数学模型与数学建模-第4章-量纲分析法(ppt文档)

因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
f
K
m1m2 r2
中的引力常数K的量纲为
[K]
fr 2
[ f ][r 2 ]
m1m2 [m1][m2 ]

LMT 2L2 M2

L3M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如
在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的” 数,而是反映事物某一特性的度量.
用数加单位来表示具体度量； 用量纲的概念来表示被度量的特性.
量纲分析法是一种有效的物理建模方法
一.单位 SI 国际单位制（米—千克—秒）； fps 英制单位制（英尺—磅—秒）
一个模型中单位必须统一
二.量纲 基 本 物 理 量
［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
量纲独立于单位
三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量 纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验. 2. 无量纲化方法减少参数个数.
量纲分析建模方法有如下优缺点:
1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法， 可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.
2. 可将无关的物理量去掉. 3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量. 4. 方法有局限性，PI定理中的等价方程F(·)=0, 仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量.
5. 物理定律中常见的函数，如三角函数sin(·), 指数函数exp(·)等是无量纲的, 不可能用量纲分 析法得到.
T M1 L2 3T 23
(2)
按照量纲齐次性,有
1 0 2 3 0
23 1
求解为
1

0, 2

1 2
,
3


1 2
代入式(1) 得
t
l g
续例4.2.1 单摆运动的抽象
设变量关系为
f (t，m，l，g) =0，
(3)
假设各变量间的关系如下：
2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系.
例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的
一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用

mw 0v0
dV dT
代入原方程，有
dV K x C v F dT mw0v0 mw0v0 mw0v0
K x Cv F


mw
2 0
(
x0
)

mw
0
(
v0
)

mw 0v0
= －X－AV+F0
其中，因v0=x0w0 , w0=
K m
原方程变形为
优点：
dV dT

AV

F0

X
1. 减少了参数的个数；
ys=(ys1, ys2, …, ysm)T , s=1,2, …,m－r
则
s
m
q
ysj j
j1
为 m－r 个相互独立的无量纲量,且
F(π1, π2, …，πm－r)=0
(7)
与(6) 式等价, 其中F的形式未知.
例4.2.2 航船阻力
长度为l、吃水深度h的船以速度v 航行,若不
考虑风的影响,那么航船受到的阻力f除依赖船 的诸变量l, h, v 以外,还与水的参数—密度ρ, 粘性系数μ,以及重力加速度g有关.
任何建模方法都有局限性
4.2.4 无量纲化
例：火箭发射
x
星球表面竖直发射。初速v, 星球半 径r, 表面重力加速度g 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2
v m1
g 0 m2
r
牛顿第二定律，万有引力定律
m1x

k
(
mm 12
x r)2
下(g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力, 求摆动周期t的表达式.
求解 考虑问题中出现的物理量t、m、l、g，
假设它们之间有关式
t m1l 2 g3
(1)
其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的
比例常数.上式的量纲表达式为
t [m]1 [l]2 [g]3
将[ t ]=T, [m]=M, [ l ]=L, [g ]=LT－2 代入得
c
c
x x(t; r, v, g)
x x(t ; )
为无量纲量

x (
x(0)
x 0
1
1)
2
x (0)
, v2

rg
x


(x
1 1) 2
,


v2 rg
x(0) 0, x(0) 1
1）2）3）
解 x x(t ; )
(9)
4 fl 2v 21
式(9) 与 φ(π1,π2,π3,π4)=0 等价,φ是
未定的函数.两式表达了航船问题中各物
理量之间的全部关系.
为得到阻力f的表达式，由式(1)及式(9)中 π4的式子可写出
f=l2v2ρψ(π1,π2,π3) 其中ψ表示一个未定函数
用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量 之间的关系，这个结果用通常的机理分析法 难以得到
x g (x 0)
km r2g 2
x r 2 g (x r)2
x(0) 0, x(0) v
x x(t; r, v, g) ——3个独立参数
用无量纲化方法减少独立参数个数
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2
的共同点 只含1个参数——无量纲量
重要差别
考察无量纲量 v 2
rg
rg 6370103 9.8 8000(m / s) v
1
在1）2）3）中能否忽略以为因子的项？
1)
x



(
x
1 1)
2
,


v2 rg
x(0) 0, x(0) 1
下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量 之间的关系.
1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为
Ф(f, l, h, v,ρ,μ, g)=0
(8)
2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T, 各物理量的量纲表示为
[ f ] LMT 2 , [t] L, h L v LT 1, L3M , L1MT 1, g LT 2 ,
v0=x0 w0 ,
[ F ]=MLT－2 , [ C ]= MT－1.
引进无量纲量：
T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0
得
dx dt

d(x0X ) d( T )

w0 x0dX dT

v0dX dT

v
w0
特点？
dX v V dT v0
将
m
dv dt

m
d(v0V ) d(T w0 )
t
c
c
x x(t; r, v, g) 的不同简化结果
x r 2 g (x r)2
x(0) 0, x(0) v
1）令 xc r, tc r / v
x v dx vx dt
x
v2 r
d2x dt 2

v2 r
x
x x / r, t vt / r
x



(x
1 1) 2
,


v2 rg
x(0) 0, x(0) 1
x x(t; r, v, g) x x(t ; ) 为无量纲量
2）令 xc r,tc r / g
x x(t; r, v, g)
x x(t ; )
为无量纲量
3）令
x v2 / g, t v/ g
有关量算出.
应用量纲分析法建立数学模型应注意：
1. 正确确定模型中所含物理量
主要靠经验和背景知识, 没有一般的方法可以 保证得到的结果是正确或有效.
2. 合理选择基本量纲 一般，在力学中选取L、M、T即可, 热学问题 加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q).
3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解.
虽然函数ψ的形式无从知道,但这个表达式 在物理模拟问题中仍有用途.
例4.2.3 物理模拟中的比例模型 利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航 船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力
量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量： f , l, h, v, , , g 原型中的各物理量： f ,l,h,v, , , g
Y1 (0 Y2 (0 Y3 (0
1 1 1
1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1
0)T 1)T 0)T
Y4 (1 2 0 2 1 0 0)T
5. 给出4个相互独立的无量纲量
1

2
3

lh1 lv2 g lv 1

y2 y3 y4


0 1
1
t 2l 1g