人教版 高中数学选修2-3 课时跟踪检测(三) 排列与排列数公式

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课时跟踪检测（三） 排列与排列数公式
层级一 学业水平达标
1．下面问题中，是排列问题的是( )
A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B ．从40人中选5人组成篮球队
C ．从100人中选2人抽样调查
D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
解析：选A 选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B 、C 、D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．
2．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A ．6
B ．4
C ．8
D ．10 解析：选B 列树形图如下：
丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．
3．乘积m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)可表示为( )
A ．A 2m
B ．A 21m
C ．A 20m ＋20
D ．A 21m ＋20
解析：选D 因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m
＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20．
4．计算：A 67－A 56A 45
＝( ) A ．12
B ．24
C ．30
D ．36 解析：选D A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45
＝36． 5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( )
A ．6种
B ．30种
C ．360种
D ．A 56种
解析：选D 问题为6选5的排列即为A 56．
6．计算：5A 35＋4A 24＝________．
解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348．
答案：348
7．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列．
解析：画出树形图如下：
可知共12个．
答案：12
8．由1,4,5，x 四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x ＝________．
解析：当x ≠0时，有A 44＝24个四位数，
每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x ，
即24(1＋4＋5＋x )＝288．
解得x ＝2，
当x ＝0时，每位四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x ＝0不合题意，∴x ＝2．
答案：2
9．写出下列问题的所有排列．
(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；
(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．
解：(1)四名同学站成一排，共有A 44＝24个不同的排列，它们是：
甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙；
乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；
丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．
(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A 25＝20种选法，形成的排列是： 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54．
10．(1)解关于x 的方程：A 7x －A 5x A 5x
＝89； (2)解不等式：A x 9>6A x －
29． 解析：(1)法一：∵A 7x ＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)＝(x －5)(x －6)·A 5x ，
∴(x －5)(x －6)A 5x －A 5x A 5x
＝89． ∵A 5x >0，∴(x －5)(x －6)＝90．
故x ＝－4(舍去)，x ＝15．
法二：由A 7x －A 5x A 5x
＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！(x －7)！＝90·x ！(x －5)！
． ∵x ！≠0，∴
1(x －7)！＝90(x －5)(x －6)·(x －7)！， ∴(x －5)(x －6)＝90．解得x ＝－4(舍去)，x ＝15．
(2)原不等式即9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！
， 由排列数定义知⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤9，0≤x －2≤9， ∴2≤x ≤9，x ∈N *．
化简得(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0，
即(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13．
又2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *．
故x ＝2,3,4,5,6,7．层级二 应试能力达标1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( )
A ．2
B ．4
C ．12
D ．24
解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A 24＝12．
2．下列各式中与排列数A m n 相等的是( )
A ．n ！(n －m ＋1)！
B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )
C ．n A m n －1n －m ＋1
D ．A 1n ·A m －1n －1 解析：选D ∵A m n ＝
n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！
，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1，故选D ． 3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为
( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．24
解析：选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有2110，
1210，1120，
共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9．
4．给出下列4个等式：①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！(n －m )！；④A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！
，其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：选C (n ＋1)！n ＋1＝(n ＋1)×n ！n ＋1＝n ！，所以①正确；n A m －1n －1＝n ×(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！＝A m n ，所以②正确；③显然是正确的；A m －1n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝(n －1)！(n －m )！(分母为(n －m )！，而不是(m －n )！)，所以④不正确．
5．满足不等式A 7n A 5n
>12的n 的最小值为________． 解析：由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！
>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2．又n ≥7，所以n >9，
又n ∈N *，所以n 的最小值为10．
答案：10
6．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．
解析：画出树形图，如下：
由树形图可知，共有11种不同的试种方案．
答案：11
7．一条铁路线原有n 个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？
解：由题意可得A 2n ＋2－A 2n ＝58，即(n ＋2)(n ＋1)－n (n －1)＝58，解得n ＝14．
所以原有车站14个，现有车站16个．
8．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，
m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．
(1)求A 3－15的值；
(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．
解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080．
(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2．
令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33
， 所以函数f (x )的单调增区间为
－∞，3－33，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋33，＋∞； 令f ′(x )<0，得
3－33<x <3＋33， 所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－33，3＋33．。