点？1.如图10.1-5，在电场强度为60N/C的匀强电场中有A、B、C三个点，AB为5cm，BC为12cm，其中AB沿电场方向，BC和电场方向的夹角为60°。
将电荷量为4×10-8C的正电荷从A点移到B点，再从B点移到C点，静电力做了多少功？若将该电荷沿直线由A点移到C点静电力做的功又是多少？2.电荷量q1为4×10-9C的试探电荷放在电场中的A点，具有6×10-8J的电势能。
A点的电势是多少？若把q2为－2×10-10C的试探电荷放在电场中的A点，q2所具有的电势能是多少？3.回答下列题目后小结：如何根据试探电荷的电势能来判断电场中两点电势的高低？（1）q在A点的电势能比在B点的大，A、B两点哪点电势高？（2）－q在C点的电势能比在D点的大，C、D两点哪点电势高？（3）q在E点的电势能为负值，－q在F点的电势能是负值，E、F两点哪点电势高？4.根据图10.1-6解答以下题目，然后进行小结：如何根据匀强电场的电场线来判断两点电势的高低？（1）M、N是匀强电场中同一条电场线上的两点，哪点电势高？（2）M、P是匀强电场中不在同一条电场线上的两点，AB是过M点与电场线垂直的直线，则M、P两点哪点电势高？5.如图10.1-7，A、B是点电荷电场中同一条电场线上的两点，把电荷量q1为10-9C的试探电荷从无穷远移到A点，静电力做的功为4×10-8J；把q2为－2×10-9C的试探电荷从无穷远移到B点，静电力做的功为－6×10-8J。
第10章静电场-精选
二、电场强度：描述电场的物理量
1、检验电荷：
(1) 体积足够小. （2）电量足够小。
Q
2、电场强度
试验表明：确定场点
F
/
q比值是
一恒量,只与该点有关，与检验电
荷无关。
q F
（1）定义：
静止的单位正检验电荷在电场中某点所受电场力。
（2）定义式：
E
F
q
单位: N·C-1
16
(3)说明： *电场强度是矢量。方向为正电荷在该处所受电场力的 方向。
*电场强度由场源电荷性质决定，与检验电荷无关。
*均匀电场：各点场强（大小和方向）都相同的电场。
三、场强 叠加原 理：
EF FF 1 F1F 2 F2.. ...F .n Fn
qo qo qo
qo
Ei
表述:电场中某点的场强等于各
点电荷单独存在时在该点场强的
直线.
29
例.一均匀带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电荷线 密度为 ，如图所示，试求环心 o 处的电场强度。
解：在 处取电荷元 dq d lRd
y
它在o点处产生的场强方向如图,大小为
dE4d0R q2
d 40R
由对称性，x方向场强为零。
R
0
x
y
dE ydE sin
个圆锥面上.
dq
R O
dq
r
r
P
d E
dE
x
d E//
dE
dEdE dE //
E dE0
讨论：
dq
EE由E 对//称性4q可πxi知0r2
2019年第10章静电场.ppt
解: 在圆环上取电荷元dq
dq
各dq电荷d元l 在 P2点πqRddEl方向dE不同4,π分dq0布r 2于一
R O
r
r
P
个圆锥面上.
d E dq
dE dE dE// 由对称性可知 E dE 0
dE
x
d E//
dE
E E//
Ex 0
E
Ey
4 π 0a
2 cos1
4
l
0a a2
l2 4
2.P点远离带电直线(a>>L)
2 dE
a r
P
E
Ey
4
l
0a a2
l2 4
q
4 0a2
视带电直线 为点电荷
1
3.P点无限靠近带电直线 a << L 1 0 , 2 π
Ex 0
x
p
dx
Qdx
4 0LL a x2 各电荷元在p点产生的场强方向相同。
E
L
0
Qdx
40LL a
x2
Q
4 oa(L
a)
方向沿X轴正向
26
讨论
E
Q
L
a
4 oa(L a)
P
1）P点远离带电棒,即a》L.
2)若坐标原点选在其它位置. 3)若P点放置电量为q的点电荷,求q受到电场力是多少？
i
qL
4 0 (r 2
L2
)
3 2
4
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解 对称性分析： 轴对称
选取闭合的圆柱形高斯面
SE dS
E dS E dS E dS
s(柱面）
s(上底） s(下底）
E dS
s(柱面）
en
++
E
+
h
r
+
+o
+ een n
E dS EdS
S
s ( 柱面）
2π rhE h 0
E 2π 0r
h 0
en
++ +
E
+
h
r+ +
o
een n
例3 无限大均匀带电平面的电场强度
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
荷面密度为 ，求电场强度分布.
解 对称性分析：E垂直平面
1 4πε0
dq r2
er
例1 求电偶极子中垂线上的场强分布。
电偶极子： 大小相等，符号相反且存在一微小间
-q p q 距的两个点电荷构成的复合体。
l
电偶极子是个很重要的物理模型，在研 究电极化、电磁波的发射和接收时都会用到。
电偶极距
p ql
E
1
4 0
p r3
E
r
q
q
其步骤为 1. 对称性分析：如，电荷连续分布带电体：球体、 球面、无限长直线、无限长圆柱面、无限长圆柱体、 无限大平面带电体。 2. 根据对称性选择合适的高斯面使
0, , , 3
22
3. 应用高斯定理计算场强.
有通量面上的 场强大小相等
静电除尘.rm
例1 均匀带电球面（壳）的电场强度
一半径为 R, 均匀带电 Q 的球面
求球面内外任意点的电场强 度.
解 对称性分析； 选球形高斯面
r+
+
S1
+
r + O +
+
+
（1） 0 r R
E dS 0 S1
（2） r R
E 0
+R +
s +++ 2
QE
Q
E dS
S2
0
4π 0R2
4π r2E Q
l
应用电场强度的叠加原理求解连续带电体电场强度的
一般步骤：
（1） 建立坐标。 （2）在带电体任意位置上选取电荷元，并标出其
位 置，求出电荷元所带电dq。一般选取点电荷元。
（3）根据所选电荷元的形式，写出电荷元产生的电
场强度的大小。
若为点电荷dE 1 4πε0
dq r2
（4）标出 dE 的方向。
10.2 电场强度
10.2.1 静电场 电场：电荷周围存在着的一种特殊物质。
它和其他实物粒子一样具有能量、动量。
电荷 电场
电荷
静电场 :相对观察者静止的电荷周围所产生电场.
10.2.2 电场强度
试探电荷q0：电量足够小;几何尺寸足够小.
E
F
单位：N/C或V/m
q0
物理意义：单位正电荷所受的电场力；
例1 如图10.12所示，一长为L、半径为R的圆柱体， 置于电场强度为E的均匀电场中，圆柱体轴线与场 强方向平行。求：
(1) 穿过圆柱体左端面的电通量； (2) 穿过圆柱体右端面的电通量； (3) 穿过圆柱体侧面的电通量； (4) 穿过圆柱体整个表面的电通量。
解：
en
（1） 左 EcosS左 ER2
（5）矢量分解并叠加。
Ex dEx，Ey dEy，Ez dEz
例2 长为 l 均匀带电直线,电荷线密度为 , 求：如图所示 P 点的电场强度
a x dx
ol
p
x
dq dx
• 例3 真空中有一圆环状均匀带电体，半径为R，
所带电量为 q 。求：在圆环轴线上，距环心为 x处的P点的场强。
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
请思考：1） 高斯面是什么形状的曲面？ 2） E 为何处的场强？与哪些电荷有关 ？
s 3）哪些电荷对闭合曲面 的 Φe有贡献 ？
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
s 1）高斯面 为任意形状闭合曲面；
2）高斯面上的 E 为总场强，为曲面内外电荷的总场
e=1.602176487(40) ×10-19C。
10.1.3 库仑定律
1. 点电荷 当d<<r 时， 带电体可被看作一个带 电的点， 叫点电荷。
F 21
q1 r12 q2
2. 库仑定律（真空中静止电荷）
F12
k
q1q2 r122
e12
F 12
k 1 4πε0
0 8.8542 1012 F m1 (真空介电常数)
dN
dS
E dN dS
（1）电力线上每点 的切线方向为该点场 强的方向；
（2）某点附近 垂直于场强方向 单位面积上的电场线数目表示该 点场强的大小。
10.3.2 电场强度通量
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电
场强度通量. 均匀电场 ，E垂直平面。
某近点垂场直强于Φ的场e大强小方E等向S于单该位点面附积
上均的匀电电场场线数，E目与。平面法向 夹角
Φe
ES
cos
Φe E S
Sen
S
E
en
S
E
非均匀电场强度 与任意曲面电通量 （电场线的根数）
dS dS en
dΦe E dS
E
dS
en
E
Φe s E dS
dl 4π0r
2
x r
4
x π 0 r 3
2πR
dl
0
4π
qx
0(x2
R2 )3
2
E
4π
0
qx (x2
R2
)3
2
讨论
（1） x R
E
4π
q
0x2
（点电荷电场强度）
（2） x 0, E0 0
（3） dE 0, x 2 R
dx
2
y dq dl
静电植
第十章
绒.rm
静电场
10.1 静电的基本现象和基本规律
10.1.1 物体带电 两种电荷
10.1.2 电荷守恒定律与电荷的量子化 1、电荷守恒定律 2、电荷的量子化
所有带电体的电荷q都是电子电荷的整数倍； 即，n为1，2，3…。电荷只能取离散的、不 连续的量值的性质叫作电荷的量子化。
1913年 美国物理学家密立根（likan） 油滴实验直接测定了基本单元电的量值。
y dq 2π RdR
R
ox
zR0 dR
P
dE
x
由例3
E
4π
0
q (x2
x
R2
)3
2
dEx
4π
dq x
0(x2 R2)3
2
2 0
xRdR (x2 R2)3
2
dq 2RdR y
zR0
R o
dR
P
dE
x
E dEx
x
2 0
R0 RdR
强；
s 3）闭合曲面 内部的电荷对 Φe有贡献。
上式是静电场的基本性质之一，说明静电场是 一个有源场；
为麦克斯韦四大方程组之一； 此式是真空中的高斯定理。
10.3.4 高斯定理的应用
Φe E dS
S
EdS cos
1
0
n
qi
i 1
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
y
qR
P
x
ox
z
解
dE
1
4 π0
dl
r2
q
y
dq dl
r
( q )
2π R
R
P
x
ox
z
E dE
由对称性有
E Exi
y dq dl ( q )
qR
r 2π R
P
x
ox
z
dE
1
4 π0
dl
r2
E dEx dE cos
S 为封闭曲面
dS1
规定：面积元法向矢量的 正方向自闭合曲面内 部指向外。
dS 2ຫໍສະໝຸດ 闭合曲面的电场强度通量
Φe
E dS
S
1
π 2
,
2
π 2
,
dΦe1 0
dΦe2 0
dS 2
E
dS1
E2
2
1 E1
电场线穿入，电通量为负；电场线穿出，电通量为正。
方向与正电荷受力的方向相同。
F qE
点电荷：
E
1 4πε0
Q r2
er