2020_2021学年高中数学第1章三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数的定义学案新人教A版必
高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.1任意角的三角函数(第1课时)习题课件新人教A必修4
探究 3 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 到 2π 间的三角函数，亦可把大于 2π的角的三角函数化为 0 到 2π间 的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．
思考题 3 (1)求值：m·sin72π ＋n·tan(－4π )＋p·cos52π . (2)证明：log2(4sin1 110°)＝1.
题型二 三角函数的符号 例 2 确定下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°；(2)sin78π ·tan78π ； (3)sinα ·cosα (α 是第二象限角)．
【思路分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数
值的符号． 【解析】 (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.于是 sin105°·cos230°<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则 sin78π>0，tan78π<0.∴sin78π·tan78π<0. (3)负
定义二：设 α 为一个任意角，在 α 的终边上任取一点 P(异于 原点)，其坐标为(x，y)，且 OP＝r，则：
sinα ＝yr ，cosα ＝xr ，tanα ＝yx.
要点 2 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 (1)符号的图像表示：
(2)符号的记忆口诀： 三角函数正值歌：一全正、二正弦，三正切，四余弦(为正)．
2．诱导公式一的实质、结构特征及作用是什么？
答：(1)公式一的实质是说终边相同的角的同名三角函数值相 等．
(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边 的角为 α＋2kπ，右边的角为 α.
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一学案含解析新人教A版必修4
1．2 任意角的三角函数1．2.1任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝yx>0(2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝yx<0.(3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2k π＝sin π2＝1． cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2k π＝cos π2＝0． (2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1． cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0． (3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________． 答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴xx 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)， 此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． [解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |，①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限． sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a－5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． [解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ， r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.方法技巧 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值；②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪探究 1.已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上一点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解析：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 故题意可知，sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 1＝－22. ∴cos α＝22，tan α＝－1，或cos α＝－22，tan α＝1.2．求π4的正弦、余弦、正切值．解析：在直角坐标系中，∠AOB ＝π4，P 为终边上一点，可设为(1，1)，则OP ＝ 2.∴sin π4＝12＝22，cos π4＝12＝22，tan π4＝11＝1.探究二 三角函数值符号的判断[教材P 13例3]方法步骤：象限↔符号[例3] (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [解析] sin θ<0，则θ在第三、四象限或y 轴的负半轴． tan θ<0，则θ在第二、四象限或x 轴的负半轴． 其公共象限为第四象限，故选D. [答案] D(2)判断下列各式的符号： ①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4. [解析] ①因为191°是第三象限角； 所以tan 191°>0，cos 191°<0. 所以tan 191°－cos 191°>0.②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. 所以sin 2·cos 3·tan 4<0.(3)求函数y ＝sin α|sin α|＋cos α|cos α|的值．[解析] 当α在第一象限时，y ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.当α在第二象限时，y ＝1－1＝0. 当α在第三象限时，y ＝－1－1＝－2. 当α在第四象限时，y ＝－1＋1＝0.综上，y 的值为0或－2或2.方法技巧 三角函数值符号的判断问题(1)由三角函数的定义可知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (r >0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P (x ，y )的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键．(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．延伸探究 1.将本例(1)改为：若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 解析：由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 得α是第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 得α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角． 答案：C2．将本例(3)改为：函数y ＝sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|的值域为________．解析：当α是第一象限角时，sin α，cos α，tan α均为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝3. 当α是第二象限角时，sin α为正值，cos α，tan α为负值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 当α是第三象限角时，sin α，cos α为负值，tan α为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 当α是第四象限角时，sin α，tan α为负值，cos α为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 综上可知，函数的值域为{－1，3}． 答案：{－1，3}探究三 诱导公式一的应用[教材P 14例5]方法步骤：(1)将角改写为“2k π＋α”的形式，α∈(0，2π)． (2)利用公式求值．[例4] 求下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解析] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 方法技巧 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．跟踪探究 3.求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.解析：(1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.授课提示：对应学生用书第10页[课后小结]1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角的大小有关． 一般地结论是：α的终边上点P (x ，y )：首先求|OP |＝r ＝x 2＋y 2，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx(x ≠0)．2．对公式一的理解实质 终边相同的角的同名三角函数值相等结构特征1.公式的左右两边为同名三角函数2.公式左边的角为α＋2k π，右边的角为α作用 把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)间的角的三角函数值1．不讨论终边(点)的位置而致错[典例] 已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 易错分析 此题只认为α的终边在第一象限而丢解． 自我纠正[解析] 法一：(单位圆法)设直线y ＝2x 与单位圆x 2＋y 2＝1的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ，得 ⎩⎨⎧x 1＝55，y 1＝255，⎩⎨⎧x 2＝－55，y 2＝－255. ①当角α的终边在第一象限时，cos α＝x 1＝55， sin α＝y 1＝255，tan α＝y 1x 1＝2.②当角α的终边在第三象限时， cos α＝x 2＝－55，sin α＝y 2＝－255， tan α＝y 2x 2＝2.法二：(定义法)在直线y ＝2x 上任取一点P (t ，2t )(t ≠0)，则r ＝t 2＋（2t ）2＝5|t |.①若t >0，则r ＝5t ，从而sin α＝2t 5t ＝255，cos α＝t 5t ＝55，tan α＝yx ＝2.②若t <0，则r ＝－5t ，从而sin α＝2t －5t ＝－255，cos α＝t －5t＝－55，tan α＝y x＝2.2．数学计算失误[典例] 已知角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求α的各三角函数值． 易错分析 此题要先求|OP |时出错，认为|OP |＝5t . 自我纠正[解析] 因为点P 的坐标是(4t ，－3t )且t ≠0， 所以r ＝|OP |＝（4t ）2＋（－3t ）2＝5|t |.当t >0时，α是第四象限角，r ＝|OP |＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.当t <0时，α是第二象限角，r ＝|OP |＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.3．忽视象限符号致错[典例] 若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0易错分析 判断不出α、2α所在象限而盲目选答案． 自我纠正[解析] ∵tan α>0，∴α∈⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴α是第一、三象限角．∴sin α，cos α都可正、可负，排除B ，C. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )，∴2α是第一、二象限角或终边在y 轴正半轴上的角， ∴sin 2α>0，而cos 2α可正、可负或者为零，故D 不正确．[答案] A4．忽视公式一的特征致错[典例] cos 134π的值为________．易错分析 构造不出公式一的特征而用公式，即 cos 134π＝cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π4＝cos π4＝22. 自我纠正[解析] cos 134π＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋54π＝cos 54π， 由于54π在第三象限角平分线上，设点P (－1，－1)，∴cos 54π＝－22.[答案] －22。
高中数学1.2.1 任意角的三角函数(1)优秀课件
三角函数的定义域、值域
函数
定义域
值域
y sin x
R
[1, 1]
ycosx
R
[1, 1]
ytanx {|k,kZ} R
2
角的概念推广后，实际上是把角的集合 与实数集R之间建立了一一对应的关系：
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
角的集合
实数集R
每一个角都有唯一的一 个实数与它对应；反过来， 每一个实数也都有唯一的一 个角与它对应．
(3)正切:tanα= b . a
由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点P的位置 改变而改变，所以通常取r=1的位置。
1. 任意角的三角函数的定义
设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合,那么 α的终边在第一象限，在α的终边上的点P(a,b)与原点(即顶点)的距 离是1,那么根据所学过的三角函数的定义，有
解 ： 由 已 知 得 r （ 3 ） 2 y 23 y 2
sin y y ，
r 3 y2
又 sin 2 y
4
y 2y 3 y2 4
即y0或3y222
解 得y0或 y5.
( 1 )当 y 0 时， P （ 3 ， 0 ） ， r3 ,
cos
( 2 )当 y 5 时 ， P （ 3 ， 5 ） ， r 2 2 ，
1.2.1 任意角的三角函数〔1〕
我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 α为自变量，以比值为函数值，定义了角α的正弦、余弦、 正切的三角函数.
角的范围已经推广，那么对任一角α是否也能 像锐角一样定义三角函数呢？
本节课我们研究当角α是一个任意角时，其三
角函数的定义及其几何表示．
高中数学第1章三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数的定义教案含解析新人教A版必修4
第1课时任意角的三角函数的定义1．任意角的三角函数的定义3.(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．诱导公式一思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？提示：一定相等．1．若角α的终边经过点P (2，3)，则有( ) A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝23C [这里x ＝2，y ＝3，则r ＝22＋32＝13，∴sin α＝31313，cos α＝21313，tan α＝32，故选C.]2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sin 253π＝ ．32 [sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.] 4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＋sin α的值为 ． 3＋12 [cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝12， 故cos α＋sin α＝3＋12.][探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P 点在终边上的位置的改变而改变．【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P (x ，3)(x ＞0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ的值为 ；(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 思路点拨：(1)依据余弦函数定义列方程求x →依据正弦、正切函数定义求sin θ和tan θ的值(2)判断角α的终边位置→分类讨论求sin α，cos α，tan α (1)31010，3 [由三角函数定义知，cos θ＝x r＝x x 2＋9＝1010x . ∵x ＞0，∴x ＝1，∴r ＝10. ∴sin θ＝31010，tan θ＝yx＝3.](2)[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝（－1）2＋（3）2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)， 则r ＝12＋（－3）2＝2， 所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.1．将本例(1)中条件“x ＞0”改为“x ＜0”，结果如何？ [解] ∵x ＜0，由x x 2＋9＝1010x 得x ＝－1. ∴sin θ＝31010，tan θ＝－3.2．将本例(1)中条件“x ＞0”改为“x ≠0”，结果又怎样？ [解] 因为r ＝x 2＋9，cos θ＝xr， 所以1010x ＝xx 2＋9， 又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10.当x ＝1时，sin θ＝31010，tan θ＝3，当x ＝－1时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.3．将本例(1)中“P (x ，3)”改为“P (x ，3x )”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？[解] ∵x ≠0，∴r ＝x 2＋（3x ）2＝10|x |. 当x ＞0时，P 在第一象限，θ为第一象限角， 这时r ＝10x ，则sin θ＝31010，cos θ＝1010，tan θ＝3.当x ＜0时，P 在第三象限，θ为第三象限角，这时r ＝－10x . 则sin θ＝－31010，cos θ＝－1010，tan θ＝3.4．将本例(2)的条件“3x ＋y ＝0”改为“y ＝2x ”其他条件不变，结果又如何？ [解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1，2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝（－1）2＋（－2）2＝5， 得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.思路点拨：(1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限． (2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C [因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．](2)[解] ①∵145°是第二象限角． ∴sin 145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误． 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．1．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是 ．[－2，3] [因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为α终边过(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.]2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角．四 [角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角．](2)sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k ∈Z . (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．3．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π. [解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12.1．通过三角函数的定义的学习，为以后学习一切三角函数知识打下了基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．2．三角函数的定义域是学习三角函数图象与性质的基础，通过对角的集合与函数值之间的对应关系，加深对三角函数定义的理解．3．三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x ，y 的符号，记忆时结合三角函数定义式，也可用口诀只记正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sin α是“sin”与“α”的乘积； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [①正确；②错误；sin α是整体；③错误，如sin π2＝1＞0；④错误，cos α＝xx 2＋y 2，故B 选项正确．]2．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( ) A ．第一或第四象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限B [因为sin θ·cos θ＞0，所以sin θ＜0，cos θ＜0或sin θ＞0，cos θ＞0，所以θ在第三象限或第一象限．]3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝ ．－15[设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )， 由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.]4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°； (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4.[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.。
高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.1任意角的三角函数aa高一数学
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x＝ 所以
55，
y＝2
5
5 .
于是 sin α＝y＝25 5，cos α＝x＝ 55，tan α＝xy＝2.
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解法二 在角 α 终边上任取一点 P(x，y)(x>0)，则
|OP|＝ x2＋y2＝ x2＋4x2＝ 5|x|.
∴角 θ 为第三或第四象限角．答案：C
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探究三 诱导公式(一)的应用 [典例 3] 求下列各式的值： (1)cos 253π＋tan(－154π)； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
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[解析] (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)
答案：
3 2
2 2
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探究一 利用定义求三角函数值 [典例 1] 已知角 α 的终边在射线 y＝2x(x>0)上，求角 α 的正弦、余弦和正切值． [解析] 解法一 设 α 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)， 则 y＝2x(x>0)． 又因为 x2＋y2＝1，
解析：因为 α 是第二象限角，所以 sin α>0，cos α<0， 所以 sin α·cos α<0. 答案：<
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4．计算 sin 143π＝________，cos －245π＝________. 解析：sin 143π＝sin 4π＋23π＝sin 23π＝ 23， cos －254π＝cos －6π－π4＝cos －π4＝ 22.
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(1)课件1新人教A必修4
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
55
55
1
例2.已知角α 的终边经过点P0（－3，－4），求 角α 的正弦、余弦和正切值.
解：由已知可得：
提示：
sin b
rcos Biblioteka artan b
a
y
r
α
O
A P(a，b)
Bx
思考2 对于确定的角α ，上述三个比值是否
随点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢？
为什么？
P
﹒P
△OMP ∽ △OMP
sin MP M P
OP
OP
cos OM
OP
OM OP
解: 因 为 x 12, y 5 ,所 以 r (12)2 52 13 ，
于是 sin y 5 ， r 13
cos x 12 ， r 13
tan y 5 ． x 12
探究二：三角函数的符号
思考： 根据任意角三角函数的定义，sinα ， cosα ，tanα 的值的符号取决于什么？
【即时训练】
确定下列各三角函数值的符号：
(1) sin 13 ; 7
解：
(2)cos 130°； (3) tan( 2).
3
(1)sin 13 0 (2) cos 130 0 (3) tan( 2) 0
7
3
例1.求 5 的正弦、余弦和正切值.
3
解：在 直 角 坐 标 系 中 ,作 AOB 5 （ 如 图） . 3
1.掌握任意角的三角函数的定义，正确理解三角函数 是以实数为自变量的函数. （重点） 2.已知角α终边上一点，会求角α 的各三角函数值. 3.掌握三角函数的定义域. （重点、难点）
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数高一数学教案
1.2.1 任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么切函数，统称为三角函数．思考1：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？[提示] 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考2：若P 为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tanα的值怎样表示？[提示] sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.二、三角函数在各象的限符号 三、三角函数线1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．三角函数线 1．思考辨析(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) (3)α与α＋π有相同的正切线．( )[解析] 结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)√ 2．若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－22 22 －1 [由题意可知|OP |＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]3．(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限，∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 三角函数的定义及应用【例1】 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．思路点拨：以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝x x 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x .∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 三角函数值的符号【例2】 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5.思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．(1)四 [∵α是第四象限角， ∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限．] (2)[解] ①∵180°<183°<270°， ∴sin 183°<0； ②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.2．确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°sin 269°＞0. 应用三角函数线解三角不等式 [探究问题]1．在单位圆中，满足sin α＝12的正弦线有几条？试在图中明确．提示：两条，如图所示，MP 1与NP 2都等于12.2．满足sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．提示：如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π6，k ∈Z .【例3】 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x －22的定义域．思路点拨：借助单位圆解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0sin x －22＞0便可．[解] 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z. 1．利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法．对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连结原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法．对于tan x ≥c ，取点(1，c )连结该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．2．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. 教师独具1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用； (2)三角函数值符号的判断； (3)三角函数线的画法及应用．3．本节课的易错点(1)已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．(2)画三角函数线的位置以及表示方法.1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上．由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．3 [由三角函数的定义可知－b b 2＋16＝－35，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，b 2b 2＋16＝925，解得b ＝3.]3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是________．sin α＋cos α>1 [作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三 角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cosα>1.]4．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．[解] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34. 当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t－5t＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(1)课件
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当 x＝－45时，角 α 在第二象限，tan α＝－545＝－34．
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方向2 含参数的三角函数(sānjiǎhánshù)定义问题 【例1-2】 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋
答案
－12
－
3 2
3 3
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知识点2 三角函数值在各象限(xiàngxiàn)的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
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第七符号由什么决定？ 提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内 坐标符号推导(tuīdǎo)出的．从原点到角的终边上任意一点的距 离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边 所在象限决定．
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内容(nèiróng)总结
§1.2 任意角的三角函数。1．任意角的三角函数的定义。2．正弦、余弦、正切函数在弧 度制下的定义域。口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．。1．语言表示：终
No 边相同的角的_______三角函数的值相等．。题型一 任意角的三角函数的定义及应用。②sin
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【训练 2】 求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin－116π＋cos125π·tan 4π．
解 (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数温故知新 苏教版必修4(2021年整理)
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1。
2.1 任意角的三角函数温故知新新知预习1.三角函数的定义设点P 是α终边上任意一点，坐标为P （x ，y ），｜OP ｜=22y x =r ，则(1）比值_____________叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=_____________。
（2）比值_____________叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα=_____________。
（3)比值_____________叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=_____________.（4）比值_____________叫做角α的正割，记作secα，即secα=_____________。
（5)比值_____________叫做角α的余割，记作cscα,即cscα=_____________。
（6）比值_____________叫做角α的余切，记作cotα,即cotα=_____________.2。
三角函数在各象限的符号 sinα=ry ，当α是__________象限时,sinα＞0;当α是__________象限时，sinα＜0。
cosα=rx ,当α是__________象限时，cosα＞0;当α是__________象限时，cosα＜0。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第一课时全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT
A(1,0x)
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正弦值y对于第一、二象限角是正，对于第三、四象限 角是负。
余弦值x 对于第一、四象
限角是正，对于第二、三 象限角是负。
正切值 y 对于第一、三象限角是正， x
对于第二、四象限角是负。59例 确定以下各三角函数值符号：
(1) sin( ); 4
(2)cos1300 ； (3) tan( 4). 3
解： (1) Ⅳ，
4
(2) ∵1300∈Ⅱ
sin( ) 0 4
∴ cos1300 <0
(3) 4 Ⅱ 3
tan( 4) 0 3
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例、 求证:当且仅当以下不等式组成立时，角θ 为第三象限角.
sin 0 tan 0
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课堂小结：
1、任意角三角函数定义 ； 2、三角函数定义域和函数值在各
y
（2）x叫做α余弦，
记作cosα，即
P(x,y)
cosα=x；
y
（3）x
叫做α正切，记作tanα，
y
即 tanα= x (x≠0)。
α
O
A(1,0x)
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例1、求 5 正弦、余弦和正切值。
3
y
α
O
A(1,0x)
P
y
M0 M α
O
例2、已知角α终边经过点 P(x,y) P0（-3，-4），求角α正弦、 P0(x,y) 余弦和正切值。
任意角三角函数
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学习目标
1、任意角三角函数定义 ； 2、三角函数定义域和函数值在各
象限符号 。
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任意角三角函数定义：
如图，设α是一个任意角，它终边与单位圆（在 直角坐标系中，称以原点O为圆心，以单位长度为半径 圆）交于点P(x,y)，那么：
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1第1课时三角函数的定义aa高一数学
数 学 必
[解析] 由三角函数的定义，tanα＝yx＝2，cosα＝xr＝ 55，∴tanα·cosα＝255．
修
④
·
人
教
A
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互动 探究学案 (hù dònɡ)
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命题(mìng tí)方向1 ⇨利用三角函数的定义求三角函数值
号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开(líkāi)自变量的“sin”“cos”“tan”等是
没有意义的．
(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可
数 以看成是自变量为实数的函数．
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(3)定义域：如表所示
[思路(sīlù)分析] 先确定角所在象限，进而确定各式的符号．
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[解析] (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0．
于是 sin105°·cos230°<0．
(2)∵π2<78π<π，
A．
2 2
B．－
2 2
C．12
D．－1
[解析] x＝ 22，y＝－ 22，则 sinα＝y＝－ 22．
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(B)
3．已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有
高中数学第1章三角函数1.2.1.1任意角的三角函数的定义aa高一数学
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1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小 和点 P(x，y)在终边上的位置无关，只由角 α 的终边位置确 定，即三角函数值的大小只与角有关．
2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律 解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符 号的正确选取．
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3．在△ABC 中，若 sinAcosBtanC<0，则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
解析 因为 sinA>0，所以 cosB，tanC 中一定有一个小 于 0，即 B，C 中有一个钝角．
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解析 (1)由 sinαtanα<0 可知 sinα，tanα 异号， 从而 α 为第二、三象限角． 由ctaonsαα<0 可知 cosα，tanα 异号，从而 α 为第三、四象 限角． 综上可知，α 为第三象限角． (2)①∵120°是第二象限角， ∴tan120°<0. ∵269°是第三象限角，∴sin269°<0， ∴tan120°·sin269°>0.
解 原 式 ＝ sin(2×360°＋ 90°) ＋ tan(2×360°＋ 45°) ＋ tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)
＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.
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(2)∵P(4,3m)，∴r＝ 16＋9m2，
∴sinα＝yr＝ 163＋m9m2＝ 22m， 两边平方得：169＋m92m2＝12m2.
2020_2021学年新教材高中数学第1章三角函数2任意角课件北师大版必修第二册
象限的角}，D＝{α|α为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B
B．B＝C
C．A＝C
D．A＝D
D [根据角的分类，可知应选D．]
3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤ α<360°，k∈Z)的形式是 ________________.
[答案] 195°＋(－3)× 360°
2．按照角的旋转方向，分为如下三类
类型
定义
正角
按 逆时针方向旋转形成的角
负角
按 顺时针方向旋转形成的角
如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位 零角
置OB与起始位置OA重合，称这样的角为 零角
3.象限角 如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么， 角的终边 (除端点外)在第几象限，就说这个角是 第几象限角 ．如 果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
第一章 三角函数
§2 任意角
学习目标
核心素养
1.了解任意角的概念，理解象限 1.通过对任意角与象限角的概念
角的概念．(重点)
的学习，培养数学抽象素养．
2．掌握终边相同的角的含义及其 2．借助终边相同的角的表示，培
表示．(难点)
养数学运算素养.
自主 预习 探新 知
1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点O从一个位置 OA 旋转到另一个位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA， OB分别是角α的始边和终边．
思考：1.第二象限角比第一象限角大吗？ 提示：不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的 角，但120°＜390°.
4．终边相同的角 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构 成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同 的角，都可以表示成角α与 周角 的整数倍的和．
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第1课时任意角的三角函数的定义学习目标核心素养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3.掌握公式一并会应用. 1.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养学生数学抽象和数学建模素养.2.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升学生直观想象和数学运算素养.1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数三角函数定义域sin αRcos αRtan α⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x∈R⎪⎪⎪x≠kπ＋π2，k∈Z3.(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 4．诱导公式一思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？ 提示：一定相等．1．若角α的终边经过点P (2,3)，则有( ) A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝23C [这里x ＝2，y ＝3，则r ＝22＋32＝13，∴sin α＝31313，cos α＝21313，tan α＝32，故选C.]2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sin 253π＝________.32 [sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.] 4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＋sin α的值为________． 3＋12 [cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝12， 故cos α＋sin α＝3＋12.]三角函数的定义及应用[探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P 点在终边上的位置的改变而改变．【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ＞0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ的值为________；(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 思路点拨：(1)依据余弦函数定义列方程求x →依据正弦、正切函数定义求sin θ和tan θ的值(2)判断角α的终边位置→分类讨论求sin α，cos α，tan α (1)31010，3 [由三角函数定义知，cos θ＝x r＝x x 2＋9＝1010x . ∵x ＞0，∴x ＝1，∴r ＝10. ∴sin θ＝31010，tan θ＝yx＝3.](2)[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝－12＋32＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)， 则r ＝12＋－32＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.1．将本例(1)中条件“x ＞0”改为“x ＜0”，结果如何？ [解] ∵x ＜0，由x x 2＋9＝1010x 得x ＝－1. ∴sin θ＝31010，tan θ＝－3.2．将本例(1)中条件“x ＞0”改为“x ≠0”，结果又怎样？ [解] 因为r ＝x 2＋9，cos θ＝xr， 所以1010x ＝xx 2＋9， 又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10. 当x ＝1时，sin θ＝31010，tan θ＝3，当x ＝－1时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.3．将本例(1)中“P (x,3)”改为“P (x,3x )”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？[解] ∵x ≠0，∴r ＝x 2＋3x2＝10|x |.当x ＞0时，P 在第一象限，θ为第一象限角， 这时r ＝10x ，则sin θ＝31010，cos θ＝1010，tan θ＝3.当x ＜0时，P 在第三象限，θ为第三象限角，这时r ＝－10x . 则sin θ＝－31010，cos θ＝－1010，tan θ＝3.4．将本例(2)的条件“3x ＋y ＝0”改为“y ＝2x ”，其他条件不变，结果又如何？ [解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对参数(或)变量正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．三角函数值符号的运用【例2】 ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.思路点拨：(1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限． (2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C [因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．](2)[解] ①∵145°是第二象限角． ∴sin 145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； 2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.[跟进训练]1．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．[－2,3] [因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为α终边过(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.]2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．四 [角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角．]诱导公式一的应用【例3】 (2)sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k ∈Z . (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．[跟进训练] 3．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π. [解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12.1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数． 2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等．1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sin α是“sin ”与“α”的乘积； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [①正确；②错误；sin α是整体；③错误，如sin π2＝1＞0；④错误，cos α＝xx 2＋y 2，故B 选项正确．]2．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( ) A ．第一或第四象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限B [因为sin θ·cos θ＞0，所以sin θ＜0，cos θ＜0或sin θ＞0，cos θ＞0，所以θ在第三象限或第一象限．]3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝________.－15 [设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )， 则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )， 由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.]4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°； (2)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4.[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.。